平面向量应用举例(教学案)
(教案)校级公开课--平面向量的数量积及应用(教案)
课题：平面向量的数量积及其应用授课班级:高三(1) 教学目标 1、知识与能力:复习平面向量的数量积及其性质，掌握两向量数量积定义式与坐标式运算，两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单应用． 2、过程与方法:通过对知识归纳整理与回顾，使学生形成知识网络。
通过设置问题,学生参予问题探究，教师引导、点评，师生互动方法实现课堂教学目标的完成。
3、情感态度与价值观通过问题探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。
树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
教学重点: 平面向量的数量积及应用。
教学难点:如何灵活运用平面向量的数量积性质解决问题。
教学模式:问题教学法 教学过程:一、知识归纳（1）向量数量积定义式a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积）。
（2）向量数量积坐标运算式已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +。
（3）向量b 在a 方向上的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅ （4）数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积。
（5）两向量的夹角范围0︒≤θ≤180︒。
（6）向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==。
②乘法公式成立()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+；③平面向量数量积的运算律交换律成立：a b b a ⋅=⋅；对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈； 分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±。
④向量的夹角：cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=222221212121y x y x y y x x +⋅++。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：平面向量的综合应用
§5.4平面向量的综合应用题型一平面向量在几何中的应用例1(1)如图，在△ABC 中，cos ∠BAC ＝14，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC ，AD ＝152，则△ABC 的面积的最大值为________．答案15解析设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为BD ＝3DC ，AD →＝14AB →＋34AC →，又AD ＝152，cos ∠BAC ＝14，所以AD →214AB ＋34AC ＝116c 2＋916b 2＋38bc cos ∠BAC ＝116c 2＋916b 2＋332bc ，又154＝116c 2＋916b 2＋332bc ＝14c 234b ＋332bc ≥2×14c ×34b ＋332bc ＝1532bc ，当且仅当c ＝3b 时，等号成立．所以bc ≤8，又sin ∠BAC ＝154，所以S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ≤12×8×154＝15.(2)(2022·天津)在△ABC 中，CA →＝a ，CB →＝b ，D 是AC 的中点，CB →＝2BE →，试用a ，b 表示DE →为________，若AB →⊥DE →，则∠ACB 的最大值为________．答案32b －12a π6解析DE →＝CE →－CD →＝32b －12a ，AB →＝CB →－CA →＝b －a ，由AB →⊥DE →得(3b －a )·(b －a )＝0，即3b 2＋a 2＝4a ·b ，所以cos ∠ACB ＝a ·b |a ||b |＝3b 2＋a 24|a ||b |≥23|a ||b |4|a ||b |＝32，当且仅当|a |＝3|b |时取等号，而0<∠ACB <π，所以∠ACB，π6.思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→计算解决向量问题――→还原解决几何问题．跟踪训练1(1)在△ABCBC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为()A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形答案A解析AB →|AB →|，AC →|AC →|分别表示AB →，AC →方向上的单位向量，AB →|AB →|＋AC →|AC →|在∠A 的角平分线上，BC →＝0，∴|AB →|＝|AC →|，又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则AB →与AC →的夹角为60°，即∠BAC ＝60°，可得△ABC 是等边三角形．(2)在△ABC 中，AC ＝9，∠A ＝60°，D 点满足CD →＝2DB →，AD ＝37，则BC 的长为()A ．37B ．36C ．33D ．6答案A解析因为CD →＝2DB →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC→＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，设AB ＝x ，则AD →2＋13AC ，得37＝49x 2＋49×x ×9cos 60°＋19×92，即2x 2＋9x －126＝0，因为x >0，故解得x ＝6，即AB ＝6，所以|BC →|＝|AC →－AB →|＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →|·|AC →|cos 60°＝62＋92－2×6×9×12＝37.题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2如图，在△ABC 中，点P 满足2BP →＝PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，则2x ＋y 的最小值为()A ．3B ．32C ．1 D.13答案A解析由题意知，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋BC →3＝AB →＋AC →－AB →3＝2AB →3＋AC →3，又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，∴AP →＝2AM →3x ＋AN →3y，由M ，P ，N 三点共线，得23x ＋13y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y ＝53＋2x 3y ＋2y 3x ≥53＋22x 3y ·2y3x＝3，当且仅当x ＝y 时等号成立．故2x ＋y 的最小值为3.