信息光学习题答案
信息光学习题答案
第一章 线性系统分析
简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dx
d
x g =
（2）()();?=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2
?
∞
∞
--=
αααd x h f x g
（5）
()()απξααd j f ?∞
∞
--2exp
解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=??
? ??π
证明：左边＝∑∑∑∞
-∞
=∞-∞=∞-∞=-=???
???-=??? ??-=??? ??n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ
，
∑∑∑∑∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=∞
-∞=∞
-∞=∞
-∞
=∞-∞
=--+-=
-+-=-+-=
+=n n
n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )
()
1()()
()exp()()
()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边
当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞
-∞
=-n n x )2(2δ
所以当n 为偶数时，左右两边相等。
证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式
0)(,)
()
()]([1
≠''-=∑
=i n
i i i x h x h x x x h δδ
式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。于是
)()
()(sin x comb n x x n =-=∑∞
-∞
=π
δπ
ππδ
计算图题所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。当-1≤x ≤0时，如图题(a)所示，
；
?
+-+=
-+-=
x
x x d x x g 10
36
12131)1)(1()(ααα
图题
当0 < x ≤1时，如图题(b)所示， ?
+-=
-+-=
1
36
12131)1)(1()(x
x x d x x g ααα 即 ????
?????≤<+-≤≤--+=其它
,010,
612
1
3101,6121
31)(33x x x x x x x g 计算下列一维卷积。 （1）???
??-*-21)32(x rect x δ （2）??
? ??-*??? ??+2121x rect x rect （3）)()(x rect x comb * 解：（1）??
?
??-=??? ??-*??? ??-=???
??-*-25.22121232121)32(x rect x rect x x rect x δδ （2）设卷积为g(x)，当x ≤0时，如图题(a)所示，
》
2)(2
+==
?
+x d x g x α
当0 < x 时，如图题(b)所示
图题
x d x g x
-==?2)(2
α
?????>-<+=0,2
10
,212)(x x
x x
x g
即 ??
?
??∧=22)(x x g （3）1)()(=*x rect x comb
已知)ex p(2x π-的傅立叶变换为)ex p(2
πξ-，试求 （1）(
){}?ex p 2
=-?x
（2）(){}
?2/ex p 22
=-?σx
…
解：设ξππ==z x y ,
即 {
}
)ex p()ex p(22πξπ-=-?y
由坐标缩放性质{}??
?
??=
?b a F ab by ax f ηξ,1),( 得 （1）(){}{}
)ex p()ex p(/ex p(ex p 2222
2
ξπππππ-=-=-?=-?z y
x
（2）(
){}(){}2
2
2
2
2/ex p 2/ex p πσ
σ
y
x -?=-?
)2ex p(2)2ex p(22222ξπσσππσσπ-=-=z
计算积分.（1）()?
∞
∞
-=?sin 4
dx x c
（2）()?∞
∞
-=?cos sin 2xdx x c π
解：应用广义巴塞伐定理可得
（1）3
2
)1()1()()()(sin )(sin 1
2
1
2
2
2=-++=ΛΛ=
?
???
-∞
∞
-∞
∞
-ξξξξξξξd d d dx x c x c
（2）????????? ??
-Λ+??? ??+Λ=???∞∞
-∞∞-∞
∞-ξξδξξξδξπd d xdx x c 21)(21)(21cos )(sin 2
2
1212121=?????
???? ??Λ+??? ??-Λ=
【
应用卷积定理求()()()x c x c x f 2sin sin =的傅里叶变换. 解：{}{}{}??
?
??*=
?*?=?2)(21)2(sin )(sin )2(sin )(sin ξξrect rect x c x c x c x c 当2
1
23-<≤-
ξ时，如图题(a)所示， ξξξ+==?+-2
321)(21
1du G
当2
1
21<≤-
ξ时，如图题(b)所示， 121)(21
2
1==?+
-ξξξdu G
当
2
3
21<≤ξ时，如图题(c)所示， ξξξ-==?-2
3
21)(121du G 2G(ξ)的图形如图题(d)所示，由图可知 ??
