不可不会的平面向量经典习题
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
高中数学平面向量经典练习题(含答案)
高中数学平面向量经典练习题（含答案）一.填空题1.在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，则AB→ + AD→ + CD→ +DB→ +BA→ = .2.已知向量a=（1，-6），b=（-2，14），则向量 13a-2b 的坐标= .3.已知向量a ，b ，若|a |=2，|b |=2√5，且（a-b ）·（2a-3b ）=68-10√15，则向量a ，b 的夹角为 .4.在△ABC 中，设BC→ =m ，BA→ =n ，D 为AC 上的一点，且AD DC= 45，若向量BD→ 用m ，n 表示，则BD→ = .5.已知向量a=（2,3m-4），b=（m-5，m+1），若a ，b 共线，则m 的值是 .6.在△ABC 中，D 为边BC 上，CD=3DB ，E 在边AC 上，且AE=2EC ，设AC→ =a→，AD→ =b→，用向量a→，b→表示向量EB→ ,则EB→ = .AEDBCADBC7.已知向量a=（-3,6），b=（4,0），c=（1,4），若a用b、c表示。
则a= .8.已知向量a=（x，5√3+11），b=（x+2√3+1，-1），若a，b互相垂直，则x的值为 .9.已知向量a（1，√2），b（-√2，x）它们的夹角为α，且sin2α=1，则x= .10.已知向量a=（1-x，1），b=（-2，2x），若向量2a+b与a-b平行，则a·b= .二、解答题11.已知向量a=（1,1），b=（√2，-1），若（xa-b）⊥（2a+b），求实数x的值.12.已知|a|=1，|b|=2，它们的夹角为60°，设c=3a+xb，d= -xa+2b，若c⊥d，求实数x的值.参考答案 一.填空题1.在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，则AB→ + AD→ + CD→ +DB→ +BA→ = .解：AB→ + AD→ + CD→ + DB→ +BA→=AB→ + AD→ + CD → +（DB→ +BA→ ）=AB→ + AD→ + CD→ +DA→=（AB→ + CD→ ）+（AD→ +DA→ ）（因为AB→ ，CD→ 大小相等，方向相反，它们的和为0）=0+0 =0故原题的答案为：02.已知a=（1，-6），b=（-2，14），则 13a-2b= .解： 13a = 13（1,-6）=（13，-2）2b=2（-2，14）=（-4, 12）13a-2b =（13+4，-2- 12）=（ 133，- 52）故原题的答案为： 133，- 523.已知向量a ，b ，若|a |=2，|b |=2√5，且（a-b ）·（2a-3b ）=68-10√15，则向量a ，b 的夹角为 .解：由已知，得|a |2=4，|b |2=20，|a |·|b |=4√5（a-b ）·（2a-3b ）=2a 2-5ab+3b 2=8-5ab+ 60 =68-5ab=68-10√15则ab=2√15cosa = ab |a |.|b|= 2√154√5= √32所以向量a ，b 的夹角为30° 故原题的答案为：30°4.在△ABC 中，设BC→ =m ，BA→ =n ，D 为AC 上的一点，且AD DC= 45,若向量BD→ 用m ，n 表示，则BD→ = .解：BC→ =m ，BA→ =n则AC→ = m-n又AD DC= 45所以DC→ = 59AC→= 59m - -59nBD→ = BC→ - DC→=m -（ 59m - 59n ）= 49m + 59n故原题的答案为： 49m + 59nADBC5.已知向量a=（2,3m-4），b=（m-5，m+1），若a ，b 共线，则m 的值是 . 解：因为a ，b 共线所以2·（m+1）=（3m -4）·（m -5） 整理，得m 2-7m+6=0 解得，m=1或m=6 故原题的答案为：1或66.在△ABC 中，D 为边BC 上，CD=3DB ，E 在边AC 上，且AE=2EC ，设AC→ =a→，AD→ =b→，用向量a→，b→表示向量EB→ ,则EB→ = .解：CD→ = b→ - a →CB → = 43CD → = 43（b→ - a→）= 43b→ - 43a→EC → = 13AC → = 13a→EB→ = EC→ +CB→ =（13a→）+（43b → - 43a →）= 43b→- a→故原题的答案是： 43b→- a→7.已知向量a=（-3,6），b=（4,0），c=（1,4），若a 用b 、c 表示。
平面向量经典练习题_非常好
x平面向量与三角函数一、 选择题 :1. 已知平行四边形 ABCD ，O 是平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，OA 则向量 OD 等于（ ）A ． a + b + cB ． a + b - cC ． a - b + cD ． a - b - ca ，OBb ， OCc ，2. 已知向量 a 与b 的夹角为 120o， a3, a b13, 则 b 等于()（ A ） 5（ B ）4（ C ） 3（ D ） 13. 设 a ，b 是两个非零向量．下列正确的是 ()A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则 a ⊥bB ．若 a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C. 若|a ＋b|＝|a|－|b|，则存在实数 λ，使得 b ＝λaD. 若存在实数 λ，使得 b ＝λa ，则|a ＋ b|＝|a|－|b|4. 已知 →a ＝ (sin θ， 1＋ cos θ)，→b 3 ＝(1 ， 1 － cos θ)，其中 θ∈ (π， 2)，则一定有 （）A ． →a ∥→bB ． →a ⊥ →bC ． →a 与→b 夹角为 45 °D ． |→a |＝ |→b |5．