2020年高考数学(理)大题分解专题03 概率与统计

（2020江西省上饶市一模）在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.

（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：

受教育水平良好

受教育水平不好 总计 绝对贫困户 2

相对贫困户 52

总计

100

（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望()E X .

附：()()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

()

20P K k ≥

0.15 0.10

0.05 0.025

大题肢解一

统计案例与数学期望

k

2.072 2.706

3.841 5.024

【肢解1】完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：

受教育水平良好

受教育水平不好 总计 绝对贫困户 2

相对贫困户 52

总计

100

【肢解2】上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望()E X .

【解析】（1）由题意可知，绝对贫困户有()0.250.500.75++0.210030⨯⨯=（户），可得出如列联表：

受教育水平良好

受教育水平不好

总计

绝对贫困户 2 28 30 相对贫困户 18 52

70

总计

20

80 100

()

2

2100182825230702080

K ⨯⨯-⨯=

⨯⨯⨯ 4.762 3.841≈>． 故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关．

（2）贫困指标在[)00.4,的贫困户共有()0.250.50.210015+⨯⨯=（户）

，

“亟待帮助户”共有0. 250.21005⨯⨯=（户）， 依题意X 的可能值为0，1，2，

()210215307C P X C ===，()11

1052

1510121C C P X C ===，()252152

221

C P X C ===， 则X 的分布列为

X

0 1

2

P

37

10

21

221

故31022()012721213

E X =⨯

+⨯+⨯=．

1.独立性检验的一般步骤：

(1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式

K 2＝

n （ad －bc ）2

（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）

计算K 2的值；

(3)查表比较K 2与临界值的大小关系，作统计判断． 2.求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法：

(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E (ξ)； (5)由方差的定义求D (ξ)．

【拓展1】（2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟）手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）

若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？

参考数据：

参考公式：()()()()

2

2

()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．

【解析】（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人， 可得列联表如下：

于是有K2的观测值2

100(60151510)14.28610.82875257030

k ⨯⨯-⨯=

≈⨯⨯⨯＞． 故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关．

【拓展2】（2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟）手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）

（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？

（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．

【解析】由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：()22

3222531

010C C P X C C ===，

()1122132232222253532

15

C C C C C P X C C C C ==+=，

()1112

2322222222535313230C C C C C P X C C C C ==+=，()21

2222

531

315

C C P X C C ===， 于是X 的分布列为：