? ??∧-??? ??∧=
2/1412/343)(ξξξG *
图题 设()()
x x f β-=exp ，0>β，求 (){}()?∞
∞
-==???dx x f x f
解：{
}??
∞∞
---+-=
-?0
)2ex p()ex p()2ex p()ex p()ex p(dx x j x dx x j x x πξβπξββ
β
πξβββπξββξ2
)2(2)exp()2(20
2
22
2
=
+=
-+==∞
∞
-?dx x
设线性平移不变系统的原点响应为()()()x step x x h -=ex p ，试计算系统对阶跃函数
()x step 的响应.
解：由阶跃函数定义
???<>=0
,
00,1)(x x x step 得
线性平移不变系统的原点响应为 {
()()()()0,
ex p ex p >-=-=x x x step x x h
所以系统对解阶跃函数()x step 的响应为 ?
∞
>--=--=
*=0
0),ex p(1)](ex p[)()()(x x d x x h x step x g αα
有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为()()x c x h sin 1=和
()()x c x h 3sin 2=.试计算各自对输入函数()x x f π2cos =的响应()x g 1和()x g 2.
解：
@
已知一平面波的复振幅表达式为
)]432(exp[),,(z y x j A z y x U +-= 试计算其波长λ以及沿z y x ,,方向的空间频率。
解：设平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式
)]cos cos cos (exp[)exp(),,(γβαz y x jk a j a z y x U ++=?= 由题可知，4cos ,3cos ,
2cos =-==γβαk k k
又因为1cos cos cos 2
22=++γβα 所以29=
k
；
波长为 29
22ππλ==
k
沿z y x ,,方向的空间频率为
π
λγζπλ
β
ηπ
λ
α
ξ2
cos ,23cos ,1
cos ==-
==
=
=
单色平面波的复振幅表达式为
()???
??????
??+
+
=z y x j A z y x U 143
14
214
1exp ,, 求此波在传播方向的空间频率以及在z y x ,,方向的空间频率. 解：设单色平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式
)]cos cos cos (exp[)exp(),,(γβαz y x jk a j a z y x U ++=?=
由题可知，14
3cos ,14
2cos ,14
1cos =
=
=
γβαk k k
又因为1cos cos cos 2
2
2=++γβα 所以1=k
^
波长为
ππ
λ22==
k
沿z y x ,,方向的空间频率为 14
23cos ,14
1
cos ,14
21
cos πλ
γ
ζπλ
β
ηπλ
α
ξ=
=
=
=
=
=
第三章 光学成像系统的传递函数
参看图，在推导相干成像系统点扩散函数式时，对于积分号前的相位因子
()
???
????
?????
??+≈?
?????+22
20202002exp 2exp M y x d k j y x d k j i i 试问：（1）物平面上半径多大时，相位因子
()??
????+202002exp y x d k j
相对于它在原点之值正好改变π弧度
（2）设光瞳函数是一个半径为a 的圆，那么在物平面上相应h 的第一个零点的半径是多少 `
（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a , λ和d o 之间存在什么关系时可以弃去相位因子
()??
????+202002exp y x d k j 解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点相位差为π的条件是
o o o
o o o o d r d kr y x d k λπ===+,2)(222
2
（2）根据
????∞
∞-∞
∞
-?
?????-+--=?
?????-+--=dxdy y y y x x x d j y x P d d dxdy y My y x Mx x d j y x P d d y x y x h o i o i i i o o i o i i i
o i i o o ])~()~[(2exp ),(1])()[(2exp ),(1
),;,(22
λπλλπ
λ
相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点
)~,~(y x
ρρπλλλπλ)2(1~1])~()~[(2exp ),(1
),;,(12
2222
a aJ d d a r circ B d d dxdy y y x x d j y x P d d y x y x h i
o i o o i o i i i
o i i o o =????????? ??=?
?????-+--=??∞
∞
-
式中22y x r +=
，而
2
2
2
2~~???
?
?