命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3已知在边长为2的正△ABC 中，M ，N 分别为边BC ，AC 上的动点，且CN ＝BM ，则AM →·MN→的最大值为________．答案－43解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，则BC →＝(2,0)，CA →＝(－1，3)，设BM →＝tBC →(0≤t ≤1)，则CN →＝tCA →(0≤t ≤1)，则M (2t －1,0)，N (1－t ，3t )，∴AM →＝(2t －1，－3)，MN →＝(2－3t ，3t )，∴AM →·MN →＝(2t －1)×(2－3t )＋(－3)×(3t )＝－6t 2＋4t －2＝－－43，当t ＝13时，AM →·MN →取得最大值－43.命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，且向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是()A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2]C ．[2，2＋1]D ．[2－2，2＋2]答案A解析a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，|c －a －b |＝|(x －1，y －1)|＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故12＋12－1≤|c |≤12＋12＋1，∴2－1≤|c |≤2＋1.思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2(1)已知平行四边形ABCD 的面积为93，∠BAD ＝2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF →＝λAB →＋56AD →，则|AF →|的最小值为()A.11B ．3 C.7D.5答案D解析设|AB →|＝x ，|AD →|＝y ，则S ＝x ·y ·sin 2π3＝32xy ＝93，∴xy ＝18.∵AF →＝λAB →＋56AD →＝λ(AE →＋EB →)＋56AD →＝λAE →，∵E ，F ，D 三点共线，∴λ＋56－λ2＝1⇒λ＝13，∴AF →＝13AB →＋56AD →，∴|AF →|2＝19|AB →|2＋59AB →·AD →＋2536|AD →|2＝19x 2＋59xy ＋2536y 2≥－5＋219·2536·x 2·y 2＝5，当且仅当x ＝52y 时，等号成立．∴|AF →|的最小值为5.(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，△ABC 所在平面内的点P 满足|AP →－AB →－AC →|＝1，则|AP →|的最小值为()A.3－1B ．22－1C ．23－1D.7－1答案C解析因为|AB →＋AC →|2＝AB →2＋AC →2＋2AB →·AC→＝|AB →|2＋|AC →|2＋2|AB →|·|AC →|cos π3＝12，所以|AB →＋AC →|＝23，由平面向量模的三角不等式可得|AP →|＝|(AP →－AB →－AC →)＋(AB →＋AC →)|≥||AP →－AB →－AC →|－|AB →＋AC →||＝23－1.当且仅当AP →－AB →－AC →与AB →＋AC →方向相反时，等号成立．因此|AP →|的最小值为23－1.(3)(2022·北京)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则PA →·PB →的取值范围是()A ．[－5,3]B ．[－3,5]C ．[－6,4]D ．[－4,6]答案D解析以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (3,0)，B (0,4)．设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝1，PA →＝(3－x ，－y )，PB →＝(－x ,4－y )，所以PA →·PB →＝x 2－3x ＋y 2－4y＋(y －2)2－254.又＋(y －2)2表示圆x 2＋y 2＝1圆心(0,0)离为52，所以PA →·PB →－254，－254，即PA →·PB →∈[－4,6]，故选D.课时精练1．四边形ABCD 中，AD →＝BC →，(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝0，则这个四边形是()A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．等腰梯形答案A解析由题意，AD →＝BC →，即|AD |＝|BC |且AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形，又(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AC →·DB →＝0，故AC ⊥BD 即四边形ABCD 为菱形．2．(多选)如图，点A ，B 在圆C 上，则AB →·AC →的值()A ．与圆C 的半径有关B ．与圆C 的半径无关C ．与弦AB 的长度有关D ．与点A ，B 的位置有关答案BC解析如图，连接AB ，过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则D 是AB 的中点，故AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠CAD ＝|AB →|·|AC →|·12|AB →||AC →|＝12|AB →|2，故AB →·AC →的值与圆C 的半径无关，只与弦AB 的长度有关．3.如图，在△ABC 中，BD →＝23BC →，E 为线段AD 上的动点，且CE →＝xCA →＋yCB →，则1x ＋3y 的最小值为()A ．8B ．9C ．12D ．16答案D解析由已知得CB →＝3CD →，∴CE →＝xCA →＋yCB →＝xCA →＋3yCD →，∵E 为线段AD 上的动点，∴A ，D ，E 三点共线，∴x ＋3y ＝1且x >0，y >0，∴1x ＋3y ＝1x ＋3y (x ＋3y )＝10＋3y x ＋3xy ≥10＋23y x ·3xy＝16，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立．故1x ＋3y的最小值为16.4．在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，若AG →·AB →＝AG →·AC →＝6，则△ABC 外接圆的半径为()A.3 B.433C ．2D ．23答案C解析由AG →·AB →＝AG →·AC →，可得AG →·(AB →－AC →)＝AG →·CB →＝0，则有AG ⊥BC ，又在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，则△ABC 为等边三角形．则AG →·AB →＝23×12(AB →＋AC →)·AB→|2＋|AB →|2cos ＝12|AB →|2＝6，解得|AB →|＝23，则△ABC 外接圆的半径为12×|AB →|sin π3＝12×2332＝2.5．