人教版高中数学必修四 2.5平面向量应用举例
人教A版高中数学必修4《2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例》_24
2.5.2向量在物理中的应用举例
一、教材分析：
本节是在学生已经学习了平面向量有关知识以后，
进一步运用所学的平面向量的知识来解决一些物
理问题，通过运用既能让学生用所学的知识解决生
活中的问题，又能加深对平面向量知识的理解和掌
握。
二、学情分析：
前几节课已经学习了平面向量基本定理，坐标运
算、数量积及向量在几何中的应用，这些内容都为
本节课的学习奠定了基础。
三、教学目标：
1．知识与技能：
运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的
运算法则等）解决简单的物理问题.
2．过程与方法：
通过应用举例，让学生理解用向量知识研究物理中
的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题，培
养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作
用.
3．情感、态度与价值观：
通过本节的学习，让学生体验向量在物理问题中的
工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养
创新精神。
四、教学重点、难点：
重点：通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中的相关问题的步骤难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题
五、教学方法
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。
指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
六、教学内容安排：。
高中数学必修四2.5平面向量应用举例素材新人教A版必修4
2.5平面向量应用举例命题方向 1 向量在平面几何中的应用例1 求证：直径所对的圆周角为直角．[分析]本题实质就是证明AB →·BC →＝0. [证明]设AO →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝a ＋b ，OC →＝a ，BC →＝a －b ，|a|＝|b|. 因为AB →·BC →＝(a ＋b)·(a －b)＝|a|2－|b|2＝0，所以AB →⊥BC →.所以∠ABC ＝90°．命题方向 2 向量在物理中的应用例2 一航船用5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．[分析]先根据题意作出示意图，然后再用向量知识解决． [解析] 如图，OA →表示水流速度，OB →表示船向垂直于对岸行驶的速度，OC →表示船实际速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5km/h. ∵四边形OACB 为矩形，|OA →|＝|AC →|tan30°＝|OB →|tan30°＝53(km/h)，|OC →|＝|OA →|cos30°＝10(km/h)，∴水流速度为53km/h ，船实际速度为10km/h.命题方向 3 平面向量的综合应用例3 设(x2＋y2)(a2＋b2)＝(ax ＋by)2(ab ≠0)，求证：x a ＝yb .[分析] 化简已知条件，计算量较大，可根据向量的有关运算性质，构造向量，化繁为简．[证明] 若x ＝y ＝0，则结论显然成立．若x 、y 不全为0，设p ＝(x ，y)，q ＝(a ，b)．则由已知cos<p ，q>＝ax ＋byx2＋y2a2＋b2＝±1，∴<p ，q>＝0或π.即p ∥q ，∴bx －ay ＝0，即x a ＝yb .求证：(ac ＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．[证明] 设OA →＝(a ，b)，OB →＝(c ，d)．当OA →、OB →至少有一个为零向量时，所证不等式成立；当OA →、OB →均不是零向量时，设其夹角为α，则有cos α＝OA →·OB →|OA →|·|OB →|＝ac ＋bda2＋b2·c2＋d2，∵|cos α|≤1，∴ac ＋bda2＋b2·c2＋d2≤1，。
高中数学 2.5 平面向量应用举例课件 新人教A版必修4
解析：由(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，① 得(B→C＋B→A)·A→C－A→C2＝0， 所以A→C·(B→C＋B→A－A→C)＝0.② 所以A→C·(B→C＋B→A＋C→A)＝0.③ 即A→C·(B→C＋C→A＋B→A)＝0， 所以 2 A→C·B→A＝0.
所以A→C⊥B→A.
所以∠A＝90°.
