【优质】河南省周口市2017-2018学年高一上学期期末测调研数学试题Word版含解析

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河南省南阳市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(精品Word版,含答案解析)

2017-2018学年河南省南阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A ={1，3，5，7}，B ={x |2≤x ≤5}，则A ∩B =（）A. B. C. D. {1,3}{3,5}{5,7}{1,7}2.如图是水平放置的△ABC 的直观图，A ′B ′∥y ′轴，A ′B ′=A ′C ′，则△ABC 是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形3.函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，当x ＞0时，f （x ）=-x +1，则当x ＜0时，f （x ）的表达式为（）A. B. C. D. ‒x +1‒x ‒1x +1x ‒14.已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（）A. 若，，则B. 若，，则α⊥γβ⊥γα//βm//αm//βα//βC. 若，，则D. 若，，则m//αn//αm//nm ⊥αn ⊥αm//n5.两条直线，互相垂直，则的值是 l 1:ax +(1+a)y =3l 2:(a +1)x +(3‒2a)y =2a ( )A. 3B. C. 或3 D. 0 或3‒1‒16.已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（）A.B. C.D. 1003π100π503π50π7.若实数x ，y ，满足2x -y -5=0，则的最小值是（）x 2+y 2A. B. 1C. D. 55558.设对任意实数x ∈[-1，1]，不等式x 2+ax -3a ＜0恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. B.C. 或D.a >0a >12a >0a <‒12a >149.已知圆C 1：（x +a ）2+（y -2）2=1与圆C 2：（x -b ）2+（y -2）2=4相外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为（）A. B.C.D. 2394326210.若且abc ≠0，则=（）5a=2b=10c ca+cbA. 2B. 1C. 3D. 411.已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数g （x ）=2x -f(x)=(m ‒1)2xm2‒4m +2t ，∀x 1∈[1，6）时，总存在x 2∈[1，6）使得f （x 1）=g （x 2），则t 的取值范围是（）A. B. 或 C. 或 D. ⌀t ≥28t ≤1t >28t <11≤t ≤2812.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S =（）A. 40πB. 41πC. 42πD. 48π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.点P （3，-2，4）关于平面yOz 的对称点Q 的坐标为______．14.若函数f （x ）=|2x -1|-m 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______．15.已知过点M （-3，0）的直线l 被圆x 2+（y +2）2=25所截得的弦长为8，那么直线l 的方程为______．16.圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是______cm ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）求经过直线l 1：x +3y -3=0和l 2：x -y +1=0的交点，且平行于直线2x +y -3=0的直线l 方程．（2）已知直线l 1：2x +y -6=0和点A （1，-1），过点A 作斜率为k 的直线l 与l 1相交于点B ，且|AB |=5，求斜率k 的值．18.已知．f(x)=log 0.5(x 2‒mx ‒m)（1）若函数f （x ）的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若函数f （x ）在区间上是递增的，求实数m 的取值范围．(‒2，‒12)19.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点．（1）求证：平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D ；（2）在棱DD 1上是否存在一点P ，使得BD 1∥平面PMN ，若存在，求D 1P ：PD 的比值；若不存在，说明理由．20.已知函数（a ＞0且a ≠1）是定义在R 上的奇函数．f(x)=1‒22a x ‒1+1（1）求实数a 的值；（2）当x ∈[1，+∞）时，mf （x ）≤2x -2恒成立，求实数m 的取值范围．21.如图，正方形ABCD 所在平面与四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB =AE ，FA =FE ，∠AEF =45°．（1）求证：EF ⊥平面BCE ；（2）设线段CD ，AE 的中点分别为P ，M ，求异面直线PM 与BC 所成角的正弦值；（3）求二面角E -BC -D 的大小．22.已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x-4y+9=0与圆M相切（Ⅰ）求圆M的标准方程；（Ⅱ）过点N（0，-3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），x21x2221B（x2，y2），而且满足+=x1x2，求直线L的方程．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．直接利用交集的运算法则化简求解即可．本题考查交集的求法，考查计算能力．2.【答案】C【解析】解：∵水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，A′B′=A′C′，∴AB⊥AC，AB≠AC，∴△ABC是直角三角形，故选：C．根据斜二测画法作平面图形的直观图的原理，可得△ABC中AB⊥AC，AB≠AC，得△ABC是直角三角形．本题给出三角形的直观图的形状，判断三角形原来的形状，着重考查了斜二测画法作平面图形的直观图和三角形形状的判断等知识，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）是定义域为R的偶函数；∴设x＜0，则-x＞0；∴f（-x）=-（-x）+1=f（x）；∴f（x）=x+1．故选：C．根据f（x）为R上的偶函数，可设x＜0，从而得出f（-x）=x+1=f（x）．考查偶函数的定义，根据偶函数定义求对称区间上的函数解析式的方法．4.【答案】D【解析】解：反例把书打开直立在桌面上，α与β相交或垂直；答案B：α与β相交时候，m与交线平行；答案C：直线m与n相交，异面，平行都有可能，以长方体为载体；答案D：，正确故选：D．用身边的事物举例，或用长方体找反例，对答案项进行验证和排除．本题考查了线面的垂直和平行关系，多用身边具体的例子进行说明，或用长方体举反例．5.【答案】C【解析】解：∵两条直线l1：ax+（1+a）y=3，l2：（a+1）x+（3-2a）y=2互相垂直，∴a（a+1）+（1+a）（3-2a）=0，解得a=-1或a=3．∴a的值是-1或3．故选：C．由两条直线l1：ax+（1+a）y=3，l2：（a+1）x+（3-2a）y=2互相垂直，得a（a+1）+（1+a）（3-2a）=0，由此能求出a的值．本题考查实数值的求法，考查直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.【答案】D【解析】解：∵圆锥的侧面展开图的半径为圆锥的母线，∴圆锥的侧面积为=50π．故选：D．圆锥的母线为侧面展开图的半径，代入圆的面积公式即可．本题考查了圆锥的结构特征，侧面积计算，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：的几何意义是原点到直线2x-y-5=0上的点的距离，由点到直线的距离公式可得最小值为d==．故选：C．的几何意义是原点到直线2x-y-5=0上的点的距离，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．本题考查函数的最值的求法，注意运用几何意义，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解法一：y=x2+ax-3a的对称轴是x=．①当-≥1，即a≤-2时，x=-1离对称轴最远，而函数开口向上，所以有最大值，其最大值是a＞，与a≤-2相矛盾．∴a∈∅；②当，即-2＜a＜2时，x=-1或x=1时，有最大值．由①知，x=-1有最大值时，其最大值是a＞，故；当x=1有最大值时，其最大值是1-2a＜0，即a，故．∴；③当≤-1，即a≥2时，x=1时有最大值，其最大值是1-2a＜0，a，∴a≥2．综上所述，a＞．故选B．解法二：设f（x）=x2+ax-3a，∵对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a＜0恒成立，∴，即，∴，故．故选：B．本题考查函数的恒成立问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讲座思想的合理运用．9.【答案】B【解析】解：由已知，圆C1：（x+a）2+（y-2）2=1的圆心为C1（-a，2），半径r1=1．圆C2：（x-b）2+（y-2）2=4的圆心为C2（b，2），半径r2=2．∵圆C1：（x+a）2+（y-2）2=1与圆C2：（x-b）2+（y-2）2=4相外切，∴|C1C2|=r1+r2．即a+b=3．由基本不等式，得ab≤=．故选：B．根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab的最大值．本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：因为，所以取常用对数得：alg5=blg2=，所以=2lg5+2lg2=2（lg5+lg2）=2．故选：A．通过指数取常用对数，转化为所求比值求解即可．本题考查指数与对数的互化，对数的基本运算，考查计算能力．11.【答案】D【解析】解：由f（x）是幂函数得：m=0或2，而在（0，+∞）上单调递增，则f（x）=x2，x∈[1，6）时，f（x）∈[1，36），x∈[1，6）时，g（x）∈[2-t，64-t），若∀x1∈[1，6）时，总存在x2∈[1，6）使得f（x1）=g（x2），则[1，36）⊆[2-t，64-t），故，解得：1≤t≤28，故选：D．根据幂函数的定义以及函数的单调性求出f（x）的解析式，分别求出f（x），g（x）的值域，问题转化为[1，36）⊆[2-t，64-t），求出t的范围即可．本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，考查求函数的值域问题以及集合的包含关系，是一道中档题．12.【答案】B【解析】解析：该多面体如图示，外接球的半径为AG，HA为△ABC外接圆的半径，HG=2，HA=，故R=AG==，∴该多面体的外接球的表面积S=4πR2=41π．故选：B．判断三视图复原的几何体的形状，通过已知的三视图的数据，求出该多面体的外接球的表面积．本题考查多面体的外接球的表面积的求法，考查空间几何体三视图、多面体的外接球等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．13.【答案】（-3，-2，4）【解析】解：根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点，可得点P（3，-2，4）关于平面yOz的对称点Q的坐标为：（-3，-2，4）．故答案为：（-3，-2，4）．根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．本题考查空间点的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．14.【答案】（0，1）【解析】解：由f（x）=|2x-1|-m=0，得|2x-1|=m，画出函数y=|2x-1|与y=m的图象如图，由图可知，要使函数f（x）=|2x-1|-m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．把函数f（x）=|2x-1|-m的零点转化为函数y=|2x-1|与y=m的图象交点的横坐标，画出两个函数的图象，数形结合得答案．本题考查函数的零点判定定理，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】x=-3或5x-12y+15=0【解析】解：设直线方程为y=k（x+3）或x=-3，∵圆心坐标为（0，-2），圆的半径为5，∴圆心到直线的距离d==3，∴=3，∴k=，∴直线方程为y=（x+3），即5x-12y+15=0；直线x=-3，圆心到直线的距离d=|-3|=3，符合题意，故答案为：x=-3或5x-12y+15=0．设直线方程为y=k（x+3）或x=-3，根据直线l被圆圆x2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，可得圆心到直线的距离为3，利用点到直线的距离公式确定k值，验证x=-3是否符合题意．本题考查了待定系数法求直线方程，考查了直线与圆相交的相交弦长公式，注意不要漏掉x=-3．16.【答案】3【解析】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱，可得3×πr3+πr2×6=πr2×6r，解得r=3．故答案为：3．设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．17.【答案】解：（1）联立直线l 1：x +3y -3=0和l 2：x -y +1=0，解得x =0，y =1，得到交点P （0，1）．设经过点P 且平行于直线2x +y -3=0的直线方程为2x +y +m =0，把点P 代入可得2×0+1+m =0，解得m =-1．∴要求的直线方程为：2x +y -1=0．（2）设直线方程为y +1=k （x -1），联立方程组可得，解得B （，），k +7k +24k ‒2k +2由距离公式可得（-1）2+（+1）2=25，解得k =-．k +7k +24k ‒2k +234【解析】（1）联立直线l 1：x+3y-3=0和l 2：x-y+1=0的方程即可得到交点P 的坐标．设经过点P 且平行于直线2x+y-3=0的直线方程为2x+y+m=0，把点P 代入求出m 即可；（2）设直线方程为y+1=k （x-1），联立方程组解交点，由距离公式可得k 的方程，解方程可得．本题考查了两条直线的交点、平行直线的方程，考查直线的一般式方程的求解，涉及截距式和分类讨论的思想，属中档题．18.【答案】解：（1）由函数的定义域为R 可得：f(x)=log 0.5(x 2‒mx ‒m)不等式x 2-mx -m ＞0的解集为R ；∴△=m 2+4m ＜0；解得-4＜m ＜0；∴实数m 的取值范围是：（-4，0）；（2）由函数f （x ）在区间上是递增的得(‒2，‒12)g （x ）=x 2-mx -m 在区间上是递减的；(‒2，‒12)且g （x ）＞0在区间上恒成立；(‒2，‒12)则，解得；{m 2≥‒12g(‒12)=14+m 2‒m ≥0‒1≤m ≤12∴实数m 的取值范围为．[‒1，12]【解析】（1）根据f （x ）的定义域为R 即可得出：不等式x 2-mx-m ＞0的解集为R ，从而得出△=m 2+4m ＜0，这样即可解出实数m 的取值范围；（2）根据f （x ）在上是递增的可得到，函数g （x ）=x 2-mx-m 在区间上是递减的，并且g （x ）＞0在区间上恒成立，从而得出，这样即可解出实数m 的取值范围．考查对数函数的定义域，复合函数的单调性，二次函数的单调性，以及二次函数的图象．19.【答案】（1）证明：连接AC ，则AC ⊥BD ，又M ，N 分别是AB ，BC 的中点，∴MN ∥AC ，∴MN ⊥BD ．∵ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，∴BB 1⊥平面ABCD ，∵MN ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥MN ，∵BD ∩BB 1=B ，∴MN ⊥平面BB 1D 1D ，∵MN ⊂平面B 1MN ，∴平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D ．（2）解：设MN 与BD 的交点是Q ，连接PQ ，∵BD 1∥平面PMN ，BD 1⊂平面BB 1D 1D ，平面BB 1D 1D ∩平面PMN =PQ ，∴BD 1∥PQ ，PD 1：DP =1：3【解析】（1）连接AC ，由正方形性质得AC ⊥BD ，又由正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，易得MN ∥AC ，则MN ⊥BD ．BB 1⊥MN ，由线面垂直的判定定理，可得MN ⊥平面BB 1D 1D ，进而由面面垂直的判定定理，可得平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D ；（2）设MN 与BD 的交点是Q ，连接PQ ，PM ，PN ，由线面平行的性质定理，我们易由BD 1∥平面PMN ，BD 1⊂平面BB 1D 1D ，平面BB 1D 1D∩平面PMN=PQ ，得BD 1∥PQ ，再由平行线分线段成比例定理，得到线段DP 与PD 1的比．本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，其中熟练掌握空间线面关系的判定、性质、定义，建立良好的空间想像能力是解答此类问题的关键．20.【答案】解：（1）：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数．∴f （0）=1-==0，22a +12‒a 2+a ∴a =2．∴函数f （x ）=1-=，22x +12x ‒12x +1∴f （-x ）==-=-f （x ），2‒x ‒12‒x +12x ‒12x +1∴f （x ）是定义在R 上的奇函数．∴a =2．（2）由题意得，当x ≥1时，m （1-）≤2x -222x +1即m •≤2x -2恒成立，2x ‒12x +1∵x ≥1，∴2x ≥2，∴m ≤，x ≥1恒成立，(2x ‒2)(2x +1)2x ‒1设t =2x -1（t ≥1），则m ≤=t -(t ‒1)(t +2)t 2t +1设g （t ）=t -，2t +1则函数g （t ）在t ∈[1，+∞）上是增函数．∴g （t ）min =g （1）=0，∴m ≤0，∴实数m 的取值范围为m ≤0．【解析】（1）利用函数是减函数，通过f （0）=0求解a ，即可．（2）当x ∈[1，+∞）时，mf （x ）≤2x -2恒成立，求出m 的不等式，利用换元法通过函数的单调性求解m 的范围．本题考查函数与方程的综合应用，函数的恒成立条件的转化，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．21.【答案】解：（1）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD =AB ，所以BC ⊥平面ABEF ．所以BC ⊥EF ．因为△ABE 为等腰直角三角形，AB =AE ，所以∠AEB =45°又因为∠AEF =45°，所以∠FEB =45°+45°=90°，即EF ⊥BE ．因为BC ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ∩BE =B ，所以EF ⊥平面BCE ．（2）取BE 的中点N ，连结CN ，MN ，则MN AB PC ，//‒12//‒所以PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN ．所以∠NCB 为PM 与BC 所成角（或其补角）正方形ABCD 所在平面与四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB =AE ，设AE =a ，BN =．BC =a ，所以NC =，22a 62a 在直角三角形NBC 中，sin ∠NCB =．33（3）由（1）知BC ⊥平面ABEF ．所以BC ⊥AB ，BC ⊥EB ，因此，∠EBA 为二面角E -BC -D 的平面角．又因△ABE 是等腰直角三角形，所以∠EBA =45°故二面角E -BC -D 的大小为45°．【解析】（1）证明BC ⊥AB ，推出BC ⊥平面ABEF ．得到BC ⊥EF ．证明EF ⊥BE ．然后证明EF ⊥平面BCE ．（2）取BE 的中点N ，连结CN ，MN ，证明PM ∥CN ．∠NCB 为PM 与BC 所成角（或其补角），设AE=a ，BN=．BC=a ，在直角三角形NBC 中，求解sin ∠NCB ．（3）说明∠EBA 为二面角E-BC-D 的平面角．转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，异面直线所成角以及二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．22.【答案】解：（I ）设圆心为M （a ，0）（a ＞0），∵直线3x -4y +9=0与圆M 相切∴=3．|3a +9|32+(‒4)2解得a =2，或a =-8（舍去），所以圆的方程为：（x -2）2+y 2=9----------------------------------（4分）（II ）当直线L 的斜率不存在时，直线L ：x =0，与圆M 交于A （0，），B （0，-5），5此时+=x 1x 2=0，所以x =0符合题意-------------------------（6分）x 21x 22212当直线L 的斜率存在时，设直线L ：y =kx -3，由消去y ，得（x -2）2+（kx -3）2=9，{y =kx ‒3(x ‒2)2+y 2=9整理得：（1+k 2）x 2-（4+6k ）x +4=0-----------（1）所以x 1+x 2=4+6k1+k 2，x 1x 2=41+k 2由已知得：x 21+x 22=212x 1x 2(x 1+x 2)2=252x 1x 2，(4+6k 1+k 2)2=252×41+k 2整理得：7k 2-24k +17=0，∴-----------------------（10分）k =1，177把k 值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k ）2-16（1+k 2）=48k +20k 2中，判别式的值都为正数，所以，所以直线L 为：，k =1，177y =x ‒3，y =177x ‒3即x -y -3=0，17x -7y -21=0综上：直线L 为：x -y -3=0，17x -7y -21=0，x =0---------------------------（12分）【解析】（I ）设圆心为M （a ，0）（a ＞0），由直线3x-4y+9=0与圆M 相切可求出a 值，进而可得圆M的标准方程；（Ⅱ）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，满足条件，当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx-3，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，可求出满足条件的k值，进而得到直线L的方程，最后综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的标准方程，是直线与圆的综合应用，难度中档．。

