2014数学高考题型历炼(Word解析版)：3-1 等差、等比数列的概念与性质
等差数列的概念与性质
等差数列的概念与性质等差数列是数学中常见且重要的数列之一。
它是由一系列数字按照相同公差递增或递减而形成的。
本文将介绍等差数列的概念、性质及其在数学和实际生活中的应用。
一、概念等差数列指的是一个数列，其每一项与前一项之差都相等。
公差（d）是其中相邻两项之差。
如果一个等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式可表示为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ为第n项。
二、性质1. 公差与项数的关系：对于等差数列，任意相邻两项之差都等于公差。
所以，如果已知等差数列的首项和末项，以及项数，则可以求得公差的值。
公差（d）可以表示为：d = (aₙ - a₁) / (n - 1)2. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式来计算。
对于一个等差数列的前n项和（Sₙ），其计算公式为：Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ)3. 通项公式的推导：根据等差数列的性质，可以通过推导得出通项公式。
首先，我们知道第n项与首项之间的差距是(n-1)倍的公差，即aₙ = a₁ + (n-1) * d。
经过整理后，可以得到通项公式。
三、应用等差数列在数学和实际生活中有广泛的应用。
1. 数学中的应用：等差数列是数学中重要的概念，并在其他数学领域中得到应用。
例如，在数列和级数中，等差数列的求和公式能够准确计算出前n项的和。
此外，在微积分中，等差数列和等差级数的概念与计算也起到重要的作用。
2. 实际生活中的应用：等差数列在实际生活中的应用较为广泛。
例如，通过分析连续几年的销售数据，可以判断某个产品的销售趋势是否呈现等差数列的规律。
通过识别这样的规律，商家可以对产品定价、库存管理等方面做出更准确的决策。
此外，等差数列还可以应用于金融领域，例如利率的计算、投资回报预测等。
总结：等差数列是数学中的重要概念，其性质包括公差与项数的关系、求和公式以及通项公式的推导。
在数学中，等差数列的应用涉及到数列与级数、微积分等方面。
等差数列与等比数列的概念
等差数列与等比数列的概念等差数列和等比数列是数学中常见的数列类型，它们分别以等差和等比的方式来排列数值。
在本文中，我们将深入探讨等差数列和等比数列的概念、性质以及其在数学和实际生活中的应用。
一、等差数列的概念与性质等差数列是指一个序列，其中每一项与前一项的差都相等。
具体来说，如果一个数列满足每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列常用字母$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$来表示，其中$a_1$为首项，$a_n$为末项，差值常用字母$d$来表示。
等差数列的常规表示形式为：$a_1, a_1+d, a_1+2d, ..., a_1+(n-1)d$，其中$n$为数列的项数。
利用这个规律，我们可以轻松求得等差数列中的任意一项。
等差数列的性质主要包括以下几点：1. 公差：等差数列每一项之差的值称为公差，记作$d$。
公差可以通过任意两个相邻项的差求得。
2. 通项公式：等差数列的通项公式表示第$n$项的计算方式，通常使用$a_n = a_1 + (n-1)d$来表示。
3. 首项与末项：首项是等差数列的第一项，记作$a_1$，末项是等差数列的最后一项，记作$a_n$。
4. 求和公式：等差数列的前$n$项和可以通过求和公式来计算，常用形式为$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$。
二、等比数列的概念与性质等比数列是指一个序列，其中每一项与前一项的比值都相等。
具体来说，如果一个数列满足每一项与前一项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列常用字母$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$来表示，其中$a_1$为首项，$a_n$为末项，比值常用字母$q$来表示。
等比数列的常规表示形式为：$a_1, a_1q, a_1q^2, ..., a_1q^{n-1}$，其中$n$为数列的项数。
根据这个规律，我们可以轻松求得等比数列中的任意一项。
等比数列的性质主要包括以下几点：1. 公比：等比数列每一项之比的值称为公比，记作$q$。
【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：3.1 数列的概念(共34张PPT)
的有限子集{1,2,3，„，n})的函数，当自变量从小到大依次取 函数值 一群孤立的点 值时对应的一列________．它的图象是______________．
数列{an}的第n项an与项数n的关系若能用一个公式an＝f(n)给 通项公式 出，则这个公式叫做这个数列的__________．
目录
2．数列的性质 (1)有界性：若存在正数A，使得|an|≤A，则称数列{an}是 有界数列． (2)单调性 an＋1>an(n∈N*) 递增数列：数列{an}中，恒有__________________； an＋1<an(n∈N*) 递减数列：数列{a }中，恒有__________________；
目录
【思维总结】
由于数列可以视为一类特殊的函数，所以在
研究数列问题时，可以借助研究函数的许多方法进行求
解．本题正是利用了换元的思想，将数列的项的最值问题转
化为二次函数的最值问题，但必须注意的是，数列中的项， 即n的值只能取正整数，从而换元后变量t的取值范围也相应地 被限制．
目录
方法感悟
方法技巧
1．已知递推关系求通项 这类问题要求不高，主要掌握由 a1 和递推关系先求出前几项， 再归纳、猜想 an 的方法，以及“化归法”、“累加法”等． 常见的解题规律有： (1)an－an－ 1＝f(n)满足一定规律时，可有 an＝(an－an－1)＋(an－ 1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1.
