平面向量应用举例
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量是解决空间内几何问题的重要工具之一，具有广泛的应用。
它们可以用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量，帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍平面向量的应用，包括力的作用、力的分解、面积计算以及平衡条件等方面。
1. 力的作用平面向量可以用来描述力的作用。
在物体上施加力可以使其发生位移。
假设有两个力F1和F2作用在物体上，它们的大小和方向可以用平面向量表示。
若这两个力的向量分别为A和B，它们的合力可以表示为A + B。
通过求解合力向量的大小和方向，可以确定物体所受的合力。
2. 力的分解平面向量还可以用来对力进行分解。
在力的分析中，我们常常需要将一个力分解为两个或多个分力，以便更好地理解和研究物体受力情况。
将一个力F进行分解，可以得到两个力F1和F2，它们的合力等于F。
通过适当地选择分解方向和大小，可以使得问题的处理更加简单。
3. 面积计算平面向量可以用来计算平面上的面积。
设有三个非共线的向量A、B和C，它们的起点相同，可以构成一个三角形。
这个三角形的面积可以用向量的叉乘来计算，即：面积 = 1/2 * |A × B|其中，|A × B|表示叉乘的模。
通过面积计算公式，我们可以快速准确地计算出平面上各种形状的面积，如矩形、梯形、圆等。
4. 平衡条件平面向量还可以应用于力系统的平衡条件。
对于一个物体受到多个力的作用，若物体保持平衡，则所有作用力的合力必须为零。
可以将每个力表示为一个平面向量，然后将它们相加得到合力向量。
若合力向量为零，则说明物体处于平衡状态。
在实际问题中，通过平面向量的分析和计算，可以解决许多与平面运动、平衡、受力分析等相关的问题。
例如，在建筑物的结构设计中，我们可以利用平面向量对各个支点受力进行分析，保证建筑物结构的稳定性。
总结平面向量的应用广泛且重要，它们可以用于描述力的作用、力的分解、面积计算以及平衡条件的分析等方面。
通过适当地选择和计算向量，可以解决各种实际问题，并提高问题处理的准确性和效率。
《平面向量应用举例》高一年级下册PPT课件
第二章 平面向量
[解析] 以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标
系．
∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)， 则A→C＝(3，－4)． ∵点 M 是边 AC 上靠近点 A 的一个三等分点， ∴A→M＝31A→C＝(1，－43)，
8
∴M(4，3)，
第二章 平面向量
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线 段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a· b＝0(或 x1x2＋y1y2＝0)
_______________________________.
a· b cosθ＝|a ||b|
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式________________.
第二章 平面向量
∴B→M＝(4，8)．
3
假设在 BM 上存在点 P 使得 PC⊥BM， 设B→P＝λB→M，且 0<λ<1， 即B→P＝λB→M＝λ(4，83)＝(4λ，83λ)， ∴C→P＝C→B＋B→P＝(－6,0)＋(4λ，83λ)＝(4λ－6，83λ)． ∵PC⊥BM，∴C→P· B→M＝0，
第二章 平面向量
[解析] A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j， (1)F1所做的功 W1＝F1· s＝F1· A→B ＝(i＋j)· (－13i－15j)＝－28； F2 所做的功 W2＝F2· s＝F2· A→B ＝(4i－5j)· (－13i－15j)＝23. (2)因为 F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 所做的功 W＝F· s＝F· A→B ＝(5i－4j)· (－13i－15j)＝－5.
