2019-2020届高考数学备考策略：核心素养理念下全国卷高考数学命题特点与复习教学建议-中高考前沿
2020高考数学解答题核心素养题型《专题07 立体几何综合问题》+答题指导)(解析版)
专题07 立体几何综合问题【题型解读】▶▶题型一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算(1)空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解．(2)利用向量求空间角的步骤：第一步：建立空间直角坐标系；第二步：确定点的坐标；第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第四步：计算向量的夹角(或函数值)；第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2019·河南郑州高三联考)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD . (1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ；(2)若ED ＝BD ，求直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABD 中，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD ，由余弦定理，得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，所以△ABD 为直角三角形且∠ADB ＝90°，故BD ⊥AD .因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BD .又AD ∩DE ＝D ，所以BD ⊥平面ADE .因为BD ⊂平面BDEF ，所以平面BDEF ⊥平面ADE .(2)由(1)可得，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝π3，BD ＝3AD ， 又由ED ＝BD ，设AD ＝1，则BD ＝ED ＝ 3.因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊥AD ，所以可以点D 为坐标原点，DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A (1,0,0)，C (－1，3，0)，E (0,0，3)，F (0，3，3)．所以AE →＝(－1,0，3)，AC →＝(－2，3，0)．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A E →＝0，n ·A C →＝0，即⎩⎨⎧ －x ＋3z ＝0，－2x ＋3y ＝0，令z ＝1，得n ＝(3，2,1)为平面AEC 的一个法向量．因为A F →＝(－1，3，3)， 所以cos 〈n ，A F →〉＝n ·A F →|n |·|A F →|＝4214， 所以直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值为4214. 【素养解读】本例问题(1)证明两平面垂直，考查了逻辑推理的核心素养；问题(2)计算线面所成的角时，考查了直观想象和数学运算的核心素养．【突破训练1】 (2018·北京卷)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为AA 1，AC ，A 1C 1，BB 1的中点，AB ＝BC ＝ 5 ，AC ＝AA 1＝2.(1)求证：AC ⊥平面BEF ；(2)求二面角B －CD －C 1的余弦值；(3)证明：直线FG 与平面BCD 相交．【答案】见解析【解析】(1)证明：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，因为CC 1⊥平面ABC ，所以四边形A 1ACC 1为矩形．又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点，所以AC ⊥EF .因为AB ＝BC .所以AC ⊥BE ，所以AC ⊥平面BEF .(2)由(1)知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1.又CC 1⊥平面ABC ，所以EF ⊥平面ABC .因为BE ⊂平面ABC ，所以EF ⊥BE .如图建立空间直角坐称系Exyz .由题意得B (0,2,0)，C (－1,0,0)，D (1,0,1)，F (0,0,2)，G (0,2,1)．所以CD →＝(2,0,1)，C B →＝(1,2,0)，设平面BCD 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·C D →＝0，n ·C B →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋c ＝0，a ＋2b ＝0.令a ＝2，则b ＝－1，c ＝－4，所以平面BCD 的法向量n ＝(2，－1，－4)，又因为平面CDC 1的法向量为E B →＝(0,2,0)，所以cos 〈n ，E B →〉＝n ·E B→|n ||EB →|＝－2121. 由图可得二面角B －CD －C 1为钝二面角，所以二面角B －CD －C 1的余弦值为－2121. (3)证明：平面BCD 的法向量为n ＝(2，－1，－4)，因为G (0,2,1)，F (0，0,2)，所以G F →＝(0，－2,1)，所以n ·G F →＝－2，所以n 与G F →不垂直，所以GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，所以GF 与平面BCD 相交． ▶▶题型二 平面图形折叠成空间几何体的问题1．先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向．2．(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．(3)解决翻折问题的答题步骤第一步：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；第三步：利用判定定理或性质定理进行证明．【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .(2)作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|B F →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz .由(1)可得，DE ⊥PE .又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，故PE ⊥PF .可得PH ＝32，EH ＝32. 则H (0,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，0，D P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，32，H P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪H P →·D P →|H P →|·|DP →|＝ 34 3＝34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34. 【素养解读】本例在证明或计算过程中都要考虑图形翻折前后的变化，因此综合考查了逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模的核心素养．【突破训练2】 如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：在题图1中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC .又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC .所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2. 如图，以O 为原点，OB →，OC →，OA 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0， 得BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－22， CD →＝BE →＝(－2，0,0)．设平面A 1BC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1,1,1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0,1,1)， 从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63， 即平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值为63. ▶▶题型三 线、面位置关系中的探索性问题是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，解决这类问题的基本思路类似于反证法，即“在假设存在的前提下通过推理论证，如果能找到符合要求的点(或其他的问题)，就肯定这个结论，如果在推理论证中出现矛盾，就说明假设不成立，从而否定这个结论”．【例3】 (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝2 2 ，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ； (2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －PA －C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC .(2)如图，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,23)，A P →＝(0,2,23)，取平面PAC 的一个法向量O B →＝(2,0,0)．设M (a,2－a,0)(0<a ≤2)，则A M →＝(a,4－a,0)．设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由A P →·n ＝0，A M →·n ＝0得⎩⎨⎧ 2y ＋23z ＝0，ax ＋(4－a)y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a )， 所以cos 〈O B →，n 〉＝23(a －4)23(a －4)2＋3a 2＋a2.由已知得|cos 〈O B →，n 〉|＝32. 所以23|a －4|23(a －4)2＋3a 2＋a2＝32.解得a ＝－4(舍去)，a ＝43. 所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，433，－43.又P C →＝(0,2，－23)， 所以cos 〈P C →，n 〉＝34.所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34. 【素养解读】本例问题(1)中证明线面垂直直接考查了逻辑推理的核心素养；问题(2)中要探求点M 的位置，要求较高，它既考查了直观想象的核心素养，又考查了数学建模的核心素养．