流体力学计算题及答案

例1：用复式水银压差计测量密封容器内水面的相对压强，如图所示。已知：水面高程z 0=3m,压差计各水银面的高程分别为z 1=0.03m, z 2=0.18m, z 3=0.04m, z 4=0.20m, 水银密度

3/13600m kg ρ='，水的密度3/1000m kg ρ= 。试求水面的相对压强p 0。

解：

a

p z z γz z γz z γp =-----+)(')(')(3412100

)()('1034120z z γz z z z γp ---+-=∴

例2：用如图所示的倾斜微压计测量两条同高程水管的压差。该微压计是一个水平倾角为θ的Π形管。已知测压计两侧斜液柱读数的差值为L=30mm ，倾角θ=30∘，试求压强差p 1 – p 2 。

解： 224131)()(p z z γz z γp =-+-- θL γz z γp p sin )(4321=-=-∴

例3：用复式压差计测量两条气体管道的压差（如图所示）。两个U 形管的工作液体为水银，密度为ρ2 ，其连接管充以酒精，密度为ρ1 。如果水银面的高度读数为z 1 、 z 2 、 z 3、

z 4 ，试求压强差p A – p B 。

解： 点1 的压强 ：p A )(21222z z γp p A --=的压强：点

)()(33211223z z γz z γp p A -+--=的压强：点

B A p z z γz z γz z γp p =---+--=)()()(3423211224 )()(32134122z z γz z z z γp p B A ---+-=-∴

例4：用离心铸造机铸造车轮。求A-A 面上的液体总压力。

解： C gz r p +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2

22

1ωρ a p gz r p +⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=∴2

22

1ωρ

在界面A-A 上：Z = - h

a p gh r p +⎪⎭

⎫

⎝⎛+=∴2221ωρ⎪⎭

⎫

⎝⎛+=-=∴

⎰

2420

218122)(ghR R rdr p p F a R

ωπρπ

例5：在一直径d

= 300mm ，而高度H

=

500mm 的园柱形容器中注水至高度h 1 = 300mm ，使容器绕垂直轴作等角速度旋转。如图所示。

(1)试确定使水之自由液面正好达到容器边缘时的转数n 1；

(2)求抛物面顶端碰到容器底时的转数n 2，此时容器停止旋转后水面高度h 2将为多少？ 解：(1)由于容器旋转前后，水的体积不变(亦即容器中空气的体积不变)，有：

1421

4

221ππd L d H h ⋅=-() ∴=-==L H h mm m 2400041().

在xoz 坐标系中，自由表面1的方程： g

r z 22

20ω=

对于容器边缘上的点，有：

m L z m d

r 4.015.02

0====

)/(67.1815.04

.08.9222

20

s rad r gz =⨯⨯==

∴ω

∵ωπ=260n / ∴=

=⨯=n r 1602601867

21783ωππ

..(/min) (2)当抛物面顶端碰到容器底部时，这时原容器中的水将被甩出一部分，液面为图中2

图

所指。在'''x o z 坐标系中：

自由表面2的方程： g

r z 22

20

ω'='

当

m H z m d

r 5.0,15.02

=='==

时 )/(87.2015.05

.08.9222

2

0s rad r z g =⨯⨯='=

'ω

min)/(3.199287

.20602602r π

πωn =⨯='=

∴

这时，有： 14214

22

2ππd H d H h ⋅=-() mm H

h H

h H 2502

2

22==

∴

=

-∴

例6：已知：一块平板宽为 B ，长为L,倾角，顶端与水面平齐。求：总压力及作用点。

解：总压力： LB θ

L γA h γF c 2

sin ⋅== 压力中心D ：

方法一：dA θy γy ydF dM sin ==

3

sin sin sin 3

2

2

L B θγBdy y θγdA y θγM L

A

===⎰

⎰

D Fy M = L F M y D 3

2/=

=∴ 方法二： 6

22

12123

L

L BL L BL L A y J y y c cx c D +=+=+=

例7：如图，已知一平板，长L,宽B,安装于斜壁面上，可绕A 转动。已知L,B,L 1,θ。求：启动平板闸门所需的提升力F 。 解：

BL θL γf sin 2

1

1=

BL θL γf sin 12=2

32cos 21L

f L f FL ⋅+⋅≥∴θ

⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥

∴

21213

2

cos 1

f f F θ

例8：平板A B,可绕A 转动。长L=2m,宽b=1m,θ=60°，H 1=1.2m,H 2=3m 为保证平板不能自

转，求自重G 。解： N θH b H γ

F 8153sin 2111== N bL θL γF 169862

sin 2== N

bL θL H γF 24870)sin (23=-=

0232sin 31cos 23211≥-⋅-⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-+L F L F θH L F θL G

N

G 69954≥∴

例9：与水平面成45°倾角的矩形闸门AB (图1)，宽1m ，左侧水深h 1 = 3m ，右侧水深h 2 = 2m ，试用图解法求作用在闸门上的静水总压力的大小和作用点。

解：如图2所示，作出闸门两侧的静水压强分布图，并将其合成。

AE h h m EB h m =

-=====122451

451414452

452828sin sin .()

sin sin .()

°°

°°

)

(943.0414.13

2

32)(93.61414.1)23(8.92

1

)(2112111m AE AD KN b AE h h b P =⨯===⨯⨯-⨯⨯=⋅⋅-=

⋅Ω=γ

图1