北师大版中考数学微测试系列专题17_相似三角形及应用(含解析)
2021年中考数学 专题汇编：相似三角形及其应用(含答案)
2021中考数学 专题汇编：相似三角形及其应用一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，若AD=2，AB=3，DE=4，则BC 等于 ( )A .5B .6C .7D .82. （2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（ ）A. 913B. 25C. 35D. 633. （2020·嘉兴） 如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．（4,13--） C ．（41,3--） D ．（﹣2，﹣1）4. (2019•巴中)如图ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使13DE AD =∶∶，连接EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S △△=A ．2∶3B ．3∶2C ．9∶4D ．4∶95. （2020·河南）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为( )A. (32，2)B. (2，2)C. (114，2) D. (4，2)6. （2020·河北） 在图5所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是A.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边形NHMQD.四边形NHMR7. (2019•贺州)如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，边上的点，DE BC ∥，若23AD AB ==，，4DE =，则BC 等于A ．5B ．6C．7 D．88. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB 的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为()A. 1B. 2C. 3D. 49. （2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则ABCDEFGHSS正方形正方形的值是（）A．12+B．22+C．52-D．15410. （2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE 的面积为1，则BC的长为·······················································（）A．25B．5 C．45D．10二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为.12. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为m.13. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将AOB∆以点O为位似中心，32为位似比作位似变换，得到11OBA∆.已知)3,2(A，则点1A的坐标是．14. 如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_________．FE DBC A15. (2019•泸州)如图，在等腰Rt ABC△中，90C=︒∠，15AC=，点E在边CB上，2CE EB=，点D在边AB上，CD AE⊥，垂足为F，则AD长为__________．16. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把BCE△沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，2AE=，则DF=______，BE=______．FDBEAC17. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．18. （2020·长沙）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动，（点P 与M ,N 不重合）PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F . (1)PMPEPQPF ＋＝____________． (2)若MN PM PN •＝2,则NQMQ＝____________． F E NMP三、解答题（本大题共4道小题） 19. （2020·凉山州）（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80mm ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？20. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，求DE 的长.HKFEBA21. 已知：在等边△ABC中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAE ＝∠CBD＜60°，DH ⊥AB ，垂足为点H .(1)如图①，当点D 、E 分别在边AC 、BC 上时，求证：△ABE ≌△BCD ；(2)如图②，当点D 、E 分别在AC 、CB 延长线上时，探究线段AC 、AH 、BE 的数量关系；(3)在(2)的条件下，如图③，作EK ∥BD 交射线AC 于点K ，连接HK ，交BC 于点G ，交BD 于点P ，当AC ＝6，BE ＝2时，求线段BP 的长．22. 已知在△ABC中，AB 边上的动点D 由A 向B 运动（与A ，B 不重合），同时，点E 由点C 沿BC 的延长线方向运动（E 不与C 重合），连接DE 交AC 于点F ，点H 是线段AF 上一点.(1)如图①，若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且D ，E 的运动速度相等，求HFAC的值.(2)如图②，若在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D ，E的运动速度之比是：1，求HFAC的值；(3)如图③，若在△ABC 中，AB=AC ，∠ADH=∠BAC=36°，记ACBC=m ，且点D ，E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示HFAC的值.图① 图② 图③2021中考数学 专题汇编：相似三角形及其应用-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】B [解析]∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴=，即=，解得BC=6，故选B .2. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽ ∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S ⎛⎫==⎪⎝⎭ ∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．3. 【答案】B【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k ，那么与原图形上的点（x ，y ）对应的位似图形上的点的坐标为（kx ，ky ）或（–kx ，–ky ）.由A （4,3），位似比k ＝13，可得C （413,--）因此本题选B ．4. 【答案】D【解析】设DE x =，∵13DE AD =∶∶，∴3AD x =， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，3BC AD x ==， ∵点F 是BC 的中点，∴1322CF BC x ==， ∵AD BC ∥，∴DEG CFG △∽△，∴224()()392DEG CFG S DE x S CF x ===△△，故选D ．5. 【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7， ∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF ，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．6. 【答案】A【解析】解析：连接AO 并延长AO 至点N ，连接BO 并延长PO 至点P, 连接CO 并延长CO 至点M, 连接DO 并延长DO 至Q ，可知12AO BO CO DO NO PO MO QO ====，所以以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是四边形NPMQ ，故答案为A.7. 【答案】B【解析】∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△， ∴AD DE AB BC=，即243BC =，解得：6BC =，故选B ．8. 【答案】A【解析】∵AD 是∠BAC 的平分线，AC ⊥BC ，AE ⊥DE, ∴DC ＝DE ，AE ＝AC .又∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BE ＝AE ，即AB ＝2AE ＝2AC, ∴∠B ＝30°.设DE ＝x ，则BD ＝3－x .在Rt △BDE 中，x 3－x＝12，解得x ＝1，∴DE的长为1.9. 【答案】C【解析】∵四边形EFGH 为正方形，∴∠EGH ＝45°，∠FGH ＝90°，∵OG ＝GP ，∴∠GOP ＝∠OPG ＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°，又∵∠DBC ＝45°，∴∠GBC ＝22.5°，∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BG ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG ，∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG2=x.∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x2+x，∴BC2＝BG2+CG2()2222(21)422x x x=++=+，∴()22422222ABCDEFGHxSS x+==+正方形正方形，因此本题选D．10. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以DFAH＝BDBA，因为D为AB中点，所以BDBA＝12，所以DFAH ＝12．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以BFEG＝BDEC，因为BD＝12AB＝12CE，所以BF＝12EG＝12x．在R t△BDF中，由勾股定理得BD＝22DF BF+＝221()2x x+＝5x，所以AD＝5x，所以CE＝AB＝2AD＝5x．因为DE∥BC，所以AEAC＝ADAB＝12，所以AE＝12AC＝CE＝5x．在R t△ADE中，由勾股定理得DE＝22AD AE+＝225()(5)2x x+＝52x．因△DEF的面积为1，所以12DE·DF＝1，即12×52x·x＝1，解得x＝255，所以DE＝52×255＝5，因为AD＝BD，AE＝CE，所以BC＝2DE＝25，因此本题选D．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】[解析]∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，∴AC=或AC=-(舍去).12. 【答案】5413. 【答案】（，2）【解析】∵将△AOB 以点O 为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3），∴点A 1的坐标是：（×2，×3），即A 1（，2）．故答案为：（，2）．14. 【答案】5485【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB ＝90°，AC ＝3， BC ＝4，由勾股定理，得AB ＝5．CD ⊥AB ，由三角形的面积，得CD ＝AC BC AB ⋅＝125．易得△ABC ∽△ACD ∽△CBD ，由相似三角形对应边成比例，得AD ＝AC AC AB ⋅＝95，BD ＝BC BC AB ⋅＝165．过点E 作EG ∥AB 交CD于点G ，由平行线分线段成比例，得DG ＝12CD ＝65，EG ＝85，所以DF ADGF EG=，即956855DF DF =-，所以DF ＝，故答案为5485． GF E DB CA15. 【答案】92【解析】如图，过D 作DH AC ⊥于H ，则∠AHD =90°，∵在等腰Rt ABC △中，90C =︒∠，15AC =， ∴15AC BC ==，45CAD ∠=︒， ∴∠ADH =90°–∠CAD =45°=∠CAD ， ∴AH DH =，∴CH =AC –AH =15–DH ，∵CF AE ⊥，∴90DHA DFA ∠=∠=︒，又∵∠ANH =∠DNF ，∴HAF HDF ∠=∠，∴ACE DHC △∽△，∴DH CH AC CE =， ∵2CE EB =，CE +BE =BC =15，∴10CE =， ∴151510DH DH -=， ∴9DH =，∴2292AD AH DH =+=，故答案为：92．16. 【答案】2 5－1【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x －x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1．经检验，x 1＝5－1，x 2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1．17. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC ＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.18. 【答案】1；215－ 【解析】本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质，（1）作EH ⊥MN ，又∵MN 是直径，NE 平分∠MNP ，PQ ⊥MN ，∴易证出PE ＝EH ＝HF ＝PF ，EH ∥PQ ，∴△EMH ∽△PMQ ，∴PQ PF PQ EH PM ME ＝＝，∴1＝＋＝＋PM PE PM ME PM PE PQ PF ； （2）由相似基本图射影型得：解得MN QN PN •＝2又∵MN PM PN •＝2，∴QN ＝PM ，设QN ＝PM ＝a ，MQ ＝b ，由相似基本图射影型得：解得MN MQ PM •＝2，∴()b a b a ＋＝2解得()251a b ＋－＝或()251a b －－＝（舍去）∴215－＝＝a b NQ MQ ； 因此本题答案为1；215－． F EQ N M P三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：设这个正方形零件的边长为x mm ，则△AEF 的边EF 上的高AK ＝(80－x)mm ．∵四边形EFHG 是正方形，∴EF ∥GH ，即EF ∥BC ．∴△AEF ∽△ABC ． ∴EF AK BC AD =，即8012080x x -=．∴x ＝48．∴这个正方形零件的边长是48 mm ．20. 【答案】解:∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD.∵AB ∥CD ，∴∠D=∠ABD ，∴∠CBD=∠D ，∴CD=BC=6.在Rt △ABC 中，AC===8.∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴====，∴CE=AE ，DE=BE ，即CE=AC=×8=3.在Rt △BCE 中，BE===3， ∴DE=BE=×3=.21. 【答案】(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)；(2)解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°.∴在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)，∴BE ＝CD .∵DH ⊥AB ，∴∠DHA ＝90°，∵∠CAB ＝60°，∴∠ADH ＝30°，∴AD ＝2AH ，∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ；(3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ，解图∵AC ＝6，BE ＝2，∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2,与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8，∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°，∴∠CDS ＝30°，∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7，∵BD 2＝BS 2＋SD 2＝72＋(3)2，∴BD ＝213，∵EK ∥BD ，∴△CBD ∽△CEK ，∴CB CE ＝CD CK ＝BD EK ，∴CK ＝CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝8133. ∵HM ∥AC ，∴∠HMB ＝∠ACB ＝60°，∴△HMB 为等边三角形，BM ＝BH ＝HM ＝2， CM ＝CB －BM ＝4，又∵HM ∥AC ，∴△HMG ∽△KCG ，∴HM KC ＝MG CG ，即382＝MG 4－MG，∴MG ＝127，BG ＝267，EG ＝407， ∵EK ∥BD ，∴△GBP ∽△GEK ，∴BP EK ＝GB GE ， ∴BP ＝261315.22. 【答案】(1)过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，解图①∵△ABC 是等边三角形，∴△AGD 是等边三角形，∴AD =GD ，由题意知CE =AD ，∴CE =GD∵DG ∥BC ，∴∠GDF =∠CEF ，在△GDF 与△CEF 中，GDF CEF GFD EFC CE GD ⎧⎪⎨⎪=∠=∠∠∠⎩=， ∴△GDF ≌△CEF （AAS ），∴CF =GF ， ∵DH ⊥AG ，∴AH =GH ，∴AC =AG +CG =2GH +2GF =2（GH +GF ）=2HF ， ∴AC HF=2； (2)如解图②，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，解图②由题意知，点D ，E 3:1， ∴3，AD CE = ∵∠ABC =90°，∠BAC =30°，∴3，AD GD = ∴，AD AD CE GD = ∴GD =CE ，∵DG ∥BC ，∴∠GDF=∠CEF ，在△GDF 和△CEF 中，，GDF CEF GFD EFC GD CE ∠=∠∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩=∴△GDF ≌△CEF （AAS ），∴CF =GF ，∵∠ADH =∠BAC =30°，∴AH =HD ，∵∠AGD =∠HDG =60°，∴GH =HD ，∴AH =HG ，∴AC =AG +CG =2GH +2GF =2（GH +GF ）=2HF ， ∴AC HF=2； (3)如解图③，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，解图③∵DG ∥BC ，∴△AGD ∽△ACB ，∴=，GD BC m AG AC = ∵∠ADH =∠BAC =36°，AC=AB ，∴∠GHD =∠HGD =72°，∴GD =HD =AH ， ∴=，AH GD m AG AG= ∵AD =CE ， ∴==，GD GD GD m AD AG CE = ∵DG ∥BC ，∴△GDF ∽△ECF ，∴=，GD GF m CE CF= ∴GH +FG =m （AH +FC ）=m （AC-HF ）， 即HF =m （AC-HF ），∴1.=AC m HF m +。
