算符的运算规则
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最后一式称为雅可比恒等式。 作为例子，我们讨论角动量算符 L r p
ˆ z zp ˆ y i y z Lx yp y z ˆ x xp ˆ z i z x Ly zp z x ˆ y yp ˆ x i x y Lz xp x y
由于 是任意函数，从(3.2.7)式得
（3.2.8）
从（3.2.8）可见， x px px x
3.2 算符的运算规则
记 AB 和 B A 之差为
A, B AB BA
（3.2.9）
称为算符 A ， B 的对易关系或对易子。 式（3.2.8）可记为
x, px i
（3.2.12）式可表示为
=1,2,3表示相应的分量， ， 成为列维上式中 ， 斯维塔记号，满足 123 1 （3.2.14）
任意两个下脚标相同，则 为零。
[ L , x ] i x
（3.2.13）
3.2 算符的运算规则
（3.2.19）
3.2 算符的运算规则
角动量算符的平方是： L Lx Ly Lz 则
L2 , L L2 , L L2 , L 0 x y z
x r sin cos y r sin sin z r cos
3.2 算符的运算规则
3.2.1 算符的定义
所谓算符，是指作用在一个函数上得出另一个函数 的运算符号。若某种运算把函数 变为 ，记作 F 则表示这种运算的符号 F 就称为算符。 如果算符 F 作用于一个函数 ，结果等于乘上一个 常数 ，记为
F Fra Baidu bibliotek
（3.2.1）
为 F 的本征函数，上述方程称 则 为 F 的本征值， 为 F 的本征方程。
3.2.2 算符的运算规则
算符之和
A B A B
A B B A
（3.2.4）
为任意波函数。显然，算符之和满足交换率和结合律
A B C A B C
显然，线性算符之和仍为线性算符。 算符之积
( AB) A(B )
（3.2.5） （3.2.6）
2 2 2 2
（3.2.20） （3.2.21）
在球坐标系下
（3.2.22）
则
r x 2 y 2 z 2 z cos r y tg x
（3.2.23）
3.2 算符的运算规则
将r 两边对x 求偏导，得 将 cos
z r
r x sin cos x r
若算符 A 和 B 的对易子为零，则称算符 A 和 B 对易。 利用对易子的定义（3.2.9）式，易证下列恒等式 ˆ, B ˆ] ˆ ] [ B ˆ, A [A
ˆ, A ˆ] 0 [A ˆ , C] 0( C is constant) [A
3.2 算符的运算规则
ˆ, B ˆ] [A ˆ, B ˆ, C ˆ] ˆ C ˆ] [A [A
（3.2.24） （3.2.25）
1 z r 1 cos cos 两边对x求偏导，得： 2 x sin r x r
再将 tg
y 1 y sin （3.2.26） 2 2 两边对x求偏导，得： x r sin sec x x
利用这些关系式可求得：
同理可得
[ L , p ] i p
（3.2.15）
[ L , L ] i L
式中不为零的等式也可写成
（3.2.16）
L L i L
坐标和动量的对易子可写为 [ x , p ] i
（3.2.17） （3.2.18）
其中
1 0
3.2 算符的运算规则
若算符满足：
F (c1 1 c2 2 ) c1 F 1 c2 F 2 （3.2.2） 1 、 2 为任意函数， c1 、c 2 为常数，则 F 称为线性算符。 其中
若算符满足：
I
（3.2.3）
为任意函数，则称 I 为单位算符。
3.2 算符的运算规则
r x x r x x 1 1 sin sin cos cos cos r r r sin
（3.2.27）
3.2 算符的运算规则
同理可得：
（3.2.10）
（3.2.11）
3.2 算符的运算规则
它们和坐标算符的对易子是
[ Lx , x] 0,[ Lx , y] i z,[ Lx , z] i y
[ Ly , x] i z ,[ Ly , y ] 0,[ Ly , z ] i x
（3.2.12）
[ Lz , x] i y,[ Lz , y] i x,[ Lz , z ] 0
注：一般情形
AB BA
3.2 算符的运算规则
比方，取 A x; B px i 则 x x px i x x
但 因此
px x i
( x ) i i x x x
（3.2.7）
( x px px x) i
x px px x i
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ, C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A [A ˆ ] [B ˆ ]C ˆ B ˆ, A ˆ] ˆ ˆ, A ˆ, A ˆ[C [BC ˆ ,[ B ˆ ]] [ B ˆ, A ˆ ]] [C ˆ ,[ A ˆ, B ˆ, C ˆ ,[C ˆ ]] 0 [A