在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，AB ⊥AD ，点P 为平行四边形ABCD 所在平面内一点，则(PA →＋PC →)·PB →的最小值是()A ．－58B ．－12C ．－38D ．－14答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，所以PB →＝(1－x ，－y )，PA →＋PC →＝(－x ，－y )＋(1－x ,2－y )＝(1－2x ,2－2y )，故(PA →＋PC →)·PB →＝(1－2x )(1－x )＋(2－2y )(－y )＝＋－58，所以当x ＝34，y ＝12时，(PA →＋PC →)·PB →取得最小值－58.6．设向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ·(a ＋b －c )＝0，则|c |的最大值等于()A ．1B ．2C ．1＋52D.5答案D解析向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，c ＝(x ，y )，∵c ·(a ＋b －c )＝0，∴(x ，y )·(1－x ,2－y )＝x (1－x )＋y (2－y )＝0，即x 2＋y 2－x －2y ＝0，整理可得＋(y －1)2＝54，则|c |，半径为52的圆上的点到原点的距离，则|c |＋52＝ 5.7．(多选)(2022·珠海模拟)已知点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有()A ．若OA →＋OB →＋OC →＝0，则点O 为△ABC 的重心B ．若OA →OB →0，则点O 为△ABC 的垂心C ．若(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0，则点O 为△ABC 的外心D ．若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 为△ABC 的内心答案AC解析选项A ，设D 为BC 的中点，由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，同理可证O 为AB ，AC 边上中线的三等分点，所以O 为△ABC 的重心，选项A 正确；选项B ，向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，设为AC ′—→和AB ′—→，则它们的差是向量B ′C ′———→，则当OA →0，即OA →⊥B ′C ′———→时，点O 在∠BAC 的角平分线上，同理由OB →0，知点O 在∠ABC 的角平分线上，故O 为△ABC 的内心，选项B 错误；选项C ，由(OA →＋OB →)·AB →＝0，得(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝0，即OB →2＝OA →2，故|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心，选项C 正确；选项D ，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，所以OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，所以OB →⊥CA →，同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →，所以OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的垂心，选项D 错误．8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆的直径，则PM →·PN →的取值范围是()A ．[1,2]B ．[2,3]C.32，4 D.32，3答案B解析如图所示，取AF 的中点Q ，根据题意，△AOF 是边长为2的正三角形，易得|OQ |＝3，又PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝|PO →|2＋PO →·ON →＋PO →·OM →＋OM →·ON →＝|PO →|2＋PO →·(ON →＋OM →)－1＝|PO →|2－1，根据图形可知，当点P 位于正六边形各边的中点时，|PO |有最小值为3，此时|PO →|2－1＝2，当点P 位于正六边形的顶点时，|PO |有最大值为2，此时|PO →|2－1＝3，故PM →·PN →的取值范围是[2,3]．9．(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|2PA →＋3PB →|的最小值为________．答案7解析以D 为坐标原点，DA →，DC →分别为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，设C (0，a )，P (0，b )，B (1，a )，A (2,0)，0≤b ≤a ，则2PA →＋3PB →＝2(2，－b )＋3(1，a －b )＝(7,3a －5b )，|2PA →＋3PB →|＝49＋(3a －5b )2≥7，当且仅当b ＝3a 5时取得最小值7.10．已知P 是边长为4的正△ABC 所在平面内一点，且AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →(λ∈R )，则PA →·PC→的最小值为________．答案5解析取BC 的中点O ，∵△ABC 为等边三角形，∴AO ⊥BC ，则以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，设P (x ，y )，∴AP →＝(x ，y －23)，AB →＝(－2，－23)，AC →＝(2，－23)，∴AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →＝(4－6λ，23λ－43)x ＝4－6λ，y ＝23λ－23，∴P (4－6λ，23λ－23)，∴PA →＝(6λ－4,43－23λ)，PC →＝(6λ－2,23－23λ)，∴PA →·PC →＝(6λ－4)(6λ－2)＋(43－23λ)(23－23λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，当λ＝34时，PA →·PC →取得最小值5.11．(2022·广州模拟)在△ABC 中，D 为AC 上一点且满足AD →＝13DC →，若P 为BD 上一点，且满足AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．答案116解析∵λ，μ为正实数，AD →＝13DC →，故AC →＝4AD →，∴AP →＝λAB →＋4μAD →，又P ，B ，D 三点共线，∴λ＋4μ＝1，∴λμ＝14·λ·4μ＝116，当且仅当λ＝12，μ＝18时取等号，故λμ的最大值为116.12．(2022·浙江)设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2…A 8的边A 1A 2上，则PA →21＋P A →22＋…＋PA →28的取值范围是______________．答案[12＋22，16]解析以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A 1(0,1)，AA 3(1,0)，AA 5(0，－1)，A－22A 7(－1,0)，A －22，设P (x ，y )，于是PA →21＋PA →22＋…＋PA →28＝8(x 2＋y 2)＋8，因为cos 22.5°≤|OP |≤1，所以1＋cos 45°2≤x 2＋y 2≤1，故PA →21＋PA →22＋…＋PA →28的取值范围是[12＋22，16]．。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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向量的教案5篇
