第4讲 平面向量应用举例
平面向量应用举例课件
F
由
200 2 cos
3
2
≤
200,
cos
2
≥
3 2
,
2
≤
6
,
≤
3
.
u ur
u ur
F1 F2
从 而 可 知 0 o ， 6 0 o 绳 子 才 不 会 断 .
ur G
例艘4船.如从图A处,一出u条ur发河到的河两对岸岸平,已行知,河船的的宽速度度d=|5vur10| 01m0k,一m/h, ,水流速度 |v2|2km/h,问行驶航程最短时,所用时间 是多少？(精确到0.1min)
2.5平面向量的应用举例 主页
1.平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何 背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运 算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我 们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 研究对象： 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹 角等几何问题
充分利用向量这个工具来解决
2 cos
u ur
2
（1）θ为何值时，| F 1 最| 小，最小值是多少？
答：在上式ur 中，当θ =0º时，
c
o
s
2
最大，|
u ur F1
最| 小
且等于 | G | .
2
u ur
ur
（2）| F 1 | 能等于 | G | 吗？为什么？
答：在上式中，当
cos
2
1 2
,
uur ur
| F1 ||G|
即θ=120º时，
生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.
《平面向量应用举例》高一年级下册PPT课件
第二章 平面向量
[解析] 以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标
系．
∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)， 则A→C＝(3，－4)． ∵点 M 是边 AC 上靠近点 A 的一个三等分点， ∴A→M＝31A→C＝(1，－43)，
8
∴M(4，3)，
第二章 平面向量
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线 段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a· b＝0(或 x1x2＋y1y2＝0)
_______________________________.
a· b cosθ＝|a ||b|
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式________________.
第二章 平面向量
∴B→M＝(4，8)．
3
假设在 BM 上存在点 P 使得 PC⊥BM， 设B→P＝λB→M，且 0<λ<1， 即B→P＝λB→M＝λ(4，83)＝(4λ，83λ)， ∴C→P＝C→B＋B→P＝(－6,0)＋(4λ，83λ)＝(4λ－6，83λ)． ∵PC⊥BM，∴C→P· B→M＝0，
第二章 平面向量
[解析] A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j， (1)F1所做的功 W1＝F1· s＝F1· A→B ＝(i＋j)· (－13i－15j)＝－28； F2 所做的功 W2＝F2· s＝F2· A→B ＝(4i－5j)· (－13i－15j)＝23. (2)因为 F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 所做的功 W＝F· s＝F· A→B ＝(5i－4j)· (－13i－15j)＝－5.
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
高考数学 第四章 第四节平面向量应用举例课件 理
①若 AB∥AC ，则三点A、B、C共线.
()
②在△ABC中，若 AB BC＜0，则△ABC为钝角三角形. ( )
③在△ABC中，若 AB BC =0，则△ABBCD中，边AB与CD为对边，若 AB DC ，则此四边
形为平行四边形.
()
【解析】①因 AB、A共C始点A，且 A，B∥故AC①正确； ②∵ AB BC＜0 ∴BA∠B B为C＞锐0，角，不能判断△ABC的形 状，故②不正确； ③∵ AB BC 0 ∴A∠BB为B直C,角，故③正确； ④∵ AB ,∴DACB DC,故④正确. 答案：①√ ②× ③√ ④√
【解析】(1)如图所示.
|F1|=|F|cos60°=10×
1=5(N).
2
(2)F1=(2,3),F2=(3,1)，
∴合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),
∴合力的大小为 52 42 41 N.
答案：(1)5N (2) (54，1 4)
热点考向 1 向量在平面几何中的应用 【方法点睛】
22
4
而0≤k≤1，故2≤ AM≤ A5N.
答案：［2,5］
【变式训练】已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB 边上任意一点，则 CP (BA BC) 的最大值为_________. 【解析】方法一：(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系 如图，设P点坐标为(x,y)且0≤y≤3,0≤x≤4,则
第四节 平面向量应用举例
1.向量在平面几何中的应用 (1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长 度、夹角等问题.
