平面向量应用举例
平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
《平面向量应用举例》高一年级下册PPT课件
第二章 平面向量
[解析] 以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标
系．
∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)， 则A→C＝(3，－4)． ∵点 M 是边 AC 上靠近点 A 的一个三等分点， ∴A→M＝31A→C＝(1，－43)，
8
∴M(4，3)，
第二章 平面向量
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线 段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a· b＝0(或 x1x2＋y1y2＝0)
_______________________________.
a· b cosθ＝|a ||b|
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式________________.
第二章 平面向量
∴B→M＝(4，8)．
3
假设在 BM 上存在点 P 使得 PC⊥BM， 设B→P＝λB→M，且 0<λ<1， 即B→P＝λB→M＝λ(4，83)＝(4λ，83λ)， ∴C→P＝C→B＋B→P＝(－6,0)＋(4λ，83λ)＝(4λ－6，83λ)． ∵PC⊥BM，∴C→P· B→M＝0，
第二章 平面向量
[解析] A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j， (1)F1所做的功 W1＝F1· s＝F1· A→B ＝(i＋j)· (－13i－15j)＝－28； F2 所做的功 W2＝F2· s＝F2· A→B ＝(4i－5j)· (－13i－15j)＝23. (2)因为 F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 所做的功 W＝F· s＝F· A→B ＝(5i－4j)· (－13i－15j)＝－5.
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
平面向量应用举例
平面向量应用举例一周强化一、一周知识概述向量是区别于数量的一种量，是中学数学中的一个重要概念．向量具有两重性，一是代数属性，二是几何属性，使得数与形的结合体现到极致．向量作为一种重要的数学工具，除在数学中有广泛的应用外，在物理学、工程技术中也有广泛的应用．二、重难点知识归纳讲解1、解决平面几何问题由于平面向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，利用向量可以表示出平面几何的许多性质，如平移，平行，垂直、全等、相似以及夹角等，利用向量可以方便地解决平面几何中的一些问题，思路清晰，运算简单．例1、已知任意凸四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC中点，如图所示．求证：.解析：向量的加法，减法的运算并不困难，但运算的途径很多，十分灵活，如平面任一向量都可以写成两个或多个向量的和．同样任一向量都可以分成两个向量的差等，本题证法较多，这里选取五种.证法一：证法二：在平面上任取一点O，由中线公式得证法三：过点C在平面内作，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点. ∴ EF是△ADG的中位线，∴ EF DG，∴证法四：如图所示，连EB、EC，则有又∵ E是AD的中点，以为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.证法五：例2、如图所示，正方形ABCD中，P为线段BD上任一点，PECF为矩形，求证：（1）PA=EF；（2）PA⊥EF.解析：平面几何问题，有的用向量的方法来处理，会有简洁的解法．此题可设坐标，利用坐标运算．证明：以D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立坐标系.设C（1，0），A（0,1），P（x，x），则E（x，0），F（1，x）2、解决函数问题结合函数的图象，利用向量解决函数有关问题.例3、过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，过A、B分别作x轴的垂线交函数y=log2x的图象于C，D两点．求证：O，C，D三点在一条直线上．分析：将共线证明转化为论证向量共线的关系式．证明：如图，设A(x1,log8x1)，B(x2,log8x2)，根据已知共线，∴x1log8x2－x2log8x1=0．又根据已知C(x1,log2x1)，D(x2,log2x2)，∴∵x1log2x2－x2log2x1=x1log8x23－x2log8x13=3(x1log8x2－x2log8x1)=0，∴共线，即O，C，D三点在一条直线上．三、向量在物理中的应用运用向量解决物理问题时，必须清楚哪些物理量是向量，可以从以下几方面理解：1、力，速度，加速度都是向量;2、力，速度，加速度，位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成;3、动量是数乘向量;4、功定义即力与所产生位移的内积.例4、如图，重力为的均匀小球放在倾角为α的斜面上，球被与斜面夹角为θ的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板压力最小，则木板与斜面间的夹角θ应为多大？分析：本题可以通过把球对木板的压力N表示为关于木板夹角θ的函数，再去求N的最小值.