?-+???? ?
?-=+=i o i i o i d
y y d
x x λληξρ （1） `
在点扩散函数的第一个零点处0)2(1=o a J ρπ，此时应有83.32=o a ρπ，即 a
o 61
.0=
ρ (2) 将(2)式代入(1)式，并注意观察点在原点)0(==i i y x ，于是得 a
d r o
o λ61.0=
(3) （3）根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献)0,0;,(o o y x h 。按照上面的分析，如果略去h 第一个零点以外的影响，即只考虑h 的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近
a d r o o /61.0λ=范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子]2/ex p[2o o d jkr 变化不
大，而降它弃去。假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如π/16)就满足以上要求，则16/,16
2/22
o o o o d r d kr λπ
≤≤
，也即
o d a λ44
.2≥ （4）
例如λ ＝600nm , d o = 600mm ，则光瞳半径a ≥，显然这一条件是极易满足的。
一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为 ()o o o o x f y x t π2cos 2
1
21,+=
放在图所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在z x o 平面内，与z 轴夹角为θ。透镜焦距为f ,孔径为D 。
（1） |
（2） 求物体透射光场的频谱；
（3） 使像平面出现条纹的最大θ角等于多少求此时像面强度分布；
（3） 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少与θ＝0时的截止频率比较，结论如何
解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为)sin ,ex p(θjkx A ，为确定起见
设θ> 0，则物平面上的透射光场为
???????????
???? ??
--+????????? ??++??? ??=
=λθπλθπλθπθsin 2exp 21sin 2exp 21sin 2exp 2)
,()sin ,exp(),(o o o o o o o o o o o f x j f x j x j A y x t jkx A y x U 其频谱为
??????????????? ?
?+--+????????? ??+-+??? ??-=?=λθξδλθξδλθξδηξsin 21sin 21sin 2)}
,({),(o o o o o f f A y x U A 由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了sin θ/λ距离。
（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。系统的截至频率
f D c λρ4/=，于是要求
f
D f f D f D o λλθλλλ
θ
4sin 4,4sin ≤+-≤-≤
由此得 @
f
D
f D f o 4sin 4≤≤-θλ （1）
θ角的最大值为
???
?
??=f D
4arcsin max θ （2） 此时像面上复振幅分布和强度分布为
??
?
???+=-+???? ?
?=
x f A y x I f x j f D x j A y x U o i i i o i i i i i ππλπ2cos 454),()]2ex p(21
1[42ex p 2),(2
（3）照明光束的倾角取最大值时，由(1)式和(2)式可得 f
D
f D f o 44≤-
λ 即 f
D
f f
D f o o λλ22max =
≤
或
(3) θ＝0时，系统的截止频率为f D c λρ4/=，因此光栅的最大频率 f
D
f c o λρ2max =
= (4)
|
比较(3)和(4)式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。
光学传递函数在0==ηξ处都等于1，这是为什么光学传递函数的值可能大于1吗如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样
解：在
????∞
∞
-∞
∞
--==?i
i
i
i
I
i
i
i
i
i
i
I
I I
dy
dx y x h dy
dx y x j y x h H H ),()],(2exp[),()
0,0()
,(),(ηξπηξηξ （1）
式中，令 ??∞
∞
-=
i
i
i
i
I
i i I i i dy
dx y x h y x h y x h ),()
,(),(
为归一化强度点扩散函数，因此(1)式可写成
??∞
∞
--=
?i
i
i
i
i
i
dy
dx y x j y x h )],(2exp[),(),(ηξπηξ
而 ??∞
∞
-=
=?i
i
i
i
dy
dx y x h ),(1)0,0(
即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，着便是归一化点扩散函数的意义。 （2）不能大于1。 {
（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是δ函数，其频谱为常数1，即系统对任何频率的传递都是无损的。
当非相干成像系统的点扩散函数()i i I y x h ,成点对称时，则其光学传递函数是实函数.
