第二学期高数(下)期末考试试卷及答案
第二学期期末高数(下)考试试卷及答案1
一、 填空题(每空 3 分,共 15 分) 1.设()=?2
2
t x
F
x e dt ,则()F x '=-2
2x xe
.
2.曲面sin cos =?z x y 在点,,??
???
1442ππ处
的切平面方程是--+=210x y z .
3.交换累次积分的次序:
()(),,-+????12
330010
x
dy f x y dx dy f x y dx
=
(),-??
2
302
x
x dx f x y dy
.
4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则:
使得格林公式: ??
??-=+ ?????
???D L Q P dxdy Pdx Qdy x y *
成立的充分条件是:
()(),,和在D上具有一阶连续偏导数
P x y Q x y .
其中L 是D 的取正向曲线;
5.级数
∞
=-∑
1n
n 的收敛域是
(]
,-33.
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)
1.当→0x ,→0y 时,函数
+242
3x y
x y 的极限是
()D
A.等于0;
B. 等于1
3
;
C. 等于1
4
; D. 不存在. 2.函数(),=z
f x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ,
(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()C
^
A.充分必要条件;
B.充分但非必要条件;
C.必要但非充分条件;
D. 既非充分又非必要条件. 3.设()cos sin =+x z
e y x y ,则==10
x y dz
()=B
A.e ;
B. ()+e dx dy ;
C.
()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .
4.若级数
()
∞
=-∑1
1n
n n a x 在=-1x 处收敛,
则此级数在=2x
处()A
A.绝对收敛;
B.条件收敛;
C.发散;
D.收敛性不确定. 5.微分方程
()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()D
)
A. 3x ae ;
B. ()+3x ax b e ;
C.
()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .
三.(8分)设一平面通过点
(),,-312,而且通过
直线
-+==43521
x y z
,求该平面方程. 解:
()(),,,,,--312430A B
(),,∴=-142AB 平行该平面
∴该平面的法向量()()(),,,,,,=?-=--5211428922n ∴所求的平面方程为:()()()----+=83912220x y z
即:---=8922590x
y z
四.(8分)设(),=y
z
f xy e ,其中
(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求??z x 和???2z
x y
.
【
解:令=u
xy ,=y
v e
?=?u z
yf x ()()
??
==++???2y u u uu uv
z yf f y xf e f x y y
五.(8
分)计算对弧长的曲线积分
?L
其中L 是圆周+=2
22x
y R 与直线,==00x y
在第一象限所围区域的边界.
解:=
++123L L L L
其中: 1L :(),+=≥≥22200x y R x y 2L :()=≤≤00x y R
3L : ()=≤≤00y x R
)
∴===????1
2
3
L
L L L
而
Re ==
??1
20
2
R
R L e Rdt π
π
==-??2
01R
y R L e dy e
==-??3
01R
x R L e dx e
故:
()
Re =
+-?21
2
R R L
e π
六、(8分)计算对面积的曲面积分∑?
?++ ??
???423z x y dS ,
其中∑为平面
++=1234
x y z
在第一卦限中的部分.
解:
xy D :≤≤???≤≤-??02
3032
x y x
=
3
∑?
?
∴++
== ??
?????42433xy
D
z x y dS dxdy
-==??
32
3200
x dx <
七.(8分)将函数()=++2
1
43f x x x ,展开成x 的幂级数.
解:()??=-=?
-? ?+++??+1111111
21321613
f x x
x x x , 而
()∞=?=-+∑0
1111212n n n x x , (),-11
()∞
=-?=+∑0111
63
13
n
n n n x x , (),-33 ()()∞
+=??∴=-+ ???∑10
111123n
n
n n f x x , (),-11
八.(8分)求微分方程:
(
)()
+-+-+=42322253330x xy y dx x y xy y dy 的通解.
解:
??==-??263P Q
xy y y x
, ∴原方程为:
()
()??++-+-=??
4223225333x dx y dy xy y dx x y xy dy
@
??
=++-= ???
5
32231332dx d y d x y y x
??=++-= ???
5322313032d x y x y y x
通解为:++-=5
322
31332
x y x y y x C 九.幂级数:()()!!!!
=++++???++???246212462n
x x x x y x n
()(),∈-∞∞x
1.试写出
()()'+y x y x 的和函数;(4分)
2.利用第1问的结果求幂级数()!