河南省平顶山市2017-2018学年高一上学期期末调研考试数学试题扫描版含答案

平顶山市2017～2018学年第一学期期末调研考试高一数学试题答案及评分参考一．选择题：（1）B （2）D （3）B （4）D （5）C （6）A （7）A （8）D （9）A （10）C （11）B （12）C ．二．填空题：（13）3，（14）60°，（15）2(2)x -+2(2)y +=1，（16）14-．三．解答题：（17）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）将已知的对数式改写为指数式，得到24x w =，40yw =，12()xyz w =． (3)分从而，1125311212102w wz w x y w w ===， ……………4分那么60w z =，log 60z w =． (5)分（Ⅱ）设直线l 与1l ，2l 的交点分别为11()A x y ，，22()B x y ，．则，11223100280x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ （*） ……………6分∵A ，B 的中点为(01)P ，，∴120x x +=，122y y +=． ……………7分将21x x =-，212y y =-代入（*）得11113100260x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解之得1142x y =-⎧⎨=⎩，2240x y =⎧⎨=⎩， ……………8分所以，121214AB y y k x x -==--， ……………9分所以直线l 的方程为114y x =-+，即44x y +-=． ……………10分（18）（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接BC 1，∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥C 1D 1，AB =C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形，∴AD 1∥BC 1． ……………1分又∵E ，G 分别是BC ，CC 1的中点，∴EG ∥BC 1，∴EG ∥AD 1． ……………2分又∵EG ⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，∴EG ∥平面AB 1D 1． ……………4分同理EF ∥平面AB 1D 1，且EG EF =E ，EG ⊂平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，∴平面AB 1D 1∥平面EFG ．……………6分（Ⅱ）∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB 1⊥A 1B ．分又∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BC ⊥平面AA 1B 1B ，∴AB 1⊥BC ．分又∵A 1B 与BC 都在平面A 1BC 中，A 1B 与BC 相交于点B ，∴AB 1⊥平面A 1BC ，∴A 1C ⊥AB 1．……………10分同理A 1C ⊥AD 1，而AB 1与AD 1都在平面A 1B 1D 中，AB 1与AD 1相交于点A ，∴A 1C ⊥平面A 1B 1D ，因此，A 1C ⊥平面EFG ． ……………12分（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵222(21)()()22220212121x x x x f x f x a a a --+-=++=-=-=---，……………2分对x ∈R 恒成立， ∴1a =． ……………3分（Ⅱ）设120x x <<<+∞， ∵12211221222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=----．（*） ……………5分 ∵函数2x y =是增函数，又120x x <<，∴21220x x ->，而1210x ->，2210x ->，∴ （*）式0<． ……………6分∴21()()f x f x <，即()f x 是区间(0+∞，上是减函数． ……………7分（Ⅲ）∵()f x 是奇函数，∴(2+1)(1)0f t f t +-<可化为(2+1)(1)f t f t <-．由（Ⅱ）可知()f x 在区间(0)-∞，和(0)+∞，上都是减函数．当2+10t >，10t ->时，(2+1)(1)f t f t <-化为2+11t t >-，解得1t >； ……………9分当2+10t <，10t -<时，(2+1)(1)f t f t <-化为2+11t t >-，解得122t -<<； ……………10分当2+10t <，10t ->时，(2+1)0(1)f t f t <<-显然成立，无解； ……………11分综上， (2+1)(1)0f t f t +-<成立时t 的取值范围是122t -<<-或1t >． ……………12分（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ．又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ， ………．．2分又PD ⊥PB ，PB 与BC 相交于点B ，所以，PD ⊥平面PBC ． ………．．4分（Ⅱ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以D F ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角． ………．．5分由于AD //BC ，DF //AB ，故BF =AD =CF =1．又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，ABCD 为直角梯形，所以，DF ． ………．．6分在R t △DPF 中，PD =，DF ，1sin 2PD DFP DF ∠==．所以，直线AB 与平面PBC 所成角为30°． ……………8分（Ⅲ）设E 是CD 的中点，则PE ⊥CD ，又AD ⊥平面PDC ，所以PE ⊥平面ABCD ． ………．．9分在平面ABCD 内作EG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，连EG ，则∠PGE 是二面角P －AB －C 的平面角． ………．．10分在直角梯形ABCD 内可求得EG =，而12PE =， ………．．11分所以，在R t △PEG 中，tan PE PGE GE ∠==．所以，二面角P －AB －C 的正切值为． ………．．12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）圆Q 的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，．过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+． ……………1分∵5AB =，∴圆心Q 到直线l 的距离d =， ……………2分∴，即2221520k k ++=，解得12k =-或211k =-． ……………4分所以，满足题意的直线l 方程为122y x =-+或2211y x =-+． ……………5分（Ⅱ）将直线l 的方程2y kx =+代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=，整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ① ……………6分直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，解得304k -<<，即k 的取值范围为3(0)4-，． ……………8分设1122()()A x y B x y ，，，，则AB 的中点E 00(,)x y 满足12022621x x k x k +-==-+，0026221k y kx k +=+=+． ……………9分 ∵201063PQ k -==--，00313OE y k k x k +==--， ……………10分要使OE ∥PQ ，必须使13O E P Q k k ==-，解得34k =-， ……………11分但是3(0)4k ∈-，，故没有符合题意的常数k ． ……………12分（22）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2221log log ()0a x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭有且仅有一解，等价于211a x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭有且仅有一正数解，等价于210ax x +-=有且仅有一正数解． ……………2分当0a =时，1x =，符合题意； ……………3分当0a ≠时，14a ∆=+=，14a =-，12x =． ……………4分综上，0a =或14-． ……………5分（Ⅱ）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上单调递减． ……………6分函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +． ……………8分()()22111log log 11f t f t a a t t -+=+-+≤+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2110a t a t ++-≥，对1[,1]2t ∈成立．……………9分因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1[,1]2上单调递增， ……………10分12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． ……………11分故a 的取值范围为2[,)3+∞． ……………12分说明：每道解答题基本提供一种解题方法，如有其他解法请仿此标准给分．。

河南省平顶山市2017-2018学年高一上学期期末调研考试数学试题(精品解析版)

