古典概型、几何概型复习知识点和综合习题

知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系

(1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程：∧

∧

∧

+=a x b y

⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧

-=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x y

x n y x x x y y x x b n i i n

i i i n

i i n i i i ,)())((1

2

21121

例题分析

例1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系：

x （百万元）

2 4 5 6 8 y （百万元）

30

40

60

50

70

（1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。

针对练习

1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（ ）

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）

（1） （2） （3） （4）

A ．（1）（2）

B ．（1）（3）

C ．（2）（4）

D ．（2）（3）

）

A. 6y x =+

B. 42y x =+

C. 260y x =-+

D. 378y x =-+

知识点二：概率

一、随机事件概率：

事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。

确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0） （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；

（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的

次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n

m

A P ≈

说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一

② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况

③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定

性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率

④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具

体的统计的结果

⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

二、概率的基本性质： 基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；

（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，

则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)

概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P

② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用 ③如果事件()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和（概率加法公式）

互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件

对立事件：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件，事件A 的对立事件记为：

A

互斥事件和对立事件的区别：

① 若, B , , B , 中最多有一个发生则为互斥事件A A 可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集

② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集

⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件B A ,是互斥事件，则有()()()B P A P B A P +=+

⑦一般地，如果 n A A A ,...,,21 两两互斥，则有()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121 ⑧

()()

A P A P -=1

三、概率的概型：

古典概型：① 所有基本事件有限个；②每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型。

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1

，如果

某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m

A P =

③古典概型的解题步骤； 1、求出总的基本事件数；

2、求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P （A ）= 总的基本事件个数包含的基本事件数

A

几何概型：1、基本概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式：

P （A ）= 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）

的区域长度（面积或体构成事件A ；

（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多

说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内