【数学】贵州省黔东南州2018届高三上学期第一次联考数学(理)试题含解析
【高三数学试题精选】2018届高三数学上册第一次月考试题(附答案)
2018届高三数学上册第一次月考试题（附答案）
5
c
高明一中高三年级第一学期第一次大考试卷
理科数学
注意事项
1、不准使用计算器；
2、所有试题答案必须写在答题卡上，否则一律不计分；
3、必须用黑色或蓝色的水笔或圆珠笔作答，不准用铅笔作答；
4、要求格式工整、规范，不准随意涂画。
5、全卷满分为150分，答题时间为2小时。
一、选择题（共8个小题，每小题5分，满分40分；下列各小题的四个答案中只有一个是正确的，请把唯一正确答案的代号填在答题卡的相应表格中）
1．若集合 ,则是（）
A B
c D
2．已知复数，若，则实数的值是（）
A 2或6
B 2 c 6或 D 9
3．已知，，则（）
A B c D
4．“ ”是“不等式在上恒成立”的（）
A 充分不必要条
B 必要不充分条
c 充要条 D 既不充分也不必要条
5．函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（）
A B c D
6．已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则数列的前5项和为（）。
高三数学上学期第一次联考试题 理含解析 试题 2
黔东南州2021-2021学年高三第一次联考数学〔理科〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】集合.应选A.2. 设是虚数单位,复数，那么复数的模为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】复数.复数的模为：.应选D.3. 近年呼吁高校招生HY的呼声越来越高,在赞成高校招生HY的民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在岁的有2500人，年龄在岁的有1200人，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，得年龄在范围岁的频率为，那么赞成高校招生HY的民有，因为年龄在范围岁的有1200人，那么......................应选C.4. 假设，且是第二象限角，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由二倍角公式化简可得：，因为，且是第二象限角，所以可得，代入上式化简即可得D考点：1．二倍角公式；2．同角三角函数根本关系式5. 向量，，且，那么向量的坐标为〔〕A. B.C. 或者D. 或者【答案】C【解析】设，那么，解得或者，故向量的坐标为或者.应选C.6. 如下图，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形〔单位：〕，且该三棱锥的外接球的外表积为，那么该三棱锥的体积为〔〕A. 5B. 10C. 15D. 30【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥的底面三角形两直角边长分别为3，5，设该三棱锥的高为H，将该三棱锥补成长方体可知，该三棱锥的外接球的直径为，该三棱锥的外接球的外表积为，解得，所以该三棱锥的体积为，应选B.7. 实数满足，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影区域所示.由，得，平移直线，当经过点，时，代入的取值为，所以，应选A.点睛：线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画HY函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错；三、一般情况下，目的函数的最大或者最小会在可行域的端点或者边界上获得.8. 以下程序框图输出的的值是〔〕A. 5B. 0C. -5D. 10【答案】A【解析】该题的算法功能是求数列的前10项和，由于数列的周期为2，且每一个周期内的两项之和为0，故数列的前10项和为0，数列从第一项开场，每两项之和，所以前10项之和为5，故数列的前10项和为0+5=5，应选A.点睛：算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择构造、循环构造、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 函数的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】，定义域为，所以函数是偶函数，图象应关于轴对称，当时，，应选A. 【点睛】函数解析式求函数图像和图像求函数解析式也是高考考察的热点，此题是知道解析式求函数图像，需注意几个问题，〔1〕注意函数的定义域，从而判断函数图像的位置，〔2〕从函数的单调性，判断函数图像的变化或者趋势，〔3〕判断函数是否具有奇偶性，判断函数图像的对称性，〔4〕从特殊点出发，排除选项，〔5〕或者时函数图像的变化趋势等来判断图像.10. 在中，假设，那么圆与直线的位置关系是〔〕A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定【答案】A【解析】因为，所以.故圆心到直线的间隔，故圆与直线相切，应选A.11. 把离心率的曲线称之为黄金双曲线．假设以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆，那么圆与黄金双曲线〔〕A. 无交点B. 有1个交点C. 有2个交点D. 有4个交点【答案】D【解析】由题意知，所以，因为，所以，所以，所以圆与黄金双曲线的左右两支各有2个交点，即圆与黄金双曲线由4个交点，应选D.12. 函数，假设方程有两个不相等的实数根，那么实数的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】作出函数的图象如下：方程有两个不相等的实数根等价于函数与的图象有两个不同的交点，有图可知，.应选C.点睛：方程的根或者函数有零点求参数范围常用方法和思路〔1〕直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；〔2〕别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；〔3〕数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13. 函数的导数为，且满足关系式，那么的值等于__________．【答案】-9【解析】..函数求导得：.令.得，解得：.所以，..答案为-9.14. 在中，角所对的边分别是，假设将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为，那么满足条件的三角形恰有两解的概率是__________．【答案】【解析】根据题意，a、b的情况均有6种，那么将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数的情况有6×6=36种；在△ABC中,由正弦定理可得，那么b=2a sin B，假设△ABC有两个解,必有B≠90°，那么有b<2a，假设b<a，那么C为钝角，只有一解，故有a<b<2a，符合此条件的情况有：b=3，a=2；b=4，a=3；b=5，a=3；b=5，a=4；b=6，a=4；b=6，a=5；一共6种；那么△ABC有两个解的概率为，答案为:.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出根本领件总数和所求事件包含的根本领件数．(1)根本领件总数较少时，用列举法把所有根本领件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图〞列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.15. 是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是__________．【答案】【解析】试题分析：因为圆的方程可化为，圆心，半径为，依题作出草图，可知,所以四边形面积的最小值就是的最小值,而,此题要求出最小的的值,即为圆心到直线的最短间隔,所以，即四边形面积的最小值是.考点：1.点到直线的间隔；2.切线的性质；3.转换的思想.16. 定长为4的线段两端点在抛物线上挪动，设点为线段的中点，那么点到轴间隔的最小值为__________．【答案】【解析】设，抛物线的交点为F，抛物线的准线，所求的间隔，〔两边之和大于第三边且M,N,F三点一共线时取等号〕，所以.答案为：.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17. 数列满足：．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕求数列的前项和．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕利用累乘法求数列通项即可；〔2〕利用乘公比错位相减即可求和.试题解析：〔1〕，以上式子相乘得，代入，得，又符合上式，故数列的通项公式为．〔2〕，，两式相减，得．点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要擅长识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn〞与“qSn〞的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〞以便下一步准确写出“Sn－qSn〞的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，假设等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18. 近年来我国电子商务行业迎来开展的新机遇，与此同时，相关管理部门推出了针对电商商品和效劳的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进展统计，对商品好评率为，对效劳好评率为，其中对商品和效劳都做出好评的交易为80次．〔1〕是否可以在犯错误率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与效劳好评有关？〔2〕假设针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进展客户回访，求只有一次好评的概率．注：1.注2.【答案】〔1〕见解析；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕由列出关于商品和效劳评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；〔2〕采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，那么好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，利用枚举法得到从5次交易中，取出2次的所有取法，查出其中只有一次好评的情况数，然后利用古典概型概率计算公式求得只有一次好评的概率．试题解析：〔1〕由题意可得关于商品评价和效劳评价的列联表：对效劳好评对效劳不满意合计对商品好评80 40 120对商品不满意70 10 80合计150 50 200所以，所以可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与效劳好评有关．〔2〕假设针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，那么好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，令好评的交易为，不满意的交易为.从5次交易中，取出2次的所有取法．一共计10种情况．其中只有一次好评的情况是，一共计6种情况．因此，只有一次好评的概率为．19. 如下图，在四棱锥中，四边形为菱形，为正三角形，且分别为的中点，平面，平面．〔1〕求证：平面；〔2〕求与平面所成角的正弦值．【答案】〔1〕见解析；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕证明：AD⊥平面PEB，利用四边形ABCD为菱形，可得AD∥BC，即可证明BC⊥平面PEB；〔2〕以E为原点，建立坐标系，求出平面PDC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求EF 与平面PDC所成角的正弦值．试题解析：〔1〕证明：因为平面，平面，所以，又平面平面，所以平面，由四边形菱形，得，所以平面．〔2〕解：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形的边长为2，那么，，那么点，，设平面的法向量为，那么由，解得，不妨令，得；又，所以与平面所成角的正弦值为．20. 分别是椭圆的左、右焦点．〔1〕假设是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标；〔2〕设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角〔其中，为坐标原点〕，求直线的斜率的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕首先得到焦点的坐标，点满足两个条件，一个是点在椭圆上，满足椭圆方程，另一个是将 ,转化为坐标表示，这样两个方程两个未知数，解方程组；〔2〕首项设过点的直线为，与方程联立，得到根与系数的关系，和，以及，根据向量的数量积可知，为锐角，即，这样代入根与系数的关系，以及，一共同求出的取值范围.试题解析：〔1〕易知.，设，那么，又.联立，解得，故.〔2〕显然不满足题设条件，可设的方程为，设，联立由，得.①又为锐角，又.②综①②可知的取值范围是【点睛】解析几何中的参数范围的考察是高考经常考的的问题，这类问题，要将几何关系转化为代数不等式的运算，必然会考察转化与化归的才能，将为锐角转化为,这样就代入根与系数的关系，转化为解不等式的问题,同时不要忽略.21. 函数．〔1〕当时，求的最小值；〔2〕假设在上为单调函数，务实数的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕函数求导，求得函数的单调区间，利用函数的单调性即可求最值；〔2〕在上为单调函数，转为当时，或者恒成立，即或者对恒成立，令，求导求值即可.试题解析：〔1〕当时，，∴.令，得或者〔舍〕.2- 0 +极小值又当时，，∴当时，函数的最小值为.〔2〕∵，∴，又在上为单调函数，∴当时，或者恒成立，也就是或者对恒成立，即或者对恒成立.令，那么.∴当时，.∴在上单调递减，又当时，；当时，，∴，故在上为单调函数时，实数的取值范围为.点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种〞常用方法〔1〕别离参数法：将原不等式别离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴且取一样的单位长度建立极坐标系．圆的极坐标方程哦，直线的参数方程为〔为参数〕，直线和圆交于两点，是圆上不同于的任意一点．〔1〕求圆心的极坐标；〔2〕求点到直线间隔的最大值．【答案】〔1〕圆心的极坐标为；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕将圆：化为普通方程，得到其圆心，根据极坐标的定义可得其极坐标为；〔2〕把直线化为普通方程，因为直线与圆相交，根据其意义可得圆上的点到直线的最大间隔为圆心到直线的间隔加半径．试题解析：〔1〕由，得，得，故圆的普通方程为，所以圆心坐标为，圆心的极坐标为．〔2〕直线的参数方程为为参数〕化为普通方程是，即直线的普通方程为，因为圆心到直线的间隔，所以点到直线的间隔的最大值．考点：〔1〕极坐标方程化为普通方程；〔2〕参数方程化为普通方程；〔3〕点到直线的间隔公式．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
【高三数学试题精选】2018届高三数学上学期第一次月考文试卷(含答案)
2018届高三数学上学期第一次月考文试卷(含答案)
5 c 大田一中50
函数表达式为．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是
，其对称中心的横坐标满足
，所以离原点最近的对称中心是．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x＋9 令f ′(x) 0，解得x －1，或x 3，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a， f(2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a，
∴f(2) f(－2)．
∵在(－1,3)上f ′(x) 0，∴f(x)在(－1,2]上单调递增．
又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．于是有22＋a＝20，解得a＝－2，
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2
∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7
19设p实数x满足x2－4ax＋3a2 0，其中a≠0，q实数x满足x2－x－6≤0，x2＋2x－8 0
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
(2)若p是q的必要不充分条，求实数a的取值范围．
解(1)由x2－x－6≤0，x2＋2x－8 0，得q2 x≤3。
贵州省黔东南州2018届高考第一次模拟考试数学(文)试题有答案AlUPAA
