高中新课程数学新课标人教B版必修一《函数》教案
新教材高中数学第三章函数的单调性课件新人教B版必修第一册ppt
【解析】选 C.对于 A，y＝－2x 在定义域上无单调性，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上 是增函数，所以 A 错误； 对于 B，y＝x2＋1 1 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，所以 B 错误； 对于 C，y＝－3x2－6x 图像是抛物线，对称轴是 x＝－1，所以函数在[－1，＋∞)上是 减函数，所以 C 正确； 对于 D，a>0 时，y＝ax＋3 在(－∞，＋∞)上为增函数，a<0 时，y＝ax＋3 在(－∞， ＋∞)上是减函数，所以 D 错误．
A．[1，2]
B．12，2
C．(1，2]
D．21，2
【思路导引】分别考虑 x>0，x<0，分界点三个方面的因素求范围．
【解析】选 A.因为函数 f(x)＝（ －2x2b＋－（1）2－x＋b）b－x，1，x≤x0>，0， 2b－1>0，
在 R 上为增函数，所以 2－2 b≥0， 解得 1≤b≤2. b－1≥0，
3．函数 y＝|x－1|的单调增区间是____________． 【解析】作出函数的图像，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
图像法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图像； (2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间．
【补偿训练】 画出函数 y＝|x|(x－2)的图像，并指出函数的单调区间． 【解析】y＝|x|(x－2)＝x－2－x22＋x＝2x（ ＝x－－（1）x－2－1）1，2＋x≥1，0，x<0， 函数的图像如图所示． 由函数的图像知：函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)， 单调递减区间为(0，1).
类型三 函数单调性的应用(数学运算、逻辑推理) 利用单调性解函数不等式 【典例】已知函数 f(x)的定义域为[－2，2]，且 f(x)在区间[－2，2]上是增函数， f(1－m)＜f(m)，则实数 m 的取值范围为________． 【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围．
2020版新教材高中数学第三章函数3.1.1.4分段函数课件新人教B版必修1
2.已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是 ________.
【解析】因为f(x)的图像由两条线段组成，
所以结合函数图像和一次函数解析式的求法可得
f(x)=
x 1，1 x 0， x，0 x 1.
答案：f(x)=
x 1，x [1，0)， x，x [0，1]
类型三 分段函数的综合问题
角度1 范围问题
【典例】已知f(x)=
1, x 0, 1, x 0,
则不等式x+(x+2)·f(x+2)
≤5的解集是世纪金榜导学号( )
A.[-2，1] C.[2, 3]
2
B.(-∞，-2] D. ( , 3 ]
2
【思维·引】 分x+2≥0，x+2&[-4，2] D.(-4，2]
【解析】选B.因为f(x)≥-1，
x 0,
所以
1 2
x
1
1,
或
x 0, (x 1)2
1,
所以-4≤x≤0或0<x≤2，即-4≤x≤2.
2.若f(x)=
x 7, x [1,1], 2x 6, x [1, 2],
1 4
(x－2)2－1，x
0.
x 1，－1 x 0，
答案：f(x)=
1 4
(x－2)2－1，x
0
【内化·悟】 已知分段函数的函数值求自变量的值时需要注意什么？ 提示：分段求，求出的自变量的值要符合相应段的定 义域.