ˆ z zp ˆ y i y z Lx yp y z ˆ x xp ˆ z i z x Ly zp z x ˆ y yp ˆ x i x y Lz xp x y
由于 是任意函数，从(3.2.7)式得
（3.2.8）
从（3.2.8）可见， x px px x
3.2 算符的运算规则
记 AB 和 B A 之差为
A, B AB BA
（3.2.9）
称为算符 A ， B 的对易关系或对易子。 式（3.2.8）可记为
x, px i
（3.2.12）式可表示为
=1,2,3表示相应的分量， ， 成为列维上式中 ， 斯维塔记号，满足 123 1 （3.2.14）
任意两个下脚标相同，则 为零。
[ L , x ] i x
（3.2.13）
3.2 算符的运算规则
（3.2.19）
3.2 算符的运算规则
角动量算符的平方是： L Lx Ly Lz 则
L2 , L L2 , L L2 , L 0 x y z
x r sin cos y r sin sin z r cos
3.2 算符的运算规则
3.2.1 算符的定义
所谓算符，是指作用在一个函数上得出另一个函数 的运算符号。若某种运算把函数 变为 ，记作 F 则表示这种运算的符号 F 就称为算符。 如果算符 F 作用于一个函数 ，结果等于乘上一个 常数 ，记为
F Fra Baidu bibliotek
（3.2.1）
为 F 的本征函数，上述方程称 则 为 F 的本征值， 为 F 的本征方程。
3.2.2 算符的运算规则
算符之和
A B A B
A B B A
（3.2.4）
为任意波函数。显然，算符之和满足交换率和结合律
A B C A B C
显然，线性算符之和仍为线性算符。 算符之积
( AB) A(B )
（3.2.5） （3.2.6）
2 2 2 2
（3.2.20） （3.2.21）
在球坐标系下
（3.2.22）
则
r x 2 y 2 z 2 z cos r y tg x
（3.2.23）
3.2 算符的运算规则
将r 两边对x 求偏导，得 将 cos
z r
r x sin cos x r
若算符 A 和 B 的对易子为零，则称算符 A 和 B 对易。 利用对易子的定义（3.2.9）式，易证下列恒等式 ˆ, B ˆ] ˆ ] [ B ˆ, A [A
ˆ, A ˆ] 0 [A ˆ , C] 0( C is constant) [A
3.2 算符的运算规则
ˆ, B ˆ] [A ˆ, B ˆ, C ˆ] ˆ C ˆ] [A [A
（3.2.24） （3.2.25）
1 z r 1 cos cos 两边对x求偏导，得： 2 x sin r x r
再将 tg
y 1 y sin （3.2.26） 2 2 两边对x求偏导，得： x r sin sec x x
利用这些关系式可求得：
同理可得
[ L , p ] i p
（3.2.15）
[ L , L ] i L
式中不为零的等式也可写成
（3.2.16）
L L i L
坐标和动量的对易子可写为 [ x , p ] i
（3.2.17） （3.2.18）
其中
1 0
3.2 算符的运算规则
若算符满足：
F (c1 1 c2 2 ) c1 F 1 c2 F 2 （3.2.2） 1 、 2 为任意函数， c1 、c 2 为常数，则 F 称为线性算符。 其中
若算符满足：
I
（3.2.3）
为任意函数，则称 I 为单位算符。
3.2 算符的运算规则
r x x r x x 1 1 sin sin cos cos cos r r r sin
（3.2.27）
3.2 算符的运算规则
同理可得：
（3.2.10）
（3.2.11）
3.2 算符的运算规则
它们和坐标算符的对易子是
[ Lx , x] 0,[ Lx , y] i z,[ Lx , z] i y
[ Ly , x] i z ,[ Ly , y ] 0,[ Ly , z ] i x
（3.2.12）
[ Lz , x] i y,[ Lz , y] i x,[ Lz , z ] 0
注：一般情形
AB BA
3.2 算符的运算规则
比方，取 A x; B px i 则 x x px i x x
但 因此
px x i
( x ) i i x x x
（3.2.7）
( x px px x) i
x px px x i
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ, C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A [A ˆ ] [B ˆ ]C ˆ B ˆ, A ˆ] ˆ ˆ, A ˆ, A ˆ[C [BC ˆ ,[ B ˆ ]] [ B ˆ, A ˆ ]] [C ˆ ,[ A ˆ, B ˆ, C ˆ ,[C ˆ ]] 0 [A