黔东南州2018届高三第一次模拟考试文科数学试卷 第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,2,3,4}A =，{3,4,5,6}B =，则()U C A B =U （ ） A ．{1,2,3,4,5,6} B ．{7,8} C ．{3,4} D ．{1,2,5,6,7,8} 2.已知复数z 满足(1)1i z i +=-，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．i -B ．-1 C ．i D ．13. 经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误．．的是（ ）A ．旅游总人数逐年增加B ．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和C ．年份数与旅游总人数成正相关D ．从2014年起旅游总人数增长加快4.在等差数列{}n a 中，若124a a +=，3412a a +=，则56a a +=（ ） A ．8 B ．16 C ．20 D ．285. 某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）A ．63．123．2 D ．26. 我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ）A ．3步B ．6步C ．4步D ．8步 7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比8q =，28S =，则（ ） A ．872n n S a =+B ．872n n S a =-C ．872n n a S =+D ．872n n a S =-8. 执行如图的程序框图，当输入的351n =时，输出的k =（ ）A ．355B ．354C ．353D ．3529.已知函数()2sin cos f x x x =22cos 1x +-，则函数ln ()y f x =的单调递增区间是（ ） A ．(,]88k k ππππ-+()k Z ∈ B ．3[,]88k k ππππ-+()k Z ∈ C ．3[,)88k k ππππ++()k Z ∈ D ．5[,]88k k ππππ++()k Z ∈ 10.已知过抛物线C ：24y x =的焦点F 且倾斜角为60o 的直线交抛物线于A ，B 两点，过A ，B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为M ，N ，则四边形AMNB 的面积为（ ） A 83643C 1283 D 64311.已知梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，且90DAB ∠=o，2AB =，1AD =，若点Q 满足2AQ QB =u u u r u u u r ，则QC QD ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．109-B ．109C ．139-D ．13912.如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意m n ≠，均有()()mf m nf n +()()0mf n nf m -->成立，则称函数()f x 为“和谐函数”.给出下列函数：①()ln 25xf x =-；②3()43f x x x =-++；③()2(sin cos )f x x x x =--；④ln ,0()0,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.其中函数是“和谐函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 若实数x ，y 满足116x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是．14.函数2()log 2xf x x -=-的零点个数是．15.直线20ax by -+=(0,0)a b >>与圆C ：22220x y x y ++-=交于两点A ，B ，当AB 最大时，14a b+的最小值为． 16.正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P 、Q ，若线段PQ 长度三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，Csin cos 20A a B a --=. （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若b =，ABC ∆的面积为2，求a c +的值. 18.为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人 参加比赛. （Ⅰ）求选出的2人都是高级导游的概率；（Ⅱ）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是[30,50]（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是[20,40]（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献的概率.19.如图所示，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，D 、E 分别为线段AB 、BC 上的点，且CD DE ==22CE EB ==.（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求点B 到平面PDE 的距离.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A .动直线l ：10()x my m R --=∈经过点2F ，且12AF F ∆是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 交C 于M 、N 两点，若点A 在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值. 21.函数()ln xf x e a x b =--在点(1,(1))P f 处的切线方程为0y =. （Ⅰ）求实数a ，b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）1x ∀≥，ln 0x ex ke -≤成立，求实数k 的取值范围.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(1,0)-，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆C 极坐标方程为2ρ=. （Ⅰ）当3πα=时，求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 的交点为A 、B ，证明：PA PB ⋅是与α无关的定值. 23.选修4-5：不等式选讲 设()221f x x x =-++. （Ⅰ）求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）[2,1]x ∀∈-，()2f x m -≤，求实数m 的取值范围.黔东南州2018届高三第一次模拟考试文科数学参考答案一、选择题1-5: BDBCA 6-10: BCBAD 11、12：DB1．解：由已知，{1,2,3,4,5,6},(){7,8}U A B A B =∴=U U ð，故选B.2. 解：由已知得21(1)2122i i iz i i ---====-+，所以共轭复数z i =，虚部为1，故选D. 3. 解：从图表中看出，选项B 明显错误．4. 解：设{}n a 的公差为d ，由124a a +=得124a d +=，由3412a a +=得12512a d +=联立解得11,2a d ==，所以5612920a a a d +=+=，故选C.5. 解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为高为4的三角形，其面积为 A.6. 解：由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8151718152222r r r ++=⨯⨯(等积法)，解得3r =，故其直径为6(步)．故选B. 7. 解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，由1128282818-⨯=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==n n a q a q S ；)282(7118)18(2-⨯⨯=--⨯=n n n S ；所以)28(71)282(71-⨯=-⨯⨯=n n n a S ，即278+=n n S a .故选C. 8. 解： ①351=n ，则351=k ，0=m ，20000≤=m 成立，3521351=+=k ，02352704m =+⨯=；②7042000m =≤成立，3531352=+=k ，70423531410m =+⨯=； ③14102000m =≤成立，3541353=+=k ，141023542118m =+⨯=； ④21182000m =≤不成立，所以输出354=k .故选B ．9. 解：由已知，化简得()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+，又ln ()y f x =与()y f x =的单调性相同且()0f x >，所以2(2,2],(,]()4288x k k x k k k Z ππππππππ+∈+∴∈-+∈，故选A.10.解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得1)y x =-代入抛物线方程24y x =化简得212131030,,33x x x x -+=∴==，所以1(,(3,33A B -，易知四边形AMNB 为梯形，故1(||||)||2AMNB S AM BN MN =+⋅1162339=⨯⨯=，故选D 11.解：由已知，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(2,0),(1,1),(0,1)B C D ，又2AQ QB =u u u r u u u r ，所以4(,0)3Q所以14413(,1)(,1)13399QC QD =-⋅-=+=u u u v u u u v g ，故选D.12.解：由已知得()(()())0m n f m f n -->，所以函数()f x 为“和谐函数”等价于()f x 在R 上为增函数，由此判断①()ln 25xf x =-在R 上为增函数，符合题意；②3()43f x x x =-++得2()34f x x '=-+，所以()f x 在R 上有增有减，不合题意；③()2(sin cos )f x x x =--得()2(cos sin )sin()]04f x x x x π'=+=-+≥，所以()f x 在R 上为增函数，符合题意；④ln ||,0()0,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩可知为偶函数，不合题意，所以①③符合题意，故选B. 二、填空题13. 11 14. 2 15.9216. 4 13. 解：本题考查线性规划，答案为11．14. 解：由2()0|log |20xf x x -=⇒-=，得21|log |()2x x =在同一坐标系中作出2|log |y x =与1()2x y =的图象，可知交点个数为2， 即()f x 的零点个数为2.15. 解：由已知，圆方程化为22(1)(1)2x y ++-=,所以圆心为(1,1),C r -=当||AB 最大时，直线经过圆心，所以20a b --+=，即2a b +=，即12a b+= 所以14141419()(14)(522)2222a b b a a b a b a b ++=+⋅=+++≥+⨯= 当且仅当4b a a b =且2a b +=时取等号，所以14a b +的最小值为92.16. 解：设这个四面体的棱长为a ，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径4R a =外，12r a =内，依题意得,44123a a a +=∴=． 三、解答题17.解：sin sin cos 2sin 0B A A B A --=， 因为sin 0A ≠cos 20B B --=，即sin()1,6B π-=又5(0,),(,)666B B ππππ∈∴-∈-，62B ππ∴-=，所以23B π=.（Ⅱ）由已知11sin 222ABC S ac B ac ac ∆===∴=， 由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-，即217()22()2a c ac ac =+--⋅-， 即27()a c ac =+-，又0,0a c >>所以3a c +=.18. 解：(Ⅰ)设来自甲旅游协会的3名导游为123,,A A A ，其中23,A A 为高级导游， 来自乙旅游协会的3名导游为123,,B B B ，其中3B 为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：1213111213,,,,A A A A A B A B A B ;23212223,,,A A A B A B A B ; 313233,,A B A B A B ; 1213,B B B B ;23B B 共15种，其中选出的2人都是高级导游的有2323,,A A A B 33A B ，共3种 所以选出的2人都是高级导游的概率为 31155p ==. (Ⅱ)依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为x （单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献为y （单位：万元），则[30,50]x ∈且[20,40]y ∈， 若甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献， 则x y ≥，属于几何概型问题作图，由图可知 1,DEF ABCD S S S S ∆==，所求概率为1111010721120208S S S p S S ⨯⨯-==-=-=⨯.FE y=x 40205030OyxD C A B19. (Ⅰ)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故.PC DE ⊥ 由2,2CE CD DE ===，得CDE ∆为等腰直角三角形，故.CD DE ⊥又PC CD C =I ，故DE ⊥平面PCD ．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，CDE ∆为等腰直角三角形，,4DCE π∠=过D 作DF 垂直CE 于F ，易知1DF CF EF ===， 又DE ⊥平面PCD ，所以DE PD ⊥，2211PD PC CD =+=，设点B 到平面PDE 的距离为h ，即为三棱锥B PDE -的高， 由B PDE P BDE V V --=得 1133PDE BDE S h S PC ∆∆⋅=⋅， 即11113232PD DE h BE DF PC ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅， 即112113h ⨯⨯=⨯⨯，所以322h =， 所以点B 到平面PDE 的距离为32222.20. 解：(Ⅰ) 因为直线:10l x my --=经过点2(,0)F c ，所以1c =， 又12AF F ∆是等腰直角三角形，所以()222222a a c a +=⇒=，所以2221b a c =-=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=． (Ⅱ) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，易知(0,1)A ，若点A 在以线段MN 为直径的圆上，则AM AN ⊥，即0AM AN =⋅u u u u r u u u r，所以1122(,1)(,1)0x y x y -⋅-=，即1212(1)(1)0x x y y +--=， 化简得121212()10x x y y y y +-++=①，由221012x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=．所以12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 21212222(1)(1)2m x x my my m -=++=+代入①中得2222221210222m m m m m --++=+++化简得2230m m --=，解得1m =-，或3m =. 因此所求m 的值为1-或3. 21. 解：(Ⅰ)()x af x e x'=-，依题意得(1)0f =，(1)0f '=，则有 00e b a ee a b e ⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． (Ⅱ)由(Ⅰ)得()ln xf x e e x e =--，()x ef x e x'=-， 由于()f x '在区间(0,)+∞上为增函数，且(1)0f '=，则当01x <<时，()(1)0f x f '<'=；当1x >时，()(1)0f x f '>'=， 故函数()f x 的减区间是(0,1)，增区间是(1,)+∞． (Ⅲ) 由ln 0x ex ke -≤得1ln 0x x ke +-≤，所以1ln xxk e +≥， 设1ln (),1xxh x x e +=≥，只须max ()|k h x ≥， 由(Ⅱ)知当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，即(ln 1)xe e x ≥+对1x ≥恒成立． 即ln 11xx e e +≤（当且仅当1x =时取等号）所以函数max 1()(1)h x h e==， 故k 的取值范围是1[,)e+∞．22. 解：(Ⅰ)当3πα=时，l的参数方程为1122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去t得y =由圆C 极坐标方程为2ρ=，得224x y +=．故直线l的普通方程为1)y x =+， 圆C 的直角坐标方程为224x y +=．(Ⅱ)将1cos sinx t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y +=得，22cos 30t t α--=．设其两根分别为12,t t ，则123t t =-．由t 的几何意义知||||PA PB ⋅12||||3t t =⋅=． 故||||PA PB ⋅为定值3(与α无关) ．23. 解：(Ⅰ)3, (1)()4, (12)3, (2)x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，由()6f x ≤解得22x -≤≤，故不等式()6f x ≤的解集为[2,2]-． (Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：()f x 在区间[2,1]--为减函数，在区间[1,1]-上为增函数，而(2)6(1)5f f -=>=，故在区间[2,1]-上，min ()(1)3f x f =-=，max ()(2)6f x f =-=． 由|()|22()2f x m m f x m -≤⇒-≤≤+． 所以max 2()m f x +≥且min 2()m f x -≤， 于是26m +≥且23m -≤， 故实数m 的取值范围是[4,5]．黔东南州2018届高三第一次模拟考试文科数学参考答案一、选择题1．解：由已知，U ，故选B.2. 解：由已知得21(1)2122i i iz i i ---====-+，所以共轭复数z i =，虚部为1，故选D. 3. 解：从图表中看出，选项B 明显错误．4. 解：设{}n a 的公差为d ，由124a a +=得124a d +=，由3412a a +=得12512a d +=联立解得11,2a d ==，所以5612920a a a d +=+=，故选C.5. 解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为高为4的三角形，其面积为 A.6. 解：由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8151718152222r r r ++=⨯⨯(等积法)，解得3r =，故其直径为6(步)．