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2022年 《高三数学第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例》优秀教案
第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例教学目标1知识与技能：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.4.掌握平面向量数量积的坐标表示,掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.2过程与方法: 要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示,并能用所学知识解决有关综合问题.3情感态度与价值观：培养学生应用所学知识解决有关综合问题[备考方向要明了]1．两个向量的夹角(1)定义：两个非零向量a和b，作＝a，＝b，那么∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.(3)向量垂直：如果向量a与b的夹角是90°，那么a与b垂直，记作a⊥b.2．平面向量数量积(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，那么数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.(2)a·b的几何意义:a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．3．向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，那么a·e＝e·a＝|a|cos 〈a，e〉． (2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)a·a＝|a|2，|a|＝a·a. (4)cos 〈a，b〉＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.4．数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3)对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．5．数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，那么(1)a·b＝a1b1＋a2b2. (2)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.(3)|a|＝a21＋a22. (4)cos 〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22.[例1] (1)(2021BC＝( )C．2 2(2)(2021·江苏高考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，假设·＝2，那么·的值是________．[自主解答] (1)设角A，B，C的对边分别为a，b，c. ·＝1，即ac cos B＝－1.在△ABC中，再根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即BC ＝ 3.(2)以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，那么B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由·＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，·＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.[答案] (1)A (2) 2[冲关锦囊]1．向量的数量积的运算律类似于多项式乘法法那么，但并不是所有乘法法那么都可以推广到向量数量积的运算，如(a ·b )c ≠a (b ·c )．2．数量积的运算公式 (1)a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉；(2)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．[例2] (1)(2021y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c, b ∥c ，那么|a ＋b |＝( ) C ．2 5 D ．10(2)(2021·新课标全国卷)a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有以下四个命题p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3 p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，π p 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3 p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4 [自主解答] (1)由题意可知⎩⎨⎧2x －4＝0，－4－2y ＝0.解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2.故a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10.(2)由|a ＋b |>1可得：a 2＋2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b >－12.故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a ·b >－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即|a ＋b |>1.由|a －b |>1可得：a 2－2a ·b＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b <12.故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立．[答案] (1)B (2)A假设本例中将四个命题中的“＞〞改为“＜〞，那么结果怎样？解：由|a ＋b |＜1得cos θ＜－12，解得θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，π；同理， 由|a －b |＜1得θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3，故命题p 2，p 3正确． [冲关锦囊]1．