完整版六年级奥数 第十讲1数论之余数问题教师版

第十讲：数论之余数问题

知识点拨：

一、带余除法的定义及性质：

一般地，如果a是整数，b是整数(b工0)，若有a *b=q r，也就是a = b xq + r,

0 w r v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里:

(1) 当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(2) 当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

一个完美的带余除法讲解模型

如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求

按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么

这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并

且可以看出余数一定要比除数小。

、三大余数定理:

1•余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23 ,16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39 除以5的余数等

于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23 , 19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42 除以5的余数等于3+4=7 除以5的余数,

即2.

2. 余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23 , 16除以5的余数分别是3和1，所以23 X16除以5的余数等于3 x仁3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以

c的余数。

例如：23 ,19除以5的余数分别是3和4，所以23 X19除以5的余数等于3 X4除以5的余数，即2.

3. 同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a M b ( mod m ) ,左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a, b 除以同一个数m 得到的余数相同,则a, b 的差一定能被m 整除

用式子表示为：如果有 a M b ( mod m )，那么一定有a— b = mk,k是整数，即m|(a —b)

三、弃九法原理：

在公元前9 世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》 ,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 889923

1234 除以9 的余数为1

1898 除以9 的余数为8

18922 除以9 的余数为4

678967 除以9 的余数为7

178902 除以9 的余数为0

这些余数的和除以9 的余数为2

而等式右边和除以9 的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9 的余数的和再除以9 的余数一定与等式右边和除以9 的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9 所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的

各个位数字之和除以9 的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9 一个9 的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九

法”

所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9 同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9 除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9 时，等式两边的除以9 的余数都是0 ，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

四、中国剩余定理：

1.中国古代趣题：

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵” 。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每 3 人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每 5 人一列、9 人一列、13 人一列、17 人一列都剩 3 人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17 之最小公倍数9945 （注：因为5、9、13、17 为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948 （人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

2.核心思想和方法：对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙

子算经》

中的问题为例，分析此方法: 今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7 后，得到三个余数分别为2，3， 2.那么我们首先构

造一个数字，使得这个数字除以 3 余1 ，并且还是5 和7 的公倍数。

先由5 7 35，即 5 和7 的最小公倍数出发，先看35 除以3 余2 ，不符合要求，那么就继续看 5 和7的“下一个”倍数35 2 70 是否可以，很显然70 除以 3 余1

类似的，我们再构造一个除以 5 余1，同时又是 3 和7 的公倍数的数字，显然21 可以符合要求。最后再构造除以7 余1，同时又是 3 ，5 公倍数的数字，45 符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：2 70 3 21 2 45 k[3,5,7] 233 k[3,5,7] ，其中k 是从1 开始的自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数” ，那么我们可以计算2 70 3 21 2 45 2 [3,5,7]

23 得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数” , 我们只要对最小的23 加上[3,5,7] 即可，即

23+105=128 。

例题精讲：

【模块一：带余除法的定义和性质】

【例1】（第五届小学数学报竞赛决赛）用某自然数a去除1992，得到商是46,余数是r，求a和r .

【解析】因为1992是a的46倍还多r ,得到1992 46 43……14,得1992 46 43 14，所以a 43，r 14 .

【巩固】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1 088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．

【解析】（法1）因为甲乙11 32,所以甲乙乙11 32 乙乙12 32 1088；

则乙（1088 32） 12 88 ,甲1088 乙1000.

（法2）将余数先去掉变成整除性问题,利用倍数关系来做：从1 088中减掉32以后, 1056就应当是乙数

的（11 1）倍,所以得到乙数1056 12 88,甲数1088 88 1000.