高考数学必考点 等差数列与等比数列 计算题专项

等差数列与等比数列测试题1.在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=84，a 9=73. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）对任意m ∈N ﹡，将数列{a n }中落入区间（9m ，92m）内的项的个数记为bm ，求数列{b m }的前m 项和S m 。

2.已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和mS.3、设{}n a 是等差数列，1()2n an b =，已知123218b b b ++=，12318b b b =， 求等差数列{}n a 的通项公式。

4、设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==,n T 为数列{nS n}的前n 项和，求n T 。

5、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．6、设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（Ⅰ）若11,23p q ==-，求3b ；（Ⅱ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式； （Ⅲ）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.7、等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T8、已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列（1）若 31n a n =+，是否存在*,m n N ∈，有1m m k a a a ++=？请说明理由；（2）若n n b aq =（a 、q 为常数，且aq ≠0）对任意m 存在k ，有1m m k b b b +⋅=，试求a 、q 满足的充要条件；（3）若21,3n n n a n b =+=试确定所有的p,使数列{}n b 中存在某个连续p 项的和是数列中{}n a 的一项，请证明.参考答案1. （Ⅰ）因为{}n a 是等差数列，由a 3+a 4+a 5= 4384,a =得428,a =设数列的公差为d ，由a 9=73，得9,45549==-=d a a d ，12728341=-=-=d a a ，于是899)1(1-=⨯-+=n n a n ，即89-=n a n .（Ⅱ）对任意m ∈N ﹡，m m n 29899<-<，则899892+<<+m m n ， 即989989121+<<+--m m n ，而*N n ∈，由题意可知11299---=m m m b ， 于是)999(999110123121--+++-+++=+++=m m m m b b b S8980198019109819809991919199121212212mm m m m m m m -+=+⋅-=---=-----=++++， 即89801912mm m S -+=+. 2. 解：(I)设数列的公差为d ，前n 项和为n T ，则由5105,T =2052a a =得：111510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩ 解得17,7a d ==, 所以通项公式为7(1)77na n n =+-⋅=. (II) 任意*m ∈N ，若277mn a n =≤，则217m n -≤，即217m m b -=. ∵211217497m k m k b b ++-==，∴{}m b 是首项为7，公比为49的等比数列，∴7(149)7(491)14948m mmS -==--.3、解：∵ {a n }为等差数列 ∴ {b n }为等比数列 ∵ b 1b 3=b 22∴ b 23=81∴ b 2=21∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+41b b 817b b 2131 ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==81b 2b 31 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==2b 81b 21 ∴ n 231n n 2)41(2b --== 或 5n 21n n 2481b --=⋅=∵ n a n )21(b = ∴ n 21n b log a =∴ a n =2n-3 或 a n =-2n+54、解：法一：利用基本元素分析法设{a n }首项为a 1，公差为d ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+==⨯+=75d 21415a 15S 7d 267a 7S 11517 ∴ ⎩⎨⎧=-=1d 2a 1∴ 2)1n (n 2S n -+-= ∴ 252n 21n 2n S n -=-+-= 此式为n 的一次函数 ∴ {n S n }为等差数列 ∴ n 4an 41T 2n -= 法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2+Bn∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯==+⨯=75B 1515A S 7B 77A S 21527 解之得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==25B 21A ∴ n 25n 21S 2n -=，下略 5、解：（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或 6、解：（Ⅰ）由题意，得1123n a n =-，解11323n -≥，得203n ≥. ∴11323n -≥成立的所有n 中的最小整数为7，即37b =. （Ⅱ）由题意，得21n a n =-，对于正整数，由n a m ≥，得12m n +≥. 根据m b 的定义可知当21m k =-时，()*m b k k N =∈；当2m k =时，()*1m b k k N =+∈. ∴()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++()()1232341m m =++++++++++⎡⎤⎣⎦()()213222m m m m m m ++=+=+. （Ⅲ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥. ∵32()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有3132m qm m p-+<≤+，即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231p qm p +≤--）， 这与上述结论矛盾！ 当310p -=，即13p =时，得21033q q --≤<--，解得2133q -≤<-. ∴ 存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈；p 和q 的取值范围分别是13p =，2133q -≤<-. 7、解：因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+, 当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-, 又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=- （2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=++++3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=-- 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-因此()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或8、解：（1）由1,m m k a a a ++=得6631m k +++，整理后，可得42,3k m -=m 、k N ∈，2k m ∴-为整数∴不存在n 、k N *∈，使等式成立。

（2）当1m =时，则2312,k k b b b a q aq ⋅=∴⋅=3,k a q -∴=即c a q =，其中c 是大于等于2-的整数反之当ca q =时，其中c 是大于等于2-的整数，则n c nb q +=， 显然12121mc m c m c m m k b b q q q b ++++++⋅=⋅==，其中21k m c =++∴a 、q 满足的充要条件是c a q =，其中c 是大于等于2-的整数（3）设12m m m p k b b b a ++++++=当p 为偶数时，(*)式左边为偶数，右边为奇数， 当p 为偶数时，(*)式不成立。

由(*)式得13(13)2113m p k +-=+-，整理得13(31)42m p k +-=+当1p =时，符合题意。

当3p ≥，p 为奇数时，31(12)1p p -=+-()()011221122121222222212222222222pp p p p p pp p p p p p p p p pp p p p C C C C C C C C C C C C C p --=+⋅+⋅++⋅-=⋅+⋅++⋅=+⋅++⋅⎡⎤=+⋅++⋅+⎣⎦∴ 由13(31)42m p k +-=+，得()12222322221m pp p p p C C C p k +-⎡⎤+⋅++⋅+=+⎣⎦∴当p 为奇数时，此时，一定有m 和k 使上式一定成立。