【类题·通】 1.分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
人教B版高中数学必修一指数函数与对数函数的关系教案(7)
3.2.3指数函数与对数函数的关系
教学目标：知道指数函数与对数函数互为反函数
教学重点：知道指数函数与对数函数互为反函数
教学过程：
1、 复习指数函数、对数函数的概念
2、 反函数的概念：一般地，函数)(x f y =中x 是自变量，y 是x 的函数，设它的定义域
为A ，值域为C ，由)(x f y =可得)(y x ϕ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么)(y x ϕ=就表示x 是自变量y 的函数。
这样的函数)(y x ϕ=C y ∈叫函数)(x f y =的反函数，记作：)(1y f
x -=。
习惯上，用x 表示自变量，y 表示函数，因此)(x f y =的反函数)(1y f x -=通常改写成：)(1x f y -=
注：①明确反函数存在的条件：当一个函数是一一映射时函数有反函数，否则如2x y =等均无反函数；
② 与互为反函数。
③的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域
3、 奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数，偶函数若存在反函数，则其定义域为{0}；
若函数)(x f y =是增（减）函数，则其反函数)(1x f
y -=是增（减）函数。
4、 求反函数的步骤：由)(x f y =解出)(1y f
x -=，注意由原函数定义域确定单值对应；交换y x ,，得)(1x f y -=；根据)(x f y =的值域，写出)(1x f y -=的定义域。
例1、求下列函数的反函数：
①
②
③
④
解：略
课堂练习：教材第114页练习A、B
小结：本节课知道指数函数与对数函数互为反函数课后作业：略。
高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B版必修108012133
高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B 版必修1080121331．理解函数零点的概念．(重点)2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的零点阅读教材P 70～P 71“例”以上部分内容，完成下列问题． 1．定义如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点． 2．性质(1)当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号．(2)两个零点把x 轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)，(x 2,0)．( )(3)f (x )＝x －1x只有一个零点．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程 实根个数的关系阅读教材P 70“倒数第2行”～P 71“例”以上的内容，完成下列问题． 判别式ΔΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点有两个零点x 1，x 2有一个二重零点x 1＝x 2没有零点已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 的图象全部在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是________.【导学号：97512030】【解析】 函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a <0，a >1. 【答案】 (1，＋∞)[小组合作型]求函数的零点(1)函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1,0) B ．x ＝－1 C ．x ＝1D ．x ＝0(2)求下列函数的零点． ①f (x )＝－x 2－2x ＋3； ②f (x )＝x 4－1.【精彩点拨】 求函数对应方程的根，即为函数的零点． 【自主解答】 (1)令1＋1x＝0，解得x ＝－1，故选B.(2)①由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1.②由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， 所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.【答案】 (1)B (2)①－3,1 ②－1,1求函数的零点时，通常转化为解方程f x ＝0，若方程f x ＝0有实数根，则函数f x 存在零点，该方程的根就是函数f x 的零点；否则，函数f x 不存在零点.[再练一题]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.【导学号：60210059】【解析】 ∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， ∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， ∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0，x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.【答案】 0，－12函数零点个数的判断判断下列函数零点的个数． (1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .【精彩点拨】 (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．【自主解答】 (1)由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f (x )有两个零点． (2)法一 由x 2－1x ＝0，得x 2＝1x.令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x.在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f (x )＝x 2－1x只有一个零点．法二令f(x)＝0，即x2－1x＝0.∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.∴x＝1或x2＋x＋1＝0.∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．确定函数零点个数的方法1．一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决．2．一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．3．指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决．4．利用函数的单调性判断函数零点的个数．[再练一题]2．判断函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数．【解】y＝x3－3x2－2x＋6＝x2(x－3)－2(x－3)＝(x2－2)(x－3)，令y＝0，则x＝±2或x＝3，显然有三个零点．[探究共研型]函数零点的应用探究1 设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的零点与函数y＝f(x)与y＝g(x)有何关系？【提示】F(x)的零点是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．探究2 若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是什么？【提示】若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a≥0，故a≤1.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．【精彩点拨】把问题转化为方程|2x－2|＝b有根问题，进而应用数形结合的思想转化为y ＝|2x －2|与y ＝b 图象的交点问题．【自主解答】 由f (x )＝|2x－2|－b ＝0，得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 【答案】 (0,2)已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的方法：1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.[再练一题]3.若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1【解析】 根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0－5a ＋1>0，解得a >15或a <－1.【答案】 B1．下列四个函数图象，在区间(－∞，0)内，函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)中有零点的是( )A ．B ．C ． D.【解析】 由函数图象可知，f 2(x )在(－∞，0)上与x 轴有交点，故f 2(x )在(－∞，0)上有零点．【答案】 B2．函数y ＝2x －4的零点是( ) A ．2B ．(2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12【解析】 由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2.【答案】 A3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.【解析】 由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0， 则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0， 故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0. 【答案】 04．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.【解析】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【答案】 0或－145．已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围．【解】 令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f 2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －4a ＋1＋a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4a －4a ＋1＋a －1>0，解得0<a <5，∴a 的取值范围为(0,5)．。
高中数学必修1二次函数的讲解(学习复习参考)新课标人教B版 新课标人教B版 .ppt
3 已知二次函数f x 的二次项系数为1,且满足f 1 x 2 x 2x 1 f 1 x , f 2 1, 则f x _________ _. 2 4 若函 数 f x m 1 x 2mx 3是偶函数,则f x 的单调
, 3 . 数, 则实数a的取值范围是_____________
3 若定义在R上的奇函数f x 满足f x xf x 2 x， x0 则方程f x 0的根为_______________ .