∞
=∑202n
n x n 的和函数.(8分)
解:1、()()!!!-'=+++???++???-3521
3521n x x x y x x n (),-∞∞
于是()()!!
'+=++
++???=23
123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令:()()!
∞
==∑202n
n x S x n
}
由1知:()()'+=x S x S x e 且满足:()=01S
通解:()()--=+=+?12
x
x x
x
x S
x e
C e e dx Ce
e 由()=01S ,得:=12C ;故:()()
-=+12
x
x S x e e
十.设函数
()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件
(
)Ω
=
+
???11
t
f t f
dv π
其中Ωt 是由曲线?=?=?2
z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面
与平面=z
t (参数>0t )所围成的空间区域。
1
、将三重积分
)
Ω???
t
f
写成累次积分的形式;
(3分)
<
2、试求函数
()f t 的表达式.(7分)
解:1、旋转曲面方程为:()
=+22
z
t x y
由()
?=+?
?
=??
22z t x y z t ,得:+=2
21x
y
故Ωt 在xoy 面的投影区域为:xy D :+≤2
21x
y
()Ω∴=??????2
21
00t
t
t f
dv d d f dz πρθρρρ
2、由1得:
(
)()
()=
+
-=?1
2011
21f t t f d πρρρρπ
()
()=
+-?1
2021t f d ρρρρ
记:(
)()=-?1
2
01A f d ρρρρ 则:
(
)=
+2f t tA
—
两边乘以:(
)
-2
1t
t ,再在
[],01 上积分得:
()
=+-=+
??122
00
4
21
415
A A t t dt A
π
解得:=
15
44
Aπ
故:(
)=+15
22
f t tπ
第二学期期末高数(下)考试试卷及答案2
三、填空题(每空 3 分,共15 分)
1.曲线
?=-
?
=
?
2
z y
x
,绕z轴旋转一周所得到的
旋转曲面的方程是()
=-++
221
z x y.
2.曲线
()
?
=
?
?
?
?=
?-
?
2
1
1
1
x
y
z
y
在点,,
??
?
??
1
21
2处
…
的法平面方程是-+-=
281610
x y z.
3. 设()
=+
22
z f x y,其中()
f u具有二阶连续导数,
且()
'=
13
f,()
''=
12
f,则
=
=
?
?
2
2
1
x
y
z
x
=14.
4.
级数
∞
=
-
∑
1
n
nα,当
α满足不等式>
1
2
α时收敛.
5.级数
()
∞
=
-
?
∑
1
1
2
n
n
n
x
n的收敛域是
(],-13.
四、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设a 与b 为非零向量,则?=0a b 是()A
A. //a b 的充要条件;
B. ⊥a b 的充要条件;
C.
=a b 的充要条件; D. //a b 的必要但非充分条件.
2.平面--=3360x
y 的位置是()B
*
A.垂直于z 轴;
B.平行于z 轴;
C.平行于xoy 面;
D. 通过z 轴.
3.设函数
(),=?=?≠?0010当时
当时
xy f x y xy ,
则下列说法正确的是()C
A.()lim
,→→00
x y f x y 存在且(),f x y 在点(),00处的
两个偏导数也存在; B.
()lim ,→→00
x y f x y 存在但(),f x y 在点(),00处的
两个偏导数不存在; C.
()lim ,→→00
x y f x y 不存在但(),f x y 在点(),00处的
两个偏导数存在;
、
D.
()lim ,→→00
x y f x y 不存在且(),f x y 在点(),00处的
两个偏导数也不存在;
4.曲线L 为圆周cos sin =??=?33x t
y t
≤≤02t π,
则
()
+?2
2n
L
x
y
ds 等于()A
A.
+?2123n π; B. +?19n π;
C.
?63
n
π; D.
+?+211
321
n n .
5. 设正项级数
∞
=∑1
n n u 收敛,则必有()D
A. lim +→∞=<11n n n
u u ρ;
B. lim =>1n ρ;
C.
lim →∞
=≠0n n u c ; D. lim →∞
=0n n u .