数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角是钝角．2．当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a ·b 及|a |，|b |或得出它们的关系． 3．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法(1)|a |2＝a 2＝a ·a ； (2)|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2； (3)假设a ＝(x ，y )，那么|a |＝x 2＋y 2.[例3] (1)(2021，m )．假设(a ＋c )⊥b ，那么|a|＝________.(2)(2021·新课标全国卷)a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，假设向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，那么k ＝________.[自主解答] (1)a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，那么a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2.(2)∵a 与b 是不共线的单位向量，∴|a |＝|b |＝1.又k a －b 与a ＋b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0.∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0.(θ为a 与b 的夹角)∴(k －1)(1＋cos θ)＝0.又a 与b 不共线，∴cos θ≠－1，∴k ＝1. [答案] (1) 2 (2)1[冲关锦囊]1．证明向量垂直的两种方法(1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，只需证明a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用模与夹角的不共线向量作为基底来表示，通过运算证明a ·b ＝0.2．a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，假设a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .[例4] (2021β，2sin β)，＝c ＝(0，d )(d >0)，其中O 为坐标原点，且0<α<π2<β<π. (1)假设a ⊥(b －a )，求β－α的值； (2)假设·||＝1，·||＝32，求△OAB 的面积S . [自主解答] (1)由a ⊥(b －a )⇒a ·(b －a )＝0⇒a ·b －a 2＝0.又|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为|α－β|，∴2cos |α－β|＝1⇒cos |α－β|＝12. 由0<α<π2<β<π，得β－α＝π3.(2)设与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，∵＝(0，d )，d >0， ∴θ1＝β－π2，θ2＝π2－α，且θ1，θ2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.∵||＝1，||＝2，∴由·||＝||·cos θ1＝1⇒cos θ1＝12，得β－π2＝π3.由·||＝||·cos θ2＝32⇒cos θ2＝32，得π2－α＝π6.∴∠AOB ＝β－α＝π2.∴S ＝12×2×1＝1.[冲关锦囊]向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识“交汇〞的命题要求，又加强了双基覆盖面，特别是通过向量坐标表示的运算，在解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题． 板书设计：教学反思：。
2.5.1平面几何中的向量方法(教案)
2.5.1平面几何中的向量方法(教案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法教学目标1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2.明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.教学过程导入新课前言：向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.新知探究提出问题①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？②你能利用所学知识证明你的猜想吗能利用所学的向量方法证明吗试一试可用哪些方法 ③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？证明:方法一:如图2.作CE ⊥AB 于E,DF ⊥AB 于F,则Rt △ADF ≌Rt △BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于ACAE 2+CE 2=(AB+BE)2+CE 2=AB 2+2AB·BE+BE 2+CE 2=AB 2+2AB·BE+BC 2.BD 2=BF 2+DF 2=(AB-AF)2+DF 2=AB 2-2AB·AF+AF 2+DF 2=AB 2-2AB·AF+AD 2=AB 2-2AB·BE+BC 2.∴AC 2+BD 2=2(AB 2+BC 2).方法二:如图3.以AB 所在直线为x 轴,A 为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c 2=a 2+2ab+b 2+c 2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a 2-2ab+b 2+c 2.∴|AC|2+|BD|2=2a 2+2(b 2+c 2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.应用示例 图1 图2 图3例1 如图4, ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC 交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?解:如图4,设AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,则AC=a+b.由于AR与AC共线,所以我们设r=n(a+b),n∈R.又因为EB=AB-AE=a-21b,ER与EB共线,所以我们设ER=m EB=m(a-21b).因为ERAEAR+=,所以r=21b+m(a-21b).因此n(a+b)=21b+m(a-b),即(n-m)a+(n+21-m)b=0.由于向量a、b不共线,要使上式为0,必须⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.021,0mnmn解得n=m=31.所以AR=31AC,同理TC=31AC.于是RT=31AC.所以AR=RT=TC.