(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第七章不等式7.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件
(江苏专用)版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 文 苏
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域 的交集.( √ ) (2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.
(×) (3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1 ＋ C)(Ax2 ＋ By2 ＋ C)>0 ， 异 侧 的 充 要 条 件 是 (Ax1 ＋ By1 ＋ C)(Ax2 ＋ By2 ＋ C)<0.( √ )
知识拓展
1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 (1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方； (2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方. 2.最优解和可行解的关系： 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一， 有时唯一，有时有多个.
2x－y≤0， 3.(2016·北京改编)若x，y满足 x＋y≤3， 则2x＋y的最大值为__4__.
x≥0，
答案 解析 几何画板展示
不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. 令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移， 当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值， 由x2＋x－y＝y＝30，， 得xy＝＝12，， 所以A点坐标为(1,2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.
§7.3 二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线 Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域 .我们把直线画成虚线以表示 区域不包括 边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的 平面区域时，此区域应 包括 边界直线，则把边界直线画成 实线 . (2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代 入Ax＋By＋C，所得的符号都 相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特 殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的 符号 即可判断Ax＋By＋C>0表 示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第七章不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )(4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( √ )1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是________．答案 ③解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为③.3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是________． 答案 2解析 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形， 易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)， 故AB ＝2，AC ＝22， 其面积为12×AB ×AC ＝2.4．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 2解析 可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.5．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 xy资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出，x ≥0，y题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的________．(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．答案 (1)③ (2)43解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有③符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.命题点2 含参数的平面区域问题例2 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________________________________________________________________． 答案 73解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________．(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为________．答案 (1)[3，＋∞) (2)1解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－－11－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求． 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝________. 答案 6解析 画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.命题点2 求非线性目标函数的最值例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的值最小为OA 2(取不到)，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是(1,5]． 引申探究 1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围． 解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率． ∴z 的取值范围是(－∞，0)．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方，(PQ 2)max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，(PQ 2)min ＝(|1－1＋1|12＋－12)2＝12， ∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求线性规划的参数例5 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a＝________. 答案 12解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，x －a2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．(1)在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为________．(2) x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________． 答案 (1)1 (2)2或－1解析 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝1＋t ＋1×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．(2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 题型三 线性规划的实际应用例6 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．(2015·陕西改编)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128答案 18解析 设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．8．含参数的线性规划问题的易错点典例 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.易错分析 题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线x ＋y ＝m 和直线y ＝－x 平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点．解析 显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域， 其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值， 最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.答案 5温馨提醒 (1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来． (2)应注意直线y ＝x －z 经过的特殊点．[方法与技巧]1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得． 3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题．[失误与防范]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值．A组专项基础训练(时间：30分钟)1．直线2x＋y－10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案 1解析由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x＋y－10＝0恰过点A(5,0)，且其斜率k＝－2<k AB＝－43，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5,0)．2．设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2≥0，x－y＋3≥0，2x＋y－3≤0，则目标函数z＝x＋6y的最大值为________．答案18解析画出约束条件的可行域如图阴影，作直线l：x＋6y＝0，平移直线l可知，直线l过点A时，目标函数z＝x＋6y取得最大值，易得A(0,3)，所以z max＝0＋6×3＝18.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．答案 3解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3.4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________．答案 (0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元． 答案 2 800解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元， 则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．6．若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________． 答案 1解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x的图象上存在点(x ，y )满足约束条件， 故m 的最大值为1.7．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是________． 答案 1解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.8．已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋1≥0，x<2，x＋y－1≥0，则z＝2x－2y－1的取值范围是__________．答案[－53，5)解析画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是[－53，5)．9．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c 如表：a b(万吨)c(百万元)A 50%1 3B 70%0.5 6某冶炼厂至少要生产2)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．答案15解析设购买铁矿石A、B分别为x万吨，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x＋0.7y≥1.9，x＋0.5y≤2，x≥0，y≥0.目标函数z＝3x＋6y，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x＋0.7y＝1.9，x＋0.5y＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝2.记P(1,2)，画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15. 10．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________． 答案2513解析 因为a >0，b >0， 所以由可行域得，如图，当目标函数过点(4,6)时z 取最大值，∴4a ＋6b ＝10.a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是2513.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (－103，－2)解析 作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解． 令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3>0，f 1>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2.12．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为________． 答案55解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →， 则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →| ＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55.13．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x)≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________．答案π2解析 平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心， 以1为半径的圆及圆的内部， 作出它们表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形． 由于圆和曲线y ＝1x关于直线y ＝x 对称，因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2.14．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________． 答案 37解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界． ∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6. ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________． 答案 1 解析 ∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1的最小值为32， ∴y ＋1x ＋1的最小值为14，而y ＋1x ＋1表示点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a >0， ∴可行域如图中阴影部分所示，∴(y ＋1x ＋1)min ＝0－－13a －－1＝13a ＋1＝14，∴a ＝1.16．(2015·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________． 答案 3解析 满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 理
解析 因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形， 易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)， 故 AB＝ 2，AC＝2 2， 其面积为12×AB×AC＝2.