【突破训练3】 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面ABB 1A 1，且AA 1＝AB ＝2. (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6，请问在线段A 1C 上是否存在点E ，使得二面角A －BE －C 的大小为2π3，请说明理由．【答案】见解析【解析】(1)证明：连接AB 1交A 1B 于点D ，因为AA 1＝AB ，所以AD ⊥A 1B ，又平面A 1BC ⊥侧面ABB 1A 1，平面A 1BC ⊂平面ABB 1A 1＝A 1B ，所以AD ⊥平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AD ⊥BC .因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BC ，又AA 1∩AD ＝A ，所以BC ⊥侧面ABB 1A 1，所以BC ⊥AB . (2)由(1)得AD ⊥平面A 1BC ，所以∠ACD 是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，即∠ACD ＝π6，又AD ＝2，所以AC ＝22，假设存在适合条件的点E ，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，设A 1E →＝λA 1C →(0≤λ≤1)，则B (2，2，0)，B 1(2，2，2)，由A 1(0,0,2)，C (0,22，0)，得E (0,22λ，2－2λ)，设平面EAB 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AB →＝0，得⎩⎨⎧ 22λy ＋(2－2λ)z ＝0，2x ＋2y ＝0， 所以可取m ＝(1－λ，λ－1，2λ)， 由(1)知AB 1⊥平面A 1BC ，所以平面CEB 的一个法向量n ＝(1,1，2)， 所以12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 2π3＝cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝2λ22(λ－1)2＋2λ2，解得λ＝12，故点E 为线段A 1C 中点时，二面角A －BE －C 的大小为2π3.。
高考数学学科备考关键问题指导系列三(三角函数存在问题及应对策略)
福建省2023届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列三三角函数存在问题及应对策略（福建省2023高三复习备考指导组研制，张兵源、洪云执笔整理）三角函数内容是高中数学中的基础内容、也是重要内容之一，历年来在数学科高考中都占有重要地位．三角函数部分的全国卷高考试题呈现以下四个特点：（1）利用数形结合考查，通过图形分析、研究、总结三角函数的性质和图象特点；（2）利用三角公式考查，创设试题情境，灵活运用公式，解决问题；（3）利用真实情境考查，考查解三角形内容，体现三角函数的工具性作用；（4）体现思维深度，考查创新意识．在文理不分科的全国卷的新高考试题中，三角函数部分是六大解答题之一，一般是一大两小，难度控制中等．对三角函数的考查突出基础，体现综合，对恒等变形的要求和过去比有所下降，更多强调对公式的灵活运用，以三角函数作为背景的函数性质应用考查经常出现．随着新课标的实施和高中课程与高考的综合改革，2022年全国新高考Ⅰ卷考查一道单选题和一道解答题，单选题第6题考查sin()y A wx b ϕ=++型函数的图象与性质，解答题第18题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式．在学科思想的层面上，课程的教育功能和试题的考查功能是多元的，在三角函数核心知识的考查中充分展示了化归与转化思想的运用，考查了推理能力与数学运算等数学学科核心素养．表1：2017年--2020年全国Ⅰ卷三角函数考点分布统计表（理科）表2：2021年--2022年全国新高考Ⅰ卷三角函数考点分布统计表2022届高考是继2021年首届文理不分科且使用理科旧教材的第二届新高考，下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策．一、存在的问题及归因分析 （一）概念理解不透彻本专题中，概念理解不透彻主要表现在三角函数的定义、诱导公式；三角函数的复合变换和三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等．【例1】（2022·新高考Ⅰ）6．记函数()sin()4f x wx b π=++，(0)w >的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则()2f π= A ．1B ．32C ．52D ．3【解析】已知函数()sin()4f x wx b π=++，(0)w >的最小正周期为T ,2T wπ=，23T ππ<<，得223w πππ<<，23w ∴<<，()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，2b ∴=， 且3sin()024w ππ+=，则324w k πππ+=，21()34w k =-，k Z ∈，取4k =，可得52w =， 5()sin()224f x x π∴=++，53()sin()2sin 21212442f ππππ∴=++=+=-+=．故选A ．【评析】本题由已知周期T 的范围求得w 的范围，由对称中心求解w 与b 的值，可得函数()f x 解析式，从而求出()2f π的值．本题考查sin()y A wx b ϕ=++型函数的图象与性质，考查推理能力与数学运算等数学学科核心素养．本题解题关键在于从已知周期T 的范围去求w 的范围，进而求出k 的值，从而确定w 的值，得到函数()f x 的解析式．本题易错的主要原因：其一，对三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等模糊不清，从而无法求出w 的值来解决问题；本题的另一个易错点是学生未能正确求出k 值，导致错误.（二）整体意识较薄弱在三角函数专题中，常常出现三角求值问题．在求值过程中，整体意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：①找不准已知式与待求式之间的差别与联系，无法将角进行合理的拆分；②对角的结构特征分析不透，不能从整体的意识上去分析和思考问题等．【例2】（2022年·新高考Ⅱ）6．若sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，则A ．tan()1αβ-=B ．tan()1αβ+=C ．tan()1αβ-=-D ．tan()1αβ+=-【解析】解法一：已知sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，))sin 44ππαβαβ++=+，即sin()2cos()sin 44ππαβαβ++=+， sin()cos cos()sin 2cos()sin 444πππαβαβαβ∴+++=+， sin()cos cos()sin 044ππαβαβ∴+-+=， sin()04παβ∴+-=，4k παβπ∴+-=，k Z ∈，4k παβπ∴-=-+，tan()1αβ∴-=-．解法二：已知sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+,可得sin cos cos sin cos cos sin sin 2(cos sin )sin αβαβαβαβααβ++-=-， 即sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=， sin()cos()0αβαβ∴-+-=，tan()1αβ∴-=-．故选C ．【评析】本题解题关键在于利用辅助角公式和两角和差公式运算，方法二将sin()αβ+，cos()αβ+，)sin 4παβ+分别展开后，即可求解．本题考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，“从角的关系出发分析问题”与“从（同角）三角函数值的代数运算关系出发分析问题”，是我们在解决同类问题时最常用的两种途径.本题易错的主要原因：学生不能灵活应用公式，两角和差公式在展开过程中出错，或将已知条件复杂化，从而无法解决问题.（三）恒等变形欠灵活化归与转化思想是三角恒等变形的主导思想．在三角恒等变形中，学生存在的主要问题是对已知式中角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异等分析不到位，识别、选择、应用三角公式解决问题的能力不强，致使三角恒等变形转化不准确，造成后续求解繁琐或错误．【例3】（2021年·新高考Ⅰ）6．若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+A ．65-B ．25-C ．25 D ．65【解析】因为222sin (1sin 2)sin (sin 2sin cos cos )sin (sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ++++===++++ 2222222sin (sin cos )sin sin cos tan tan 2sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθθθ+++====+++．故选C ．【评析】与高中其他内容相比，三角函数知识的最大特点是公式多．通过对公式的应用，重点考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力．学生在学习的过程中，要重视对公式的灵活运用，抓住公式之间存在的联系．同时，要特别注意理解公式之间的相互转化和相互推导．例如，诱导公式中角的周期性变化、正负取值，两角和与差公式中角的组合变化等．本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，解题关键从二倍角公式入手，利用22sin cos 1θθ+=化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值．本题易错的主要原因：其一，学生对化归意识不强，不能将含有2θ的三角关系式转化为含有θ的三角关系式，从而无法解决问题；本题的另一个易错点是对三角恒等变形转化不准确，不能快速地识别、选择、应用三角公式22sin cos 1θθ+=齐次化得tan θ，导致错误．三角恒等变形的实质是消除两个式子的差异，认真观察、比较已知条件与待求式子之间的联系，选择适当途径，将已知式与待求式化异为同，从而达到解题的目的．（四）数形结合不灵巧在本专题中，形数结合不灵巧主要表现在：对三角函数的图象与性质（周期性、单调性与对称性）的掌握情况不理想；对三角概念及三角函数三种表征的理解与变换不透彻；对三角函数的数形结合思想的运用以及基于三角函数的逻辑推理能力不强，尤其是识图、用图能力及利用三角公式进行三角恒变形的能力不强．【例4】（2022年·全国甲）11．设函数()sin()3f x wx π=+在区间(0,)π恰有三个极值点、两个零点，则w的取值范围是 A ．513,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】函数()sin()3f x wx π=+在区间(0,)π恰有三个极值点、两个零点，(0,)x π∈，(,)333wx w ππππ∴+∈+ 5323w ππππ∴<+≤ 13863w ∴<≤．故选C ．