二次函数
要点扫描
考点例析
方法指南
纠错笔记
所以f x 4x2 16x 48.
二次函数
要点扫描
考点例析
方法指南
纠错笔记
评注
二次函数的表示方法有三种： 一般式：y ax 2 bx c a 0 ； 顶点式：y a x b c a 0 ；
2
交点式：y a x x1 x x2 a 0 . 根据条件可任选一种来表示二次函数.本题采用了交点式. 根据题目条件, 也可以采用顶点式, 因为x 2或6是f x 0 的两个根, 所以x 2是其对称轴方程, 于是设f x a x 2 c.
考点1
二次函数的解析式
例1. 2008 嘉兴一中模拟 已知函数f x a x 2 a 2 x 2b a 3 , 当x 2, 6 时, f x 0, 当x , 2 且f 0 48, 求f x .
6, 时,f x 0,
,0 . 递增区间为_____________
人教高中数学必修一B版《函数的单调性》函数的概念与性质说课复习(函数的单调性及函数的平均变化率)
所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
栏目 导引
第三章 函 数
利用定义证明函数单调性的步骤
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[注意] 作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多 为几个因式乘积的形式．
栏目 导引
第三章 函 数
的应用
解参数不等式
直观想象
第三章 函 数
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问题导学 预习教材 P95－P100 的内容，思考以下问题： 1．增函数的概念是什么？ 2．减函数的概念是什导引
第三章 函 数
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(2)所示．
两种情况下，都称函数在 I 上具有单调性(当 I 为区间时，称 I 为函数的___单__调__区__间____，也可分别称为__单__调__递__增___区__间____或 _____单__调__递__减__区__间_____)．
栏目 导引
第三章 函 数
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第三章 函 数
2．函数的平均变化率
(1)直线的斜率
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高中数学(必修1)第1章13函数的奇偶性
高中数学第二章《函数》第三节函数的奇偶性（第一课时）讲课稿德阳市中江城北中学 姚志华教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）一：情景设置提出问题：同学们，上一节我们学习了的函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？学生回答（众）：数形结合教师分析：对，我们是“利用函数的图象来理解函数的性质”，是先从函数的图象看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后利用函数解析式（从数的角度）进行研究。
这一节我们继续学习函数的另一个性质。
请大家请观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特征？ 把老师画下来是个“轴对称图形”，左耳与右耳是对称的，左眼与右眼是对称的，左手与手耳是对称的，这是我们初中学过的对称图形知识，那么大家还记得什么叫轴对称图形？什么叫中心对称图形？学生回答：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形。
图形围绕某一个点旋转1800得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形。
大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽（演示4个图形）。
教师分析：这一章我们学习的是函数，函数的图象也是一种图形，当函数的图像也是轴对称图形或中心对称图形时，我们又如何利用函数的解析式来刻画函数图象的几何特征呢？二：基本知识（一）偶函数概念教师提问：请大家观察函数y=x 2与函数y=|x|－2的图像有什么特征？大家能否用对称的观点来研究函数的图象呢？（1）反映在形：函数图像是轴对称图形，对称轴是y 轴。
即若点（x ，f （x ））是函数y=x 2图像上的任意一点，则它关于y 轴的对称点（－x ，f （－x ））也在函数y=x 2的图像上，这样的函数称之为偶函数。
（2）反映在数上：对于函数y=x 2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=x 2…94 1 0 149…对于函数y=|x|－2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=|x|－2… －112 1 0 －1 …f （－21）=（－21）2=（21）2=f （21）；……（不完全归纳法），这里的数是取之不完的，因此与函数单调性一样，利用字母x 代替。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：函数的概念及其表示