12345
解析答案
x－y≤0， 4.若 x，y 满足x＋y≤1，
x≥0，
则 z＝x＋2y 的最大值为____2____.
(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 ①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方； ②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方. (3)最优解和可行解的关系： 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一， 有时唯一，有时有多个.
面积相等的两部分，则 k 的值是______.
思维升华
解析答案
x≥0， (1)不等式组x＋y≤3，
y≥x＋1
跟踪训练1
表示的平面区域为 Ω，直线 y＝kx－1 与区域 Ω 有
公共点，则实数 k 的取值范围为[_3_，__＋__∞__).
解析 直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，由图可知， 当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点 C(1,2)时，k最小，
答案
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x， y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都 相同 ，所以只需在此直线的同一 侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的 符号 即 可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.
2－－1 此时 kCM＝ 1－0 ＝3，因此 k≥3，即 k∈[3，＋∞).
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第7章 不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练
课时作业34 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、填空题 1．若点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3＜0表示的平面区域内，则a 的值为__________．2．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为__________．3．如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分(包括边界)，则这个不等式组是__________．4．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x －3≤0，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝2x ＋4y 的最小值为__________．5．给出平面区域如图所示，目标函数t ＝ax －y .若当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数t 取最小值，则实数a 的取值范围是__________．6．已知点(3,1)和点(－4,6)在直线3x －2y ＋m ＝0的两侧，则实数m 的取值范围是__________．7．(2012福建高考改编)若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为__________．8．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )．若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是__________．9．(2012江苏高考，14)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是__________． 二、解答题10．(2012江苏如皋石庄中学模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，求a 的取值范围．11.(2012江西高考改编)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54(单位：亩)分别为多少．12．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能出现的最大的亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资的金额不超过10万元．(1)为了确保资金亏损不超过1.8万元，请你给投资人设计一投资方案，使得投资人获得的利润最大；(2)求投资人资金亏损不超过1万元的概率．参考答案一、填空题1．－3 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3－3<0|4a －3×3＋1|42＋－2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <0|a －2|＝5⇒a ＝－3.2．－3 解析：如图，过点A (k ，k )时，z m ax ＝2k ＝6，k ＝3.z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，则B (－6,3)，∴z min ＝－6＋3＝－3.3.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－1，2x －y ＋2≥0解析：根据题中图，先求出平面区域边界所在的直线，分别是x ＝0，y ＝－1及2x －y ＋2＝0，并且容易写出y ≥－1和x ≤0这两个不等式，对于另一个不等式，可把原点代入检验其符号为正，故为2x －y ＋2≥0.4．－6 解析：可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0，x ＋y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得B (3,8)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝0，得C (3，－3)．易知当目标函数过C 点时z min ＝2×3＋4×(－3)＝－6.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，－310 解析：由题意知k AC ＜a ＜k BC ，k AC ＝45－023－1＝－125，k BC ＝45－123－0＝－310，则－125＜a ＜－310. 6．(－7,24) 解析：依题意可知将点(3,1)和点(－4,6)的坐标代入直线方程应满足(3×3－2×1＋m )[3×(－4)－2×6＋m ]＜0即(m ＋7)(m －24)＜0⇒－7＜m ＜24，所以实数m 的取值范围是(－7,24)．7．1 解析：由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x＝3－x ，即x ＝1＝m .8．(1，＋∞) 解析：画出不等式组表示的可行域，如图：经计算，三条直线的交点坐标分别为A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)，由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞1－3a ，3－a ＞9－7a ， 解得a ＞1.9．[e ,7] 解析：由c ln b ≥a ＋c ln c ，得ln b ≥ac＋ln c ，即b ≥c ·ae e ，所以，原问题可化为满足约束条件35,4,ac b a c b a c b c e⎧+≥⎪⎪+≤⎨⎪⎪≥⋅⎩的线性规划问题，如图所示，可行域为阴影部分．故可求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，7c 2.目标函数b a 可视为可行域内的点与原点连线的斜率．下面求曲线b ＝c ·a ee 过原点的切线，b ′＝a ee ，设切点为(a 0，b 0)，则有b 0a 0＝00a cc ea⋅＝0a ee，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 0＝c ，b 0＝ec .将a 0＝c 代入两条直线b ＋a ＝4c ，b ＋3a ＝5c ，可知切点在点B ，C 之间．所以目标函数线过A 点取得最大值，⎝ ⎛⎭⎪⎫b a m ax＝7c2c2＝7，过切点(c ，ec )取得最小值⎝ ⎛⎭⎪⎫b a min ＝e c c＝e ，故b a的取值范围为[e ,7]．二、解答题10．解：由约束条件可得可行域如图中阴影部分所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y在点(3,1)处取得最大值，则应有－a ＜－1，即a ＞1.11．解：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩、y 亩，总利润为z 万元，则z 关于x ，y 的关系式为z ＝4x ×0.55－1.2x ＋6y ×0.3－0.9y ＝x ＋0.9y ，且x ，y 满足约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54.画可行域，如图所示：设l 0：y ＝－109x ，将l 0上下平移可知，当直线z ＝x ＋0.9y 过点A (30,20)(注：可联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －50＝0，1.2x ＋0.9y －54＝0，解得点A 的坐标)时，z 取最大值，因此当总利润z 最大时，x ＝30，y ＝20，即黄瓜的种植面积为30亩，韭菜的种植面积为20亩．12．解：(1)设分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，z 代表盈利金额．则z ＝x ＋0.5y .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.作出可行域，如下图所示．易知B 点为最优解，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得B (4,6)．故z m ax ＝4＋0.5×6＝7，即甲项目投资4万元，乙项目投资6万元能使资金亏损不超过1.8万元的情况下盈利最大．(2)由题意可知，此题为几何概型问题，如图：P ＝S △AOC S △AOD ＝12×103×1012×10×10＝13. 故投资人资金亏损不超过1万元的概率为13.。