目录
an (2) ＝g(n)满足一定条件时，可有． an－1 an an－1 a2 an＝ · · „· ·1. a a1 an－1 an－2 (3){an}为周期数列，则周期为 T(T 为正整数)时，an＝an＋ T，可 将 an 转化为 a1，a2，„，aT 处理． 2．数列是特殊的函数，研究数列性质时，可借用函数的性质．
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。
等差数列可以是正差、零差或负差的数列。
2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。
（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。
（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。
3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。
4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
等比数列可以是正比、零比或负比的数列。
2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。
（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。
3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。
什么是等差数列和等比数列
什么是等差数列和等比数列？在数学中，等差数列和等比数列是常见的数列类型，它们具有特定的规律和性质。
下面将分别介绍等差数列和等比数列的定义、性质和应用。
1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
换句话说，等差数列中的每一项与前一项的差值都是相同的。
这个差值被称为公差，通常用字母d表示。
等差数列的一般形式可以表示为：a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...其中，a是首项，d是公差。
等差数列可以是无限数列，也可以是有限数列。
等差数列的性质包括：-公差：相邻两项之差是常数，即d。
-通项公式：等差数列的第n项可以通过通项公式来计算，通常表示为an = a + (n-1)d。
-首项和末项：等差数列的首项是a，末项是an。
等差数列的应用包括：-数学问题：在数学问题中，等差数列可以用来建模和解决各种问题，如数学题目中的数列问题、等差数列求和等。
-物理学：在物理学中，等差数列可以用来描述物理量随时间的变化规律，如速度、加速度等的变化。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比恒定的数列。
换句话说，等比数列中的每一项与前一项的比值都是相同的。
这个比值被称为公比，通常用字母r表示。
等比数列的一般形式可以表示为：a, ar, ar^2, ar^3, ...其中，a是首项，r是公比。
等比数列可以是无限数列，也可以是有限数列。
等比数列的性质包括：-公比：相邻两项之比是常数，即r。
-通项公式：等比数列的第n项可以通过通项公式来计算，通常表示为an = a * r^(n-1)。
-首项和末项：等比数列的首项是a，末项是an。
等比数列的应用包括：-数学问题：在数学问题中，等比数列可以用来建模和解决各种问题，如数学题目中的数列问题、等比数列求和等。
-经济学：在经济学中，等比数列可以用来描述复利的增长规律，如利率、投资回报率等的变化。
等差数列和等比数列是数学中常见的数列类型，它们具有特定的规律和性质。
2014高考数学文硬手笔(真题篇)常考问题等差、等比数列的基本问题
题型突破 探究方法 构建模板
等差、等比数列的综合应用
【示例】．(2013·威海模拟)设{an}是单调递增的等差数列，Sn 为其前 n 项和， 且满足 4S3＝S6，a2＋2 是 a1，a13 的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在 m，k∈N*，使 am＋am＋4＝ak＋2？说明理由； (3)若数列{bn}满足 b1＝－1，bn＋1－bn＝an，求数列{bn}的通项公式．
又(1＋2＋3＋…＋61)＋61＝1 952,2013－1 952＝61，
故 b2013＝a62＋(61－1)·d62＝261＋60×26631＝2411×261.