【评析】本题主要考查正弦三角函数图象与性质的应用问题，考察了数形结合解题思想，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．根据函数图象，可得出零点区间长度．三角函数是一种比较特殊的函数，侧重奇偶性、单调性、最值、含绝对值图象变换等，同时又体现了三角的特殊性，如周期性．三角函数的图象和性质几乎是每年高考必考的内容，此考点多结合三角公式设置综合问题，能够很好地体现数形结合的思想，考查学生的观察、分析和动手能力．此考点题目多为中档难度试题．在这部分内容的学习中要多利用图形解释、理解知识，这样能更好地理解比较抽象的概念，形成直观印象．在教学与学习中，应该视为函数体系中的一部分．因此，在三角函数的教学过程中，教师应该引导学生根据一般的函数研究思路对三角函数进行探究，即给出定义→画出图象→研究性质→进行应用．这样的研究思路可以使学生对三角函数有一个系统的认识，有利于深化学生对三角函数的理解．本题解题关键在于从相邻两零点和三个极值点的最大距离及占区间长度最小值入手，从而求得w 的取值范围．本题易错的主要原因：其一，面对零点与极值点区间长度问题，学生有畏惧心态无从下手,从而无法解决问题；本题的另一个易错点是不能利用函数的性质进行应用，对函数的图象的变换的本质理解不够到位，不会正确作出用函数图象加以分析，导致错误．（五）定理应用欠思考本专题的显著特点就是公式多、定理多．学生对相关的概念、公式理解掌握不到位，导致解决相应的问题时，思维不顺畅，定理应用欠思考，如在应用诱导公式解三角函数问题时，常出现公式记忆不准确，不注意角的范围和象限等；在解决有关()sin()f x A wx b ϕ=++问题时，不能准确应用有关的三角函数性质，不注意所给的角或者参数的范围；在三角恒等变形中，选用公式不合理或转化不准确，造成后续求解繁琐或错误；在解决三角形问题时，忘记或不会应用三角形中的隐含条件，求边、角时忽略其范围，不能熟练掌握正、余定理的几种常见变形等，这些都是造成失分的主要原因．【例5】（2022年·全国乙）17．记ABC ∆的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．（1）证明：2222a b c =+； （2）若5a =，25cos 31A =，求ABC ∆的周长．【解析】（1）证明：ABC ∆中，sin sin()sin sin()C A B B C A -=-， sin (sin cos cos sin )sin (sin cos cos sin )C A B A B B C A C A ∴-=-，sin sin cos sin cos sin 2sin sin cos C A B B C A B C A ∴+=， sin (sin cos cos sin )2sin sin cos A B C B C B C A ∴+= sin sin()2sin sin cos A B C B C A ∴+=即22cos a bc A =又2222cos a b c bc A =+-， 得2222a b c =+． （2）若5a =，25cos 31A =时，由（1）知，222250b c a +==， 又由（1）知，22cos a bc A =，22523125cos 31a bc A ∴===，222()2503181b c b c bc ∴+=++=+=，9b c ∴+=，所以ABC ∆的周长为5914a b c ++=+=．【评析】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力． 本题第（1）问解题关键在于利用两角差与和的正弦公式，三角形内角和公式，正弦和余弦定理，即可求证明等式；第（2）问解题关键是利用（1）中结论求出22b c +和2bc 的值，整体思想求出b c +，从而求处ABC ∆的周长．本题易错的主要因：其一，三角恒等变换、边角互化不熟悉，没有转化成边的关系，从而无法解决问题；本题的另一个易错点没有整体思想，分开求解b ，c ，导致计算繁杂．（六）知识交汇不顺畅本专题的知识内容较多，高考对本专题的考查常常将众多知识进行交汇．如在诱导公式和同角三角函数关系的考查中，常与三角函数式求值、化简，和差公式及倍角公式等综合进行，容易产生错误；在研究函数sin()y A x ωϕ=+问题时，不仅关注解析式及其图象，还关注周期性、对称性、单调性及最值等，综合度较大，要求较高，学生常因考虑不周而失分．不仅如此，高考对本专题的考查，还常将三角函数与指数函数、对数函数、幂函数等进行交汇，考查函数的相关问题，综合性强，学生不容易得分． 【例6】（2021年“八省联考”）22．已知函数()()sin cos ,sin cos x x f x e x x g x e x x =--=++. （1）证明：当54x π>-时，()0f x ≥； （2）若()2g x ax ≥+,求a .【解析】证明：（1）()cos sin x f x e x x '=-+,（Ⅰ）当5,42x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，sin cos 0x x --≥，故()0f x ≥；（Ⅱ）当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cos sin 1x x -+<-，()0f x '<，()f x 单调递减，而()0=0f ，故()0f x ≥；（Ⅲ）当0x =时，()0f x =；（Ⅳ）当()0,x ∈+∞时，1cos sin x x x +>+.设()1x h x e x =--,则当()0,x ∈+∞，()10x h x e '=->,故()h x 单调递增，()00h =,()()0f x h x ∴>>.（2）设()()()()2cos sin x k x g x ax g x a e x x a ''=--=-=+--，则()()k x f x '=,由（1）知，当5,4x π⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0k x '≥,()k x 在5,4π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增, ()02k a =-. （Ⅰ）若2a >,()00k <,()ln 10k a +>,故存在唯一()00,ln 1x a ∈+,使得()00k x =.当()00,x x ∈时，()0k x <,()2g x ax --单调递减，而()0200g a --⨯=,故()0020g x ax --<；（Ⅱ）若02a <<,()0k x >,()0k π-<,故存在唯一()1,0x π∈-，使得()10k x =,当()1,0x x ∈时，()0k x >,()2g x ax --单调递增，而,()0200g a --⨯=,故()1120g x ax --<；（Ⅲ）若0a ≤,2022g a ππ⎛⎫⎛⎫----< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（Ⅳ）若2a =,()k x 单调递增，()00k =. 当5,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时, ()0k x <,()220g x x -->;当(),2x ∈-∞-时, ()0k x <,()220g x x -->;当[)0,x ∈+∞时, ()0k x >,()02200g --⨯=,故()220g x x -->. 综上, =2a .【评析】本题的两问难度较大，考察三角函数的导数、证明不等式恒成立问题，构造函数、分类讨论单调区间、极值点和零点的概念，充分体现了在知识交汇处命题的意图．同时，对知识的考查注重理解和应用，体现了新课程理念，也重点考查了学生的学科素养．本题解题关键在于求出导函数()cos sin x f x e x x '=-+，从讨论x 的区间入手，判断()f x '的符号，结合三角函数的有界性和不等式放缩求出()f x 的范围，进而分类讨论参数a ，求出a 的值.本题易错的主要原因：其一，运算不过关．具体表现在导数公式记忆出错、求导法则应用出错等，导致后面求解出现错误，从而无法解决问题；本题的另一个易错点是解题严谨性欠缺,对函数单调性的分类讨论不全面，从导函数的符号到函数的增减性分析不完整；数学思想方法掌握不到位．在第（2）问中，无法找到对参数讨论的分界点、不会对参数进行讨论，导致错误.二、解决问题的思考与对策（一）重温概念的来龙去脉，理清知识网络，切实掌握三角函数的概念，图象与性质．高考对三角函数的考查，尤其是选择题（2021年，2022年新高考增加多选题）、填空题对三角函数的考查， 2022年往往以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式、和差倍角公式等作为出发点，考查三角函数的求值问题；以三角函数的图象与性质为载体，考查三角函数的解析式、周期性、单调性、对称性、最值等．复习过程中，要关注三角函数的定义，以此为基础掌握同角公式、诱导公式、和差倍角公式；要关注正弦函数、余弦函数和正切函数的图象的重要性，它们都是重要的解题辅助工具；要关注思想方法的渗透，特别是化归与转化思想，它是三角恒等变形的主导思想．【例7】（2022·新高考Ⅱ）（多选题）9．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+(0)ϕπ<<的图像关于点2(,0)3π中心对称，则 A ．()f x 在区间5(0,)12π单调递减 B ．()f x 在区间11(,)1212ππ-有两个极值点C ．直线76x π=是曲线()y f x =的对称轴 D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线【解析】因为()sin(2)f x x ϕ=+(0)ϕπ<<的图象关于点2(,0)3π中心对称，223k πϕπ∴⨯+=，k Z ∈， 43k πϕπ∴=-+， 又0ϕπ<<，23πϕ∴=， 2()sin(2)3f x x π∴=+． 令232232x πππ<+<，解得51212x ππ-<<， ()f x ∴在区间5(0,)12π单调递减， A 正确； 11(,)1212x ππ∈-，252(,)322x πππ∴+∈， 根据函数的单调性，函数()f x 在区间11(,)1212ππ-只有一个极值点，B 错误；令2232x k πππ+=+，k Z ∈ 得122k x ππ=-+，k Z ∈，C 错误； 2()sin(2)3f x x π=+，2()2cos(2)3f x x π'∴=+，令2()2cos(2)13f x x π'∴=+=-，即21cos(2)32x π+=-， 解得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，()y f x ∴=在点⎛ ⎝⎭处的切线斜率为1-，()y f x ∴=的切线方程为y x =，D 正确． 故选AD ．【评析】本题考查的知识点有三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力．本题的解题关键在于利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步考查函数的单调性、对称轴、极值点及切线．本题易错的主要原因：其一，学生不会利用函数的对称性求ϕ值，从而无法得出函数的关系式；本题的另一个易错点对函数()f x 的极值点和切线的求解掌握不到位.（二）强化学生三角函数公式的记忆，关注公式的正用、逆用与公式的变形，提高学生三角函数求值和三角恒等变换问题的解题能力．理清三角函数求值的常见类型，特别是给角求值、给值求值问题．给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的． 【例8】（2022·上海高考）（填空题）3．函数22()cos sin 1f x x x =-+的周期为 ． 