平面向量应用举例
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∴A→D⊥B→C，即 AD⊥BC．
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向量在解析几何中的应用
过点 A(－2，1)，求： (1)与向量 a＝(3，1)平行的直线方程； (2)与向量 b＝(－1，2)垂直的直线方程． 【精彩点拨】 在直线上任取一点 P(x，y)，则A→P＝(x＋2，y－1)，由A→P∥ a 可以得(1)，由A→P⊥b 可以得(2)．
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1．求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用 向量法求解．
2．如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所做的功 W＝|F||s|cos
θ，其中 θ 是 F 与 s 的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力
与位移的数量积．
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[再练一题]
1．如图 2－5－2 所示，若 D 是△ABC 内的一点，且 AB2－AC2＝DB2－DC2，
求证：AD⊥BC．
【导学号：00680060】
图 2－5－2
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【证明】 设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝e，D→B＝c，D→C＝d，则 a＝e＋c，b＝e＋d， ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2 ＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由已知 a2－b2＝c2－d2， ∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即 e·(c－d)＝0. ∵B→C＝B→D＋D→C＝d－c， ∴A→D·B→C＝e·(d－c)＝0，
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【自主解答】 设所求直线上任意一点 P(x，y)， ∵A(－2，1)，∴A→P＝(x＋2，y－1)． (1)由题意知A→P∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0， 即 x－3y＋5＝0， ∴所求直线方程为 x－3y＋5＝0. (2)由题意，知A→P⊥b， ∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0， 即 x－2y＋4＝0， ∴所求直线方程为 x－2y＋4＝0.
由向量垂直的条件知，BP⊥DC．
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垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为 零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的 数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量B→P，C→D由基底B→A，B→C线性表示．当 然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知．
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两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质点从点 A(20， 15)移动到点 B(7，0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)．
求(1)F1，F2 分别对该质点做的功； (2)F1，F2 的合力 F 对该质点做的功．
【精彩点拨】 向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问 题转化为求向量的数量积的问题．
[再练一题] 3．在静水中划船速度的大小是每分钟 40 m，水流速度的大小是每分钟 20 m，如果一小船从岸边 O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的 行进方向应指向哪里？ 【解】 如图所示，
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设向量O→A的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量O→B的长度和方 向表示船在静水中速度的大小和方向，以O→A，O→B为邻边作平行四边形 OACB，
个三等分点，且 AE、CD 交于点 P，求证：BP⊥DC．
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图 2－5－1
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【精彩点拨】 先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积．
【自主解答】 设P→D＝λC→D，并设正三角形 ABC 的边长为 a，则有：C→D＝ 23B→A－B→C，
P→A＝P→D＋D→A＝λC→D＋13B→A＝λ23B→A－B→C＋13B→A＝13(2λ＋1)B→A－λB→C. 又E→A＝B→A－13B→C，P→A∥E→A，
连接 OC．
依题意 OC⊥OA，BC＝OA＝20，OB＝40， ∴∠BOC＝30°. 故船应向上游(左)与河岸夹角为 60°的方向行进．
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[探究共研型]
向量的数量积在物理中的应用 探究 1 向量的数量积与功有什么联系？ 【提示】 物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移 距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
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∴13(2λ＋1)B→A－λB→C＝kB→A－13kB→C，
于是有13λ（＝2λ13＋k，1）＝k，解得λk＝＝37，17，
∴P→D＝17C→D，∴B→P＝B→D＋D→P＝17B→C＋47B→A， 从而B→P·C→D＝17B→C＋47B→A·23B→A－B→C＝281a2－17a2－1201a2cos 60°＝0.
4)＋3×3＝1. 【答案】 1
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
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[小组合作型] 向量在平面几何中的应用
如图 2－5－1，在正三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 上的一
3．动量 mv 是向量的__数__乘___运算． 4．功是__力__F___与_____所__产__生__的__位__移__s ___的数量积．
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已知力 F＝(2，3)作用在一物体上，使物体从 A(2，0)移动到 B(－2，3)，则
F 对物体所做的功为________焦耳． 【解析】 由已知位移A→B＝(－4，3)，∴力 F 做的功为 W＝F·A→B＝2×(－
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教材整理 2 向量在物理中的应用
阅读教材 P111 例 3 至 P112 例 4 以上内容，完成下列问题． 1．物理问题中常见的向量有_力__，__速__度__，__加__速__度__，__位__移____等． 2．向量的加减法运算体现在_力__，__速__度__，__加__速__度__，__位__移__的__合__成__与__分__解___．
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所以摩擦力的大小为 |f|＝|μFN|＝0.02×55＝1.1(N)． 又 f 与 s 反向， 所以 f·s＝|f|·|s|cos 180° ＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． 即 F 与 f 所做的功分别是 500 3 J 与－22 J.