北师大版九年级上册数学 4.6 利用相似三角形测高 同步练习(含解析)
1．解：设长臂端点升高x米，
则 ，
∴x＝8．
故选：D．
2．解：由相似三角形的性质，设树高x米，
则 ＝ ，
∴x＝5.1m．
故选：B．
3．解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DCE＝90°，
又∵∠AEB＝∠DEC（对顶角相等），
∴△ABE∽△DCE，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：AB＝70m．
故选：D．
4．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴ ＝
∵DF＝50cm＝0.5m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝20m，
∴由勾股定理求得DE＝40cm，
∴ ＝
∴BC＝15米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+15＝16.5米，
故选：D．
5．解：如图所示，过A作AG⊥DE于G，交BC与F，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴CD＝16.8m，
故答案为：16.8．
14．解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴ ＝ ，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，
∴OC＝0.5m，
∴ ＝ ，
∴DG＝1.8m，
∴HF＝（10+80 ）cm．
故答案为：80 ，（10+80 ）；
12．解：由题意得：CD∥AB，
∴ ＝ ，
∵AB＝3.5cm，BE＝5m，DE＝3m，
∴ ，
∴CD＝2.1cm，
故答案为：2.1cm．
13．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
相似三角形常考综合题精练(11大题型)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)
相似三角形常考综合题精练（11大题型）本讲目录链接题型01比例线段的应用题型02黄金分割题型03平行线分线段成比例定理题型04相似多边形的性质题型05相似三角形的性质与判定题型06相似三角形的实际应用题型07图形的位似题型08旋转背景下的相似三角形的性质与判定题型09折叠背景下的相似三角形的性质与判定题型10动点背景下的相似三角形的性质与判定题型11相似三角形的综合问题题型01比例线段的应用1．定义一个运算()()1212121212,,,,0n n n n nx x x H x x x y y y y y y y y y +++=+++¹+++L L L L L ，下列说法正确的有（ ）个①()1,231H =；②若()()24,41,21H x H x ---=-，则=1x -或2；③()()()()22217511,212,413,6110,20264H H H H ++++=L ；④若()()()(),,,,,,,,H a b c d H b a c d H c a b d H d a b c ===，则1c d a b +=+．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知代数式x A y z =+，y B x z=+，z C x y =+，下列结论中，正确的个数是（ ）①若::1:2:3x y z =，则::2:5:10A B C =；②若A B C a ===，则一次函数1y ax =-的图像必过第一、三、四象限；③若x ，y ，z 均为正整数，且x y z <<，则A B C <<；④若1y =，2z =-，且x为方程21m =的一个实数根，则22182023y A B C +=+．A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，已知在ABC V 中，点D F 分别为边AB BC AC 、、上的点，且AE BF CD 、、相交于点G ，如果2014AG BG CG GE GF GD ++=，那么AG BG CG GE GF GD ××的值为 ．4．已知代数式x A y z =+，y B x z=+，z C x y =+，下列结论中，正确的个数是（ ）①若::1:2:3x y z =，则::2:5:10A B C =；②若()0A B C a a ===¹，则一次函数1y ax =-的图象必定经过第一、三、四象限；③若x ，y ，z 为正整数，且x y z <<，则A B C <<；④若1y =，2z =-，且x为方程21m =的一个实根，则2211A B +与82023C+的值相等；⑤若222x y zx yzxy yz zx z-+-=+++，222y z xy zxxy yz zx x-+-=+++()()()A AB B BC C C A-+-+-的值为28．A．1B．2C．3D．4题型02黄金分割5．我们把宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形ABCD()AB BC<中,ABCÐ的平分线交AD边于点E,EF BC^于点F,则下列结论错误的是（）A．AE DEAD AE=B．CF BFBF BC=C．AE BEBE BC=D．DE ABEF BC=6．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF BE=，以AF为边作正方形AFGH，则点H 即是线段AB的黄金分割点．若20AD=，记正方形AFGH的面积为1S，矩形BCIH的面积为2S，则1S与2S 的和为．7．如图①，点C把线段AB分成两部分()AC BC>，若AC BCAB AC=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．类似的，可以定义“黄金分割线”：直线l把一个面积为S的图形分成面积为1S和2S的两部分12()S S>，如果121S SS S=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在ABC V 中，若点D 是线段AB 的黄金分割点()BD AD >，线段CD 所在直线是ABC V 的黄金分割线吗？为什么？(2)在（1）的条件下，如图③，过点C 作一条直线交BD 边于点E ，过点D 作DF EC ∥交ABC V 的一边于点F ，连接EF ，交CD 于点G ，回答问题．①CFG S V ______EDG S △（填“＞”“＜”或“=”）．②EF 是ABC V 的黄金分割线吗？为什么？8．（1）在图①中按下列步骤作图：第一步：过点C 画CD AC ^，使12CD AC =；第二步：连接AD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径画弧，交AD 于点E ；第三步：以点A 为圆心，AE 的长为半径画弧，交AC 于点B ．（2）在所画图中，点B 是线段AC 的黄金分割点吗？为什么？（3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段AB 为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC ．（不写作法，保留作图痕迹）9．请阅读下列材料，并完成相应的任务：公元前300著．黄金分割（goldensection ）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．如图①，在线段AD 上找一个点C ，C 把AD 分为AC 和CD 两段，其中AC 是较小的一段，如果::AC CD CD AD =，那么称线段AD 被C 点黄金分割，点C 叫做线段AD 的黄金分割点，AC 与CD 的比值叫做黄金分割数．为简单起见，设1,AD CD x ==，则1AC x =-．∵::AC CD CD AD =，∴……任务：(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：①设AB 是已知线段，过点B 作BD AB ^且使12BD AB =；②连接DA ，在DA 上截取DE DB =；③在AB 上截取AC AE =；则点C 即为线段AB 黄金分割点．你能说说其中的道理吗？(3)已知线段1AB =，点C ，D 是线段AB 上的两个黄金分割点，则线段CD 的长是 ．10．材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：“如图 ，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，那么称线段AB被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC AB .”根据定义不难发现，在线段AB 另有一点D 把线段AB 分成两条线段AD 和BD ，满足BD AB ＝AD BD ，所以点D 也是线段AB 的黄金分割点．材料二：对于实数：a 1＜a 2＜a 3＜a 4，如果满足（a 3﹣a 1）2＝（a 4﹣a 3）（a 4﹣a 1），（a 4﹣a 2）2＝（a 2﹣a 1）（a 4﹣a 1）则称a 3为a 1，a 4的黄金数，a 2为a 1，a 4的白银数．请根据以上材料，回答下列问题（1）如图，若AB ＝4，点C 和点D 是线段AB 的黄金分割点，则AC ＝ ，CD ＝ ．（2）实数0＜a ＜b ＜1，且b 为0，1的黄金数，a 为0，1的白银数，求b ﹣a 的值．（3）实数k ＜n ＜m ＜t ，t ＝2|k |，m ，n 分别为k ，t 的黄金数和白银数，求m n 的值．11．根据以下素材，探索完成任务．题型03平行线分线段成比例定理12．如图，在正方形中，分别以点A 和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和ABCD B 12AB E，作直线，再以点A 为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ）AB ．CD13．如图是一张矩形纸片，点为AD 中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则．14．如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：．15．如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．F EF AD EFG G ABCD DG BC K 2BK =ABCD 1521ABCD E F BC EF A B A ¢B ¢A E ¢BC G B A ¢¢C 23BF GC =AD AB =AB CD ∥AD CE F G AC FD G AB AD CD CE M N P Q 2PQ PN +=OPQ a Ð=A PQ A PO OPQ ÐB M PB C PM P M ，AC AC A 180a °-AD BD(1)①直接写出线段与之间的数量关系；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；(2)连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系．16．四边形的两条对角线，相交于点O ，．(1)如图1，已知．①求证：；②若，求的值；(2)如图2，若，，，求的值．题型04相似多边形的性质17．如图，已知在矩形 中，，，点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位的速度运动，当点 运动AP AB BD BM MC DC AB PO E F ，M OP DC N CF CN NE ABCD AC BD 90BAD Ð=°AC CD =ACD BAC Ð=Ð225OC OA =OB OD 90BCD Ð=°AB AD =3CD BC =AC BDABCD AB 2=BC 6=E D DA 1A F B AB 3E到点 时，， 两点停止运动．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ 的值为定值．上述结论中正确的个数为 （ ）个．A．B ．C ．D ．18．已知E、F 、G 、H 各点分别在四边形的、、、边上（如图）．(1)当时，求证：(2)当上述条件中比值为3，4，…，n 时（为自然数），那么与之比是多少？19．如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODEF ∽矩形ABCO ，其相似比为1：4，矩形ABCO 的边AB =4，BC （1）求矩形ODEF 的面积；（2）将图1中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转一周，连接EC 、EA ，ACE 的面积是否存在最大值或最小A E F BD E EH BD ^H EF BD G BC M CF CDE CBF V V ∽DBC EFC ÐÐ=DE HG AB EH=GH 1234ABCD AB BC CD DA 2AE BF CG DH EB FC GD HA ====59EFGH ABCDS S =四边形四边形n EFGH S 四边形ABCD S 四边形V值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．20，则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线．（1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度；（2）将正方形纸片按图所示的方式折叠．如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由．ABCD EF BC^AD BC E F AE AB =EF ABCD ABCD 2AB = 3AD =ABCD MN M AD N BC AM GH ABCD（3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则______（只要求直接写出其中三个答案）．21．阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边的中点，连接EG ，HF 交于点O ，易知分割成的四个四边形AEOH 、EBFO 、OFCG 、HOGD 均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）如图1中正方形ABCD 分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；（2）如图2，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC 也是“自相似图形”，他的思路是：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD 将△ABC 分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD ∽△ABC ，则△ACD 与△ABC 的相似比为________；（3）现有一个矩形ABCD 是自相似图形，其中长AD=a ，宽AB=b （a ＞b ）．请从下列A 、B 两题中任选一条作答．A ：①如图3﹣1，若将矩形ABCD 纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b 的式子表示）；ABCD 1AB =AD a =ABCD EF ABCD a=②如图3﹣2若将矩形ABCD 纵向分割成n 个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n ，b 的式子表示）；B ：①如图4﹣1，若将矩形ABCD 先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b 的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD 先纵向分割出m 个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m ，n ，b 的式子表示）．