三.(8分)在平面++=1x
y z 上求一直线,
/
使得它与直线=??=-?1
1
y z 垂直相交。
解:方法1:
直线=??=-?11
y z 的方向向量为(),,100
它与平面++=1x
y z 的交点为(),,-111
所求直线通过这一点, 所求直线的方向向量为:
()()(),,,,,,=?=-111100011S
故所求的直线方程为:--+==-111
011
x y z 方法2:直线=??=-?1
1
y z 的方向向量为(),,100
它与平面++=1x
y z 的交点为(),,-111
"
所求直线通过这一点,
过交点(),,-111且与直线=??=-?1
1
y z 垂直的平面方程为:
()()()-+-++=101010x y z
即:=1x
故所求的直线方程为:++=??=?1
1x y z x
或:+=??=?0
1
y z x
四.(8分)设(,)z
z x y =是由方程 330z xz y -+=
所确定的隐函数, 求:
01
x y z x ==??,01
x y z y
==??和20
1
x y z
x y
==???, 解:设()
,,=-+3
2F
x y z z xz y ,则: -
=-2x F z ,=1y F ,
=-232z F z x ,
当=0x
,=1y 时=-1z ,
(
)====?==-?-2
00
1
1
22
332x x y y z z x
z x , ()====?=-=-?-2001
1
11
332x x y y z
y
z x
,
()()====?+==??-2223
001
1
6429
32x x y y z
z x x y
z x ,
五.(8分)计算曲线积分
()()
++-?2221y
y
L
xe dx x e
y dy
其中L 为从(),00O 经()
-+=2
224x y 的上半圆到(),22A 的一弧段。
解:由
??==??22y P Q xe y x
知与路经无关。 取(),20B
,作新路经OBA 折线,
`
于是:
()()
++-?2221y
y
L
xe dx x e
y dy
()()
=
+
=++-?
?
??2
2
20014y OB
BA
x dx e y dy
()()
=+-=444242e e
六、(8分)利用高斯公式计算曲面积分
∑
++??222
xz dydz x ydzdx y zdxdy , 其中∑为球面:++=2
222x y z a 的上半部分的上侧.
解: 作
∑0:=0z 取下侧.
则
∑
++??
222
xz dydz x ydzdx y zdxdy ∑+∑∑=-????
而
()
∑+∑Ω
=++??
???0
222z x y dv
sin ==??
?222
5
2
00
025
a
d d r r dr a π
π
θ??π
∑=??
·
故:
∑
++??2
22
xz
dydz x ydzdx y zdxdy ∑+∑∑=
-=????
525
a π
七.(8分)将函数
()=++21
43
f x x x ,
展开成
()-1x 的幂级数.
解:
()??
=-= ?++??
111213f x x x
=---????++ ? ?
???
?11
11418124x x
而:
()
()
∞=-=--??+ ?
??
∑0111
1142412n
n
n
n x x
()-≤≤13x
()
()
∞
=-=--??+ ?
??
∑0111
1184814n
n
n
n x x
()-≤≤35x
()()
()∞
++=?
?=
--- ???
∑2
230
1
1112
2n n
n n n f x x ()-≤≤13x 八.(8分)求微分方程:''-=4x y y xe 的通解.
解:2
1210.1, 1.r
r r -=∴==-
;
12.x x Y C e C e -∴=+
1λ=是特征方程的单根, 所以设 ()*.x y x Ax B e =+
代入原方程得:
()1, 1.*1.x A B y x x e ==-∴=-
故原方程的通解为:
()
212.x x x y C e C e x x e -=++-
九. (12
分)求由曲面=z
和=--226z
x y
所围成立体的体积.
解:
Ω
:?--≤≤?
?≤≤???
≤≤??
22602
02xy x y z D ρθπ
-Ω
∴===??????2
22
600323
V
dv d d dz πρρ
θρρπ
十. (10分)设
()=y f x 是第一象限内连接点(),01A ,
~
(),10B 的一段连续曲线,(),M x y 为该曲线上任意
一点,点C 为M 在x 轴上的投影,
O 为坐标原点。若梯形OCMA 的面积与
曲边三角形CBM 的面积之和为
+61
63
x 。试建立()f x 所满足的微分方程,并求()f x 的表达式。
解:梯形OCMA 的面积为:()+???
?1
12x f x
曲边三角形CBM 的面积为:
()?1
x f t dt
根据题意得:()()++=+?????31
111263
x x x f x f t dt 两边关于x 求导得: ()()()'++-=????2
1111222
f x xf x f x x 即: ()()-'-=211
x f x f x x x
故:
()?
?
-??-=+=++ ? ???
?112211dx dx x
x x f x e
e dx C x Cx x
由:
()=10f ,得:=-2C ,
故:()()
=-2
1f x x
第二学期高数(下)期末考试试卷及答案3 一、 填空题(每空 3 分,共 15 分)
1. 已知向量()1,1,4a
=-,()3,4,0b =,则以a ,b
为边的平行四边形的面积等于.