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。
证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。
图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。
∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。
∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。
又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
绿色通道：1。
向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。
初中数学知识归纳平面向量的应用
初中数学知识归纳平面向量的应用初中数学知识归纳:平面向量的应用平面向量是初中数学中重要的概念之一，其应用领域非常广泛。
在本文中，我们将归纳总结平面向量的应用，并且探讨其在几何、物理和经济等领域中的具体应用。
一、平面向量在几何中的应用1. 平移变换：平面向量的加法运算可以用于描述平移变换。
假设有一个向量a表示某个点的位置，通过向量b可以将该点平移至另一个位置，新的位置可以表示为a+b。
平移变换在几何图形的移动和构造中有着重要的应用，例如平行四边形的构造、图形的镜像等。
2. 向量共线与线性组合：通过向量的共线性来判断线段的相似性和平面的共面性。
如果两个向量a和b共线，则可以表示为a=kb，其中k 为一个实数。
此外，通过向量的线性组合可以方便地表示平面内的任意一点。
这种方法在平面几何证明和计算中经常被使用。
3. 矢量运算：平面向量的乘法运算包括数量积和向量积。
数量积可以用于计算两个向量的夹角，通过计算a·b=|a||b|cosθ来得到。
而向量积则用于计算两个向量的面积，通过计算a×b=|a||b|sinθ来得到。
这些矢量运算在几何中常常用于求解角度、判断垂直、计算面积等问题。
二、平面向量在物理中的应用1. 力的合成与分解：平面向量可以用于描述物体所受到的力的合成与分解。
当一个物体受到多个力的作用时，可以将这些力的大小和方向表示为向量，并利用向量的运算求得它们的合力。
相反地，可以将一个力向量分解为多个力向量的和，以便更好地分析物体所受到的力的效果。
2. 平衡力与力的平衡：平面向量的概念在力的平衡问题中有着重要的应用。
当物体所受到的合力为零时，物体处于平衡状态。
利用平面向量，我们可以方便地求解力的平衡条件，并解决各种力的平衡问题。
3. 速度与加速度：平面向量可以用于描述物体的速度和加速度。
速度可以表示为物体位置矢量随时间的变化率，即v=d/dt[r(t)]，其中r(t)为位置矢量。
利用平面向量的运算可以方便地计算物体的速度和加速度，并解决相关的运动学问题。
平面向量应用举例
① ② ③
B F
a
P
E
b
D
c
C
利用向量的线性运算证明共线、平行、长度等问题
探究： 已知直角三角形的两直角边长为4和 6，试用向量方法求两直角边中线所成钝 角的余弦值。 y
B
B (0,6)
C
C (0,3) O A x (4,0)
O
Hale Waihona Puke DAD (2,0)
探究： 用向量方法证明：等腰三角形底边 上的中线垂直于底边.
已知等腰直角三角形ABC,D为BC边上的 中点.
设M 、N 分别是四边形ABCD对边AB、CD的中点， 1 求证： MN ( AD BC ). 2
例1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、 CD的中点，求 cos EAF的值.
例1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、 CD的中点，求 cos EAF的值.
例2.已知直角梯形ABCD中，AB//CD，CDA=DAB=90 , 1 CD DA AB, 求证：AC BC. 2
o
向量在几何中的应用（三部曲）：
用基底表示
向量运算
翻译几何结果
建立坐标系
坐标运算
翻译几何结果
O 为中线 AM 上的一个动点，若 在 ABC 中， AM =2，求 OA (OB OC) 的最小值
已知:如图，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角 求证： ∠ABC=90°
B O A
图 2.5-4
C
利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题
向量是一个有利的“工具”
用向量法证明三角形三条高交于一点.
如图：AD、BE、CF是 ABC的三条高. 求证：AD、BE、CF 相交于一点.
平面向量的应用向量的投影与反射
平面向量的应用向量的投影与反射平面向量的应用：向量的投影与反射在数学中，向量是用来描述方向和大小的量。
平面向量是二维空间中的向量，广泛应用于各个领域，包括物理、工程和计算机科学等。
本文将重点介绍平面向量的应用之一：向量的投影与反射。
一、向量的投影向量的投影是指将一个向量在另一个向量方向上的分量。
在平面向量中，投影可以用于求解某个向量在另一个向量上的分解，从而简化计算过程。
设有两个非零向量a和b，我们将向量a在向量b上的投影表示为proj<sub>b</sub>a。
1. 向量的投影定义设向量a和b不平行，向量a在向量b上的投影proj<sub>b</sub>a 的大小为a在b方向上的分量，方向与b相同。
可以用下列公式来计算向量的投影：proj<sub>b</sub>a = (a·b / |b|²) * b其中，a·b表示向量a和b的点积，|b|表示向量b的长度。
投影的计算结果是一个向量，其大小为标量a·b与b长度的比例，方向与向量b 相同。
2. 向量的投影应用向量的投影在实际问题中有广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以将一个力的大小和方向表示为一个力向量。
在求解斜面上物体的自由体图时，我们可以将物体的重力向量进行投影，分解为沿斜面方向和垂直斜面方向的分量，以便更好地分析问题。
二、向量的反射向量的反射是指一个向量在另一个向量上的镜像反射。
通过向量的反射，我们可以研究光线的传播和折射等现象。
1. 向量的反射定义设向量a和b不平行，向量a关于向量b的反射表示为reflect<sub>b</sub>a。
向量a关于向量b的反射可以通过以下公式计算：reflect<sub>b</sub>a = a - 2 * proj<sub>b</sub>a其中，proj<sub>b</sub>a表示向量a在向量b上的投影。
2.5.1平面向量应用举例三道
3
故AT=RT=TC
练习1、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
C
a
b
O
B
解：设 AO a, OC b
则
AC a b, CB a， b
2
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
例2 如图，平行四边形 ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点， 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
猜想：
D
F T
C
AR=RT=TC
A
E
R
B
解：设 AB a , AD b 则 AC a b 由于 AR 与AC 共线，故设 AR r n(a b) , n R 又因为 ER与 EB 共线，
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
D E R
F T B
C
因为 AR AE ER
1 1 所以 r 1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