教材整理 1 平面几何中的向量方法
阅读教材 P109～P110 例 2 以上内容，完成下列问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用__向__量___表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为__向__量___问题； (2)通过___向__量__运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把___运__算__结__果_____“翻译”成几何关系．
【解】 设 P(x，y)，R(x0，y0)， 则R→A＝(1，0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)， A→P＝(x，y)－(1，0)＝(x－1，y)．
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由R→A＝2A→P，得1－－y0x＝0＝22y，（x－1），
又∵点 R 在直线 l：y＝2x－6 上，∴y0＝2x0－6，
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[再练一题] 4．如图 2－5－3 所示，已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向上)，大小 为 50 N，一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数 μ＝0.02 的水平面 上运动了 20 m，则力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少？(|g|＝10 m/s2)
图 2－5－3
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【自主解答】 A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j. (1)F1 做的功 W1＝F1·s＝F1·A→B ＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28 J. F2 做的功 W2＝F2·s＝F2·A→B ＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23 J. (2)F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 做的功 W＝F·s＝F·A→B＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5 J.
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向量在物理中的应用： (1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和 的平行四边形法则求解． (2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示； ②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题．
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【解】 设木块的位移为 s，则：
W＝F·s＝|F|·|s|cos
30°＝50×20×
3 2
＝500 3(J)．
因为 F 在竖直方向上的分力的大小为
|F1|＝|F|·sin 30°＝50×12＝25(N)，
所以物体所受的支持力的大小为
|FN|＝|mg|－|F1|＝8×10－25＝55(N)．
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探究 2 用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？
【提示】 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量 为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问 题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．
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所以P→A＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为P→O＋O→B＝P→B，所以P→B＝v－2a. 于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 → PB. 由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB 为等腰直角三 角形，所以 PO＝PB＝ 2a，即|v|＝ 2a，所以实际风速是每小时 2a 千米的西 北风．
阶
阶
段 一
2.5 平面向量应用举例
段 三
2.5.1 平面几何中的向量方法
学
阶
2.5.2 向量在物理中的应用举例
业 分
段
层
二
测
评
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1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重 点)
2．学会用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)
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[基础·初探]
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC 是直角三角形，则有A→B·B→C＝0.( ) (2)若A→B∥C→D，则直线 AB 与 CD 平行．( ) 【解析】 (1)错误．因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有 可能是∠A 或∠C 为直角． (2)错误．向量A→B∥C→D时，直线 AB∥CD 或 AB 与 CD 重合． 【答案】 (1)× (2)×
∴16－ －x20x＝0＝2x2－y，2，②
①
由①得 x0＝3－2x，代入②得 6－2(3－2x)＝2y，整理得 y＝2x，即为点 P 的
轨迹方程．
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向量在物理中的应用
(1)一个质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用
而处于平衡状态，已知 F1，F2 成 60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝( )
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【自主解答】 (1)因为物体处于平衡状态，所以 F1＋F2＋F3＝0，所以 F3 ＝－(F1＋F2)，所以|F3|＝|F1＋F2|
＝ （F1＋F2）2 ＝ |F1|2＋|F2|2＋2F1·F2 ＝ 4＋16＋2×2×4×12＝2 7.
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【答案】 D (2)设 a 表示此人以每小时 a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到 风速为－a，设实际风速为 v，那么此时人感到的风速为 v－a，设O→A＝－a，O→B ＝－2a，P→O＝v，因为P→O＋O→A＝P→A，
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1．本题求解的关键是在所求直线上任取一点 P(x，y)，从而得到向量A→P的 坐标．
2．用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量 用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原 为解析几何问题．
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[再练一题] 2．已知点 A(1，0)，直线 l：y＝2x－6，点 R 是直线 l 上的一点，若R→A＝2A→P， 求点 P 的轨迹方程．
A．6
B．2
C．2 3
D．2 7
(2)某人骑车以每小时 a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而
当速度为每小时 2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向． 【精彩点拨】 (1)可利用 F1＋F2＋F3＝0 分离 F3 得 F3＝－F1－F2，平方
可求|F3|.