§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )－1，x ≥0，2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD 解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D 解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确；y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )x ，x >0，x ，x ≤0，则函数f ()A ．3B ．－3 C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ln 13＝－ln 3，所以f f (－ln 3)＝e －ln 3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析＋1>0，x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，4<x －1<－2，＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为()A ．(1,3]B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，3)答案B解析－1>0，－1≠1，－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}|12≤x <2C ．{x |x >2}|x ≥12答案B 解析要使f (x )＝lg 1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x>0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，1<x －1<1，x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )|12≤x <2题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f x 2＋1x2＝－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，＝2，a ＋b ＝17，＝2，＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是() A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(2)若f ＝x1－x，则f(x)＝________.答案1x－1(x≠0且x≠1)解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f3x，则f(2)等于()A．－3B．3C．－1D．1答案A解析f(x)＋2f3x，①则f2f(x)＝－3x，②联立①②解得f(x)＝－2x－x，则f(2)＝－22－2＝－3.题型三分段函数例3(1)已知函数f(x)x－1)，x>0，ln(x＋e)＋2，x≤0，则f(2024)的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f (x )x －1)，x >0，ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )x 2－3x ＋2，x <－1，x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，<－1，a 2－3a ＋2＝4≥－1，a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5.若f (a )≥2，<－1，a 2－3a ＋2≥2≥－1，a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＋2，x ≤0，＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于()A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D 解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )2x ，x >1，2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)－12，＋课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是()A ．(2，＋∞)B ．(2,3)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案D 解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3，－2>0，－3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·北京模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝e xC ．y ＝x 2D ．y ＝|x |答案B 解析对于A ，当x ＝－1时，由y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B ，因为从A ＝{x |－2<x ≤1}中任取一个元素，通过y ＝e x 在B ＝{x |0<x ≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B 正确；对于C ，当x ＝0时，由y ＝x 2得y ＝0，但0∉B ，故C 错误；对于D ，当x ＝0时，由y ＝|x |得y ＝0，但0∉B ，故D 错误．3．已知f (x 3)＝lg x ，则f (10)的值为()A ．1 B.310 C.13 D.1310答案C 解析令x 3＝10，则x ＝1310，∴f (10)＝lg 1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是()答案A 解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞答案B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32.6．已知函数f (x )x 2＋2x ＋3，x ≤2，＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()B.22，C ．(1，2]D ．