2017-2018学年河南省平顶山市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知U ={2，3，4，5，6，7}，M ={3，4，5，7}，N ={2，4，5，6}，则（）A. 4，6B. M ∩N ={}M ∪N =U C. D. (∁U N )∪M =U(∁U M)∩N =N 2.在下列图形中，可以作为函数y =f （x ）的图象的是（）A. B.C. D. 3.已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A. B. C. D. 4x +2y =54x ‒2y =5x +2y =5x ‒2y =54.下列大小关系正确的是（）A.B. 0.42<30.4<log 40.30.42<log 40.3<30.4C.D.log 40.3<30.4<0.42log 40.3<0.42<30.45.下列命题正确的是（）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行6.已知函数f （x ）=3x -（）x ，则f （x ）（）13第2页，共20页A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 16+8π8+8π16+16π8+16π8.下列区间中，函数f （x ）=|ln （2-x ）|在其上为增函数的是（）A. B. C. D. (‒∞,1][‒1,43][0,32)[1,2)9.已知圆C 与直线x -y =0及x -y -4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为（）A. B. (x +1)2+(y ‒1)2=2(x ‒1)2+(y +1)2=2C. D. (x ‒1)2+(y ‒1)2=2(x +1)2+(y +1)2=210.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则（）A. B. C. D. A 1E ⊥DC 1A 1E ⊥BD A 1E ⊥BC 1A 1E ⊥AC11.已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a 满足f （log 2a ）+f （）≤2f （1），则a 的取值范围是（）log 12aA. B. C. D. [1,2](0,12](0,2][12,2]12.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A. B. C. D. 3+2632+2634+26343+263二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f （x ）=，则f （-1）+f （1）=______．{x 2‒4x +2,x ≥0x +5,x <014.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是______．15.已知圆C 1：（x +1）2+（y -1）2=1，圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称，则圆C 2的方程为______．16.函数f （x ）=log 2•log （2x ）的最小值为______．x 2三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（Ⅰ）设x ，y ，z 都大于1，w 是一个正数，且有log x w =24，log y w =40，log xyz w =12，求log z w ．（Ⅱ）已知直线l 夹在两条直线l 1：x -3y +10=0和l 2：2x +y -8=0之间的线段中点为P （0，1），求直线l 的方程．18.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、CC 1的中点．（Ⅰ）求证：平面AB 1D 1∥平面EFG ；（Ⅱ）A 1C ⊥平面EFG ．第4页，共20页19.已知函数f （x ）=a +是奇函数，a ∈R 是常数．22x ‒1（Ⅰ）试确定a 的值；（Ⅱ）用定义证明函数f （x ）在区间（0，+∞）上是减函数；（Ⅲ）若f （2t +1）+f （1-t ）＜0成立，求t 的取值范围．20.如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD =CD =1，BC =2，PD =．22（Ⅰ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求直线AB 与平面PBC 所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P -AB -C 的正切值．21.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2-12x +32=0的圆心为Q ，过点P （0，2）且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B ，记AB 的中点为E ．（Ⅰ）若AB 的长等于，求直线l 的方程；855（Ⅱ）是否存在常数k ，使得OE ∥PQ ？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．22.已知a ∈R ，函数f （x ）=log 2（+a ）．1x （1）当a =1时，解不等式f （x ）＞1；（2）若关于x 的方程f （x ）+log 2（x 2）=0的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设a ＞0，若对任意t ∈[，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取12值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：对于A，M∩N={ 4，5 }，故错误；对于B，M∪N={2，3，4，5，6，7}=U，故正确；对于C，由补集的定义可得∁U N={3，7}，则（∁U N）∪M={3，4，5，7}≠U，故错误；对于D，由补集的定义可得∁U M={2，6}，则（∁U M）∩N={2，6}≠N，故错误；故选：B．根据集合的基本运算逐一判断各个选项即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】D【解析】解：作直线x=a与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，∴y是x的函数，那么直线x=a移动中始终与曲线至多有一个交点，于是可排除，A，B，C．只有D符合．故选：D．令直线x=a与曲线相交，由函数的概念可知，直线移动中始终与曲线至多有一个交点的就是函数，从而可得答案本题考查函数的图象，理解函数的概念是关键，即定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，属于基础题3.【答案】B【解析】第6页，共20页解：线段AB的中点为，k AB==-，∴垂直平分线的斜率k==2，∴线段AB的垂直平分线的方程是y-=2（x-2）⇒4x-2y-5=0，故选：B．先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．4.【答案】D【解析】解：∵log40.3＜log41=0，0＜0.42＜0.40=1，1=30＜30.4，∴，故选：D．利用指数函数和对数函数的单调性即可比较出大小．熟练掌握对数函数和指数函数的单调性是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选：C．利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．6.【答案】A【解析】解：f（x）=3x-（）x=3x-3-x，∴f（-x）=3-x-3x=-f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，故函数f（x）=3x-（）x为增函数，故选：A．由已知得f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”-“减”=“增”可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，∴半圆柱的体积为：×π•22×4=8π；长方体的长宽高分别为4，2，2，第8页，共20页∴长方体的体积为4×2×2=16，∴该几何体的体积为V=16+8π．故选：A．根据几何体的三视图，得出该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，由此求出它的体积．本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据几何体的三视图得出该几何体的结构特征，是基础题目．8.【答案】D【解析】解：由2-x＞0得，x＜2，∴f（x）的定义域为（-∞，2），当x＜1时，ln（2-x）＞0，f（x）=|ln（2-x）|=ln（2-x），∵y=lnt递增，t=2-x递减，∴f（x）单调递减；当1≤x＜2时，ln（2-x）≤0，f（x）=|ln（2-x）|=-ln（2-x），∵y=-t递减，t=ln（2-x）递减，∴f（x）递增，即f（x）在[1，2）上单调递增，故选：D．先求函数f（x）的定义域，然后按照x＜1，1≤x＜2两种情况讨论去掉绝对值符号，再根据复合函数单调性的判断方法可求得函数的单调区间．本题考查复合函数单调性的判断，正确理解其判断规则“同增异减”是关键，注意单调区间须在定义域内求解．9.【答案】B【解析】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（-1，1）到两直线x-y=0的距离是；圆心（-1，1）到直线x-y-4=0的距离是．故A错误．故选：B．圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．10.【答案】C【解析】解：法一：连B1C，由题意得BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1，∵A1B1∩B1C=B1，∴BC1⊥平面A1ECB1，∵A1E⊂平面A1ECB1，∴A1E⊥BC1．故选：C．法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），=（-2，1，-2），=（0，2，2），=（-2，-2，0），=（-2，0，2），=（-2，2，0），∵•=-2，=2，=0，=6，第10页，共20页∴A1E⊥BC1．故选：C．法一：连B1C，推导出BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，从而BC1⊥平面A1ECB1，由此得到A1E⊥BC1．法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，涉及对数基本运算，关键是充分利用函数的奇偶性进行转化变形．根据题意，函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增且为偶函数，结合对数的运算性质可以将f（）+f（）≤2f（1）转化为||≤1，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且，则有f（）=f（）=f（||），f（）+f（）≤2f（1），∴f（）≤f（1），∴f（||）≤f（1），又由函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则有||≤1，即有-1≤≤1，解可得：≤a≤2，即a的取值范围是[，2]故选：D．12.【答案】C【解析】解：由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小．于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×=，正四面体的中心到底面的距离是+1 （1即小钢球的半径），所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4=4+，故选：C．底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高．小正四面体是由球心构成的，正四面体的中心到底面的距离等于小正四面体的中心到底面的距离再加上小钢球的半径1．13.【答案】3【解析】解：函数f（x）=，则f（-1）+f（1）=-1+5+1-4+2=3．故答案为：3．第12页，共20页直接利用函数的解析式，求解函数值即可．本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．14.【答案】60°【解析】解：由题意可得，三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，取BC的中点E，则AE⊥∠面BB1C1C，ED就是AD在平面BB1C1C内的射影，故∠ADE就是AD 与平面BB1C1C所成角，设三棱柱的棱长为1，直角三角形ADE中，tan∠ADE===，∴∠ADE=60°，故答案为60°．三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，取BC的中点E，则∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，解直角三角形求出∠ADE的大小，即为所求．本题考查直线与平面成的角的定义和求法，取BC的中点E，判断∠ADE就是AD与平面BB1C1C 所成角，是解题的关键，属于中档题．15.【答案】（x-2）2+（y+2）2=1【解析】解：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线X-Y-1=0的对称点（y+1，x-1）在圆C1：（X+1）2+（y-1）2=1上，∴有（y+1+1）2+（x-1-1）2=1，即（x-2）2+（y+2）2=1，∴答案为（x-2）2+（y+2）2=1．第14页，共20页在圆C 2上任取一点（x ，y ），求出此点关于直线X-Y-1=0的对称点，则此对称点在圆C 1上，再把对称点坐标代入圆C 1的方程，化简可得圆C 2的方程．本题考查一曲线关于一直线对称的曲线方程的求法：在圆C 2上任取一点（x ，y ），则此点关于直线X-Y-1=0的对称点（y+1，x-1）在圆C 1上．16.【答案】‒14【解析】解：∵f （x ）=log 2•log （2x ）∴f （x ）=log （）•log （2x ）=log x•log （2x ）=logx （log x+log 2）=logx （log x+2）=，∴当logx+1=0即x=时，函数f （x ）的最小值是．故答案为：-利用对数的运算性质可得f （x ）=，即可求得f （x ）最小值．本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵log x w =24，log y w =40，log xyz w =12，求log z w ．将对数式改写为指数式，得到x 24=w ，y 40=w ，（xyz ）12=w ．从而，z 12===，w x 12y 12ww 12w 310w 15那么w =z 60，∴log z w =60．（Ⅱ）设直线l 与l 1，l 2的交点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．则（*）{x 1‒3y 1+10=02x 2+y 2‒8=0∵A ，B 的中点为P （0，1），∴x 1+x 2=0，y 1+y 2=2．将x 2=-x 1，y 2=2-y 1代入（*）得，{x 1‒3y 1+10=02x 1+y 1+6=0解之得，，{x 1=‒4y 1=2{x 2=4y 2=0所以，k AB ==-，2‒0‒4‒414所以直线l 的方程为y =-x +1，即x +4y -4=0．14【解析】（Ⅰ）log x w=24，log y w=40，log xyz w=12，将对数式改写为指数式，得到x 24=w ，y 40=w ，（xyz ）12=w ．进而得出．（Ⅱ）设直线l 与l 1，l 2的交点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．可得，由A ，B 的中点为P （0，1），可得x 1+x 2=0，y 1+y 2=2．将x 2=-x 1，y 2=2-y 1代入即可得出．本题考查了指数与对数的互化、直线交点、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接BC 1，∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥C 1D 1，AB =C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形，∴AD 1∥BC 1． ……………（1分）又∵E ，G 分别是BC ，CC 1的中点，∴EG ∥BC 1，∴EG ∥AD 1． ……………（2分）又∵EG ⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，∴EG ∥平面AB 1D 1． ……………（4分）同理EF ∥平面AB 1D 1，且EG ∩EF =E ，EG ⊂平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，∴平面AB 1D 1∥平面EFG ． ……………（6分）（Ⅱ）∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB 1⊥A 1B ． ……………（7分）又∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BC ⊥平面AA 1B 1B ，∴AB 1⊥BC ． ……………（8分）又∵A 1B 与BC 都在平面A 1BC 中，A 1B 与BC 相交于点B ，∴AB 1⊥平面A 1BC ，∴A 1C ⊥AB 1． ……………（10分）同理A 1C ⊥AD 1，而AB 1与AD 1都在平面A 1B 1D 中，AB 1与AD 1相交于点A ，第16页，共20页∴A 1C ⊥平面A 1B 1D ，因此，A 1C ⊥平面EFG ． ……………（12分）【解析】（Ⅰ）连接BC 1，推导出四边形ABC 1D 1是平行四边形，从而AD 1∥BC 1．再求出EG ∥BC 1，EG ∥AD 1．从而EG ∥平面AB 1D 1，同理EF ∥平面AB 1D 1，由此能证明平面AB 1D 1∥平面EFG ．（Ⅱ）推导出AB 1⊥A 1B ，AB 1⊥BC ，从而AB 1⊥平面A 1BC ，A 1C ⊥AB 1，同理A 1C ⊥AD 1，由此能证明A 1C ⊥平面A 1B 1D ，从而A 1C ⊥平面EFG ．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）∵f （x ）+f （-x ）=2a ++22x ‒122‒x ‒1=2a -=2a -2=0对xR 恒成立，∴a =1．2(2x ‒1)2x ‒1（Ⅱ）设0＜x 1＜x 2＜+∞，∵f （x 2）-f （x 1）=-=22x 2‒122x 1‒1．（*）2(2x 1‒2x 2)(2x 1‒1)(2x 2‒1)∵函数y =2x 是增函数，又0＜x 1＜x 2，∴2＞0，x 2‒2x 1而2-1＞0，2-1＞0，∴（*）式＜0．x 1x 2∴f （x 2）＜f （x 1），即f （x ）是区间（0，+∞）上是减函数．（Ⅲ）∵f （x ）是奇函数，∴f （2t +1）+f （1-t ）＜0可化为f （2t +1）＜f （t -1）．由（Ⅱ）可知f （x ）在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．当2t +1＞0，t -1＞0时，f （2t +1）＜f （t -1）化为2t +1＞t -1，解得t ＞1；当2t +1＜0，t -1＜0时，f （2t +1）＜f （t -1）化为2t +1＞t -1，解得-2＜t ＜-；12当2t +1＜0，t -1＞0时，f （2t +1）＜0＜f （t -1）显然成立，无解；综上，f （2t +1）+f （1-t ）＜0成立时t的取值范围是-2＜t ＜-或t ＞1．12【解析】（Ⅰ）根据f （-x ）=-f （x ）恒成立可得；（Ⅱ）按照设点、作差、变形、判号、下结论，五个步骤证明；（Ⅲ）利用奇偶性、单调性转化．本题考查了不等式恒成立的问题，属中档题．20.【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ．又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC ，………．．（2分）又PD ⊥PB ，PB 与BC 相交于点B ，所以，PD ⊥平面PBC ． ………．．（4分）（Ⅱ）解：过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角． ………．．（5分）由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF =AD =CF =1．又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，ABCD 为直角梯形，所以，DF =． ………．．（6分）2在Rt △DPF 中，PD =，DF =，sin ∠DFP ==．222PD DF 12所以，直线AB 与平面PBC 所成角为30°． ……………（8分）（Ⅲ）解：设E 是CD 的中点，则PE ⊥CD ，又AD ⊥平面PDC ，所以PE ⊥平面ABCD ． ………．．（9分）在平面ABCD 内作EG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，连EG ，则∠PGE 是二面角P -AB -C 的平面角． ………．．（10分）在直角梯形ABCD 内可求得EG =，而PE =，………．．（11分）32412所以，在Rt △PEG 中，tan ∠PGE ==PE GE 23所以，二面角P -AB -C 的正切值为 ………．．（12分）23【解析】（Ⅰ）证明AD ⊥PD ．PD ⊥BC ，然后证明PD ⊥平面PBC ．第18页，共20页（Ⅱ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角，在Rt △DPF 中，求解即可．（Ⅲ）说明∠PGE 是二面角P-AB-C 的平面角，在直角梯形ABCD 内可求得EG=，而PE=，在Rt △PEG 中，求解即可．本题考查二面角的平面角以及直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用．21.【答案】解：（Ⅰ）圆Q 的方程可写成（x -6）2+y 2=4，所以圆心为Q （6，0）．过P （0，2）且斜率为k 的直线方程为y =kx +2．∵|AB |=，∴圆心Q 到直线l 的距离d ==，85522‒(455)225∴=，即22k 2+15k +2=0，解得k =-或k =-．|6k +2|1+k 22512211所以，满足题意的直线l 方程为y =-+2或y =-x +2．12x 211（Ⅱ）将直线l 的方程y =lx +2代入圆方程得x 2+（kx +2）2-12x +32=0整理得（1+k 2）x 2+4（k -3）x +36=0． ①直线与圆交于两个不同的点A ，B 等价于△=[4（k -3）2]-4×36（1+k 2）=42（-8k 2-6k ）＞0，解得-＜k ＜0，即k 的取值范围为（-，0）．3434设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB 的中点E （x 0，y 0）满足x 0==-，y 0=kx 0+2=．x 1+x 222k ‒61+k 26k +21+k 2∵k PQ ==-，k OE ==-，2‒00‒613y 0x 03k +1k ‒3要使OE ∥PQ ，必须使k OE =k PQ =-，解得k =-，1334但是k ∈（-，0），故没有符合题意的常数k ．34【解析】（Ⅰ）待定系数法，设出直线l ：y=kx+2，再根据已知条件列式，解出k 即可；（Ⅱ）假设存在常数k ，将OE ∥PQ 转化斜率相等，联立直线与圆，根据韦达定理，可证明斜率相等．本题考查了圆的标准方程．属中档题．22.【答案】解：（1）当a =1时，不等式f （x ）＞1化为：＞1，log 2(1x +1)∴2，化为：，解得0＜x ＜1，1x +1＞1x ＞1经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1）．（2）方程f （x ）+log 2（x 2）=0即log 2（+a ）+log 2（x 2）=0，∴（+a ）x 2=1，化为：ax 2+x -1=0，1x 1x 若a =0，化为x -1=0，解得x =1，经过验证满足：关于x 的方程f （x ）+log 2（x 2）=0的解集中恰有一个元素1．若a ≠0，令△=1+4a =0，解得a =，解得x =2．经过验证满足：关于x 的方程f （x ）+log 2（x 2）=0的解集中恰‒14有一个元素1．综上可得：a =0或-．14（3）a ＞0，对任意t ∈[，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上单调递减，12∴-≤1，log 2(1t +a)log 2(1t +1+a)∴≤2，(1+ta)(t +1)t[1+a(t +1)]化为：a ≥=g （t ），t ∈[，1]，1‒tt 2+t 12g ′（t ）===≤＜0，‒(t 2+t)‒(1‒t)(2t +1)(t 2+t )2t 2‒2t ‒1(t 2+t )2(t ‒1)2‒2(t 2+t )2(12‒1)2‒2(1+1)2∴g （t ）在t ∈[，1]上单调递减，∴t =时，g （t ）取得最大值，=．1212g(12)23∴．a ≥23∴a 的取值范围是．[23，+∞)【解析】（1）当a=1时，不等式f （x ）＞1化为：＞1，因此2，解出并且验证即可得出．（2）方程f （x ）+log 2（x 2）=0即log 2（+a ）+log 2（x 2）=0，（+a ）x 2=1，化为：ax 2+x-1=0，对a 分类讨论解出即可得出．（3）a ＞0，对任意t ∈[，1]，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上单调递减，由题意可得-≤1，因此≤2，化为：a≥=g （t ），t ∈[，1]，利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．第20页，共20页。

2017-2018学年河南省郑州市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{2，3}，B＝{a，5}，若集合A∪B中有3个元素，则a＝（）A．2B．3C．5D．2或32．（5分）已知点A（2，1），B（﹣2，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．2x﹣y+2＝0B．x+2y﹣4＝0C．2x+y﹣2＝0D．2x﹣y+1＝0 3．（5分）函数f（x）＝+ln（3﹣2x）的定义域为（）A．[1，）B．（1，）C．[1，]D．（，+∞）4．（5分）已知x，y∈R且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0B．x3＜y3C．（）x﹣（）y＜0D．lgx+lgy＞05．（5分）若直线l：x﹣y﹣1＝0始终平分圆M：x2+y2﹣2ax+4y﹣3＝0的周长，则a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．2D．46．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣（）x（e≈2.71828…），则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（）A．B．3C．D．8．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝，动点P 从点A出发，按照A→D→C→B路径沿边运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，则函数y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等，如图所示，扇形AOB的半径为3，圆心角为90°，若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A．3πB．6πC．9πD．27π10．（5分）已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，1]C．（1，）D．（0，] 11．（5分）如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，给出以下四个命题：①AC∥平面A′DF；②平面A′GF⊥平面BCED；③动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；④异面直线A′E与BD不可能垂直．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知点P（x，y）是直线2x﹣y+4＝0上一动点，直线P A，PB是圆C：x2+y2+2y ＝0的两条切线，A，B为切点，C为圆心，则四边形P ACB面积的最小值是（）A．2B．C．2D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在空间直角坐标系中，已知A（1，﹣2，1），B（3，2，5），P是AB的中点，则点P到坐标原点的距离为．14．（5分）给定集合A＝{﹣2，1，2}，B＝{1，2，5，6}，定义一种新运算：A⊕B＝{x|x∈A 或x∈B，且x∉A∩B}，试用列举法写出A⊕B＝．15．（5分）已知点A（﹣3，0），B（1，2），若圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）与以线段AB为直径的圆相外切，则实数r的值是．16．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3，已知函数f（x）＝﹣，则函数y＝[f（x）]的值域是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣a+1）＝0}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣b）＝0}（b≠2），C＝{x|1＜2x﹣3＜5}．（1）若A＝B，求b的值；（2）若A∪C＝C，求a的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（4，3），C（﹣1，﹣2）．（1）在△ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程；（2）求△ABC的面积．19．（12分）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示．请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？20．（12分）已知四边形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝AD＝DC．（1）证明：BC⊥平面BDE；（2）M为线段AD上的点，且AM＝MD，N是线段DE上一点，且DN＝NE，求证：MN∥平面BCE．21．（12分）已知函数f（x）＝﹣（m∈R）．（1）当m＝3时，判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）当m＞1时，判断并证明函数f（x）在R上的单调性．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2+ay＝0（a＞0），直线l：x﹣7y﹣2＝0，且直线l与圆M相交于不同的两点A，B．（1）若a＝4，求弦AB的长；（2）设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝，求圆M的方程．2017-2018学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合A∪B中有3个元素，∴a＝2或3故选：D．2．【解答】解：设线段AB的垂直平分线为l，∵点A（2，1），B（﹣2，3），∴AB的斜率k＝＝﹣，AB的中点坐标为（（2+﹣），（1+3）），即（0，2）．∵直线l经过AB的中点与AB垂直，∴直线l的斜率k1＝2＝1，可得l的方程为y﹣2＝2x，化简得2x﹣y+2＝0．即线段AB的垂直平分线的方程是2x﹣y+2＝0．故选：A．3．【解答】解：要使f（x）有意义，则；解得；∴f（x）的定义域为．故选：B．4．【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则﹣＜0，x3＞y3，（）x﹣（）y＜0，lgx+lgy与0的大小关系不确定．故选：C．5．【解答】解：圆M：x2+y2﹣2ax+4y﹣3＝0可化为（x﹣a）2+（y+2）2＝a2+7，由题意可得，直线l：x﹣y﹣1＝0始终经过圆心（a，﹣2），把圆心（a，﹣2）代入直线l：x﹣y﹣1＝0中，解得a＝﹣1．故选：B．6．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e x﹣（）x＝e x﹣e﹣x，则f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，f′（x）＝e x+e﹣x＞0，则函数f（x）为增函数；故选：B．7．【解答】解：作出三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示，过A作AD⊥BC，垂足为D，连结PD．由三视图可知P A⊥平面ABC，BD＝AD＝1，CD＝P A＝2，∴BC＝3，PD＝＝．AC＝＝，AB＝．BC⊥PD．∴S ABC＝＝，S△ABP＝＝，S△ACP＝＝，S＝＝．△BCP∴三棱锥P﹣ABC的四个面中，侧面PBC的面积最大．故选：C．8．【解答】解：P点在AD上时，△APB是底边AB不变，高在增加，图象成一次函数形式递增；排除C，D，P点在DC上时，△APB是底边AB不变，高不变，图象是水平一条直线；P在CB上时，AB不变，高在减小，图象是递减的一次函数，故选：D．9．【解答】解：阴影部分旋转后所得几何体是以OA＝3为半径的半球减去以OA＝3为底面图半径，以OB＝3为高的圆锥体的体积，∴图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为：V＝＝9π．故选：C．10．【解答】解：函数f（x）＝的值域为R，由y＝log2x是增函数，∴y＝ax﹣4a+3也是增函数，故得a＞0，解得：a＜2，∵函数f（x）的值域为R，2a﹣4a+3≥log22，解得：a≤1．∴实数a的取值范围是（0，1]．故选：B．11．【解答】解：由题意知，AC∥DF，AC⊄平面A′DF，DF⊂平面A′DF，∴AC∥平面A′DF，①正确；平面A′GF过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，②正确；∵A′D＝A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，③正确；当（A′E）2+EF2＝（A′F）2时，异面直线A′E与BD垂直，④错误；综上，正确的命题序号是①②③．故选：C．12．【解答】解：由x2+y2+2y＝0，得x2+（y+1）2＝1，则圆C的半径为r＝1，圆心为C（0，﹣1），∴P A＝，又P在直线2x﹣y+4＝0上，∴PC的最小值为C到直线2x﹣y+4＝0的距离d＝，∴P A的最小值为＝2，∴四边形P ACB的面积的最小值为2××1×2＝2．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，﹣2，1），B（3，2，5），P是AB的中点，则点P（2，0，3）P到坐标原点的距离为|OP|＝＝．故答案为：．14．【解答】解：集合A＝{﹣2，1，2}，B＝{1，2，5，6}，A∩B＝{1，2}，用列举法写出A⊕B＝{﹣2，5，6}．故答案为：{﹣2，5，6}．15．【解答】解：根据题意，设AB的中点为M，点A（﹣3，0），B（1，2），则M的坐标为（﹣1，1），|AB|＝2，以线段AB为直径的圆的圆心为M，半径R＝×|AB|＝，若圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）与以线段AB为直径的圆相外切，则有r+R＝r+＝＝5，则r＝5﹣；故答案为：5﹣．16．【解答】解：f（x）＝﹣＝∈（，）．∴当x∈（，0）时，y＝[f（x）]＝﹣1；当x∈[0，1）时，y＝[f（x）]＝0；当x∈[1，）时，y＝[f（x）]＝1．∴函数y＝[f（x）]的值域是{﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）A＝{a，a﹣1}，B＝{2，b}；若A＝B则，或；∴b＝1，或3；（2）C＝{x|2＜x＜4}；A∪C＝C；∴A⊆C；∴；∴3＜a＜4；∴a的取值范围是（3，4）．18．【解答】解：（1）直线BC的斜率k BC＝＝1．∴BC边上的高线斜率k＝﹣1，∴BC边上的高线方程为：y﹣2＝﹣（x+3），∴BC边上的高线所在的直线方程为x+y+1＝0．（2）∵B（4，3），C（﹣1，﹣2），∴|BC|＝＝5，由B（4，3），C（﹣1，﹣2）得直线BC的方程为：x﹣y﹣1＝0．∴A到直线BC的距离d＝＝3，∴△ABC的面积S＝＝15．19．【解答】解：根据上表销售单价每增加1元日均销售量就减少40桶，设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为480﹣40（x﹣1+＝520﹣40x，由于x＞0，且520﹣4x＞0，即0＜x＜13，于是，可得y＝（520﹣40x）x﹣200＝﹣40x2+520x﹣200，0＜x＜13，易知，当x65时，y有最大值，所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润．20．【解答】证明：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，在正方形CDEF中，ED⊥DC，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC．取DC的中点G，连接BG，DG＝DC，在四边形ABCD中，∵AB∥DC，AB＝，∴四边形ABGD为平行四边形，∵AB＝AD，∴BG＝DC，∴点B在以DC为直径的圆上，∴DB⊥BC，又∵ED∩BD＝D，∴BC⊥平面BDE．（Ⅱ）如图，取DC的中点G，连接AG，在DC上取点P，使＝，连接NP，∵＝＝，∴PN∥EC，∴PN∥面BCE，连接MP，∵G为DC中点，∴＝＝，∴MP∥AG．又AB∥CG，AB＝CG，∴ABCG为平行四边形，∴AG∥BC，∴MP∥BC，∴MP∥面BCE，又∵MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面BCE．∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面BCE．21．【解答】解：（1）当m＝3时，f（x）＝﹣，f（x）为R上的奇函数证明如下：f（x）＝﹣，其定义域为R，则f（﹣x）＝﹣＝＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数；（2）当m＞1时，函数f（x）在R上单调递减，证明如下：f（x）＝﹣＝﹣1+，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（﹣1+）﹣（﹣1+）＝﹣＝﹣，又由x1＜x2，则﹣＜0，则有f（x1）﹣f（x2）＞0，即函数f（x）为R上的减函数．22．【解答】解：（1）由题意知，a＝4时圆心M坐标为（0，﹣2），半径为2，圆心到直线距离d＝，∴弦|AB|＝；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得50y2+（28+a）y+4＝0．∵△＝（28+a）2﹣16×50＞0，∴．，则，．于是＝＝．∴a＝2．∴圆的方程为x2+y2+2y＝0．。