(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧
人教课标版高中数学必修4《平面向量应用举例》名师课件
1 2
b)．
因此n(a＋b)＝
1 2
b＋m(a－
1b)，
2
即(n－m)a＋(n＋ m 1 )b＝0．
2
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
nm0
由解于 得向n＝量ma＝、13b不．共所线以，AR要＝使13上A式C ．为0，必须n
m 1 2
0
同理 TC
＝1
3
AC ．于是 RT
＝1
3
AC
．
所以AR＝RT＝TC．
例3．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°， 作AE⊥BD交BC于E，求 BE 的值．
EC
【解题过程】
方法一：(基向量法)
设 BA ＝a，BC＝b，|a|＝1，|b|＝2．
a·b＝|a||b|cos 60°＝1，BD ＝a＋b．
设BE ＝λBC ＝λb，则 AE ＝BE － BA＝λb－a．
4
即
，得m＝
4 5
，∴
BE EC
5 6
2 3
．
5
【思路点拨】利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是
选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，
求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得
几何命题的证明．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
知识梳理
（1）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系．
（2）利用向量解决物理问题的基本步骤:①问题转化，即把物理问题 转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把 所得的数学结论回归到物理问题．
平面向量应用举例课件
充分利用向量这个工具来解决
主页
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 如图， 型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两 条邻边长度之间的关系吗？ 条邻边长度之间的关系吗？ uuur uuur uuur uuur uuur uuur DB = AB − AD, AC = AB + AD, 猜想： 猜想： 1.长方形对角线的长度 1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系？ 何关系？ 2.类比猜想， 2.类比猜想，平行四边 类比猜想 形有相似关系吗？ 形有相似关系吗？
A B
发现： 发现：平行四边形两条对角线 的平方和等于两条邻边平方和 的两倍。 的两倍。
主页
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基 本思路吗？ 本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 建立平面几何与向量的联系， （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素， 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向 量问题； 量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 把运算结果“翻译”成几何关系。 用基底表示
∴ n n − + m m = 0 − 1 = 2
D E R
F T B
C
0A
1 解 得 ： n= m = 3
uuur 1 uuur uuu 1 uuur r uuur 1 uuur 所 以 AR = AC , 同 理 TC = AC , 于 是 RT = AC 3 3 3
第4讲 平面向量的应用概论
＝(－N→P)2－N→F2＝N→P2－1， 故P→E·P→F的最小值为 12－4 3.
变式训练 3 已知圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝4 及点 A(1,1)，M 是圆 C 上 的任意一点，点 N 在线段 MA 的延长线上，且M→A＝2A→N，求点 N 的
的垂线，垂足为点 A，且与另一条渐近线交于点 B，若F→B＝
2F→A，则此双曲线的离心率为( D )
A. 2
B. 3
C. 5
D．2
设∠FOA＝α，∵OA⊥FB，且F→B＝2F→A，∴OA 为 FB 的中垂 线，对称性得 α=600， (ba)2＝3，∴c2－a2a2＝3，∴e＝ac＝2.
题型一 应用平面向量的几何意义解 【例 1】 题平面上的两个向量O→A，O→B满足|O→A|＝a，|O→B|＝b，
AB = 5，则AC CB (....A.....)A. 5 , B. 5 ,C.0, D. 5 3 .
22
2
4、a、b为非零向量，“a b”是“函数f (x) (xa b) (xb a)
为一次函数”的（ B ）条件
A.充分不必要, B.必要不充分,C.充分必要, D.既不充分也不必要.
5、过双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的一个焦点 F 作一条渐近线
第4讲 平面向量的应用
1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积
解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角
等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定
理：a∥b⇔_a__＝__λ_b_(_b_≠__0_)__⇔___x_1_y_2_－___x__2_y_1_＝___0.
平面向量应用举例ppt
xx年xx月xx日
平面向量应用举例ppt
平面向量的基础知识平面向量在几何中的应用平面向量在物理中的应用平面向量在解析几何中的应用平面向量的实际应用举例平面向量的发展前景与研究方向
contents
目录
01
平面向量的基础知识
平面向量的定义
带有方向和大小的量
平面向量
零向量
单位向量
相等向量
长度为0的向量
要点三
平面向量在经济学中的应用
总结词
向量在经济学中可以用于描述经济指标之间的关系和趋势。
向量在生产函数中的应用
生产函数是经济学中的一个重要概念，它可以用向量来表示各种生产要素之间的比例关系。
向量在投入产出分析中的应用
投入产出分析是经济学中用于研究各部门之间相互依存关系的方法，可以用向量来表示不同部门之间的相互影响。
2
3
直线方向向量是直线上任意两点坐标差的向量，因此可用向量表示直线方向。
直线方向向量的表示
直线距离向量可以用两个点之间的距离表示，从而用于计算点到直线的距离。
直线距离向量的表示
曲线每一点的切向量是该点处曲线切线的方向向量，而法向量则是垂直于切向量的向量。
曲线切向量和法向量的表示
03
向量夹角的求解
两个向量夹角的求解可以用两个向量的点积除以两个向量的模长乘积得到。
总结词
向量在几何形状分析中的应用
向量可以用有向线段表示，具有方向和大小两个属性，可以用来表示物体的位置和运动
向量的几何意义
向量可以表示直线和平面，用向量表示直线可借助其方向和长度来刻画直线的基本性质；用向量表示平面可借助其法向量和到平面的距离来刻画平面的基本性质
向量在解析几何中的应用
第四章 平面向量 4.4 平面向量应用举例
[方法与技巧]1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． [失误与防范]1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价． 2．注意向量共线和两直线平行的关系．3．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况．典例 已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω， φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6解析 由E 为该函数图象的一个对称中心，作点C 的对称点为M ，作MF ⊥x 轴，垂足为F ，如图．B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12.又A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象可以看作是由y ＝sin ωx 的图象向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.答案 A温馨提醒 对于在图形中给出解题信息的题目，要抓住图形的特点，通过图形的对称性、周期性以及图形中点的位置关系提炼条件，尽快建立图形和欲求结论间的联系．题型一 向量在平面几何中的应用例1 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心答案 C解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC的________________________________________________________________________． 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．思维升华 解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．(1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE→＝1，则AB ＝________.(2)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．菱形答案 (1)12(2)D解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒平面四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0⇒DB →⊥AC →，所以平行四边形ABCD 是菱形． 题型二 向量在解析几何中的应用例2 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx＝________. 