2019版高考数学大一轮复习第七章不等式第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案北师大版
第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界直线，把边界直线画成实线.(2)对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，代入Ax＋By＋C所得值的符号都相同，所以只需取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可判断Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.(3)不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题[常用结论与微点提醒]1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.2.在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( )解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z b. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A.(0，0)B.(－1，1)C.(－1，3)D.(2，－3)解析 把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合. 答案 C3.(教材习题原题)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x－3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B4.(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________.解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0表示的平面区域如图所示.由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，纵截距最大，此时z 取最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得点A (－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5. 答案 －55.(2018·石家庄质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝yx的最大值为________.解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z ＝yx＝y －0x －0，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知z max ＝k OA .由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，k OA ＝3212＝3，∴z max ＝3.答案 3考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A.－3 B.1 C.43D.3解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意.(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m ). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43，解得m ＝－3(舍去)或m ＝1. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域. 2.求平面区域的面积：(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和. 【训练1】 (2018·郑州预测)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________.解析 作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.答案π24考点二 求目标函数的最值问题(多维探究) 命题角度1 求线性目标函数的最值【例2－1】 (2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.0B.1C.2D.3解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时取得最大值，故z max ＝3＋0＝3.答案 D命题角度2 求非线性目标函数的最值【例2－2】 (1)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12(2)(2018·湘中高三联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则xy的最小值是________.解析 (1)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)，x 2＋y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A (3，－1)与原点的距离最大，所以x 2＋y 2的最大值是10.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又x y表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率的倒数.由图知，直线OA 的斜率最大，此时x y 取得最小值，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x y min ＝1k OA ＝32. 答案 (1)C (2)32命题角度3 求参数的值或范围【例2－3】 (2018·惠州三调)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( ) A.1B.2C.4D.8解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2.答案 B规律方法 1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. 2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率. 3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【训练2】 (1)(2017·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( ) A.0B.2C.5D.6(2)(2018·新乡模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m 等于( )A.54B.－56C.1D.13解析(1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z＝x＋2y经过点C(－3，4)时取最大值z max＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z＝mx－y(m<2)的最小值为－52，可知目标函数的最优解过点A，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝3，2x－y＋2＝0，解得A⎝⎛⎭⎪⎫12，3，∴－52＝m2－3，解得m＝1.答案(1)C (2)C考点三实际生活中的线性规划问题【例3】(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.解析设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，x∈N+，y≥0，y∈N+，目标函数z＝2 100x＋900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答.【训练3】 (2018·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.解析 设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元，则得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，6x ＋5y ≤22，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝200x ＋100y .作出可行域(如图阴影部分所示).