高考文科数学精准培优专题十五平行垂直关系的证明 含答案
培优点十五平行垂直关系的证明．平行关系的证明
1BCGAACDABCD?ABCDCCEHF，分别是正方体，，的棱例1：如图，，，，11111111的中点．求证：∥EGDBBD 1）平面；（11HBD∥BDF）平面平面．（211
）见解析．【答案】（1）见解析；（2OBGOODB，证明（【解析】1）如图，取，连接，的中点
11
1EGOB∥BEGOBEOGBECOGB，所以因为，，所以四边形为平行四边形，故∥∥∥11
2?EGOB?DBBDBBDBBDDD平面平面因为，，所以平面．∥EG111111FDDBD∥BHB，）由题意可知．连接，（2111DFBHBF∥HBFDHD因为，所以四边形是平行四边形，故∥111BDIHD=DBDH ∥BDF．平面又，所以平面，BBFBDI=111111
2．垂直关系的证明
ABCACAB=BC?AAC?ABCABM，的中点．，为棱在三棱柱：例2如图，侧棱中，底面1111
=2ACAA=2，．1．
ABM∥BC；（1）求证：平面11AC?ABM；平面（2）求证：11BNNCCAABB?ACN的（3）在棱平面上是否存在点？如果存在，求此时，使得平面1111BB1值；如果不存在，请说明理由．1．3）存在，）见解析；【答案】（1（2）见解析；（2OOMABBA．与，连接【解析】（1）证明：连
接，两线交于点11
OACABOMAC∥BC△BM，，分别为中，∵在的中点，∴，111OM?ABMBC?ABMABM∥CB．又∵，∴平面平面平面，11111ABCABCAA?AA?BM?BM，，，∴底面（2）证明：∵侧棱平面
11ACAB=BCBM?ACM．，∴为棱又∵的中点，AC?ACCAACCAAAABM?ACAAAC=?BM平面，
∴平面，，∴∵，1111111
=2ACAA=2Rt△ACCRt△AAM1=AM中，，∴在∵和，∴．又∵111tan?ACC?tanAMA?2，11?ACC＝?AMA，∴11?ACC??CAC??AMA??CAC?90?AM?AC，∴即
111111BMAM?MAM?ABMAC?ABMBM．，∴，平面，平面∵
11111BN1NBBCAAC?ACN的中点，即为3（时，平面）解：当点平面?1111
2BB1．
证明如下：DNACCC∥DMACACDMMDD设分别为的中点为，，连接，，，，∵的中点，∴111
1BN?∥BNDMNDMBBCC?DM的中点，∴．又∵，为且，且112DN∥BNDMBM为平行四边形，∴∴四边形，?DNDN?NACAACACCAC?BM平面平面平面，∴∵．又∵，11111CAAC?NAC ∴平面．平面111
对点增分集训
一、单选题nm，给出下列内的射影分别是和，如果1．平面外有两条直线和和在平面??nmmn11四个命题：m?nm??nn?m?n?mnm?nmm平③与④；②相交与相交或重合；①与；n11111111m?）行平行或重合；其中不正确的命题个数是（与n B．2
C．3
1 A．D．4
D
【答案】D?ABCDACB中：结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体【解析】
1111
ABCDACACn，BDmBD，，对于说法①：若取平面为分别为，，，分别为?nm，1111m?nADDnAm?m，为满足，但是不满足，，该说法错误；对于说法②：若取平面?11111m?nm?AC，BDnnAD，AD，，满足分别为，但是不满足，分别为n，m111111111ABCDAC，BDnm，，分别为该说法错误；对于说法③：若取平面为分别为，?n，m11AC，BD，11nADDAm，相交，但是与异面，该说法错误；对于说法④：若取平面满足与为?nm1111nAD，ADAC，BCnmm平行，分别为，、、与分别为，满
足nm11111111
但是与异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．本题选择D选项．nm?为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）为两条不同的直线，2．已知、、?nm??ll?nl?m，且，则A．若，??nm，???的距离相等，则内有不共线的三点到平面B．若平面∥???∥n?m?nm C．若，，则????mm∥nn，．若，则D【答案】D
l?ml?n，且，则对于选项A，若l不一定垂直平面，∵，有可【解析】??mn?m，能和平行，n∴该选项错误；
??可能相交或平行，内有不共线的三点到平面、的距离相等，则对于选项B，若平面??∴该选项错误；
?，m?nm?，则有可能在平面内，∴该选项错误；对于选项C，若?n对于选项D，由于两平行线中有一条垂直平面，则另一条也垂直平面，∴该选项正确，??故答案为D．
3．给出下列四种说法：
a∥b????；，直线①若平面，则?，∥ba??∥baa∥???；，直线，则②若直线，直线∥∥b???；，直线，则③若平面∥a∥??a