【解析】2222222()cos sin 1cos sin cos sin 2cos cos 21f x x x x x x x x x =-+=-++==+，22T ππ∴==． 答案为：π．【评析】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用．三角恒等变换是高考对三角函数考查的重点内容．在三角恒等变换中，一要熟悉公式正用、逆用，也要注意公式的变形，如21cos 22cos αα+=，21cos22sin αα-=，1tan πtan()1tan 4ααα+=--，tan tan tan()[1tan ]αβαβαβ±=±等；二要注意拆角、拼角的方法和技巧，如()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()()βαβαβ=+--等；三要关注常用的解题思路，如“1”的代换、“正切为弦”、“化异为同”等．本题解题关键由三角函数的恒等变换化简函数可得()cos 21f x x =+，根据周期公式即可求值． 本题易错的主要原因：对二倍角公式在三角函数化简求值的应用不熟练，从而无法解决问题.【例9】（2016全国Ⅰ卷文）14．已知θ是第四象限角，且π3sin()45θ+=，则πtan()4θ-= ．【解析】思路1： 考虑到πππ()()442θθ+--=，令ππ,=44αθβθ=+-，则π2βα=-，因为θ是第四象限角，所以cos 0α>，故4cos 5α=，所以πcos 4tan tan()2sin 3αβαα=-=-=-． 思路2：考虑ππ()44θθ+-=，运用两角和的正切公式．令π4αθ=+，则π4θα=-，因为θ是第四象限角，所以cos 0α>，故4cos 5α=，从而sin 3tan cos 4ααα==，所以πtan tan()4θα=-tan 1tan 1αα-=+ 17=-，故πtan 14tan()41tan 3θθθ--==-+． 思路3：πcos()πtan 1cos sin 44tan()π41tan sin cos 3sin()4θθθθθθθθθ+---==-=-=-+++． 思路4：展开π3sin()45θ+=求出sin θ，运用两角和的正切公式．因为π3sin()45θ+=，所以sin cos 5θθ+=，7sin cos 50θθ=-，因为θ是第四象限角，所以sin 0θ<，cos 0θ>，解得sin 10θ=-，cos 10θ=，所以1tan 7θ=-，故πtan 14tan()41tan 3θθθ--==-+． 思路5： 运用两角和的正弦公式求出sin θ，再运用两角和的正切公式．因为π3sin()45θ+=，θ是第四象限角，所以π4cos()45θ+=，从而ππsin sin()44θθ=+-ππ))44θθ=++34()55-=，cos θ=，所以1tan 7θ=-，故πtan 14tan()41tan 3θθθ--==-+． 【评析】本题解题关键在于从观察角π4θ+和π4θ-关系入手，进而运用两角和差的正弦、余弦或正切公式都可以解题.本题易错的主要原因：其一，没找出两角关系特点从而无法解决问题；本题的另一个易错点是两角和差公式计算错误.（三）重视函数三种表征的理解和应用，加强函数()sin()f x A x b ωϕ=++图象与性质的研究．突破三角函数图象与性质问题的关键是识图、用图能力的形成以及利用三角公式进行三角恒等变换能力的培养．高考复习中，要重视对正弦型三角函数概念及正弦型三角函数三种表征的理解与转换；重视对三角函数的数形结合思想的应用；重视基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力的培养． 【例10】多选题（2021年“八省联考”）12．函数cos2()2sin cos xf x x x=+，则A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增D ． ()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 【解析】思路1：A 选项考察周期性.由()cos 2cos 2cos 20()2=22sin cos sin 2+4sin 24x x x f x x x x x -==⨯⨯+--，得()f x 的几何意义为单位圆上动点()sin 2,cos 2x x 与点()4,0-连线斜率的2倍来判断BCD 选项，其中，B 选项也可用辅112sin 22,2sin 2222x x x x -≤∴+≥,解得cos 2()1sin 2+22x f x x =的最大值． 故选AD ．思路2：由()()2414sin 2()4sin 2x f x x -+'=+，结合三角函数的零点、单调性、区间上的值域求解．【评析】该题作为多项选择题的压轴题，需要学生能够梳理好解决问题的切入点，从选项中找到突破口．题目中考查的知识点较为综合，难度较大，需要学生在复习备考中紧抓基础知识和基本技能，注重常规、常法，重在落实好数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，不仅要学到知识更要形成适应社会发展的必备品格和关键能力，最终学会用数学的眼光观察世界．该题考察的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质，关系式和斜率的转换，主要考察学生的运算能力、转换能力及思维能力。
2020年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析
圆锥曲线是广泛应用于科学研究及生产和生活中的曲线，是高中数学中几何与代数知识的重要组成部分，是高中学生运用平面直角坐标系将曲线与方程、几何与代数融会贯通的重要载体，更是让学生体验和领悟数与形相互转化过程的重要途径，在高考数学中占有较大的比重.2020年高考数学试卷中圆锥曲线与方程专题部分的试题，着重考查圆锥曲线的定义、方程，以及简单的几何性质，立足“四基”，凸显基础性；注重对数形结合、代数方法与几何问题化归的考查，立意能力，在数与形之间彰显综合性、应用性；重视对数学运算、逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养的考查，立旨素养，引导数学教学，实现数学学科的育人价值.同时，与往年相比，试题结构和难度保持稳定，既体现对主线内容、核心概念、数学本质考查的连贯性，也体现了对学生的人文关怀.一、考查内容分析2020年全国各地高考数学试卷共10套13份，具体为全国Ⅰ卷（文、理）、全国Ⅱ卷（文、理）、全国Ⅲ卷（文、理）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、北京卷、上海卷、天津卷、江苏卷、浙江卷.有的试卷由国家统一命题，也有的由各省市自主命题，无论是延续2019年模式的全国卷和地方卷高考试题，还是2020年首次亮相的立足《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）的全国新高考卷试题，都是重视基础，突出能力，并围绕学生的数学学科核心素养展开全方位考查.1.布局合理，考点紧扣标准2020年高考数学试卷，以圆锥曲线的定义、基本量、标准方程、简单几何性质、位置关系等核心内容为载体，重点考查学生对平面解析几何问题基本解决过程的掌握情况：用代数语言把几何问题转化为代数问题，根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论并给出代数结论合理的几何解释解决几何问题.突出考查学生运用代数方法研究上述曲线之间的基本关系、运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题的能力，旨在考查学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.试题紧扣《标准》，以基础题、中档题为主，在总共的26道（相同试题算1道）试题中：基础题有10道、中档题有12道，占比约85%；难题4道，其中2020年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析段喜玲1摘要：2020年高考数学试题中的圆锥曲线与方程部分考查内容紧扣高中数学课程标准，分值、结构稳定，试题突出对“四基”的考查，注重圆锥曲线与其他知识的结合，注重对数学思维和数学学科核心素养的考查.试题体现基础性、应用性、综合性等特点，以基础知识的考查为载体，将对学生分析问题、解决问题能力的考查蕴含在解题过程之中，以实现对学生数学学科核心素养的考查.基于2020年高考试题的命题分析，给出高考复习建议，有效引导高三复习．关键词：圆锥曲线；命题分析；数形结合；数学运算收稿日期：2020-08-01基金项目：重庆市教育科学“十三五”规划2017年度规划课题——课堂教学中自主学习实施途径与策略的研究（2017-MS-13）.作者简介：段喜玲（1979—），女，中学高级教师，主要从事高中数学课堂教学研究.全国新高考Ⅰ卷第22题、全国Ⅰ卷文科第21题（同理科第20题）、全国Ⅲ卷文科第21题（同理科第20题）为压轴题，布局合理.2.分值稳定，多选双填增新彩高考试题对本专题内容的考查一般是两道客观题和一道主观题，共22分，占全卷分值的14.7%，其中北京卷24分，占全卷分值的16%，而全国Ⅰ卷文科、全国Ⅱ卷文（理）科、天津卷、江苏卷、上海卷中是一道客观题和一道主观题，共17分，占全卷分值的11.3%.考查形式、题型分布及分值比例与往年基本持平，有很高的稳定性.在全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷中出现多选题，北京卷中出现两个空的填空题，使试题形式更丰富.这是新高考题型的示范，为教学指引方向.3.文、理略异，趋同铺垫新高考2020年高考数学试卷中只有全国卷分别命制了文、理科试题.由于新高考将不再区分文科和理科，因此2020年全国卷的文、理科试题从内容到难度，差异较往年减小，姊妹题数量增加.在对圆锥曲线与方程的考查中：全国Ⅰ卷文科第21题与理科第20题相同，第11题不同，文科比理科少一道填空题；全国Ⅱ卷文科第9题与全国Ⅱ卷理科第8题相同，全国Ⅱ卷文、理科试卷第19题第（1）小题相同，第（2）小题的已知条件不同，但求解相同，方法相同；全国Ⅲ卷文科第7题、第21题与全国Ⅲ卷理科第5题、第20题相同，文科第14题不同.由此可以看出，文、理科试题虽有不同之处，但同根同源，体现趋同性，明确导向新高考.4.层次分明，数形结合思想贯穿始终《标准》对圆锥曲线与方程的要求有了解和掌握两个层次：圆锥曲线的实际背景、圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用、抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质、椭圆与抛物线的简单应用为了解；椭圆的定义、标准方程及简单几何性质为掌握.2020年高考数学试题对圆锥曲线与方程部分的考查层次分明，基础题和中档题均以抛物线和双曲线的定义、简单几何性质、位置关系为考查内容，部分较难的中档题和难题考查椭圆定义、标准方程、几何性质、简单应用，唯独上海卷的解答题考查圆和双曲线的组合，意在打破常规、力求创新，以考查学生的创新应用意识.同时，在试题中，数形结合思想这条主线贯穿始终，方程与曲线的表述与理解、代数与几何的转化与化归在数形结合中体现得淋漓尽致.5.综合性强，凸显思想育素养圆锥曲线与方程知识是平面几何、平面向量、直线与圆的知识的延续，可以将很多知识、方法（如三角形、直线位置关系、圆、向量、角度、长度、面积、坐标、方程、不等式及函数等）有机结合起来进行考查，体现在知识的交会处命题的基本原则.例如，全国Ⅰ卷理科第20题、全国Ⅲ卷理科第20题、全国新高考Ⅰ卷第22题、北京卷第20题、江苏卷第18题、浙江卷第21题，上海卷第20题综合性都较强，对学生要求较高.