当直线z ＝200x ＋100y 经过可行域上点B 时，z 取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝10，6x ＋5y ＝22，得点B 的坐标(2，2)，故z max ＝200×2＋100×2＝600. 答案 600基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A.1B.12C.13D.14解析 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.答案 D2.(2017·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( ) A.1B.3C.5D.9解析 画出可行域，设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z 2，当直线y ＝－12x ＋z2过B (3，3)时，z 取得最大值9.答案 D3.(2017·全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A.－15B.－9C.1D.9解析 作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B (－6，－3)处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A.[－3，0]B.[－3，2]C.[0，2]D.[0，3]解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.答案 B5.(2018·河北名校联盟质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y ≥0，x ＋2y －4≥0，则z ＝x －2y 的最大值为( ) A.－12B.－1C.0D.32解析 作出可行域，如图阴影部分，作直线l 0：x －2y ＝0，平移直线l 0，可知经过点A 时，z ＝x －2y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x －y －1＝0，得A (2，1)，所以z max ＝2－2×1＝0， 故选C.答案 C6.(2018·上饶调研)若1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，则x －2y 的最大值与最小值之和是( )A.0B.－2C.2D.6解析 1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1即变量x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x －y ＋1≤4，2≤x ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x －y －1≥0，2≤x ≤4.作出可行域(图略)，得x －2y 的最大值、最小值分别为4，－2，其和为2. 答案 C7.(2018·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y的最大值为2，则实数m 的值为( ) A.13B.23C.1D.2解析 若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2，4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，14.mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13，当m ＝13时，经检验不符合题意，故m ＝2.答案 D8.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D.5解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z min＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5.答案 D二、填空题9.(2017·全国Ⅲ卷)若x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－y≥0，x＋y－2≤0，y≥0，则z＝3x－4y的最小值为________.解析画出可行域如图阴影部分所示.由z＝3x－4y，得y＝34x－z4，作出直线y＝34x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处取最小值，故z min＝3×1－4×1＝－1.答案－110.(2018·铜川模拟)已知O是坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点N(x，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤2，x≥12，y≥x上的一个动点，则OM→·ON→的最大值是________.解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A⎝⎛⎭⎪⎫12，12，B⎝⎛⎭⎪⎫12，32，C(1，1).设z＝OM→·ON→＝2x＋y，当目标函数z＝2x＋y过点C(1，1)时，z＝2x＋y取得最大值3.答案 311.(一题多解)已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示).解析 法一 设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y ).又⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－12（x ＋y ）＜12，5＜52（x －y ）＜152，所以两式相加可得z ∈(3，8). 法二 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3表示的可行域，如图中阴影部分所示. 平移直线2x －3y ＝0，当相应直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，z 取得最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈(3，8). 答案 (3，8)12.x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________.解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距.故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.答案 2或－1能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元解析 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12得A (2，3). 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D14.(2018·高安中学联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5B.[0，5)C.[0，5]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 解析 作出可行域如图所示：易求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，C (2，－1)， 令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12，当直线y ＝x －u ＋12过点C (2，－1)时，u 有最大值5；过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，u 有最小值－53. 因为可行域不包括x ＝2的边界，所以z ＝|2x －2y －1|的取值范围是[0，5). 答案 B15.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是________. 解析 画出x ，y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 16.(2018·安徽江南十校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤ln x ，x －2y －3≤0y ＋1≥0，，则z ＝y ＋1x的取值范围为________.解析 作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分.z ＝y ＋1x表示区域内的点(x ，y )与A (0，－1)连线的斜率k ，由图可知，k min ＝0，k max ＝k AP ，P 为切点，设P (x 0，ln x 0)，k AP ＝1x 0， ∴ln x 0＋1x 0＝1x 0，∴x 0＝1，k AP ＝1，即z ＝y ＋1x的取值范围为[0，1].答案 [0，1]。
高考数学一轮复习 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题精品课件 新人教A版
而由xy
y 1 2
0, 得B(1,2), kOB
2 1
2.
∴zmax不存在，zmin=2,
∴z的取值范围是［2，+∞）.
7分
(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两
点间距离的平方.
9分
因此x2+y2的范围最小为|OA|2（取不到），最大为
|OB|2.
由
x x
4.线性规划实质上是“_数__形__结__合_”数学思想方法在一 个方面的体现，将最值问题借助图形直观、简便地 寻找出来，是一种较快地求最值的方法.
5.在求解应用问题时要特别注意题意中的_变__量__的__取__值_ _范__围___，不可将范围盲目扩大.