2017-2018学年高一数学上学期期末考试题(A卷)及答案(新人教A版第108套)

宁德市2017-2018学年高一上学期期末考试数学（必修1、3）试题（A ）(考试时间：120分钟试卷总分150分)参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为样本平均数．用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-．第I 卷（选择题 50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卷的相应位置． 1．以下赋值语句书写正确的是A ．2a =B ．1a a =+C ．2a b *=D ．1a a += 2．下列式子中，不正确．．．的是 A ．3{|4}x x ∈≤ B ．{3}{3}R -=- C ．{0}∅=∅ D ．{1}{|0}x x -⊆< 3．某射击俱乐部四名运动员甲、乙、丙、丁在选拔赛中所得的平均环数x 及其方差2s 如表所示，若从中选送一人参加决赛，则最佳人选是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 4．函数()lg f x x =A ．1(0,]2B ．1(0,)2C ．1[,)2+∞ D ．[2,)+∞5．某学校有教师160人，其中高级、中级和初级职称的教师分别有32人、64人和64人．为了了解教师的身体状况，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本．若所抽取的样本中中级职称教师有16人，则n 的值为A ．32B ．36C ．38D ．40第3题6. 在同一坐标系中，函数()x f x a =与函数()log a g x x =的图象可以是7．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x 表示，则x 的值为 A ．0 B ．4C ．5D ．78．设函数3()48f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=的近似根过程中，计算得到(1)0,(3)0f f <>，则方程的根落在区间 A ．(1,1.5) B ．(1.5,2) C ．(2,2.5) D ．(2.5,3)9．如图所示的程序框图，若执行的运算是111112345⨯⨯⨯⨯，则在空白的执行框中，应该填入A ．T T i =⋅B ．(1)T T i =⋅+C ．11T T i =⋅+ D ．1T T i=⋅ 10．已知函数()f x x =，()g x 为偶函数，且当0x ≥时，2()2g x x x =-．记{},m a x ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩．给出下列关于函数()max{(),()}()F x f x g x x R =∈的说法： ①当3x ≥时，()22F x x x =-；②函数()F x 为奇函数；③函数()F x 在[-1,1]上为增函数；④函数()F x 的最小值为1-，无最大值．其中正确的是A ．①②④B ．①③④C ．①③D ．②④第Ⅱ卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置． 11．已知幂函数()f x x α=在[1,2]上的最大值与最小值的和为5，则α= ． 12．已知函数()f x 的定义域和值域都是{1,2,3,4,5}，其对应关系如下表所示，则((4))f f = ．13．运行如图所示的程序，其输出的结果为．14．如图，在Rt △ABC 中，4AB =，3BC =，点P 在边BC 上沿B C→运动，则ABP ∆的面积小于4的概率为．15．函数()M f x 的定义域为R ，且定义如下：1,()1,M x M f x x M ∈⎧=⎨-∉⎩（其中M 是非空实数集）．若非空实数集,A B 满足A B =∅ ，则函数()()()()A B A B g x f x f x f x =+⋅ 的值域为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤. 16．（本题满分13分）（Ⅰ）已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，{1,4,5}A =，{2,3,5}B =，记()U M A B = ð, 求集合M ，并写出M 的所有子集；（Ⅱ）求值：12lg 4lg 254(4-0++--π)．第14题。

河南省三门峡市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(精品Word版,含答案解析)

2017-2018学年河南省三门峡市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U =R ，集合A ={x |0＜x ＜4}，集合B ={x |3≤x ＜5}，则A ∩（∁U B ）=（）A. B. C. D. {x|1≤x <3}{1,2}{x|x ≥5}{x|0<x <3}2.若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）3A.B.C.D.π6π4π3π23.设一个半径为r 的球的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上有两个点A ，B ，其坐标分别为（1，2，2），（2，-2，1），则（）A. B. C. D. |AB|<r|AB|=r |AB|=2r |AB|<2r4.函数的图象的大致形状是（）y =xa x|x|(a ＞1)A. B.C.D.5.若a =ln2，，，则有（）b =π12c =log 12eA. B. C. D. a >b >cb >a >c b >c >a c >a >b6.三条直线l 1：ax +by -1=0，l 2：2x +（a +2）y +1=0，l 3：bx -2y +1=0，若l 1，l 2都和l 3垂直，则a +b 等于（）A. B. 6 C. 或6 D. 0或4‒2‒27.由一个正方体截去一个三棱锥所得的几何体的直观图如图所示，则该几何体的三视图正确的是（）A.B.C.D.8.已知m ，n 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A. ，，B. ，，m ⊥αα⊥βm//n⇒n//βm ⊥αm ⊥n α//β⇒n//βC. ，，D. ，，m//αm ⊥n α//β⇒n ⊥βm ⊥αm//n α//β⇒n ⊥β9.已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（-∞，0]上是减函数，且=2，则不等式f(12)f （log 4x ）＞2的解集为（）A. B. (0,12)∪(2,+∞)(2,+∞)C.D.(0,22)∪(2,+∞)(0,22)10.已知圆C ：x 2+y 2+2x =0与过点A （1，0）的直线l 有公共点，则直线l 斜率k 的取值范围是（）A. B.C.D. [‒32,32][‒33,33][‒12,12][‒1,1]11.在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b =a ；当a ＜b 时，a ⊕b =b 2，已知函数f （x ）=（1⊕x ）x -2（2⊕x ）（x ∈[-2，2]），则满足f （m +1）≤f （3m ）的实数的取值范围是（）A.B.C.D.[12,+∞)[12,2][12,23][‒1,23]12.已知函数f （x ）=，对于任意s ∈R 且s ≠0．均存在唯一{ln(x +1)+m,x ≥0ax ‒b +1,x <0(m ＜‒1)实数t ，使得f （s ）=f （t ），且s ≠t ．若关于x 的方程|f （x ）|=f （）|有4个不相m2等的实数根，则a 的取值范围是（）A. B. (‒2,‒1)(‒1,0)C. D. (‒4,‒2)(‒4,‒1)∪(‒1,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f （x ）=1g （2x -1）的定义城为______．14.在平面直角坐标系中，动点P 到两条直线3x -y =0与x +3y =0的距离之和等于2，则点P 到坐标原点的距离的最小值为______．15.已知符号函数sgn （x ）=，则函数f （x ）=sgn （x ）-2x 的所有零点构成{1，x ＞00，x =0‒1，x ＜0的集合为______．16.如图，在棱长均相等的正四棱锥P -ABCD 最终，O 为底面正方形的重心，M ，N 分别为侧棱PA ，PB 的中点，有下列结论：①PC ∥平面OMN ；②平面PCD ∥平面OMN ；③OM ⊥PA ；④直线PD 与直线MN 所成角的大小为90°．其中正确结论的序号是______．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.直线l 经过两直线l 1：2x -y +4=0与l 2：x -y +5=0的交点，且与直线x -2y -6=0垂直．（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若点P （a ，1）到直线l 的距离为，求实数a 的值．518.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD =60°，AB =2AD ，PD ⊥平面ABCD ，点M 为PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面BMD ；（2）求证：AD ⊥PB ；（3）若AB =PD =2，求点A 到平面BMD 的距离．19.已知f （x ）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x ∈[-1，0]时，函数解析式为f （x ）=-（b ∈R ）14x b2x （Ⅰ）求b 的值，并求出f （x ）在[0，1]上的解析式；（Ⅱ）求f （x ）在[0，1]上的最值．20.如图，几何体EF -ABCD 中，四边形CDEF 是正方形，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，△ACB 是腰长为2的等腰直角三角形，平面CDEF ⊥平面2ABCD ．（Ⅰ）求证：BC ⊥AF ；（Ⅱ）求几何体EF -ABCD 的体积．21.已知圆M 的方程为x 2+（y -2）2=1，直线l 的方程为x -2y =0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（1）若∠APB =60°，试求点P 的坐标；（2）若P 点的坐标为（2，1），过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当时，求直线CD 的方程；CD =2（3）求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．22.已知函数f （x ）=．{x 2‒(a +1)x +a(x ≥a)‒x 2+(a +1)x ‒a(x <a)（Ⅰ）若f （2）=a ，求a 的值；（Ⅱ）当a =2时，若对任意互不相等的实数x 1，x 2∈（m ，m +4），都有＞0成立，求实数m 的取值范围；f(x 1)‒f(x 2)x 1‒x 2（Ⅲ）判断函数g （x ）=f （x ）-x -2a （＜a ＜0）在R 上的零点的个数，并说明‒12理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵（∁U B）={x|x＜3或x≥5}，∴A∩（∁U B）={x|0＜x＜3}．故选：D．先求∁U B，然后求A∩（∁U B）．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：设直线的倾斜角为α，则tanα==，又∵α∈[0，π]，∴α=．故选：A．利用倾斜角、斜率的计算公式即可得出．本题考查了直线的倾斜角．熟练掌握倾斜角、斜率的计算公式是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵由已知可得r=，而|AB|=，∴|AB|=r．故选：C．由已知求得球的半径，再由空间中两点间的距离公式求得|AB|，则答案可求．本题考查空间中两点间距离公式的应用，是基础题．4.【答案】C【解析】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）=，∴x＞0时，图象与y=a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y=a x的图象关于x轴对称，故选：C．f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．5.【答案】B【解析】解：∵0＜a=ln2＜1，＞1，＜0，∴b＞a＞c．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：l1，l2都和l3垂直，①若b=0，则a+2=0，解得a=-2，∴a+b=-2．②若b≠0，则-×=-1，-×=-1，联立解得a=2，b=4，∴a+b=6．综上可得：a+b的值为-2或6．故选：C．根据相互垂直的自尊心斜率之间的关系对b分类讨论即可得出．本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据三视图的画法，可得俯视图、侧视图，故选：D．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．依此画出该几何体的三视图．此题考查了作图-三视图，具体画法及步骤：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．8.【答案】D【解析】解：对于A，m⊥α，α⊥β⇒m∥β或m⊂β，m∥n不可以得出n∥β，故A错误；对于B，m⊥α，m⊥n⇒n∥α或n⊂α，α∥β不可以得出n∥β，因此B不正确；对于C，m∥α，m⊥n，不可以得出m⊥α，故α∥β不可以得出n⊥β，因此C不正确；对于D，m⊥α，m∥n，可以得出n⊥α，故α∥β⇒n⊥β，因此D正确．故选：D．对4个选项分别进行判断，即可得出结论．本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．9.【答案】A【解析】解：由题意知不等式f（log4x）＞2，即f（log4x）＞，又偶函数f（x）在（-∞，0]上是减函数，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴log4x＞=log42，或log4x＜-=，∴0＜x＜，或x＞2，故选：A．由题意知不等式即f（log4x）＞，即log4x＞，或log4x＜-，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集．本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点．10.【答案】B【解析】解：根据题意得，圆心（-1，0）r=1设直线方程为y-0=k（x-1），即kx-y-k=0∴圆心到直线的距离d=≤1，解得k≤故选：B．运用点到直线的距离公式和直线和圆的位置关系可解决．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式．11.【答案】C【解析】解：当-2≤x≤1时，f（x）=1•x-2×2=x-4；当1＜x≤2时，f（x）=x2•x-2×2=x3-4；所以f（x）=，易知，f（x）=x-4在[-2，1]单调递增，f（x）=x3-4在（1，2]单调递增，且-2≤x≤1时，f（x）max=-3，1＜x≤2时，f（x）min=-3，则f（x）在[-2，2]上单调递增，所以f（m+1）≤f（3m）得：，解得：≤m≤，故选：C．据题中给出的定义，分当-2≤x≤1时和1＜x≤2时两种情况讨论，从而确定函数的解析式．结合函数的单调性分别算出最大值，再加以比较即可得到函数f（x）的最大值．本题给出新定义，求函数f（x）的最大值．着重考查了对新定义的理解和基本初等函数的性质，考查了分类讨论的数学思想和分析解决问题的能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意可知f（x）在[0，+∞）上单调递增，值域为[m，+∞），∵对于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一实数t，使得f（s）=f（t），且s≠t，∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，值域为（m，+∞），∴a＜0，且-b+1=m，即b=1-m．∵|f（x）|=f（）有4个不相等的实数根，∴0＜f（）＜-m，又m＜-1，∴0＜＜-m，即0＜（+1）m＜-m，∴-4＜a＜-2，∴则a的取值范围是（-4，-2），故选：C．根据f（x）在[0，+∞）上的单调性和值域结合函数性质判断f（x）在（-∞，0）上的单调性和值域，得出a，b，m的关系，根据|f（x）|=f（）有4个不相等的实数根可知0＜f（）＜-m，由此求出a的范围得答案本题考查了函数的性质应用，函数图象的运用，属于中档题．13.【答案】（0，+∞）【解析】解：∵f（x）=lg（2x-1）根据对数函数定义得2x-1＞0，解得：x＞0故答案为：（0，+∞）根据对数函数定义得2x -1＞0，求出解集即可．考查学生理解函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x 的取值范围．会求不等式的解集．14.【答案】2【解析】解：∵3x-y=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点，∴设P 到直线的距离分别为a ，b ，则a≥0，b≥0，则a+b=2，即b=2-a≥0，得0≤a≤2，由勾股定理可知OP===，∵0≤a≤2，∴当a=1时，OP 的距离最小为OP==≥．故答案为：．先确定两条直线满足垂直关系，设出点到直线的距离分别为a ，b ，然后根据条件得到a+b=2，利用二次函数的性质即可求P 到原点距离的最小值．本题主要考查点到距离的公式，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．15.【答案】{}‒12，0，12【解析】解：①x ＞0时，函数f （x ）=sgn （x ）-2x 转化为函数f （x ）=1-2x ，令1-2x=0，得x=，即当x＞0时．函数f（x）=sgn（x）-2x的零点是；②x=0时，函数f（x）=sgn（x）-2x转化为函数f（x）=0，函数f（x）=sgn（x）-2x的零点是0；③x＜0时，函数f（x）=sgn（x）-2x转化为函数f（x）=-1-2x，令-1-2x=0，得x=-，即当x＜0时．函数f（x）=sgn（x）-2x的零点是-；综上函数f（x）=sgn（x）-x的零点的集合为：{}．故答案为：{}．分类讨论，分别求出等价函数，分别求解其零点个数，然后相加即可．本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，考查转化思想，分类讨论思想，是基础题．16.【答案】①②③【解析】解：如图，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确．由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，为∠PDC，知三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC=60°，故④错误．故答案为：①②③．对4个命题分别进行判断，即可得出结论．本题考查线面平行、面面平行，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）两直线l 1：2x -y +4=0与l 2：x -y +5=0的交点为（1，6），直线x -2y -6=0的斜率为，由垂直可得直线l 的斜率为-2，12则直线l 的方程为y -6=-2（x -1），即为2x +y -8=0；（Ⅱ）若点P （a ，1）到直线l ：2x +y -8=0的距离为，5可得=，|2a +1‒8|4+15解得a =6或1．【解析】（Ⅰ）解方程组，可得两直线的交点，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得所求直线的斜率，运用点斜式方程可得所求直线方程；（Ⅱ）运用点到直线的距离公式，解方程即可得到所求值．本题考查直线的方程的求法，注意运用方程思想和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则由底面ABCD 是平行四边形可得O 为AC 的中点．由于点M 为PC 的中点，故MO 为三角形PAC 的中位线，故MO ∥PA ．再由PA 不在平面BMD 内，而MO 在平面BMD 内，故有PA ∥平面BMD ．（2）由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥AD ，平行四边形ABCD 中，∵∠BCD =60°，AB =2AD ，∴cos ∠BAD ==cos60°=，∴AD ⊥BD ．AD AB 12这样，AD 垂直于平面PBD 内的两条相交直线，故AD ⊥平面PBD ，∴AD ⊥PB ．（3）若AB =PD =2，则AD =1，BD =AB •sin ∠BAD =2×=，33由于平面BMD 经过AC 的中点，故点A 到平面BMD 的距离等于点C 到平面BMD 的距离．取CD 得中点N ，则MN ⊥平面ABCD ，且MN =PD =1．12设点C 到平面MBD 的距离为h ，则h 为所求．由AD ⊥PB 可得BC ⊥PB ，故三角形PBC 为直角三角形．由于点M 为PC 的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得MD =MB ，故三角形MBD 为等腰三角形，故MO ⊥BD ．由于PA ===，∴MO =．PD 2+AD 24+1552 由V M -BCD =V C -MBD 可得，•（）•MN =•（×BD ×MO）×h ，1312×AB ×AD ×sin∠BAD1312故有×（）×1=•（）•h ，1312×2×1×sin60°1312×3×52解得h =255【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，MO 为三角形PAC 的中位线可得MO ∥PA ，再利用直线和平面平行的判定定理，证得结论．（2）由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥AD ，再由cos ∠BAD==，证得AD ⊥BD ，可证AD ⊥平面PBD ，从而证得结论．（3）点A 到平面BMD 的距离等于点C 到平面BMD 的距离h ，求出MN 、MO 的值，利用等体积法求得点C 到平面MBD 的距离h ．本题主要考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的性质，用等体积法求点到平面的距离，体现了数形结合和等价转化的数学思想，属于中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）∵f （x ）为定义在[-1，1]上的奇函数，且f （x ）在x =0处有意义，∴f （0）=0，即f （0）═1-b =0．b =1…（3分）设x ∈[0，1]，则-x ∈[-1，0]．∴f （-x ）=-=4x -2x ．14‒x 12‒x又∵f（-x）=-f（x）∴-f（x）=4x-2x．∴f（x）=2x-4x．所以，f（x）在[0，1][上的解析式为f（x）=2x-4x…（6分）（Ⅱ）当x∈[0，1]，f（x）=2x-4x=2x-（2x）2，∴设t=2x（t＞0），则f（t）=t-t2．∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．当t=1时，取最大值，最大值为1-1=0．当t=0时，取最小值为-2．所以，函数在[0，1]上的最大与最小值分别为0，-2…（12分）【解析】（Ⅰ）利用奇函数f（0）=0，即可求出b的值，利用函数的奇偶性直接并求出f（x）在[0，1]上的解析式；（Ⅱ）利用换元法化简函数为求f（x）为二次函数，然后求解在[0，1]上的最值．本题考查换元法的应用，函数的奇偶性以及函数的解析式的求法二次函数的闭区间上的最值的求法，考查计算能力．20.【答案】（12分）证明：（Ⅰ）因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，又四边形CDEF是正方形，所以FC⊥CD，FC⊂平面CDEF，所以FC⊥平面ABCD，所以FC⊥BC．2因为△ACB是腰长为2的等腰直角三角形，所以AC⊥BC．又AC∩CF=C，所以BC⊥平面ACF．所以BC⊥AF．………………（6分）2解：（Ⅱ）因为△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，2AC2+BC2所以AC=BC=2，AB==4，2sin45°所以AD=BC sin∠ABC=2=2，2CD=AB=BC cos∠ABC=4-2cos45°=2，∴DE=EF=CF=2，AD2+DE22由勾股定理得AE==2，因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AD ．又AD ⊥DC ，DE ∩DC =D ，所以AD ⊥平面CDEF ．所以V 几何体EF -ABCD =V 几何体A -CDEF +V 几何体F -ACB=13S四边形CDEF ⋅AD +13S △ABC &;⋅CF=+13×CD ×DE ×AD13×12×AC ×BC ×CF=13×2×2×2+13×12×22×22×2=．………………（12分）163【解析】（Ⅰ）推导出FC ⊥CD ，FC ⊥BC ，AC ⊥BC ，由此BC ⊥平面ACF ，从而BC ⊥AF ．（Ⅱ）推导出AC=BC=2，AB==4，从而AD=BCsin ∠ABC=2=2，由V 几何体EF-ABCD =V 几何体A-CDEF +V 几何体F-ACB ，能求出几何体EF-ABCD 的体积．本题考查线线垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（1）设P （2m ，m ），由题可知MP =2，所以（2m ）2+（m -2）2=4，解之得：，m =0，m =45故所求点P 的坐标为P （0，0）或．P(85，45)（2）设直线CD 的方程为：y -1=k （x -2），易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD 的距离为，所以，2222=|‒2k ‒1|1+k 2解得，k =-1或，故所求直线CD 的方程为：x +y -3=0或x +7y -9=0．k =‒17（3）设P （2m ，m ），MP 的中点，Q(m ，m2+1)因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：(x ‒m )2+(y ‒m 2‒1)2=m 2+(m2‒1)2化简得：x 2+y 2-2y -m （2x +y -2）=0，此式是关于m 的恒等式，故x 2+y 2-2y =0且（2x +y -2）=0，解得或{x =0y =2{x =45y =25所以经过A ，P ，M三点的圆必过定点（0，2）或（，）．4525【解析】（1）设P （2m ，m ），代入圆方程，解得m ，进而可知点P 的坐标．（2）设直线CD 的方程为：y-1=k （x-2），由圆心M 到直线CD 的距离求得k ，则直线方程可得．（3）设P （2m ，m ），MP 的中点，因为PA 是圆M 的切线，进而可知经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到经过A ，P ，M 三点的圆必过定点的坐标．本题主要考查了圆方程的综合运用．解题的关键是对圆性质的熟练掌握．22.【答案】解：（Ⅰ）因为f （2）=a ，当a ≤2时，4-2（a +1）+a =a ，解得a =1符合；当a ＜2时，-4+2（a +1）-a =a ，此式无解；综上可得：a =1．（Ⅱ）当a =2时，f （x ）=，{x 2‒3x +2x ≥2‒x 2+3x ‒2x ＜2∴f （x ）的单调增区间为（-∞，）和（2，+∞），32又由已知可得f （x ）在（m ，m +4）上单调递增，所以m +4≤，或m ≥2，32解得m ≤-或m ≥2，52∴实数m的取值范围是（-∞，-]∪[2，+∞）；52（Ⅲ）由题意得g （x ）={x 2‒(a +2)x ‒a x ≥a‒x 2+ax ‒3a x ＜a①当x ≥a 时，对称轴为x =，a +22因为-，12＜a ＜0所以f （a ）=a 2-a 2-2a -a =-3a ＞0，∵-a =＞a ，a +222‒a2∴f （）=-=-＜0，a +22(a +2)2+4a 4a 2+8(a +1)4由二次函数可知，g （x ）在区间（a ，）h和区间（，+∞）各有一个零点；a +22a +22②当x ＜a 时，对称轴为x =＞a ，a2函数g （x ）在区间（-∞，a ）上单调递增且f （=0，a ‒a 2‒12a2所以函数在区间（-∞，a ）内有一个零点．综上函数g （x ）=f （x ）-x -2a （-＜a ＜0）在R 上有3个零点．12【解析】（Ⅰ）分类讨论求出f （2），代入 f （2）=a ，解方程可得；（Ⅱ）a=2时，求出分段函数的增区间；“对任意互不相等的实数x 1，x 2∈（m ，m+4），都有＞0成立”⇔f （x ）在（m ，m+4）上是增函数，根据子集关系列式可得m 的范围；（Ⅲ）按照x≥a 和x ＜a 这2种情况分别讨论零点个数．本题考查了增函数定义、函数零点．属难题．。