解：由于),(i i I y x h 是实函数并且是中心对称的，即有),(),(i i I i i I y x h y x h *
=，
),(),(i i I i i I y x h y x h --=，应用光学传递函数的定义式
????∞
∞
-∞
∞
--=
=?i
i
i
i
I
i
i
i
i
i
i
I
I I dy
dx y x h dy
dx y x j y x h H H ),()],(2exp[),()
0,0()
,(),(ηξπηξηξ
易于证明),(),(ηξηξ*
?=?，即),(ηξ?为实函数
非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a ，出瞳到像面的距离为d i ，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率
近似为多大
解：用公式0
)
,(),(S S ηξηξ=
?来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠。这时N 个小孔的重叠面积除以N 个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截至频率约为i d a λ/2，由于2a 很小，所以系统实现了低通滤波。
第四章 部分相干理论
若光波的波长宽度为Δλ，频率宽度为Δν，试证明：
λ
λ?=?v v 。设光波波长为nm nm 8102,8.632-?=?=λλ，试计算它的频宽Δν = 若把光谱分布看成是矩形线型，
则相干长度?=c l
证明：因为频率与波长的关系为 λv c =(其中c 为光速)
@
对上式两边求导得 0=+=dv vd dc λλ 所以
λ
λ
λλλλ?=???-=??-=v v v v d v dv 因nm nm 8
102,8.632-?=?=λλ
c v v v v c 2λλλ
λλ?=????
?
???=?=
所以 赫4
105.1?=?v 有因为相干长度 c c ct l = )(100.24m v
c
l c ?=?=
设迈克耳孙干涉仪所用光源为nm nm 6.589,58921==λλ的钠双线，每一谱线的宽度为 .
（1）试求光场的复相干度的模；
（2）当移动一臂时，可见到条纹总数大约是多少 |
（3）可见度有几个变化周期每个周期有多少条纹
解：假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为
??
?
?????? ??-+??? ??-=?
v v v rect v v v rect v v δδδ2121)(? （1）光场的复相干度为
)]2ex p(1)[2ex p()(sin 2
1
)2ex p()(?)(10
τπτπτδτπτγv j v j v c dv v j v ?+=?
=?∞
式中12v v v -=?，复相干度的模为
)cos )(sin )(τπτδτγv v c ?=
由于，故第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子是τ的快变化周期函数。相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在v c δτ/1=的地方，τc 即为相干时间，故相干长度
δλ
λ
δλλδτ2
2≈
===v c c l c c (2) 可见到的条纹总数 589301
.05893==
=
δλλλ
c
l N ?
（3）复相干度的模中第二个因子的变化周期 v ?=/1τ，故
可见度的变化周期 601
.06==?=?==δλλδττv v n c 每个周期内的条纹数98260
58930===
n N 假定气体激光器以N 个等强度的纵模振荡。其归一化功率谱密度可表示为
()()()
()∑---=?+-=?
2
/12
/11?N N n v n v v N
v δ 式中，Δν是纵模间隔，v 为中心频率。为简单起见，假定N 为奇数。
（1）证明复相干度的模为
)
sin()
sin()(τπτπτγv N v N ??=
（2）若N ＝3，且0≤τ≤1/Δv ，画出()τγ与Δν τ的关系曲线。 （1）证明：复相干度函数为 "
?∞
?
=0
)2exp()(?)(dv v j v τπτγ 得
()
()()()())
2exp(sin sin )2exp()2exp()2exp(1)(2
/12/12
/12
/10
τπτ
πτ
πτπτπτπδτγv j v N v N v n j N v j dv v j v n v v N N N n N N n ??=
?-=?+-=∑∑?
---=---=∞
所以复相干度得模为
)
sin()
sin()(τπτπτγv N v N ??=
（2）当N=3时，复相干度的模为 )
sin(3)
3sin()(τπτπτγv v ??=
`
在例所示的杨氏干涉实验中，若缝光源用两个相距为a ，强度相等的准单色点光源代替，试计算此时的复相干系数。
解：应用范西泰特－策尼克定理得
?
?
? ??
=????????? ??
-+??? ??+??