故选B. 7. 解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，由1128282818-⨯=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==n n a q a q S ；)282(7118)18(2-⨯⨯=--⨯=n n n S ；所以)28(71)282(71-⨯=-⨯⨯=n n n a S ，即278+=n n S a .故选C. 8. 解： ①351=n ，则351=k ，0=m ，20000≤=m 成立，3521351=+=k ，02352704m =+⨯=；②7042000m =≤成立，3531352=+=k ，70423531410m =+⨯=； ③14102000m =≤成立，3541353=+=k ，141023542118m =+⨯=； ④21182000m =≤不成立，所以输出354=k .故选B ．9. 解：由已知，化简得()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+，又ln ()y f x =与()y f x =的单调性相同且()0f x >，所以2(2,2],(,]()4288x k k x k k k Z ππππππππ+∈+∴∈-+∈，故选A.10.解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得1)y x =-代入抛物线方程24y x =化简得212131030,,33x x x x -+=∴==，所以1(,(3,33A B -，易知四边形AMNB 为梯形，故1(||||)||2AMNB S AM BN MN =+⋅1162339=⨯⨯=，故选D 11.解：由已知，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(2,0),(1,1),(0,1)B C D ，又2AQ QB =u u u ru u u r，所以4(,0)3Q所以14413(,1)(,1)13399QC QD =-⋅-=+=u u u v u u u v g ，故选D.12.解：由已知得()(()())0m n f m f n -->，所以函数()f x 为“和谐函数”等价于()f x 在R 上为增函数，由此判断①()ln 25xf x =-在R 上为增函数，符合题意；②3()43f x x x =-++得2()34f x x '=-+，所以()f x 在R 上有增有减，不合题意；③()2(sin cos )f x x x =--得()2(cos sin )sin()]04f x x x x π'=+=-+≥，所以()f x 在R 上为增函数，符合题意；④ln ||,0()0,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩可知为偶函数，不合题意，所以①③符合题意，故选B. 二、填空题14. 解：由2()0|log |20xf x x -=⇒-=，得21|log |()2x x =在同一坐标系中作出2|log |y x =与1()2x y =的图象，可知交点个数为2， 即()f x 的零点个数为2.15. 解：由已知，圆方程化为22(1)(1)2x y ++-=,所以圆心为(1,1),C r -=当||AB 最大时，直线经过圆心，所以20a b --+=，即2a b +=，即12a b+= 所以14141419()(14)(522)2222a b b a a b a b a b ++=+⋅=+++≥+⨯= 当且仅当4b a a b =且2a b +=时取等号，所以14a b +的最小值为9216. 解：设这个四面体的棱长为a ，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径R =外， r =内，4a +=∴=．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：sin sin cos 2sin 0B A A B A --=， 因为sin 0A ≠cos 20B B --=，即sin()1,6B π-=又5(0,),(,)666B B ππππ∈∴-∈-62B ππ∴-=所以23B π=…………………（6分）（Ⅱ）由已知11sin 222ABC S ac B ac ac ∆===∴= 由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-，即217()22()2a c ac ac =+--⋅- 即27()a c ac =+-，又0,0a c >>所以3a c += …（12分） 18. 解：(Ⅰ)设来自甲旅游协会的3名导游为123,,A A A ，其中23,A A 为高级导游， 来自乙旅游协会的3名导游为123,,B B B ，其中3B 为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：1213111213,,,,A A A A A B A B A B ;23212223,,,A A A B A B A B ; 313233,,A B A B A B ; 1213,B B B B ;23B B 共15种，其中选出的2人都是高级导游的有2323,,A A A B 33A B ，共3种所以选出的2人都是高级导游的概率为 31155p ==………………………（6分） (Ⅱ)依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为x （单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献为y （单位：万元），则[30,50]x ∈且[20,40]y ∈，若甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献，则x y ≥，属于几何概型问题作图，由图可知 1,DEF ABCD S S S S ∆==，所求概率为1111010721120208S S S p S S ⨯⨯-==-=-=⨯……………………………（12分）19. (Ⅰ)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故.PC DE ⊥由2,CE CD DE ===CDE ∆为等腰直角三角形，故.CD DE ⊥又PC CD C =I ，故DE ⊥平面PCD ．…………………（6分） (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，CDE ∆为等腰直角三角形，,4DCE π∠=过D 作DF 垂直CE 于F ，易知1DF CF EF === 又DE ⊥平面PCD ，所以DE PD ⊥，2211PD PC CD =+=设点B 到平面PDE 的距离为h ，即为三棱锥B PDE -的高 由B PDE P BDE V V --=得 1133PDE BDE S h S PC ∆∆⋅=⋅ 即11113232PD DE h BE DF PC ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ 112113h =⨯⨯，所以322h =所以点B 到平面PDE 的距离为32222………………………………（12分） 20. 解：(Ⅰ) 因为直线:10l x my --=经过点2(,0)F c ，所以1c =， 又12AF F ∆是等腰直角三角形，所以()222222a a c a +=⇒=所以2221b a c =-=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．……（5分） (Ⅱ) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，易知(0,1)A若点A 在以线段MN 为直径的圆上，则AM AN ⊥，即0AM AN =⋅u u u u r u u u r所以1122(,1)(,1)0x y x y -⋅-=，即1212(1)(1)0x x y y +--= 化简得121212()10x x y y y y +-++=①由221012x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=．所以12122221,22m y y y y m m +=-=-++…………………………………………（8分） 21212222(1)(1)2m x x my my m -=++=+代入①中得2222221210222m m m m m --++=+++化简得2230m m --=，解得1m =-，或3m = 因此所求m 的值为1-或3……………………………………………（12分） 21. 解：(Ⅰ)()x af x e x'=-， 依题意得(1)0f =，(1)0f '=，则有 00e b a ee a b e ⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． …………………………………………………（4分） (Ⅱ)由(Ⅰ)得()ln xf x e e x e =--，()x ef x e x'=-，由于()f x '在区间(0,)+∞上为增函数，且(1)0f '=，则当01x <<时，()(1)0f x f '<'=；当1x >时，()(1)0f x f '>'=，故函数()f x 的减区间是(0,1)，增区间是(1,)+∞．…………………………………（8分） (Ⅲ) 由ln 0x ex ke -≤得1ln 0x x ke +-≤，所以1ln xxk e+≥ 设1ln (),1xxh x x e+=≥，只须max ()|k h x ≥， 由(Ⅱ)知当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，即(ln 1)xe e x ≥+对1x ≥恒成立． 即ln 11x x e e +≤（当且仅当1x =时取等号）所以函数max1()(1)h x h e==， ， 故k 的取值范围是1[,)e+∞．…………………………………………………（12分）22. 解：(Ⅰ)当3πα=时，l的参数方程为1122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去t得y =由圆C 极坐标方程为2ρ=，得224x y +=．故直线l的普通方程为1)y x =+ 圆C 的直角坐标方程为224x y +=．…………………………………………………（5分） (Ⅱ)将1cos sinx t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y +=得，22cos 30t t α--=．设其两根分别为12,t t ，则123t t =-． 由t 的几何意义知||||PA PB ⋅12||||3t t =⋅=． 故||||PA PB ⋅为定值3(与α无关) ． ………………………………………………（10分）23. 解：(Ⅰ)3, (1)()4, (12)3, (2)x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，由()6f x ≤解得22x -≤≤，故不等式()6f x ≤的解集为[2,2]-． …………………………………………………（5分） (Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：()f x 在区间[2,1]--为减函数，在区间[1,1]-上为增函数，而(2)6(1)5f f -=>=，故在区间[2,1]-上，min ()(1)3f x f =-=，max ()(2)6f x f =-=． 由|()|22()2f x m m f x m -≤⇒-≤≤+． 所以max 2()m f x +≥且min 2()m f x -≤， 于是26m +≥且23m -≤，故实数m 的取值范围是[4,5]． …………………………………………………（10分）。
2018届贵州省黔东南州高三第一次模拟考试卷 数学(文)
2018届贵州省黔东南州高三第一次模拟考试卷数学（文）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则()U C A B =（ ）A ．{}1,2,3,4,5,6B ．{}7,8C ．{}3,4D ．{}1,2,5,6,7,82．已知复数z 满足()1i 1i z +=-，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．i -B ．-1C ．iD ．13． 经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”．如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在．根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误．．的是（ ）A ．旅游总人数逐年增加B ．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和C ．年份数与旅游总人数成正相关D ．从2014年起旅游总人数增长加快4．在等差数列{}n a 中，若124a a +=，3412a a +=，则56a a +=（ ） A ．8B ．16C ．20D ．285．某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）A．B．C．D．6． 我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ） A ．3步B ．6步C ．4步D ．8步7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比8q =，28S =，则（ ） A ．872n n S a =+B ．872n n S a =-C ．872n n a S =+D ．872n n a S =-8． 执行如图的程序框图，当输入的351n =时，输出的k =（ ）A ．355B ．354C ．353D ．3529．已知函数()2sin cos f x x x =22cos 1x +-，则函数()ln y f x =的单调递增区间是（ ）A ．πππ,π88k k ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦()k ∈Z B ．3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．π3ππ,π88k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭()k ∈ZD ．π5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 10．已知过抛物线C ：24y x =的焦点F 且倾斜角为60︒的直线交抛物线于A ，B 两点，过A ，B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为M ，N ，则四边形AMNB 的面积为（ ）A．3B．3C．9D．911．已知梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB CD =，且90DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，若点Q 满足2AQ QB =，则QC QD ⋅=（ ） A ．109-B ．109C ．139-D ．13912．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意m n ≠，均有()()mf m nf n +()()0mf n nf m -->成立，则称函数()f x 为“和谐函数”．给出下列函数：①()ln 25xf x =-；②()343f x x x =-++；③()2(sin cos )f x x x x =--；④()ln ,00,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩．其中函数是“和谐函数”的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若实数x ，y 满足116x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是 ．14．函数()2log 2xf x x -=-的零点个数是 ．15．直线20ax by -+=()0,0a b >>与圆C ：22220x y x y ++-=交于两点A ，B ，当AB 最大时，14a b+的最小值为 ． 16．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P 、Q ，若线段PQ，则这个四面体的棱长为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos 20A a B a --=． （1）求B 的大小； （2）若b =ABC △的面积为2，求a c +的值．18．（12分）为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名．从这6名导游中随机选择2人 参加比赛． （1）求选出的2人都是高级导游的概率；（2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是[]30,50（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是[]20,40（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献的概率．19．（12分）如图所示，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，D 、E 分别为线段AB 、BC上的点，且CD DE ==22CE EB ==．（1）求证：DE ⊥平面PCD ； （2）求点B 到平面PDE 的距离．20．（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ．动直线l ：()10x my m --=∈R 经过点2F ，且12AF F △是等腰直角三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 交C 于M 、N 两点，若点A 在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值．21．（12分）函数()e ln x f x a x b =--在点()()1,1P f 处的切线方程为0y =． （1）求实数a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间；（3）1x ∀≥，ln e e 0xx k -≤成立，求实数k 的取值范围．