同时，试题凸显了数形结合、转化与化归、函数与方程等重要思想，为培育学生的数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养做好了指挥引领作用.二、命题思路分析1.注重对基础知识和基本方法的考查圆锥曲线的定义、方程、基本量、性质、位置关系是这部分知识的常规考查内容，要求学生既要对椭圆、双曲线、抛物线的共性建构良好的知识网络，又要对每种曲线的自身特点掌握得清楚准确，特别是区分不同曲线的定义、方程、基本量关系、性质、离心率的异同，这些知识容易混淆出错.借助平面直角坐标系将几何问题坐标化、用代数方法解决几何问题是解析几何的灵魂所在，因此建立方程或方程组、整体求解、设而不求等基本方法，通性、通法也是高频考点.命题围绕这些设置试题，突出考查学生对基本概念、基础知识、基本方法的掌握.例1（全国Ⅰ卷·理15）已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1()a>0，b>0的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C 的离心率为.【评析】该题主要考查对双曲线的离心率、直线斜率、双曲线的几何性质的应用，属于基础题.可以用方程组求出||BF，或者联立方程求得点B的坐标，再或者直接用公式求得||BF，然后用斜率公式求得离心率.该题解法常规，在运算处理上较灵活，能够对学生数学思维、数学运算进行多角度考查.例2（全国Ⅱ卷·理19）已知椭圆C1：x 2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且||CD=43||AB.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若||MF=5，求C1与C2的标准方程.【评析】考查椭圆、抛物线的基本量a，b，c，p 之间的关系，相交弦长（通径），椭圆离心率，抛物线定义及方程，椭圆方程.注重学生对基本量、关系式、离心率、弦长等基础知识的掌握，要求学生弄清知识之间的区别与联系.该题求解方法简单，整体法求离心率亦常见，第（2）小题利用离心率得a，c的关系，化简方程是解答关键，很好地考查了学生的数学运算素养.除了联立方程求解外，还可以用圆锥曲线的统一定义表示焦半径，简化了运算，提高了解题速度和准确率.类似试题还有全国Ⅰ卷理科第4题、第15题，全国Ⅱ卷文科第19题，全国Ⅲ文科第14题，全国新高考Ⅰ卷第9题、第13题，全国新高考Ⅱ卷第9题，北京卷第7题、第12题、第20题，天津卷第7题，江苏卷第6题，浙江卷第8题，上海卷第10题.2.注重对圆锥曲线与其他知识的综合应用的考查在知识的交会处命题一直是高考数学命题的一大特点，圆锥曲线不仅是知识交会的高频考点，更是代数与几何的完美结合体，因此将圆锥曲线内容与章节内、章节间、学段间、学科间的知识综合，既体现知识的连贯性，又体现知识的交叉性，既考查学生学习的延续性，也考查学生的综合能力.2020年高考数学试题中综合考查了圆锥曲线的方程、离心率、渐近线、弦长、交点，以及三角形的面积、周长等，综合考查圆锥曲线与向量、不等式、函数、解三角形的交会，其中不乏对特殊三角形、圆、线段中垂线等初中平面几何知识的考查，以及几何性质与代数表达式之间互相转化的考查，能有效检测学生的思维能力与水平.例3（全国Ⅲ卷·理11）设双曲线C：x2a2-y2b2=1 ()a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a的值为（）.（A）1（B）2（C）4（D）8【评析】该题综合考查双曲线的定义、离心率、焦点直角三角形、三角形面积，要求学生不仅熟练掌握知识，还要熟悉求解方程组的方法，是一道题型常见、思路常规的综合性试题.例4（江苏卷·18）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B.（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP⋅QP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标.【评析】考查椭圆的定义、直线与椭圆相交、向量数量积和点到直线的距离.第（2）小题中数量积的最值问题考查函数与方程思想，将最值问题转化为函数问题求解的关键点是选取变量，明晰点P，Q的主、被动关系，特别是OP的纵坐标为0，即点Q的纵坐标对数量积没有影响，从而可以不求点Q的纵坐标，这是降低该题难度的关键点，需要学生有极强的数学运算素养.第（3）小题考查三角形的面积关系，实质是考查点到直线的距离，需要学生看到问题的本质，即当三角形的一边为定值时，面积取决于这一边上的高，进一步将高的值转化为椭圆上的点到直线的距离，即直线和椭圆的位置关系.这一系列问题将圆锥曲线与三角形、向量、函数、直线，以及距离流畅地结合起来，在综合考查学生基础知识的同时，考查学生灵活运用转化与化归思想以及数形结合思想解决问题的能力.例5（全国Ⅲ卷·理20）已知椭圆C ：x 225+y 2m 2=1()0<m <5的离心率为，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且||BP =||BQ ，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积.【评析】该题是以直线与椭圆相交成图，考查三角形面积的综合问题，试题表述简洁，脉络清晰，是常规题型，但是试题却不易找到解题突破口.利用垂直关系证得三角形全等，然后用三角形全等求得关键点P ，Q 的坐标是求解该题的切入点，要求学生认识知识的联系性，将圆锥曲线与初中三角形知识自然地糅合在一起，考查学生对初中所学知识的延伸及初高中知识的融合应用，对学生的跨学段知识综合应用能力要求较高.此类型的试题还有全国Ⅰ卷文科第11题、全国Ⅱ卷理科第8题、全国Ⅲ卷文科第21题、全国新高考Ⅱ卷第21题、天津卷第18题、上海卷第10题.3.注重对数学思维、核心素养的考查《标准》对高考数学命题提出明确要求：注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系，充分考虑对教学的积极引导作用；要适度增加试题的思维量，应特别关注数学学习过程中思维品质的形成.“一核”“四层”“四翼”的新高考评价体系也明确核心素养、关键能力等考查内容和要求.2020年高考圆锥曲线与方程的相关试题，以此为依据，注重考查数学思想方法、理性思维和学科核心素养，考查学生通过平面直角坐标系将图形定位、量化，利用代数（方程、方程组）研究平面图形的几何性质，将对数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想、分类讨论思想的考查不动声色地浸润在试题里，使学生在解题中充分展示分析问题、解决问题的能力，同时注重对数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的考查，对数学教学起到很好的引导作用.例6（全国新高考Ⅰ卷·22）已知椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1()a >b >0的离心率为，且过点A ()2，1.（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值.【评析】该题为全国新高考Ⅰ卷的压轴题，第（2）小题是圆锥曲线中的定点、定值问题，特别之处是并不知道定点Q 的具体位置，需要学生自己寻找，增加了试题的难度.首先，学生要分析点M ，N 在椭圆上运动的过程中的变量和不变量，找出直线MN 过定点E ；其次，求得定点E 的坐标，并能在由点A ，D ，E 构成的直角三角形中找到定长.该题不仅在思维上起点高、难度大，在运算上亦是如此，设点、设线还需分类讨论验证，需要学生具有超强的运算功底.在解答过程中，充分体现对通性、通法的重视，对技巧的弱化，完整展现学生分析问题、解决问题的能力，对学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养有充分的检验作用.由于知识和思维跨度较大，数学运算繁杂，对学生综合能力要求较高，真正考查学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的能力.例7（上海卷·20）如图2，双曲线C 1：x 24-y 2b2=1，圆C 2：x 2+y 2=4+b 2()b >0在第一象限交点为A ，A ()x A ，y A ，曲线Γ：ìíîïïx 24-y 2b 2=1，x 2+y 2=4+b2()||x >x A .图2（1）若x A =6，求b ；（2）若b =5，C 2与x 轴交点记为F 1，F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足||PF 1=8，求∠F1PF2；（3）过点Sæèçöø÷0，2+b22且斜率为-b2的直线l交曲线Γ于M，N两点，用b的代数式表示OM⋅ON，并求出OM⋅ON的取值范围.【评析】该题是以双曲线系、圆系的交点为动点的轨迹问题，打破常规命题背景，有创新意识和应用意识.考查学生对曲线与方程的定义、双曲线的定义、直线与圆的位置关系、直线与直线的位置关系、向量数量积、函数最值的理解和综合应用.因为含有参数b使得轨迹不为学生所熟悉，所以要求学生对曲线方程的定义有较深的理解.第（3）小题中的直线l 与圆始终相切，切点为M是关键点，并观察直线l与一条渐近线平行，对学生的直观想象、逻辑推理素养要求较高，是一道以能力立意、考查素养、有创新意识的好题.此类型试题还有全国Ⅰ卷理科第20题、文科第21题，浙江卷第21题.三、复习建议通过对2020年高考圆锥曲线与方程试题的分析，可以看到试题对从基础知识、基本方法到运用基本数学思想解决数学问题的思维过程的考查，都体现了注重“四基”、能力立意、突出思维、落实素养的特点.因此，在高三复习过程中，要通过教学注重数学思想的渗透和学生思维能力的培养，让数学学科核心素养在课堂教学中生根发芽、开花结果.1.掌握知识，明辨异同，构建网络基础知识不仅是高考考查的重点，也是教学重点.高三复习首当其冲就是要把知识点弄清、理透、掌握牢.圆锥曲线部分的基本知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、位置关系，每个知识点所包含的内容很丰富.例如，圆锥曲线的定义，既有各自的定义，又有统一定义，还有其他方式的定义.又如，标准方程有焦点在x轴和焦点在y轴等.这些知识虽然靠记忆，但是学生容易混淆，因此复习时要让学生明晰同一知识点之间的联系与区别、圆锥曲线与圆锥曲线之间的联系与区别，牢固掌握基础知识.同时，复习不是知识点的简单重复与堆砌，复习是立足章节对所学知识的横向再认识，是站在数学学科角度对所学知识的纵向再认识，要高站位地建构横纵知识结构网络.2.注重通法，提升运算，渗透思想做题是复习课上必不可少的教学活动，《标准》在命题原则中明确提出：注重数学本质、通性和通法、淡化解题技巧.复习的例题、习题、试题要多选用通性、通法求解的题目，让学生熟练掌握通性、通法.圆锥曲线部分的内容特点决定了解题需要学生具有超强的运算能力，常用的运算方法、运算技巧、运算素养都需要在做题中提升.高中的运算不仅仅是简单的数的运算，更多的是式的运算，需要在理解运算对象的基础上，探究运算思路、选择运算方法、求得运算结果，即数学运算素养.这需要依赖教师在教学中加强对学生运算能力的培养，不能只靠学生自己算，要重视学生在求解运算中的过程设计，如整体解法、方程思想、设而不求、点差法、同理法等.运算的速度、准确度在很大程度上决定解析几何试题的得分情况，提升运算能力、培养数学运算素养是圆锥曲线部分复习的重点和难点.教学中要有意识渗透数学思想，方程与函数思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想等在解题中贯穿始终，能很好地体现理性思维.3.