平面向量应用举例

平面向量应用举例

【学习目标】

1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力．

【要点梳理】

要点一：向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：

（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．

（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ⇔=a b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）．

（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥⇔⋅=a b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）．

（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos ||||

θ⋅=

a b

a b ．

（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．

要点诠释：

用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．

要点二：向量在解析几何中的应用

在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．

常见解析几何问题及应对方法：

（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．

（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．

（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．

（4）夹角问题：利用公式cos ||||

θ⋅=

a b

a b ．

要点三：向量在物理中的应用

（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．

（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv 是数乘向量；④功即是力F 与所产生位移s 的数量积．

（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．

【典型例题】

类型一：向量在平面几何中的应用

例1．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角．

已知：如下图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点（不与A 、B 重合），求证：∠APB ＝90°．

证明：联结OP ，设向量b OP a OA =→=→，，则a OB -=→

且b a OP OA PA -=→-→=→，

b a OP OB PB --=→

-→=→

0||||222

2=-=-=→⋅→∴a b a b PB PA

→

⊥→∴PB PA ，即∠APB ＝90°．

【总结升华】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量PA ，PB 由基底a ，b 线性表示．当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知．

举一反三：

【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例1】

【变式1】P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 【答案】D

【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例4】

【变式2】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为________；

DE DC ⋅的最大值为________.

【解析】||||cos ,DE CB DE DA DE DA DE DA ⋅=⋅=⋅〈〉=2

||||||DA DA DA ⋅==1

||||cos ,DE DC DE DC DE DC ⋅=⋅〈〉

=||||cos DE DC EDC ⋅∠4

2EDC π

π⎛⎫≤∠≤

⎪⎝⎭

=||cos DE EDC ∠

=||DF （F 是E 点在DC 上的投影） 1≤

当F 与C 点重合时，上式取到等号．

例2．如图所示，四边形ADCB 是正方形，P 是对角线DB 上一点，PFCE 是矩形，证明：PA EF ⊥

.

【思路点拨】如果我们能用坐标表示PA 与EF ，则要证明结论，只要用两向量垂直的充要条件进行验证即可.因此只要建立适当的坐标系，得到点A 、B 、E 、F 的坐标后，就可进行论证.

【解析】以点D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴建立如图所示坐标系，设正方形的边长为1，

||DP λ=，则)1,0(A ，)22,22(

λλP ，)22,1(λE ，)0,2

2(λF ， 于是22(,1)22PA λ=-

-，22

(1,)22

EF λλ=--， ∵2222

()(1)(1)()PA EF ⋅=-⋅-+-⋅ 002

2

)221122(22=⨯-=-+-⋅-

=λλλλ ∴PA EF ⊥. 举一反三： 【变式

1】（2016 南通模拟）平面直角坐标系

xOy

中，已知向量

(6,1),(,),(2,3)AB BC x y CD ===--，且//AD BC ．

（1）求x 与y 之间的关系式；

（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积． 【答案】（1）x +2y =0；（2）16

【解析】（1）由题意得(4,2),(,)AD AB BC CD x y BC x y =++=+-=， 因为//AD BC ，

所以(x +4)y ―(y ―2)x =0，即x +2y =0， ①

（2）由题意得(6,1),(2,3)AC AB BC x y BD BC CD x y =+=++=+=--， 因为AC BD ⊥，

所以(x +6)(x ―2)+(y +1)(y ―3)=0，即x 2+y 2+4x ―2y ―15=0， ② 由①②得2

1x y =⎧⎨

=-⎩ 或

6

3

x y =-⎧⎨

=⎩． P

F

y x

E D C

B

A

O