已知向量 →a ＝ (6 ，－ 4) ，→b ＝ (0 ，2), →c ＝ →a ＋ →b ，若 C 点在函数 y ＝ sin π的图象上 ,实数 ＝（）12 5 3 5 3A ．B ．C ．－D ．－22 2 26. 已知 k A.17Z ，AB (k,1), ACB.27(2,4) ，若 AB10 C.37 ，则 △ ABC 是直角三角形的概率为（ ）D.477. 将 y 2cosxπ的图象按向量 a π， 2平移，则平移后所得图象的解析式为 ()Ａ． y 3 62cosx π2 4Ｂ． y2cosx π2 3 4 3 4Ｃ． y 2cosx π2 Ｄ． y 2cosx π2 3 128. 在 ABC 中,M 是 BC 的中点，AM=1, 点 P 在 AM 上且满足() 3 12 AP2PM, 则 PA( PBPC) 等于4 （ A ）94 （ B ） 34 （ C ）34 (D)99. 已知 O 是 △ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边中点，且 2OA OB OC 0 ，那么（）Ａ．AO OD Ｂ．AO 2OD Ｃ．AO 3OD Ｄ．2 A O OD10. △ABC 中，点 D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b , a = 1 ,b = 2, 则CD = （）1 （A ） a +3 2b （B）32 1 3a +b （C） a +3 3 54b （D ）54 3a + b5 511 在ABC 中，若BA BC AC ，则ABC 一定是（）A ．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形 D ．不能确定12.设非零向量a = ( x,2 x) , b ( 3 x,2) ,且a, b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）（A）,0 （B）4, 03（C）, 04, 0 （D）,13 31, 04,3 313.已知点O 、N 、P 在三角形ABC 所在平面内，且OA = OB = OC , NA NB NC 0 , 则PA PB = PB PC = PC PA 则点O 、N 、P 依次是三角形ABC 的( ) （A）重心、外心、垂心（B）重心、外心、内心（C）外心、重心、垂心（D）外心、重心、内心14.设A(a,1) ，B(2, b) ，C (4,5) 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则 a 与b 满足的关系式为( )（A）4a 5b 3 （B）5a 4b 3 （C）4a 5b 14 （D ）5a 4b 1415.（上海理14）在直角坐标系xOy 中，i , j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB 2i j ，AC 3i k j ，则k 的可能值有( )A 、1 个B 、2 个C、3 个D、4 个二、填空题：16.．四边形ABCD中，AB 1,2 , BC 4, 1 ,CD 5, 3则四边形ABCD 的形状是17.已知a,b 是两个非零向量，且a b a b，则a与a b的夹角为19. 若O 是ABC 所在平面内一点，且满足OB OC OB OC 2OA，则ABC的形状为_20. 已知向量a 、b 满足a=b=1 ，3a 2b 3 a b=3，则21. 下列命题中：① a (b c ) a b a c ；② a (b c ) (a b) c ；③2( a b) 2| a |2 22 | a | | b | | b |2；④若a b0 ，则a 0 或b 0 ；⑤若a b c b, 则 a c ；⑥ a a ；⑦a b b2222222aa ；⑧ (a b)a b ；⑨ ( a b)a2a b b 。
平面向量测试题-高考经典试题-附详细答案
一、选择题1．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 2、已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ） A ．1BC ．2D ．43、若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______；4、 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2mb m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则mλ的取值范围是(A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-5、在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅ （C ）2AB AC CD =⋅ （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=6、在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，=λ+31,则λ= (A)32(B)31 (C) -31(D) -327、设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FC FB FA ++=0，则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6(C) 4(D) 38、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23B ．13C ．13-D ．23-9把函数e xy =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +10、已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =11、在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 12、对于向量，a 、b 、c 和实数错误!未找到引用源。