AB 2 BC 2 CD2 DA2 2( a b )
AC BD a b
向量在生活中的应用159661[整理版]
![向量在生活中的应用159661[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/a5aa2e3e657d27284b73f242336c1eb91a373366.png)
向量在生活中的应用159661在生活中向量也有一些具体表现形式，有关的问题也可以充分利用向量求解.应用问题的解决主要是建立数学模型.用向量、三角、解析几何之间的特殊关系，将生活与数学知识之间进行沟通，使动静转换充实到解题过程之中。
一、平面向量在位移与速度上的应用例1 以某市人民广场的中心为原点建立直角坐标系,x轴指向东,y轴指向北一个单位表示实际路程100米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,始终沿一个方向均速前进,6分钟时路过少年宫C,10分钟后到达科技馆B(-3,5).求：此人的位移向量(说明此人位移的距离和方向);此人行走的速度向量(用坐标表示);少年宫C点相对于广场中心所处的位置.(下列数据供选用:tan18°24?＝0.3327,tan18°26?= 13 ,tan2?＝0.0006)分析：⑴AB的坐标等于它终点的坐标减去起点的坐标,代入A,B坐标可求；⑵习惯上单位取百米/小时，故需先将时间换成小时。
而速度等于位移除以时间，由三角知识可求出坐标表示的速度向量。
⑶通过向量的坐标运算及三角函数公式求解。
解：⑴ AB＝(－3,5)－(2,0)＝(－5,5)，|AB|＝(-5)2+52＝52，∠xOB＝135°⑵t＝10分＝ 16 小时，|V|＝ |AB|t ＝302∴Vx＝|V|cos135°＝－30，Vy＝|V|sin135°＝30，∴V＝(－30,30)⑶∵AC＝ 610 AB，∴OC＝OA＋ 35 AB＝(2,0)＋ 35 (－5,5)＝(－1,3)∴|OC|＝10，又tan(18°24?＋2?)＝0.3327+0.00061-0.3327×0.0006 ＝ 13而tan∠COy＝ 13 ，∴∠COy＝arctan 13 ＝18°26?。
∴少年宫C点相对于广场中心所处的位置为“北偏西18°26?，10百米”处。
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教材整理 2 向量在物理中的应用
阅读教材 P111 例 3 至 P112 例 4 以上内容，完成下列问题． 1．物理问题中常见的向量有_力__，__速__度__，__加__速__度__，__位__移____等． 2．向量的加减法运算体现在_力__，__速__度__，__加__速__度__，__位__移__的__合__成__与__分__解___．
【解】 设 P(x，y)，R(x0，y0)， 则R→A＝(1，0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)， A→P＝(x，y)－(1，0)＝(x－1，y)．
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由R→A＝2A→P，得1－－y0x＝0＝22y，（x－1），
又∵点 R 在直线 l：y＝2x－6 上，∴y0＝2x0－6，
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所以摩擦力的大小为 |f|＝|μFN|＝0.02×55＝1.1(N)． 又 f 与 s 反向， 所以 f·s＝|f|·|s|cos 180° ＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． 即 F 与 f 所做的功分别是 500 3 J 与－22 J.
∴16－ －x20x＝0＝2x2－y，2，②
①
由①得 x0＝3－2x，代入②得 6－2(3－2x)＝2y，整理得 y＝2x，即为点 P 的
轨迹方程．
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向量在物理中的应用
(1)一个质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用
而处于平衡状态，已知 F1，F2 成 60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝( )
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[再练一题]
1．如图 2－5－2 所示，若 D 是△ABC 内的一点，且 AB2－AC2＝DB2－DC2，
求证：AD⊥BC．
【导学号：00680060】
图 2－5－2
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【证明】 设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝e，D→B＝c，D→C＝d，则 a＝e＋c，b＝e＋d， ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2 ＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由已知 a2－b2＝c2－d2， ∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即 e·(c－d)＝0. ∵B→C＝B→D＋D→C＝d－c， ∴A→D·B→C＝e·(d－c)＝0，
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【解】 设木块的位移为 s，则：
W＝F·s＝|F|·|s|cos
30°＝50×20×
3 2
＝500 3(J)．
因为 F 在竖直方向上的分力的大小为
|F1|＝|F|·sin 30°＝50×12＝25(N)，
所以物体所受的支持力的大小为
|FN|＝|mg|－|F1|＝8×10－25＝55(N)．
4)＋3×3＝1. 【答案】 1
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
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[小组合作型] 向量在平面几何中的应用
如图 2－5－1，在正三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 上的一
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向量在物理中的应用： (1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和 的平行四边形法则求解． (2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示； ②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题．
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【自主解答】 设所求直线上任意一点 P(x，y)， ∵A(－2，1)，∴A→P＝(x＋2，y－1)． (1)由题意知A→P∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0， 即 x－3y＋5＝0， ∴所求直线方程为 x－3y＋5＝0. (2)由题意，知A→P⊥b， ∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0， 即 x－2y＋4＝0， ∴所求直线方程为 x－2y＋4＝0.