基础自测
1.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域的
当x=0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点;
当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42个. 探究提高 本题主要考查不等式表示的平面区域、 数列求和及不等式的应用等基础知识，考查了数形结 合的方法和逻辑推理能力. (1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的 平面区域点集的交集,因而是各个不等式所表示的平 面区域的公共部分. (2)在封闭区域内找整点数目时,若数目较小时,可画网 格逐一数出;若数目较大,则可分x=m逐条分段统计.
(2)目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线
的截距有关. 若目标函数为形如 z y b , 可考虑(a，b)与(x，y)
xa 两点连线的斜率.
若目标函数为形如z=(x-a)2+(y-b)2，可考虑(x,y)与 (a,b)两点距离的平方.
2019年高考数学总复习 专题7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题导学案 理
第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0；(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各不等式所表示的平面区域的__公共部分__.2.二元一次不等式表示平面区域的判断方法方法一：由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．当C≠0时，常取原点作为特殊点．方法二：①把直线方程化为y≥kx＋b或y≤kx＋b的形式．②若是“≥”号，则平面区域在直线的上方；若是“≤”，则平面区域在直线的下方．方法三：“同上异下”即y的系数若与不等号相同，则平面区域在直线的上方；y的系数与不等号不相同，则平面区域在直线的下方．3.线性规划的有关概念4.确定线性最优解的思维过程线性目标函数（A,B 不全为0）中，当0B ≠时，，这样线性目标函数可看成斜率为A B-，且随z 变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线Ay x B=-，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断. 5.非线性目标函数常见类型的几何意义(1)(x －a )2＋(y －b )2为点(x ，y )与点(a ，b )距离的平方． (2)y －bx －a为点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3).则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 课堂总结1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题． 课后练习1. (2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .作出直线y ＝－x ，并平移该直线，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取得最大值． 由图知A (3,0)，故z max ＝3＋0＝3.故选D.2．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是__________.【答案】1【解析】不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示， 由x ＝1，x ＋y ＝0得A (1，－1)，由x ＝1，x －y －4＝0得B (1，－3)，由x ＋y ＝0，x －y －4＝0得C (2，－2)，∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.3.(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.【答案】-5【解析】 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5.4.已知整数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y >4，x －2y ＋8>0，则2x ＋y 的最大值是________；x 2＋y 2的最小值是________. 【答案】24；8【解析】 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y >4，x －2y ＋8>0的可行域如图所示，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，由图可知，当直线y ＝－2x ＋z 过A 时，直线在y轴上的截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x －2y ＋8＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8，即A 点坐标为(8，8)，z 最大值等于2×8＋8＝24.x 2＋y 2的最小值是可行域的B 到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，y ＝x 可得B (2，2)，可得22＋22＝8.5.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.【答案】-2【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2.6．(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.7.(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C ．8.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，x ＋5y ≤8，则z ＝yx －2的取值范围是__________．【答案】－1≤z ≤13.【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域(含边界)，其中点A (1,1)，B (－1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，115.z ＝y x －2表示△ABC 区域内的点与点M (2,0)的连线的斜率，显然k MA ≤z ≤k MB ，即11－2≤z ≤－1－1－2，化简得－1≤z ≤13.9．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 【答案】D【解析】 可行域为△ABC 及其内部，如图所示．由图可知，当目标函数t ＝x －2y 过点A 时有最大值，由直线x －2y ＝2与直线x －2＝0的交点坐标为(2,0)，代入直线x ＋2y －a ＝0，得a ＝2，故选D ．10.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( )A ．－209 B ．1C ．2D ．5【答案】B【解析】作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B ．。
(通用版)2019版高考数学一轮复习第7章不等式3第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题教案
第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(5)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×(教材习题改编)不等式x －2y ＋6＜0表示的区域在直线x －2y ＋6＝0的( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方D ．左下方解析：选C.画出x －2y ＋6＜0的图象如图所示，可知该 区域在直线x －2y ＋6＝0的左上方．故选C.(2017·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.23 B ．1 C.32D ．3解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B (0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合．.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1，2)，B (2，2)，C (3，0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.答案：1(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.所以z min＝－5. 答案：－5二元一次不等式(组)表示的平面区域[典例引领](1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34(2)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355B. 2C.322D. 5【解析】 (1)不等式组所表示平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1，1)，易得B (0，4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.故S △ABC ＝12×83×1＝43.(2)画出平面区域表示的可行域如图阴影部分所示．易求得A (1，2)，B (2，1)．因为k AB ＝－1，所以|AB |即为所求的最小距离，|AB |＝（1－2）2＋（2－1）2＝ 2. 【答案】 (1)C (2)B若本例(1)中平面区域为D ，且直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，求实数a 的取值范围． 解：由例题(1)解析知，不等式组表示的可行域如图，因为直线y ＝a (x ＋1)恒过定点C (－1，0)，由图并结合题意易知k AC ＝12，k BC ＝4，所以要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4.二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．[通关练习]1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选 C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥7解析：选C.如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C.求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．高考对线性目标函数最值(范围)问题的考查有以下三个命题角度： (1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)； (3)求非线性目标函数的最值(范围)．[典例引领]角度一 求线性目标函数的最值(范围)(2017·高考全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A ．