解：小球受力如图：重力，斜面弹力（垂直于斜面），木板弹力（垂直于木板），其中与合力大小恒为︱︱，方向向上，方向始终不变，随着木板的转动，的大小均在变化.=，当sinθ取最大值1时，︱︱min=︱︱sinα,此时θ=.点评：对于本题的解答，要结合到物理知识即会对物理进行受力分析，才能探讨出N1与θ的函数关系式.例5、今有一小船位于d=60m宽的河边P处，从这里起，在下游L=80m处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布.若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小5m/s为，如图所示，为了小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？分析：本题可分别从数学和物理两个方面进行剖析，因而可以给出以下两种解法.解法一：设船的划速为，方向与上游河岸的夹角为，如图，将正交分解为,,则船同时参与两个分运动：一个是沿方向的速度为的匀速直线运动，另一个是沿方向的速度为的匀速直线运动，这两个分运动的时间和必相等，设船到达对岸时，极其靠近河流与瀑布的交界处.由∴令.显见，当时，有最小值为3m/s.此时解法二：在题设条件下，船的临界合速度沿图的PQ方向，设，从A向PQ作垂线，垂足为B，有向线段 AB即表示最小划速的大小和方向，，，可见当时，划速方向与解法一相同.点评：对于本题的两种解法中，分别从速度的分解与合成入手，体现了数形结合的密不可分的关系．。
高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。
证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。
图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。
∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。
∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。
又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
绿色通道：1。
向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。
2.5 平面向量应用举例
0
三、垂心
三角形三边上的高交于一点， 这一点叫三角形的垂心。
A
E
F o D
AB OC, BC 3
B
D
C
二、外心
三角形三边的中垂线交于一点， 这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
A
O
A
O
A C
B
C
B
例题2 若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ） A．内心 B．外心 解析：由向量模的定义知 O 到 C．垂心 D．重心
一、向量四种运算总结：
运算类型 代数式运算 几何运算
a
b
坐标运算
运算性质
ab ba (a b) c a (b c) AB BC AC
a b a (b) AB BA OB OA AB
加 法 减 法
ab
a b
ab ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
a
b
数 乘
a
ab 数量积 a b cos
0 0 0
a
a (x1, y1 )
a
b
a· b=|b|·（向量a在b方向上的投影）
a b x1 x2 y1 y2
a∥b a∥ b x1 y2 x2 y1 0
O是 ABC 的垂心
B
C
O A O B O B O C O C O A
例3. 点O是Δ ABC所在平面上一点， 若 OA OB OB OC OC OA， 则点O是Δ ABC的（ D ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 B （C）三条中线的交点 （D）三条高线的交点
平面向量应用举例
① ② ③
B F
a
P
E
b
D
c
C
利用向量的线性运算证明共线、平行、长度等问题
探究： 已知直角三角形的两直角边长为4和 6，试用向量方法求两直角边中线所成钝 角的余弦值。 y
B
B (0,6)
C
C (0,3) O A x (4,0)
O
Hale Waihona Puke DAD (2,0)
探究： 用向量方法证明：等腰三角形底边 上的中线垂直于底边.
已知等腰直角三角形ABC,D为BC边上的 中点.
设M 、N 分别是四边形ABCD对边AB、CD的中点， 1 求证： MN ( AD BC ). 2
例1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、 CD的中点，求 cos EAF的值.
例1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、 CD的中点，求 cos EAF的值.
例2.已知直角梯形ABCD中，AB//CD，CDA=DAB=90 , 1 CD DA AB, 求证：AC BC. 2
o
向量在几何中的应用（三部曲）：
用基底表示
向量运算
翻译几何结果
建立坐标系
坐标运算
翻译几何结果
O 为中线 AM 上的一个动点，若 在 ABC 中， AM =2，求 OA (OB OC) 的最小值
已知:如图，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角 求证： ∠ABC=90°
B O A
图 2.5-4
C
利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题
向量是一个有利的“工具”
用向量法证明三角形三条高交于一点.
如图：AD、BE、CF是 ABC的三条高. 求证：AD、BE、CF 相交于一点.