请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()1,0-，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆C 极坐标方程为2ρ=． （1）当π3α=时，求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）直线l 与圆C 的交点为A 、B ，证明：PA PB ⋅是与α无关的定值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设()221f x x x =-++． （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）[]2,1x ∀∈-，()2f x m -≤，求实数m 的取值范围．2018届贵州省黔东南州高三第一次模拟考试卷 数学（文） 答案一、选择题 1-5．BDBCA 6-10．BCBAD11-12．DB1．解：由已知，{}1,2,3,4,5,6AB =，(){}7,8U AB ∴=ð，故选B ． 2．解：由已知得()21i 1i 2ii 1i 22z ---====-+，所以共轭复数i z =，虚部为1，故选D ．3．解：从图表中看出，选项B 明显错误．4．解：设{}n a 的公差为d ，由124a a +=得124a d +=，由3412a a +=得12512a d +=，联立解得11,2a d ==，所以5612920a a a d +=+=，故选C ．5．解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为 高为4的三角形，其面积为A ．6．解：由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8151718152222r r r ++=⨯⨯(等积法)，解得3r =，故其直径为6(步)．故选B ． 7．解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，由1128282818-⨯=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==n n a q a q S ；()()2811282817n n n S ⨯-==⨯⨯--； 所以()()112828277n n n S a =⨯⨯-=⨯-，即278+=n n S a ．故选C ．8．解：①351=n ，则351=k ，0=m ，20000≤=m 成立，3521351=+=k ，02352704m =+⨯=；②7042000m =≤成立，3531352=+=k ，70423531410m =+⨯=； ③14102000m =≤成立，3541353=+=k ，141023542118m =+⨯=； ④21182000m =≤不成立，所以输出354=k ．故选B ． 9．解：由已知，化简得()πsin 2cos 224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又()ln y f x =与()y f x =的单调性相同且()0f x >，所以ππ22π,2π42x k k ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，()πππ,π88x k k k ⎛⎤∴∈-+∈ ⎥⎝⎦Z ，故选A ． 10．解：设()11,A x y ，()22,B x y，由已知得)1y x =-代入抛物线方程24y x =化简得231030x x -+=，113x ∴=，23x =，所以1,3A ⎛ ⎝⎭，(3,B ， 易知四边形AMNB 为梯形，故()12AMNB S AM BN MN =+⋅1162339=⨯⨯=D ． 11．解：由已知，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(2,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D ，又2AQ QB =，所以4,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以14413,1,113399QC QD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ． 12．解：由已知得()()()()0m n f m f n -->，所以函数()f x 为“和谐函数”等价于()f x 在R 上为增函数，由此判断①()ln 25x f x =-在R 上为增函数，符合题意；②()343f x x x =-++得()234f x x '=-+，所以()f x 在R 上有增有减，不合题意； ③()()2sin cos f x x x =--得()()π2cos sin 1sin 04f x x x x ⎤⎛⎫'=+=-+≥ ⎪⎥⎝⎭⎦所以()f x 在R 上为增函数，符合题意； ④()ln ,00,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩可知为偶函数，不合题意，所以①③符合题意，故选B ．二、填空题 13．1114．215．9216．413．解：本题考查线性规划，答案为11．14．解：由()20log 20xf x x -=⇒-=，得21log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一坐标系中作出2log y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，可知交点个数为2，即()f x 的零点个数为2．15．解：由已知，圆方程化为()()22112x y ++-=,所以圆心为()1,1C -，r =当AB 最大时，直线经过圆心，所以20a b --+=，即2a b +=，即12a b+=，所以()14141419145222222a b b a a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+⋅=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4b a a b =且2a b +=时取等号，所以14a b+的最小值为92． 16．解：设这个四面体的棱长为a，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径4R a =外，r =内=，4a ∴=．三、解答题17．【答案】（1）2π3B =；（2）3a c +=． 【解析】（1sin sin cos 2sin 0B A A B A --=， 因为sin 0A ≠cos 20B B --=，即πsin 16B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又()0,πB ∈，ππ5π,666B ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，ππ62B ∴-=，所以2π3B =． （2）由已知11sin 22ABCS ac B ac ===△2ac ∴=， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即()217222a c ac ac ⎛⎫=+--⋅- ⎪⎝⎭，即()27a c ac =+-，又0a >，0c >，所以3a c +=．18．【答案】（1）15p =；（2）78p =．【解析】（1）设来自甲旅游协会的3名导游为123,,A A A ，其中23,A A 为高级导游， 来自乙旅游协会的3名导游为123,,B B B ，其中3B 为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B ，23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，31A B ，32A B ，33A B ，12B B ，13B B ，23B B 共15种，其中选出的2人都是高级导游的有23A A ，23A B ，33A B 共3种， 所以选出的2人都是高级导游的概率为31155p ==． （2）依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为x （单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献为y （单位：万元），则[30,50]x ∈且[20,40]y ∈， 若甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献，则x y ≥， 属于几何概型问题，作图，由图可知 1DEF S S =△，ABCD S S =，所求概率为1111010721120208S S S p S S ⨯⨯-==-=-=⨯．19．【答案】（1）见解析；（2）22． 【解析】（1）证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故.PC DE ⊥ 由2CE =，CD DE ==CDE △为等腰直角三角形，故.CD DE ⊥又PCCD C =，故DE ⊥平面PCD ．（2）由（1）知，CDE △为等腰直角三角形，π4DCE ∠=， 过D 作DF 垂直CE 于F ，易知1DF CF EF ===， 又DE ⊥平面PCD ，所以DE PD ⊥，PD ==设点B 到平面PDE 的距离为h ，即为三棱锥B PDE -的高， 由B PDE P BDE V V --=得 1133PDE BDE S h S PC ⋅=⋅△△，即11113232PD DE h BE DF PC ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅113h =⨯⨯，所以22h =， 所以点B 到平面PDE 的距离为22．20．【答案】（1）椭圆C 的标准方程：2212x y +=；（2）1-或3． 【解析】（1）因为直线:10l x my --=经过点2(,0)F c ，所以1c =，又12AF F △是等腰直角三角形，所以()222222a a c a +=⇒=，所以2221b a c =-=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，易知(0,1)A ，若点A 在以线段MN 为直径的圆上，则AM AN ⊥，即0AM AN =⋅， 所以1122(,1)(,1)0x y x y -⋅-=，即1212(1)(1)0x x y y +--=， 化简得121212()10x x y y y y +-++=①，由221012x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=． 所以12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，21212222(1)(1)2mx x my my m -=++=+代入①中得 2222221210222m mm m m --++=+++化简得2230m m --=，解得1m =-，或3m =． 因此所求m 的值为1-或3．21．【答案】（1）e a =，e b =；（2）函数()f x 的减区间是()0,1，增区间是()1,+∞；（3）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】（1）()e xa f x x'=-， 依题意得(1)0f =，(1)0f '=，则有e 0ee 0e b a a b ⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩．（2）由（1）得()e eln e xf x x =--，e ()e xf x x'=-， 由于()f x '在区间(0,)+∞上为增函数，且(1)0f '=，则当01x <<时，()(1)0f x f '<'=；当1x >时，()(1)0f x f '>'=， 故函数()f x 的减区间是()0,1，增区间是()1,+∞．（3）由ln e e 0x x k -≤得1ln e 0xx k +-≤，所以1ln e xxk +≥， 设()1ln ,1exxh x x +=≥，只须()max |k h x ≥， 由（2）知当1x ≥时，()()10f x f ≥=，即()e e ln 1x x ≥+对1x ≥恒成立． 即ln 11e e x x +≤（当且仅当1x =时取等号）所以函数()()max11eh x h ==， 故k 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．22．【答案】（1）直线l的普通方程：)1y x =+，圆C 的直角坐标方程：224x y +=；（2）见解析．【解析】（1）当π3α=时，l的参数方程为1122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去t得y =由圆C 极坐标方程为2ρ=，得224x y +=．故直线l的普通方程为)1y x =+， 圆C 的直角坐标方程为224x y +=． （2）将1cos sinx t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y +=得，22cos 30t t α--=．设其两根分别为12,t t ，则123t t =-．由t 的几何意义知||||PA PB ⋅12||||3t t =⋅=． 故||||PA PB ⋅为定值3(与α无关)． 23．【答案】（1）[2,2]-；（2）[4,5]．【解析】（1）()()()()3, 14, 123, 2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，由()6f x ≤解得22x -≤≤，故不等式()6f x ≤的解集为[2,2]-． （2）由（1）及一次函数的性质知：()f x 在区间[2,1]--为减函数，在区间[1,1]-上为增函数，而(2)6(1)5f f -=>=，故在区间[2,1]-上，()min (1)3f x f =-=，()max (2)6f x f =-=．由()()||222f x m m f x m -≤⇒-≤≤+．所以()max 2m f x +≥且()min 2m f x -≤， 于是26m +≥且23m -≤，故实数m 的取值范围是[4,5]．。
贵州省黔东南州2018届高三第一次模拟考试数学(文)试题word版有答案AlUHlM
黔东南州2018届高三第一次模拟考试文科数学试卷 第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,2,3,4}A =，{3,4,5,6}B =，则()U C A B =U （ ） A ．{1,2,3,4,5,6} B ．{7,8} C ．{3,4} D ．{1,2,5,6,7,8} 2.已知复数z 满足(1)1i z i +=-，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．i - B ．-1 C ．i D ．13. 经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误．．的是（ ）A ．旅游总人数逐年增加B ．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和C ．年份数与旅游总人数成正相关D ．从2014年起旅游总人数增长加快4.在等差数列{}n a 中，若124a a +=，3412a a +=，则56a a +=（ ） A ．8 B ．16 C ．20 D ．285. 某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）A ．63．123．2 D ．26. 我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ）A ．3步B ．6步C ．4步D ．8步 7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比8q =，28S =，则（ ） A ．872n n S a =+ B ．872n n S a =- C ．872n n a S =+ D ．872n n a S =- 8. 执行如图的程序框图，当输入的351n =时，输出的k =（ ）A ．355B ．354C ．353D ．3529.已知函数()2sin cos f x x x =22cos 1x +-，则函数ln ()y f x =的单调递增区间是（ ） A ．(,]88k k ππππ-+()k Z ∈ B ．3[,]88k k ππππ-+()k Z ∈ C ．3[,)88k k ππππ++()k Z ∈ D ．5[,]88k k ππππ++()k Z ∈ 10.已知过抛物线C ：24y x =的焦点F 且倾斜角为60o 的直线交抛物线于A ，B 两点，过A ，B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为M ，N ，则四边形AMNB 的面积为（ ） A 83643 C 1283 D 64311.已知梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，且90DAB ∠=o，2AB =，1AD =，若点Q 满足2AQ QB =u u u r u u u r ，则QC QD ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．109-B ．109C ．139-D ．13912.如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意m n ≠，均有()()mf m nf n +()()0mf n nf m -->成立，则称函数()f x 为“和谐函数”.给出下列函数：①()ln 25xf x =-；②3()43f x x x =-++；③()2(sin cos )f x x x x =--；④ln ,0()0,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.其中函数是“和谐函数”的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 若实数x ，y 满足116x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是 ．14.函数2()log 2xf x x -=-的零点个数是 ．15.直线20ax by -+=(0,0)a b >>与圆C ：22220x y x y ++-=交于两点A ，B ，当AB 最大时，14a b+的最小值为 ． 16.正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P 、Q ，若线段PQ 长度，则这个四面体的棱长为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，Csin cos 20A a B a --=. （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若b =，ABC ∆的面积为2，求a c +的值. 18.为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人 参加比赛. （Ⅰ）求选出的2人都是高级导游的概率；（Ⅱ）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是[30,50]（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是[20,40]（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献的概率.19.