提高能力，增强思维，培育素养能力立意，关注思维，培育核心素养是新高考命题的宗旨，也是高三复习的风向标.能力、思维、素养的培养都“润物细无声”地存在于教学过程之中，因此教学要从培育核心素养的角度思考复习方案和教学设计，并深入了解学生学习的困难，关注一题多解和多题一解的内容与题目，体现灵活性，放手让学生大胆尝试、引导学生有效反思，有助于强化学生思维，培养学生在面对新的问题情境时运用数学概念对问题进行抽象，用数学符号表达，用逻辑推理分析问题、解决问题的能力，让学生真正做到用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，以达到提炼学生思维品质，培养学生学科核心素养的课程目标.4.克服畏惧，锻炼意志，增强信心在高考数学试卷中，本专题试题繁冗的运算、大容量的思维使得学生有畏惧心理，很多学生给自己的定位是只做解答题第（1）小题，因此纵使有些试卷的解答题不难，考查结果却差强人意.例如，全国Ⅱ卷理科第19题，仍有很多学生没有做第（2）小题.高考不仅是对知识能力的检测，也是对心理素质的检测，复习中不能根据经验或规律，让学生将圆锥曲线与方程问题定性为难题而轻易舍弃，而要以此为契机培养学生面对较繁杂问题时耐心分析、善于转化的能力与勇气，要有意识选择一些基础题和中档题，引导学生在求解的过程中磨炼意志和耐心，克服畏惧心理，以平常心对待，增强“只要有足够的时间，我一定会做出来”的信念和信心.四、模拟题欣赏1.已知F 1，F 2是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1的左、右焦点，点M 在E 上，若△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 1F 2=12，则双曲线E 的离心率为（）.（A ）3-1（B ）3（C ）3+1（D ）3或3+1答案：D.2.设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过焦点F 的动直线交C 于A ，B 两点，则 OA ⋅OB 的值为.答案：-2716.3.若F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左、右焦点，且离心率为12，若过右焦点F 2的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求当△ABF 1面积的最大值为12时的椭圆标准方程.答案：x 216+y 212=1. 4.已知过椭圆x 24+y 2=1左顶点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，以AB 为直径的圆过椭圆的上顶点，求直线l 的方程.答案：3x +10y +6=0.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知1是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的右焦点，离心率为，过点F 1且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，||PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过椭圆左焦点F 2且斜率为k ()k >0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点M ，交直线x =-3于点N .求证：||OE ，||OM ，||ON 构成等比数列.答案：（1）x 23+y 22=1；（2）略.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M ］.北京：人民教育出版社，2018.［2］吴彤，徐明悦.2019年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2019（9）：24-27.［3］任佩文，张强，霍文明.2018年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：122-128.［4］范美卿，张晓斌.2016年高考“直线和圆”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2016（9）：2-8.。
2024届高三数学二轮复习策略课件
1.离心率的计算 2.圆锥曲线与三角形内心、重心相关的 问题
3.圆锥曲线与内接三角形 4.圆锥曲线中常用的二级结论
专
1.函数的图像与性质 2.利用导数研究函数的性质
题 函数与导数 3.导数与恒成立问题
六
4.导数与不等关系 5.导数与函数的零点
1.抽象函数的性质 2.切线与公切线 3.以指数、对数为载体的情景题 3.导数中的构造问题 4.端点效应问题
【分析】当x 时0 ， xf (x) ，f (x即) 0 [xf (x)] 0
构造函数 g(x) xf (x)
A 【例 1】（2020 新课标Ⅱ理11）若 2x 2y 3x 3y ，则 (
)
A． ln(y x 1) 0 B． ln(y x 1) 0
C． ln | x y | 0
二轮复习六大专题：
大专题
专 三角函数、 题 解三角形 一 和平面向量
专 题 数列 二
专 题 立体几何 三
子专题
微专题
1.三角恒等变换 2.三角函数的图像与性质 3.解三角形
1.平面向量数量积的求解策略 2.三角函数中与 相关的问题探究 3.三角形中的特殊线段 4.三角中的数学建模与情景题
1.数列的通项求法
【案例3】 微专题：同构式
【引例】（2015 年理12 改编）设函数 f (x) 是奇函数 f (x)(x R)的导
函数， f (1) 0 ，当 x 0 时，xf '(x) f (x) 0 ，则使得 xf (x) 0
成立的 x 的取值范围是（
）
A．,1 0,1
B．1,0 0,1
C．,1 1,0 D．0,1 1,
3.确定备考策略
(1)对数列的概念及表示方法的理解和应用； (2)等差数列、等比数列的性质、通项公式、递推公式、前项和公式中基本量的运算或者利用它们之 间的关系式通过多角度观察所给条件的结构，深入剖析其特征，利用其规律进行恰当变形与转化求解 数列的问题； (3)会利用等差、等比数列的定义判断或证明数列问题； (4)通过转化与化归思想利用错位相减、裂项相消、分组求和等方法求数列的前项和； (5)数列与不等式、函数等的交汇问题； (6)关注数学课本中有关数列的阅读与思考、探究与发现的学习材料，有意识地培养学生的阅读能力 和符号使用能力，也包括网络资料中与数列有关的数学文化问题，与实际生活有关的数列的应用问题； (7)关注结构不良试题、举例问题等创新题型。
立体几何在高考中的命题分析-2023届高三数学一轮复习课件
由于 = 与 = ，底面正方形的边长相等，所以当 =
时，此时正四棱锥的底面积与高都是最小值，此时体积
取得最小值。
方法一
通过求导，判断函数的
单调性，来求最值
方法二
也可以通过三元的基本不
等式来求最大值
2、几何图形的内切球、外接球
（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）
（2）夹角,距离问题；
（3）空间几何体的体积、表面积计算；
（4）空间几何体与球的组合体；
（5）立体几何与其它知识的交汇。
3、具体措施：
（1）抓源固本，把握通性通法
近年高考命题的一个显著变化是：由知识立意转为能力立意，在知识网络的交汇点处设计试
题，往往遵循大纲又不拘泥于大纲。但是，对高考试卷进行分析就不难发现，许多题目都能
（1）第一问突破原来的“证明”题型，改为考查“距离”
（2） 从以往由已知棱长求值的直接结构变为需要通过给出的
条件得出棱长再求值的间接结构，且隐性考查的空间中垂直关
系的证明不是特别容易；（该题的一个难点）
方法一
A1
C1
B1
D
E
M
几何法对学生的空间
想象能力要求较高，
是学生的一大弱点,
所以学生通常选择向
（2）理解空间中点、线、面的位置关系，能用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定
定理进行证明；
（3）能用向量方法证明线线、线面、面面的平行和垂直；
（4）能用向量方法求解线线、线面、面面的夹角问题；
（5）能用向量方法求解点到直线、点到平面的距离问题。
2、关注考查热点：
（1）空间线线、线面、面面的平行和垂直问题；
关于核心素养理念下的高中数学教学的几点思考
关于核心素养理念下的高中数学教学的几点思考作者：张晨波来源：《新教育时代·学生版》2016年第31期摘要：《中国学生发展核心素养（征求意见稿）》中对学生提出的核心素养共有九种，其目的就是为了让学生将自己所学知识可以满足大学或者进入社会后的需要。
本文通过对核心素养的内涵进行阐述，分析了当前高中数学教学的现状，研究了核心素养理念下的高中数学教学架构，提出核心素养理念下的数学教学策略，具有一定的实践意义。
关键词：核心素养高中数学教学核心素养理念主要是为了让学生将自己所学运用到生活和工作中，成为对社会有用的人才。
当前，国民教育也是向着这个方向发展，除了学习文化知识外，还要求教师和学生树立起核心素养理念，由知识核心转变为核心素养。
如何将核心素养理念植根于高中数学教学中，是当前教育工作者关心的热点研究课题。
一、核心素养的内涵从目标上看，核心素养主要解决的是应该培养什么的人作为目标，因为这个范畴已经超出了行为主义能力，其包含有知识、态度、能力等多方面内容，所以更加集中的表现了全面教育理念，这也与我国“教人成人”和“成人之学”的传统文化相契合，和《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》中所提“促进人的全面发展、适应社会需要” 这一教育质量目标是相同的，符合了党的十八大报告提出“以德树人”要求。
从性质上看，核心素养要求的对象是所有的学生，也是最为必要的素养要求。
人们在社会生活中要养成很多素养，但是核心素养是所有素养的核心要素，其他的素养都是由核心素养所衍生出来的。
从在内容上看，核心素养体现了一个人的综合能力，不仅有知识、技能这些基础，还应包括态度和思想层面的内容。
二、核心素养理念下的高中数学教学架构1.科学知识方面的核心素养表现高中数学的发展也是学生这对个世界认知的过程，在这一过程中，很多客观事物的逻辑属性及特征本质在数学概念中都有所体现，数学规律也正是在对事物的发展中而形成的。
高中学生通过对于数学知识的学习，可以客观的感知这个世界的发展，了解事物中的数学逻辑所在，并且可以通过各种数学知识去解释这个世界的客观现象，产生自己以科学知识为主的唯物主义价值观。
融合数学文化 创设问题情境--以2020全国卷高考题为例
合也产生了新的变化.笔者梳理2020年高考数学试 题 ，发现命题者借助数学文化从以下三个维度优化 了 数 学 命 题 的 情 境 设 置 ，促 进 学 生 核 心 素 养 的 进 一 步考查.
1 从 “生 活 化 ”到 “真 生 活 化 ”
“生 活 化 ”是 指 设 置 与 生 活 相 关 联 的 问 题 情 境 ， 不 考 虑 问 题 背 景 是 否 符 合 实 际 生 活 .而 “真 生 活 化 ” 是 指 设 置 符 合 生 活 实 际 的 问 题 情 境 ，真 正 体 现 数 学 来源于生活.
素 养 导 向 的 高 考 命 题 注 重 试 题 的 情 境 创 新 ，通 过 梳 理 近 年 来 相 关 学 者 的 研 究 ，主 要 有 以 下 三 点 原 因:第一，核心素养的 考 查 需 要 有 新 的 考 试 呈 现 形 式 ，为 学 生 提 供 丰 富 的 信 息 （非连 续 文 本 、图表、表 格 、统计数据、实景照片、特殊符号等），让问题贴近 实 际 ，有利于考查学生用数学的眼光观察世界;第 二 ，实现理论与实践的结合，尤其是结合生活情境与 生 产 实 际 的 问 题 是 来 源 于 社 会 的 真 实 情 境 ，能够有 效考查学生分析和解决问题的能力，体现了 “解题 转变为解决问题，做题转变为做人、做 事 ”；第 三 ，防 止 试 题 题 型 与 命 题 方 式 的 固 化 ，增 强 试 题 新 颖 性 和 灵 活 性 ，促 进 学 生 融 会 贯 通 、真懂会用.
