高一数学必修四 2.5平面向量应用举例

解：由设图AB可猜a想, A：D ARb=, R则T由=TCA.R证//明AC如,下b：D
得
AR

x
AC

x(a

b)

xa

xb,
x

E R.
又 AR AE ER 1 b ER
A
Ra
F T
B
C
而
ER // EB , ∴
2 ER y EB

y(a 1 b),
y R.
AB cos B AC cos C
所以 BC DP
所以DP是BC的垂直平分线，所以P点的轨迹一定经过
△ABC的外心。 A
外心的向量表示
结论1：O是三角形的外心
OA OB OC
或
2
OA
2
OB

2
OC
结论2：△ABC所在平面一定点O，动点P满足
OP OB OC ( AB AC ) [0， )
t
t

AP (AB AC)
t
由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过
△ABC的重心。 C
例2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共 线的三个点，动点P满足
OP OB OC ( AB AC ) [0， )
2
AB cosB AC cosC
则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

v v1 v2


v1


v2
2

104km/ h
A
思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向 行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？
v1
v
60°
v1 10km/ h v2 2km/ h
v2

v v1 v2


v1


v2

2

84km/ h
G
上述关系表明，若重力G一定，则拉力的大小是关于 夹角θ 的函数.并且拉力大小和夹角大小成正比例关系.
探究（二）：向量在运动学中的应用
思考1：如图，一条河的两岸平行，一艘 船从A处出发到河对岸，已知船在静水中 的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝ 2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船 的实际速度v的大小是多少？
OP OA ( AB AC ) [0， )
AB sin B AC sin C
点拨：在△ABC中，由正弦定理有 AB sin B AC sin C
令 t AB sin B AC sin C
则 OP OA ( AB AC) [0， )
1、已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线； 求证：AD、BE、CF交于一点．
证明：如图AD、BE相交于点G，联结DE．
易知△GDE∽△GAB，DE＝
所以，BG＝
2 3
BE．
1 2
AB．
A
CG＝CB+BG ＝CB+ 2 BE 3
＝CB+ 2 ( 1 CA- CB)
32
F
E
G
＝ 1 ( CB+CA) 3
10N
思考2：两个人共提一个旅行包，或在单 杠上做引体向上运动，根据生活经验， 两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小 有什么关系？
夹角越大越费力.
思考3：假设两只手臂的拉力大小相等，
夹角为θ ，那么|F1|、|G|、F θ 之间的 关系如何？
G
F1

F1
2 c os
2
θ ∈[0°，180°)
θ F2
非坐标角度和坐标角度
例3.如图，正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，PECF 是矩形，用向量证明：
（1）PA=EF
A
B
（2）PA⊥EF
P
E
D
F
C
1、已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中 线； 求证：AD、BE、CF交于一点． 2、已知△ABC的三个顶点A(x1，y1)，B(x2， y2)， C(x3，y3)，则重心G的坐标为 ____________________． 3、用向量法证明：三角形三条高线交于一 点．
所以( h－a )·b＝ ( h－b )·a ＝0． 化简得 h·( a－b )＝0 AH⊥BC．
所以，三角形三条高线交于一点． B
F
H
E
DC
三角形四心的向量表示
（1） 若 O 是△ABC 所在平面上一点，且满足 OA OB OC ，
则点 O 是△ABC 的 外 心;
（2）若 G 是△ABC 所在平面上一点，且满足G→A＋G→B＋G→C＝ 0 ,
B
D
C
1、已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线； 求证：AD、BE、CF交于一点．
即CG ＝ 1 ( CB＋CA) 3
又因为CF＝ 1 (CB＋CA)． 2
所以CG＝
2 3
CF，
因此C、G、F三点在同一直线上．
所以，AD、BE、CF交于一点． B
A
F
E
G
D
C
2、 已知△ABC的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3)，则重心G的坐标为(__x_1+_x_32_+_x_3_，___y1_+_y3_2_+_y_3_)_． 解：设原点为O，则
DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R 、T两点，
你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
利用向量 解决平面 几何问题 举例
D
F
C
ER
T
A
B
简述：几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化
例2．如图，在□ABCD中，点E、F分别是AD、
DC边的中点，BE、BF分别与AC交于点R、T两点.
你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
OAOB-OB OC 0
OA-OC OB 0
同理可得
CB OA AB OC
CAOB 0
CA OB
垂心的向量表示
结论1：O是△ABC的垂心的充要条件是
OA OB OB OC OC OA
结论2、动点P满足
OP OA ( AB AC ) [0， )
2
AR 1 b y(a 1 b) ya 1 y b, y R.
2
2
2
由向量基本定理得
x