如图所示，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，D 、E 分别为线段AB 、BC 上的点，且CD DE ==22CE EB ==.（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求点B 到平面PDE 的距离.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A .动直线l ：10()x my m R --=∈经过点2F ，且12AF F ∆是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 交C 于M 、N 两点，若点A 在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值. 21.函数()ln xf x e a x b =--在点(1,(1))P f 处的切线方程为0y =. （Ⅰ）求实数a ，b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）1x ∀≥，ln 0x ex ke -≤成立，求实数k 的取值范围.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(1,0)-，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆C 极坐标方程为2ρ=. （Ⅰ）当3πα=时，求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 的交点为A 、B ，证明：PA PB ⋅是与α无关的定值. 23.选修4-5：不等式选讲 设()221f x x x =-++. （Ⅰ）求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）[2,1]x ∀∈-，()2f x m -≤，求实数m 的取值范围.黔东南州2018届高三第一次模拟考试文科数学参考答案一、选择题1-5: BDBCA 6-10: BCBAD 11、12：DB1．解：由已知，{1,2,3,4,5,6},(){7,8}U A B A B =∴=U U ð，故选B.2. 解：由已知得21(1)2122i i iz i i ---====-+，所以共轭复数z i =，虚部为1，故选D. 3. 解：从图表中看出，选项B 明显错误．4. 解：设{}n a 的公差为d ，由124a a +=得124a d +=，由3412a a +=得12512a d +=联立解得11,2a d ==，所以5612920a a a d +=+=，故选C.5. 解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为高为4的三角形，其面积为 A.6. 解：由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8151718152222r r r ++=⨯⨯(等积法)，解得3r =，故其直径为6(步)．故选B. 7. 解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，由1128282818-⨯=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==n n a q a q S ；)282(7118)18(2-⨯⨯=--⨯=n n n S ；所以)28(71)282(71-⨯=-⨯⨯=n n n a S ，即278+=n n S a .故选C. 8. 解： ①351=n ，则351=k ，0=m ，20000≤=m 成立，3521351=+=k ，02352704m =+⨯=；②7042000m =≤成立，3531352=+=k ，70423531410m =+⨯=； ③14102000m =≤成立，3541353=+=k ，141023542118m =+⨯=； ④21182000m =≤不成立，所以输出354=k .故选B ．9. 解：由已知，化简得()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+，又ln ()y f x =与()y f x =的单调性相同且()0f x >，所以2(2,2],(,]()4288x k k x k k k Z ππππππππ+∈+∴∈-+∈，故选A.10. 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得1)y x =-代入抛物线方程24y x =化简得212131030,,33x x x x -+=∴==，所以1(,(3,33A B -，易知四边形AMNB 为梯形，故1(||||)||2AMNB S AM BN MN =+⋅1162339=⨯⨯=，故选D 11. 解：由已知，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(2,0),(1,1),(0,1)B C D ，又2AQ QB =u u u r u u u r ，所以4(,0)3Q所以14413(,1)(,1)13399QC QD =-⋅-=+=u u u v u u u v g ，故选D.12. 解：由已知得()(()())0m n f m f n -->，所以函数()f x 为“和谐函数”等价于()f x 在R 上为增函数，由此判断①()ln 25xf x =-在R 上为增函数，符合题意；②3()43f x x x =-++得2()34f x x '=-+，所以()f x 在R 上有增有减，不合题意；③()2(sin cos )f x x x =--得()2(cos sin )sin()]04f x x x x π'=+=-+≥，所以()f x 在R 上为增函数，符合题意；④ln ||,0()0,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩可知为偶函数，不合题意，所以①③符合题意，故选B. 二、填空题13. 11 14. 2 15.9216. 4 13. 解：本题考查线性规划，答案为11．14. 解：由2()0|log |20xf x x -=⇒-=，得21|log |()2x x =在同一坐标系中作出2|log |y x =与1()2x y =的图象，可知交点个数为2， 即()f x 的零点个数为2.15. 解：由已知，圆方程化为22(1)(1)2x y ++-=,所以圆心为(1,1),C r -=当||AB 最大时，直线经过圆心，所以20a b --+=，即2a b +=，即12a b+= 所以14141419()(14)(522)2222a b b a a b a b a b ++=+⋅=+++≥+⨯= 当且仅当4b a a b =且2a b +=时取等号，所以14a b +的最小值为92.16. 解：设这个四面体的棱长为a ，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径4R a =外，12r a =内，依题意得,44123a a a +=∴=． 三、解答题17. 解：sin sin cos 2sin 0B A A B A --=， 因为sin 0A ≠cos 20B B --=，即sin()1,6B π-=又5(0,),(,)666B B ππππ∈∴-∈-，62B ππ∴-=，所以23B π=.（Ⅱ）由已知11sin 222ABC S ac B ac ac ∆===∴=， 由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-，即217()22()2a c ac ac =+--⋅-， 即27()a c ac =+-，又0,0a c >>所以3a c +=.18. 解：(Ⅰ)设来自甲旅游协会的3名导游为123,,A A A ，其中23,A A 为高级导游， 来自乙旅游协会的3名导游为123,,B B B ，其中3B 为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：1213111213,,,,A A A A A B A B A B ;23212223,,,A A A B A B A B ; 313233,,A B A B A B ; 1213,B B B B ;23B B 共15种，其中选出的2人都是高级导游的有2323,,A A A B 33A B ，共3种 所以选出的2人都是高级导游的概率为 31155p ==. (Ⅱ)依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为x （单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献为y （单位：万元），则[30,50]x ∈且[20,40]y ∈， 若甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献， 则x y ≥，属于几何概型问题作图，由图可知 1,DEF ABCD S S S S ∆==，所求概率为1111010721120208S S S p S S ⨯⨯-==-=-=⨯.FE y=x 40205030OyxD C A B19. (Ⅰ)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故.PC DE ⊥ 由2,2CE CD DE ===，得CDE ∆为等腰直角三角形，故.CD DE ⊥又PC CD C =I ，故DE ⊥平面PCD ．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，CDE ∆为等腰直角三角形，,4DCE π∠=过D 作DF 垂直CE 于F ，易知1DF CF EF ===， 又DE ⊥平面PCD ，所以DE PD ⊥，2211PD PC CD =+=，设点B 到平面PDE 的距离为h ，即为三棱锥B PDE -的高， 由B PDE P BDE V V --=得 1133PDE BDE S h S PC ∆∆⋅=⋅， 即11113232PD DE h BE DF PC ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅， 即112113h ⨯⨯=⨯⨯，所以322h =， 所以点B 到平面PDE 的距离为32222.20. 解：(Ⅰ) 因为直线:10l x my --=经过点2(,0)F c ，所以1c =， 又12AF F ∆是等腰直角三角形，所以()222222a a c a +=⇒=，所以2221b a c =-=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=． (Ⅱ) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，易知(0,1)A ，若点A 在以线段MN 为直径的圆上，则AM AN ⊥，即0AM AN =⋅u u u u r u u u r，所以1122(,1)(,1)0x y x y -⋅-=，即1212(1)(1)0x x y y +--=， 化简得121212()10x x y y y y +-++=①，由221012x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=．所以12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 21212222(1)(1)2m x x my my m -=++=+代入①中得2222221210222m m m m m --++=+++化简得2230m m --=，解得1m =-，或3m =. 因此所求m 的值为1-或3. 21. 解：(Ⅰ)()x af x e x'=-，依题意得(1)0f =，(1)0f '=，则有 00e b a ee a b e ⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． (Ⅱ)由(Ⅰ)得()ln xf x e e x e =--，()x ef x e x'=-， 由于()f x '在区间(0,)+∞上为增函数，且(1)0f '=，则当01x <<时，()(1)0f x f '<'=；当1x >时，()(1)0f x f '>'=， 故函数()f x 的减区间是(0,1)，增区间是(1,)+∞． (Ⅲ) 由ln 0x ex ke -≤得1ln 0x x ke +-≤，所以1ln xxk e +≥， 设1ln (),1xxh x x e +=≥，只须max ()|k h x ≥， 由(Ⅱ)知当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，即(ln 1)xe e x ≥+对1x ≥恒成立． 即ln 11xx e e +≤（当且仅当1x =时取等号）所以函数max 1()(1)h x h e==， 故k 的取值范围是1[,)e+∞．22. 解：(Ⅰ)当3πα=时，l的参数方程为1122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去t得y =由圆C 极坐标方程为2ρ=，得224x y +=．故直线l的普通方程为1)y x =+， 圆C 的直角坐标方程为224x y +=．(Ⅱ)将1cos sinx t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y +=得，22cos 30t t α--=．设其两根分别为12,t t ，则123t t =-．由t 的几何意义知||||PA PB ⋅12||||3t t =⋅=． 故||||PA PB ⋅为定值3(与α无关) ．23. 解：(Ⅰ)3, (1)()4, (12)3, (2)x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，由()6f x ≤解得22x -≤≤，故不等式()6f x ≤的解集为[2,2]-． (Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：()f x 在区间[2,1]--为减函数，在区间[1,1]-上为增函数，而(2)6(1)5f f -=>=，故在区间[2,1]-上，min ()(1)3f x f =-=，max ()(2)6f x f =-=． 由|()|22()2f x m m f x m -≤⇒-≤≤+． 所以max 2()m f x +≥且min 2()m f x -≤， 于是26m +≥且23m -≤， 故实数m 的取值范围是[4,5]．黔东南州2018届高三第一次模拟考试文科数学参考答案一、选择题1．解：由已知，U ，故选B.2. 解：由已知得21(1)2122i i iz i i ---====-+，所以共轭复数z i =，虚部为1，故选D. 3. 解：从图表中看出，选项B 明显错误．4. 解：设{}n a 的公差为d ，由124a a +=得124a d +=，由3412a a +=得12512a d +=联立解得11,2a d ==，所以5612920a a a d +=+=，故选C.5. 解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为高为4的三角形，其面积为 A.6. 解：由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8151718152222r r r ++=⨯⨯(等积法)，解得3r =，故其直径为6(步)．故选B. 7. 解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，由1128282818-⨯=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==n n a q a q S ；)282(7118)18(2-⨯⨯=--⨯=n n n S ；所以)28(71)282(71-⨯=-⨯⨯=n n n a S ，即278+=n n S a .故选C. 8. 解： ①351=n ，则351=k ，0=m ，20000≤=m 成立，3521351=+=k ，02352704m =+⨯=；②7042000m =≤成立，3531352=+=k ，70423531410m =+⨯=； ③14102000m =≤成立，3541353=+=k ，141023542118m =+⨯=； ④21182000m =≤不成立，所以输出354=k .故选B ．9. 解：由已知，化简得()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+，又ln ()y f x =与()y f x =的单调性相同且()0f x >，所以2(2,2],(,]()4288x k k x k k k Z ππππππππ+∈+∴∈-+∈，故选A.10. 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得1)y x =-代入抛物线方程24y x =化简得212131030,,33x x x x -+=∴==，所以1(,(3,33A B -，易知四边形AMNB 为梯形，故1(||||)||2AMNB S AM BN MN =+⋅1162339=⨯⨯=，故选D 11. 解：由已知，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(2,0),(1,1),(0,1)B C D ，又2AQ QB =u u u ru u u r，所以4(,0)3Q所以14413(,1)(,1)13399QC QD =-⋅-=+=u u u v u u u v g ，故选D.12. 解：由已知得()(()())0m n f m f n -->，所以函数()f x 为“和谐函数”等价于()f x 在R 上为增函数，由此判断①()ln 25xf x =-在R 上为增函数，符合题意；②3()43f x x x =-++得2()34f x x '=-+，所以()f x 在R 上有增有减，不合题意；③()2(sin cos )f x x x =--得()2(cos sin )sin()]04f x x x x π'=+=-+≥，所以()f x 在R 上为增函数，符合题意；④ln ||,0()0,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩可知为偶函数，不合题意，所以①③符合题意，故选B. 二、填空题14. 解：由2()0|log |20xf x x -=⇒-=，得21|log |()2x x =在同一坐标系中作出2|log |y x =与1()2x y =的图象，可知交点个数为2， 即()f x 的零点个数为2.15. 解：由已知，圆方程化为22(1)(1)2x y ++-=,所以圆心为(1,1),C r -=当||AB 最大时，直线经过圆心，所以20a b --+=，即2a b +=，即12a b+= 所以14141419()(14)(522)2222a b b a a b a b a b ++=+⋅=+++≥+⨯= 当且仅当4b a a b =且2a b +=时取等号，所以14a b +的最小值为9216. 解：设这个四面体的棱长为a ，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径R =外， r =内，4a +=∴=．