题型05相似三角形的性质与判定22．如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，作于点，交对角线于点，连接．要求的周长，只需知道（ ）A ．的长B ．的长C ．的长D ．的长23．如图，，，，点E 在边上运动（不与端点重合），边始终过点A ，交于点G 是等腰三角形时，的面积是（ ）．A ．8或B ．8C．D ．6或 24．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边AB ，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为 ．Rt ABC △90ACB Ð=°AB ABDE EF BC ^F AD G BG BFG V AC BC BF FG ABC DEF ≌△△5AB AC ==6BC EF ==BC DE EF AC AEG AEG △625108625108625107ABCD EF BC G H 5GH =25．如图，在正方形中，为边上的两个三等分点，点关于的对称点为，的延长线交于点．(1)求证：；(2)求的大小；(3)求证：．26．如图1，四边形是正方形，点E 在边的延长线上，点F 在边上，且，连接交于点P ，连接交于Q ，连接．(1)求证：；(2)连接，如图2，①若的长；②若，则 ．27．平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略．如图①，在正方形中，E 、F 、G 分别是、、上的点，于点Q ．求证：．小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法：方法一：平移线段使点F 与点B 重合，构造全等三角形；ABCD E F ，AB A DE A ¢AA ¢BC G DE A F ¢∥GA B ¢Ð2A C A B ¢¢=ABCD BC AB AF CE =EF DC AC EF DE DF 、EQ FQ =BQ AQ DP ×=BQ FP FD =PE PQ=ABCD BC AB CD FG AE ^=AE FG FG方法二：平移线段使点B 与F 重合，构造全等三角形；【尝试应用】(1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明；(2)如图②，点E 、F 、G 、H 分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值；【拓展探究】(3)如图③，点E 、F 分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G ，若，求证：．28．如图，，，．(1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形；(2)如图2，若点E 落在边上，求证：；(3)如图3，若点H ，I ，J 分别为，AB ，AD 中点，判断与的数量关系及夹角度数（锐角）．题型06相似三角形的实际应用29．将一本高为（即）的词典放入高（AB ）为的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F 离收纳盒最左端B 处，若此时将词典无滑动向右倒，书角的对应点恰为CD 中点．BC ABCD AB CD AD BC EF GH ^3AB =4BC =EF GHABCD AB AD CF DE 180B EGC Ð+Ð=°DE AD CF CD=90BAC AED ÐÐ==°AB AC =EA ED =BC 2222AD EF BF EF =+×BC IJ HE 17cm 17cm EF =16cm 8cm H H ¢（1）收纳盒的长 ；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有本书可与边BC 有公共点．30．【问题探究】（1）如图①，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点落在上，则的长为 ；（2）如图②，在矩形中，，，点是矩形的对称中心，点在边上，且，点是边上的动点，连接与，求的最大值；【问题解决】（3）有一块三角形草地，其示意图如图③所示，，，是一条小道（宽度不计），点是的中点，点在内，、两点之间的距离为，．市政府为丰富市民的业余生活，计划将部分草地改建，在、上分别找点、，在、处栽种梧桐树，，连接、，在．根据规划，现要沿线段修建一段文化长廊（宽度不计），为容纳更多的市民在文化长廊内活动，要求文化长廊的长度尽可能的长，当文化长廊的长最大时，请求出此时点的位置（即的长）．31．BC =Rt ABC △90BAC Ð=°4AB=AC =ABC V C DEC V A D BC BD ABCD 2AB =6AD =O ABCD E AD 2AE =F BC EF OF EF OF -ABC 24cm AB BC ==90ABC Ð=°DE D BC E ABC V B E 13cm DE BC ^BC BA M N M N BM BN =EM EN EP EM =PN PN PN NBN32．在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜的焦距为f ，主光轴，A ，B ，C ，D 都在l 上，其中O 是光心，，蜡烛（蜡烛可移动，EF l EF ^2OB OD f ==PQ l ^且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为h ，像高为，物距，像距为v ．(1)若，，， ．(2)求证．(3)当f 一定时，画出v 与u 之间的函数图象，并结合图象描述v 是怎么随着u 的变化而变化的？33．阅读理解：如图1，在△ABC 中，当DE ∥BC 时可以得到三组成比例线段：① ；② ；③ ．反之，当对应线段成比例时也可以推出DE ∥BC ．理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形．（1）如图2，已知矩形DEFG 是△ABC 的一个内接矩形，将矩形DEFG 沿CB 方向向左平移得矩形PBQH ，其中顶点D 、E 、F 、G 的对应点分别为P 、B 、Q 、H ，在图2中画出平移后的图形；（2）在（1）所得的图形中，连接CH 并延长交BP 的延长线于点R ，连接AR ．求证：AR ∥BC ；（3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC 空地的边AB ＝400米，BC ＝600米，∠ABC ＝45°；准备在△ABC 内建一个内接矩形广场DEFG （点E 、F 在边BC 上，点D 、G 分别在边AB 和AC 上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG 的对角线EG 最短，请在备用图中画出使对角线EG 最短距离（不要求证明）．34．阅读理解：如图1，AD 是△ABC 的高，点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EF BC ，可以得到以下结论：．OQ f >PG l ∥GC PP ¢P ¢P Q l ¢¢^()PQ ()P Q ¢¢h ¢()OQ ()OQ ¢10cm f =10cm h =15cm u ==v cm 111u v f+=()u f >AD AE DE AB AC BC ==AD AE BD CE =BD CE AB AC=//AH EF AD BC=拓展应用：(1)如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC 上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘米160__________________…若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？35．阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔（2）请求出丙树的高度．36．【问题背景】人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少?【提出问题】在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？【分析问题】小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题．【解决问题】为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究．如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上．请你完成下面两个问题：（1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小；（2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其ABC 120mm BC =80mm AD =BC AB AC，556cm cm cm ，，AB AC ，EFGH E H ，AB AC ，FG BC MNPQ M N ，AB BC ，PQ AC余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）．【学以致用】定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题：在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由．题型07图形的位似37．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A ，B ，C 三点是格点，点P 在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)在图（1）中，将线段沿的方向平移，使点B 与点C 重合，画出平移后的线段；再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段；(2)在图（2）中，连接，将以C为位似中心缩小为原来的得到，画出；88´BC AB BC CD PC AC 180°GA GA AP APC △12EFC V EFC V(3)在图（3）中，在上画一点M ，在AB 上画一点N ，使得最小．38．（1）在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图，△ABC 是一个格点三角形，点A 的坐标为（－2，2）．①△ABC 的面积为______；②在所给的方格纸中，请你以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半；（仅用直尺完成作图）③在（2）中，若P （a ，b ）为线段AC 上的任一点，则缩小后点P 的对应点P 1的坐标为______．（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．AC PM PN+①如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，作BC 的中点F ．②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC 的高AH ．39．如图①，在中，，，点D 是上一点，且．动点F 从点C 出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向经点B 运动，以为边构造等腰直角三角形，其中F 为直角顶点，且点E 与点B 位于线段两侧．设点F 的运动时间为t （秒）．AI(1)求线段的长度；(2)当点E 落在的中位线上时，求出t 的值：(3)连接，则线段的最小值是______．(4)如图②．以点B 为位似中心，将缩小后得到，且．连接，当与的某条边平行时，直接写出t 的值．题型08旋转背景下的相似三角形的性质与判定40．定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在中，，是以点为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A 为转似中心的逆时针的另一个转似三角形 （点分别与对应），其中边的长为Rt ABC △9AB =12BC =AB 2AD BD =CB DF DEFDF AC Rt ABC △CE CE DEF V D E F ¢¢¢△3DF D F ¢¢=E C ¢E C ¢Rt DEF △ABC V 465AB AC BC ===，，AB C ¢¢△ABC V A AB C ¢¢¢¢△B C ¢¢¢¢，B C 、B C ¢¢¢¢41．在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）．（1）发现问题：如图1，若，猜想：________；（2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，的长．42．综合与实践．问题情境：综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．实践操作：如图1，将等腰Rt △AEF 绕正方形ABCD 的顶点A 逆时针方向旋转，其中∠AEF ＝90，EA ＝EF ，连接CF ，点H 为CF 的中点，连接HD ，HE ，DE ，得到△DHE ．应用探究：（1）勤奋组：如图2，当点E 恰好落在正方形ABCD 的对角线AC 上时，判断△DHE 的形状，并说明理由；（2）善思组：如图3，当点E 恰好落在正方形ABCD 的边AB 上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；深入探究：（3）创新小组：ABCD O AC BD EPF ÐP O OE OF AB BC E F EF BC k AB =×k 1k =OE OF=1k ¹OE OF FO FC =k OD =EF发现若连接BE ，在旋转Rt △AEF 的过程中，为定值，请你直接写出其值 ．43．数学课上，有这样一道探究题．如图，已知中，AB =AC =m ，BC =n ，，点P 为平面内不与点A 、C 重合的任意一点，将线段CP 绕点P 顺时针旋转a ，得线段PD ，E 、F 分别是CB 、CD 的中点，设直线AP 与直线EF 相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m 、n 、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：（1）填空：【问题发现】小明研究了时，如图1，求出了___________，___________；小红研究了时，如图2，求出了___________，___________；【类比探究】他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了；【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m 、n 的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)．（2）求出时的值和的度数．BE CFABC V ()0180BAC a a Ð=°<<°EF AP b 60a =°EF PA =b =90a =°EF PA =b =EF PA EF PA =b =120a =°EF PAb44．在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究．(1)【问题初探】如图1，在中，点D 在边上，交于点E ．绕点A 逆时针旋转得到（点D 的对应点为点，点E 的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现．请你帮助他们证明这一发现．(2)【问题应用】如图3，中，，，，M ，N 分别为边与的中点．绕点C 旋转，点M 的对应点为点E ，点N F ，直线与直线交于点G ．①如图4，当点E 落在线段AF 上时，求证：；②当点A ，E ，F 三点在同一条直线上时，直接写出的长．(3)【问题拓展】如图5，在（2）条件下，连接，取中点K ，取中点H ，请直接写出的最大值为___________．题型09折叠背景下的相似三角形的性质与判定45．在边长为4的正方形中，E 是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A 落在点H 处，直线交于点F ，连接，，分别与AC 交于点P 、Q ，连接，．则以下结论中正确的有________ (写出所有正确结论的序号)．①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为．ABC V AB DE BC ∥AC ADE V AD E ¢¢△D ¢E ¢BD ¢CE ¢ABD ¢△ACE ¢V ABD ACE ¢¢△∽△Rt ABC V 90ACB Ð=°6AC =8BC =AC BC CMN V EF BC 90BFE Ð=°BG AF AF EB HK ABCD AD ABE V BE EH CD BF BE BF PD PF =PB PD 2EFD FBC Ð=ÐPQ AP QC =+BPF △DHDH 446．如图，正方形的边长为6，点P 是边上的动点，将沿折叠得到，射线与边和射线的延长线交于F ，E 点．(1)如图①，若四边形是平行四边形，求证：；(2)如图②，当时，求的长；(3)如图③，当时，求的面积．47．如图①，在中，，动点D 从点C 出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A 从点A 出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B 运动．设点D 运动的时间是t 秒．过点D 作于点F ，连结．(1) ， ；（用含t 的代数式表示）(2)当四边形是菱形时，t 的值为 ；ABCD BC ABP V AP APB ¢V AB ¢DCBC APED DF EF =DF 2CF =BP FB CF ¢=DFE △Rt ABC △90159ABC AC AB Ð=°==，，CA AB ()03t <<DF BC ^DE EF、AE =AD =AEFD(3)当垂直于的一边时，求t 的值；(4)如图②，将沿翻折，点A 的对应点为点，直接写出点在外部时t 的取值范围．48．在矩形中，点E ，F 分别在边AD ，上，将矩形沿折叠，使点A 的对应点P 落在边CD 上，点B 的对应点为点G ，交于点H ．(1)如图1，求证：；(2)如图2，当P 为CD 的中点，，时，求的长；(3)如图3，连接，当P ，H 分别为CD ，的中点时，探究与AB 的数量关系，并说明理由．49．（1）【动手操作】如图1，将正方形沿直线折叠，使点的对应点M 始终落在边上（点M 不与点A ，D 重合），点C 落在点N 处，与交于点P ，折痕分别与边，交于点，，连接．求证：；（2）【问题探究】在图1中，若正方形的边长为，当点运动到的中点时，求的长；（3）【拓展延伸】如图2，若把（1）【动手操作】中的正方形改成矩形，且，其中，其他条件不变，若，直接写出折痕的长度的取值范围是______．（用含m 的式子表示）题型10动点背景下的相似三角形的性质与判定50．如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿AB 边从开始向点以厘米/秒的速度移动；同时点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动，用（秒）表示移动的时间（）．DE ABC V DEA △DE A ¢A ¢ABC V ABCD BC ABCD EF PGBC DEP CPH △∽△2AB =3AD =GH BG BC BG ABCD EF B AD MN CD AB CD E F BM BM EF=ABCD 3P CD MD ABCD ABCD AB mAD =1m ³2AD =EF ABCD 12AB =6BC =P A B 2Q DA D A 1t 06t ££。