2. 曲面sin cos z
x y =在点1,,442ππ??
???
处
|
的切平面方程是
210
x y z --+=.
3. 交换积分次序
()2
2
0,x dx f x y dy =
??()20
,y
dy f x y dx
??.
4. 对于级数11
n
n a
∞
=∑(a >0),当a 满足条件
1
a >时收敛.
5. 函数1
2y x
=-展开成x 的幂级数
为
()
10
222n n n x x ∞
+=-<<∑
.
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 ( A )
(A )通过
y 轴 (B )通过x 轴 (C )垂直于y 轴 (D )平行于xoz 平面
2. 函数(),z
f x y =在点()00,x y 处具有偏导数
>
()00,x f x y ',
()
00,y f x y ',是函数在该点可微分的
(
C )
(A )充要条件 (B )充分但非必要条件
(C )必要但非充分条件 (D )既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z
e y x y =+,则10
x y dz ===( B )
(A )e (B )()e dx dy +
(C )1
()e
dx dy -+ (D )()x e dx dy +
4. 若级数
()
1
1n
n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛,
则此级数在2x =处( D )
(A )敛散性不确定 (B )发散 (C )条件收敛 (D )绝对收敛 %
5. 微分方程
y xy x '-=的通解是( D )
(A )
212
1x y e =- (B )212
1x y e
-=- (C )
212
x y Ce
-= (D )
212
1x y Ce
=-
三、(本题满分8分) 设平面通过点
()3,1,2-,而且通过直线
43521
x y z
-+==,求该平面方程. 解: 由于平面通过点()3,1,2A
-及直线上的点()4,3,0B -,
因而向量()1,4,2AB
→
=-平行于该平面。
该平面的法向量为: (5,2,1)(1,4,2)(8,9,22).n =?-=--
则平面方程为:
8(4)9(3)22(0)0.x y z --+--= /
或:
8(3)9(1)22(2)0.
x y z ----+=
即: 8922590.x y z ---=
四、(本题满分8分) 设(),z
f xy x y =+,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,
试求z x ??和2z x y
???.
解:
12z
f y f x
?=+?, ()212z f y f x y y
??
=+=???
()111212122f x f y f f x f =++++=
()1112122xyf x y f f f =++++
五、(本题满分8分) :
计算三重积分
y zdxdydz Ω
=???,
其中
(){}
,,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤.
解:
2
21
12
1
1
1
12
32
z
zdxdydz dx dy
zdz -Ω
===?????
?
六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?,
其中L 是圆周2
2
2x y R +=在第一象限的部分.
解法一:
L =?
0Re arcsin Re 2R
R
R
R
R R
x e
R
π
=
==?
解法二:
L =?
R
R
L
e ds e L =
=?
(L 的弧长)Re 2
R π
=
!
解法三: 令cos x R θ=,sin y R θ=
,02
π
θ≤≤
,
L =?
2
Re 2
R
R e Rd π
π
θ=
=
?
七、(本题满分9分) 计算曲面积分
3xdydz zdzdx dxdy ∑
++??,其中∑是柱面
221x y +=与平面0z =和1z =所围成的边界曲面外侧.
解:
P x =,Q z =,3R =,
由高斯公式:
3xdydz zdzdx dxdy ∑
++=??
P Q R dv dv x y z πΩ
Ω
??
???=
++== ??????
???
???
)
八、(本题满分9分)
求幂级数
11
n n nx ∞
-=∑的收敛域及和函数.
解: 收敛半径:1
lim
1n
n n a R a →∞+== 易判断当1x
=±时,原级数发散。
于是收敛域为
()1,1-
()()1
2
1
1111n n n n x s x nx x x x ∞
∞-==''
????=
=== ? ?-?
???-∑∑
九、(本题满分9分) 求微分方程
4x y y e ''-=的通解.
解:特征方程为:2
40r -=
特征根为:2r
=,2r =-
,
40y y ''-=的通解为:2212x x
Y C e C e -=+
设原方程的一个特解为:
x y Ae *=,
()4x
x
A A e
e
-=
31A -=
13
A =-
∴原方程的一个特解为:13
x
y e *
=-
故原方程的一个通解为:221213
x
x
x
y Y y C e
C e
e *-=+=+- 十、(本题满分11分)
设L 是上半平面
()0y >内的有向分段光滑曲线,
其起点为()1,2,终点为()2,3,
记2221L
x I xy dx x y dy y y ??