－15 B ．－9 C ．1D ．9【解析】 法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选择A.法二：易求可行域顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15，9，故最小值为－15. 【答案】 A角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2018·惠州市第三次调研考试)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤2y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( ) A ．3 B ．2 C ．－2D ．－3【解析】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤2y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＋y ＝2，得B (1，1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ，所以当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在点O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D ；当a ＝2或a ＝3时，z ＝ax ＋y 在点A (2，0)处取得最大值，所以2a ＝4，所以a ＝2，故选B. 【答案】 B角度三 求非线性目标函数的最值(范围)(2018·成都市第一次诊断性检测)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0x －2y －2≤0，x －1≥0则y －1x的最小值为________． 【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为y －1x表示平面区域内的点与定点P (0，1)连线的斜率．由图知，点P 与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12连线的斜率最小，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x min＝k PA＝－12－11－0＝－32.【答案】 －32线性规划两类问题的解决方法(1)求不含参数的目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：①截距型：形如z ＝ax ＋by ；②距离型：形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2；③斜率型：形如z ＝y －bx －a.(2)含参数的线性规划问题：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中，求解步骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．[提醒] 求目标函数的最值时，易弄错目标函数的几何意义而求错．如x 2＋y 2是距离的平方，易忽视平方而求错．[通关练习]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0x ≥0y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( ) A ．[－3，0] B ．[－3，2] C ．[0，2]D ．[0，3]解析：选 B.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2，0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y过点B (0，3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3，2]，故选B.2．(2018·惠州市第三次调研考试)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选B.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2.3．(2018·太原市模拟试题)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥02x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( ) A ．[1，13]B ．[1，4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4 解析：选C.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，z min ＝45，最大值为点O 与点A (－2，3)的距离的平方，z max ＝|OA |2＝13.线性规划的实际应用[典例引领](2016·高考全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．【答案】216 000利用线性规划解决实际问题的五步曲某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元D ．38 400元解析：选C.设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值z min ＝36800(元)．利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l ；(2)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置，有时需要进行直线l 和可行域边界的斜率的大小比较；(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．求z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值； (2)当b <0时，截距z b取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值．易错防范(1)画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先将二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)的形式；(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．1．(2018·长春模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析：选B.x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0以及该直线下方的区域，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0上方的区域，故选B.2．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤12，2x ＋3y ≥－6，0≤x ≤6所表示的平面区域的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．1213解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，四边形ABCD 是平行四边形，由图中数据可知其面积S ＝(4＋2)×6＝36.3．(2018·合肥市第一次教学质量检测)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x －y ≤0x ＋y －6≤0，则x －2y的最大值为( ) A ．－9B ．－3C ．－1D ．3解析：选C.画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝x －2y ，可知z ＝x －2y 在点(1，1)处取得最大值－1，故选C.4．(2018·河南郑州模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：选C.画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域，如图阴影部分，其中A (2，4)，B (1，5)，C (1，3)，所以x ∈[1，2]，y ∈[3，5]．所以z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2，4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，所以z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C.5．(2018·河南郑州一中押题卷二)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y ＋3≥0，3x ＋y －3≤0，y ≥0，则当y ＋1x ＋3取最大值时，x ＋y 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－ 3D. 3解析：选D.作出可行域如图中阴影部分所示，y ＋1x ＋3的几何意义是过定点M (－3，－1)与可行域内的点(x ，y )的直线的斜率，由图可知，当直线过点A (0，3)时，斜率取得最大值，此时x ，y 的值分别为0，3，所以x ＋y ＝ 3.故选D.6．(2017·高考全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1，1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－17．(2018·广东茂名模拟)已知点A (1，2)，点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，O 为坐标原点，则z ＝OA →·OP →的最大值为________．解析：由题意知z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，作出可行域如图阴影部分，作直线l 0：y ＝－12x ，当l 0移到过A (1，2)的l 的位置时，z 取得最大值，即z max ＝1＋2×2＝5.答案：58．(2018·西安市八校联考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0x ＋y ≥0y ≤a，若z ＝x ＋2y 的最大值为3，则a的值是________．解析：依题意得a >0，在平面直角坐标系内大致画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a表示的平面区域，结合图形可知，直线z ＝x ＋2y 经过直线y ＝a 与直线x －y ＝0的交点，即点(a ，a )时，z ＝x ＋2y 取得最大值3，因此a ＋2a ＝3，a ＝1.答案：19.已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB 、AC 、BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0， 即(14－a )(－18－a )<0， 得a 的取值范围是－18<a <14.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的最大值．