河南省平顶山市2017-2018学年高一上学期期末调研考试数学试题(解析版)

2017-2018学年河南省平顶山市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知U={2，3，4，5，6，7}，M={3，4，5，7}，N={2，4，5，6}，则（）A. 4，6B.C. D.2.在下列图形中，可以作为函数y=f（x）的图象的是（）A. B.C. D.3.已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A. B. C. D.4.下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.5.下列命题正确的是（）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行6.已知函数f（x）=3x-（）x，则f（x）（）A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.8.下列区间中，函数f（x）=|ln（2-x）|在其上为增函数的是（）A. B. C. D.9.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A. B.C. D.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A. B. C. D.12.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f（x）=，则f（-1）+f（1）=______．14.在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是______．15.已知圆C1：（x+1）2+（y-1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为______．16.函数f（x）=log2•log（2x）的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（Ⅰ）设x，y，z都大于1，w是一个正数，且有log x w=24，log y w=40，log xyz w=12，求log z w．（Ⅱ）已知直线l夹在两条直线l1：x-3y+10=0和l2：2x+y-8=0之间的线段中点为P （0，1），求直线l的方程．18.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面AB1D1∥平面EFG；（Ⅱ）A1C平面EFG．19.已知函数f（x）=a+是奇函数，a∈R是常数．（Ⅰ）试确定a的值；（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；（Ⅲ）若f（2t+1）+f（1-t）＜0成立，求t的取值范围．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD平面PDC，AD∥BC，PD PB，AD=CD=1，BC=2，PD=．（Ⅰ）求证：PD平面PBC；（Ⅱ）求直线AB与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P-AB-C的正切值．21.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B，记AB的中点为E．（Ⅰ）若AB的长等于，求直线l的方程；（Ⅱ）是否存在常数k，使得OE∥PQ？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．22.已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：对于A，M∩N={ 4，5 }，故错误；对于B，M N={2，3，4，5，6，7}=U，故正确；对于C，由补集的定义可得U N={3，7}，则（U N）M={3，4，5，7}≠U，故错误；对于D，由补集的定义可得U M={2，6}，则（U M）∩N={2，6}≠N，故错误；故选：B．根据集合的基本运算逐一判断各个选项即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】D【解析】解：作直线x=a与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，∴y是x的函数，那么直线x=a移动中始终与曲线至多有一个交点，于是可排除，A，B，C．只有D符合．故选：D．令直线x=a与曲线相交，由函数的概念可知，直线移动中始终与曲线至多有一个交点的就是函数，从而可得答案本题考查函数的图象，理解函数的概念是关键，即定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，属于基础题3.【答案】B【解析】解：线段AB的中点为，k AB==-，∴垂直平分线的斜率k==2，∴线段AB的垂直平分线的方程是y-=2（x-2）⇒4x-2y-5=0，故选：B．先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．4.【答案】D【解析】解：∵log40.3＜log41=0，0＜0.42＜0.40=1，1=30＜30.4，∴，故选：D．利用指数函数和对数函数的单调性即可比较出大小．熟练掌握对数函数和指数函数的单调性是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选：C．利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C 正确；利用面面垂直的性质可排除D．本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．6.【答案】A【解析】解：f（x）=3x-（）x=3x-3-x，∴f（-x）=3-x-3x=-f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，故函数f（x）=3x-（）x为增函数，故选：A．由已知得f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x 为减函数，结合“增”-“减”=“增”可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，∴半圆柱的体积为：×π•22×4=8π；长方体的长宽高分别为4，2，2，∴长方体的体积为4×2×2=16，∴该几何体的体积为V=16+8π．故选：A．根据几何体的三视图，得出该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，由此求出它的体积．本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据几何体的三视图得出该几何体的结构特征，是基础题目．8.【答案】D【解析】解：由2-x＞0得，x＜2，∴f（x）的定义域为（-∞，2），当x＜1时，ln（2-x）＞0，f（x）=|ln（2-x）|=ln（2-x），∵y=lnt递增，t=2-x递减，∴f（x）单调递减；当1≤x＜2时，ln（2-x）≤0，f（x）=|ln（2-x）|=-ln（2-x），∵y=-t递减，t=ln（2-x）递减，∴f（x）递增，即f（x）在[1，2）上单调递增，故选：D．先求函数f（x）的定义域，然后按照x＜1，1≤x＜2两种情况讨论去掉绝对值符号，再根据复合函数单调性的判断方法可求得函数的单调区间．本题考查复合函数单调性的判断，正确理解其判断规则“同增异减”是关键，注意单调区间须在定义域内求解．9.【答案】B【解析】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（-1，1）到两直线x-y=0的距离是；圆心（-1，1）到直线x-y-4=0的距离是．故A错误．故选：B．圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．10.【答案】C【解析】解：法一：连B1C，由题意得BC1B1C，∵A1B1平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，∴A1B1BC1，∵A1B1∩B1C=B1，∴BC1平面A1ECB1，∵A1E⊂平面A1ECB1，∴A1E BC1．故选：C．法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），=（-2，1，-2），=（0，2，2），=（-2，-2，0），=（-2，0，2），=（-2，2，0），∵•=-2，=2，=0，=6，∴A1E BC1．故选：C．法一：连B1C，推导出BC1B1C，A1B1BC1，从而BC1平面A1ECB1，由此得到A1E BC1．法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，涉及对数基本运算，关键是充分利用函数的奇偶性进行转化变形．根据题意，函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增且为偶函数，结合对数的运算性质可以将f（）+f（）≤2f（1）转化为||≤1，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且，则有f（）=f（）=f（||），f （）+f（）≤2f（1），∴f（）≤f（1），∴f（||）≤f（1），又由函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则有||≤1，即有-1≤≤1，解可得：≤a≤2，即a的取值范围是[，2]故选：D．12.【答案】C【解析】解：由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小．于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×=，正四面体的中心到底面的距离是+1 （1即小钢球的半径），所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4=4+，故选：C．底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高．小正四面体是由球心构成的，正四面体的中心到底面的距离等于小正四面体的中心到底面的距离再加上小钢球的半径1．13.【答案】3【解析】解：函数f（x）=，则f（-1）+f（1）=-1+5+1-4+2=3．故答案为：3．直接利用函数的解析式，求解函数值即可．本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．14.【答案】60°【解析】解：由题意可得，三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，取BC的中点E，则AE ∠面BB1C1C，ED就是AD在平面BB1C1C内的射影，故∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，设三棱柱的棱长为1，直角三角形ADE中，tan∠ADE===，∴∠ADE=60°，故答案为60°．三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，取BC的中点E，则∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，解直角三角形求出∠ADE的大小，即为所求．本题考查直线与平面成的角的定义和求法，取BC的中点E，判断∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，是解题的关键，属于中档题．15.【答案】（x-2）2+（y+2）2=1【解析】解：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线X-Y-1=0的对称点（y+1，x-1）在圆C1：（X+1）2+（y-1）2=1上，∴有（y+1+1）2+（x-1-1）2=1，即（x-2）2+（y+2）2=1，∴答案为（x-2）2+（y+2）2=1．在圆C2上任取一点（x，y），求出此点关于直线X-Y-1=0的对称点，则此对称点在圆C1上，再把对称点坐标代入圆C1的方程，化简可得圆C2的方程．本题考查一曲线关于一直线对称的曲线方程的求法：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线X-Y-1=0的对称点（y+1，x-1）在圆C1上．16.【答案】【解析】解：∵f（x）=log 2•log（2x）∴f（x）=log（）•log（2x）=log x•log（2x）=log x（log x+log2）=log x（log x+2）=，∴当log x+1=0即x=时，函数f（x）的最小值是．故答案为：-利用对数的运算性质可得f（x）=，即可求得f（x）最小值．本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵log x w=24，log y w=40，log xyz w=12，求log z w．将对数式改写为指数式，得到x24=w，y40=w，（xyz）12=w．从而，z12===，那么w=z60，∴log z w=60．（Ⅱ）设直线l与l1，l2的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．则（*）∵A，B的中点为P（0，1），∴x1+x2=0，y1+y2=2．将x2=-x1，y2=2-y1代入（*）得，解之得，，所以，k AB==-，所以直线l的方程为y=-x+1，即x+4y-4=0．【解析】（Ⅰ）log x w=24，log y w=40，log xyz w=12，将对数式改写为指数式，得到x24=w，y40=w，（xyz）12=w．进而得出．（Ⅱ）设直线l与l1，l2的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．可得，由A，B的中点为P（0，1），可得x1+x2=0，y1+y2=2．将x2=-x1，y2=2-y1代入即可得出．本题考查了指数与对数的互化、直线交点、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接BC1，∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB=C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1．……………（1分）又∵E，G分别是BC，CC1的中点，∴EG∥BC1，∴EG∥AD1．……………（2分）又∵EG⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴EG∥平面AB1D1．……………（4分）同理EF∥平面AB1D1，且EG∩EF=E，EG⊂平面EFG，EF⊂平面EFG，∴平面AB1D1∥平面EFG．……………（6分）（Ⅱ）∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB1A1B．……………（7分）又∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC平面AA1B1B，∴AB1BC．……………（8分）又∵A1B与BC都在平面A1BC中，A1B与BC相交于点B，∴AB1平面A1BC，∴A1C AB1．……………（10分）同理A1C AD1，而AB1与AD1都在平面A1B1D中，AB1与AD1相交于点A，∴A1C平面A1B1D，因此，A1C平面EFG．……………（12分）【解析】（Ⅰ）连接BC1，推导出四边形ABC1D1是平行四边形，从而AD1∥BC1．再求出EG∥BC1，EG∥AD1．从而EG∥平面AB1D1，同理EF∥平面AB1D1，由此能证明平面AB1D1∥平面EFG．（Ⅱ）推导出AB1A1B，AB1BC，从而AB1平面A1BC，A1C AB1，同理A1C AD1，由此能证明A1C平面A1B1D，从而A1C平面EFG．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）+f（-x）=2a++=2a-=2a-2=0对xR恒成立，∴a=1．（Ⅱ）设0＜x1＜x2＜+∞，∵f（x2）-f（x1）=-=．（*）∵函数y=2x是增函数，又0＜x1＜x2，∴2＞0，而2-1＞0，2-1＞0，∴（*）式＜0．∴f（x2）＜f（x1），即f（x）是区间（0，+∞）上是减函数．（Ⅲ）∵f（x）是奇函数，∴f（2t+1）+f（1-t）＜0可化为f（2t+1）＜f（t-1）．由（Ⅱ）可知f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．当2t+1＞0，t-1＞0时，f（2t+1）＜f（t-1）化为2t+1＞t-1，解得t＞1；当2t+1＜0，t-1＜0时，f（2t+1）＜f（t-1）化为2t+1＞t-1，解得-2＜t＜-；当2t+1＜0，t-1＞0时，f（2t+1）＜0＜f（t-1）显然成立，无解；综上，f（2t+1）+f（1-t）＜0成立时t的取值范围是-2＜t＜-或t＞1．【解析】（Ⅰ）根据f（-x）=-f（x）恒成立可得；（Ⅱ）按照设点、作差、变形、判号、下结论，五个步骤证明；（Ⅲ）利用奇偶性、单调性转化．本题考查了不等式恒成立的问题，属中档题．20.【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：因为AD平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD PD．又因为BC∥AD，所以PD BC，………．．（2分）又PD PB，PB与BC相交于点B，所以，PD平面PBC．………．．（4分）（Ⅱ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．………．．（5分）由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=CF=1．又AD DC，故BC DC，ABCD为直角梯形，所以，DF=．………．．（6分）在Rt△DPF中，PD=，DF=，sin∠DFP==．所以，直线AB与平面PBC所成角为30°．……………（8分）（Ⅲ）解：设E是CD的中点，则PE CD，又AD平面PDC，所以PE平面ABCD．………．．（9分）在平面ABCD内作EG AB交AB的延长线于G，连EG，则∠PGE是二面角P-AB-C的平面角．………．．（10分）在直角梯形ABCD内可求得EG=，而PE=，………．．（11分）所以，在Rt△PEG中，tan∠PGE==．所以，二面角P-AB-C的正切值为．………．．（12分）【解析】（Ⅰ）证明AD PD．PD BC，然后证明PD平面PBC．（Ⅱ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，在Rt△DPF中，求解即可．（Ⅲ）说明∠PGE是二面角P-AB-C的平面角，在直角梯形ABCD内可求得EG=，而PE=，在Rt△PEG中，求解即可．本题考查二面角的平面角以及直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用．21.【答案】解：（Ⅰ）圆Q的方程可写成（x-6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0）．过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2．∵|AB|=，∴圆心Q到直线l的距离d==，∴=，即22k2+15k+2=0，解得k=-或k=-．所以，满足题意的直线l方程为y=-+2或y=-x+2．（Ⅱ）将直线l的方程y=lx+2代入圆方程得x2+（kx+2）2-12x+32=0整理得（1+k2）x2+4（k-3）x+36=0．①直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k-3）2]-4×36（1+k2）=42（-8k2-6k）＞0，解得-＜k＜0，即k的取值范围为（-，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点E（x0，y0）满足x0==-，y0=kx0+2=．∵k PQ==-，k OE==-，要使OE∥PQ，必须使k OE=k PQ=-，解得k=-，但是k∈（-，0），故没有符合题意的常数k．【解析】（Ⅰ）待定系数法，设出直线l：y=kx+2，再根据已知条件列式，解出k即可；（Ⅱ）假设存在常数k，将OE∥PQ转化斜率相等，联立直线与圆，根据韦达定理，可证明斜率相等．本题考查了圆的标准方程．属中档题．22.【答案】解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为：＞1，∴＞2，化为：＞，解得0＜x＜1，经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1）．（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（+a）+log2（x2）=0，∴（+a）x2=1，化为：ax2+x-1=0，若a=0，化为x-1=0，解得x=1，经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．若a≠0，令△=1+4a=0，解得a=，解得x=2．经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．综上可得：a=0或-．（3）a＞0，对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，∴-≤1，∴≤2，化为：a≥=g（t），t∈[，1]，g′（t）===≤＜0，∴g（t）在t∈[，1]上单调递减，∴t=时，g（t）取得最大值，=．∴．∴a的取值范围是，．【解析】（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为：＞1，因此2，解出并且验证即可得出．（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（+a）+log2（x2）=0，（+a）x2=1，化为：ax2+x-1=0，对a分类讨论解出即可得出．（3）a＞0，对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意可得-≤1，因此≤2，化为：a≥=g（t），t∈[，1]，利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。

河南省洛阳市2017-2018学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析