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1．(2013·郑州模拟)在等比数列{an}中，若 a4，a8 是方程 x2－4x ＋3＝0 的两根，则 a6 的值是( )． A. 3 B．－ 3 C± 3 D．±3 2．(2013·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sm－1 ＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则 m 等于( )． A．3 B．4 C．5 D．6 3．(2013·北京卷)若等比数列{an}满足 a2＋a4＝20，a3＋a5＝40， 则公比 q＝________；前 n 项和 Sn＝________. 4．(2013·浙江卷)在公差为 d 的等差数列{an}中，已知 a1＝10，且 a1,2a2＋2,5a3 成等比数列． (1)求 d，an； (2)若 d<0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
等差数列 ．
()
（4）等差数列{an}的单调性是由公差d 决
定的.
()
（5）等差数列的前 n 项和公式是常数项
为 0 的二次函数．
()
等差数列与等比数列性质总结
a1 q
qn
cqn
{an}为常数数列⇔q＝1； {an}为摆动数列⇔q<0．
{an}递增⇔
a1>0或 q>1
a1<0 {an}递减⇔ 0<q<1
a0<1>q0<点1击进或入aq相1><应10模块
知识梳理
（3）.等比数列前n项和公式
Sn a1 a2 a3 a4 ....... an2 an1 an ① 错位相 qSn a1q a2q a3q a4q ....... an2q an1q anq qSn a2 a3 a4 a5 ....... an1 an anq ② 减法 ①-② (1- q)Sn a1 anq
则Sm , S2m Sm , S3m S2m ,...... 成等差数列。
(3)中项比性质:等差数列anbn 中，Sn Tn 是其前n项和，
an S 2n1
bn
T2 n 1
点击进入相应模块
知识梳理
3.等差数列的性质
(4)奇数项和与偶数项和性质:等差数列an 中，奇数项有n+1项，
点击进入相应模块
上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。
知识梳理
（2）.等差数列通项公式常用结论
结论1.等差数列{an}中,首项为a1，公差d an=am+(n-m)d (其中，m，n N*,n m)
结论2：等差数列通项公式 an － a1= (n－1)d函数性：
直线的一般形式： y kx b
a3 － a2=d， a4 …－…a3=d， an－1－an－2=d, an －an－1=d. 这（n－1）个式子迭加
2014年高考数学模块题型总复习 3.2 等差数列
3.2等差数列1.等差数列的概念若数列{a n }从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则数列{a n }叫等差数列.这个常数叫等差数列的公差,常用字母d 表示,定义的数学表达式为a n-1-a n =d(n ∈N*). 2.等差数列的通项公式a n =a 1+(n-1)d,推广:a n =a m +(n-m)d,变式:a 1=a n -(n-1)d,d=11n a a n --=n m a a n m --. 3.等差中项:若a 、b 、c 成等差数列,则b 称a 与c 的等差中项,且b=2a c +,a 、b 、c 成等差数列是2b=a+c 的充要条件.4.等差数列的前n 项和S nS n =1()2n n a a +=na 1+(1)2n n -d=na n -12(n-1)nd,变式:n S n =12n a a + =12n a a a n ++⋯+=a 1+(n-1)·2d =a n +(n-1)·(-2d ). 5.等差数列的性质(1)若m 、n 、p 、q ∈N*,且m+n=p+q,则对于等差数列有等式a m +a n =a p +a q ;(2)序号成等差数列的项依原序构成的数列,则新数列成等差数列;(3)S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等差数列; (4){n S n}也是一个等差数列; (5)在等差数列{a n }中,若项数为2n,则S 偶-S 奇=nd;若项数为2n-1,则S 奇=na n ,S 偶=(n-1)a n ;(6)等差数列的增减性:d>0时为递增数列,且当a 1<0时,前n 项和S n 有最小值;d<0时为递减数列,且当a 1>0时,前n 项和S n 有最大值.(7)设数列是等差数列,且公差为d,若项数为偶数,设共有2n 项,则①S 偶-S 奇=nd;②S S 奇偶=1n n a a +; 若项数为奇数,设共有2n-1项,则①S 奇-S 偶=a n =a 中;②S S 奇偶=1n n - 1.已知数列{a n }中,a n+1=a n +12且a 1=2,则a 2011等于 ( ) (A)1005 (B)1006 (C)1007 (D)10082.已知数列{a n }为等差数列且a 1+a 7+a 13=4π,则tan(a 2+a 12)的值为 ( ) (A)3 (B)±3 (C)-33(D)-3 3.已知等差数列{a n }中,a 2=6,a 5=15,若b n =a 3n ,则数列{b n }的前9项和=__________. 4.已知等差数列的前n 项和为S n ,若a 4=18-a 5,则S 8=___________.