变式训练图5如图5,AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点.证明:设BE、CF相交于H,并设AB=b,AC=c,AH=h,则BH=h-b,CH=h-c,BC=c-b.因为BH⊥AC,CH⊥AB,所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0,即(h-b)·c=(h-c)·b.化简得h·(c-b)=0.所以AH⊥BC.图4所以AH与AD共线,即AD、BE、CF相交于一点H.课堂小结：用向量解决平面问题的三步曲：课后作业：1.有一边长为1的正方形ABCD,设AB=a,BC=b,AC=c,则|a-b+c|=_______________.2.已知|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°,则使λb-a与a垂直的λ=____________.3.在等边△ABC中,AB=a,BC=b,CA=c,且|a|=1,则a·b+b·c+c·a=____________.4.已知四边形ABCD满足|AB|2+|BC|2=|AD|2+|DC|2,M为对角线AC的中点.求证:|MB|=|MD|.5.如图6,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.求证:∠ABC=90°.图6。
平面向量的数量积及向量的应用教案
平面向量的数量积及向量的应用教案第一章：平面向量简介1.1 向量的概念解释向量的定义：具有大小和方向的量向量表示方法：用箭头表示，箭头长度表示大小，箭头方向表示方向1.2 向量的图形表示绘制向量的方法：在坐标平面上，用箭头表示向量，箭头起点表示向量的起点，箭头终点表示向量的终点1.3 向量的性质向量的大小：向量的长度，称为模向量的方向：向量的起点指向终点的线段第二章：向量的坐标表示2.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和表示方法二维坐标系和三维坐标系的表示方法2.2 向量的坐标表示二维向量的坐标表示方法：用有序数对表示向量的起点和终点坐标三维向量的坐标表示方法：用有序数对表示向量的起点和终点坐标2.3 向量的坐标运算向量的加法运算：对应坐标相加向量的减法运算：对应坐标相减第三章：向量的数量积3.1 向量数量积的定义介绍向量数量积的定义和表示方法向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ3.2 向量数量积的性质交换律：a·b = b·a分配律：a·(b+c) = a·b + a·c标量倍数：k·a = a·k（k为标量）3.3 向量数量积的应用判断两个向量的夹角：cosθ= (a·b) / (|a||b|)计算向量的长度：|a| = √(a·a)第四章：向量的线性相关与线性无关4.1 向量线性相关的定义介绍向量线性相关的定义和表示方法向量线性相关：存在不全为零的标量倍数，使得一组向量相加等于零向量4.2 向量线性无关的定义介绍向量线性无关的定义和表示方法向量线性无关：不存在不全为零的标量倍数，使得一组向量相加等于零向量4.3 向量组的秩介绍向量组的秩的定义和表示方法秩的计算方法：将向量组转化为行阶梯形式，行阶梯形式的行数即为秩第五章：向量的应用5.1 向量在几何中的应用向量的几何表示：向量可以表示为起点到终点的有向线段向量的几何运算：向量的加法、减法、数乘运算5.2 向量在物理中的应用向量在物理学中的表示：速度、加速度、力等物理量都可以用向量表示向量的物理运算：速度的合成与分解、力的合成与分解等5.3 向量在其他领域的应用向量在计算机科学中的应用：图形学中的向量运算、计算机图形处理中的向量计算等向量在工程学中的应用：结构力学中的向量运算、电路分析中的向量计算等平面向量的数量积及向量的应用教案第六章：向量的线性组合与基底6.1 向量的线性组合介绍向量的线性组合的定义和表示方法向量线性组合的运算规则：标量倍数与向量的乘积6.2 基底的概念介绍基底的概念和表示方法基底的选取：线性无关的向量组可以作为基底6.3 向量在基底下的表示向量用基底表示的方法：将向量表示为基底的线性组合向量的坐标：向量在基底下的坐标表示第七章：向量的投影7.1 向量的投影概念介绍向量投影的定义和表示方法向量的正交投影和斜投影7.2 向量的正交投影向量的正交投影的计算方法：将向量垂直投影到另一向量上正交投影的性质：投影长度与投影方向无关7.3 向量的斜投影向量的斜投影的计算方法：将向量沿着非垂直方向投影到另一向量上斜投影的性质：投影长度与投影方向有关第八章：向量的夹角与余弦定理8.1 向量的夹角介绍向量夹角的定义和表示方法向量夹角的计算公式：cosθ= (a·b) / (|a||b|)8.2 余弦定理的应用介绍余弦定理的定义和表示方法余弦定理在三角形中的应用：计算三角形的边长和角度8.3 向量的夹角与余弦定理的关系向量的夹角与余弦定理的关系：夹角的大小与余弦值有关第九章：向量的模与应用9.1 向量的模介绍向量模的定义和表示方法向量模的计算公式：|a| = √(a·a)9.2 向量的模的应用向量模的几何意义：向量长度的表示向量的模在物理中的应用：计算速度、加速度等物理量的模9.3 向量的模的运算向量的模的运算规则：标量倍数与向量的模的乘积第十章：向量的运算律10.1 向量的运算律介绍向量的运算律的定义和表示方法向量的加法运算律、减法运算律、数乘运算律10.2 向量的运算律的应用向量的运算律在计算向量运算时的应用：简化计算过程向量的运算律在几何中的应用：计算向量间的夹角、距离等重点和难点解析：1. 向量的概念与图形表示：向量作为具有大小和方向的量，其图形表示方法在二维和三维坐标系中的绘制是教学的重点。
北师大版--2.7平面向量应用举例
2.7平面向量应用举例（2课时）一.教学背景：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等工具，使学生的运算能力和解决实际问题的能力得到进一步发展。
二.教材分析：本节内容包括两部分，第一部分是向量在平面几何问题方面的应用，第二部分是向量在物理方面的应用。
向量在几何中的典型应用，前面有所提及，这里选择两个重要内容，一是距离公式的求法，二是三线共点的常见问题，通过这两个例子，突显出计算长度、夹角度数时的向量优势。
教材列举了两个向量在物理中应用的例子：运动学问题和力学问题。
其中力学问题是一个原汁原味的物理表述和物理解法表述，从而可以清楚地看出向量的直接作用。
教学目标：三.1.知识与技能（1）用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观四、通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生知识迁移的能力、运算能力和解决实际问题的能力.教学重、难点用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.学法与教学用具五、学法：(1)自主性学习法、探究式学习法（2）教学用具:电脑、投影仪.四.教学设想【探究新知】[展示投影]同学们阅读教材P99---102的相关内容思考：1.直线的向量方程是怎么来的？2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P100练习1、2、3题一、向量方法在平面几何中的运用[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。
平面向量应用举例 课件
＝|vb|， 作 AD∥BC，CD⊥AD 于 D，BE⊥AD 于 E， 则∠BAD＝45°.