??=++- ? ????
?? 1.证明曲线积分I 与路径L 无关;
/
2.求I 的值.
证明1:因为上半平面G 是单连通域,在G 内:
()2
1,P x y xy y =+,()2
2,x Q x y x y y
=-
有连续偏导数,且:
212P xy y y ?=-?,212Q xy x y
?=-?,P Q y x ??=
??。 所以曲线积分I 与路径L 无关。 解2: 设()1,2A
,()2,3B ,()2,2C ,由于曲线积分I 与
路径L 无关,故可取折线路径:A C
B →→。
2221L x I xy dx x y dy y y ??
??=++-= ? ??????
2221AC x xy dx x y dy y y ??
??=++-+ ? ??????
2221CB x xy dx x y dy y y ??
??+++-= ? ????
??
(
2
3212
12974426x dx y dy y ???
?=++-= ? ????
???
东北大学高等数学(下)期末考试试卷
.
一.选择题(4分?6=24分)
1、设c b a ,,为非零向量,则c b a ??)( =[ ].
(A) )(c b a ?? (B) c a b ??)( (C) )(b a c ?? (D) )(a b c ?? .
#
2
.
][
),(),(),(),(0000处在可微分的充分条件是在点函数y x y x f y x y x f z =.
两个偏导数连续)(A 两个偏导数存在)(B
数存在任何方向的方向导)(C 函数连续且存在偏导数)D (
3.设x y x D 2:22≤+, ),(y x f 在D 上连续. σd y x f D
??),(=[ ].
(A)
rdr r r f d ?
?
θπθθθsin 20
)sin ,cos ( (B)
rdr r r f d ?
?
θπθθθcos 20
20
)sin ,cos (
(C)
rdr r r f d ?
?
-
θπ
πθθθcos 20
22
)sin ,cos ( (D)
rdr r r f d ?
?
-
θπ
πθθθsin 20
22
)sin ,cos (
4若级数∑∞
=1
n n u 与∑∞
=1
n n v 都发散,则必有[ ].
(A)
)(1n n n
v u
+∑∞
= 发散 (B)
)(1n n n
v u
+∑∞
= 发散
(C)
)(21
2n
n n
v u
+∑∞
= 收敛 (D)
)(1
n n n
v u
+∑∞
=收敛
二、填空题(4分?6=24分)
¥
1.直线
3
1221z
y x =-+=-与平面062=++-z y x 的交点是____________.
2.用钢板做体积为38m 的有盖长方体水箱.最少用料S=_____2m . 3.二次积分??-1
1
2
x
y dy e
dx 的值是_____________.
4.设∑为球面
)
0(2222>=++a a z y x ,则
??∑
+dS y x 2
)
(=__________________.
5.小山高度为2225y x z --=.在)4
3
,1,23(--处登山,最陡方向是
_____________.
6.设)(x f 为周期为π2的周期函数,它在),[ππ-的表达式为
??
?<≤<≤--=π
πx x x x f 0,0,1)(,
若)(x f 的傅立叶级数的和函数为)(x s ,则
)2
()(π
πs s +=________________.
三、(10分)求过点)3,2,1(-垂直于直线
6
54z
y x ==而与平面010987=+++z y x 的平行的直线方程.