题型1五个基本量的有关计算例1(1)在等差数列{a n }中,a 2=2,a 3=4,则a 10等于( )(A)12 (B)14 (C)16 (D)18(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9=_________ .(3)等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ,且n n S T =7453n n +-,则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6变式训练1(1)设{a n }为等差数列,公差d=-2,S n 为其前n 项和.若S 10=S 11,则a 1等于 ( )(A)18 (B)20 (C)22 (D)24(2)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N*)的前n 项和,且a 1=1,a 4=7,则S 5=_________.(3)已知数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,a 7-a 5=4,a 11=21,S k =9,则k=_________题型2等差数列性质的应用例2(1)在等差数列{a n }中,a 3+a 7=37,则a 2+a 4+a 6+a 8=____________.(2)在等差数列{a n }中,a 6=a 3+a 8,则S 9等于 ( )(A)0 (B)1(C)-1 (D)以上都不对变式训练2(1)在等差数列{a n }中,若a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=80,则a 7-12a 8的值为 ( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)10(2)S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 2=S 6,a 4=1,a 5=_______.题型3等差数列的判定或证明例3 设数列{a n }满足a 1=0且111n a +--11na -=1. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n = 11n an +-,S n =1n k =∑bk ,证明S n <1.变式训练3(1)在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=2a n +2n .设b n =12nn a -,证明:数列{b n }是等差数列.题型4等差数列前n 项和S n 的最值例4(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-15,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于 ( )(A)5 (B)7 (C)5或6 (D)6或7(2)等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若a 1=1,a k +a 4=0,则k=_______.变式训练4(1)若{a n}是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0则使数列{a n}的前n项和S n>0成立的最大的自然数n是 ( )(A)4005 (B)4006 (C)4007 (D)4008(2)已知等差数列{a n}中,公差d>0,a2009,a2010是方程x2-3x-5=0的两个根,那么使得前n项和S n 为负值且绝对值最大的n的值是________.巩固练习1.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,公差d=2,S k+2-S k=24,则k等于 ( )(A)8 (B)7 (C)6 (D)52.已知数列{a n}的前n项和为Sn,且满足:a1=a(a≠0),a n+1=rS n(n∈N*,r∈R,r≠-1).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若存在k∈N*,使得S k+1,S k,S k+2成等差数列,判断:对于任意的m∈N*,且m≥2,a m+1,a m,a m+2是否成等差数列,并证明你的结论.3.数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2,b10=12,则a8等于 ( )(A)0 (B)3 (C)8 (D)114.设函数f(x)满足f(n+1)=2()2f n n(n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为 ( )(A)95 (B)97 (C)105 (D)1925.数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,3,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;(2)数列{a n}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由.。
2014高考数学(文)二轮专题突破课件(浙江专版)第1部分 专题3 第1讲 等差数列、等比数列
3＋51 所以a1＋a3＋a5＋„＋a25＝(a1＋1)＋a3＋a5＋„＋a25－1＝ 2 ×13－1＝350.
答案：350
an＋12 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝ (an>0)，则{an} 4 的通项an＝________.