? ??-????????? ??-+??? ??+=??∞
∞
-∞
∞-z d a d a a I d d z j a a I d λπααδαδααλπαδαδμcos 222exp 22)(00 利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明，距离光源为z 的平面上任意两点P 1和P 2
之间的复相干系数μ(P 1 ,P 2) .
解：设光源所在平面的坐标为α ，β；孔平面的坐标为x ,y 。点P 1和P 2的坐标为(x 1 ,y 1)和(x 2 ,y 2)。对于准单色点光源，其强度可表为
),(),(110ββααδβα--=I I 在傍轴近似下，由范西泰特－策尼克定理得
?
?
?????+?-??????--+=--???
????+?---=
????∞
∞
-∞
∞
-)(2exp )(2exp ),()(2exp ),()exp(),(1121212
2221
1
11021βαλπλπβ
αββααδβ
αβαλπββααδ?μy x z j y x y x z j d d I d d y x z j I j P P
因为
1),(21=P P μ,由点光源发出的准单色光是完全相干的，或者说x,y 面上的相干面
积趋于无限大。
第六章 计算全息
一个二维物函数f ( x, y)，在空域尺寸为10×10mm ，最高空间频率为5线/mm ，为了
制作一张傅里叶变换全息图：
(1) 确定物面抽样点总数.
(2) 若采用罗曼型迂回相位编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少 (3) 若采用修正离轴参考光编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少 (4) 两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同原因是什么
解：(1)假定物的空间尺寸和频宽均是有限的。设物面的空间尺寸为Δx,Δy ；频宽为2B x ,2B y .根据抽样定理，抽样间距δx,δy 必须满足δx ≤1/2B x , δy ≤1/2B y 才能使物复原。故抽样点总N(即空间带宽积SW)为
410)52()52(1010)2)(2(=?????==??=???=
SW B B y x y
y y x N y x δδ 、
(2)罗曼计算全息图的编码方法是在每一个抽样单元里用开孔的大小和开孔的位置
来编码物光波在该点的振幅和相位。根据抽样定理，在物面上的抽样单元数应为物面的空间带宽积，即4
10==SW N 。要制作傅里叶变换全息图，为了不丢失信息，空间带宽积应保持不变，故在谱面上的抽样点数仍应为4
10=N .
(3)对于修正离轴参考光的编码方法，为满足离轴的要求，载频α应满足α≥B x 为满足制作全息图的要求，其抽样间隔必须满足δx ≤1/2B x , δy ≤1/2B y 。因此其抽样点数为 410210201010)2)(4(?=???=??=???=
y x B B y x y
y y x N δδ (4)两种编码方法的抽样点总数为2倍关系，这是因为，在罗曼型编码中，每一抽样单元编码一复数；在修正离轴型编码中，每一抽样单元编码一实数。
修正离轴加偏置量的目的是使全息函数变成实值非负函数，每个抽样单元都是实的非负值，因此不存在位置编码问题，比同时对振幅和相位进行编码的方法简便。但由于加了偏置分量，增加了记录全息图的空间带宽积，因而增加了抽样点数。避免了相位编码是以增加抽样点数为代价的。
对比光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数，说明如何选择载频和制作计算全息
图的抽样频率.
解：设物的频宽为)2,2(y x B B
(1)对于频宽α的选择 光学离轴，由图可知，x B 3≥α 修正离轴，由图可知，x B ≥α
{
载频的选择是为了保证全息函数在频域中各结构分量不混叠。
(2)对于制作计算全息图时抽样频率的选择 光学离轴全息，由图可知：
在x 方向的抽样频率应x B 8≥，即x 方向的抽样间距x B x 8/1≤δ。 在y 方向的抽样频率应y B 4≥，即x 方向的抽样间距y B y 4/1≤δ。 修正离轴全息，由图可知：
在x 方向的抽样频率应x B 4≥，即x 方向的抽样间距x B x 4/1≤δ。 在y 方向的抽样频率应y B 2≥，即x 方向的抽样间距y B y 2/1≤δ。
一种类似傅奇型计算全息图的方法，称为黄氏(Huang)法，这种方法在偏置项中加入物函数本身，所构成的全息函数为
{})],(2cos[1),(2
1
),(y x ax y x A y x h φπ-+=
(1) 画出该全息函数的空间频率结构，说明如何选择载频.