高等数学下试题及参考答案
高等数学下试题及参考 答案 内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)
华南农业大学期末考试试卷(A 卷 ) 2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学A Ⅱ 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =,(4,1,10)b =-,c b a λ=-,且a c ⊥,则λ= 。 3.经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4.设yz u x =,则du = 。 5.级数11 (1)n p n n ∞ =-∑,当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.微分方程2()'xy x y y +=的通解是 ( ) A .2x y Ce = B .22x y Ce = C .22y y e Cx = D .2y e Cxy =
2 .求极限(,)(0,0)lim x y →= ( ) A .14 B .12- C .14- D .12 3.直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 ( ) A .直线L 平行于平面π B .直线L 在平面π上 C .直线L 垂直于平面π D .直线L 与平面π斜交 4.D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ,则D σ= ( ) A .33()2 b a π- B .332()3 b a π- C .334()3 b a π - D . 3 33()2 b a π- 5.下列级数收敛的是 ( ) A .11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B .2111n n n ∞=++∑ C .1 1 21n n ∞ =-∑ D .n ∞ = 三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =,2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ,其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
武汉大学大一上学期高数期末考试题
高数期末考试 一、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 2. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 3. = -+? 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共 16分) 4. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 5. ) ( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 6. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1) -二阶可导且'>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 7. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )2 2x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 8. 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. . 求,, 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数)(x f 连续, =?1 ()()g x f xt dt ,且 →=0 ()lim x f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在 =0x 处的连续性. 13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1(1)9y 的 解. 四、 解答题(本大题10分) 14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01, 且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵 坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分) 15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线 x y ln =及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所 得旋转体的体积V . 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分) 16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的 [,]∈01q ,1 ()()≥??q f x d x q f x dx . 17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且 )(0 =?π x d x f , cos )(0 =? π dx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个 不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设 ?= x dx x f x F 0 )()()
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题(共21分 每小题3分) 1.曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z . 2.直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π. 3.设函数22232),,(z y x z y x f ++=,则=)1,1,1(grad f }6,4,2{. 4.设级数∑∞=1n n u 收敛,则=∞→n n u lim 0. 5.设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +. 6.全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =. 7.写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*. 二、解答题(共18分 每小题6分) 1.求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程. 解:设所求平面的法向量为n ,则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2.将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分,其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域. 解: πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3.计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22,其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题(共35分 每题7分) 1.设v ue z =,而22y x u +=,xy v =,求z d . 解:)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2.函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定,求y z x z ????,. 解:令xyz e z y x F z -=),,(, (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??, xy e xz F F y z z z y -=-=??. (7分) 3.计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ,其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段. 解:添加有向辅助线段OA ,有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ,根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4.设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关,其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ,
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .
2018最新大一高等数学期末考试卷(精编试题)及答案详解
大一高等数学期末考试卷(精编试题)及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )2 2x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABI
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答 案) 一、解答题 1.建立以点(1,3,-2)为中心,且通过坐标原点的球面方程. 解:球的半径为R == 设(x ,y ,z )为球面上任一点,则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14 即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程. 2.求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解: πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x =+== ; 解: 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -??????==+=-+?????? ?? 以π,1x y ==代入上式得π1c =-, 故所求特解为 1(π1cos )y x x =--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x ='+-== . 解:2 2323d 3ln x x x x c x --=--+? 2 2 223323d 23 +3ln d 3ln e e e d e d x x x x x x x x x x y x c x c -------??????∴==++???????? 2223311e .e e 22x x x x x c c ----????=?=++ ? ????? 以x =1,y =0代入上式,得12e c =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -??=- ??? . 3.设质点受力作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b ),求力所做的功. 解:依题意知 F =kxi +kyj ,且L :cos sin x a t y a t =??=?,t :0→π2
大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)
大学高等数学(微积分)<下>期末考试卷 学院: 专业: 行政班: 姓名: 学号: 座位号: ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末 的括号中,本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =,则级数 1 n n a ∞ =∑( ); A.一定收敛,其和为零 B. 一定收敛,但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛,也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----,与AB 方向相同的单位向量是( ); A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ,则dy dx =( ); A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续,则其原函数()F x ( ) A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在
二、填空题(将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________(填收敛或者发散)。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ,则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时,()f x 和()g x 是等价无穷小,则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题,每小题7分,共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>,求2'()f x dx ?。
高数2-期末试题及答案
北京理工大学珠海学院 2010 ~ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A (答案) 适用年级专业:2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一.选择填空题(每小题3分,共18分) 1.设向量 a =(2,0,-2),b = (3,-4,0),则a ?b = 分析:a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = (-8,-6,-8) 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析:u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点(1,-1,,2)处的切平面方程为 分析:由方程可得,2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ,则可知法向量n =( Fx, Fy, Fz ); 则有 Fx = 2x , Fy = 4y , Fz = 6z ,则过点(1,-1,,2)处的法向量为 n =(2,-4,,12) 因此,其切平面方程为:2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ,即 26150x y z -+-= 4.设D :y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析:画出平面区域D (图自画),观图可得, 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L :点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析:依题意可知:L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧,则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示:级数 1 n n u ∞ =∑发散,则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题(每小题6分,共36分)
大学高等数学期末考试题及答案详解(计算题)
大学数学期末高等数学试卷(计算题) 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) .求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) .求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求.x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) . 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) .求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) .,求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求.y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题
高等数学下册期末考试题及答案
高等数学(下册)考试试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++?? ∑ ds y x )12 2( 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续; (B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C ) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时,是无穷小; (D )0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于( ) (A )4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ;(B )???20 1 2 sin π π??θdr r d d ;
高等数学下册期末考试
高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题 大题一二三四五六七 小题 1 2 3 4 5 得分 一、填空题:(本题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分,把答案直接填在题中 横线上) 1 、已知向量、满足,,,则. 2 、设,则. 3 、曲面在点处的切平面方程为. 4 、设是周期为的周期函数,它在上的表达式为,则 的傅里叶级数 在处收敛于,在处收敛于. 5 、设为连接与两点的直线段,则. ※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题 纸写上:姓名、学号、班级. 二、解下列各题:(本题共 5 小题,每小题 7 分,满分 35 分) 1 、求曲线在点处的切线及法平面方程. 2 、求由曲面及所围成的立体体积. 3 、判定级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4 、设,其中具有二阶连续偏导数,求.