式相减得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，故该 数列从第二项起构成一个公比为3的等比数列． 由an＋1＝2Sn＋1，得a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3， 故a6＝a2×34＝3×34＝35. 2 1 2 1 (2)当n＝1时，由已知Sn＝ 3 an＋ 3 ，得a1＝ 3 a1＋ 3 ，即a1＝1; 2 1 当n≥2时，由已知得到Sn－1＝ 3 an－1＋ 3 ，所以an＝Sn－Sn－1＝ 2 1 2 1 2 2 an＋ － an－1＋ ＝ an－ an－1，所以an＝－2an－1，所以数列 3 3 3 3 3 3 {an}是以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1.
1 1 1 2S101＋2101＝0，故S1＋S2＋„＋S100＝32100－1.
1 答案：(1)－16
1 1 (2)32100－1
1．等差、等比数列的通项及前n项和公式
等差数列
等比数列
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
na1＋an Sn＝ 2
an＝a1qn－1(q≠0)
3．在正项等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且－a3，a2， a4成等差数列，则S7的值为 A．125 B．126 C．127 ( )
D．128
a4 解析：设数列{an}的公比为q，依题意得2a2＝－a3＋a4， a － 2 a3 －2＝0，即q2－q－2＝0，(q＋1)(q－2)＝0，又q>0.因此q a2 1×1－27 ＝2，S7＝ ＝127. 1－2
高考数学文科 等差数列与等比数列
一、等差数列：1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+-；前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．2．等差数列{}n a 的性质（其中公差为d ，前n 项和为n S ）：⑴()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-； ⑵若p q m n +=+，则有p q m n a a a a +=+；若2m p q =+，则有2m p q a a a =+（p ，q ，m ，n *∈N ）； ⑶等距离取出若干项也构成一个等差数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等差数列，公差为md ；⑷等差数列的连续n 项和也构成等差数列，即232n n n n n S S S S S --，，，为等差数列，公差为2n d ； ⑸对于奇数项和有12121()(21)(21)2n n n a a S n n a --+=-⋅=-；对于偶数项和有1221()2()2n n n n a a S n n a a ++=⋅=+；若{}n b 也为等差数列，记n S '为其前n 项和，则21(21)n n S n b -'=-，2121n n n n a Sb S --='．知识结构图知识梳理等差数列与等比数列二、等比数列：3．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母(0)q q ≠表示．等比数列中的项不为0．通项公式：11n n m n m a a q a q --==； 前n 项和公式：1111(1)111n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，，．4．等比数列{}n a 的性质（其中公比为q ）： ⑴n m n m a a q -=，nn mma q a -=； ⑵若p q m n +=+，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；若2m p q =+，则有2mp q a a a =⋅； ⑶等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．⑷等比数列的连续n 项和也构成等比数列，即232n n n n n S S S S S --，，，为等比数列，公比为n q ．<教师备案>由于最近几年北京高考的最后一题已经固定为创新题，以集合或数列题型出现，因此常规的等差等比数列题型除了在期末一模二模的大题偶有涉及，一般只在小题中出现（不过文科16题也可能考到等差等比数列题）．而在小题中的考察就以考察基本量和基本性质为主．等差数列的基本量：1a ，d ，n ，n a ，n S ；知道其中任意三个就可以确定另外两个； 等比数列的基本量：1a ，q ，n ，n a ，n S ；同样也是知道其中三个就可以确定另外两个．尖子班学案1【铺1】 （2011全国文6）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】 D考点：等差数列的基本量【例1】 ⑴（2009山东文13）在等差数列{}n a 中，37a =，526a a =+，则6a =________．⑵（2010辽宁文14）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = ． ⑶ 已知数列{}n a 是非零等差数列，又1a ，3a ，9a 组成一个等比数列的前三项，则1392410a a a a a a ++++的值是（ ） A ．1 B ．1316 C ．1或1316D ．不能确定 【解析】 ⑴ 13 ⑵ 15 ⑶ C经典精讲【拓2】 首项为24-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 ．