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.作出(x ，y )的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1，1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5，2)．(1)因为z ＝y x ＝y －0x －0，所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率，观察图形可知z min＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，d max ＝（－3－5）2＋（2－2）2＝8，故z 的最大值为64.1．(2018·河南安阳模拟)已知z ＝2x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( ) A.211 B.14 C ．4D.112解析：选B.作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线的纵截距最大， 此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即A (1，1)，z max ＝2×1＋1＝3，当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，直线的纵截距最小，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝a ， 即B (a ，a )，z min ＝2×a ＋a ＝3a ， 因为z 的最大值是最小值的4倍， 所以3＝4×3a ，即a ＝14，故选B.2．(2018·石家庄市教学质量检测(二))若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0x －y ≤0x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为( ) A ．－2 B ．－23C ．－125D.2－47解析：选C.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3，2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125，故选C.3．(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))点(x ，y )满足不等式|x |＋|y |≤1，Z ＝(x －2)2＋(y －2)2，则Z 的最小值为________．解析：|x |＋|y |≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数Z ＝(x －2)2＋(y －2)2的几何意义是点(x ，y )到点P (2，2)距离的平方，由图可知Z 的最小值为点P (2，2)到直线x ＋y ＝1距离的平方，即为⎝⎛⎭⎪⎫2＋2－122＝92.答案：924．(2018·山西五校联考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥0，x －y ＋2≥0，x ＋4y －8≤0表示的平面区域为Ω，直线x ＝a (a >1)将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为________． 解析：如图，平面区域Ω为△ABC 及其内部，作直线x ＝a (1<a <4)交BC 、AC 分别于点E 、F .由题意可知S △EFC ＝15S △ABC ，则12(4－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋2－1＝15×12×5×1＝12，可得a ＝2，所以目标函数z ＝ax ＋y 即为z ＝2x ＋y ，易知z ＝2x ＋y 在点C (4，1)处取得最大值，则z max ＝9.答案：95．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．6．(2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．。
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 理-人教版高三全
第七章不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．【知识拓展】1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 2．最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( √ ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )(7)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3) 答案 C解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C. 2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )答案 C解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C. 3．(2016·)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.4．(教材改编)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0，则z ＝－3x ＋y 的最小值为________．答案 0解析 画出可行域为阴影部分．z ＝－3x ＋y ，即y ＝3x ＋z 过交点A 时，z 最小．解⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2＝0，x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴z min ＝－3×1＋3＝0.5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 xy资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23 C.43D.34答案 (1)C (2)C解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC的面积为12×1×83＝43.故选C.命题点2 含参数的平面区域问题例2 (1)(2015·某某)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是______________________________． 答案 (1)B (2)73解析 (1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S △ABD ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝m ＋123＝43， ∴m ＝1或m ＝－3，又∵当m ＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m ＝1. (2)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12B ．1 C.32D ．2 (2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2 答案 (1)B (2)A解析 (1)在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x的图象上存在点(x ，y )满足约束条件， 故m 的最大值为1.(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求． 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2016·全国丙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________． 答案 32解析 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2，－1)，B (0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为顶点的三角形内部及边界，则y ＝－x ＋z 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时z 取得最大值32. 命题点2 求非线性目标函数的最值例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值X 围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值X 围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x的X 围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值X 围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值X 围是[1,5]． 引申探究 1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值X 围． 解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率． ∴z 的取值X 围是(－∞，0]．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝(|1－1＋1|12＋－12)2＝12， ∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求参数值或取值X 围例5 (1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.(2)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________. 答案 (1)5 (2)12解析 (1)显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域， 其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值，最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，x －a2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．(1)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值X 围是________．答案 (1)C (2)[1，32]解析 (1)对于选项A ，当m ＝－2时，可行域如图①，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A 不正确；对于选项B ，当m ＝－1时，mx －y ≤0等同于x ＋y ≥0，可行域如图②，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故B 不正确；对于选项C ，当m ＝1时，可行域如图③，当直线y ＝2x －z 过点A (2,2)时截距最小，z 最大为2，满足题意，故C 正确；对于选项D ，当m ＝2时，可行域如图④，直线y ＝2x －z 与直线OB 平行，截距最小值为0，z 最大为0，不符合题意，故D 不正确．