5 、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部. 三、(本题满分 9 分)抛物面被平面截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值. (本题满分 10 分) 计算曲线积分, 其中为常数,为由点至原点的上半圆周. 四、(本题满分 10 分) 求幂级数的收敛域及和函数. 五、(本题满分 10 分) 计算曲面积分, 其中为曲面的上侧. 六、(本题满分 6 分) 设为连续函数,,,其中是由曲 面与所围成的闭区域,求. ------------------------------------- 备注:①考试时间为 2 小时; ②考试结束时,请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交;不得带走试卷。 高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题【 A 卷】 参考解答与评分标准 2009 年 6 月
大一第二学期高数期末考试题(含答案)讲课稿
大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无 穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x , 则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. . 求,, 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续, =?1 ()()g x f xt dt ,且→=0() lim x f x A x ,A 为常数. 求'() g x
2016年下半年《高等数学(下)》期末考试试卷及答案
2016年下半年《高等数学(下)》期末考试试卷及答案 (河南工程学院) 1. ( 单选题) 若函数 f(x) 在点 x0 处可导且,则曲线 y=f(x) 在 点( x 0, f(x0) )处的法线的斜率等于()(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 2. ( 单选题) 无穷小量是(本题 3.0分) A、比0稍大一点的一个数 B、一个很小很小的数 C、以0为极限的一个变量 D、数0 3. ( 单选题) 设函数,则其间断点的个数是()。 (本题3.0分) A、0 B、 1
C、 2 D、 3 4. ( 单选题) 设则(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 5. ( 单选题) 极限 (本题3.0分) A、-2 B、0 C、 2 D、 1 6. ( 单选题) 设则(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 7. ( 单选题) 设函数f(x)=(x+1)Cosx,则f(0)=( ).(本题3.0分)
A、-1 B、0 C、 1 D、无定义 8. ( 单选题) 若,则f(x)=()。(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 9. ( 单选题) 微分方程是一阶线性齐次方程。 (本题3.0分) A、正确 B、错误 10. ( 单选题) 曲线在点处的切线方程为(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 11. ( 单选题) 极限(本题3.0分)
A、 1 B、-1 C、0 D、不存在 12. ( 单选题) 极限(本题3.0分) A、-2 B、0 C、 2 D、 1 13. ( 单选题) 设,则( )。 (本题3.0分) A、 B、6x C、 6 D、0 14. ( 单选题) 极限 (本题3.0分)
大学高等数学高数期末考试试卷及答案
大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题(每题3分,共30分) 1、设函数3()1f x x =-,则()f x -=() 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A .3x < B .3x ≤ C .4x < D .4x ≤ 3、()中的两个函数相同. A .()f x x =,()g t =.2()lg f x x =,()2lg g x x = C .21()1x f x x -=+,()1g x x =- D .sin 2()cos x f x x =,()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A .3sin()4x x - B .1010x x -+ C .2cos x x - D . sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=() A .1 B .2e C .1e - D .∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是() 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?,则在0=x 处,)(x f () A .连续 B .左、右极限不存在 C .极限存在但不连续 D .左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=,则0()f x '=() A .2 B .3 C . 23D .23 - 9、设()x f x e =,则[(sin )]f x '=()。 A .x e B .sin x e C .sin cos x x e D .sin sin x x e
关于大学高等数学期末考试试题与答案
关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020
(一)填空题(每题2分,共16分) 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ,若0lim ()x f x →存在,则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=,那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ,在(),-∞+∞内连续,则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . (二)单项选择(每题2分,共12分。在每小题给出的选项中,选出正确答案) 1、下列各式中,不成立的是( )。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中,( )为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的( )条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件,则ξ=( )。 A 、 B 、
5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<,()0f x ''>,则曲线在此区间内 ( )。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是( ). A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? (三)计算题(每题7分,共 56分) 1、求下列极限 (1 )2x → (2)lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 (1)x x y cos ln ln sin +=,求dy ; (2)2tan (1)x y x =+,求 dx dy ; (3)ln(12)y x =+,求(0)y '' 3、计算下列积分 (1 ); (2 ); (3)10arctan x xdx ?. (四)应用题(每题8分,共16分) 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题(每空2分,共16分) 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x