【解析】 833⎛⎤⎥⎝⎦，<教师备案>小题中对于等差数列性质的考查，常着手于以下方面： ⑴ {}n a 是等差数列⇔n a 是n 不超过一次的多项式（因为1()n a dn a d =+-）； ⇔n S 是n 不超过二次的多项式且常数项必定为0（因为2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭）； ⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且公差为2d （因为122n S d d n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭）；⑵ n S 的最值：若0d >，则n S 有最小值：若10a ≥，则最小值就是1S ；若10a <，则最小值就是前面全体非正项的和；反之，若0d <，则n S 有最大值：若1a ≤0，则最大值就是1S ；若10a >，则最大值就是前面全体非负项的和；实际考试中，对10a d <的情形的考查，是比较常见的．考点：等差数列的性质【例2】 ⑴ 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9⑵ （2010全国II 文6）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=（ ）A ．14B ．21C ．28D ．35⑶ 在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 的前9项之和9S 等于（ ）A ．66B ．99C ．144D ．297⑷ 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4813S S =，则816S S 等于（ ）A ．310B ．13C ．19D ．18【解析】 ⑴ A⑵ C ⑶ B ⑷ A尖子班学案2【拓1】 （2009辽宁文3）{}n a 为等差数列，且7421a a -=-，30a =，则公差d =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【解析】 B【拓2】 （2010西城二模文7）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（ ）A ．78S S <B ．1516S S <C ．130S >D ．150S >【解析】 C尖子班学案3【铺1】 在等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a = ． 【解析】 14n -考点：等比数列的基本量【例3】 ⑴ （2010湖北文7）已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a 、312a 、22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ）A．1 B．1- C．3+ D．3-⑵ 已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ）A ．158或5B ．3116或5C ．3116D ．158⑶ 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知241a a =，37S =，则5S =（ ） A ．152 B ．314 C ．334 D ．172【解析】 ⑴ C⑵ C ⑶ B考点：等比数列的性质【例4】 ⑴ （2010全国卷Ⅰ文 4）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，1235a a a =，78910a a a =，则456a a a =（ ）A． B ．7 C ．6 D．⑵ 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++= ．⑶ 设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ，已知32a =，425S S =，则{}n a 的通项公式为 ．⑷ 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S =，314n S =，则4n S 等于（ ）A ．16B ．26C ．30D ．80【解析】 ⑴ A⑵ 10．⑶ 2(2)n n a -=--或12(1)n n a -=⋅-； ⑷ C【拓2】 （2011年丰台区期末文5）已知等比数列{}n a 的公比为12，并且1359960a a a a ++++=，那么12399100a a a a a +++++的值是（ ）A ．30B ．90C ．100D ．120【解析】 B<教师备案>等差、等比数列在大题中出现时，前面的一二小问除了经常求通项求和式以外，还常出现根据题干已给的递推结构，证明某个变形的数列是等差或等比数列的情况． 对于等差数列或等比数列的判定与证明，通常来说，只需考虑从以下角度入手： 等差数列的等价条件：{}n a 是等差数列⇔⑴ 定义：*n ∀∈N ，1n n a a d +-=，d 为常数； ⑵ 等差中项：*n ∀∈N ，211n n n n a a a a +++-=-； ⑶ 通项公式：*n ∀∈N ，n a kn b =+，,k b 为常数； ⑷ 前n 项和公式：*n ∀∈N ，2n S An Bn =+，,A B 为常数； ⑸ 前n 项平均值：*n ∀∈N ，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．等比数列的等价条件：{}n a 是等比数列⇔⑴ 定义：*n ∀∈N ，1n n a qa +=，q 为非零常数；⑵ 等比中项：*n ∀∈N ，211n n n n a aa a +++=，120n n n a a a ++⋅⋅≠；⑶ 通项公式：*n ∀∈N ，n n a cq =，0c q ≠，为常数．⑷ 前n 项和公式：*n ∀∈N ，n S n λ=（常数列）或者(1)n n S q λ=-，001q λ≠≠，，．