中国人民大学《复印报刊资料·高中数学教与学》全文转载或索引我刊2019年文章统计
文章名提升直观想象核心素养，破解压轴题聚焦直观想象核心素养的解题教学思考——以几道高考试题为例平淡中见波澜细微处见真章——小议在“微教研”中做“真研究”布卢姆教育目标分类学指导下的高中数学学科核心素养之数学抽象研究——以“函数概念”为例高中数学校本课程的开发与实践——以校本课程“数学哲学”的开发为例用好实习作业，培育核心素养数学游戏及其教育价值CPFS结构视角下的数学解题基于深度学习的数学解题探析“悟”在数学教学中的价值分析及教学思考课堂教学中核心素养培养值得关注的五个结合关注知识理解与迁移，发展数学核心素养——“幂函数”的设计与思考基于数学核心素养的问题情境创设的案例评析——以“数列”单元教学为例圆锥曲线知识网络的特点分析及教学思考作者姓名薛红霞李宇李林霞陈莉红陈启南石勇徐晶何睦邱云何明简冬梅张天珍金山庄丰金贵燕刘咏梅张捷张语清孙孜龚有顺段丹丹刘咏梅作者单位山西省教育科学研究院山西省太原市第十二中学山西省太原市进山中学江西省教育厅教学教材研究室广东省梅州市教育局教研室广东省梅县东山中学天津市新华中学江苏省张家港市沙洲中学厦门大学附属实验中学四川省成都市第七中学四川师范大学数学学院四川省成都市棠湖外国语学校江苏省启东中学浙江省玉环中学江西师范大学教育学院江西师范大学数学与信息科学学院江苏省常州市第一中学南京邮电大学浙江省金华第一中学江苏省扬州市第一中学江西师范大学教育学院江西师范大学数学与信息科学学院我刊原载期别2019.1/22019.1/22019.1/22019.32019.1/22019.1/22019.1/22019.1/22019.1/22019.1/22019.1/22019.1/22019.1/22019.1/2转载（索引）期别2019.52019.52019.52019.62019.62019.62019.62019.62019.62019.62019.62019.62019.62019.6说明相关题录相关题录转载相关题录转载转载索引索引索引索引索引索引索引索引中国人民大学《复印报刊资料·高中数学教与学》全文转载或索引我刊2019年文章统计2019年我刊高中版所刊登的文章中，有74篇被《复印报刊资料·高中数学教与学》全文转载或列为索引，其中全文转载18篇，索引48篇，观点摘编1篇，相关题录7篇，较2018年有19.35%的增幅，具体见下表.感谢广大教育研究人员对本刊的支持.本刊希望与广大作者共同努力，再创佳绩！文章名布卢姆教育目标分类学指导下的高中数学学科核心素养之数学运算研究——以“对数运算”为例“概率的性质”教学设计布卢姆教育目标分类学指导下的高中数学学科核心素养融入课堂教学的策略研究布卢姆教育目标分类学指导下的高中数学学科核心素养之直观想象研究——以“椭圆及其标准方程”为例布卢姆教育目标分类学指导下的高中数学学科核心素养之数学抽象研究——以“函数概念”为例布卢姆教育目标分类学指导下的高中数学学科核心素养之数学建模研究——以“函数模型及其应用”为例布卢姆教育目标分类学指导下的高中数学学科核心素养之数据分析研究——以“统计图表与用样本估计总体”为例布卢姆教育目标分类学指导下的高中数学学科核心素养之逻辑推理研究——以“数列”为例“不等式的性质”教学设计立德树人与数学课程改革——暨“第九届高中青年数学教师优秀课展示与培训活动”总结“对数的概念与运算性质”教学设计与反思“概率的性质”教学设计“独立重复试验与二项分布”教学设计“导数的概念及其几何意义”教学设计“平面与平面垂直的判定”教学设计与评析“椭圆的几何性质”教学设计问题串引导下的“过程性”概念教学——“对数与对数运算”（第1课时）教学设计、实践及反思“二项式定理”教学设计“椭圆的简单几何性质”（第1课时）教学设计“导数的概念”（第1课时）教学设计“三角函数的单元复习”（第1课时）教学设计挖掘试题价值引领高考复习——解析几何复习起始课教学作者姓名曲全徐美松于川王成丽徐晶刘庆利邬楠朱小岩李磊章建跃张灿徐美松来洪臣马丽娜赵爽张晓斌张宏鹏段艳芳张立平李林霞刘志诚乔树华张传涛徐彬孙海琴蒋孟君作者单位天津市新华中学江苏省南京市金陵中学天津市新华中学天津市新华中学天津市新华中学天津市新华中学天津市新华中学天津市新华中学青海师范大学附属中学人民教育出版社课程教材研究所安徽省芜湖市第一中学江苏省南京市金陵中学东北育才学校天津市耀华中学重庆市南开中学校重庆市教育科学研究院江苏省丹阳高级中学山西省太原市实验中学山西省太原市教研科研中心山西省太原市进山中学河北省秦皇岛市第一中学天津市宁河区芦台第一中学河南省开封高级中学北京市中关村中学浙江省温岭中学广西桂林市中山中学我刊原载期别2019.32019.42019.32019.32019.32019.32019.32019.32019.42019.42019.42019.42019.42019.42019.42019.52019.52019.52019.52019.52019.52019.4转载（索引）期别2019.72019.72019.72019.72019.72019.72019.72019.82019.82019.82019.82019.82019.82019.82019.82019.82019.82019.82019.82019.82019.82019.8说明转载转载索引索引索引索引索引转载转载索引索引索引索引索引索引索引索引索引索引索引索引索引续表文章名立足教材发展素养——关于“独立重复试验与二项分布”一课的点评高效数学教学行为的案例研究基于核心素养的高中统计教学研究智能诊断下的精准教学——以三角变换为例注重素养导向开展精准教学——2019年全国各地高考数学试卷的特点及启示数学抽象、逻辑推理背景下的问题情境建构基于SOLO评价理论的数学解答题评分标准研究——以一道函数与导数解答题为例高中数学创新题编制的几个入手处2019年高考“选考内容”专题命题分析2019年高考“平面向量”专题命题分析2019年高考“函数与导数”专题命题分析2019年高考“算法与框图”专题解题分析2019年高考“数列”专题解题分析2019年高考“三角函数”专题解题分析2019年高考“集合、常用逻辑用语、复数”专题解题分析数学运算素养的理解与商榷深度学习案例：会意高中数学中的斐波那契数列“三角函数模型的简单应用”教学设计渗透唯物辩证法观点，落实立德树人理念基于数学运算素养培养的平面向量教学思考作者姓名龙正武陈利民高雪松郭方奇欧阳亚亚金佳琳陈延付朱恒元周德明顾晓骅曾辛金肖凌戆张金良姜思洋吴丽华张永成罗辉东薛红霞郭玉竹苗孟义张金良闫旭王恩波孙海琴郭玉峰段欣慰孙艳徐德均张翼周祝光池新回袁瑶刘咏梅作者单位人民教育出版社课程教材研究所浙江省杭州高级中学北京师范大学数学科学学院浙江省绍兴市第一中学浙江省景宁中学浙江省义乌中学江苏省太湖高级中学江苏省无锡市第三高级中学广东省广州市教育研究院广东省广州市黄埔区教育研究中心浙江省教育厅教研室黑龙江省哈尔滨市第三中学校黑龙江省教育学院天津市武清区教研室山西省实验中学山西省教育科学研究院广东省深圳中学浙江省慈溪中学浙江省教育厅教研室辽宁省大连市第二十三中学浙江省杭州学军中学北京师范大学附属中学江苏省南通中学四川省成都市第十二中学福建省三明市教育科学研究所江西师范大学数学与信息科学学院我刊原载期别2019.42019.52019.62019.62019.7/82019.62019.7/82019.92019.92019.7/82019.7/82019.7/82019.7/82019.7/82019.7/82019.102019.52019.102019.102019.10转载（索引）期别2019.82019.82019.92019.102019.112019.112019.122019.122019.122019.122019.122019.122019.122019.122019.122020.12020.12020.12020.12020.1说明索引索引转载转载转载转载转载索引索引索引索引索引索引索引索引转载相关题录转载索引索引续表北京师范大学第二附属中学北京师范大学数学科学学院文章名教学创新为落实核心素养而教——以江西省高中数学优秀课展示交流活动为例“三角函数模型的简单应用”教学设计基于核心素养的函数模型及其应用教学评析——以“几类不同增长的函数模型”一课为例通过“问题提出”培养学生的数学文化观念——以人教A版新高中数学教科书中阅材料的教学设计为例数学文化的六种常见高考题型及教学策略——以2018年高考试题为例依托网络平台，促进青年教师发展——张金良名师网络工作室建设的实践与思考在问题解决过程中提升学生的数学素养——“三角函数模型的简单应用”课例点评基于核心素养的函数模型及其应用教学评析——以“几类不同增长的函数模型”一课为例实验引探究融洽促成长——“均匀随机数的产生”课例点评在高中数学教学中开展项目学习的尝试——以“测量……”为例立足于“单元整体设计的研究性学习”课例——“椭圆的定义和方程”教学设计与实录基于ACODESA模式的数学任务设计——以“分形”为例数学抽象：从背景到概念再到结构——兼谈人教A版教材的数学问题创新设计问题背景及其创设基于核心素养视角的课堂教学建议——以“函数模型的应用实例”为例以退为进，曲径通幽——一道全国联赛试题的深度探究布卢姆教育目标分类学指导下的高中数学学科核心素养之数据分析研究——以“统计图表与用样本估计总体”为例落实“立德树人”根本任务下的HPM教学——以“椭圆及其标准方程”为例作者姓名江民杰张翼周祝光曲巍王洪军宋莉莉张金传张金良郭慧清曲巍王洪军陈昕薛红霞马胜利曹宗庆任燕巧张维忠章建跃李昌官丁明忠肖海东李世杰李盛邬楠沈金兴王华作者单位江西省九江第一中学四川省成都市第十二中学黑龙江省教育学院黑龙江省实验中学人民教育出版社课程教材研究所扎兰屯职业学院浙江省教育厅教研室广东省深圳中学黑龙江省教育学院黑龙江省实验中学海南省教育研究培训院山西省教育科学研究院山西省实验中学华中师范大学第一附属中学浙江师范大学教师教育学院人民教育出版社课程教材研究所浙江省台州市教育局教研室湖北省黄冈市教育科学研究院湖北省黄冈中学浙江省衢州市教育局教研室浙江省衢州第一中学天津市新华中学浙江省桐乡市凤鸣高级中学浙江省桐乡第二中学我刊原载期别2019.102019.102019.102019.122019.102019.112019.102019.102019.102019.102019.52019.122019.122019.122019.122019.122019.32019.11转载（索引）期别2020.12020.12020.22020.32020.32020.32020.32020.32020.32020.32020.42020.42020.42020.42020.42020.42020.82020.9说明索引索引转载转载相关题录转载索引索引索引索引相关题录转载索引索引索引索引观点摘编相关题录续表。
传承中发展 素养下超越——2020年高考数学山东卷和海南卷分析与思考
考频道^2020年第12期中学数学教学参考（上旬）传承中发展素养下超越一2020年高考数学山东卷和海南卷分析与思考殷木森（广东省深圳市龙华区教育科学研究院)摘要：通过分析2020年高考数学山东卷和海南卷的命题依据、内容结构变化和试题特点，为在旧课标、旧教材下参加2021年新高考的学生提出有针对性的备考建议。
关键词：新高考；试题特点；备考建议文章编号：1002-2171(2020) 12-0055-052020年是使用新高考试卷的首年，教育部考试 中心为此命制了两套试题，仅供山东、海南两省使用，其中山东使用卷I，海南使用卷I I。
2021年，全国第 三批新高考改革试点省份中也将有部分使用新高考 全国卷。