河南省洛阳市2017-2018学年上学期期末高一数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则 m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n3．若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣4．在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0，则直线l的方程为（）A． x﹣y++2=0 B． x+y++2=0 C． x﹣y+﹣2=0 D． x﹣y﹣+2=0），b=f（2），c=f（3），则（）6．已知函数f（x）=，若a=f（log3A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c7．如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=2，则的范围是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1] C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．已知函数f（x）=（a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A可以是（）A．（﹣∞，0） B．[1，2）C．（﹣1，5] D．[4，6]9．圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．4π+8B ．8π+16C ．16π+16D ．16π+4810．由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A ，B ，C ，D 在同一平面上，ABCD 是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（）A ．1125π B ．3375π C ．450π D ．900π11．设函数f （x ）是定义在R 上的函数，满足f （x ）=f （4﹣x ），且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有（x 1﹣x 2）[f （x 1+2）﹣f （x 2+2）]＞0，则满足f （2﹣x ）=f （）的所有x 的和为（）A ．﹣3B ．﹣5C ．﹣8D ．812．已知点P （t ，t ﹣1），t ∈R ，点E 是圆x 2+y 2=上的动点，点F 是圆（x ﹣3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（）A ．2B ．C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．满足42x ﹣1＞（）﹣x ﹣4的实数x 的取值范围为．14．已知直线l 1：ax+4y ﹣1=0，l 2：x+ay ﹣=0，若l 1∥l 2，则实数a= ．15．若函数f （x ）=，则f （﹣）+f （﹣）+f （﹣1）+f （0）+f （1）+f （）+f （）= ．16．方程=ax+a 由两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点分别为A （2，4），B （1，﹣3），C （﹣2，1）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．18．已知函数f（x）=+．（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1.5，当x∈A时，求函数g（x）的值域．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．20．已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为45°（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE；（2）若CD=，求点B到平面PCD的距离．22．已知圆心在直线x+y﹣1=0上且过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，其半径小于5．（1）若C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，求圆C2的方程；（2）过直线y=2x﹣6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD的方程．河南省洛阳市2017-2018学年上学期期末高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}，B={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B={0，1，2}．故选：A．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则 m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故A错误；若m∥α，m⊥n，则n与α关系不确定，故B错误；根据线面垂直的性质定理，可得C正确；若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m与n关系不确定，故D错误．故选C．3．若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣【考点】两条直线的交点坐标．【分析】联立y=3x，x+y=4，解得（x，y），由于三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4相交于一点，把点代入ax+y+1=0，即可解得a的值．【解答】解：联立y=3x，x+y=4，，解得，∵三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4相交于一点，∴把点（1，3）代入ax+y+1=0，可得a+3+1=0，解得a=﹣4．故选：B．4．在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】二面角的平面角及求法．【分析】设C在平面xoy上的射影为D，则可得OA⊥平面ACD，故∠CAD为所求二面角的平面角．【解答】解：设C在平面xoy上的射影为D（2，2，0），连接AD，CD，BD，则CD=2，AD=OA=2，四边形OBDA是正方形，∴OA⊥平面ACD，∴∠CAD为二面角C﹣OA﹣B的平面角，∵tan∠CAD===，∴∠CAD=60°．故选C．5．已知倾斜角60°为的直线l 平分圆：x 2+y 2+2x+4y ﹣4=0，则直线l 的方程为（）A ．x ﹣y++2=0B ．x+y++2=0 C ．x ﹣y+﹣2=0 D ．x ﹣y ﹣+2=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】倾斜角60°的直线方程，设为y=x+b ，利用直线平分圆的方程，求出结果即可．【解答】解：倾斜角60°的直线方程，设为y=x+b ．圆：x 2+y 2+2x+4y ﹣4=0化为（x+1）2+（y+2）2=9，圆心坐标（﹣1，﹣2）．因为直线平分圆，圆心在直线y=x+b 上，所以﹣2=﹣+b ，解得b=﹣2，故所求直线方程为x ﹣y+﹣2=0．故选C ．6．已知函数f （x ）=，若a=f （log 3），b=f （2），c=f （3），则（）A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 【考点】分段函数的应用．【分析】由分段函数运用对数函数的单调性求出a ＞1，运用指数函数的单调性，判断0＜c ＜b ＜1，进而得到a ，b ，c 的大小．【解答】解：函数f （x ）=，则a=f （log 3）=1﹣log 3=1+log 32＞1，b=f （2）=f （）=2∈（0，1），c=f （3）=2∈（0，1），由y=2x 在R 上递增，﹣＜﹣，可得2＜2，则c ＜b ＜a ，故选：D ．7．如果实数x ，y 满足（x ﹣2）2+y 2=2，则的范围是（） A ．（﹣1，1） B ．[﹣1，1]C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设=k，求的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围，由数形结合法，易得答案．【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=，可由勾股定理求得|OE|=，于是可得到k=1，即为的最大值．同理，的最小值为﹣1，故选B．8．已知函数f（x）=（a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A可以是（）A．（﹣∞，0） B．[1，2）C．（﹣1，5] D．[4，6]【考点】函数单调性的性质．【分析】根据f（x）在区间（0，1]上是减函数，对a进行讨论，依次考查各选项即可得结论．【解答】解：由题意，f（x）在区间（0，1]上是减函数．函数f（x）=（a∈A），当a=0时，函数f（x）不存在单调性性，故排除C．当a＜0时，函数y=在（0，1]上是增函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]上是减函数，故A对．当1≤a＜2时，函数y=在（0，1]上是减函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]上是增函数，故B不对．当4≤a≤6时，函数y=在（0，1]上可能没有意义．故D不对．故选A．9．圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π+8 B．8π+16 C．16π+16 D．16π+48【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体，分别计算体积可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为： =8π，四棱锥的底面面积为：4×4=16，高为3，故体积为：16，故组合体的体积V=8π+16，故选：B10．由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（）A．1125πB．3375πC．450πD．900π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】该几何体是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，ABCD是正方形，边长为15，从而求出该几何体的外接球的半径R=，由此能求出该几何体的外接球的体积．【解答】解：该几何体的直观图如图所示，这个是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，ABCD 是正方形，边长为15，∴BO==，EO==，∴该几何体的外接球的半径R=，∴该几何体的外接球的体积：V==1125．故选：A ．11．设函数f （x ）是定义在R 上的函数，满足f （x ）=f （4﹣x ），且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有（x 1﹣x 2）[f （x 1+2）﹣f （x 2+2）]＞0，则满足f （2﹣x ）=f （）的所有x 的和为（）A ．﹣3B ．﹣5C ．﹣8D ．8【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】确定f （x ）在（2，+∞）上递增，函数关于x=2对称，利用f （2﹣x ）=f （），可得2﹣x=，或2﹣x+=4，即x 2+5x+3=0或x 2+3x ﹣3=0，利用韦达定理，即可得出结论．【解答】解：∵对任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有（x 1﹣x 2）[f （x 1+2）﹣f （x 2+2）]＞0， ∴f （x ）在（2，+∞）上递增，又∵f （x ）=f （4﹣x ）， ∴f （2﹣x ）=f （2+x ），即函数关于x=2对称，∵f （2﹣x ）=f （），∴2﹣x=，或2﹣x+=4，∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，故选C．12．已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆x2+y2=上的动点，点F是圆（x﹣3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（）A．2 B．C．3 D．4【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】由题意，P在直线y=x﹣1上运动，E（0，0）关于直线的对称点的坐标为A（1，﹣1），由此可得|PF|﹣|PE|的最大值．【解答】解：由题意，P在直线y=x﹣1上运动，E（0，0）关于直线的对称点的坐标为A（1，﹣1），∵F（3，﹣1），∴|PF|﹣|PE|的最大值为|AF|=4，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．满足42x﹣1＞（）﹣x﹣4的实数x的取值范围为（2，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】根据指数函数的定义和性质，把不等式化为2（2x﹣1）＞x+4，求出解集即可．【解答】解：不等式42x﹣1＞（）﹣x﹣4可化为22（2x﹣1）＞2x+4，即2（2x﹣1）＞x+4，解得x＞2，所以实数x的取值范围是（2，+∞）．故选：（2，+∞）．14．已知直线l 1：ax+4y ﹣1=0，l 2：x+ay ﹣=0，若l 1∥l 2，则实数a= ﹣2 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用直线平行的性质求解．【解答】解：∵直线l 1：ax+4y ﹣1=0，l 2：x+ay ﹣=0，∴，解得a=﹣2（a=2时，两条直线重合，舍去）．故答案为：﹣2．15．若函数f （x ）=，则f （﹣）+f （﹣）+f （﹣1）+f （0）+f （1）+f （）+f （）= 7 ．【考点】函数的值．【分析】先求出f （x ）+f （﹣x ）=2，由此能求出f （﹣）+f （﹣）+f （﹣1）+f （0）+f（1）+f （）+f （）的值．【解答】解：∵函数f （x ）=，∴f （x ）+f （﹣x ）=+=+=2，∴f （﹣）+f （﹣）+f （﹣1）+f （0）+f （1）+f （）+f （）=2×3+=7．故答案为：7．16．方程=ax+a 由两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 [0，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设f （x ）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，结合图象可得结论．【解答】解：设f（x）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，∵方程=ax+a有两个不相等的实数根，∴实数a的取值范围为[0，）．故答案为[0，）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．【考点】点到直线的距离公式．【分析】（1）k=﹣，可得BC边上的高所在的直线的斜率为．利用点斜式可得BC边上的BC高所在的直线方程．（2）BC边所在的直线方程为：y+3=﹣（x﹣1），化为：4x+3y+5=0．可得AC的中点D．利用点D到直线BC的距离d．又|BC|，可得S=．△DBC==﹣，∴BC边上的高所在的直线的斜率为．【解答】解：（1）kBC则BC边上的高所在的直线方程为：y﹣4=（x﹣2），化为：3x﹣4y+10=0．（2）BC边所在的直线方程为：y+3=﹣（x﹣1），化为：4x+3y+5=0．∵D是AC的中点，∴D．点D到直线BC的距离d==．又|BC|==5，∴S△DBC===．18．已知函数f（x）=+．（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1.5，当x∈A时，求函数g（x）的值域．【考点】二次函数的性质；函数的定义域及其求法；函数零点的判定定理．【分析】（1）利用函数有意义，列出不等式组求解即可．（2）利用函数的零点求出a，通过函数的对称轴，求解函数的值域即可．【解答】解：（1）要使函数有意义，必须：，解得1≤x≤3，函数的定义域为：[1，3]．（2）函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1，5，可得a=﹣（﹣1+5）=﹣4，b=﹣1×5=﹣5，g（x）=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，当x∈A时，即x∈[1，3]时，x=2函数取得最小值：y=﹣9，x=1或3时，函数取得最大值：﹣8．函数g（x）的值域[﹣9，﹣8]．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB中点N，连结EN，DN，则DN∥AC，从而DN∥平面ACC1A1，再求出EN∥平面ACC1A1，从而平面DEN∥平面ACC1A1，由此能证明DE∥平面ACC1A1．（2）作DP⊥AB于P，推导出∠DEP是直线DE与直线A1M所成角，由此能求出直线DE与直线A1M所成角的正切值．【解答】证明：（1）取AB中点N，连结EN，DN，∵在△ABC中，N为AB中点，D为BC中点，∴DN∥AC，∵DN⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴DN∥平面ACC1A1，∵在矩形ABB1A1中，N为AB中点，E为A1B1中点，∴EN∥平面ACC1A1，又DN⊂平面DEN，EN⊂平面DEN，DN∩EN=N，∴平面DEN∥平面ACC1A1，∵DE⊂平面DEN，∴DE∥平面ACC1A1．解：（2）作DP⊥AB于P，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，D为BC的中点，∴DP⊥平面ABB1A1的所有棱长相等，D为BC的中点，∴DP⊥平面ABB1A1，且PB=AB，又AM=AB，∴MP=AB，∵A1E=EP，A1M=EP，∴∠DEP是直线DE与直线A1M所成角，∴由DP⊥平面ABB1A1，EP⊂平面ABB1A1，得DP⊥EP，设直线三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长为a，则在Rt△DPE中，DP=，EP=A1M=a，∴tan∠DEP==．∴直线DE与直线AM所成角的正切值为．120．已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）根据函数的奇偶性得到f（0）=0，求出m的值，从而求出f（x）的解析式，令g（x）=0，求出函数的零点即可；（2）根据函数的奇偶性和单调性，问题转化为t2+2at+a2﹣a+1≥0对任意t∈R恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，解得：m=﹣1，∴f（x）=3x﹣3﹣x，令g（x）=0，即3x﹣3﹣x﹣=0，令t=3x，则t﹣﹣=0，即3t2﹣8t﹣3=0，解得：t=3或t=﹣，∵t=3x≥0，∴t=3即x=1，∴函数g（x）的零点是1；（2）∵对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（1+2at）对任意t∈R恒成立，∵f（x）在R是奇函数也是增函数，∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（﹣1﹣2at）对任意t∈R恒成立，即t2+a2﹣a≥﹣1﹣2at对任意t∈R恒成立，即t2+2at+a2﹣a+1≥0对任意t∈R恒成立，∴△=（2a）2﹣4（a2﹣a+1）≤0，∴a≤1，实数a的范围是（﹣∞，1]．21．在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为45°（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE；（2）若CD=，求点B到平面PCD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理可得CD⊥平面PAC，CD⊥AE．利用等腰三角形的性质与线面垂直的判定定理可得：AE⊥平面PCD，可得AE⊥PD．利用面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理可得AB⊥PD，进而证明结论．（2）设点B的平面PCD的距离为d，利用VB﹣PCD =VP﹣BCD即可得出．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．∵PC与平面ABCD所成角为45°∴AC=PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．（2）解：CD=，可得AC=3，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴PC=3，由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴CD=ACtan30°=．设点B 的平面PCD 的距离为d ，则V B ﹣PCD =××3××d=d ．在△BCD 中，∠BCD=150°，∴S △BCD =×3×sin150°=．∴V P ﹣BCD =××3=，∵V B ﹣PCD =V P ﹣BCD ，∴d=，解得d=，即点B 到平面PCD 的距离为．22．已知圆心在直线x+y ﹣1=0上且过点A （2，2）的圆C 1与直线3x ﹣4y+5=0相切，其半径小于5．（1）若C 2圆与圆C 1关于直线x ﹣y=0对称，求圆C 2的方程；（2）过直线y=2x ﹣6上一点P 作圆C 2的切线PC ，PD ，切点为C ，D ，当四边形PCC 2D 面积最小时，求直线CD 的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用过点A （2，2）的圆C 1与直线3x ﹣4y+5=0相切，=，求出圆心与半径，可得圆C 1的方程，利用C 2圆与圆C 1关于直线x ﹣y=0对称，即可求圆C 2的方程；（2）求出四边形PCC 2D 面积最小值，可得以PC 2为直径的圆的方程，即可求直线CD 的方程．【解答】解：（1）由题意，设C 1（a ，1﹣a ），则 ∵过点A （2，2）的圆C 1与直线3x ﹣4y+5=0相切，∴=，∴（a ﹣2）（a ﹣62）=0 ∵半径小于5，∴a=2，此时圆C 1的方程为（x ﹣2）2+（y+1）2=9， ∵C 2圆与圆C 1关于直线x ﹣y=0对称， ∴圆C 2的方程为（x+1）2+（y ﹣2）2=9；（2）设P （a ，2a ﹣6），圆C 2的半径r=2，∴四边形PCC 2D 面积S=2==3|PD|，|PD|==，=，此时面积最小为3，P（3，0）．∴a=3时，|PD|min为直径的圆上，∵C，D在以PC2∴方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=5，的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，∵圆C2∴两个方程相减，可得CD的方程为4x﹣2y﹣1=0．。