考点：等差数列与等比数列的判定 【例5】 已知数列{}n a 满足14a =，144(2)n n a n a -=-≥，令12n n b a =-． ⑴ 求证：数列{}n b 是等差数列；⑵ 求数列{}n a 的通项公式．【解析】 ⑴ 由已知得：12n n b a =-，1112n n b a --=-， 2n ≥，111122n n n n b b a a ---=---111111111422(2)2242n n n n n a a a a a -----=-=-=-----， 111122b a ==-， 故{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列．⑵ 22n a n=+．【备选】证明：在直角三角形中，三条边的长度成等差数列的充要条件是它们的比为3:4:5． 【解析】 （必要性）设直角三角形的三边长成等差数列，将这三条边的长从小到大排列，它们可以表示为a d -，a ，a d +，其中0a d >>；根据勾股定理，得()()222a d a a d -+=+，化简得4a d =， 即三角形三边长为3d ，4d ，5d ，三边长之比为3:4:5． （充分性）如果直角三角形的三边长之比为3:4:5， 则可设三边长为3a k =，4b k =，5c k =， 则82a c k b +==，即三边长为等差数列．【例6】 设数列{}n a ，{}n b ()0n b >，*n ∈N 满足12lg lg lg nn b b b a n+++=，证明{}n b 为等比数列的充要条件是{}n a 为等差数列． 【解析】 （必要性）若{}n b 为等比数列，设公比为q ，则()()11122212111lg lg lg 111lg lg lg lg lg 2n n n n nn n b b b n a b b b b q b q b q nnn --⎛⎫⎛⎫+++-=====+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1111111lg lg lg lg lg 222n n n n a a b q b q q ++--⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭（常数）， 即数列{}n a 为等差数列；（充分性）若{}n a 为等差数列，设公差为d ， 则()121lg lg lg 1n n b b b na na n n d +++==+-，()()()()12111lg lg lg lg 11111n n n b b b b n a n a n n d ++++++=+=++++-，两式相减，得11lg 2n b a nd +=+，∴()1lg 21n b a n d =+-，两式相减，得1lg lg 2n n b b d +-=，即2110d n nb b +=（常数）， ∴{}n b 为等比数列．【拓2】 数列{}n a ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，设()nn nb c n a =∈*N ． ⑴ 数列{}n c 是否为等比数列？证明你的结论；⑵ 设数列{}ln n a ，{}ln n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．若12a =，21n n S nT n =+，求数列{}n c 前n 项和．【解析】 ⑴ {}n c 是等比数列．设{}n a 的公比为11(0)q q >，{}n b 的公比为22(0)q q >，则 11121110n n n n n n n n n n c b a b a qc a b b a q +++++=⋅=⋅=≠，故{}n c 为等比数列． ⑵ 数列{}n c 的前n 项和为()24(14)444441143n nn-+++==--…．设{}n a 是等比数列，则“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 D已知数列{}n a 的前n 项和为n n S aq =（0a ≠，1q ≠，q 为非零常数），则{}n a 为（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．既是等差数列，又是等比数列D ．既不是等差数列，又不是等比数列【解析】 D1、（2011北京文12） 在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =，则公比q =_____；12n a a a +++=__________．【解析】 11222n --，；2、（2010北京文16）已知{}n a *()n ∈N 为等差数列，且36a =-，60a =． ⑴ 求{}n a 的通项公式；⑵ 若等比数列{}n b *()n ∈N 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和．【解析】 ⑴ 10(1)2212n a n n =-+-⋅=-．⑵ {}n b 的前n 项和1(1)4(13)1n n n b q S q-==--．【演练1】（2010海淀一模理6）已知等差数列1,,a b ，等比数列3,2,5a b ++，则该等差数列的公差为（ ） A ．3或3- B ．3或1- C ．3 D ．3-【解析】 C【演练2】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1517，，项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（ ）A ．3q =B ．1q =C ．2q =-或1q =D ．2q =或1q =-【解析】 A【演练3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．⑴ 若246a a +=，求5S ．