?∥a???．其中正确说法的个数为（④若直线，则），∥∥a A．4个 B．3个 C．2个 D．1
个
D
【答案】b，a????可异面；【解析】若平面，则，直线?，a∥?b?ba，ba∥a∥???，直线可相交，此时，直线，则平行两平面的交线；若直线，∥b?b，a∥a???，则若直线，平行两平面的交线；可相交，此时，a∥????与a，直线；故选若平面D无交点，即，则．∥a∥??a?、4．已知为两条不同的直线，、）为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（?nm
????，）（1，，∥?n∥m∥????nm????mn?mn∥），（2???∥n?m?nm???，（3）），，（4n?m∥?n∥??m3 ．个 D B．1个个A．0 C．2B
【答案】baba，∥????与，若相交，则可得，，【解析】由，，若，则∥n∥m∥????m?n?可能平行
也可能相交，故（1）错误；
???mnm∥n?，故（根据线面垂直的第二判定定理可得，2若）正确；
m∥n???或异面，故（若3，，）错误；，则?n∥?nm，m???∥nm?m?n或，故（4若，则）错误；故选，B．??n M，N，PCD，B?ACDBC，ADABCD的中点，则下列中，分别是．如图，在正方体511111111命题正确的是（）
MN∥APMN∥BD A．B．1MN∥平面BBDD C ．D．BDP∥平面MN11C
【答案】．
MNAP是异面直线，故选项不正确；和A【解析】：MNBD是异面直线，故选项不正确；和B：1M，NCDBCD，BCABCD?A是的中点，：记C．∵正方体分别中，OACIBD?1111111ON∥DM∥CDMNODMN∥ODCD?DM?ON，为平行四边形，∴∴，∴，11112MN?MN∥BDDBDDBDD?OD．平面，∵，∴平面平面1111
MN∥平面BBDDBBDDBDP相交，故选项不正确；故选C．，而面和面D：由C知1111??是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）是两条不同的直线，6．已知，n，m????与平行A．若垂直于同一平面，则，B．若平行于同一平面，则平行nm与n，m???平行的直线不平行，则在C．若内不存在与，?D．若不平行，则不可能垂直于同一平面nm与nm，【答案】D
【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A不正确；
平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B不正确；
平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C不正确；
D为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故D正确．故选D．
??是三个两两不重合的平面，给出下列四个，7．已知是两条不重合的直线，，?nm，命题： ????；，则①若?，mm?∥??????；，则②若??，∥????；③若，则∥nmm?，n?∥，??????．其中真命题是（是异面直线，④若），则∥，?m∥，m?，nn∥nm，A．①和②．①和④D ．③和④C ．①和③BD
【答案】【解析】逐一考查所给的命题：????，则，命题正确；①由线面垂直的性质定理可得若??m，m∥．
???DABC?ABCD分别为平面中，取平面②如图所示的正方体，，1111ABBA，ADDA，ABCD，1111??????，命题错误；满足，但是不满足?，?∥??ABBA，ADD?ABCDAABCD，中，取平面分别为平面③如图所示的正方体，11111111????DDBB，，命题错误；，满足，但是不满足直线分别为∥nm?m，n?∥，n，m11
??????，，由面面平行的性质定理易知④若是异面直线，∥m∥，n?nm?，，∥n，m命题正确；
综上可得，真命题是①和④，本题选择D选项．
E，FCAEF?2；则下列结论错误，线段，且上有两个动点8．如图，正方体的棱长为111的是（）．
BD?CE．B． A ABCDEF∥平面△CEFE?FBCBEF△的体积为定值．三棱锥的面积与的面积相等 CD．【答案】D
ABCD?ABCDAACC?BD，平面在正方体【解析】中，111111CE?BD?CEACCA而平面正确．A，故，故11．
ABCDABCD∥AC∥EF，故B又正确．平面平面，因此11CEFCEFACCCBBEF的距当的距离就是变化时，三角形到平面的面积不变，点到平面11E?FBCB?CEF的体积）的体积为定值（此时可
看成三棱锥离，它是一个定值，故三棱锥，故C正确．
6CEFBEF的距离为1，D是错误的，故选，而D到在正方体中，点．到的距离为2OVAOCA，BAB是圆周上不同于垂直于圆是圆所在的平面，点9．如图所示，的直径，M，NVA，VC的中点，则下列结论正确的是（）的任意一点，分别为
MN∥ABMNBC45?与．．A所成的角为B