(1，2)答案B 解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是22，7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是()A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD 解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x 答案AD 解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )x ，x <0，x －π)，x >0，则f ________.答案12解析由已知得f f f f f ＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析2≤2x ≤2，－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )x ＋3，x >0，2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13 D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )3，x ≤0，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2 B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，－3≤0，＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n 的取值范围是()A．(－2,2)B．(－2,0)∪(0,2)C．[－2,2]D．(－2，2)答案B解析当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)||－1，x≥1或x≤－1，1－x2，－1<x<1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是() A．F(F(x))＝0B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A－33，0，B(0,1)，C33，0△ABC为等边三角形，故D正确．。
人教版高中数学必修1函数的解析式教案
§2.2.2 函数（二）--函数的解析式[教学目的]使学生进一步巩固函数的概念，能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式，并掌握解析式的一些形式的变换.[重点难点]重点、难点：函数解析式的求法.[教学过程]一、复习引入⒈用映射刻划的函数的定义是什么？函数符号的含义是什么？函数的表示方法常用的有哪些？答：函数是两个非空数集A到B的特殊映射f：x→y=f(x),x∈R，y∈C⊆B；定义域A、值域C和定义域到值域的对应法则f称为函数的三要素；符号y=f(x)表示y是x的函数，不是f与x的乘积；函数的表示方法常用的有解析法、列表法和图象法，而中学阶段所研究的函数主要是能用解析式表示的函数..⒉引入：我们已经了解了函数的概念和表示方法.在此基础上，今天我们来学习确定函数解析式的几种常见方法.二、学习、讲解新课我们知道，把两个变量的函数关系用一个等式表示，这个等式就叫做函数的解析表达式，简称解析式.下面我们通过例题来说明求函数解析式的几种常用方法例1⑴已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)；⑵已知f(x+1)=x+2x，求f(x+1)；⑶已知f(x)满足2f(x)+f(1/x)=3x，求f(x)；⑷设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式.解：⑴设f(x)=ax+b，则3f(x+1)-2f(x-1)=3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+(5a+b)=2x+17,比较系数得a=2且5a+b=17, ∴a=2，b=7,∴f(x)=2x+7.⑵设u=x+1≥1,则x=u-1，x=(u-1)2,于是f(u)=(u-1)2+2(u-1)=u2-1(u≥1),即f(u)=u2-1(u≥1), ∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x+1≥1),即f(x+1)=x2+2x(x≥0).⑶∵已知2f(x)+f(1/x)=3x ---①，将①中x换成1/x得2f(1/x)+f(x)=3/x ---②，①×2-②得3f(x)=6x-3/x，∴f(x)=2x-1/x.⑷设f(x)的解析式是f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵图象过点(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3；又∵f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10，∴得对称轴x=2且x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=10，即(-b/2a)=2且(b2/a2)-(6/a)=10，∴a=1，b=-4，∴f(x)=x2-4x+3.说明：求函数解析式常用的方法有：待定系数法(如⑴⑷)、换元法(如⑵)、构造方程法(如⑶)等.例2 高为h ，底面半径为r 的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a 的速度充水，试求出水面高y 与时间t 的函数关系式，并求其定义域.(提示：圆柱的体积=底面积×高)解：由题意有at=πr 2y ，即y=(a/πr 2)t,∵0≤y ≤h,即0≤(a/πr 2)≤h, ∴0≤t ≤πr 2h/a ，即定义域是[0，πr 2h/a]. 说明：这是函数知识在实际问题中的应用，其定义域是由实际问题所决定的.