(2) 画出黄氏计算全息图的空间频率结构，说明如何选择抽样载频. 解：把全息函数重写为
)2exp()],(exp[),(4
1
)2exp()],(exp[),(4
1
),(21),(x j y x j y x A x j y x j y x A y x A y x h παφπαφ-+-+=
物函数为 )],(exp[),(),(y x j y x A y x f φ=
并且归一化的，即1),(max =y x A ，参考光波R ＝1。经过处理后的振幅透过率为
+-'+'+
=)2exp()],(exp[),(4
1
),(21),(x j y x j y x A y x A t y x t o παφββ )
2exp(),(4
1
)2exp(),(41),(21)2exp()],(exp[),(4
1
x j y x f x j y x f y x A t x j y x j y x A o παβπαββπαφβ*'+-'+'+=-'
*
其频谱为
),(4
1
),(41),(21),(),(ηαξβηαξβηξβηξδηξ---''+-''+''+
=F F F t T o (1)设物的带宽为y x B B 2,2，如图题(a)所示。全息函数的空间频谱结构如图题(b)所示，载频x B 2≥α。
(2)黄氏全息图的空间频率结构如图题(c)所示，由此可得出： 在x 方向的抽样频率应x B 6≥，即x 方向的抽样间距x B x 6/1≤δ。 在y 方向的抽样频率应y B 2≥，即x 方向的抽样间距y B y 2/1≤δ。 抽样点数即空间带宽积为y x B xyB y
y
x x SW N 12==
=δδ. 黄氏计算全息图的特点：
(1)占用了更大的空间带宽积(博奇全息图的空间带宽积y x B xyB SW 8=)，不具有降低空间带宽积的优点。
(2)黄氏全息图具有更高的对比度，可以放松对显示器和胶片曝光显影精度的要求。
罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式，如图题所示.利用复平面上矢量合成的方法解释，在这三种孔径形式中，是如何对振幅和相位进行编码的.
解：对于Ⅰ型和Ⅲ型，是用x A δ来编码振幅A(x,y)，用x d δ来编码相位),(y x φ，在复
平面上用一个相幅矢量来表示，如图题(a).
对于罗曼Ⅱ型是用两个相同宽度的矩孔来代替Ⅰ，Ⅲ型中的一个矩孔。两矩孔之间的距离x A δ是变化的，用这个变化来编码振幅A(x,y)。在复平面上反映为两个矢量夹角的变化。两个矩孔中心距离抽样单元中心的位移量x d δ用作相位),(y x φ的编码。在复平面上两矢量的合成方向即表示了),(y x φ的大小，如图题(b)所示。
第八章 空间滤波
利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜的最小分辨距离公式，并同非相干照明下的最小分辨距离公式比较。
"
解：显微镜是用于观察微笑物体的，可近似看作一个点，物近似位于物镜的前焦点上。设物镜直径为D ，焦距为f ，如图所示。对于相干照明，系统的截止频率由物镜孔径的最大孔径角θo 决定，截止频率为
λθ/sin o 。从几何上看，近似有f D o 2/sin ≈θ。截止频率的倒数的倒数即
为分辨距，即
D
f
o c λθλδ2sin ==
对于非相干照明，由几何光学可知其分辨距为
o
θλ
δsin 61
.0= 非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干照明时的两倍。
在4f 系统输入平面放置40mm -1的光栅，入射光波长。为了使频谱面上至少能够获得±5级衍射斑，并且相邻衍射斑间距不小于2mm ，求透镜的焦距和直径。
解：设光栅宽度比较大，可近似看成无穷，设周期为d ，透光部分为a ，则其透过率函数可表为
()
?
?
? ??*??? ??=-*???