专题4.4 相似三角形的性质-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题4.4 相似三角形的性质-重难点题型【北师大版】【题型1 相似三角形的性质（对应角相等问题）】【例1】（2020秋•岳阳期末）如图，AE 与BD 相交于点C ，已知AC ＝5，BC ＝3，EC ＝10，DC ＝6．求证：AB ∥DE ．【解题思路】根据已知条件证明△ACB ∽△ECD ，可得∠A ＝∠E ，进而可得结论．【解答过程】证明：∵AC EC =510=12，BC DC =36=12，∴AC EC =BC DC ，∵∠ACB ＝∠ECD ，∴△ACB ∽△ECD ，∴∠A ＝∠E ，∴AB ∥DE ．【变式1-1】（2020秋•德江县期末）如图，∠1＝∠2，AB AE =AC AD，求证：∠C ＝∠D ．【解题思路】根据∠1＝∠2可得∠BAC ＝∠EAD ，结合AB AE =AC AD，证明△BAC ∽△EAD ，再根据相似三角形的性质即可得到∠C ＝∠D ．【解答过程】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAE ＝∠2+∠CAE ，∴∠BAC ＝∠EAD ，∵ABAE=ACAD，∴△BAC∽△EAD，∴∠C＝∠D．【变式1-2】（2020秋•遂川县期末）如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，D为平面上一动点，在运动过程上保持AD⊥BD于点D，将△BCD沿BD翻折得到△BED，在直线AD上取点F，作CF∥DE．（1）如图1，若AD与BC相交于点G，求证DGCG=BGAG；（2）猜想△CDF的形状，并说明理由．【解题思路】（1）证明△BDG∽△ACG即可得到结论；（2）先证明△CDG∽△ABG，可得∠ADC＝∠ABC＝45°，即∠BDC＝135°，由翻折得∠BDE＝∠BDC ＝135°，进一步得到∠CDE＝90°，由CF∥DE，可得∠DCF＝∠CDE＝90°，即∠CFD＝45°，进而可得△CDF为等腰直角三角形．【解答过程】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC，AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，又∵∠BGD＝∠AGC，∴△BDG∽△ACG，∴DGCG=BGAG；（2）△CDF为等腰直角三角形，理由：由（1）得DGCG=BGAG．又∵∠CGD＝∠AGB，∴△CDG∽△ABG，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，即∠BDC＝135°，由翻折得∠BDE＝∠BDC＝135°．∴∠CDE＝90°，∵CF∥DE，∴∠DCF＝∠CDE＝90°，∴∠CFD＝45°，∴∠CFD＝∠CDF＝45°，∴CF＝CD，∴△CDF为等腰直角三角形．【变式1-3】（2020秋•中方县期末）在锐角△ABC中，点D，E分别在AC、AB上，AG⊥BC与点G，AF ⊥DE于F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△AEF∽△ACG．（2）求证：∠ADE＝∠B．（3）若AD＝3，AB＝5，求AFAG．【解题思路】（1）利用有两个角对应相等的三角形相似进行判定即可；（2）由（1）的结论可得∠AEF＝∠C，∠EAD＝∠CAB，可得△EAD∽△CAB，利用相似三角形的对应角相等，结论得证；（3）由△AEF∽△ACG可得AFAG=AEAC；由△EAD∽△CAB可得AEAC=ADAB；则AGAG=ADAB，结论可求．【解答过程】证明：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE于，∴∠AFE＝∠AGC＝90°．∵∠EAF＝∠GAC∴△AEF∽△ACG．（2）由（1）知△AEF∽△ACG，∴∠AEF＝∠C∵∠DAE＝∠BAC（公共角），∴△EAD∽△CAB．∴∠ADE＝∠B．解：（3）由（2）知：△ADE ∽△ABC ，∴AE AC =AD AB．由（1）知△AEF ∽△ACG ，∴AE AC =AF AG ．∴AF AG =AD AB．∵AD ＝3，AB ＝5，∴AF AG =35．【题型2 相似三角形的性质（对应边成比例问题）】【例2】（（2020秋•崇左期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF ⊥AE 交DC 于点F ．若AB ＝4，BC ＝6，则DF 的长为（ ）A ．94B ．74CD ．1【解题思路】结合矩形的性质证明△BAE ∽△CEF 可求得CF 的长，再利用DF ＝CD ﹣DF 可求解．【解答过程】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，CD ＝AB ＝4，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∵EF ⊥AE ，∴∠AEF ＝90°，∴∠AEB +∠CEF ＝90°，∴∠BAE ＝∠CEF ，∴△BAE ∽△CEF ，∴AB ：CE ＝BE ：CF ，∵E 是BC 的中点，BC ＝6，∴BE ＝CE ＝3，∵AB ＝4，∴4：3＝3：CF ，解得CF =94，∴DF ＝CD ﹣DF ＝4―94=74．故选：B ．【变式2-1】（2020秋•万荣县期末）如图，在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AE EC=23，DE =BC 的长为（ ）A B C D 【解题思路】由DE ∥BC ，得∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，故△ADE ∽△ABC ，进而推断出AE AC =DE BC．由AEEC =23，DE =BC ．【解答过程】解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ．∴△ADE ∽△ABC ．∴AE AC =DE BC．又∵AE EC =23，∴AE =23EC ．∴DE BC =23EC AE EC =23EC 23EC EC =25．∴BC =5DE 2=故选：A ．【变式2-2】（2021•岳麓区校级二模）如图，在正方形ABCD 中，点G 是对角线上一点，CG 的延长线交AB 于点E ，交DA 的延长线于点F ，连接AG ．（1）求证：AG＝CG；（2）若GE•GF＝9，求CG的长．【解题思路】（1）根据正方形的性质得到∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝CD，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG≌△CDG（SAS），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；（2）根据正方形的性质得到AD∥CB，推出∠FCB＝∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性质得到∠DAG＝∠DCG，结合图形根据角之间的和差关系∠DAB﹣∠DAG＝∠DCB﹣∠DCG，推出∠BCF＝∠BAG，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG∽△FAG，进而根据相似三角形的性质进行求解即可．【解答过程】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，又AD＝CD，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADG=∠CDG，DG=DG∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG＝CG；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CB，∴∠FCB＝∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，∴∠DAG＝∠DCG，∴∠DAB﹣∠DAG＝∠DCB﹣∠DCG，即∠BCF＝∠BAG，∴∠EAG＝∠F，又∠EGA＝∠AGF，∴△AEG∽△FAG，∴GEGA=GAGF，即GA2＝GE•GF，∴GA＝3或GA＝﹣3（舍去），根据（1）中的结论AG＝CG，∴CG＝3．【变式2-3】（2021•滕州市一模）在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝AD＝4，求CE的长．【解题思路】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠C＝∠D＝90°，根据翻折变换的性质得到∠D＝∠AFE＝90°，结合图形利用角之间的互余关系推出∠BAF＝∠EFC，从而根据相似三角形的判定定理证明即可；（2）根据矩形的性质及翻折变换的性质推出BC＝AD＝AF＝4，从而利用勾股定理求得BF＝2，进而结合线段之间的和差关系利用相似三角形的性质进行求解即可．【解答过程】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，又△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴∠D＝∠AFE＝90°，∵∠BAF+∠AFB＝90°，∠EFC+∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴△ABF∽△FCE；（2）解：∵AB＝AD＝4，∴BC＝AD＝AF＝4，在Rt△ABF中，BF==2，∴CF＝BC﹣BF＝4﹣2＝2，根据（1）中的结论△ABF∽△FCE，∴ABFC=BFCE，即2CE，解得CE故CE【题型3 相似三角形的性质（周长问题）】【例3】（2020春•罗定市月考）已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC的边长分别为3，4，5，△A′B′C′中最小的边长为7，求△A′B′C′的周长．【解题思路】先求出△ABC的周长，再根据相似三角形周长的比等于相似比列出比例式，计算即可求解．【解答过程】解：△ABC的周长为：3+4+5＝12，设△A′B′C′的周长为x，∵△ABC∽△A′B′C′，∴12x=37，解得x＝28．故答案为：28．【变式3-1】．（2020秋•北碚区校级期中）已知：△ABC∽△A1B1C1，相似比为3：4，AB：BC：CA＝2：3：4，△A1B1C1的周长是72cm，求△ABC的各边的长．【解题思路】根据题意，△ABC中，AB：BC：CA＝2：3：4，可设AB＝2k，BC＝3k，AC＝4k，则根据△ABC与△A1B1C1的相似比为3：4，可用k表示出A1B1=83k，B1C1=123k，A1C1=163k，然后，根据△A1B1C1的周长是72cm，可得83k+123k+163k＝72，解得k＝6，代入即可求出△ABC的各边的长；【解答过程】解：∵△ABC中，AB：BC：CA＝2：3：4，∴可设AB＝2k，BC＝3k，AC＝4k，∵△ABC与△A1B1C1的相似比为3：4，∴A1B1=43AB=43×2k=83k，B1C1=43BC=43×3k=123k，A1C1=43AC=43×4k=163k，又∵△A1B1C1的周长是72cm，∴83k+123k+163k＝72，解得，k＝6．【变式3-2】（2020秋•泰兴市期末）如图，分别以△ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，连接DE．（1）求证：△DAC∽△EBC；（2）求△ABC与△DEC的周长比．【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠EBC＝90°，∠ACD＝∠BCE＝45°，从而根据相似三角形的判定定理证明即可；（2）根据相似三角形的性质得到ACDC =BCEC，结合图形由角之间的和差关系推出∠BCA＝∠ECD，从而得到△ABC∽△DEC，利用等腰直角三角形的性质推出ACDC【解答过程】证明：（1）∵△DAC和△EBC是等腰直角三角形，∴∠DAC＝∠EBC＝90°，∠ACD＝∠BCE＝45°，∴△DAC∽△EBC；（2）根据（1）中的结论△DAC∽△EBC，∴ACDC=BCEC，又∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE，即∠BCA＝∠ECD，∴△ABC∽△DEC，∴C△ABCC△DEC=ACDC，∵△ADC是等腰直角三角形，∴AC DC∴△ABC 与△DEC 【变式3-3】（2020秋•东莞市校级月考）如图，△OAB ∽△OCD ，OA ：OC ＝3：2．△OAB 与△OCD 的面积分别是S 1与S 2，周长分别是C 1与C 2．则下列说法正确的是（ ）A ．OA OD =32B ．OB CD =32C ．C 1C 2=32D ．S 1S 2=32【解题思路】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，一一判断即可．【解答过程】解：∵△OAB ∽△OCD ，OA ：OC ＝3：2，∴C 1C 2=OA OC =32，S 1S 2=（OA OC ）2=94，∴选项C 正确，选项D 错误，∵无法确定OA OD ，OB CD的值，故选项A ，B 错误，故选：C ．【题型4 相似三角形的性质（面积问题）】【例4】（2021春•海阳市期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 与BD 分别是△ABC 的内角∠BAC ，∠ABC 的平分线，过点A 作AE ⊥AD 交BD 的延长线于点E ，△ABC ∽△EDA ．（1）求∠ABC 的度数；（2）求S△ABC S△EDA 的值．【解题思路】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠1+∠2的度数，根据三角形外角性质即可得出∠3的度数，最后根据相似三角形的对应角相等，即可得出结论；（2）过A 作AF ⊥DE 于点F ，设AF ＝a ，易得DE ＝2a ，DF ＝a ，AD ，BF =+a ，依据勾股定理即可得到AB 2＝AF 2+BF 2＝（a 2，最后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵AD 与BD 分别是△ABC 的内角∠BAC ，∠ABC 的平分线，∴∠1=12∠ABC ，∠2=12∠BAC ，∵∠C ＝90°，∴∠1+∠2=12（∠ABC +∠BAC ）=12×90°＝45°，∴∠3＝∠1+∠2＝45°，∵△ABC ∽△EDA ，∴∠ABC ＝∠3＝45°；（2）过A 作AF ⊥DE 于点F ，∵∠3＝45°，AE ⊥AD ，∴△ADE 是等腰直角三角形，设AF ＝a ，则DE ＝2a ，DF ＝a ，Rt △ADF 中，AD ，∵2∠1＝2∠2＝45°，∴∠1＝∠2，∴AD ＝BD =，∴BF =+a ，在Rt △ABF 中，AB 2＝AF 2+BF 2＝a 2++a ）2＝（a 2，∵△ABC ∽△EDA ，∴S △ABCS △EDA =AB 2ED 2=(2a )【变式4-1】（2020秋•道里区期末）如图，△ABC ∽△ADE ，且BC ＝2DE ，则S △ADES 四边形BEDC 的值为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．14【解题思路】根据相似三角形的性质解答即可．【解答过程】解：∵△ABC ∽△ADE ，且BC ＝2DE ，∴S △ADE S △ABC =(ED BC )2=14，∴S △ADES 四边形BEDC =141=13，故选：B ．【变式4-2】（2020•河北模拟）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为44，则四边形DBCE 的面积是（ ）A ．22B ．24C ．26D ．28【解题思路】利用△AFH ∽△ADE 得到S △AFH S △ADE =（FH DE ）2=916，所以S △AFH ＝9x ，S △ADE ＝16x ，则16x ﹣9x ＝7，解得x ＝1，从而得到S △ADE ＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE 的面积．【解答过程】解：如图，由题意根据题意得△AFH ∽△ADE ，所有三角形均相似，可得FH ：DE ＝3：4，∴S △AFH S △ADE =（FH DE ）2=916，设S △AFH ＝9x ，则S △ADE ＝16x ，∴16x ﹣9x ＝7，解得x ＝1，∴S △ADE ＝16，∴四边形DBCE 的面积＝44﹣16＝28．故选：D ．