河南省周口中英文学校2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

周口中英文学校2017-2018学年上期高一期中考试数学试卷考试范围：必修1；考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1．已知集合{}{}|(2)(2)032234M x x x N =+->=--，，，，，，则M N =（）A.{}34，B.{}334-，，C.{}234-，，D.{}32234--，，，，2．)(x f 是在R 上的奇函数，当0>x 时，12)(-+=x x f x ，则当0<x 时)(x f = （）A 、1)21(++-x x B 、1)21(--x x C 、12--x x D 、12-+x x3．函数1()2x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象一定经过点（） A ．(0,1) B ．(0,3) C ．(1,2) D ．(1,3)4．设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．c b a << 5．下列函数在),0(+∞上是增函数的是（）A ．x y 1=B ．x y =C ．2x y -=D ．12+-=x y 6．若log a 2<13，则a 的取值范围是 ( )A ．a >1B ．a 20<<3C ．a 2<<13D ．a 20<<3或a >17．函数22()log (2)f x x x =--的单调递减区间是（）A ．(,1)-∞-B ．1(1,]2-C ．1[,2)2 D ．(2,)+∞8．函数()2231f x x x =++的零点是（）A ．1,12-- B.1,12C.1,12- D.1,12-9．定义在上的函数()f x 在)(6,+∞上为减函数，且函数()6+=x f y 为偶函数，则（）A ．()()54f f >B ．()()74f f >C ．()()75f f >D ．()()85f f >10．已知函数)(x f y =定义域是]31[，-，则y f x =-()21的定义域是（） A ．]31[，- B ．]41[，- C ．]53[，- D ．]20[，11．已知幂函数m x x f =)(的图象经过点（4，2），则=)16(f （）A.22B.4C.42D.812．已知函数2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1[()]4f f 的值是（）A ．14B ．4C ．19D 第II 卷（非选择题）二、填空题13．方程组25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为 .14．若函数x x x f 1)(+=，则不等式25)(2<≤x f 的解集为 . 15．已知二次函数()f x 满足2(1)22f x x x +=++，则()f x 的解析式为____________.16．定义在R 上的偶函数()f x 在区间[1,2]上是增函数，且(1)(1)f x f x +=-，关于函数()f x 有如下结论：①31()()22f f =-；②图象关于直线1x =对称；③在区间[0,1]上是减函数；④在区间[2,3]上是增函数，其中正确结论的序号是________.三、解答题17．设集合A ＝{x|-2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m-1}．（1）若4,m= 求A B ⋃；（2）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围.18．计算：1132081()274e π-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ②2lg5lg 4++19．已知函数()f x 2m x x=-，且7(4)2f =-(1)求m 的值(2)判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并利用定义给出证明20．已知)21121()(+-=xx x f ，（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）证明：0)(>x f21．甲、乙两城相距100km ，在两城之间距甲城x km 处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电，为保证城市安全，核电站距两地的距离不少于10km．已知各城供电费用（元）与供电距离（km）的平方和供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是λ=0．25，若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月，（1）把月供电总费用y（元）表示成x（km）的函数，并求其定义域；（2）求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电总费用最小．22．（本小题满分12分）若二次函数2()f x x bx c=++满足(2)(2)f f=-，且函数的()f x的一个零点为1. (Ⅰ) 求函数()f x的解析式；（Ⅱ）对任意的1,2x⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，224()(1)44m f x f x m+-≥-恒成立，求实数m的取值范围.高一期中考试数学试题答案1． B 2． A 3． D 4． D 5． B 6．D 7． B 8.A 9． D 10． D 11.B 12．C第II 卷（非选择题）二、填空题13．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-)23,27( 14．)2,21( 15()21f x x =+16．①②③ 三、解答题17【答案】（1）{}27A B x x =-≤≤U ；（2）{}3m m ≤. 【解析】试题分析：（1）当4m =时，集合{}57B x x =≤≤，此时可以在数轴上表示出集合A B 、，通过观察图形就可以求出A B U ，此处注意结果一定要写成集合；（2）若B A ⊆，则需要分情况进行讨论，当B φ=时，应有121m m +>-，求出m 的取值范围，当B φ≠时，若满足B A ⊆，则应有12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，求出m 的取值范围，两范围取并集即可.试题解析：（1）当4,m =时，{}|57B x x =≤≤{}|27A B x x ∴⋃=-≤≤（2）当m ＋1>2m-1，即m<2时，B ＝φ ，满足B ⊆A. 当m ＋1≤2m-1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，只需12215m m +≥-⎧⎨-≤⎩即2≤m ≤3.综上，当B ⊆A 时，m 的取值范围是{m|m ≤3}．考点：1、集合的运算；2、集合间的关系. 18．计算：.【答案】① 2; ②3.解：①原式=521233--+=2 , 6分 ②原式=21(lg 5lg 2)2ln 2e ++⨯⨯ =2lg101+=3. 12分19．【答案】（1）1m ∴=（2）设变量，作差，变形，定号，下结论，()f x 在(0,)+∞上单调递减【解析】试题分析：解：（1）7(4)2f =-27442m ∴-=- 1m ∴= 4分（2）()f x 2x x=-在(0,)+∞上单调递减 5分证明如下：任取120x x <<，则1()f x 2()f x -=121222()()x x x x ---=21122()(1)x x x x -+ 8分 ∵120x x << ∴211220,10x x x x ->+> ∴1()f x 2()f x ->0,即12()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上单调递减 12分 20．【答案】(1)偶函数（2）略【解析】（1）由210x-≠得0;x ≠函数定义域为(,0)(0,);-∞+∞211111()(1)212212x x xx x -+-=+--- 11()().212xx f x =+=-所以函数)21121()(+-=x x x f 是偶函数；（2）证明：当0x >时，1121,210.()()0212x xx f x x >∴->∴=+>-；又因为函数 )21121()(+-=x x x f 是偶函数，所以当0x <故0)(>x f 。

2017-2018学年河南省镇平县第一高级中学高一上学期期末测试数学试题(解析版)