(2)用相关向量表示行驶速度与风速，可利用三角形法则求解．
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向量在解析几何中的应用
过点 A(－2，1)，求： (1)与向量 a＝(3，1)平行的直线方程； (2)与向量 b＝(－1，2)垂直的直线方程． 【精彩点拨】 在直线上任取一点 P(x，y)，则A→P＝(x＋2，y－1)，由A→P∥ a 可以得(1)，由A→P⊥b 可以得(2)．
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1．求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用 向量法求解．
2．如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所做的功 W＝|F||s|cos
θ，其中 θ 是 F 与 s 的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力
与位移的数量积．
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[再练一题]
1．如图 2－5－2 所示，若 D 是△ABC 内的一点，且 AB2－AC2＝DB2－DC2，
求证：AD⊥BC．
【导学号：00680060】
图 2－5－2
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【证明】 设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝e，D→B＝c，D→C＝d，则 a＝e＋c，b＝e＋d， ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2 ＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由已知 a2－b2＝c2－d2， ∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即 e·(c－d)＝0. ∵B→C＝B→D＋D→C＝d－c， ∴A→D·B→C＝e·(d－c)＝0，
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【自主解答】 设所求直线上任意一点 P(x，y)， ∵A(－2，1)，∴A→P＝(x＋2，y－1)． (1)由题意知A→P∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0， 即 x－3y＋5＝0， ∴所求直线方程为 x－3y＋5＝0. (2)由题意，知A→P⊥b， ∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0， 即 x－2y＋4＝0， ∴所求直线方程为 x－2y＋4＝0.
由向量垂直的条件知，BP⊥DC．
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垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为 零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的 数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量B→P，C→D由基底B→A，B→C线性表示．当 然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知．
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两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质点从点 A(20， 15)移动到点 B(7，0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)．
求(1)F1，F2 分别对该质点做的功； (2)F1，F2 的合力 F 对该质点做的功．
【精彩点拨】 向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问 题转化为求向量的数量积的问题．
[再练一题] 3．在静水中划船速度的大小是每分钟 40 m，水流速度的大小是每分钟 20 m，如果一小船从岸边 O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的 行进方向应指向哪里？ 【解】 如图所示，
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设向量O→A的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量O→B的长度和方 向表示船在静水中速度的大小和方向，以O→A，O→B为邻边作平行四边形 OACB，
个三等分点，且 AE、CD 交于点 P，求证：BP⊥DC．
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图 2－5－1
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【精彩点拨】 先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积．
【自主解答】 设P→D＝λC→D，并设正三角形 ABC 的边长为 a，则有：C→D＝ 23B→A－B→C，
P→A＝P→D＋D→A＝λC→D＋13B→A＝λ23B→A－B→C＋13B→A＝13(2λ＋1)B→A－λB→C. 又E→A＝B→A－13B→C，P→A∥E→A，
连接 OC．
依题意 OC⊥OA，BC＝OA＝20，OB＝40， ∴∠BOC＝30°. 故船应向上游(左)与河岸夹角为 60°的方向行进．
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[探究共研型]
向量的数量积在物理中的应用 探究 1 向量的数量积与功有什么联系？ 【提示】 物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移 距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
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∴13(2λ＋1)B→A－λB→C＝kB→A－13kB→C，
于是有13λ（＝2λ13＋k，1）＝k，解得λk＝＝37，17，
∴P→D＝17C→D，∴B→P＝B→D＋D→P＝17B→C＋47B→A， 从而B→P·C→D＝17B→C＋47B→A·23B→A－B→C＝281a2－17a2－1201a2cos 60°＝0.
4)＋3×3＝1. 【答案】 1
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
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[小组合作型] 向量在平面几何中的应用
如图 2－5－1，在正三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 上的一
3．动量 mv 是向量的__数__乘___运算． 4．功是__力__F___与_____所__产__生__的__位__移__s ___的数量积．
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已知力 F＝(2，3)作用在一物体上，使物体从 A(2，0)移动到 B(－2，3)，则
F 对物体所做的功为________焦耳． 【解析】 由已知位移A→B＝(－4，3)，∴力 F 做的功为 W＝F·A→B＝2×(－
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教材整理 2 向量在物理中的应用
阅读教材 P111 例 3 至 P112 例 4 以上内容，完成下列问题． 1．物理问题中常见的向量有_力__，__速__度__，__加__速__度__，__位__移____等． 2．向量的加减法运算体现在_力__，__速__度__，__加__速__度__，__位__移__的__合__成__与__分__解___．
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所以摩擦力的大小为 |f|＝|μFN|＝0.02×55＝1.1(N)． 又 f 与 s 反向， 所以 f·s＝|f|·|s|cos 180° ＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． 即 F 与 f 所做的功分别是 500 3 J 与－22 J.