x

y 1 y
2

x

y
1 . 3
AR
1 3
AC .
AR 1 AC. 3
同理可证：TC 1 AC. 3
于是 RT 1 AC. 3
故猜想：AR=RT=TC 成立.
由平行四边形法则和共线定理可得AP一定 经过△ABC的重心。
变式1、已知P是平面上一定点，A,B,C是平面上不 共线的三个点，点O满足
PO 1 PA PB PC 3
则O点一定是△ABC的（C）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
点拨：由 PO 1 PA PB PC 3 得出 3PO PA PB PC
则点 O 是△ABC 的 垂 心.
例1、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不
共线的三个点，动点P满足 OP OA (AB AC) 则P点的轨迹一定通过△ABC的（ C）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
点拨：由 OP OA (AB AC)
得出 AP (AB AC)
aOA b OA+AB c OA+AC 0
(a b c)OA bAB cAC 同理可得 (a b c)OB bBA cBC
(a b c)OC bCA cCB
PO PA PO PB PO PC 0
AO BO CO 0 故O是△ABC的重心。
变式2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不 共线的三个点，动点P满足
OP OA ( AB AC ) [0， )
AB sin B AC sin C
则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
则点 G 是 ABC 的 重 心;
三角形四心的向量表示
（3）.已知 O 是平面内一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，
动点 则点
P P
满 的足 轨O迹→P一＝定O→通A＋过λ△|AA→→ABBB|＋C |的AA→ →CC|内(λ∈[0心，；＋∞))，
（4）点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点， 满足O→A·O→B＝O→B·O→C＝O→C·O→A，
(a b)2
2
2
a 2a b b
向量运算关B系化
| DB |2 | a b |2
(a b)2
2
2
a 2a b b
|
AC
|2

|
DB |2
2
2(a

2
b)

2
2( AB

2
AD )
向量关系几何化
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.
AB cosB AC cosC
P点的轨迹经过△ABC的垂心
例4、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线 的三个点,(a,,b,c是△ABC的A,B,C所对的三边)点O
满足 aOA bOB cOC 0
则O点一定是△ABC的（ B ）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
点拨：由已知条件可得
AB cos B AC cos C
AP BC
故点P的轨迹一定通过△ABC的垂心。D
变式3、已知O是平面上一点，A,B,C是平面上不共
线的三个点，点O满足 OA OB OB OC OC OA
则O点一定是△ABC的（ D）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
点拨：OAOB OB OC
2
AB cosB AC cosC
P点轨迹经过△ABC的外心
例3、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共 线的三个点，动点P满足
OP OA ( AB AC ) [0， )
AB cosB AC cosC
则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
OG＝OA＋
AG
＝OA＋
2 3
AD
＝OA＋ 1 ( AB＋AC ) 3
＝OA＋
1 3
(
OB－OA＋OC－OA)
＝ OA＋OB＋OC 3
3、用向量法证明：三角形三条高线交于一点．
证明：设H是高线BE、CF的交点， 且设AB＝a，AC＝b，AH＝h，
A 则有BH＝h－a，CH＝h－b，BC＝b－a．
因为BH⊥AC，CH⊥AB．
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。 简述：几何问题向量化
向量运算关系化 向量关系几何化
例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、
2.5.1 平面几何中的向量方法
利用向量解决平面几何问题举例
例1.求证：平行四边形两条对角线的平方和
等于相邻两边的平方和的两倍。 几何问题向量化
证明：设AB a, AD b,
D
C
|
AB |2
| a |2
2
a
| AD |2 | b |2
2
b
A
| AC |2 | a b |2
DP ( AB AC ) [0， )
AB cosB AC cosC
点拨：取BC的中点D，则 OD OB OC 2
由已知条件可得 DP ( AB AC ) [0， )
AB cosB AC cosC
又因为BC DP ( AB BC AC BC ) (- BC + BC ) 0
思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航
程最短？ v1 10km/ h
B
v2 2km/ h
与上游河岸的夹角为
v1 v
78.73°.
C
A v2
思考4：如果河的宽度d＝500m，那么船
行驶到对岸至少要几分钟？
所以 t d 0.5 60 3.1(min). | v | 96
“向量法解决几何问题”的两个角度：
D
F来自百度文库
C
b
E
T
A
Ra
B
2.5.2 向量在物理中的应用举例
探究（一）：向量在力学中的应用
思考1：如图，用两条成120°角的等长
的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，根据
力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具
的重力具有什么关系？每根绳子的拉力
是多少？
F1+F2+G=0
A
120° B
O
C
|F1|=|F2|=10N
OP OA ( AB AC ) [0， )
AB cosB AC cosC
点拨：由已知等式可知 AP ( AB AC ) [0， )
AB cosB AC cosC
在等式的两边同时乘以 BC
即 BC AP ( AB BC AC BC ) ( BC BC ) 0