【变式4-3】（2020秋•德江县期末）如图，在▱ABCD 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ，那么S △BEF ：S △BCF ＝（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：3【解题思路】由矩形性质可证明△BEF ∽△DCF ，从而可得BE CD =EF CF =12，由于△BEF 与△BCF 等高，故S △BEF ：S △BCF ＝1：2．【解答过程】解：∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 中点，∴AB ∥CD ，BE =12AB =12CD ，∴△BEF ∽△DCF ，∴BE CD =EF CF =12，∵△BEF 与△BCF 等高，∴S △BEF ：S △BCF =EF CF =12．故选：A ．【题型5 相似三角形的性质（多结论问题）】【例5】（2021•大埔县模拟）如图，正方形ABCD 的边长是3，BP ＝CQ ，连接AQ ，DP 交于点O ，并分别与边CD ，BC 交于点F ，E ，连接AE ，下列结论：①AQ ⊥DP ；②OA 2＝OE •OP ；③S △AOD ＝S 四边形OECF ；其中正确结论的个数（ ）A ．1B ．3C ．2D ．0【解题思路】由四边形ABCD 是正方形，得到AD ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P ＝∠Q ，根据余角的性质得到AQ ⊥DP ；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO 2＝OD •OP ，由OD ≠OE ，得到OA 2≠OE •OP ；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF ＝BE ，DF ＝CE ，于是得到S △ADF ﹣S △DFO ＝S △DCE ﹣S △DOF ，即S △AOD ＝S 四边形OECF ；故③正确．【解答过程】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，∵BP ＝CQ ，∴AP ＝BQ ，在△DAP 与△ABQ 中，AD =AB ∠DAP =∠ABQ AP =BQ，∴△DAP ≌△ABQ （SAS ），∴∠P ＝∠Q ，∵∠Q +∠QAB ＝90°，∴∠P +∠QAB ＝90°，∴∠AOP ＝90°，∴AQ ⊥DP ，故结论①正确；∵∠DOA ＝∠AOP ＝90°，∠ADO +∠P ＝∠ADO +∠DAO ＝90°，∴∠DAO ＝∠P ，∴△DAO ∽△APO ，∴AO OD =OP OA，∴AO 2＝OD •OP ，∵AE ＞AB ，∴AE ＞AD ，∴OD ≠OE ，∴OA 2≠OE •OP ；故结论②错误；在△CQF 与△BPE 中，∠FCQ =∠EBP CQ =BP ∠Q =∠P，∴△CQF ≌△BPE （ASA ），∴CF ＝BE ，∴DF ＝CE ，在△ADF 与△DCE 中，AD =CD ∠ADC =∠DCE DF =CE，∴△ADF ≌△DCE （SAS ），∴S △ADF ＝S △DCE ，∴S △ADF ﹣S △DFO ＝S △DCE ﹣S △DOF ，即S △AOD ＝S 四边形OECF ；故结论③正确；故选：C ．【变式5-1】（2021春•淮阳区校级期末）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ．AE 平分∠BAD ，交CD 于点E ，点F 为AB 边的中点，AE 与DF 交于点M ，BD 与EP 交于点N ，连接MN ．则下列结论：①四边形ADEF 是菱形；②与△BFN 全等的三角形有5个；③S 四边形BCEN ＝7S △FMN ；④当FM ＝FN 时，∠BAD ＝60°．其中正确的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解题思路】①根据四边形ABCD 是平行四边形，可得：AD ＝BC ，AB ＝CD ，AB ∥CD ，再由AE 平分∠BAD ，可得出∠AED ＝∠DAE ，进而推出AF ＝DE ，即可运用菱形的判定方法证得结论；②根据题目条件可证明△BFN ≌△DEN （AAS ），其它三角形均不能证明；③根据题目条件可得出S △FMN ＝S △DMN =12S △BFN ，再由S 菱形BCEF ＝4S △BFN ，进而得出S 四边形BCEN ＝3S △BFN ，即可判断结论③错误；④由FM ＝FN 可得出DF ＝AF ＝AD ，即△ADF 是等边三角形，可判定结论④正确．【解答过程】解：①∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵点F 为AB 边的中点，∴AF=12 AB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠BAE，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝DE，∴BC＝DE，∵AB＝2BC．∴BC=12 AB，∴AF＝DE，∵AF∥DE，∴四边形ADEF是平行四边形，∵AD＝DE，∴四边形ADEF是菱形，故①正确；②∵AB∥CD，∴∠FBN＝∠EDN，∵DE＝AF＝BF，∠BNF＝∠DNE，∴△BFN≌△DEN（AAS），能够确定与△BFN全等的三角形只有1个，故②错误；③∵△BFN≌△DEN，∴FN＝EN，BN＝DN，∵四边形ADEF是菱形，∴DM＝FM，∴S△FMN ＝S△DMN=12S△BFN，同理可证：四边形BCEF是菱形，∴S菱形BCEF ＝4S△BFN，∴S四边形BCEN ＝3S△BFN，∵S △BFN ＝2S △FMN ，∴S 四边形BCEN ＝6S △FMN ，故③错误；④当FM ＝FN 时，∵FN ＝EN ，EF ＝AF ，∴AF ＝2FM ，∵DF ＝2FM ，∴DF ＝AF ＝AD ，∴△ADF 是等边三角形，∴∠BAD ＝60°，故④正确；故选：B ．【变式5-2】（2020秋•松桃县期末）如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE （∠ABC 和∠AED 是直角），连接BE ，CD 交于点P ，CD 与AE 边交于点M ，对于下列结论：①△BAE ∽△CAD ；②∠BPC ＝45°；③MP •MD ＝MA •ME ；④2CB 2＝CP •CM ，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解题思路】①由等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 三边份数关系可证；②根据相似三角形的性质即可得到结论；③通过等积式倒推可知，证明△PME ∽△AMD 即可；④2CB 2转化为AC 2，证明△ACP ∽△MCA 问题可证．【解答过程】解：由已知得：AC =，AD ，∴AC AB =AD AE，∵∠BAC ＝∠EAD ，∴∠BAE ＝∠CAD ，∴△BAE ∽△CAD ，∴①正确；如图：设BE 与AC 相交于点O ，则∠AOB＝∠POC，∵△BAE∽△CAD，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠BPC＝∠BAC＝45°，∴②正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∵∠PME＝∠AMD，∴MPMA=MEMD，∴MP•MD＝MA•ME，∴③正确；由③MP•MD＝MA•ME，∠PMA＝∠DME，∴△PMA∽△EMD，∴∠APD＝∠AED＝90°，∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°，∠ACP＝∠MCA，∴△CAP∽△CMA，∴AC2＝CP•CM，∵AC=，∴2CB2＝CP•CM，∴④正确，故选：D．【变式5-3】（2021春•龙泉驿区期末）如图，Rt△ABC中，CD⊥AB于D，下列结论中：①∠1＝∠A；②∠2+∠B＝90°；③CD2＝AD•BD；④BC2＝BD•AD，一定成立的有（ ）个．A．1B．2C．3D．4【解题思路】由题意根据直角三角形的判定及相似三角形的判定方法，对各选项﹣﹣分析可得出答案．对于①，根据∠1+∠2＝90°，2+∠A＝90°，可得结论．对于③，由所给条件，结合夹角相等，易证得△CDA∽△BDC，至此③也就可作出判断了．对于②，由∠B＝∠2，但∠2+∠B不一定等于90°．对于④，△CDB∽△ACB，根据形似三角形的性质得CBAB =DBCB，进而得出④不正确．【解答过程】解：∵Rt△ABC中∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠2+∠A＝90°，∴∠1＝∠A，故①正确；∠2＝B，但是∠2+∠B不一定等于90°，故②错误；∵∠1＝∠A，∠CDB＝∠ADC＝90°，∴△CDB∽△ADC，则CD：AD＝BD：CD，即CD²＝AD•BD，故③正确；∵∠1＝∠A，∠B＝∠B，∴△CDB∽△ACB，则BC：AB＝BD：BC，即BC²＝BD•AB≠BD•AD，故④错误；所以一定成立的是：①③，故选：B ．【题型6 相似三角形的性质（常见辅助线问题）】【例6】（2020秋•开江县期末）如图，△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点F ．若AF ＝7，DF ＝1，则△ABC 的边长等于（ ）A B C +D +【解题思路】先由△ABC 是等边三角形证明△ABD ≌△BCE ，由此得∠BAD ＝∠CBE ，再证明△ABD ∽△BFD ，由此得AD BD =BD DF，即BD 2＝AD •DF ＝（AF +DF ）•DF ＝8，BD ＝D 作DG ⊥AB 于G ，用勾股定理求出AG 、BG 即可．【解答过程】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE ，在△ABD 与△BCE 中，AB =BC ∠ABC =∠BAC =∠C =60°BD =CE，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∠BAD ＝∠CBE ，∵∠BDA ＝∠FDB ，∴△ABD ∽△BFD ，∴AD BD =BD DF，∴BD 2＝AD •DF ＝（AF +DF ）•DF ＝8，∴BD ＝如图，过点D 作DG ⊥AB 于G ，∵∠DBG ＝30°，∴BG =12BD∴DG =∴AG∴AB =故选：C ．【变式6-1】（2020秋•天长市期末）如图，已知△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是四个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且AB ＝4，BC ＝2，连接AI 交FG 于点Q ，则QI 的值为（ ）A ．4B ．103C ．3D ．83【解题思路】过点A 作AM ⊥BC 于点M ，根据题意得到BC ＝CE ＝EG ＝GI ＝2，BM ＝MC =12BC ＝1，AB ＝AC ＝4，从而利用勾股定理求得AM =AI ＝8，再根据同位角相等推出FG ∥AC ，从而得到△IQG ∽△IAC ，进而利用相似三角形的性质进行求解即可．【解答过程】解：如下图所示，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，∵△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是四个全等的等腰三角形，AB ＝4，BC ＝2，∴BC＝CE＝EG＝GI＝2，BM＝MC=12BC＝1，AB＝AC＝4，∴AM=又MI＝BI﹣BM＝7，∴AI=8，∵∠ACB＝∠FGE，∴FG∥AC，∴△IQG∽△IAC，∴QIAI=GICI，即QI8=13，解得QI=8 3，故选：D．【变式6-2】（2021•利辛县二模）如图1，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，且BC＝3CE，F 为CD的中点，EF的延长线交AD于点G，连接BG．（1）求AGDG的值；（2）求证：BG＝EG；（3）如图2，M为AB的中点，DM交BG于点N，连接CN，求证：CN∥GE．【解题思路】（1）根据已知条件，利用ASA证明△GDF≌△ECF，可得DG＝CE，再由BC＝3CE，得CE=13BC＝DG，AG=23BC，即可得出答案；（2）过点G作GH⊥BC于H，利用SAS证明△ABG≌△HGE，即可证得结论；（3）过点M作MT∥AD交BG于T，利用AAS证明△MNT≌△DNG，进而得出BNBG=BCBE=34，可证△CBN∽△EBG，得出∠BCN＝∠BEG，可得CN∥EG．【解答过程】解：（1）∵F为CD的中点，∴DF＝CF，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠GDF＝∠ECF＝90°．又∵∠DFG＝∠CFE．∴△GDF≌△ECF（ASA），∴DG＝CE．∵BC＝3CE，∴CE=13BC＝DG，∴AG＝AD﹣DG＝BC﹣CE＝BC―13BC=23BC，∴AGDG=23BC13BC=2；（2）过点G作GH⊥BC于H，∴CH＝DG＝CE=13 BC，∴EH＝CH+CE=23 BC，在△ABG和△HGE中，AG=EH=23BC∠A=∠GHE=90°AB=GH，∴△ABG≌△HGE（SAS），∴BG＝EG；（3）过点M作MT∥AD交BG于T，∵M为AB的中点，∴MT=12AG＝DG，∵AD∥MT，∴∠NMT＝∠NDG，在△MNT和△DNG中，∠MNT=∠DNG∠NMT=∠NDGMT=DG，∴△MNT≌△DNG（AAS），∴NT＝NG，∴BG＝4NG，∴BNBG=34，∵BC＝3CE，∴BCBE=34，∴BNBG=BCBE，∵∠CBN＝∠EBG，∴△CBN∽△EBG，∴∠BCN＝∠BEG，∴CN∥EG．【变式6-3】（2020秋•潜山市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D在边BC 上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．（1）求证：△EFG∽△AEG；（2）设FG＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式．【解题思路】（1）由ED＝EB得到∠B＝∠DEB，再根据等角的余角相等得到∠A＝∠FEG，加上公共角∠G，则可判断△EFG∽△AEG；（2）过E点作EH⊥AC于H，如图，先证明△AEF∽△ACB得到EFAE =BCAC=12，再利用△EFG∽△AEG得到FGEG=GEGA=EFAE=12，则EG＝2x，GA＝4x，AF＝3x，在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF=5x，AE，接着利用面积法求出EH=65x，然后根据三角形面积公式得到y关于x的函数解析式．【解答过程】（1）证明：∵ED＝EB，∴∠B＝∠DEB，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵EF⊥AB，∴∠FBE＝90°，∴∠DEB+∠FEG＝90°，∴∠A＝∠FEG，∵∠EGF＝∠AGE，∴△EFG∽△AEG；（2）解：过E点作EH⊥AC于H，如图，∵∠AEF＝∠ACB，∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴EFBC=AEAC，∴EFAE=BCAC=24=12，∵△EFG∽△AEG，∴FGEG=GEGA=EFAE=12，∵FG＝x，∴EG＝2x，GA＝4x，∴AF＝3x，在Rt△AEF中，∵EF2+AE2＝AF2，∴EF2+4EF2＝（3x）2，解得EF=5x，∴AE，∵12EH•AF=12EF•AE，∴EH553x =65x，∴△EFG的面积=12•FG•EH=12•65x•x=35x2，即y关于x的函数解析式为y=35x2．。
图形的相似(压轴专练)(十大题型)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)