平面向量典型例题
平面向量经典例题：1.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13C ．－1D ．－23[答案] C[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2.(文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0，∴k ＝－3.(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611B ．－116C.611D.116 [答案] C[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611.3.设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°[答案] B[解析] 如图，在▱ABCD 中，∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12 B.13 C.14 D.15 [答案] A[解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34，∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°， 设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝12.4.若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形． 5.若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b [答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，∴⎩⎨⎧ λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩⎨⎧λ＝1μ＝－3，∴c ＝a －3b ，故选B. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b [答案] B[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |，∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝23|CD |，∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .6.若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 [答案] D[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×()－1935＝－19.7.若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．6[答案] D[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号在x ＝12，y ＝1时成立．8.若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋52D.1＋52[答案] A[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1. 9.(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)，∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.12B.32C. 2D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22.10. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF→＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.15B.14C.13D.12[答案] A[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15.11. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12[答案] C[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)， 由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0，∴m ＝－2，故选C.12. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6 [答案] B[解析] CM →·CB →＝(CA →＋AM →)·CB →＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22＝3.13. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________. [答案]152[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →〉＝60°， 〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23CB →，∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.14. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．[答案] －255。
(完整版)平面向量练习题(有答案)
平面向量一 、选择题1、已知向量等于则MN ON OM 21),1,5(),2,3(--=-=（ ） A ．)1,8(B ．)1,8(-C ．)21,4(-D ．)21,4(- 2、已知向量),2,1(),1,3(-=-=则b a 23--的坐标是（ ） A ．)1,7(B ．)1,7(--C ．)1,7(-D ．)1,7(-3、已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且∥，则x 等于（ ） A ．3B ．3-C ．31D ．31-4、若),12,5(),4,3(==b a 则与的夹角的余弦值为（ ） A ．6563B ．6533 C ．6533-D ．6563-564==，与的夹角是ο135，则⋅等于（ ） A ．12B ．212C ．212-D ．12-6、点)4,3(-关于点)5,6(-B 的对称点是（ ） A ．)5,3(-B ．)29,0(C ．)6,9(-D ．)21,3(-7、下列向量中，与)2,3(垂直的向量是（ ） A ．)2,3(-B ．)3,2(C ．)6,4(-D ．)2,3(-8、已知A 、B 、C 三点共线，且A 、B 、C 三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A 分所成的比是() A ．83-B ．83C ．38-D ．389、在平行四边形ABCD-=+，则必有( )A ．=B ．=或=C ．ABCD 是矩形D ．ABCD 是正方形10、已知点C 在线段AB的延长线上，且λλ则,CA BC ==等于( )A ．3B ．31C ．3-D ．31-11、已知平面内三点x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为( ) A ．3B ．6C ．7D ．912、已知ABC ∆的三个顶点分别是），（），，（），，（y C B A 124231-，重心)1,(-x G ，则y x 、的值分别是( ) A ．5,2==y xB ．25,1-==y x C ．1,1-==y xD ．25,2-==y x16、设两个非零向量b a ,不共线，且b k a b a k ++与共线，则k 的值为( ) A ．1B ．1-C ．1±D ．017、已知B A 32),2,3(),1,2(=--，则点M 的坐标是( ) A ．)21,21(--B ．)1,34(--C ．)0,31(D ．)51,0(-18、将向量x y 2sin =按向量)1,6(π-=平移后的函数解析式是( ) A ．1)32sin(++=πx yB ．1)32sin(+-=πx yC ．1)62sin(++=πx yD ．1)62sin(+-=πx y二、填空题20、已知b a b a b a -+==⊥λ与且23,32垂直，则λ等于 21、已知等边三角形ABC 的边长为1，则=⋅22、设21e e 、是两个单位向量，它们的夹角是ο60，则=+-⋅-)23()2(2121e e e e 23、已知=--B A 、),2,5()4,3(三、解答题24、已知），（），，（0823=-ABA，求线段AB的中点C的坐标。
平面向量（附例题_习题及答案）
平⾯向量（附例题_习题及答案）向量的线性运算⼀．教学⽬标1.理解向量的概念；2.掌握向量的线性运算；3.理解向量线性运算的⼏何意义、向量共线的含义、平⾏向量基本定理；4.理解平⾯向量基本定理，掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰、平⾯向量的坐标运算；5.理解⽤坐标表⽰平⾯向量的共线条件。
⼆．知识清单1.向量基本概念（1）向量的定义：既有⼜有称为向量；（2）向量的⼤⼩（或称模）：有向线段的表⽰向量的⼤⼩；（3）零向量与单位向量：叫做零向量，叫做单位向量；（4）共线向量与相等向量：叫做共线向量（或平⾏向量），叫做相等向量。
2.向量的线性运算（1）向量的加法a.向量加法的三⾓形法则、平⾏四边形法则和多边形法则。
b.向量加法满⾜的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).（2）向量的减法a.定义：a-b=a+(-b)，即减去⼀个向量相当于加上这个向量的相反向量。
⼀个向量等于终点位置向量减始点位置向量，即AB=OB-OA。
b.三⾓形法则：“共始点，连终点，指向被减”。
（3）数乘向量a.定义：⼀般地，实数λ和向量a的乘积是⼀个向量，记作λa.b.数乘向量满⾜的运算律：（λ+µ）a=λ（µa）=λ（a+b）=3.向量共线的条件与轴上向量坐标运算（1）向量共线的条件平⾏向量基本定理：如果，则；反之，如果，且，则⼀定存在，使。
（2）轴上向量的坐标运算4. 向量的分解与向量的坐标运算（1）平⾯向量基本定理如果是⼀平⾯内的的向量，那么该平⾯内的任⼀向量a，存在，使。
（2）平⾯向量的正交分解定义：把⼀个向量分解为，叫做把向量正交分解。
（3）向量的坐标表⽰在平⾯直⾓坐标系中，分别取与x轴、y轴⽅向相同的两个_______作为基底。
对于平⾯内的任⼀个向量，由平⾯向量基本定理可知，有且只有⼀对实数x，y使得____________，这样，平⾯内的任⼀向量a都可由__________唯⼀确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表⽰，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。