VAC?VACVBC?OC DC．．平面平面平面D
【答案】MNAB项错；A对于项，异面，故与A【解析】?90BC?V AC?MNBC平面，故项，可证，因此项错；，∴所成的角为B对于B VACACOCOC与不垂直，∴项错；不可能垂直平面，故CC对于项，BCABC?VA?BCVABC?AC?ABC平面项，由于，∴，，平面，D对于
VBCBC??VAC?VACBCVBC，∴．平面∵，，故选平面D，∴平面平面
A=VAACICCBA?AACBAABC?AB是正三角，底面三角形中，侧棱．如图，在三棱柱10底面1111111111BCE中点，则下列叙述正确的是（形，是）
AC?ABBAECCB A．平面与B．是异面直线1111ACC∥ABEBCAE?BAE．C．，平面D为异面直线且1111111C
【答案】CCBE在同一个侧面中，故不是异面直线，∴A与错；【解析】对于A项，11AC?ABBA 不可能，∴B平面对于B项，由题意知，上底面是一个正三角形，故错；11BCAE为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，∴项，∵，对于C11C正确；
ACABEAC与交线有公共点，相交，且项，∵D所在的平面与平面对于11111
AC∥ABE不正确，∴D项不正确；故选平面C故．111E，FDCAB?2，EF?1DABCD?ABC，给出下列11．设分别是正方体上两点，且的棱1111四个命题：
45?DBDB?D?BEFEF平面与的体积为定值；②异面直线①三棱锥；③所成的角为
11111160?EFDBBBEF．其中正确的命题为（与平面）所成的角为；④直线1111A．①② B．②③ C．①②④ D．①④
A
【答案】由题意得，如图所示，【解析】
1112V?V??S?BC???EF?2?2?，∴体①中，三棱锥的体积的为1B?DBD△EF1EFD?EF332311111积为定值；
EF∥CDDBDBCDEF所成所成的角就是直线与，∴异面直线②中，在正方体中，与11111111的角，即，∴这正确的；??45?BDC111DBDB?BEFEF不成立，∴是错误的；③中，由②可知，直线不垂直，∴与面11111DBBEF?BDC?45?，④中，根据斜线与平面所成的角，可知与平面所成的角，即为111111∴不正确．
ABCDAD∥BCAD?AB?1，AD?AB，?BCD?45?△ABD沿中，将如下图，梯形，，
12．??BCD?ABDBDAA．，并且平面给出下面四个命对角线折起．设折起后点平面的位置为题：
2????BCD?BCACDA?DBDA；的体积为；③平面；②三棱锥①2??DCABCA?．其中正确命题的序号是（平面④平面）
A．①②．②④D ．①③C ．③④BB
【答案】??ABD?45ADB90?BAD??，AD?AB??①∵【解析】，∴，DCBD??AD∥BC，?BCD45?∵，∴，???BCDBD?CDBCD??ABDBDA，∴平面，且平面∵平面平面平面，
IBDA????BC?CD?ADAD?DABDA，∴，故平面不成立，故①错误；∵2112?BCDA?②棱锥，故②错误；的体积为???2??26223．
??CDBDA，故③正确；③由①知平面????B??ACDCD?BABDBDAA，，又∵平面，∴④由①知平面
????DC?ACD?D?BAADA，，，且又、平面D?DCDA
????BCAADC?AABB?，平面∴，又平面??DCAABC?，故④正确．故选B．∴平面平面
二、填空题
??是两个不同的平面，则下列命题正确的是13．设是两条不同的直线，，nm，________．(填序号)
???∥m∥∥n∥nmm???；，则，则，，①若；②若∥m∥???∥mm??nm∥n???．，；④若③若，则，则，??m【答案】③
??m∥nn∥m∥，，与可能相交也可能异面，∴①不正确；【解析】，则nm?∥m????可能相交，∴②不正确；，，还有，则与∥∥m?????nm∥nm，满足直线与平面垂直的性质定理，故③正确；，则，??∥m????，∴④不正确；，也可能，，也可能，则Am?∥??mm
故答案为③．
14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论
CM60?MNMN∥CDEFABEFAB?．与；③①是异面直线；④；②与所成的角为
以上四个命题中，正确命题的序号是_________．
【答案】①③
把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：【解析】．
MNAB∥CM，MN?CDEFEFAB?，只有①③正确．故答案为①③．则与异面，，ABCDAB?CD，AC?BD，AD?BC，给出下列结15．若四面体的三组对棱分别相等，即论：
ABCD每组对棱相互垂直；①四面体ABCD每个面的面积相等；②四面体
ABCD90?180?；而小于③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分．④连接四面体其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号）