图形的相似（压轴专练）（十大题型）题型1：相似三角形解答证明题1．在ABC V 中，AB AC =，点D 在线段CB 的延长线上，连接AD ，过点B 作BE BC ^交线段AD 于点,2120E BED BAC Ð+Ð=°．(1)如图1，求CAD Ð的度数．(2)如图2，若32DE AE =，求BD BC的值．(3)如图3，在（2）的条件下，连接,EC EC 交线段AB 于点F ，若BD =AF 的长．2．如图1，在ABC V 中，90BAC AB AC BD CD Ð=°=^,,于点D ，连接AD ，在CD 上截取CE ，使CE BD =，连接AE ．(1)直接判断AE 与AD 的位置关系(2)如图2，延长AD ，CB 交于点F ，过点E 作EG AF ∥交BC 于点G ，试判断FG 与AB 之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若2AE =，CE =EG 的长．题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用3．如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 在边BC 的延长线上，点F 在边AB 上，且AF CE =，连接EF 交DC 于点P ，连接AC 交EF 于Q ，连接DE DF 、．(1)求证：EQ FQ =；(2)连接BQ ，如图2，①若AQ DP ×=BQ 的长；②若FP FD =，则PE PQ = ．4．综合与实践已知：矩形ABCD ，M 是AD 边上一点．【基本图形】（1）如图1，AM MD =，BM 交AC 于F 点，BM 的延长线与CD 的延长线交于点E ，连AE ，求证：MF EM BF EB=；【类比探究】（2）如图2，AM MD =，过点D 任意作直线与BM ，BC 的延长线分别交于点E ，点P ，连AE ，求证：EAD PAD ÐÐ=；【扩展延伸】（3）如图3，E 是CD 延长线上一点，P 是BC 延长线上一点，AP 交CD 于Q 点，BE 交AD 于M 点，延长AD 交EP 于N 点，若M 是AN 的中点，且3AB =，4BC =，求AEP △的面积．题型3：翻折问题5．菱形ABCD 中，5AB =，点F 是AD 边上的点，点Q 是AB 边上的点．(1)如图1，若点F 是AD 的中点，CQ AB ^，连接CF 并延长交BA 的延长线于点P ，连接QF ，①求证：PAF CDF △≌△；②判定FCQ V 的形状，并说明理由；(2)若菱形面积为20，将菱形ABCD 沿CQ 翻折，点B 的对应点为点E ．①如图2，当点E 落在BA 边的延长线上时，连接BD ，交CQ 于R ，交EC 于点M ，求DR BM 的值；②如图3，当CE AD ^，垂足为点F ，交AD 于点N ，求四边形CFNQ 的面积．6．如图1，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，点E 在BC 上，连接AE ，把ABE V 沿直线AE 翻折得到AFE △，直线EF 与直线CD 交于点G ，连接DF ．(1)当DFG GEC Ð=Ð时，求BE 的长．小星看到把ABE V 沿直线AE 翻折得到AFE △，就想到翻折图形的特征特点，对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分，那么他就知道BE FE =，AB AF =，90ABE AFE Ð=Ð=°，根据DFG GEC Ð=Ð，他延长EG 与AD 的延长线相交于点H ，可证AD DF DH ==，AH EH =，再通过勾股定理即可求出BE 的长．请用小星的方法或自己的方法求BE 的长；(2)当G 是CD 的中点时，求BE 的长；(3)如图2，已知等边ABC V 的边长为6，点D 在边BC 上，连接AD ，把ABD △沿直线AD 翻折得到AED △，直线DE 与直线AC 交于点F ，若12CF =，求BD 的长．7．（1）发现：如图1，正方形ABCD 中，点E 在CD 边上，将ADE V 沿AE 对折得到AFE △，延长EF 交BC 边于点G ，连接AG ．证明：BG DE EG +=．（2）探究：如图2，矩形ABCD 中AD AB >，O 是对角线的交点，过O 任作一直线分别交BC AD 、于点M 、N ，四边形AMNE 是四边形CMND 沿MN 翻折得到的，连接CN ，若CDN △的面积与CMN V 的面积比为1:3，求MN DN的值．（3）拓展：如图3，在菱形ABCD 中，6AB =，E 为CD 边上的三等分点，60D Ð=°，将ADE V 沿AE 翻折得到AFE △，直线EF 交BC 于点P ，求PC 的长．题型4：旋转问题8．如图，ABC V 和ADE V 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE Ð=Ð=°．(1)如图1，连接BE 、CD ，BE 的延长线交AC 于F ，交CD 于点P ，求证：①ABE ACD V V ≌；②BP CD ^；(2)如图2，把ADE V 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在AB 上时，连接BE 、CD ，CD 的延长线交BE 于点P ，若BC =3AD =．①求证：BDP CDA △∽△，②PDE △的面积是 ．9．问题背景：如图（1），在ABC V 和ADE V 中，AB AC AD AE ==，，BAC DAE Ð=Ð，求证：ABD ACE △△≌；尝试应用：如图（2），在ABC V 和ADE V 中，90ABC ADE Ð=Ð=°，30ACB AED Ð=Ð=°，连接CE ，点F 是CE 的中点．判定以B ，D ，F 为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；拓展创新：如图（3），在ABC V 中，AC BC ＝AB 绕点A 逆时针旋转90°得到AD ，连接BD CD ，．若点E 是CD 的中点，连接BE ，直接写出BE 的最大值．10．如图，在V 锐角ABC 中，AB =3BC =，45ACB Ð=°，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转得到11A BC V ．(1)如图①，当点1C 在线段CA 的延长线上时，求11CC A Ð的度数；(2)如图②，连接1AA ，1CC ，若1ABA △的面积为2，求1CBC △的面积；(3)如图③，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点1P ，求线段1EP 长度的最大值与最小值．题型5：最值问题11．如图，在ABC V 中，90,BAC AB AC Ð=°=，点D 为AC 一点，连接BD ．(1)如图1，若CD =，15ABD Ð=°，求AD 的长；(2)如图2，过点A 作AE BD ^于点E ，交BC 于点M ，AG BC ^于点G ，交BD 于点N ，求证：BM CM =；(3)如图3，将ABD △沿BD 翻折至BDE V 处，在AC 上取点F ，连接BF ，过点E 作EH BF ^交AC 于点G ，GE 交BF 于点H ，连接AH ，若:2GE BF =，AB =AH 的最小值．12．如图1和图2，平面上，四边形ABCD 中1582AB BC ==，，252CD =，6DA ＝，90A Ð=°，点M 在AD边上，且2DM =．点P 从点A 沿折线AB BC -上运动到点C ，将APM △沿MP 翻折，点A 的对应点为点A ¢，设点P 的运动路径长为x (0)x >．(1)如图1，连接BD ，①求CBD Ð的度数；②求证：AB CD ∥．(2)如图2，当点A ¢落到四边形ABCD 内部时，求x 的取值范围．(3)①当点A ¢落在AD 的延长线上时，请直接写出x 的值．②设点A ¢到边BC 所在直线的距离为h ，请直接写出h 的最小值．13．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 在直线AB 上，点E 在直线AC 上，连接BE ，DE ，且BE DE =，直线DE 交BC 于点F ．(1)如图①，当点D 在线段AB 上时，AD 4AC =，求BE 的长；(2)如图②，当D 是AB 的中点时，求证：CE CF BF +=；(3)如图③，连接CD ，将ADC △沿着CD 翻折，得到A CD ¢△，M 是AB 上一点，且37BM AB =，当A M ¢最短时，请直接写出DF BE 的值．题型6：比值问题14．如图1，在ABC D 中，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DC ，点F 、P 、G分别为DE 、DC 、BC 的中点，连接FP ，PG ．(1)图1中，求证：PF PG =；(2)当ADE V 绕点A 旋转到如图2所示的位置时，①PF PG =是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；②若:1:(1)AD AB n n =>，PDF △和PGC V 的面积分别是1S ，2S ，ABC V 的面积为3S ，求123S S S +的值．15．【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD 中，点P 在边AB 的延长线上，连接PD ，过点D 作DM PD ^，交BC 的延长线于点M ．求证：DP DM =．【变式求异】（2）如图2，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，点D 在边AB 上，过点D 作DQ AB ^，交AC 于点Q ，点P 在边AB 的延长线上，连接PQ ，过点Q 作QM PQ ^，交射线BC 于点M ．已知8BC =，10AC =，AD =2DB ，求PQ QM的值．【拓展应用】（3）如图3，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，点P 在边AB 的延长线上，点Q 在边AC 上（不与点A ，C 重合），连接PQ ，以Q 为顶点作PQM PBC Ð=Ð，PQM Ð的边QM 交射线BC 于点M ．若AC mAB =，CQ nAC =（m ，n 是常数），直接写出PQ QM的值（用含m ，n 的代数式表示）．题型7：“手拉手”模型16．在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 是BC 边上一动点，过点C 作CE AD ^交AB 于点E ．(1)如图1，若AC AE =，求ADB Ð的度数；(2)如图2，点F 是BD 上一点，连接EF 并延长交AD 的延长线于点G ．若点P 为AD 的中点，CP DG =，2G CAD Ð=Ð，求证：2CE EF FG +=；(3)点F 是BC 边上一点，射线EF 与射线AD 交于点G ，BFE ADC Ð=Ð，点H 是AC 上一点，且14CH AC =，连接HF ，H G ，点M 是射线AD 上一动点，连接MH ，MF ．在点D 的运动过程中，当GH 取得最小值m 时，在平面内将HFM △沿直线HM 翻折得到HNM V ，连接EN ．在点M 的运动过程中，若EN 的最大值为n ，直接写出n m的值．17．如图所示，在ABC V 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE BC ∥，如图1，然后将ADE V 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝12BD ，EN ＝12CE ，得到图3，请解答下列问题：(1)若AB AC =，请探究下列数量关系：①在图2中，BD 与CE 的数量关系是 ；②在图3中，猜想AM 与AN 的数量关系、MAN Ð与BAC Ð的数量关系，并证明你的猜想；(2)若·1AB k AC k =（＞），按上述操作方法，得到图4，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、MAN Ð与BAC Ð的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．题型8：定值问题18．如图1，在ABCD Y 中，60A Ð=°，4=AD ，8AB =．Y的面积；(1)请计算ABCD△沿着AC翻折，D点的对应点为D¢，线段CD¢交AB于点M，请计算AM的长度；(2)如图2，将ADC^交AD¢的延(3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段CM上一动点，过点P作PN AC^于点N，PG AD¢长线于点G．在点P PG+的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由．题型9：情景探究题19．[问题情境]（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在ABC V 中，AB AC =，P 为边BC 上的任一点，过点P 作,PD AB PE AC ^^，垂足分别为D ，E ，过点C 作CF AB ^，垂足为F ．求证：PD PE CF +=．小明的证明思路是：如图①，连接AP ，由ABP V 与APC △面积之和等于ABC V 的面积可以证得：PD PE CF +=．小颖的证明思路是：如图②，过点P 作PG CF ^，垂足为G ，可以证得：,PD GF PE CG ==，则PD PE CF +=．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．[变式探究]（2）如图③，当点Р在BC 延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则PD PE CF 、、之间的数量关系是______．[结论运用]（3）如图④，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C ¢处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点Р作,PG BE PH BF ^^，垂足分别为G ，H ，若18,5AD CF ==，求PG PH +的值．[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD 中，E 为AB 边上的一点，,ED AD EC CB ^^，垂足分别为D ，C ，且,3cm,AD CE DE BC AB AD BD ====××，M 、N 分别为AE BE ，的中点，连接DM CN ，，请直接写出DEM △与CEN V 的周长之和___________．题型10：相似三角形在平面直角坐标系的应用20．如图，在平面直角坐标系中；一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B (0,3)，与直线OC 交于点8,13C æöç÷èø．(1)求直线AB 的函数表达式；(2)过点C 作CD x ^轴于点D ，将ACD V 沿射线CB 平移得到的三角形记为A C D ¢¢¢△，点A ，C ，D 的对应点分别为A ¢，C ¢，D ¢，若A C D ¢¢¢△与BOC V 重叠部分的面积为S ，平移的距离CC m ¢=，当点A ¢与点B 重合时停止运动，当925S =时，求m 的值．21．综合运用如图1，在平面直角坐标系中，AOB V 是等腰直角三角形，AO BO =，点A 的坐标为()0,6．点C 是边OB 上一点，连接AC ，将线段AC 绕点C 顺时针旋转90°，得到线段CD ，连接AD ，BD ．(1)当AB 平分CAD Ð时，OAC Ð＝________°；(2)若13CO BO =，求BD 的长；(3)如图2，作点C 关于AD 的对称点E ，连接BE ，CE ，DE ．设BDE V 的面积S =，CO m =，求S 关于m 的函数表达式．。
【中考数学】2022-2023学年易错常考专题训练—相似三角形(含解析)
【中考数学】2022-2023学年易错常考专题训练—相似三角形1．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴213222y x x =-++交于点C ，连接．BC(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)设x 轴上的一个动点P 的横坐标为t ，过点P 作直线轴，交抛物线于点N ，交直PN x ⊥线于点M ．BC ①当点P 在线段上时，设的长度为s ，求s 与t 的函数关系式；AB MN ②当点P 在线段上时，是否存在点P ，使得以O 、P 、N 三点为顶点的三角形与OB 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．COB △2．如图，抛物线经过，，三点．()4,0A ()10B ,()0,2C -(1)求出抛物线的解析式；(2)P 是抛物线在第一象限上的一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若抛物线上有一点D （点D 位于直线AC 的上方且不与点B 重合）使得，DCA ABCS S=△△直接写出点D 坐标．3．如图，已知，，抛物线经过、两点，交轴于点()2,0A -()4,0B 2y ax bx c =++A B y ．点是第一象限内抛物线上的一点，连接，．为上的动点，过点()0,4C P AC BC M OB 作轴，交抛物线于点，交于点．M PM x ⊥P BC Q(1)求抛物线的函数表达式；(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为请用含的代数式表示线段P PN BC ⊥N M ()0m ,m 的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？PN m PN (3)试探究在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形M Q O M Q 与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．AOC Q 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于xOy 213442y x x =-++三点．A B C ，，(1)求证：；90ACB ∠=︒(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点D D x BCE x ．F①②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．G AC C D E ，，AOG D 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 与x 轴、y 轴的交点分别为C （8，0），B （0，6），CD ＝5，抛物线y ＝ax 2﹣x +c （a ≠0）过B ，C 两点，动点M 从点D 开始以154每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C 的方向运动到达C 点后停止运动．动点N 从点O 以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，到达C 点后，立即返回，向CO 方向运动，到达O 点后，又立即返回，依此在线段OC 上反复运动，当点M 停止运动时，点N 也停止运动，设运动时间为t ．(1)求抛物线的解析式；(2)求点D 的坐标；(3)当点M ，N 同时开始运动时，若以点M ，D ，C 为顶点的三角形与以点B ，O ，N 为顶点的三角形相似，直接写出t 的值．6．如图．在平面直角坐标系中．抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交212y x bx c =++于点C ．点A 的坐标为，点C 的坐标为．已知点是线段上的动()1,0-()0,2-(),0E m AB 点（点E 不与点A ，B 重合）．过点E 作轴交抛物线于点P ，交于点F ．PE x ⊥BC(1)求该抛物线的表达式；(2)若，请求出m 的值；:1:2EF PF =(3)是否存在这样的m ，使得与相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，BEP △ABC 请说明理由；(4)当点E 运动到抛物线对称轴上时，点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M 的坐标．7．如图，抛物线与y 轴交于点A ，与轴交于点，，P 是26y ax bx =+-x ()3,0B -()1,0C 线段下方抛物线上的一个动点，过点Р作轴的垂线，交轴于点H ，交于点AB x x AB D ．设点P 的横坐标为．()30t t -<<(1)求抛物线的解析式．(2)用含t 的式子表示线段的长，并求线段长度的最大值．PD PD (3)连接，当与相似时，求点P 的坐标．AP DPA DHB △8．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点234y x bx c =-++x ()4,0A y ()0,3B 为线段上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于(),0M m OA M x AB 点，．