(2)画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值X 围是[1，32]．题型三 线性规划的实际应用问题例6 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元． 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多) 的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A 型或B 型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A 型和B 型电视机所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A 型和B 型电视机产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？解 设生产A 型电视机x 台，B 型电视机y 台，则根据已知条件知线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤100，4x ＋2y ≤120，x≥5，y ≥10，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤100，2x ＋y ≤60，x ≥5，y ≥10，x ，y ∈N .线性目标函数为z ＝6x ＋4y .根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，当直线l 0平移至点A 时，z 取最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝100，2x ＋y ＝60，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝20.所以生产两种类型电视机各20台时，所获利润最大．8．含参数的线性规划问题典例 (1)在直角坐标系xOy 中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤2x ，y ≤k x －1－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值X 围是________．(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.错解展示解析 (1)如图，直线y ＝k (x －1)－1过点(1，－1)，作出直线y ＝2x ，当k <－1或0<k <2或k >2时，不等式组表示一个三角形区域．(2)由不等式组表示的可行域，可知z ＝ax ＋y 在点A (1,1)处取到最大值4， ∴a ＋1＝4，∴a ＝3.答案 (1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞) (2)3 现场纠错解析 (1)直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y 轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，只有此时可构成三角形区域．(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得A (1,1)．z ＝ax ＋y 等价于y ＝－ax ＋z ，因为z 的最大值为4，即直线y ＝－ax ＋z 的纵截距最大为4. 若z ＝ax ＋y 在A (1,1)处取得最大值， 则纵截距必小于2，故只有直线y ＝－ax ＋z 过点(2,0)且－a <0时符合题意， ∴4＝a ×2＋0，即a ＝2. 答案 (1)(－∞，－1) (2)2纠错心得 (1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答． (2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z 的几何意义确定最优解，切忌搞错符号．1．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值X 围是( ) A ．m ≥1 B．m ≤1 C．m <1 D ．m >1 答案 D解析 由2m ＋3－5>0，得m >1.2．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A.12B ．1 C.32 D ．2 答案 B解析 如图，作出不等式组表示的可行域，当函数y ＝log 2x 的图象过点(2,1)时，实数m 有最大值1.3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 答案 B解析 由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B ．(0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 答案 D解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值X 围是0＜a ≤1或a ≥43.5．(2016·某某)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17 答案 B解析 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2 答案 B解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值， 可将直线y ＝2x 向下平移，当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8.7．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元 答案 C解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元， 则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画出直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4， 即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.8．(2017·枣庄月考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1. 故选D.*9.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值X 围是( )A ．(－6，－2)B ．(－3,2)C ．(－103，－2)D ．(－103，－3)答案 C解析 作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解． 令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3>0，f 1>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2，故选C.10．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为________． 答案 12或14解析 直线kx －y ＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图(1))或与直线x ＋y ＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S ＝12×1×1＝12或S ＝12×22×22＝14.11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值X 围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．(2016·某某中学、某某一中联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值X 围是________． 答案 [3,11] 解析 设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋1x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1， 设z ′＝y ＋1z ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1,5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3,11]．*13.给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． 答案 6解析 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．14.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值X 围． 解 (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值X 围是(－18,14)．15．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．。
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 文
12/11/2021
x mx
y若y 目4 5标0,m函数0,z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为3,则
+ (A)1
a
2 b
0 x 1,
A.有最小值1 1 2 1 0B.有最大值
3
C.有最小值1 1 2 1 0D.有最大值
3
11 2 10 3
11 2 10 3
解题导引 由约束条件及m>1画出满足题意的可行域 利用z=ax+by (a>0,b>0)的几何意义找出最优解 利用目标函数有最大值 得出a与b的关系式 利用基本不等式求得 +1 2的最小值 结论
方法技巧
方法 1 平面区域问题的求解方法
1.二元一次不等式表示平面区域的判断方法:①特殊点判断法;②系数 判断法:在Ax+By+C=0中,当B>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方,当B< 0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方. 2.二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面 积和已知平面区域求参数的取值范围.对于面积问题,可以先画出平面 区域,然后判断其形状,求得相应的交点坐标、相关的线段长度等,利用 面积公式进行求解;对于求参问题,则需根据区域的形状判断动直线的 位置,从而确定参数的取值范围.
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解析 作出不等式组表示的区域,如图中阴影部分(含边界),从而可知,
扫过的面积为S= 1 ×2×1 2- 1 ×7 ×1= .故选D.
2
22
4
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x y 2 0,
例2
(2015重庆,10,5分)若不等式组