第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例
1．能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实 际问题．(重点)
2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点) 3．掌握用向量方法解决实际问题的步骤．(易混点)
1．物理学中的量与向量的关系 (1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是 __向__量____． (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是 向量的__加__减___法．
(2)若A→B∥C→D，则直线 AB 与 CD 平行．( ) 提示：× A→B∥C→D⇒直线 AB 与 CD 重合或平行．
(3)向量A→B，C→D的夹角与直线 AB，CD 的夹角不相等．( ) 提示：× A→B、C→D的夹角可能与直线 AB、CD 的夹角相
等．
1．向量在平面几何中的应用 (1)把平面几何中的线段规定方向转化为向量，这样，有关 线段的长度即转化为向量的长度(模)、射线的夹角即转化为向 量的夹角，于是平面几何中的一此证明、计算就被向量的运算 取代，这给许多问题的解决带来了方便，就是说向量为我们研 究平面几何问题提供了一种新的思想，新的工具．
所以四边形 A1A2A3A4 是平行四边形．又因为(A→1A2－A→1A 4)·A→1A3＝A→4A2·A→1A3＝0，所以A→4A2⊥A→1A3.所以四边形 A1A2A3A4 是菱形．
答案：B
人教A版数学必修四2.5 平面向量应用举例.docx
& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &2.5 平面向量应用举例班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习 · 练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 2的大小为 A.5√3NB.5NC.10ND.5√2N2．一个人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度的大小为 A.v 1-v2B.v 1+v 2C.|v 1|-|v 2|D.v 1v 23．(2012·安徽省合肥一中质检)过△ABC 内部一点M 任作一条直线EF,AD ⊥EF 于D,BE⊥EF 于E,CF ⊥EF 于F,都有AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点M 是△ABC 的( )A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三个内角平分线的交点4．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图，已知灯具的重力为10N ，则每根绳子的拉力大小是____.5．如图所示,若D 是△ABC 内的一点,且AB 2-AC 2=DB 2-DC 2,求证:AD ⊥BC.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷6．在四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,cos ∠DAB=12.求|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |与|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的值. 7．某人骑车以速度a 向正东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a 时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.8．(2012·湖南省衡阳一中模考)如图,在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,l 为线段BC 的垂直平分线,l 与BC 交于点D,E 为l 上异于D 的任意一点.(1)求AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值; (2)判断AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是否为一个常数,并说明理由. 能力提升1．根据指令(r ,θ)(r ≥0,−180°<θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ(按逆时针方向旋转θ为正，按顺时针方向旋转θ为负)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4).(2)机器人在完成(1)中指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动.已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令(取cos81.87∘=√210). 2．如图，已知扇形OAB 的周长2+ 23π，面积为π3，并且|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &(1)求∠AOB 的大小；(2)如图所示，当点C 在以O 为圆心的圆弧AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上变动.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 其中 x 、y ∈R ，求xy 的最大值与最小值的和；(3)若点C 、D 在以O 为圆心的圆上，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .问BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ取何值时，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ AD⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最大？并求出这个最大值.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷2.5 平面向量应用举例详细答案【基础过关】 1．A 2．C 3．B【解析】本题主要考查向量的几何意义.根据特殊位置法,可以判断,当直线EF 经过C 点时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,于是|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |,EF 即为AB 边上的中线,同理,当EF 经过A点时,EF 是BC 边上的中线,因此,点M 是△ABC 的三条中线的交点,故选B. 4．10N5．设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =d,则a=e+c,b=e+d,所以a 2-b 2=(e+c)2-(e+d)2=c 2+2e ·c-2e ·d-d 2. 由已知可得a 2-b 2=c 2-d 2,所以c 2+2e ·c-2e ·d-d 2=c 2-d 2,所以e ·(c-d)=0.因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =d-c,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =e ·(d-c)=0,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AD ⊥BC. 6．如图,在四边形ABCD 中,∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴四边形ABCD 为平行四边形.又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴四边形ABCD 为菱形. ∵cos ∠DAB=12,∠DAB ∈(0,π),∴∠DAB=π3,∴△ABD 为正三角形.∴|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3. |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.【解析】本题主要利用向量的几何意义,求解平面几何和三角形的问题.解决此类问题,首先要注意向量与几何的内在联系,并利用向量的线性运算、相等向量、共线向量等概念求解. 7．设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a 向正东行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a 时感到的风速为v-2a.