答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)±3解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.思维升华 向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12 答案 B解析 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，圆M (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，∵CM ＝5＞2＋1，故两圆相离．如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点，则PE →·PF →最小值是HE →·HF →，HC ＝CM －1＝5－1＝4，HE ＝HC 2－CE 2＝16－4＝23， sin ∠CHE ＝CE CH ＝12，∴cos ∠EHF ＝cos 2∠CHE ＝1－2sin 2∠CHE ＝12，HE →·HF →＝|HE →|·|HF →|cos ∠EHF ＝23×23×12＝6，故选B.题型三 向量的综合应用例3 (1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( ) A ．1 B.13C.14D.18(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．答案 (1)D (2)3 解析 (1)因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18，故选D.(2)由图象可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．(1)设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|·cos B ＋AC →|AC →|·cos C ，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹经过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心(2)已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 答案 (1)D (2)3解析 (1)∵BC →·⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝－|BC →|＋|BC →|＝0，∴BC →与λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C 垂直． ∵OP →＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， ∴点P 在BC 的高线上，即点P 的轨迹过△ABC 的垂心． (2)∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，OQ →＝(2,3)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，OQ →·OP →＝2x ＋3y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识得，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第4讲 平面向量应用举例
一、选择题
1．△ABC 的三个内角成等差数列，且(AB →
＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( )． A ．等腰直角三角形
B ．非等腰直角三角形
C ．等边三角形
D ．钝角三角形
解析 △ABC 中BC 边的中线又是BC 边的高，故△ABC 为等腰三角形，又A ，B ，C 成等差数列，故B ＝π3
.
答案 C
2. 半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则(PA →＋PB →)·PC →的值是( )
A ．－2
B ．－1
C ．2
D ．无法确定，与C 点位置有关
解析 (PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2.
答案 A
3. 函数y ＝tan π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB
→＝ ( )． A ．4
B ．6
C ．1
D ．2
解析 由条件可得B (3,1)，A (2,0)，
∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB
→－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6.
答案 B
4．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则
AE →·AF →＝( )． A.53 B.54 C.109 D.158 解析 法一 依题意，不妨设BE →＝12
E C →，B
F →＝2FC →， 则有AE →－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13
AC →； AF →－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23
AC →. 所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭
⎪⎫13AB →＋23AC → ＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC
→) ＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC
→) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，选A.
法二 由∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1可得∠ACB
＝90°，
如图建立直角坐标系，则A (0,1)，E ⎝
⎛⎭⎪⎫－233，0，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－33，0， ∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－1＝⎝
⎛⎭⎪⎫－233·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋(－1)·(－1)＝23＋1＝53，选A.
答案 A
5．如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，
N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →
，则x ·y x ＋y
的值为( )．
A ．3 B.13 C ．2 D.12
解析 (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ·y x ＋y
＝13
. 答案 B 6．△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA
→＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB
→方向上的投影为 ( )． A ．1 B ．2 C. 3 D ．3
解析 如图，由题意可设D 为BC 的中点，
由OA →＋AB →＋AC →＝0，得OA →＋2AD →＝0，即AO
→＝2AD
→，∴A ，O ，D 共线且|AO →|＝2|AD →|，又O 为△ABC 的外心，
∴AO 为BC 的中垂线，
∴|AC
→|＝|AB →|＝|OA →|＝2，|AD →|＝1， ∴|CD
→|＝3，∴CA →在CB →方向上的投影为 3. 答案 C
二、填空题
7. △ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．
解析 ∵AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1，∴－x ≥－1， ∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，∴y ≥2.
∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝2y －x ≥3.
答案 3
8．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3
.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为
________．
解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a ·b ＝4|a ||b |cos π3
＝4＞0， ∴|a ＋b |＞|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3，∴|a －b |＝ 3. 答案 3
9．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为________． 解析 若a ⊥b ，则4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.
9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥2×32x ＋y ＝2×32＝6.
当且仅当x ＝12，y ＝1时取得最小值．
答案 6
10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则
a 与
b 的夹角范围为________．
解析 由题意得：f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b 必有可变号零点，即Δ＝|a |2－4a ·b >0，
即4|b |2－8|b |2cos 〈a ，b 〉>0，即－1≤cos 〈a ，b 〉<12.所以a 与b 的夹角范围
为⎝ ⎛⎦
⎥⎤π3，π. 答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤π3，π。