⑵ 若4518a a =-，求8S ．【解析】 ⑴ 15⑵ 72【演练4】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10512S S =∶∶，则155S S =∶（ ） A ．34∶ B ．23∶ C ．12∶ D ．13∶【解析】 A真题再现实战演练【演练5】已知数列{}n a ，其前n 项和为23722n S n n =+*()n ∈N ．⑴ 求数列{}n a 的通项公式，并证明数列{}n a 是等差数列；⑵ 如果数列{}n b 满足2log n n a b =，请证明数列{}n b 是等比数列，并求其前n 项和．【解析】 ⑴ 当1n =时，115a S ==，当2n ≥时，[]22137(1)(1)22n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=--+--⎣⎦37(21)3222n n =-+=+． 又15a =满足32n a n =+， ∴32n a n =+*()n ∈N ． ∵132[3(1)2]3n n a a n n --=+--+=*(2)n n ∈N ≥，， ∴数列{}n a 是以5为首项，3为公差的等差数列．⑵ 由已知得2na nb =*()n ∈N ，∴113122282n n n n a a a n a n b b ++-+====*()n ∈N ． 又11232a b ==，∴数列{}n b 是以32为首项，8为公比的等比数列；∴数列{}n b 的前n 项和为32(18)32(81)187n n-=--．（2006年上海交大自主招生测试）一个正实数与它的整数部分、小数部分成等比数列，那么这个正实数是___________． 【解析】 15+设这个正实数的整数部分为m ，小数部分为x ，则m ∈N ，01x <≤． 于是根据题意，m x +，m ，x 构成等比数列：∴2()m x m x =+，即220x mx m +-=． 由此解得：515m m x m -±-±==． 由于m ∈N 且0x ≥，所以舍去负根，15x m -+=； 再由1x <得知只能有1m =，∴1m =，15x -+=；∴这个正实数为15151m x -+++=+=．大千世界。
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1．(交汇新)已知等差数列{a n }的前13项之和为13π4，则tan(a 6＋
a 7＋a 8)等于( ) A.33 B. 3 C ．－1 D ．1
2．(角度新)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2
(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( )
A ．λ＞2
B ．λ＞3
C ．λ＜2
D ．λ＜3
3．(交汇新)在数1和2之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记为A n ，令a n ＝log 2A n ，n ∈N *.
(1)求数列{A n }的前n 项和S n ；
(2)求T n ＝tan a 2·tan a 4＋tan a 4·tan a 6＋…＋tan a 2n ·tan a 2n ＋2的值．
[历 炼]
1．解析：∵ 等差数列{a n }的前13项之和为13π4＝13a 7，
∴ a 7＝π4，则tan (a 6＋a 7＋a 8)＝tan 3a 7＝tan 3π4＝－1，故选C .
答案：C
2．解析：由已知可得1
a n ＋1＝2a n ＋1，1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，1a 1＋1＝2≠0，
所以1
a n ＋1＋11a n
＋1＝2，则1a n ＋1＝2n ，b n ＋1＝2n (n －λ)，b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ≥2，n ∈N *)．b 1＝－λ也适合上式，故b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ∈N *). 由b n ＋1＞b n ，得2n (n －λ)＞2n －1(n －1－λ)，即λ＜n ＋1恒成立，而n ＋1的最小值为2，故实数λ的取值范围为λ＜2.
答案：C
3．解析：(1)设b 1，b 2，b 3，…，b n ＋2构成等比数列，其中b 1＝1，b n ＋2＝2，
依题意，知A n ＝b 1·b 2·…·b n ＋1·b n ＋2，①
则A n ＝b n ＋2·b n ＋1·…·b 2·b 1，②
由于b 1·b n ＋2＝b 2·b n ＋1＝b 3·b n ＝…＝b n ＋2·b 1＝2，
①×②，得
A 2n ＝(b 1b n ＋2)·
(b 2b n ＋1)·…·(b n ＋1b 2)·(b n ＋2b 1)＝2n ＋2. ∵ A n ＞0，
∵ tan 1＝tan[(n ＋1)－n ]＝tan (n ＋1)－tan n 1＋tan (n ＋1)·tan n
， ∴ tan n ·tan(n ＋1)＝tan (n ＋1)－tan n tan 1
－1，n ∈N *.
∵ T n ＝tan a 2·tan a 4＋tan a 4·tan a 6＋…＋tan a 2n ·tan a 2n ＋2，
∴ T n ＝tan 2·tan 3＋tan 3·tan 4＋…＋tan(n ＋1)·
tan(n ＋2)
＝⎝
⎛⎭⎪⎫tan 3－tan 2tan 1－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 4－tan 3tan 1－1＋…＋ ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤tan (n ＋2)－tan (n ＋1)tan 1－1 ＝tan (n ＋2)－tan 2tan 1
－n .。