计数原理分组问题六种类型例讲

分组问题六种类型例讲

在学习排列组合时，有一些分组问题常常让同学们疑惑不解，本师在百度吧简而概的讲讲。分组问题常见六个类型，分述如下：

（1）非均匀无序分组.

[例1]把6人按1人，2人，3人分成3组，分别做3个相同工作，有多少种方法？

[解]3组元素个数是非均匀的，分配同种工作，说明组与组无序。

C（6，1）C（5，2）C（3，3）=60（种）

[练习]把5人分成2组有多少种方法？

（2）非均匀有序分组.

[例2]在[例1]中给3组分配3种做不同工作有多少种方法？

[解]分成的3组做不同工作相当于要在3个位置上排列，即组与组之间有序！

C（6，1）C（5，2）C（3，3）A（3，3）= 360（种）

[练习]把5人分成2组并分别做2种不同工作有多少种方法？

（3）均匀无序分组.

[例3]把a，b，c，d平均分成两组，有多少种分法？

[解]有ab，cd；

ac，bd；

ad，bc；

cd，ab；

bd，ac；

bc，ad.

但作为分法，1，4行，2，5行，3，6行应是重复分法，为消除这种重复，我们要除以组数的阶乘.

C（4，2）C（2，2）/2！=3（种）

[练习]把6本不同书平均分成3堆有多少种分法？

（4）均匀有序分组.

[例4]把6本不同书平均分成第1，第2，第3堆有多少种分法？

分成的3堆要编号---有序！3堆一样本数---均匀.

C（6，2）C（4，2）C（2，2）3！/3！=90.

[注]因3！/3！=1，故通常直接列C（6，2）C（4，2）C（2，2）.

[练习]把8封地址不同的信投入4个信箱，每个信箱2封，有多少种投法？

（5）部分均匀无序分组.

[例5]把5本不同书分成3堆，各为2本，2本，1本，有多少种分法？

[解]3组不编号，即无序，其中有2堆本数相同.

C（5，2）C（3，2）C（1，1）/2！=15.

（6）部分均匀有序分组.

[例6]把5本不同书分给3人，各得2本，2本，1本，有多少种分法？

[解]C（5，2）C（3，2）C（1，1）3！/2！=90.

[注]分给3人---有序，要乘上3！，其中有2组均匀---要除于2！

[练习]把5本不同书分给4人每人至少1本，有多少种分法？

编后语：本文可供高二老师讲排列与组合时参考，或高三复习时的专题.但不宜搞成太复杂，因高考出题是不会太难的.