如图所示,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2a,PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =v,& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =v-a,这就是速度为a 时感到的由正北方向吹来的风速, ∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ =v-2a,这就是速度为2a 时感到的由东北方向吹来的风速, 由题意知∠PBO=45°, PA ⊥BO,BA=AO,∴△POB 为等腰直角三角形,∴∠APO=45°,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | =|PB⃗⃗⃗⃗⃗ | =√2|a|,即|v|=√2|a|. ∴实际风速的大小是√2|a|,为西北风.8．(1)以点D 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,l 所在直线为y 轴建立直角坐标系,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A(75,245),此时AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-75,-245),CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,0), 所以AD⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-75×(-10)+(-245)×0=14. (2)设点E 的坐标为(0,y)(y ≠0),此时AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-75,y-245), 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-75×(-10)+(y-245)×0=14为常数,故AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是一个常数. 【解析】本题考查向量在几何中的应用,采用了向量的坐标表示.解题的关键是建立适当的直角坐标系,写出相应点的坐标,代入数量积公式.求平面向量数量积的步骤:首先求a 与b 的夹角θ,θ∈[0°,180°],再分别求|a|,|b|,然后再求数量积,即a ·b=|a||b|cos θ.若知道向量的坐标a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ·b=x 1x 2+y 1y 2. 【能力提升】1．解：(1)如图，设点()4,4A ，所以42OA =u u u r ，因为OA u u u r 与x 轴正方向的夹角为45o ，所以42,45r θ==o ，故指令为()42,45o(2)设()17,0B ，机器人最快在点(),0P x 处截住小球，由题意2PB AP =u u u r u u u r，得()()22172404x x -=-+-，整理得2321610x x +-=，即()()73230x x -+=，所以7x =或233x =-(舍)， 即机器人最快可在点()7,0P 处截住小球.设OA u u u r 与AP u u u r的夹角为θ，因为()()5,4,4,3,4AP OA AP ===-u u u r u u u r u u u r.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷2cos cos818710OA AP OA APθ⋅==-=-⋅o u u u r u u u ru u u r u u u r，所以18081.8798.13θ=-=o o o 又5AP =u u u r ，OA u u u r 旋转到AP u u u r 是顺时针旋转，所以指令为()5,98.13-o.2．(1)设扇形半径为r ，圆心角∠AOB =α由{2r +αr =2+23π12αr 2=π3得{r =1α=2π3或{r =π3α=6π 又当r =π3,α=6π时，|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1不成立； 当r =1,α=2π3时，|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1成立， 所以∠AOB =2π3(2)如图所示，建立直角坐标系，则A (1，0)，B (−12,√32)，C (cosθ,sinθ).由OC⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 得cosθ=x −y2，sinθ=√32y . 即x =cosθ+√33sinθ,y =2√33sinθ. 则xy =(cosθ+√33sinθ)(2√33sinθ)=23sin(2θ−π6)+13又θ∈[0,23π]，则2θ−π6∈[−π6,7π6]，故(xy)max + (xy)min =1+0=0.(3)由题可知D(−cosθ,−sinθ)& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+12,sinθ−√32),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−cosθ−1，−sinθ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3sin (θ−π3)−32当θ−π3=π2+2kπ(k ∈Z )且θ∈[0,π],即θ=5π6时(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )max =√3−32【解析】本试题主要考查三角函数与平面向量的综合运用.建立适当的坐标系，将几何问题转化为代数问题，运用向量的数量积的坐标来求解运算.。
人教A版高中数学必修4《2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例》_13
平面向量在物理中的应用举例一.教学目标：1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究物理以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题，体会向量在物理中的应用.难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题，体会向量在物理中的应用.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.四. 教学设想【知识链接】问题1：向量与力有什么相同点和不同点？结论：向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一 的. 用向量知识解决力的问题，往往是把向量 到同一作用点上.问题2：向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？结论：速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.问题3：向量的数量积与功、动量有什么联系？结论：物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.⑴力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即cos ,W F S F S =⋅，功是一个实数，它可正，也可负.⑵在解决问题时要注意数形结合.自主小测1.一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和2，则3F 的大小为( )A ．6B ．2C ．32D ．2.点P 在平面上作匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m)( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)3.作用于原点的两个力12(1,1),(2,3)F F ，为使它们平衡，需要加力3F =_______。
高中数学 必修四 2.5平面向量应用举例课件 新人教A版必修4
求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． [证明] 设O→A＝(a，b)，O→B＝(c，d)．
当O→A、O→B至少有一个为零向量时，所证不等式成立；
当O→A、O→B均不是零向量时，设其夹角为 α，则有
→→
cosα＝
OA·OB →→
＝
|OA|·|OB|
a2＋acb＋2·bcd2＋d2，
＝|a||b|，其中正确的个数为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
[答案] B
3．已知a＝(5,10)，b＝(－3，－4)，c＝(2,3)，且c＝la＋
kb，则l＝________，k＝________.
[答案]
1 10
－12
●自主预习
1．向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下方面： (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、 平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义． (2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否 平行，常运用向量平行(共线)的条件： _a_∥__b_⇔__a_＝__λb_(_或__x_1_y_2－__x_2_y_1＝__0_)_．
[错因分析] 误认为|A→D|＝|C→D|，就有A→D＝C→D.