练习：⑴若f(1/x)=1/(1+x),则f(x)= ；⑵已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x ，则f(x)= ；⑶已知g(x)=1-2x ，f[g(x)]=(1-x 2)/x 2(x ≠0),则f(1/2)= ； ⑷将长为a 的铁丝折成矩形，面积y 关于边长x 的函数关系是 ，其定义域是 ； ⑸已知f(x)=⎩⎨⎧>-≤+)0(2)0(12x x x x ,若f(x)=10，则x= ；⑹已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p ，f(3)=q ，则f(36)= .解：⑴令u=1/x ，则x=1/u ，f(u)=u/(1+u)，∴f(x)=x/(1+x)；⑵设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，∵f(0)=1,∴c=1，又f(x+1)-f(x)=2x ， ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-ax 2-ba-1=2x ，即2ax+a+b=2x ，比较系数得2a=2且a+b=0，∴a=1，b=-1，∴f(x)=x 2-x+1.⑶由g(x)=1-2x=1/2，得x=1/4，∴f(1/2)=[1-(1/4)2]/(1/4)2=15.⑷设矩形的长为x ，则宽为(a-2x)/2，∴y=x[(a-2x)/2]=ax/2-x 2,定义域是(0,a/2). ⑸由已知-2x<0，∴f(x)=x 2+1=10,即x=±3,又x ≤0,∴x=-3. ⑹f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2[f(2)+f(3)]=2(p+q).三、小 结⒈解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立联系的桥梁； ⒉解析式只表示一种对应关系，与所取的字母无关，如y=2x-1与u=2t-1是同一个函数； ⒊求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法，若已知函数的构造模式，可用待定系数法；若已知复合函数f[f(x)]的表达式来求f(x)，常用换元法；当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑合法求解.⒋用赋值法(特殊值法)求函数式中的参数，是一种比较常用的方法.⒌根据实际问题求函数的表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定自变量后去寻找等量关系，以求得表达式，要注意函数定义域应由实际问题确定.四、布置作业(一)复习：课本和课堂上的有关内容.(二)书面：⒈填空：⑴若f(x)=2x+1，则f[f(2)]= ；f(-x)= ；f[f(x)]= .⑵若f(x+1)=x2-2x+5，则f(x)= .⑶若f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)= .⑷若3f(x)+2f(1/x)=4x ，则f(x)= .⑸若f(x)=x2-mx+n ，f(n)=m ，f(1)=-1，则f(-5)= .⒉设函数f(x)=x2-4x-4的定义域为[t-2,t-1]，对任意t ∈R ，求函数f(x)的最小值ϕ(t)的解析式，并画出图象.(练习册P26B 组第2题)答案与提示：⒈⑴f[f(2)]=f(5)=11,f(-x)=-2x+1,f[f(x)]=2f(x)+1=4x+3；⑵f(x)=x 2-4x+8；⑶g(x)=2x-1；⑷f(x)=(12x 2-8)/5x(x ≠0)；⑸将f(n)=m 与f(1)=-1并成方程组，解得m=1,n=-1,可知f(x)=x 2-x-1,∴f(-5)=29. ⒉由f(x)=x 2-4x-4=(x-2)2-8知，对称轴为x=2，若t-1<2即t<3时，ϕ(t)=f min (x)=(t-1-2)2-8=t 2-6t+1；若t-2≤2≤t-1即3≤t ≤4时，ϕ(t)=f min (x)=-8；若t-2>2即t>4时，ϕ(t)=f min (x)=(t-2-2)2-8=t 2-8t+8；∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤-<+-=)4(88)43(8)3(16)(22t t t t t t t x ϕ.(三)思考题：(四)预习：课本P 53-552.2区间概念、函数定义域的求法.。
2021_2022学年新教材高中数学第三章函数3.1.3.1函数的奇偶性课件新人教B版必修第一册
若将本例中的条件改为函数 f(x)＝ax2＋(a－1)x＋2 是偶函数，试求 a 的值． 【解析】若 f(x)是偶函数，则 f(－x)＝f(x)，即 a(－x)2－(a－1)x＋2＝ax2＋(a－1)x＋2， 即(a－1)x＝0 对于 x∈R 恒成立，则 a－1＝0，a＝1.
利用奇偶性求函数值 【典例】1.已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 是 R 上的奇函数，g(x)＝f(x)＋1，已知 g(2) ＝5，则 g(－2)＝( ) A．－5 B．5 C．－3 D．3 【思路导引】根据函数的奇偶性可得 b＝0，d＝0，先利用 g(2)＝f(2)＋1＝5 得出 f(2) 和 f(－2)，然后求解 g(－2)＝f(－2)＋1 的值． 【解析】选 C.因为 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 是 R 上的奇函数，所以 b＝0，d＝0，所以 g(x)＝ax3＋cx＋1，g(2)＝8a＋2c＋1＝5，得 f(2)＝8a＋2c＝4，则 g(－2)＝f(－2)＋1 ＝－3.
2．以下函数中为奇函数的是( )
A．y＝－2x
B．y＝2－x
C．y＝x2
D．y＝，x∈(0，1)
【解析】选A.f(x)＝－2x的定义域为R，定义域关于原点对称，f(－x)＝2x＝
－f(x)，y＝－2x是奇函数，A符合题意；y＝2－x既不是奇函数又不是偶函数，
B不合题意；y＝x2是偶函数，C不合题意；y＝ 2 ，x∈(0，1)，定义域不关于原
(2021·无锡高一检测)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f(x)＝x2＋2x.