高数 下 期末考试试卷及答案
2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(A ) 注意: 1、本试卷共 3 页; 2、考试时间110分钟; 3、姓名、学号必须写在指定地方 一、单项选择题(8个小题,每小题2分,共16分)将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中. 1.已知a 与b 都是非零向量,且满足-=+a b a b ,则必有( ). (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3.下列函数中,d f f =?的是( ). (A )(,)f x y xy = (B )00(,),f x y x y c c =++为实数 (C )(,)f x y = (D )(,)e x y f x y += 4.函数(,)(3)f x y xy x y =--,原点(0,0)是(,)f x y 的( ). (A )驻点与极值点 (B )驻点,非极值点 (C )极值点,非驻点 (D )非驻点,非极值点 5.设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤,若1d 4D x y I σ+= ??,2D I σ=,3D I σ=,则有( ). (A )123I I I << (B )123I I I >> (C )213I I I << (D )312I I I << 6.设椭圆L : 13 42 2=+y x 的周长为l ,则22(34)d L x y s +=?( ). (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7.设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数,0()n a n →→+∞,则( ). (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( ). (A )若级数1n n a ∞ =∑发散,则级数21n n a ∞ =∑也发散 (B )若级数21n n a ∞ =∑发散,则级数1n n a ∞=∑也发散 (C )若级数 21 n n a ∞ =∑收敛,则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛 (D )若级数 1 ||n n a ∞ =∑收敛,则级数2 1 n n a ∞ =∑也收敛 二、填空题(7个小题,每小题2分,共14分). 1.直线34260 30 x y z x y z a -+-=?? +-+=?与z 轴相交,则常数a 为 . 2.设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3.函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 4.设2 2 :2D x y x +≤,二重积分 ()d D x y σ-??= . 5.设()f x 是连续函数,22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--,22()d f x y v Ω +???在柱面坐标系下 的三次积分为 . 6.幂级数11 (1)!n n n x n ∞-=-∑ 的收敛域是 . 7.将函数2 1,0 ()1,0x f x x x ππ--<≤??=?+<≤?? 以2π为周期延拓后,其傅里叶级数在点x π=处收敛 于 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 …………………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
学年第二学期期末考试试卷 课程名称:《高等数学》 试卷类别:A 卷 考试形式:闭卷 考试时间:120 分钟 适用层次: 适用专业; 阅卷须知:阅卷用红色墨水笔书写,小题得分写在每小题题号前,用正分表示,不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内;考试课程应集体阅卷,流水作业。 课程名称:高等数学A (考试性质:期末统考(A 卷) 一、单选题 (共15分,每小题3分) 1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( ) A .(,)f x y 在P 连续 B .(,)f x y 在P 可微 C . 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D . 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2.若x y z ln =,则dz 等于( ). ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3.设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ). 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4. 4.若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ). A . 条件收敛 B . 绝对收敛 C . 发散 D . 敛散性不能确定 5.曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1) 二、填空题(共15分,每小题3分) 系(院):——————专业:——————年级及班级:—————姓名:——————学号:————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
高等数学(下)期末复习题(附答案)
《高等数学(二)》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行,且满足18-=?b a ,则=b ( ) (A ) )4,2,4(-- (B )(24,4)--, (C ) (4,2,4)- (D )(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中,方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) (A )直线 (B) 抛物线 (C ) 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ,其中区域D 由222x y a +=所围成,则I =( ) (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、 设的弧段为:2 3 0,1≤ ≤=y x L ,则=? L ds 6 ( ) (A )9 (B) 6 (C )3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为 ( ) (A ) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是( ) (A )小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数,则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) (A )??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) (A )抛物面 (B )柱面 (C )圆锥面 (D ) 椭球面