P N(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)如果以点P ，N ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形，求的值；m (3)如果以B ，P ，N 为顶点的三角形与相似，求点的坐标．APM △M 9．如图，抛物线经过，两点，与y 轴交于点B ，P 为抛物2y x bx c =-++()4,0A ()1,0C -线上的动点，连接AB ，BC ，PA ，PC ，PC 与AB 相交于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为第一象限抛物线上的动点，设的面积为，的面积为，当APQ △1S BCQ △2S 时，求点P 的坐标；215S S -=(3)是否存在点P ，使，若存在，直接写出点P 的坐标：若不存在，说45PAB CBO ∠+∠=︒明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴的正、负半轴分别交xOy 23y ax bx =++于点B 、A ，与y 轴交于点C ，已知，，．5AB =tan 3CAB ∠=:3:4OC OB =(1)求该抛物线的表达式；(2)设该抛物线的对称轴分别与x 轴、交于点E 、F ，求的长；BC EF (3)在（2）的条件下，联结，如果点P 在该抛物线的对称轴上，当和相似CE CEP △CEB 时，求点P 的坐标11．如图，直线分别交轴、轴于点，过点的抛物线31255y x =-+x y A B ，A 与轴的另一交点为，与轴交于点，抛物线的对称轴交2y x bx c =-++x C y ()04D ，l 于点，连接交于点．AD E OE AB F(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；OE AB ⊥(3)为抛物线上的一动点，直线交于点，是否存在这样的点，使以P PO AD M P 为顶点的三角形与相似？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明A O M ，，ACD P 理由．12．如图，以D 为顶点的抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直212y x bx c=-++线的表达式为．BC 6y x =-+(1)求抛物线的表达式；(2)在直线上存在一点P ，使的值最小，求此最小值；BC PO PA +(3)在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与相似？若存在，BCD △请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点A 和点2()0y ax bx c ac =++≠B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段的长满足，OA OB OC 、、2OC OA OB =⋅则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线为“黄金”抛物线，22(0)y ax bx a =++≠其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB=(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为上方抛物线上的动点，过点P 作，垂足为D ．AC PD AC ⊥①求的最大值；PD ②连接，当与相似时，求点P 的坐标．PC PCD ACO △14．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点3y x =-+C ．二次函数的图像过B ，C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段2y ax 2x c =++OB 上的一个动点（不与端点O ，B 重合）．(1)求二次函数的表达式；(2)如图①，过点M 作y 轴的平行线l 交于点F ，交二次函数的图像于BC 2y ax 2x c =++点E ，记的面积为，的面积为，当时，求点E 的坐标；CEF 1S BMF 2S 1212S S =(3)如图②，连接，过点M 作的垂线，过点B 作的垂线，与交于点CM CM 1l BC 2l 1l2l G ，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．CG CM CGCM 15．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于2y xbx c =-++x ()()2,0,4,0A B -y 点．C (1)求的面积；ABC (2)如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；P PAB ACO ∠=∠P (3)若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点N 2y =x ，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足M CMN M 条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．M 16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，xOy 2y ax x c =++()2,0A -两点，直线与轴交于点．()0,4B 3x =x C(1)求，的值；a c (2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面O AB 3x =D E BDO △OCE △积相等，求直线的解析式；DE (3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，P OC 3x =F ，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐G B F G P BF F 标；若不存在，请说明理由．答案：1．(1)，，；()10A -，()40B ，()02C ，(2)①；②点P()()221210212042t t t s t t t ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩2．(1)215222y x x =-+-(2)存在，（2，1）(3)点的坐标为（3，1）D 3．(1)2142y x x =-++，当时，有最大值2m =PN (3)存在，或48,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭84,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)1(2)①；②或．9(4,6)D 25(3,)4D 5．(1)2315684y x x =-+(2)（11，4）或2356．(1)；213222y x x =--(2)；2m =(3)存在，m 的值为0或3；(4)存在，M 点的坐标为或或()7,0()1,0M 7．(1)；2246y x x =+-(2)；线段长度的最大值为．226PD t t =--PD 92(3)或()2,6P --755,48P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭8．(1)，对称轴：，顶点坐标239344y x x =-++32x =375,216⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)2(3)或11,09M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()3,0M 9．(1)234y x x =-++(2)或16P（，）26P （，）(3)()3,4P 10．(1)239344y x x =-++(2)158EF =(3)P 的坐标为：或．3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭11．(1)抛物线解析式为234y x x =-++(2)2(3)存在，点的横坐标为P 12．(1)21262y x x =-++(2)10(3)当Q 的坐标为或时，以A 、C 、Q 为顶点的三角形与相似()00，()180，BCD △13．(1)213222y x x =--+(2)①PD ②P 坐标为或(3,2)-325()28，-14．(1)；223y x x =-++(2)；(1,4)E(3)15．(1)24(2)1523(,)416P (3)存在，或()3,5M 16．(1)，12a =-4c =(2)23y x =-(3)存在这样的点，点的坐标为或F F (2,0)。
相似三角形的性质与判定(原卷版)-九年级数学(北师大版)
第22讲相似三角形的性质与判定1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3.相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=图上距离/实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．例A．1:C．1:2例例例短边为_________例A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：16考点2：相似三角形的应用（利用相似三角形测高）例6．如图，身高为1.6m 的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影BA 由B 到A 走去，当走到C 点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 1.4m BC =，.7m 0CA =，于是得出树的高度为（）A ．3.2mB ．4.8mC ．6.4mD ．8m例7．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20cm 光源，到屏幕的距离为40cm ，且幻灯片中图形的高度为8cm ，则屏幕上图形的高度为（）A ．8cmB ．12cmC ．16cmD ．24cm例8．中国教育家孔子周游列国14年，其中10年居卫(卫国即现在的濮阳)，龙湖论语广场有一尊孔子雕像，数学兴趣小组的同学为了测量雕像的高度(AB 顶端A 到水平地面BE 的距离)，在雕像旁边的水平地面上C 处放了一面镜子(平面镜的厚度忽略不计)，组长小丽沿直线BC 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到雕像的顶端A ，此时测得7BC =米，2EC =米，小丽的眼睛距地面的高度 1.6DE =米，则雕像的高度AB =______米．考点3：利用相似三角形的性质求解平行问题例9．如图，12l l ∥，AF ：BF ＝2：5，BC ：CD ＝4：1，则AE ：EC 的值为（）A ．5：2B ．1：4C ．2：1D ．3：2例S S：A．3：5B．3：25C．例11．如图，在长线于点D．若ECD的面积等于例12．如图，在＝12；③ADAB＝OEOB；④ADE A．1个B．2个考点4：网格问题例13．如图，在33⨯的正方形网格中，考点5：分类讨论问题例点的三角形与考点6：最值问题例15．如图，在矩形ABCD 且分别交对角线AC ，直线BC 于点A ．25552-B ．2552+考点7：相似三角形的性质与判定综合问题例16．ABC 的边上有D 7BE =，4EF =，5FC =，则四边形A ．1:3B ．1:4C ．2:5D ．3:8例17．如图，ABC 为等边三角形，相交于点O ，现有如下两个结论：①AP A ．①对，②对B ．①对，②错例EF 折叠得A ．2个B 考点8：相似三角形的性质与判定解答证明题例19．如图，在梯形(1)求证：DE AF=(2)若ABC CDE ∠=∠，求证：2AF BF CE=⋅例20．如图，在ABC 中，AB AC =，(1)求证：BAE CAE ≌；(2)在如图1中，若AE AD =，其它条件不变得到图2，在图点，过点H 作HG AB 交FD 于G ，交DE 于M ．求证：①AF MH AM AE ⋅=⋅；②GF GD =．一、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是（）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:162．（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中，6cm 8cm AB BC ==，，D 、E 分别为AC BC 、中点，连接AE BD 、相交于点F ，点G 在CD 上，且12DG GC =::，则四边形DFEG 的面积为（）A ．22cmB ．24cmC ．26cmD ．28cm 3．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，60ADE ∠=︒，若4BD DC =， 2.4DE =，则AD 的长为（）A ．1.8B ．2.4C ．3D ．3.24．（2023·安徽·统考中考真题）如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF AB ⊥于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若2AF =，1FB =，则MG =（）A ．23B ．352C ．51+D ．105．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD 的边5,:1:4AD OA OD ==，将矩形ABCD 沿直线OE 折叠到如图所示的位置，线段1OD 恰好经过点B ，点C 落在y 轴的点1C 位置，点E 的坐标是（）A ．()1,2B ．(-二、填空题6．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且2AE DE =，BD 与CE 相交于点F ，若DEF 的面积是3，则BCF △的面积是______．7．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，在ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，2,EH EF AD =是ABC 的高．8,6BC AD ==，那么EH 的长为____________．三、解答题8．（2018·陕西·统考中考真题）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A ，在他们所在的岸边选择了点B ，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC ，再在AB 的延长线上选择点D 竖起标杆DE ，使得点E 与点C 、A 共线．已知：CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，测得BC ＝1m ，DE ＝1.5m ，BD ＝8.5m ．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB ．9．（2023·福建·统考中考真题）如图1，在ABC 中，90,,BAC AB AC D ∠=︒=是AB 边上不与,A B 重合的一个定点．AO BC ⊥于点O ，交CD 于点E ．DF 是由线段DC 绕点D 顺时针旋转90︒得到的，,FD CA 的延长线相交于点M ．(1)求证：ADE FMC △∽△；(2)求ABF ∠的度数；(3)若N 是AF 的中点，如图2．求证：ND NO =．一、单选题A．6B．8 5．如图，已知在ABC中，DE∥①DE AEBC EC=②ADABB CEC=③CECF A．1个6．如图，BD、CE是A．ADEV∽ABCC．BOE△∽COD△7．如图，已知ABC的面积是DEFG1212A．17B．217∠9．如图，直角三角形ABC中，ACB 个．①图中有4个三角形与ACB△相似；②16AE AD二、填空题14．如图，EF分别为矩形ABCD15．如图，点E是平行四边形BF=17．如图，△ABC中，AB＝8cm，AC 以A、P、Q为顶点的三角形与△18．如图，边长为6的正方形ABCD三、解答题20．如图，在ABC 和DEF 中，G ，H 分别是边22．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点23．如图，在ABC 中，点D 24．如图，已知cm,cm,2AD a AC b BC ===（1）试证BFG FEG△△∽（2）求:AP PC．27．如图所示，在等腰三角形ABC中，AE²=AQ·AB求证：(1)∠CAE=∠BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ，以B为直角顶点向右作等腰直角28．如图1，已知等边ABC(1)若62AC=，求点D到AB边的距离；=+；(2)如图2，过点B作AD的垂线，分别交AD，CD于点E，F，求证：EF CF BE=，连接CM，CN，若AC (3)如图3，点M，N分别为线段AD，BD上一点，AM BN△的面积．取得最小值时，直接写出ACM。
九年级数学中考冲刺---相似三角形复习课件北师大版
G
F
D
B
C
补充练习2：
• 如图，在△ABC中，DE∥BC，且 S△ADE :S
四边形BCED＝1:2，BC＝2。
• 求DE的长。
A
D B E C
补充练习3：
• 矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点， DE⊥AM，E是垂足。①求△ABM的面积；② 求DE的长；③求△ADE的面积。 • A D
应用举例
例1 判断 ①所有的等腰三角形都相似． (×) ②所有的直角三角形都相似． (×)
③所有的等边三角形都相似． (√) ④所有的等腰直角三角形都相似． (√)
小结：相似的形式一
（1）如图1，当
DE∥BC ∠AED=∠B
时，△ABC∽ △ADE 时， △ABC∽ △AED。
（2）如图2，当
（3）如图3，当
C
∴
△
∽ △ DAC
1、 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共 3 有_____对三角形相似.