(1)画出 y＝f(x)在 R 上的图像，并写出函数的减区间； 【解析】画图，f(x)的减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞).
(2)求函数 f(x)在 R 上的解析式； 【解析】设 x>0，则－x<0， 所以 f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x＝－f(x)， 所以 f(x)＝－x2＋2x，所以 f(x)＝－x2＋x2＋2x，2x，x≤0x>. 0， (3)求不等式 xf(x)>0 的解集． 【解析】原不等式可化为xf（>0x，）>0 或xf（<0x，）<0，
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必修1 函数复习 教案
一、
教学目标
1、知识目标：复习巩固本章所学知识和方法，形成比较系统的整体认识。
2、能力目标：培养学生总结归纳能力和综合应用知识方法的能力。
3、情感目标：通过复习提问，激发学生兴趣，形成整体化认识。
二、
教学重点、难点
重点是系统复习本章知识和方法，难点是形成整体认识。
三、教学方法
教师引导，学生回答；总结归纳，典例训练。
本章知识结构
映射
函数
函数的概念 函数的表示方法 函数的性质 一次函数与 二次函数 定义域 值域
对应法则
列表法
图象法
解析法
单调性
奇偶性
函数的零点 一次函数的性质和图像 二分法
函数的应用
分段函数
二次函数的
性质和图像
二次函数零
点的判断
知识要点归纳：
1、 在学习函数映射的概念时，要注意它们之间的联系。
2、 函数定义域的求法：
（一） 自然定义域：注意常涉及以下依据
⑴ 分母不为零⑵偶次根式中被开方数不小于零⑶指数幂的底数不等于零⑷实际问题要考虑实际
意义
（二） 复合函数的定义域：若()gxD得定义域为D，则函数()yfgx的定义域要由
()gxD
的求解
3、 函数值域的求法：要注意定义域对值域的决定作用。
⑴直接观察法⑵配方法⑶换元法⑷判别式法⑸单调性法（6）图象法等
4、 函数的解析式求法：⑴待定系数法⑵复合函数的解析式⑶换元法或配凑法⑷实际问题中利用的等量
关系
典型例题
题型1：函数定义
例 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A.||2xyxy与 B.2lglg2xyxy与
C.23)3)(2(xyxxxy与 D.10yxy与
答案：B
题型2：函数的定义域值域
例 函数322xxy在区间[-3，0]上的值域为（ ）
A.[-4，-3] B.[-4，0] C.[-3，0] D.[0，4]
答案：A
题型3：函数的图像与性质
例 画出函数xxy2的图象，并
指出它们的单调区间.
解：22110124110124()()()()()xxxfxxx或
增区间：1012[,][,)和
减区间;1012(,][,]和
题型4：单调性与奇偶性
例 试判断函数xxxf2)(在[2，+∞)上的单调性．
解：设212xx，则有
)()(21xfxf
)2(22211xxxx=)22()(2121xxxx
=)22()(211221xxxxxx=)21)((2121xxxx
=)2)((212121xxxxxx．
212xx
，021xx且0221xx，021xx，
所以0)()(21xfxf，即)()(21xfxf．
所以函数)(xfy在区间[2，+∞)上单调递增．
题型5：函数的零点
已知函数22()(1)(2)fxxaxa的一个零点比1大，一个零点比1小，则有（ ）
题型6：二分法
借助计算器或计算机，用二分法求方程3224310xxx的最大的根。（精确到21()1fxx）
题型7：函数的应用
例 如图，长为20m的铁丝网，一边靠墙，围成三个大小相等、紧紧相连的长方形，那么长方形长、宽、
各为多少时，三个长方形的总面积最大？
解：设长方形长为x m，则宽为3420x m，
所以，总面积34203xxs=xx2042
=25)25(42x．
所以，当25x时，总面积最大，为25m2，
此时，长方形长为2.5 m，宽为310 m．
练习题：教材P77 巩固与提高。