那么，如何理解旧课标、旧教材下的新高考？新高考数学全国卷究竟有什么不一样？新高考数学 卷带给我们怎样的备考启示？笔者对2020年的两套 数学试题进行了认真的分析与思考，希望能给广大一 线教师与学生带来一些帮助。
1命题依据1.1中国高考评价体系2019年11月，教育部考试中心正式印发了《中国高考评价体系》及《中国高考评价体系说明》，用于 “指导高考内容改革和命题工作的测评体系”，主要包 括高考的“核心功能、考查内容、考查要求”等内容，俗 称“一体四层四翼”。
体系中还提出了高考的命题理念要从“知识、能力立意”转变为“价值引领、素养导向、能力为重、知识 为基”，其中的学科素养包括“学习掌握、实践探索、思 维方法”3个一级指标和9个二级指标。
具体到数学 学科，是指要通过对数学问题情境的理解、分析和整 合，将其转化为学生熟悉的数学研究对象，再运用数 学学科的思维方法进行问题解决。
1.2高中数学课程标准2019年6月，国务院办公厅《关于新时代推进普 通高中育人方式改革的指导意见》中明确表示：实施 新髙考的省、市取消了“考试大纲”。
由于新高考与新课标的实施、新教材的使用没有同时进行，2019年9 月教育部办公厅又印发了《新高考过渡期数学科考试 范围说明》，把《普通高中数学课程标准（实验）》（简称 《课标（实验）》）和《普通高中数学课程标准（2017年版）》（简称《课标（2017年版）》）中的公共内容确定为 过渡时期的数学科考试的重点内容。
知识为基 能力为重 素养导向 价值引领
知识为基能力为重素养导向价值引领作者：董荣森汪俊来源：《中学数学杂志(高中版)》2021年第03期【摘要】以2021年江苏、河北等八省联考数学试题为例，围绕“四翼”即“基础性、综合性、应用性、创新性”等四个方面，阐述新高考数学命题的理念“知识为基、能力为重、素养导向、价值引领”在这份试卷中的落实与体现，最后对本届高三数学后阶段复习备考提出建议，同时对2021年全国新高考数学命题进行展望.【关键词】八省联考;新高考;命题理念;四翼1 问题提出2021年1月23日是值得纪念的日子，由国家教育部命题考试中心统一命题，江苏、河北、辽宁、福建、湖北、湖南、广东和重庆等八省市高三学生参加的“八省联考”拉开序幕（下文称“2021年八省联考”），考生总人数达331万约占全国高考总人数的三分之一，这也是中国历史上第一次大规模的联考，绝对可以载入史册.从考生反映的情况来看，很多学生感觉明显不适应，暴露出教师在引领学生复习备考的过程中出现的一些问题，如：从教师理念上来说，部分高三教师对新高考命题理念认识还不够到位，很多学校依据2020年新高考卷为模板固化试卷的结构形式与题型，对学生进行“机械训练”;从试卷风格上来看，整张试卷与2020年新高考山东卷相比字数大大减少，风格迥异、内容上也有很多出人意料，比如：多选题分数结构调整，部分选对只得2分，无疑给那些想要3分保底的考生增加了难度;填空题出现答案不定的开放题;从试卷内容上来看，解析几何一直围绕椭圆、抛物线转，这次来考考双曲线;立体几何是妥妥地考一次新定义题等等，给学生措手不及，这也再次表明高考命题遵循“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”理念.记得2016年11月24日教育部考试中心姜刚主任在《中国教育报》上发文对我国高考评价改革进行了顶层设计，首次提出“一体四层四翼”的评价体系.如图1，“一体”即立德树人;“四层”即必备知识、核心价值、学科素养、关键能力;“四翼”即基础性、综合性、应用性、创新性.很好地回答了高考为什么考？考什么？怎么考？通过几年高考改革的探索与实践，逐渐形成了以“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”综合评价原则，构建了以“考查内容、考查要求、考查载体”三位一体评价模式.本文想以2021年八省联考数学试题为例，就“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”在新高考适应性考试数学试题中如何体现与落实，望对2021年加入新高考省份的高三教师如何备考提供一些参考与建议，以飨读者.2 高考命题理念在2021年八省联考数学试题中的体现2.1 以知识为基，着重考查学生的基础知识和基本方法，体现“基础性”对于数学学科来说，“四基”是“基础性”的主要体现，是学生掌握必备知识、发展关键能力、理解数学本质的基础和依托;只有系统地学习数学的概念、性质、原理，灵活运用数学术语进行表征，才能理解和掌握数学思想和方法，进而形成数学核心素养，脱离“四基”去发展学生的关键能力和核心素养，是无稽之谈[1].因此，高考数学对“基础性”的考查理所当然也是必然，通过考查核心概念、基本原理和基本方法，增强考试内容的基础性，全面系统考查基础知识，使学生形成牢固的基础知识，掌握解决问题的工具.2021年八省联考数学试卷中部分试题，着重对数学基本概念、定理、思想方法等“基础性”进行考查，体现解题方法的多样性，如第1，2，5，6，13题等都是考查考生基础知识，只要概念清楚、基础牢固，都能很容易快速解决.2.2 以能力为重，着重考查学生的应用知识解决问题能力，体现“应用性”2.3 以素养导向，着重考查学生的逻辑推理和数学运算等素养，体现“综合性”综合性是考查各分支内容和学科之间的联系，增强考试内容的综合性，促进学生从整体上建构知识框架，形成合理的认知结构，主要体现让学生能够在综合的情境中，多角度观察、思考、发现其蕴含的数学关系，能够综合運用学科中不同知识、数学思维进行分析、探索解决问题的思路.2021年八省联考数学试题中对“综合性”的考查，体现在学生对掌握学科知识体系的完整性，关注不同知识内容之间、不同学科知识之间的联系，目的引导学生整合所学知识并培养学生的实践思维.试题注重选择生活中的真实案例，结合学生的实际认知水平进行设置合理的问题情境.如2021年八省联考数学试卷中第3，7题.解析本题以一元二次方程根的情况作为载体，考查学生的逻辑推理素养.本题的切入点为“相互矛盾或联系点”.注意到甲乙正确，则丙丁错误，故甲乙必有一个错误.如果甲丁正确，则乙丁错误，所以甲错，故选A.评注本题主要考查抛物线、圆、直线等有关知识，重点考查学生的数学运算素养.方法1采用的是暴力求解，思路条理清晰，但运算比较繁琐，所谓的“理想很丰满，现实很骨感”;方法2运用的是设而不求，利用同构式思想解题，运算简洁，但对学生思维层次要求高.当然除了上述两种方法外，还有很多解法这里不再赘述.2.4 以价值引领，着重考查数学的科学价值和应用价值，体现“创新性”通过设计新情境给出新定义，提出有一定跨度的问题引导学生进行自主探索，考查学生运用数学及相关学科的核心概念分析和解决问题的能力，主要体现在学生要具有独立思考能力，具备批判性和创新性思维方式.包括形式创新、方法创新、思维创新;创设新颖情境，考查学生阅读理解能力;强化推理论证，考查理性思维能力.“创新性”在高考题中通过创设与社会实际密切相关的现实问题情境，引领现实意义与价值，要求学生多角度、开放式地思考问题.比如2021年八省联考数学卷第15，20题等.例4 （2021年八省联考数学第20题）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-π3×3=π，故其总曲率为4π.（1）求四棱锥的总曲率;（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数.评注本题以能力立意，主要考查学生的阅读理解能力、逻辑推理能力以及运用数学知识解决问题的能力，体现了数学的应用价值.试题以北京大兴国际机场为背景，给出“曲率”的概念，要求学生理解这个概念，并在具体的问题情境中求出曲率.题目设置从三棱锥到四棱锥，总曲率都是4π，猜想一般情况也是4π，这是从特殊到一般的归纳推理.类比四棱锥的解题过程，总曲率=2π×n-各面的内角和，破解本题的关键在于找到“棱数，面数”之间的关系，通过观察会发现每条棱被两个平面共用.本题题根来源人教版教材选修2-2第 83 页凸多面体的性质：顶点数-棱数+面数=2.3 对高三后阶段复习备考的思考及2021年新高考的展望基于核心素养大背景下的新高考在山东、海南等省份已经开始改革试点，2021年又将有包括江苏在内的八个省实行高考综合改革，必将对高中数学教学带来巨大的影响.2021年八省联考明确了风向标，高三数学教学如何应对考试内容的变化和数学学科核心素养的培养，是每一个高中数学教师面对的问题，特别是高三数学教师.3.1 关注对题型结构的优化与完善，深入开展“大单元、大概念”教学2020年新高考与之前的新课程卷相比，选择题部分由原来的12道单选题变成了8道单选题与4道多选题.这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题就会丢掉5分.在2021年八省联考数学卷中，多选题分数结构调整，部分选对只得2分，无疑给那些想要3分保底的考生增加了难度;在填空题方面，出现一题两空和具有开放性、探究性色彩的试题，更加体现试题的区分度.在高三后阶段备考中，传统的高三二轮复习以及“微专题”教学就显得单薄，适时穿插“大单元、大概念”教学让高三复习课更加综合厚重，同时重视知识板块化的梳理、构建知识网络，让考生更加系统全面地掌握知识.3.2 关注对基本概念的理解与领悟，让教学回归数学问题本质2021年八省联考数学试题在体现秉承素养导向、能力为重的原则下，突出考查学生的理性思维和探究能力，彰显了综合运用数学思想方法发展“四能”的意识.通过一定量的试题创新设计，比如第13题考查圆台体积，第14题是平面几何与解析几何的结合，第15题是一个开放性试题，第16题是一道跨学科融合的试题，这些题目的设置丰富了试卷的内容和形式、优化了试卷的结构.其中第15题更是加强对基本概念的理解和领悟，让数学考试逐步回归本质.在高中后阶段教学中，我们不能一味地追求教学的进度，高中数学的重点不仅仅是高三复习，更应该重视高一、高二新知识的构建过程，回归课本、回归到数学知识的本质，师生之间多一些探究和对话，弱化公式训练，重视知识的推导生成过程，在教学过程中提升能力，塑造品质.3.3 关注发展学生素养与能力，让教学“慢下来”思维“深起来”2021年八省联考数学解答题打破了固有的“定势思维”，特别是该卷第20题，此题以大兴机场的建设成就、大学微分几何中的曲率为背景，结合立体几何的相关知识命制试题，旨在考查学生获取新知识，探究新问题的能力;试题反映了大融合的理念，新课改的精神，对培养学生的创新应用意识起到积极引导作用.第21题解析几何题，习惯中的“双曲线不考大题，只考小题”的经验主义被成功打破，通过代数方法求解双曲线的离心率，以及通过代数语言证明和揭示角度关系式，均是解析几何的重点方法，考生打破“定势思维”，冷静探究，并没有想象中的难，通过短期“刷题”来提高成绩的日子一去不复返了.在教学中，我们需要把教学的脚步“慢”下来，思维的深度提上去，让学生多去“悟”，提高从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力.这样我们面对新题型，新问题就会多一些勇气，多一些理解和处理的方法.3.4 关注领会教育部考试命题理念，科学整合引领新高考一份试卷很难做到面面俱到、完美无缺.比如2020年新高考Ⅰ卷1943 个字，而2021年八省联考数学卷仅有1215个字，没有很好地做到对学生阅读能力的考查;在数学建模、数学文化、数学应用方面题目设置也有缺憾;对立体几何中点线面的关系、空间想象能力的考查还有待商榷.在后阶段复习教学中，我们要根据2021年八省联考数学卷的亮点和创新点及时做出调整，遵循高考命题理念，科学整合、精心备考，力争在2021年新高考中让学生放飞梦想、取得令人满意的成绩.参考文献[1]董荣森，柳建锋.注重四基础与四翼凸显能力与素养[J].数学通讯，2020（8）（下半月）：39.[2]中華人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.1.作者简介董荣森（1969—），男，安徽芜湖人，教育硕士，中学正高级教师，江苏省特级教师，江苏省教学名师，江苏省“333高层次人才”培养对象，主要从事数学教育与中学数学研究.。