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：sin sin cos 2sin 0B A A B A --=， 因为sin 0A ≠cos 20B B --=，即sin()1,6B π-=又5(0,),(,)666B B ππππ∈∴-∈-62B ππ∴-=所以23B π=…………………（6分）（Ⅱ）由已知11sin 222ABC S ac B ac ac ∆===∴= 由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-，即217()22()2a c ac ac =+--⋅- 即27()a c ac =+-，又0,0a c >>所以3a c += …（12分） 18. 解：(Ⅰ)设来自甲旅游协会的3名导游为123,,A A A ，其中23,A A 为高级导游， 来自乙旅游协会的3名导游为123,,B B B ，其中3B 为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：1213111213,,,,A A A A A B A B A B ;23212223,,,A A A B A B A B ; 313233,,A B A B A B ; 1213,B B B B ;23B B 共15种，其中选出的2人都是高级导游的有2323,,A A A B 33A B ，共3种所以选出的2人都是高级导游的概率为 31155p == ………………………（6分） (Ⅱ)依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为x （单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献为y （单位：万元），则[30,50]x ∈且[20,40]y ∈，若甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献，则x y ≥，属于几何概型问题作图，由图可知 1,DEF ABCD S S S S ∆==，所求概率为1111010721120208S S S p S S ⨯⨯-==-=-=⨯ ……………………………（12分）19. (Ⅰ)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故.PC DE ⊥由2,CE CD DE ===CDE ∆为等腰直角三角形，故.CD DE ⊥又PC CD C =I ，故DE ⊥平面PCD ． …………………（6分） (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，CDE ∆为等腰直角三角形，,4DCE π∠=过D 作DF 垂直CE 于F ，易知1DF CF EF === 又DE ⊥平面PCD ，所以DE PD ⊥，2211PD PC CD =+=设点B 到平面PDE 的距离为h ，即为三棱锥B PDE -的高 由B PDE P BDE V V --=得 1133PDE BDE S h S PC ∆∆⋅=⋅ 即11113232PD DE h BE DF PC ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ 112113h =⨯⨯，所以322h =所以点B 到平面PDE 的距离为32222………………………………（12分） 20. 解：(Ⅰ) 因为直线:10l x my --=经过点2(,0)F c ，所以1c =， 又12AF F ∆是等腰直角三角形，所以()222222a a c a +=⇒=所以2221b a c =-=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．……（5分） (Ⅱ) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，易知(0,1)A若点A 在以线段MN 为直径的圆上，则AM AN ⊥，即0AM AN =⋅u u u u r u u u r所以1122(,1)(,1)0x y x y -⋅-=，即1212(1)(1)0x x y y +--= 化简得121212()10x x y y y y +-++= ①由221012x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=．所以12122221,22m y y y y m m +=-=-++ …………………………………………（8分） 21212222(1)(1)2m x x my my m -=++=+代入①中得2222221210222m m m m m --++=+++化简得2230m m --=，解得1m =-，或3m = 因此所求m 的值为1-或3 ……………………………………………（12分） 21. 解：(Ⅰ)()x af x e x'=-， 依题意得(1)0f =，(1)0f '=，则有 00e b a ee a b e ⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． …………………………………………………（4分） (Ⅱ)由(Ⅰ)得()ln xf x e e x e =--，()x ef x e x'=-，由于()f x '在区间(0,)+∞上为增函数，且(1)0f '=，则当01x <<时，()(1)0f x f '<'=；当1x >时，()(1)0f x f '>'=，故函数()f x 的减区间是(0,1)，增区间是(1,)+∞．…………………………………（8分） (Ⅲ) 由ln 0x ex ke -≤得1ln 0x x ke +-≤，所以1ln xxk e+≥ 设1ln (),1xxh x x e+=≥，只须max ()|k h x ≥， 由(Ⅱ)知当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，即(ln 1)xe e x ≥+对1x ≥恒成立． 即ln 11x x e e +≤（当且仅当1x =时取等号）所以函数max1()(1)h x h e==， ， 故k 的取值范围是1[,)e+∞． …………………………………………………（12分）22. 解：(Ⅰ)当3πα=时，l的参数方程为1122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去t得y =由圆C 极坐标方程为2ρ=，得224x y +=．故直线l的普通方程为1)y x =+ 圆C 的直角坐标方程为224x y +=． …………………………………………………（5分） (Ⅱ)将1cos sinx t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y +=得，22cos 30t t α--=．设其两根分别为12,t t ，则123t t =-． 由t 的几何意义知||||PA PB ⋅12||||3t t =⋅=． 故||||PA PB ⋅为定值3(与α无关) ． ………………………………………………（10分）23. 解：(Ⅰ)3, (1)()4, (12)3, (2)x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，由()6f x ≤解得22x -≤≤，故不等式()6f x ≤的解集为[2,2]-． …………………………………………………（5分） (Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：()f x 在区间[2,1]--为减函数，在区间[1,1]-上为增函数，而(2)6(1)5f f -=>=，故在区间[2,1]-上，min ()(1)3f x f =-=，max ()(2)6f x f =-=． 由|()|22()2f x m m f x m -≤⇒-≤≤+． 所以max 2()m f x +≥且min 2()m f x -≤， 于是26m +≥且23m -≤，故实数m 的取值范围是[4,5]． …………………………………………………（10分）。
贵州省黔东南州名校2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析
贵州省黔东南州名校2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若θ是第二象限角且sin θ =1213，则tan()4πθ+= A ．177-B ．717- C ．177D ．7173．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ） A 17B ．4C ．2D ．117+4．若向量(1,5),(2,1)a b ==-，则(2)a a b ⋅+=（ ） A ．30B ．31C ．32D ．335．已知i 为虚数单位，则()2312ii i+=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 6．复数12iz i=+的共轭复数在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知i 是虚数单位，若1zi i=-，则||z =（ ） A 2B ．2C 3D ．38．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．69．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 11．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ）A ．74B ．94C ．52D ．212．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
贵州省黔东南州2024届高三上学期12月统测试题数学试题含答案解析
贵州省黔东南州2024届12月份高三统测数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数1123i z =-，29i z =-+，则12z z +的实部与虚部分别为（）A.3，2- B.3，2i- C.2，3- D.2，3i-2.设集合1lg(1)2A x x ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2,3B =-，则A B = （）A.{0,1,2,3}B.{1,0,1,2}- C.{0,1,2}D.{0,1}3.若某等差数列的前3项和为27，且第3项为5，则该等差数列的公差为（）A.3- B.4- C.3D.44.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 25α=-，则2sin()sin 23cos()cos 2ππααππαα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭（）A.3B.3- C.5D.535.若平面α，β截球O 所得截面圆的面积分别为2π，3π，且球心O 到平面α的距离为3，则球心O 到平面β的距离为（）A. B.2C. D.46.已知()f x 是奇函数，且在[)0,+∞上单调递减，则下列函数既是奇函数，又在(,0)-∞上单调递增的是（）A.()()()g x f x f x =--B.()()()g x f x f x =+-C.()()22x xg x f -=- D.()()()g x f x f x =--7.已知贵州某果园中刺梨单果的质量M （单位：g ）服从正态分布()230,N σ，且(28)0.2P M <=，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在28g ~32g 的单果的个数的期望为（）A.20B.60C.40D.808.P 是抛物线26y x =上异于坐标原点O 的一点，点Q 在x 轴上，OP PQ ⊥，F 为该抛物线的焦点，则PF PQ ⋅= （）A.12B.11C.10D.9二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数()2sin 54f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为10B.()f x 的图象关于点4,05⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 在250,4⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值 D.()f x 的图象关于直线154x =对称10.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，3AB =，112A B =，1AA =）A.该正四棱台的体积为1926B.直线1AA 与底面ABCD 所成的角为60︒C.线段1A CD.以1A 为球心，且表面积为6π的球与底面ABCD 相切11.已知P 是圆22:1C x y +=上一点，Q 是圆22:(3)(4)4D x y -++=上一点，则（）A.||PQ 的最小值为2B.圆C 与圆D 有4条公切线C.当||PQ 取得最小值时，点P 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭D.当||1PQ =+D 到直线PQ 的距离小于212.已知函数2()log f x x =，(](1,0)0,4x ∈- .若关于x 的方程()f x a =有3个实数解1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则（）A.123x x x 的取值范围是11,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦B.123x x x ++的取值范围是(]1,4C.234x x +的最小值为4D.131231116x x x x x ++的最小值是13三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.7122y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3y 的系数为_________.14.向量(2,1)AB = 在向量10,2AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的投影向量为AC λ，则||AB AC λ+= _________.15.烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为20℃，加热后的温度函数0.1()100etT t k -=-（k是常数，t 表示加热的时间，单位：min ），加热到第10min 时，水温的瞬时变化率是_________℃/min .16.过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且C 的左顶点为B，||AB =，则C 的离心率为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名大学生进行统计，得到如下22⨯列联表：男大学生女大学生合计关注原创音乐剧250300550不关注原创音乐剧250200450合计5005001000（1）从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率.（2）试根据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理由.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82818.（12分）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，ccos sin A a B +=.（1）求角B ；（2）若26a c +=，求b 的最小值.19.（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，4AB =，2BC =，AC PA PB ===，D ，E 分别为PC ，PA 的中点.（1）证明：平面BCE ⊥平面PAB .（2）求平面PBC 与平面BDE 的夹角的余弦值.20.（12分）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，11a =，且3223S S a =-，1(1)(12)n n n b n a n a +=-+-.（1）若{}n b 为等差数列，求数列{}nb 的通项公式；（2）若{}nb 为等比数列，12323nn Tb b b n b =++++ ，求n T .21.（12分）已知点1(1,0)F -，2(1,0)F ，动点M 满足124MF MF +=，动点M 的轨迹记为E .（1）求E 的方程.（2）若不垂直于x 轴的直线l 过点2F ，与E 交于C ，D 两点（点C 在x 轴的上方），1A ，2A 分别为E 在x 轴上的左、右顶点，设直线1A C 的斜率为()110k k ≠，直线2A D 的斜率为2k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.（12分）已知函数31()e cos 3xf x x x x =+--.（1）当[)3,x ∈+∞时，证明：()()f x f x '<.（2）试问0x =是否为()f x 的极值点？说明你的理由.贵州省黔东南州2024届12月份高三统测数学参考答案1.A 因为1123i z =-，29i z =-+，所以1232i z z +=-，其实部与虚部分别为3，2-.2.C因为{}11A x x =-<≤，所以{0,1,2}A B = .3.B 设该等差数列为{}n a ，则1232327a a a a ++==，则29a =，所以公差32594d a a =-=-=-.4.C 因为23cos 22cos 15αα=-=-，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5cos 5α=，25sin 5α=，所以tan 2α=，所以2sin()sin 2sin cos 2tan 15253cos sin 1tan 1cos()cos 2ππαααααπαααπαα⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭====-+-+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭.5.A 平面α，β截球O 所得截面圆的半径分别为1r ，2r ，则212r ππ=，223r ππ=，则212r =，223r =.设球O 的半径为R ，球心O 到平面β的距离为d ，则22222123r r d R +=+=，所以d =6.D因为()f x 是奇函数，且在[)0,+∞上单调递减，所以()f x 在R 上单调递减，所以()f x -在R 上单调递增，()()y f x f x =--在R 上单调递增，()22x xy f -=-在R 上单调递减，()()y f x f x =--在R 上单调递减.