[思路分析] 先证平行四边形，再证其邻边相等即获证． [正解] 设对角线 AC、BD 交于点 O，则有A→O＝O→C，B→O＝O→D， ∴A→O＋O→D＝O→C＋B→O，∴A→D＝B→C. 故四边形 ABCD 是平行四边形． 又∵|A→O|2＋|O→D|2＝|A→D|2， |O→C|2＋|O→D|2＝|C→D|2， ∴|A→D|＝|C→D|.故四边形 ABCD 是菱形．
(1)F1，F2分别对该质点所做的功； (3)F1，F2的合力F对该质点所做的功．
高中数学《平面向量应用举例》教案 新人教A版必修4
课题：§2.5 平面向量应用举例一、预习目标预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。
二、预习内容阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。
另外，在思考一下几个问题：1.例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？2.利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？3．例3中，⑴ 为何值时，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习内容1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.二、学习过程探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）举出几个具有线性运算的几何实例．例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ．求证：222222AC BD AB BC CD DA +=+++．试用几何方法解决这个问题利用向量的方法解决平面几何问题的 “三步曲”？（1） 建立平面几何与向量的联系，（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，（3） 把运算结果“翻译”成几何关系。
变式训练：ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b ==（1）证明A 、O 、E 三点共线；（2）用,.a b 表示向量AO 。
例2，如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些力的问题是怎么回事？例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：⑴θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？⑵|F 1|能等于|G |吗？为什么？例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km)？变式训练：两个粒子A 、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 (4,3),(2,10)A B s s ==，（1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s; (2)计算s 在A s 方向上的投影。
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一、选择题
1．已知作用在A点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F
＝F1＋F2＋F3的终点坐标为( )
A．(9,1) B．(1,9)
C．(9,0) D．(0,9)
解析：F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．
又因为起点坐标为(1,1)，所以终点坐标为(9,1)．
答案：A
2．初速度为v0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为12v0，则发射角θ应为( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析：炮弹的水平速度为v＝v0·cos θ＝12v0⇒cos θ＝12⇒θ＝60°.
答案：D
3．△ABC中，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，则AD＋BE＋CF＝( )
A．0 B．0
C．AB D．AC
解析：设AB＝a，AC＝b，
则AD＝12a＋12b，
BE＝BA
＋12AC＝－a＋12b，
CF＝CA
＋12AB＝－b＋12a.
∴AD＋BE＋CF＝0.
答案：B
4．在△ABC中，D为BC边的中点，已知AB＝a，AC＝b，则下列向量中与AD同
向的是( )
A.a＋b|a＋b| B.a|a|＋b|b|
C.a－b|a－b| D.a|a|－a|b|
解析：AD＝12AB＋12AC＝12(a＋b)，而a＋b|a＋b|是与a＋b同方向的单位向量．
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答案：A
二、填空题
5．平面上有三个点A(－2，y)，B(0，y2)，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方
程为________．
解析：AB＝(2，－y2)，BC＝(x，y2)．
∵AB⊥BC，∴AAB·BC＝2x－14y2＝0，即y2＝8x.
答案：y2＝8x
6．已知A，B是圆心为C，半径为5的圆上的两点，且|AB|＝5，则AC·CB＝________.
解析：由弦长|AB|＝5，可知∠ACB＝60°，
AC·CB＝－CA·CB＝－|CA||CB
|cos∠ACB＝－52.
答案：－52
7．质量m＝2.0 kg的物体，在4 N的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动
了3 s，则水平力在3 s内对物体所做的功为________．
解析：水平力在3 s内对物体所做的功：F·s＝F·12at2＝12F·Fmt2＝12mF2t2＝12×12×42×3
2
＝36(J)．
答案：36 J
8．设坐标原点为O，已知过点(0，12)的直线交函数y＝12x2的图像于A、B两点，则OA·
OB
的值为________．
解析：由题意知直线的斜率存在，可设为k，则直线方程为y＝kx＋12，与y＝12x2联立
得12x2＝kx＋12，
∴x2－2kx－1＝0，∴x1x2＝－1，x1＋x2＝2k，
y1y2＝(kx1＋12)(kx2＋12)
＝k2x1x2＋14＋kx1＋x22
＝－k2＋k2＋14
＝14，
∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－1＋14＝－34.
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答案：－34
三、解答题
9．△ABC的三边长满足AC2＋AB2＝5BC2，且BE，CF分别为AC，AB边上的中线，
求证：BE⊥CF.
证明：如图，∵BA＋AC＝BC，
∴(BA→＋AC)2＝BC2，
即BA2＋2BA·AC＋AC2＝BC2.
由已知条件AC2＋AB2＝5BC2，
得AB·AC＝2BC2.
∴BE·CF
＝12(BA＋BC)·12(CA＋CB)
＝14(BA·CA＋BA·CB＋BC·CA＋BC·CB)
＝14[2BC2＋CB·(BA＋AC)＋BC·CB]
＝14(2BC2＋CB·BC＋BC·CB)
＝14(2BC2－2BC2)＝0，
∴BE⊥CF，∴BE⊥CF.
10．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N的物体吊在
水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大
小(绳子的重量忽略不计)．
解：如图，由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角．
设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，
∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，
则有|Fa|cos 45°＋|Fb|cos 60°＝|G|＝100， ①
且|Fa|sin 45°＝|Fb|sin 60°. ②
由①②解得|Fa|＝1502－506，
∴A处所受力的大小为(1502－506) N.