河南省镇平县第一高级中学2017—2018学年高一上学期期末测试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设A=x,y y=−4x+6，B=x,y y=5x−3，则A∩B等于（）A. 1,2B. 1,2C. x=1,y=2D. 1,2【答案】B【解析】A=x,y y=−4x+6，B=x,y y=5x−3，两个集合均为点集，所以交集为直线的交点组成的集合.由y=−4x+6y=5x−3,解得x=1y=2，所以A∩B=1,2.故选B.2. 如果a>1,b<−1，那么函数f x=a x+b的图象在（）A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限C. 第二、三、四象限D. 第一、二、四象限【答案】B【解析】∴y=a x的图象过第一、第二象限,且是单调增函数,经过(0,1)，f x=a x+b的图象可看成把y=a x的图象向下平移−b(−b>1)个单位得到的，故函数f x=a x+b的图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，故选B.3. 设A=x1<x<2,B=x x<a，若，则的取值范围是（）A. a≥2B. a≤1C. a≥1D. a≤2【答案】A【解析】因为A=x1<x<2,B=x x<a，且，则a≥2.故选A.4. 设f log2x=2x x>0，则f3的值是（）A. 128B. 256C. 512D. 8【答案】B【解析】设log2x=t，则x=2t，所以f(t)=22t，则f2=223=28=256，故选B.5. 已知函数y=f2x的定义域是−1,1，则函数y=f log2x的定义域是（）A. 0,+∞ B. 0,1 C. 1,2 D. 2,4【答案】D【解析】函数y=f2x的定义域是−1,1，所以x∈−1,1,2x∈[12,2]，所以函数y=f log2x中有：log2x∈[12,2]，解得x∈2,4.即函数y=f log2x的定义域是2,4.故选D.点睛：复合函数定义域的求法①若y=f x的定义域为a,b，则不等式a<g x<b的解集即为函数y=f g x的定义域；②若y=f g x的定义域为a,b，则函数g x在a,b上的的值域即为函数y=f x的定义域．6. 若函数y=f x的值域是12,3，则函数F x=f x+1f x的值域是（）A. 12,3 B. 2,103C. 52,103D. 3,103【答案】B【解析】令t=f x,则t∈12,3，则y =t +1t ，易知y =t +1t 在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增. 所以当t ∈ 12,3 时， t =1时，y 有最小值为2当t =12时，y =52，当t =3时，y =103. 则函数F x =f x +1f x 的值域是 2,103 . 故选项为B.7. 已知幂函数f x =x a 的图像过点 14,12 ，则式子4a 的值为（）A. 1B. 2C. 12D. 14【答案】B【解析】幂函数f x =x a 的图像过点 14,12 ，所以(14)a =12，所以a =12.即f x =x 12. 所以4a =412=2. 故选B.8. 定义在R 上的函数f x 满足f x +y =f x +f y +2x y x ,y ∈R ，f 1 =2，则f −3 等于（） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C【解析】定义在R 上的函数f x 满足f x +y =f x +f y +2x y x ,y ∈R 令x =y =0，得f 0 =f 0 +f 0 +0，解得f 0 =0；令x =1，y =−1得f 0 =f 1 +f −1 −2，解得f −1 =0；令x =y =−1得f −2 =f −1 +f −1 +2，解得f −2 =2；令x =−2，y =−1得f −3 =f −2 +f −1 +4，解得f −3 =6. 故选C.S9. 设a >1，且m =log a a 2+1 ,n =log a a −1 ,p =log a 2a ，则m ,n ,p 的大小关系为（） A. n >m >p B. m >p >n C. m >n >p D. p >m >n 【答案】B【解析】当a >1时,易知a 2+1>2a ，再由以a 为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知m >p又∵(a2+1)−(a−1)=a2−a+2恒大于0(二次项系数大于0,根的判别式小于0,函数值恒大于0),即a2+1>a−1，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知m>n又∵当a>1时2a显然大于a−1，同上，可知p>n.综上∴m>p>n.故选B.10. 定义运算a∗b，a∗b=a a≤b,b a>b,例如1∗2=1，则函数y=1∗2x的值域为（）A. 0,1B. −∞,1C. 1,+∞D. 0,1【答案】D【解析】当1⩽2x时，即x⩾0时，函数y=1∗2x=1当1>2x时，即x<0时，函数y=1∗2x=2x∴f(x)=1,x⩾0 2x2x,x<0故选D.11. 某种细胞在生长过程中，每10分钟分裂一次（由一个分裂为两个），经过2小时后，此细胞可由一个繁殖成（）A. 511个B. 512个C. 211个D. 212个【答案】D【解析】依题意，10分钟后，个数为21个，20分钟后，个数为22个，所以2小时后，即为120分钟后，个数应为212个.故选D.12. 方程x2+2x+1=1x（）A. 无实根B. 有异号两根C. 仅有一负根D. 仅有一正根【答案】D【解析】在同一直角坐标系下画出两函数图象，如图所示：函数y=x2+2x+1和y=1x ，仅有一个交点，在第一象限，即方程x2+2x+1=1x仅有一正根.故选D.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数y=log x−13−x的定义域是__________．【答案】1,2∪2,3【解析】要使函数y=log x−13−x有意义，则x−1>0x−1≠13−x>0，解得1<x<3，且x≠2.所以函数y=log x−13−x的定义域是1,2∪2,3.答案为;1,2∪2,3.点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．x2−5x−6的递减区间是__________．14. 函数y=log12【答案】6,+∞x2−5x−6中，有x2−5x−6>0，解得x<−1或x>6.【解析】函数y=log12t为减函数，令t=x2−5x−6，则y=log12，又t=x2−5x−6，为开口向上的抛物线，对称轴为x=52所以在−∞,−1，t=x2−5x−6单调递减，在6,+∞，t=x2−5x−6单调递增，x2−5x−6的递减区间是6,+∞.由复合函数单调性“同增异减”的原则，知，函数y=log12答案为：6,+∞.15. 用二分法求函数y=f x在区间2,4上的近似解，验证f2f4<0，给定精度为0.1，需将区间等分__________次.【答案】5【解析】因为区间2,4的长度为2，所以第一次等分后区间长度为1，第二次等分后区间长度为0.5，……第四次等分后区间长度为0.125<0.2，第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1，所以需要将区间等分5次. 故答案为：5.16. 已知函数f x满足:（1）对任意x1<x2，都有f x1<f x2；（2）f x1+x2=f x1⋅f x2.写出一个同时满足这些条件的函数解析式__________．【答案】y=2x【解析】∵x1<x2时,f x1<f x2∴f (x )为增函数∵f x 1+x 2 =f x 1 ⋅f x 2 根据指数函数的性质，∴满足条件的函数可以是：y =a x(a >1)故答案为：y =2x (底数大于1的指数函数即可).三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （1）求值：lg 2lg 50+lg 5lg 20−lg 100lg 5lg 2；（2）已知log 53=a ,log 54=b ，用a ,b 表示log 2512. 【答案】（1）1；（2）a +b 2.【解析】试题分析：（1）都化为与lg2有关的式子，log 34利用换底公式化为常用对数，求解即可．注意lg2lg5≠1．（2）利用换底公式将log 2512化为以5为底的对数，再将真数用4和6表达求解即可．试题解析：（1）原式=lg 2 lg 25×2 +lg 5lg 4×5 −2lg 5lg 2=lg 2 2lg 5+lg 2 +lg 5 2lg 2+lg 5 −2lg 5lg 2 =2lg 2lg 5+ lg 2 2+2lg 2lg 5+ lg 5 2−2lg 5lg 2= lg 2+lg 5 2= lg 10 2=1（2）log 2512=log 512log 525=log 53+log 54log 552=a +b 2.18. 已知f x 是定义在 −2,2 上的减函数，并且f m −1 −f 1−2m >0，求实数m 的取值范围. 【答案】m ∈ −12,23 .【解析】试题分析：由题设条件知，可先将不等式f （m-1）-f （1-2m ）＞0可变为f （m-1）＞f （1-2m ），再利用函数是减函数的性质将此抽象不等式转化为关于m 的不等式组，解不等式组即可得到m 的取值范围．试题解析：由f m −1 −f 1−2m >0可得f m −1 >f 1−2m . 又f x 是定义在 −2,2 上的减函数，∴ m −1<1−2m ,−2<m −1<2,−2<1−2m <2 ⇒ m <23,−1<m <3,−12<m <32,⇒−12<m <23，即m∈ −12,23.点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数f x在区间上单调递增，则x1,x2∈D,且f x1>f x2时，有x1>x2，事实上，若x1≤x2,则f x1≤f x2，这与f x1>f x2矛盾，类似地，若f x在区间上单调递减，则当x1,x2∈D,且f x1>f x2时有x1<x2；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.19. 设函数y=f x（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1,x2，恒有f x1⋅x2=f x1+f x2. （1）求证：f1=f−1=0；（2）求证：y=f x是偶函数；（3）若f x为0,+∞上的增函数，解不等式f x+f x−12≤0.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）{x|1−174≤x<0或12<x≤1+174}.【解析】试题分析：（1）利用赋值法求解，令x1，x2=1或x1，x2=-1即可得证．（2）令x2=-x，x1=-1，结合奇偶性的定义即可判断．（3）利用y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（1）=0，f（x）为偶函数；即可求解不等式；试题解析：（1）∵x≠0，f x1⋅x2=f x1+f x2，令x1=x2=1，f1=2f1，∴f1=0，令x1=x2=−1，f−1=2f−1，∴f−1=0.（2）∵x∈R且x≠0，恒有f x1⋅x2=f x1+f x2，令x1=−1,x2=x，∴f−1⋅x=f−1+f x，∴f−x=f x，∴y=f x是偶函数.（3）∵f x在0,+∞上为增函数，则在−∞,0上是减函数，又f x+f x−12≤0，∴f x x−12≤f1或f x x−12≤f−1，∴0<x x−12≤1，①或0>x x−12≥−1，②∴由①②得：1−4≤x<0或12<x≤1+4.点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数f x在区间上单调递增，则x1,x2∈D,且f x1>f x2时，有x1>x2，事实上，若x1≤x2,则f x1≤f x2，这与f x1>f x2矛盾，类似地，若f x在区间上单调递减，则当x1,x2∈D,且f x1>f x2时有x1<x2；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.20. 已知函数f x=a−22x+1a∈R.（1）判断f x在定义域上的单调性；（2）要使f x≥0恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）2,+∞.【解析】试题分析：（1）根据单调性的定义即可判断f（x）在定义域上的单调性；（2）利用参数分离法，结合指数函数的性质进行求解．试题解析：（1）显然对任意x∈R且2x+1≠0，∴f x的定义域为R.设x1,x2∈R，且x1<x2，则f x2−f x1=a−22x2+1−a+22x1+1=22x1+1−22x2+1=22x2−2x12x1+12x2+1.∵y=2x为增函数，且x2>x1，∴2x2>2x1.而2x1+12x2+1>0恒成立，于是f x2−f x1>0，即f x2>f x1，故f x是R上的增函数.（2）由f x≥0恒成立，可得a≥22x+1恒成立.∵对任意的x∈R,2x>0，∴2x+1>1，∴0<12x+1<1，∴0<22x+1<2.要使a≥22x+1恒成立，只需a≥2即可，即的取值范围是2,+∞.21. 如过函数f x对于定义域内的任意两个数x1,x2都满足:f x1+x22≤12f x1+f x2，那么称函数f x 为下凸函数；而总有fx 1+x 22≥12 f x 1 +f x 2 时，那么称函数f x 为上凸函数.根据以上定义，判断指数函数f x =a x （a >0且a ≠1）在R 上是否为下凸函数，并说明理由. 【答案】见解析.【解析】试题分析：根据凹函数的定义，结合指数函数的图象和性质，用作差法比较大小，可得结论．试题解析：因为fx 2+x 22=ax 2+x 22=ax 12⋅a x 22，12f x 1 +f x 2 =12a x 1+a x 2 ，所以fx 2+x 22−12 f x 1 +f x 2 =−12 a x 1+a x 2−2ax 12a x 22=−12 a x 12−a x 222≤0，所以fx 2+x 22≤12 f x 1 +f x 2 对于R 上的任意两个数恒成立，所以指数函数在R 上为下凸函数22. 定义在R 上的函数f x 满足f x +2 =f x ，且f −x =−f x .当x ∈ 0,1 时，f x =2x 4x +1.（1）求f x 在 −1,1 上的解析式；（2）证明f x 在 0,1 上是减函数；（3）当取何值时，方程f x =λ在 −1,1 上有解.【答案】（1）f x =2x4x +1,x ∈ 0,1 ,−2x 4x +1,x ∈ −1,0 ,0,x ∈ −1,0,1 .；（2）见解析；（3）−12<λ<−25，或λ=0，或25<λ<12. 【解析】试题分析：（1）设x ∈ −1,0 ，则−x ∈ 0,1 结合f （-x ）=-f （x ），及x ∈（0，1）时，f x =2x4x +1，，可求x ∈（-1，0）时得f （x ），在f （-x ）=-f （x ）中可求f （0）=0 （2）利用函数的单调性的定义证明即可．（3）方程f x =λ在 −1,1 上有解的充要条件是，在函数f x ，x ∈ −1,1 的值域内取值，只需求出函数的值域，然后求解k 的范围．试题解析：（1）设x ∈ −1,0 ，则−x ∈ 0,1 . ∵f −x =−f x ，且x ∈ 0,1 时，f x =2x 4x +1，∴x ∈ −1,0 时，有f x =−f −x =−2−x4−x +1=−2x1+4x .在f−x=−f x中，令x=0得f−0=−f0⇒f0=0.∵f x+2=f x，f−x=−f x，令x=−1，得f−1+2=f−1,f−1=−f1，∴f1=−f1⇒f1=0，从而f−1=0，∴当x∈−1,1时，有f x=2x4x+1,x∈0,1,−2x4x+1,x∈−1,0, 0,x∈−1,0,1..（2）设0<x1<x2<1，则x2−x1>0，f x2−f x1=2x24x2+1−2x14x1+1=2x1−2x22x1+x2−14x1+14x2+1.∵0<x1<x2<1，∴0<x1+x2<2，∴2x1+x2>1，且2x2>2x1，∴2x1+x2−1>0，2x1−2x2<0.又∵4x1+1>1>0,4x2+1>1>0，∴2x1−2x22x1+x2−14x1+14x2+1<0，即f x2−f x1<0，∴f x在0,1上是减函数.（3）方程f x=λ在−1,1上有解的充要条件是，在函数f x，x∈−1,1的值域内取值.∵x∈0,1时，f x=2x4x+1是减函数，∴x∈0,1时，f0>f x>f1，即f x∈25,12.∵f−x=−f x，∴x∈−1,0时，f x∈ −12,−25.又f−1=f0=f1=0，∴x∈−1,1时，函数f x的值域为 −12,−25∪0∪25,12.∴当−12<λ<−25，或λ=0，或25<λ<12时，方程f x=λ在−1,1上有解.。

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2017-2018学年度上期期末高中抽测调研高一数学本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.共150分，考试时间l20分钟. 第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知全集，集合，集合，则集合为（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】,选C 2. 已知，，，则，，三者的大小关系是（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】故选：A．点睛：本题考查三个数的大小的比较，则基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用．3. 已知函数，若，则的值为（）A. B. C. -1 D. 1 【答案】D 【解析】 ,选D 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 4. 在下列命题中，不是公理的是（）A. 平行于同一条直线的两条直线互相平行B. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内C. 空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】C 【解析】A,B,D分别为公理4,公理1,公理2,C为角平行性质,选C 5. 圆的半径和圆心坐标分别为（）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】半径和圆心坐标分别为,选D 6. 如果，，那么直线不通过（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A

.................. 7. 下列函数中，与函数有相同图象的一个是（）

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ; 所以选B 8. 已知函数在上是增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C

【解析】由题意得 ,选C 点睛:1．复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．2．函数单调性的性质(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；(2)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．9. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，则【答案】D 【解析】若，，则位置关系不定; 若，，则位置关系不定; 若，，则或，异面; 若，，则,所以选D. 10. 一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为的正方形.若该机器零件的表面积为，则的值为（）

A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】几何体为一个正方体与四分之一个球的组合体,所以表面积为 ,选A 点睛:空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．11. 下列命题中，其中不正确的个数是（）①已知幂函数的图象经过点，则②函数在区间上有零点，则实数的取值范围是③已知平面平面，平面平面，，则平面④过所在平面外一点，作，垂足为，连接、、，若有，则点是的内心A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】①

②因为函数在区间上有零点，所以或,即③平面平面，平面平面，，在平面内取一点P作PA垂直于平面与平面的交线, 作PB垂直于平面,则所以平面④因为,且,所以,即是的外心所以正确命题为①③,选B 12. 设两条直线的方程分别为，，已知，是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】两条直线之间的距离为 ,选B 点睛:求函数最值，一般通过条件将函数转化为一元函数，根据定义域以及函数单调性确定函数最值第Ⅱ卷二、填空题13. 棱长为2个单位的正方体，中，以为坐标原点，以，，，分别为，，坐标轴，则与的交点的坐标为__________．【答案】【解析】设

即的坐标为14. 若函数的值域为，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得15. 若直线与互相垂直，则点到轴的距离为__________．【答案】0或5

考点：1、直线与直线的位置关系；2、点到直线的距离．16. 实数，满足，，则__________．【答案】8 【解析】因为，，所以，，因此由，即两交点关于(4,4)对称,所以8 点睛：利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解. 三、解答题17. 计算下列各式的值：（Ⅰ）

（Ⅱ）【答案】(Ⅰ）；(Ⅱ）. 【解析】试题分析：（1）根据对数运算法则化简求值（2）根据指数运算法则，化简求值试题解析：（Ⅰ）原式.

（Ⅱ）原式. 18. 在中，已知为线段的中点，顶点，的坐标分别为，. （Ⅰ）求线段的垂直平分线方程；（Ⅱ）若顶点的坐标为，求垂心的坐标. 【答案】(Ⅰ）；(Ⅱ）. 【解析】试题分析：（1）根据中点坐标公式求中点坐标，根据斜率公式求斜率，最后根据点斜式求方程（2）根据垂心为高线的交点，先根据点斜式求两条高线方程，再解方程组求交点坐标，即得垂心的坐标. 试题解析：（Ⅰ）∵的中点是，直线的斜率是-3，线段中垂线的斜率是，故线段的垂直平分线方程是，即；（Ⅱ）∵，∴边上的高所在线斜率∵∴边上的高所在直线的方程：，即同理∴边上的高所在直线的方程:联立和，得：，∴的垂心为19. 某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.7元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时)，经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为.试问当地电价最低为多少元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%. 【答案】电价最低为元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加. 【解析】试题分析：根据题意列新增用电量，再乘以单价利润得收益，列不等式，解一元二次不等式，根据限制条件取交集得电价取值范围，即得最低电价试题解析：设新电价为元/千瓦时，则新增用电量为千瓦时.依题意，有，即，整理，得，解此不等式，得或，又，所以，，因此，，即电价最低为元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加. 20. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，为与的交点，为棱上一点. （Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若平面，求三棱锥的体积.

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ）. 【解析】试题分析：（1）由平面可得根据四边形是菱形，可得，从而证得平面，由面面垂直的判定定理即可证得平面平面；（2）由线面平行的性质定理可得，取中点，连结，则有，进一步证明可得平面，所以就是点到平面的距离，根据即可求得其体积. 试题解析：（1）证明：平面，平面，. 四边形是菱形，.又，平面，而平面，平面平面. （2）平面，平面平面,. 是的中点，是中点，取中点，连结. 四边形是菱形，. 又平面. . 考点：空间中的平行与垂直关系的证明及棱锥的体积. 21. 已知方程. （Ⅰ）若此方程表示圆，求的取值范围；（Ⅱ)若（Ⅰ）中的圆与直线相交于，两点，且（为坐标原点），求；（Ⅲ）在（Ⅱ)的条件下，求以为直径的圆的方程. 【答案】(Ⅰ）；(Ⅱ）；(Ⅲ）. 【解析】试题分析：（1）将圆的方程化为标准方程，利用半径大于零，即可求解实数的取值范围；（2）直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理及，建立方程，即可求解实数的值；（3）写出以为直径的圆的方程，代入条件即可求解结论. 试题解析：（1）原方程化为，∵此方程表示圆，∴，∴.………………………………２分（2）设，，则，得，∵，∴.………………………………４分∴.①由得.………………６分∴，，且，化为.…………８分代入①得，满足，……………………９分（3）以为直径的圆的方程为，……………………10分即，∴所求圆的方程为.……………………12分考点：圆的综合问题【方法点晴】本题主要考查了圆的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程，表示圆的条件，直线与圆的位置关系的判定及应用等知识点的综合考查，着重考画出来学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与数形结合思想的应用，本题的解答中涉及圆的标准方程及直线与圆的位置关系的判定方法，灵活应用圆的性质是解答的关键，试题比较解出属于基础题.