又()()()g x f x f x =--满足()()g x g x -=-，所以()()()g x f x f x =--为奇函数，而()()()g x f x f x =+-不满足()()g x g x -=-，故()()()g x f x f x =--既是奇函数，又在(,0)-∞上单调递增.7.B 因为M （单位：g ）服从正态分布()230,N σ，且(28)0.2P M <=，所以(2832)2(0.50.2)0.6P M <<=⨯-=，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在28g ~32g 的单果的个数~(100,0.6)X B ，所以()1000.660E X =⨯=.8.D依题意可得3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭.设(,)(0)P x y x ≠，(,0)Q t .因为OP PQ ⊥，所以()2260OP QP x x t y x tx x ⋅=-+=-+=，因为0x ≠，所以6t x =+，所以2333()()6669222PF PQ x x t y x x t x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .9.AD2105T ππ==，A 正确.因为405f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点4,05⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 错误.因为152sin 42f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线154x =对称，D 正确.若250,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,544x ππππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在250,4⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，C 错误.10.BCD连接AC ，1A C ，过1A 作1A H AC ⊥，垂足为H .因为3AB =，112A B =，所以AC =，11A C =，所以3222222AH -==，162A H ==，所以该正四棱台的体积()2211119636A H V AB A B =⨯+=，A 错误.直线1AA 与底面ABCD 所成的角为1A AH ∠，由111cos 2AH A AH AA ∠==，所以160A AH ︒∠=，B 正确.1A C ==，C 正确.设以1A 为球心，且表面积为6π的球的半径为R ，则24π6πR =，解得162R A H ==，所以以1A 为球心，且表面积为6π的球与底面ABCD 相切，D 正确.11.AB因为||5CD =，所以||PQ 的最小值为||122CD --=，所以圆C 与圆D 外离，圆C 与圆D 有4条公切线，A ，B 均正确.因为直线CD 的方程为43y x =-，代入221x y +=，得35x =±，当||PQ 取得最小值时，P 为线段CD 与圆C 的交点，所以点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 错误.过点C 作圆D 的切线，切点为M （图略），则||CM ==，当P 为线段MC 的延长线与圆C 的交点，且点Q 与M重合时，||1PQ =+D 到直线PQ 的距离等于2，D 错误.12.ABD作出()f x 的大致图象，如图所示.()212223log log log a x x x =--=-=，其中(]31,4x ∈，所以(]0,2a ∈，则111,4x ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，21,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，231x x =.当(1,0)(0,1)x ∈- 时，2()log f x x =是偶函数，则120x x +=，所以123111,4x x x x ⎛⎤=∈-- ⎥⎝⎦，(]12331,4x x x x ++=∈，A ，B 均正确.2344x x +≥=，当且仅当23244x x x ==，即22x =时，等号成立，但12,14⎡⎫∉⎪⎢⎣⎭，C 错误.因为22323233313121231221111x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++====+=+-，所以231312331116161x x x x x x x ++=++.设函数()216()114g x x x x =++<≤，则32216216()2x g x x x x -'=-=，当12x <<时，()0g x '<，当24x <≤时，()0g x '>，所以min ()(2)14813g x g ==++=，D 正确.13.352-7122y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3y 的系数为4337135C (2)22⎛⎫⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.14.因为向量AB 在向量AC 上的投影向量为1221||||4AB AC AC AC AC AC AC ⋅⋅==，所以||AB AC λ+== .15.8e因为水的初始温度为20℃，所以(0)10020T k =-=，解得80k =，所以0.1()8etT t -'=，则8(10)e T '=，所以加热到第10min 时，水温的瞬时变化率是8C/min e︒.16.2设O 为坐标原点，C 的焦距为2c .过点A 作AH 垂直于x 轴，垂足为H （图略）.易得2AF b =，||ab AH c =，则由22OA OH OF =⋅，得2||a OH c =，所以23||a BH a cc=+=，得c a +=，所以()2222()33c a b c a +==-，故2ce a==.17.解：（1）从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，这人是女大学生的概率为300655011=.（2）零假设为0H ：是否关注原创音乐剧与性别无关联.根据列表中的数据，经计算得到2221000(250200300250)10001099500550450χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯，当0.005α=时，7.87910x α=<，根据小概率值0.005α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为是否关注原创音乐剧与性别有关联.18.解：（1cos sin A a B +=及正弦定理，cos sin sin B A A B C +=.因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin sin cos A B A B =.又sin 0A >，所以sin B B =，则tan B =，又(0,)B π∈，所以3B π=.（2）由余弦定理得2222222215272cos (62)(62)777b a c ac B a c ac c c c c c ⎛⎫=+-=+-=-+--=-+ ⎪⎝⎭，当157c =，127a =时，2b 取得最小值277，所以b 的最小值为7.19.（1）证明：因为4AB =，2BC =，AC =，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥.因为平面PAB ⊥平面ABC ，且平面PAB 平面ABC AB =，所以BC ⊥平面PAB .又BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面PAB .（2）解：取AB 的中点O ，连接PO .以O 为坐标原点，OB的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，其中y 轴与BC 平行，则(0,0,4)P ，(2,0,0)A -，(2,0,0)B ，(1,0,2)E -，(2,2,0)C ，(1,1,2)D .设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z =，(3,0,2)BE =- ，(1,1,2)BD =- ，则320,20,m BE x z m BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 令3z =，得(2,4,3)m =-.设平面PBC 的法向量为(),,n x y z '''=，()0,2,0BC = ，则20,20,n BC y n BD x y z ⎧'⋅==⎪⎨'''⋅=-++=⎪⎩ 令2x '=，得(2,0,1)n =.因为7145cos ,||||145m n m n m n ⋅〈〉===，所以平面PBC 与平面BDE 的夹角的余弦值为7145145.20.解：（1）设{}n a 的公比为q ，则1n n a q-=，()1(1)(12)112n n n n b n a n a a q n n +=-+-=-+-⎡⎤⎣⎦.①由3223S S a =-，得2132q q q ++=+，即220q q --=，解得1q =-或2.将2q =代入①，得12n n b -=，不符合条件；将1q =-代入①，得|23|32n b n n =-=-，此时{}nb 为等差数列，所以32nbn =-.（2）由（1）可知，若{}nb 为等比数列，则12n nb-=.由0122122232(1)22n n n T n n --=+⨯+⨯++-⨯+⨯ ，得1231222232(1)22n n n T n n -=+⨯+⨯++-⨯+⨯ ，则012112222222(1)2112nn nn n n T n n n ---=++++-⨯=-⨯=-⨯-- ，故(1)21nn T n =-⨯+.21.解：（1）因为121242MF MF F F +=>=，所以E 是以1F ，2F 为焦点，且长轴长为4的椭圆.设E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，可得2a =.又1c =，所以2223b a c =-=，所以E 的方程为22143x y +=.（2）设直线:(1)l y k x =-，()11,C x y ，()22,D x y .联立221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()()2222348430kxk x k +-+-=，易知0∆>，且2122834k x x k +=+，()21224334k x x k -=+.由1112y k x =+，2222y k x =-，得()()()()()()1212112122212112122122221222y x k x x k x x x x k y x k x x x x x x -----+===+-+-+-.（方法一）因为12212262,34151,34x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩所以()1212542x x x x =+-，所以()()121212121212125134222122253934226222x x x x x x k k x x x x x x +---++-===+--+-+-，所以12k k 为定值，且定值为13.（方法二）因为()()1212212121222232x x x x x k k x x x x x -+++=-++-，所以()()222222222122222222224316332321134343434993438132333234343434k k x x x k k k k k k k k x x x k k k k--++--++-+-++++===---+--+--+-++++，所以12k k 为定值，且定值为13.22.（1）证明：2()e sin 1x f x x x '=---，要证()()f x f x '<，只需证321e cos e sin 13x x x x x x x +--<---，321143x x x x π⎛⎫+<-+- ⎪⎝⎭.设函数321()1(3)3m x x x x x =-+-≥，则2()(1)0m x x =-≥'，则()m x 在[3,)+∞上单调递增，则()(3)24m x m x π⎛⎫≥=>≥+ ⎪⎝⎭，所以当[3,)x ∈+∞321143x x x x π⎛⎫+<-+- ⎪⎝⎭得证，从而当[3,)x ∈+∞时，()()f x f x '<得证.（2）解：()f x '的导数()e cos 2xf x x x ''=--.令函数()e cos 2xg x x x =--，()e sin 2xg x x '=+-，当0x ≤时，()0g x '<.()g x '的导数()e cos x g x x ''=+，当0x >时，()0g x ''>，则()g x '在(0,)+∞上单调递增.因为(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以0(0,1)x ∃∈，()00g x '=.所以当0x x <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0x x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.又(0)0g =，所以当(,0)x ∈-∞时，()0g x >；当()00,x x ∈时，()0g x <.所以()f x '在(,0)-∞上单调递增，在()00,x 上单调递减，当()0,x x ∈-∞时，()(0)0f x f ''≤=，。
【高三数学试题精选】2018届高三数学上册第一次调研检测试卷(有答案)
2018届高三数学上册第一次调研检测试卷（有答案）
5 c 衡水中学27 14． (1,0)或(-1,-4) 15． x2 0,1+ 0,所以f(x1) f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数
（或用求导数的方法）
18解解方程组
①代入②并整理得x2+(-1)x+1=0,③
∵A∩B≠ ,∴方程③在[0,2]上有实数根
设f(x)=x2+(-1)x+1,显然f(0)=1 0,则由函数f(x)的图象可得f(2)≤0或
解得≤- 或
- ≤-1,即≤-1
∴所求的取值范围是(-∞,-1]
评析本题是数形结合思想函数方程思想化归思想等数学思想的综合运用涉及到二次函数的问题,抓住函数的图象是关键19解（I）当时，，，………………2分
曲线在点处的切线斜率，
所以曲线在点处的切线方程为．……4分
（II）解1
当，即时，，在上为增函数，
故，所以，，这与矛盾……………6分
当，即时，
若，；
若，，
所以时，取最小值，
因此有，即，解得，这与
矛盾；………………10分
当即时，，在上为减函数，所以。
2018届高三上学期入学摸底考试数学(理)试题Word版含答案
2018届高三上学期入学摸底考试试题数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足：(z -i )(2-i )5=，则z =（ ）A ．22--iB ．22-+iC ．22-iD ．22+i 2. 函数()21log =-+f x x x的一个零点所在区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 3. 若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 4. 若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（ ） A ．23 B ．1 C.12 D ．345. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）左视A B C D6.为得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个长度单位 B ．向左平移6π个长度单位 C ．向左平移12π个长度单位 D ．向右平移12π个长度单位 7.《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d ，公式为d =13，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ） A ．481π B ．6π C ．481D ．61 8．在步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（ ）A ． 20B ． 21C ． 22D ．249.在等差数列{}n a 中，若35791145a a a a a ++++=，33S =-，那么5a 等于（ ）A ．4B ．5C ．9D ．1810. 给出30个数：1，2，4，7，11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框① 处和执行框②处应分别填入（ ） A ．i≤30？；p=p+i ﹣1B ．i≤31？；p=p+i+1C ．i≤31？；p=p+iD ．i≤30？；p=p+i11．已知12,F F 是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与E 的左支交于,P Q 两点，若 11||2||PF FQ =，且2F Q PQ ⊥，则E 的离心率是（ ） A ．25 B ．27 C ．315 D ．31712. 已知函数f (x )＝2018x＋log 2018(x 2＋1＋x )－2018－x＋2，则关于x 的不等式f (3x ＋1)＋f (x )>4的解集为( ) A ．1,4⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数y ＝f (x )的图象在点M (2，f (2))处的切线方程是y ＝x ＋4，则()()22f f '+＝____．14.已知函数⎩⎨⎧<≥∙=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a _____15．下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的序号）①已知,a b R ∈，“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件；②已知平面向量,a b ，“||1a > 且||1b > ”是“||1a b +>”的必要不充分条件；③已知,a b R ∈，“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件；④命题P ：“0x R ∃∈，使001xe x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为p ⌝：“x R ∀∈，都有1xe x <+且ln 1x x >-”16. 