A．6
B．2
C．2 3
D．2 7
(2)某人骑车以每小时 a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而
当速度为每小时 2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向． 【精彩点拨】 (1)可利用 F1＋F2＋F3＝0 分离 F3 得 F3＝－F1－F2，平方
可求|F3|.
(2)用相关向量表示行驶速度与风速，可利用三角形法则求解．
∴A→D⊥B→C，即 AD⊥BC．
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向量在解析几何中的应用
过点 A(－2，1)，求： (1)与向量 a＝(3，1)平行的直线方程； (2)与向量 b＝(－1，2)垂直的直线方程． 【精彩点拨】 在直线上任取一点 P(x，y)，则A→P＝(x＋2，y－1)，由A→P∥ a 可以得(1)，由A→P⊥b 可以得(2)．
由向量垂直的条件知，BP⊥DC．
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目标线段的垂直转化为向量的数量积为 零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的 数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量B→P，C→D由基底B→A，B→C线性表示．当 然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知．
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两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质点从点 A(20， 15)移动到点 B(7，0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)．
求(1)F1，F2 分别对该质点做的功； (2)F1，F2 的合力 F 对该质点做的功．
【精彩点拨】 向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问 题转化为求向量的数量积的问题．
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【自主解答】 (1)因为物体处于平衡状态，所以 F1＋F2＋F3＝0，所以 F3 ＝－(F1＋F2)，所以|F3|＝|F1＋F2|
＝ （F1＋F2）2 ＝ |F1|2＋|F2|2＋2F1·F2 ＝ 4＋16＋2×2×4×12＝2 7.
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【答案】 D (2)设 a 表示此人以每小时 a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到 风速为－a，设实际风速为 v，那么此时人感到的风速为 v－a，设O→A＝－a，O→B ＝－2a，P→O＝v，因为P→O＋O→A＝P→A，
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所以P→A＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为P→O＋O→B＝P→B，所以P→B＝v－2a. 于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 → PB. 由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB 为等腰直角三 角形，所以 PO＝PB＝ 2a，即|v|＝ 2a，所以实际风速是每小时 2a 千米的西 北风．
[再练一题] 3．在静水中划船速度的大小是每分钟 40 m，水流速度的大小是每分钟 20 m，如果一小船从岸边 O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的 行进方向应指向哪里？ 【解】 如图所示，
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设向量O→A的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量O→B的长度和方 向表示船在静水中速度的大小和方向，以O→A，O→B为邻边作平行四边形 OACB，
个三等分点，且 AE、CD 交于点 P，求证：BP⊥DC．
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图 2－5－1
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【精彩点拨】 先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积．
【自主解答】 设P→D＝λC→D，并设正三角形 ABC 的边长为 a，则有：C→D＝ 23B→A－B→C，
P→A＝P→D＋D→A＝λC→D＋13B→A＝λ23B→A－B→C＋13B→A＝13(2λ＋1)B→A－λB→C. 又E→A＝B→A－13B→C，P→A∥E→A，
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1．求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用 向量法求解．
2．如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所做的功 W＝|F||s|cos
θ，其中 θ 是 F 与 s 的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力
与位移的数量积．
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教材整理 1 平面几何中的向量方法
阅读教材 P109～P110 例 2 以上内容，完成下列问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用__向__量___表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为__向__量___问题； (2)通过___向__量__运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把___运__算__结__果_____“翻译”成几何关系．
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【自主解答】 A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j. (1)F1 做的功 W1＝F1·s＝F1·A→B ＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28 J. F2 做的功 W2＝F2·s＝F2·A→B ＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23 J. (2)F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 做的功 W＝F·s＝F·A→B＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5 J.
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探究 2 用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？
【提示】 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量 为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问 题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．