??=??? ??-=∑∑d x comb d a x rect md x a x rect a md x rect x f m m
1)(111δ
其频谱为
{}∑∑??
?
??-=
??? ?
?
-==??
?
?????? ???????
????? ???=?=m m d m d ma c d a d m a c d a d comb a c a d x comb d a x rect x f F ξδξδξξξξ)(sin )(sin )()(sin 1)()(`111 即谱点的位置由d m f x //2==λξ决定，即m 级衍射在后焦面上的位置由下式确定： d f m x /λ= 相邻衍射斑之间的间距 d f x /λ=? 由此得焦距f 为 )(7910632840
/27
mm xd
f =?=
?=
-λ
物透明片位于透镜的前焦面，谱面为后焦面，谱面上的±5级衍射斑对应于能通过透镜的最大空间频率应满足 d
D 52
/1sin =
=
=
λ
λλ
θ
ξ 于是求得透镜直径
)(201010
mm x d
f
D =?==λ
观察相位型物体的所谓中心暗场方法，是在成像透镜的后焦面上放一个细小的不透明光阑以阻挡非衍射的光。假定通过物体的相位延迟<<1弧度，求所观察到的像强度(用物体的相位延迟表示出来)。
解：相位物体的透过率为
),(1)],(ex p[),(111111y x j y x j y x t φφ+≈=
其频谱为 {}),(),(),(1),(11ηξηξδφηξΦ+=+?
=j y x j T 若在谱平面上放置细小的不透明光阑作为空间滤波器，滤掉零频背景分量，则透过的频谱为 ),(),(ηξηξΦ=j T
M
再经过一次傅里叶变换(在反演坐标系)得 ),(),(3333y x j y x t M
φ=
强度分布为
因此在像面上得到了正比于物体相位平方分布的光强分布，实现了将相位转换为强度分布的目的。不过光强不是相位的线性函数，这给分析带来困难。
当策尼克相衬显微镜的相移点还有部分吸收，其强度透射率等于α (0< α <1)时，求观察到的像强度表示式。
解：相位物体的频谱为
现在用一个滤波器使零频减弱，同时使高频产生一个±π/2的相移，即滤波器的透过率表达式为
???==±=其它
的小范围内
在,
10,),(ηξαηξj H
于是 ),(),(),(),(),(ηξηξαδηξηξηξΦ+±==j j T H T
M
像的复振幅分布为 ),(),(3333y x j j y x t M
φα+±=
像强度分布为
)
,(2),(),(2)
,(),(),(3323323322
3323333y x y x y x y x y x j j y x I αφαφαφαφαφα±≈+±=+=+±=
像强度分布与相位分布成线性关系，易于分析。
用CRT(阴极射线管)记录一帧图像透明片，设扫描点之间的间隔为，图像最高空间频率为10mm -1。如欲完全去掉离散扫描点，得到一帧连续灰阶图像，空间滤波器的形状和尺寸应当如何设计输出图像的分辨率如何(设傅立叶变换物镜的焦距f ＝1000mm ,λ=。
解：扫描点的表达式为
()∑∑--=m
n
ny y mx x
y x f 0101
11,),(δ
其频谱为
∑∑∑∑∑∑--=
--=+-=m
n
m
n
m
n
y n f y x m f x y x y
n x m y x ny mx j F ),(
1)/,/(1)]
(2exp[),(0
2020
00
0000λλδηξδηξπηξ
在上式的化简中应用了公式
∑∑∞-∞=∞
-∞
=???
??-=±n n a n x a nax j δπ1)2ex p(
由此可见，点状结构的频谱仍然是点状结构，但点与点之间的距离不同。扫描点频谱出现的
位置为
202,y n f y x m f x ==λλ 点状结构是高频，所以采用低通滤波将其滤掉。低通滤波器圆孔半径为
)(164.32
.01000
106328702mm x f
x r =??===-λ
能传递的最高空间频率为 mm x x f f f r /151
1sin 0
0==?==
=
λλλλ
θ
ξ