∴|vb|＝150 2， 即没有风时飞机的航速为 150 2 km/h，方向为北偏西 60°.
利用向量法解决物理问题的步骤 (1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题； (2)建立以向量为主体的数学模型； (3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．
平面向量的应用举例
1．预习教材，问题导入 (1)利用向量方法可以解决平面几何中的哪些问题？
提示：距离、夹角等问题． (2)利用向量方法可以解决物理中的哪些问题？ 提示：可以利用向量解决与力、位移、速度有关的问题．
2．归纳总结，核心必记 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ①建立平面几何与向量的联系，用向量 表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题 ； ②通过向量运算 ，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系．
(2)向量在物理中的应用 ①物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． ②向量的加减运算体现在一些物理量的合成和分解中． ③动量 mv 是向量的数乘运算． ④功是力 F 与位移 s 的数量积．
讲一讲 1.如图所示，在正方形 ABCD 中，P 为对角线 AC 上任一 点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为 E，F，连接 DP，EF， 求证：DP⊥EF.
[尝试解答] 法一：设正方形 ABCD 的边长为 1，AE＝ a(0<a<1)，
则 EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝ 2a，
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋ 2a×a× cos 45°＋ 2a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－图所示的平面直角坐标系， 设 P(x，x)，则 D(0，1)，E(x，0)，F(1，x)， 即 DP⊥EF.
§7 平面向量应用举例
课题：§7 平面向量应用举例（2课时） 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法 通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点 重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 [展示投影] 同学们阅读教材P99-102的相关内容思考： 1.直线的向量方程是怎么来的？ 2.什么是直线的法向量？ 【巩固深化，发展思维】 教材P110练习1、2、3题 [展示投影]例题讲评（教师引导学生去做） 例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点. 证：设BE、CF交于一点H，
AB= a, AC= b, AH= h,
则BH= h a , CH= h b , BC= b a 因为BHAC, CHAB 所以0)()()(0)(0)(abhabhbahaahbah
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2.5平面向量应用举例
一、 教材分析 向量概念有明确的物理背景和几何背景， 物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是 有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此， 运用向量 可以解决一些物理和几何问题， 例如利用向量计算力沿某方向所做的功， 利用向量解决平面 两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。 二、 教案目标 1. 通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法 -----向量法和坐
标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题 2. 通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用， 增强学生的
积极主动的探究意识，培养创新精神。 三、 教案重点难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决 四、 学情分析 在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形， 而在物理中，受力分析则是 其中最基本的基础知识， 那么在本节的学习中， 借助这些对于学生来说， 非常熟悉的容来讲 解向量在几何与物理问题中的应用。 五、 教案方法 1. 例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2. 学案导学：见后面的学案
3. 新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑f情境导入、展示目标f合作探究、精讲 点拨T反思总
结、当堂检测T发导学案、布置预习 六、 课前准备 1. 学生的学习准备：预习本节课本上的基本容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用
2. 教师的教案准备：课前预习学案 ，课探究学案，课后延伸拓展学案
七、 课时安排：1课时 八、 教案过程 （一）预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标
教师首先提问：（1 ）若0为 ABC重心，则O
A + OB +OC =
0
（2）水渠横断面是四边形 ABCD, DC=-^B,且|倉D|=|BC 2
为等腰梯形.类比几何元素之间的关系，你会想到向量运算之间都有什么关系 （3）两个人提一个旅行包，夹角越大越费力.为什么？
教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题； 掌握向量法和坐标法，以 及用向量解决平面几何和物理问题的步骤， 已经布置学生们课前预习了这部分， 检查学生预 习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。 （设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。 ） （三）合作探究、精讲点拨。 _ _ 探究一：（1）向量运算与几何中的结论"若 a b，则|a| |b|，且a,b所在直线平行
或重合"相类比，你有什么体会？ （2）由学生举出几个具有线性运算的几何实例.