【答案】②④
ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相【解析】①将四面体等，∴平行六面体为长方体．
由于长方体的各面不一定为正方形，∴同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误；
ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确；②四面体
ABCDABCD每个顶点出发的三条棱的每个面是全等的三角形，从四面体③由②，四面体180?．③错误；两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为
ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分④正确，故答案为②④．④连接四面体10?ABE，FAD，BCABCD2AD?10的中点，，，，分别为16．如图，一张矩形白纸△CDFBE，DFA、CBFDE△ABE同侧，下列命题正确的折起，且现分别将沿在平面，是____________（写
出所有正确命题的序号）．
CDFAC∥BFDE∥ABE平面时，①当平面平面CDFAE∥CD∥ABE时，②当平面平面A、CPG?PDP③当时，重合于点A、C150?DEF?PP重合于点④当的外接球的表面积为时，三棱锥
【答案】①④
22ACD△ABE△中，，在在中，，【解析】?CADtan???ABEtan22?ABE??DAC，由题意，将∴沿折起，DFBE，△ABE，△CDFBEDF同侧，且在平面C，AAGHC?AG，四点在同一平面内，平面此时平面IHABEA，C，G，ABE∥CDFAG∥AGHC?CHCHCDFI，平面平面，当平面平面时，得到AG?CHAGHCAC∥GH，显然是平行四边形，∴，∴四边形
AC∥BFDE，∴①正确的；进而得到平面
CDCDAEAE不平行，∴②错误的；与为异面直线，∴由于折叠后，直线与直线
10322210GD?PD?10，折叠后，可得，，其中，?PGGDPG?PD?3PGPD不垂直，∴③不正确；和
∴△FCDEFD△PP?DEF均为直角三角形，时，在三棱锥重合于点当和中，C,A DF56DF，∴为外接球的直径，即?R?222??652DEFP???1504??4?R?的外接球的表面积为，∴④是正确，则三棱锥????2??综上正确命题的序号为①④．
三、解答题
P?ABCDAB?AD?2BC?2BC∥ADAB?AD△PBD为正．如图，四棱锥17，，，中，三角形．PA?23．且PBC?PAB；平面（1）证明：平面ABCDACEPDPE∥PB，求四面体2，平面（2）
若点是线段到底面上一点，且的距离为A?CDE的体积．
8【答案】（1）见解析；（2）．9BD?222AD?ABAB?AD?，，且，∴【解析】（1）证明：
∵PA?2223PB?PD?BD?2△PBD?ABAB?PB，，∴为正三角形，∴又，又∵，
BC∥ADAB?BCAD?AB，，又∵，，∴BBC?PB PBC?ABPAB平面平面∴，又∵，?ABPBC?PAB 平面∴平面．
AD∥OACBCBD（2）如图，连接，，交于点，∵
AD?2BCOD?2OBOE，，∴且，连接ACEPB∥OEDE?2PE∥PB，，则，∴平面∵．
ABCDP的距离为2到平面，由（1）点
24ABCDh??2?E，的距离为∴点到平面3311148??V?V?S?h???2?2??，∴??ACD△E?A?CDEACD 33239??8A?CDE的体积为．即四面体9EF?1ABCD2?AB?4AEEFEA?∥AB．，平
面 18．如图，四边形，为正方形，，，ABCD
BC?AF；（1）求证：1ACFBCCACM?∥EMM；（2）若点在线段，求证：上，且满足平面
4EBC?AF．3）求证：平面（【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
EF∥ABEFABEABF，（1）∵确定平面与，∴【解析】ABCDEA?BCAB?BC?EA且，∴．由已知得平面∵，AIAB=EABC?BC?AFEABFEABF?AF．，∴平面∴．又平面MN?BCNFNMN∥ABM．，连接（2）过，垂足为作，则11MN?ABEF??ACABCMABEF∥，且．又，∴又44 FNEFNM?MNEM∥EFEF∥MN．∴，∴四边形为平行四边形，∴且FBC?FBCEMFN?FBC∥EM 平面．平面又，∴平面，BCAF?）由（1．）可知，（3???BAE?AEF?902?AEABABFE?41EF?，，中，，，在四边形1???EBAtan?FAEtan?EBA??FAE．∴，则2?PAE??PAB?90?，设，∵
P?AFIBE?PBA??PAB?90??APB?90?EB?AF．，即，则故．
EBC?AF．，∴平面又∵BBCIEB?