A D E
B
F
C 如图(1)
2:已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A=900,对角线BD⊥CD 求证:(1) △ABD∽△DCB;
证明:(1) ∵AD∥BC, ∴ ∠ADB= ∠DBC ∵ ∠A=∠BDC= 90°, ∴ △ABD∽△DCB (2) ∵ △ABD∽△DCB ∴AD = BD BD BC 即:BD2=AD· BC
y
· P
O
· B
C
·
x
· A
例2 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点， ED交CB的延长线于F。 这个图形中有几个相似三角形的基本图形 求证：BD· CF=CD· DF
北师大版-相似三角形-测试卷
相似三角形 一、选择题(每小题3分，共30分)1、在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（ ）2、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是（ ）A.∠B=∠CB.∠ADC=∠∶AC=AE ∶AB3、如图所示，D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，并且AD ∶BD=2，那么S ΔADE ∶S 四边形DBCE =（ ）(A)32 (B)43 (C)54 (D)94 4.在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有（ ）(A)ΔADE ∽ΔAEF (B)ΔECF ∽ΔAEF (C)ΔA DE ∽ΔECF (D)ΔAEF ∽ΔABF(第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图)5、厨房角柜的台面是三角形(如图所示)，如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石(图中阴影部分)，其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石面积与白色大理石的面积之比是（ ） ∶∶∶∶56、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）① ② ③ ④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④7、如图是圆桌正上方的灯泡O 发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2m ，桌面距离地面1m ，若灯泡O 距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为（ ） πm 2πm 2πm 2πm 28、如图，直线l 1∥l 2，AF ∶FB=2∶3，BC ∶CD=2∶1，则AE ∶EC 是（ ）∶∶∶∶29、如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（ ）10、平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（ ）A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以21，得到的鱼与原来的鱼位似 二、填空题(每小题4分，共20分)11、两个相似多边形的一组对应边分别为3cm 和4.5cm ，如果它们的面积之和为130cm 2，那么较小的多边形的面积是 cm 2.12、如图，DE 与BC 不平行，当ACAB = 时，ΔABC 与ΔADE 相似.(第12题图) (第13题图) (第14题图) (第15题图)13、如图，AD=DF=FB ，DE ∥FG ∥BC ，则S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ= .14、如图，正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，MN=1，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM= 时，ΔAED 与N ，M ，C 为顶点的三角形相似.15、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为 或 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标).三、解答题(每小题8分，共40分)16、如图，ΔABC 中，BC=a .(1)若AD 1=31AB ，AE 1=31AC ，则D 1E 1= ； (2)若D 1D 2=31D 1B ，E 1E 2=31E 1C ，则D 2E 2= ； (3)若D 2D 3=31D 2B ，E 2E 3=31E 2C ，则D 3E 3= ； ……(4)若D n -1D n =31D n -1B ，E n -1E n =31E n -1C ，则D n E n = . 17、已知：如图，ΔABC 中，∠B=∠C=30°.请你设计三种不同的分法，将ΔABC 分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似三角形但不全等的直角三角形.请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数或记号，并在各种分法的空格线上填空.(画图工具不限，不要求写出画法，不要求说明理由).分法一 分法二 分法三 分法一：分割后所得的四个三角形中，Δ ≌Δ ，RtΔ ∽RtΔ . 分法二：分割后所得的四个三角形中，Δ ≌Δ ，RtΔ ∽RtΔ . 分法三：分割后所得的四个三角形中，Δ ≌Δ ，RtΔ ∽RtΔ .18、在比例尺为1∶5000的地图上，一块多边形地区的周长是72cm，面积是320cm2，求这个地区的实际周长和面积.19、如图，ΔABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的长.20、如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.(1)⊿ACF与⊿ACG相似吗？说说你的理由.(2)求∠1+∠2的度数.五、(本题10分)21、在ΔABC中，AB=4如图(1)所示，DE∥BC，DE把ΔABC分成面积相等的两部分，即SⅠ=SⅡ，求AD的长.如图(2)所示，DE∥FG∥BC，DE、FG把ΔABC分成面积相等的三部分，即SⅠ=SⅡ=SⅢ，求AD 的长.如图(3)所示，DE∥FG∥HK∥…∥BC，DE、FG、HK、…把ΔABC分成面积相等的n部分，SⅠ=SⅡ=SⅢ=…，请直接写出AD的长.。
中考数学总复习 第一部分 教材考点全解 第四章 三角形 第17讲 相似三角形课件
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5．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三 角形与原三角形相似． 三角形相似的几种常见基本图形：
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命题点1 平行线分线段成比例(仅2015年考查) 命题点2 与相似三角形性质有关的计算(必考)
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考点(kǎo diǎn)一
相似(xiānɡ sì)图形与比例线段
1．相似图形：形状相同的图形称为相似图形．
2．相似多边形：如果两个边数相同的多边形满足对应角 _相__等___，对应边的比_相__等_(_xi_ān，gd那ěng)么这两个多边形相似，相
似多边形对应边的比称为相似比． (1)相似多边形的对应角_相__等___，对应边_成__比__例____. (2) 相 似 多 边 形 的 周 长 比 等 于 _相_似__比____ ， 面 积 比 等 于 _相__似__比__的_平__方____.
第四章 三角形
第17讲
相似 三角形 (xiānɡ sì)
(3~13分)
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【版本导航】人教：九下第二十七章 P23—P46； 北师：九上第四章 P76—P112； 华师：九上第二十三章 P48—P76.
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5．黄金分割：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC
和BC(AC＞BC)，如果
BC AC
＝
AC AB
，那么线段AB被点C黄金
分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做 黄金比，黄金比约为__0_.6_1_8___.
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1
专题17 相似三角形及应用
学校：___________姓名：___________班级：___________
一、选择题：（共4个小题）
1．【2015宜宾】如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，
CO=CD．若B（1，0），则点C
的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（2，2） D．（2，1）
【答案】B．
【解析】
【考点定位】1．位似变换；2．坐标与图形性质．
2．【2015乐山】如图，1l∥2l∥3l，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知32ABBC，
则DEDF的值为（ ）
A．32 B．23 C．25 D．35
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵1l∥2l∥3l，32ABBC，∴DEDF=ABAC=332=35，故选D．
【考点定位】平行线分线段成比例．
2
3．【2015绵阳】如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重
合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（ ）
A．34 B．45 C．56 D．67
【答案】B．
【解析】
【考点定位】1．翻折变换（折叠问题）；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．
4．【2015黔西南州】在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折
成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，
且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m=3时，n的值为（ ）
A．423 B．432 C．332 D．332
3
【答案】A．
【解析】
【考点定位】1．相似三角形的判定与性质；2．实数与数轴；3．等边三角形的性质；4．平移的性质．
二、填空题：（共4个小题）
5．【2015柳州】如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=23EH，那么
EH
的长为 ．
【答案】32．
【解析】
试题分析：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴AMEHADBC，
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴22323xx，解得：x=12，则EH=32．故答案为：32．
【考点定位】1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质；3．应用题．
4
6．【2015河池】如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，
则11AMAN= ．
【答案】1．
【解析】
【考点定位】1．相似三角形的判定与性质；2．菱形的性质；3．综合题．
7．【2015自贡】将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于 ．
【答案】1：3．
【解析】
【考点定位】相似三角形的判定与性质．
8．【2015钦州】如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变化，经第一次变化后
得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的12，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为
OA
1
的12，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的12，．．．．．．，按此规律，经第n次变化
后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．
5
【答案】16．
【解析】
试题分析：由已知有：OA1=12OA；OA2=12OA1=21()2OA，OA3=12OA2=31()2OA，．．．．．．，∴OAn=1()2nOA，
OAn=1()2nOA=1OA，∴1()2n=1622111()2562OA，∴n
=16．故答案为：16．
【考点定位】1．位似变换；2．坐标与图形性质．
三、解答题：（共2个小题）
9．【2015德阳】如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABM=2
∠BAM．
（1）求证：AG=BG；
（2）若点M为BC的中点，同时S△BMG=1，求三角形ADG的面积．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）4．
【解析】
【考点定位】1．菱形的性质；2．相似三角形的判定与性质．
6
10．【2015南充】如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点
B
都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）
（2）如果AM=1，sin∠DMF=53，求AB的长．
【答案】（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD；（2）AB=6．
【解析】
试题分析：（1）由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=
∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；
（2）先证明MD=MQ，然后根据sin∠DMF=DFMD=53，设DF=3x，MD=5x，表示出AP、BP、BQ，再根据△
AMP
∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可．
（2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ，根据折叠的性质可知：∠DQC=∠DQM，∴∠MDQ=∠DQM，∴MD=MQ，∵AM=ME，
BQ=EQ，∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM，∵sin∠DMF=DFMD=53，∴设DF=3x，MD=5x，∴BP=PA=PE=32x，BQ=5x
﹣1，
∵△AMP∽△BPQ，∴AMAPBPBQ，∴3123512xxx，解得：29x（舍）或x=2，∴AB=6．
【考点定位】1．翻折变换（折叠问题）；2．相似三角形的判定；3．解直角三角形；4．探究型．
7