教材整理 1 平面几何中的向量方法
阅读教材 P109～P110 例 2 以上内容，完成下列问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用__向__量___表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为__向__量___问题； (2)通过___向__量__运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把___运__算__结__果_____“翻译”成几何关系．
【解】 设 P(x，y)，R(x0，y0)， 则R→A＝(1，0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)， A→P＝(x，y)－(1，0)＝(x－1，y)．
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由R→A＝2A→P，得1－－y0x＝0＝22y，（x－1），
又∵点 R 在直线 l：y＝2x－6 上，∴y0＝2x0－6，
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[再练一题] 4．如图 2－5－3 所示，已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向上)，大小 为 50 N，一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数 μ＝0.02 的水平面 上运动了 20 m，则力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少？(|g|＝10 m/s2)
图 2－5－3
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【自主解答】 A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j. (1)F1 做的功 W1＝F1·s＝F1·A→B ＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28 J. F2 做的功 W2＝F2·s＝F2·A→B ＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23 J. (2)F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 做的功 W＝F·s＝F·A→B＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5 J.
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向量在物理中的应用： (1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和 的平行四边形法则求解． (2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示； ②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题．
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【解】 设木块的位移为 s，则：
W＝F·s＝|F|·|s|cos
30°＝50×20×
3 2
＝500 3(J)．
因为 F 在竖直方向上的分力的大小为
|F1|＝|F|·sin 30°＝50×12＝25(N)，
所以物体所受的支持力的大小为
|FN|＝|mg|－|F1|＝8×10－25＝55(N)．
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探究 2 用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？
【提示】 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量 为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问 题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．
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所以P→A＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为P→O＋O→B＝P→B，所以P→B＝v－2a. 于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 → PB. 由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB 为等腰直角三 角形，所以 PO＝PB＝ 2a，即|v|＝ 2a，所以实际风速是每小时 2a 千米的西 北风．
阶
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段 一
2.5 平面向量应用举例
段 三
2.5.1 平面几何中的向量方法
学
阶
2.5.2 向量在物理中的应用举例
业 分
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二
测
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1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重 点)
2．学会用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC 是直角三角形，则有A→B·B→C＝0.( ) (2)若A→B∥C→D，则直线 AB 与 CD 平行．( ) 【解析】 (1)错误．因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有 可能是∠A 或∠C 为直角． (2)错误．向量A→B∥C→D时，直线 AB∥CD 或 AB 与 CD 重合． 【答案】 (1)× (2)×
∴16－ －x20x＝0＝2x2－y，2，②
①
由①得 x0＝3－2x，代入②得 6－2(3－2x)＝2y，整理得 y＝2x，即为点 P 的
轨迹方程．
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向量在物理中的应用
(1)一个质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用
而处于平衡状态，已知 F1，F2 成 60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝( )
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【自主解答】 (1)因为物体处于平衡状态，所以 F1＋F2＋F3＝0，所以 F3 ＝－(F1＋F2)，所以|F3|＝|F1＋F2|
＝ （F1＋F2）2 ＝ |F1|2＋|F2|2＋2F1·F2 ＝ 4＋16＋2×2×4×12＝2 7.
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【答案】 D (2)设 a 表示此人以每小时 a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到 风速为－a，设实际风速为 v，那么此时人感到的风速为 v－a，设O→A＝－a，O→B ＝－2a，P→O＝v，因为P→O＋O→A＝P→A，
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1．本题求解的关键是在所求直线上任取一点 P(x，y)，从而得到向量A→P的 坐标．
2．用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量 用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原 为解析几何问题．
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[再练一题] 2．已知点 A(1，0)，直线 l：y＝2x－6，点 R 是直线 l 上的一点，若R→A＝2A→P， 求点 P 的轨迹方程．
A．6
B．2
C．2 3
D．2 7
(2)某人骑车以每小时 a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而
当速度为每小时 2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向． 【精彩点拨】 (1)可利用 F1＋F2＋F3＝0 分离 F3 得 F3＝－F1－F2，平方
可求|F3|.
(2)用相关向量表示行驶速度与风速，可利用三角形法则求解．