2.5.1平面向量应用举例三道
3
故AT=RT=TC
练习1、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
C
a
b
O
B
解：设 AO a, OC b
则
AC a b, CB a， b
2
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
例2 如图，平行四边形 ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点， 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
猜想：
D
F T
C
AR=RT=TC
A
E
R
B
解：设 AB a , AD b 则 AC a b 由于 AR 与AC 共线，故设 AR r n(a b) , n R 又因为 ER与 EB 共线，
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
D E R
F T B
C
因为 AR AE ER
1 1 所以 r 1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
AB 2 BC 2 CD2 DA2 2( a b )
AC BD a b
向量在生活中的应用159661[整理版]
![向量在生活中的应用159661[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/a5aa2e3e657d27284b73f242336c1eb91a373366.png)
向量在生活中的应用159661在生活中向量也有一些具体表现形式，有关的问题也可以充分利用向量求解.应用问题的解决主要是建立数学模型.用向量、三角、解析几何之间的特殊关系，将生活与数学知识之间进行沟通，使动静转换充实到解题过程之中。
一、平面向量在位移与速度上的应用例1 以某市人民广场的中心为原点建立直角坐标系,x轴指向东,y轴指向北一个单位表示实际路程100米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,始终沿一个方向均速前进,6分钟时路过少年宫C,10分钟后到达科技馆B(-3,5).求：此人的位移向量(说明此人位移的距离和方向);此人行走的速度向量(用坐标表示);少年宫C点相对于广场中心所处的位置.(下列数据供选用:tan18°24?＝0.3327,tan18°26?= 13 ,tan2?＝0.0006)分析：⑴AB的坐标等于它终点的坐标减去起点的坐标,代入A,B坐标可求；⑵习惯上单位取百米/小时，故需先将时间换成小时。
而速度等于位移除以时间，由三角知识可求出坐标表示的速度向量。
⑶通过向量的坐标运算及三角函数公式求解。
解：⑴ AB＝(－3,5)－(2,0)＝(－5,5)，|AB|＝(-5)2+52＝52，∠xOB＝135°⑵t＝10分＝ 16 小时，|V|＝ |AB|t ＝302∴Vx＝|V|cos135°＝－30，Vy＝|V|sin135°＝30，∴V＝(－30,30)⑶∵AC＝ 610 AB，∴OC＝OA＋ 35 AB＝(2,0)＋ 35 (－5,5)＝(－1,3)∴|OC|＝10，又tan(18°24?＋2?)＝0.3327+0.00061-0.3327×0.0006 ＝ 13而tan∠COy＝ 13 ，∴∠COy＝arctan 13 ＝18°26?。
∴少年宫C点相对于广场中心所处的位置为“北偏西18°26?，10百米”处。
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题号 (1)
分析 利用数量积公式求出夹角的余弦，进而得正 1 弦，再利用公式 S＝2absin θ 求解．
确定点的坐标， 转化为坐标运算. (2) 建立坐标系，
a· b → → 解析：(1)设OA、OB的夹角为 α，则 cos α＝|a||b|， ∴sin α＝
a· b 2 1－|a||b| ＝
|a|2|b|2－a· b2 ， |a||b|
1 1 ∴S△OAB＝2|a||b|sin α＝2 |a|2|b|2－a· b2.
答案：C
(2)建立如图所示的直角坐标系， 根据题设条件可知 A(0,3)， B(－ 3，0)，M(0,2)， → ＝(0,1)， ∴MA → ＝(－ 3，－2)． MB →· → ＝－2. ∴MA MB
考纲要求
考情分析
1.从近几年的高考试题看，以向量的共线 和数量积为工具解决三角函数、解析几 1.会用向量方法解 何等知识是考查的重点和热点．借助平 决某些简单的平面 面几何图形考查平面向量基本定理、向 几何问题． 量的平行、垂直与夹角、长度等问题是 2.会用向量方法解 考查的难点． 决简单的力学问题 2.从题型上看，三种题型都有可能出现， 与其他一些实际问 选择题、填空题主要考查向量的基础知 题. 识，与其他数学知识结合的题目主要以 解答题的形式出现，难度中等偏上.