已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，()()201f x xf x x '+>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则(1)f =_________三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，且对任意m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q . (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ，求证：14≤S n <13.18．（本题满分12分）在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，选出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[)75,80，第二组[)80,85，第三组[)85,90，第四组[)90,95，第五组[]95,100，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（1）请在图中补全频率分布直方图；（2）若Q 大学决定在成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试（I ）若Q 大学本次面试中有,,B C D 三位考官，规定获得两位考官的认可即可面试成功，且各考官面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为111,,235，求甲同学面试成功的概率；（II ）若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组总有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望．19．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，平面SAD ⊥平面SCD ，SA SD ==（1）求证：平面SAD ⊥平面ABCD ；（2）E 为线段DS 上一点，若二面角S BC E -- 的平面角与二面角D BCE --的平面角大小相等，求SE 的长．20. 已知在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，动圆P 经过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（2）过(0,1)F 的直线m 交曲线C 于,A B 两点，过,A B 作曲线C 的切线12,l l ，直线12,l l 交于点M ，求MAB ∆的面积的最小值.21. （本题满分12分）已知函数()ln(2)f x x a ax =+-, 0a >. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）记()f x 的最大值为()M a ，若210a a >>且12()()M a M a =，求证：1214a a <; 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22．（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）当()0,ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值． 23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a x x f -=)(，其中1>a ．（1）当2=a 时，求不等式44)(--≥x x f 的解集；（2）已知关于x 的不等式2)(2)2(≤-+x f a x f 的解集为}21{≤≤x x ，求a 的值．2018届高三上学期入学摸底考试数学（理）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足：(z -i )(2-i )5=，则z =（ ）A ．22--iB ．22-+iC ．22-iD ．22+i 2. 函数()21log =-+f x x x的一个零点所在区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 3. 若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 4. 若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（ ） A ．23 B ．1 C.12 D ．345. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）左视A B C 6.为得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个长度单位 B ．向左平移6π个长度单位 C ．向左平移12π个长度单位 D ．向右平移12π个长度单位 7.《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d ，公式为d =13，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ） A ．481π B ．6π C ．481D ．61 8．在步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（ ）A ． 20B ． 21C ． 22D ．249.在等差数列{}n a 中，若35791145a a a a a ++++=，33S =-，那么5a 等于（ ）A ．4B ．5C ．9D ．1810. 给出30个数：1，2，4，7，11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框① 处和执行框②处应分别填入（ ） A ．i≤30？；p=p+i ﹣1B ．i≤31？；p=p+i+1C ．i≤31？；p=p+iD ．i≤30？；p=p+i11．已知12,F F 是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与E 的左支交于,P Q 两点，若 11||2||PF FQ =，且2F Q PQ ⊥，则E 的离心率是（ ） A ．25 B ．27 C ．315 D ．31712. 已知函数f (x )＝2018x＋log 2018(x 2＋1＋x )－2018－x＋2，则关于x 的不等式f (3x ＋1)＋f (x )>4的解集为( ) A ．1,4⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数y ＝f (x )的图象在点M (2，f (2))处的切线方程是y ＝x ＋4，则()()22f f '+＝____．714.已知函数⎩⎨⎧<≥∙=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a _____1415．下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的序号）①③①已知,a b R ∈，“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件；②已知平面向量,a b ，“||1a > 且||1b > ”是“||1a b +>”的必要不充分条件；③已知,a b R ∈，“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件；④命题P ：“0x R ∃∈，使001xe x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为p ⌝：“x R ∀∈，都有1xe x <+且ln 1x x >-”16. 已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，()()201f x xf x x '+>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则(1)f =_________ 38三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，且对任意m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q . (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ，求证：14≤S n <13.17．【解析】(Ⅰ)令m ＝1，p ＝n －1， q ＝2，得a n ＋a 1＝a n －1＋a 2.即a n －a n －1＝3(n ≥2)．所以数列{a n }是以3为公差的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.(6分) (Ⅱ)因为1a n a n ＋1＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1.所以S n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1<13.另一方面，由于1a n a n ＋1＝1（3n －2）（3n ＋1）>0， 则S n ≥S 1＝1a 1a 2＝1（3－2）（3＋1）＝14.综上可知：14≤S n <13.(12分)18．（本题满分12分）在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，选出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[)75,80，第二组[)80,85，第三组[)85,90，第四组[)90,95，第五组[]95,100，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（1）请在图中补全频率分布直方图；（2）若Q 大学决定在成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试（I ）若Q 大学本次面试中有,,B C D 三位考官，规定获得两位考官的认可即可面试成功，且各考官面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为111,,235，求甲同学面试成功的概率；（II ）若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组总有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望．18. 解：（1）因为第四组的人数为60，所以总人数为：5⨯60=300，由直方图可知，第五组人数为0.02⨯5⨯300=30人，又6030152-=为公差，所以第一组人数为：45人，第二级人数为：75人，第三组人数为：90人(2) (I)A =设事件甲同学面试成功，则： 1141211111114()23523523523515P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= (II) =0123ξ由题意得：，，， 03123333336619(0),(1),2020C C C C P P C C ξξ======21303333336691(2),(3)2020C C C C P P C C ξξ======19913()0123202020202E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，平面SAD ⊥平面SCD ，SA SD ==（1）求证：平面SAD ⊥平面ABCD ；（2）E 为线段DS 上一点，若二面角S BC E -- 的平面角与二面角D BC E --的平面角大小相等， 求SE 的长．19．(Ⅰ)∵平面SAD ⊥平面SCD ，DC AD ⊥，∴DC ⊥平面SAD ∵DC ⊂底面ABCD ，∴平面SAD ⊥底面ABCD (Ⅱ)取AD 中点M ，连接SMSA AD SM AD =⇒⊥，又因为平面SAD ⊥底面ABCD ，所以SM ⊥平面ABCD以M 为原点，,,MD AB MS方向分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系平面ABCD 的法向量1(0,0,1)=n ， 平面BCS 的法向量2(,,)x y z =n ，(0,0,1),(1,2,0),(1,2,0)S B C -，(2,0,0),(1,2,1)BC BS ==-则2020x x y z =⎧⎨-+=⎩，∴2(0,1,2)=n设()2,0,2DE DS λλλ==-，所以()22,0,2E λλ-由上同理可求出平面BCE 的法向量3(0,,2)λ=n由平面BCD 、BCS 与平面BCE 所成的锐二面角的大小相等可得13231323⋅⋅=⋅⋅n n n nn n n n，∴4λ=∴SE =20. 已知在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，动圆P 经过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（2）过(0,1)F 的直线m 交曲线C 于,A B 两点，过,A B 作曲线C 的切线12,l l ，直线12,l l 交于点M ，求MAB ∆的面积的最小值.20．2114y x y =+⇒=（2）设()()1122,,A x y B x y ，直线:1m y kx =+将:1m y kx =+代入24x y =中得2440x kx --=所以124x x k +=，124x x ⋅=-，2x y '=得切线：()21111:42x x l y x x -=- ()22212:42x xl y x x -=- 1212(),(2,1)24x x x x M M k +-联立得：即22124(1),AB x k d =-=+=322min 14(1) 042S AB d k k S ==+==时，21. （本题满分12分）已知函数()ln(2)f x x a ax =+-, 0a >. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）记()f x 的最大值为()M a ，若210a a >>且12()()M a M a =，求证：1214a a <; 21. （I ）1()(2)1()22a x a a f x a x a x a-+-'=-=++，因为2x a >-，0a >，由()0f x '>，得122a x a a -<<-；由()0f x '<，得12;x a a>- 所以，()f x 的增区间为1(2,2)a a a --，减区间为1(2,)a a -+∞； （II ）由（I ）知，21()(2)21ln M a f a a a a=-=--22222112221211211211,2()111a a na a na a a na na na ∴--=--∴-=-= 222212212112121221121121122ln2ln 4()2ln ,4()a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -∴=∴⋅-=∴=-设1()2ln (1),h t t t t t =-->则22121()1(1)0h t t t t'=+-=->所以，()h t 在()1,+∞上单调递增，()()10h t h >=，则12ln 0t t t->>，因211a a >，故 2212121121122ln2ln 0,1a a a a a a a a a a a a ->><-，所以1214a a <请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22．（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）当()0,ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值．22.解一：（1）由直线l 的参数方程3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， 消去参数t 得，()()3sin 1cos 0x y ϕϕ---=，即直线l 的普通方程为()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=，由圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得()24cos 0*ρρθ-=，将222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入(*)得， 2240x y x +-=， 即C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）将直线l 的参数方程代入()2224x y -+=得，()22cos sin 20tt ϕϕ++-=， ()24cos sin 80ϕϕ∆=++>，设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ，则()12122cos sin ,2t t t t ϕϕ+=-+=-，所以12PQ t t =-=== 因为()()0,,20,2ϕπϕπ∈∈，所以当3,sin 214πϕϕ==-时，PQ 取得最小值解法二：（1）同解法一（2）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点()3,1M ，当直线l CM ⊥时，线段PQ 长度最小.此时()223212CM =-+=，PQ ==所以PQ 的最小值为解法三：（1）同解法一（2）圆心()2,0到直线()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=的距离，cos sin 4d πϕϕϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 又因为()0,ϕπ∈， 所以当34ϕπ=时，d又PQ == 所以当34ϕπ=时，PQ取得最小值23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a x x f -=)(，其中1>a ．（1）当2=a 时，求不等式44)(--≥x x f 的解集；（2）已知关于x 的不等式2)(2)2(≤-+x f a x f 的解集为}21{≤≤x x ，求a 的值．23. 解：（Ⅰ）当2=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-=-+4,6242,22,624)(x x x x x x x f当2≤x 时，由44)(--≥x x f 得462≥+-x ，解得1≤x ；当42<<x 时，44)(--≥x x f 无解； 当4≥x 时，由44)(--≥x x f 得，解得5≥x ； 所以44)(--≥x x f 的解集为1{≤x x 或}5≥x .（Ⅱ）)(2)2()(x f a x f x h -+=记，则⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤-=a x a a x a x x a x h ,20,240,2)( 由2)(≤x h ，解得2121+≤≤-a x a ， 又已知2)(≤x h 的解集为}21{≤≤x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=-221121a a 于是3=a .。