|,则这个四边形 教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出 来:」例如，向量数量积对应着几何中的长度
=c , =
AD" b2 |
法解决平面几何中的一些问题。 运算结果"翻译"成几何关系. 几何中的运用 例1 •证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 量数量积对应着几何中的长度 .如图：平行四边行 ABCD,中，设 b，贝 y AC AB BC a b （平移），DB AB AD a b ,
AD|2 （长度）•向量AD ,・B的夹角为 DAB .因此，可用向量方 通过向量运算研究几何运
算之间的关系， 如距离、夹角等.把 本节课，我们就通过几个具体实例， 来说明向量方法在平面
已知：平行四边形 ABCD. 求证：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2. 分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常 常要考虑向量的数量积•注意到 , D
和 |BD|2 • 证明：不妨设WB a, AD
AC a+b, DB a-b, | AB 得 | AC|2
b,
|2 2 , ,2
|a|2, | | | b|
(a + b) ( a+b)
2 2 =a a+ a b+b a+b b=| a| +2a b+| b| •
2 a b+| b|2.
|2 2(| a| 2+| b|2)=2(| 胡 |2 |
|DB|2 |a|
①+②得 |AC|2 |甲 所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
同理 ,2
师：你能用几何方法解决这个问题吗? 让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况。 师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性, 他把一个思辨过程变成了一个算法过程， 可以按照一定的程序进行运算操 作，从而降低了思考问题的难度 用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤, ⑴建立平面几何与向量的联系， 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转
化为向量问题; ⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题; ⑶把运算结果“翻译”成几何关系. 变式训练：百 a, AC b. ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、
（1）证明A、0、E三点共线；（2）用a,b表示向量AO 。 C?的中点，BF与CD交于点 0,
设
例2，如图，平行四边形 ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的 中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现 AR、RT、TC之间 的关系吗？
分析：由于 R、T是对角线 AC上两点，所以要判断 AR、RT、TC
之间的关系，只需要分别判断 AR、RT、TC与AC之间的关系即可
，我们计算| |2)
• 2cos 一
2
由0： ~ 180逐渐变大时， 一由0 ~ 90：逐渐变大, 2
解：设 b，则 a + b.
由AR与・C共线，因此。存在实数m，使得 又由・R
与BE共线 A
R
=m(a+b).
因此存在实数n,使得 由 = AB
1
=n( b-a).
2 nBE，得 m(a+b)= a + n(1b- a).
2
整理得 1 (m n 1)a + (m 2n)b=0
.
由于向量a、 b不共线，所以有 m n 1 0
1 ，解得 m n 0
2
1 m 3
2 n _ 3
所以 】AC 3 同理 TC IAC
3 于是 RT !AC
3 所以 AR= RT= TC.
说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法 使用向量方法证明平面几何问题的常用方法. 探究二：（1）两个人提一个旅行包，夹角越大越费力. （2）在单杠上做引体向上运动 ，两臂夹角越小越省力.这些问题是为什 么？
师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然 后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象. 例3 .在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹 角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从 数学的角度解释这种现象吗？ 分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型. 只要分析清楚F、 G、 三者之间的关系（其中 F为F1、F2的合力），就得到了问题的数学解释.
解：不妨设|F1|=| F2| ,由向量加法的平行四边形法则， 理的平衡原理以及直角三角形 的指示，可以得到
I F1|= |G|
通过上面的式子我们发现，当
=n COS—的值由大逐渐变小，因此，|Fi|有小逐渐变大，即 Fi、F2之间的夹角越大越费力，
2
夹角越小越省力. 师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题： ⑴ 为何值时，|Fi|最小，最小值是多少？ ⑵| Fi|能等于|G|吗？为什么？ 例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d 500 m , 一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|vi|=iokm/h , 水流的速度| v2|=2km/h ，问行驶航程最短时， 所用的时间 是多少（精确到
O.lmin） ?
分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方 向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短•考虑到水 的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速 度的合速度v必须垂直于对岸.（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响） 解：|V |= : |* f \ 96 （km/h）,
所以，t J 05 60 3.1 （min）. 用| V96
答：行驶航程最短时，所用的时间是 3.1 min . 本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的穿必须垂直于河 岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸， 分析清楚这种关系侯， 本例就 容易解决了。 变式训练：两个粒子 A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为
的投影。 九、板书设计
例1. 用向量法解平面几何 问题的“三步曲” 例3.
变式训练 十、教案反思 本小节主要是例题教案， 要让学生体会思路的形成过程， 案中，教师创设问题情境，弓I导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。 指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力 十一、学案设计（见下页）
SA (4,3), SB (2,10) , (1)写出此时粒子 B相对粒子A的位移So⑵计算S在SA方向上
§ 2.5 平面向量应用举例
变式训练
体会数学思想方法的应用。教