数学课程平面向量练习题及答案
数学课程平面向量练习题及答案平面向量练习题及答案1. 题目：给定向量a = (1, 2)和向量b = (3, -1)，求向量a与向量b的和。
解答：要求向量a与向量b的和，只需要将它们对应位置的分量相加即可。
所以向量a + 向量b = (1 + 3, 2 + (-1)) = (4, 1)。
2. 题目：已知向量a = (2, -3)和向量b = (-4, 5)，求向量a与向量b 的数量积。
解答：向量a与向量b的数量积（也称为点积或内积），可以通过将对应位置的分量相乘，并将乘积相加得到。
所以向量a·向量b = (2 * (-4)) + (-3 * 5) = (-8) + (-15) = -23。
3. 题目：已知向量a = (1, 2, -1)和向量b = (3, -2, 4)，求向量a与向量b的叉积。
解答：向量a与向量b的叉积（也称为矢量积或外积），可以通过计算以下行列式得到：| i j k || 1 2 -1 || 3 -2 4 |其中i、j和k分别代表x、y和z轴的单位向量。
按照行列式的计算规则，得到向量a×向量b = (2 * 4 - (-1) * (-2), (-1) * 3 - 1 * 4, 1 * (-2) - 2 * 3) = (10, -7, -8)。
4. 题目：已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的夹角。
解答：要求向量a与向量b的夹角，可以通过计算它们的数量积和各自的模长来得到。
首先计算数量积：向量a·向量b = (2 * (-1)) + (3 * 4) = (-2) + 12 = 10。
接下来计算各自的模长：|向量a| = √(2^2 + 3^2) = √13，|向量b| = √((-1)^2 + 4^2) = √17。
最后，根据余弦定理，夹角θ的余弦值为：cosθ = 向量a·向量b / (|向量a| * |向量b|) = 10 / (√13 * √17) = 10 / √221。
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C A B M N P （第10题） 1．若平面向量a, b满足ab=1, ab平行于y轴，a=(2,-1),则b= 2．已知点O在△ABC内部，且有24OAOBOC0，则△OAB与△OBC的面积之比 为 ． 3．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足0)()(cbca，则c的最大值是 ． 4. 三角形ABC中，若220ABBCAB,且b=2，一个内角为300，则ΔABC的面积为 . 5. 在△ABC中，π6A，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且 22||||ABADBDDC，则B等于 6. 给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA和OB，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若2,OCxOAyOB其中,xyR,则xy的最大值是________. 7．已知A(－3，0)，B(0，3)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝60°，OC→ ＝λOA→＋OB→，则实数λ的值是 ． 8．已知ABC，D为BC的中点,E为中线AD的中点，过E点作MN交线段AB于M， 交线段AC于N，设,AMxABANyAC，则4xy的最小值为 9.如图,在平面四边形ABCD中，若3,2ACBD,则()()ABDCACBD . 10．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝1，点M，N分别是AB，BC的中点，点P是△ABC（包括边界）内任一点．则ANMP的取值范围为 11．已知点O为△ABC的外心，且4AC，2AB，则AOBC的值等于 12.已知,,OAB是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若A 第9题 C D
B
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||7OA，||5OB，则()OPOAOB
的值为 .
13．已知I是ABC的内心，,4,3,2ABBCAC若，则
yx
14
．在ABC中，已知D是AB边上一点，若DBAD31，12CDCACB，则
21
_____________．
15. 在平行四边形中，ABCD已知60DAB1,AD2,AB，点ABM为的中点，点
P
在CDBC与上运动（包括端点），则APDM的取值范围是 ▲ ．
16．已知平面向量,(0,)满足1，且与的夹角为120°，则的
取值范围是____________
17.已知向量(2,0),(2,2),(2cos,2sin)OBOCCA,则向量OBOA,的夹角范
围是
18．等腰直角ΔABC中，90A，2AB，AD是BC边上的高，P为AD的中点，
点MN、分别为AB边和AC边上的点，且MN、关于直线AD对称，当
1
2
PMPN
时，AMMB_____________．
19．如图正六边形ABCDEF中，P是ΔCDE内(包括边界)的动点，设
APABAF
（α、β∈R），则α+β的取值范围是 ．
20．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.
（1）求|OA+OB|；
（2）如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若
,OCxOAyOB
其中,xyR,求xy的最大值？
B D E A
C F
（第19题）