B．等腰直角三角形 D．无法确定
→ ＋DC → －2DA → )· → －AC → )＝0， 解析：由(DB (AB → －DA → )＋(DC → －DA → )]· → －AC → )＝0， 得[(DB (AB → → → → 所以(AB＋AC)· (AB－AC)＝0， → |2－|AC → |2＝0， 所以|AB → |＝|AC → |， ∴|AB 故△ABC 是等腰三角形．
答案：C
4．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的四条边满足：
AB∥DC，AD∥BC，已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的
坐标为________．
→ ＝DC → ，又AB → ＝(8,8)，DC →＝ 解析：设 D(x，y)，由条件知AB
8－x＝8， (8－x,6－y)，所以 6－y＝8， x＝0. 得 y＝－2.
4．求夹角问题：利用夹角公式 x1x2＋y1y2 2 2 2 2 a· b x ＋ y x ＋ y 1 1 2 2 . cos θ＝|a||b|＝ 5．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 设向量 运算 还原 平面几何问题 ――→ 向量问题――→ 解决向量问题――→ 解决几何问题
二、向量在三角函数中的应用
【典例剖析】 → ＝a，OB → ＝b， (1)平面上 O，A，B 三点不共线，设OA 则△OAB 的面积等于 A. |a|2|b|2－a |a|2|b|2＋a· b2 1 D．2 |a|2|b|2＋a· b2
(2)(2013· 晋城模拟)若等边△ABC 的边长为 2 3，平面内一 1→ 2→ → →· → ＝________. 点 M 满足CM＝ CB＋ CA，则MA MB 6 3
→ ⊥BC → ，∴AB →· → ＝0， 又AB BC
y y x， ＝0. 即2，－2· 2
化简得 y2＝8x. 又由题意知 x≠0，故所求轨迹方程为 y2＝8x(x≠0)． 答案：y2＝8x(x≠0)
向量在平面几何中的应用 【考向探寻】 1．利用平面向量解决长度、夹角、垂直、共线等问题． 2．平面向量与解三角形的综合应用．
故点 D 的坐标为(0，－2)．
答案：(0，－2)
5．平面上有三个点
y → A(－2，y)，B0，2，C(x，y)，若AB⊥
→ ，则动点 C 的轨迹方程为________________． BC y → y → 解析：由题意得AB＝2，－2，BC＝x，2，
答案：C
3．在△ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对 边，设向量 m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若 m⊥n，则角 A 的大小为( 5π A. 6 π C.3 ) 2π B． 3 π D．6
解析：由 m⊥n 得 m· n＝b(b－c)＋(c－a)(c＋a)＝0， 整理得 b2＋c2－a2＝bc， b2＋c2－a2 bc 1 ∴cos A＝ 2bc ＝2bc＝2. π 又 A 为三角形的内角，∴A＝3.
1．以向量为载体研究三角函数中的最值、单调性、周期等 三角函数性质问题． 2．通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形 状的判断、边角的大小与关系．
三、向量在解析几何中的应用
1．以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度
等问题． 2．以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问 题． 四、向量在物理学中的应用 加法 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的 ______ 相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中的数量 积的一种体现．
一、向量在平面几何中的应用
1．证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、 平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义． 2．证明线段平行，三角形相似，判断两直线 ( 或线段 ) 是否 x1 y2 － 平行，常运用向量共线的条件， a∥b(b≠0) ⇔a ＝ λ·b⇔_____ x2y1＝0 __________ . 3 ．证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件， a⊥b⇔a·b ＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
1．已知向量 a 表示“向东航行 1 km”，向量 b 表示“向 南航行 1 km”，则向量 a＋b 表示( A．向东南航行 2 km C．向东北航行 2 km )
B．向东南航行 2 km D．向东北航行 2 km
解析：由向量加法的几何意义知选A. 答案：A
→ → 2．平面上有四个互异点 A、B、C、D，已知(DB＋DC－ → )· → －AC → )＝0，则△ABC 的形状是( 2DA (AB A．直角三角形 C．等腰三角形 )