高中数学专题练习20 立体几何中的平行与垂直问题(新高考地区专用)解析版
立体几何中的平行与垂直问题 一、题型选讲 题型一、线面平行与垂直 知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。直线与平面垂直关键是找两条相交直线 例1、如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP. 求证：(1)MN∥平面PBC； MD⊥平面PAB. 例2、如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F 分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点． (1) 求证：EF∥平面ABC； (2) 求证：BB1⊥AC.
例3、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．求证：(1)DE∥平面ACC1A1； (2)AE⊥平面BCC1B1. 例4、如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证： (1) EF∥平面ABC； (2) BD⊥平面ACE. 例5、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C 与BC1交于点E. 求证：(1) DE∥平面ABB1A1； (2) BC1⊥平面A1B1C.
例6、如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证： (1) 直线A1E∥平面ADC1； (2) 直线EF⊥平面ADC1. 题型二、线面与面面平行与垂直 证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。平面与平面的平行关键是在一个平面内找两条相交直线；平面与平面垂直可以从二面角入手页可以从线面垂直进行转化。 例7、（2020年江苏高考）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
2020年高考数学复习题：利用空间向量证明平行与垂直关系
利用空间向量证明平行与垂直关系 [基础训练] 1．设a ＝(x,4,3)，b ＝(3,2，z )，且a ∥b ，则xz ＝( ) A ．－4 B ．9 C ．－9 D.649 答案：B 解析：因为a ∥b ， 所以x 3＝42＝3z ， 所以x ＝6，z ＝32， 所以xz ＝9. 2．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.? ????33，33，－33 B.? ????33 ，－33，33 C.? ????－33，33，33 D.? ????－33，－33，－33 答案：D 解析：AB →＝(－1,1,0)，AC → ＝(－1,0,1)， 设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， ∴????? －x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1， ∴n ＝(1,1,1)． 单位法向量为：±n |n |＝±? ????33 ，33，33. 3．已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ，a ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对
答案：C 解析：因为a ·b ＝0，c ＝2a ， 所以a ∥c ，a ⊥b . 4．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2,4,5)，n 2＝(8,1，－4)，则 ( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直 D ．以上均不正确 答案：B 5．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)．若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝( ) A.627 B.637 C.607 D.657 答案：D 解析：由题意，得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)， 所以????? 7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，解得????? t ＝337，μ＝177， λ＝657. 故选D. 6．[2019山东泰安模拟]已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，下列向量的数量积一定不为0的是( ) A.AD 1→·B 1C → B.BD 1→·AC →
2020届高考数学(文)一轮复习讲义 第8章 高考专题突破4 高考中的立体几何问题
高考专题突破四高考中的立体几何问题 题型一平行、垂直关系的证明 例1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D 不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE. 证明(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC. ∵AD?平面ABC， ∴AD⊥CC1. 又∵AD⊥DE，DE∩CC1＝E，DE，CC1?平面BCC1B1， ∴AD⊥平面BCC1B1. ∵AD?平面ADE， ∴平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点， ∴A1F⊥B1C1. ∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1， ∴A1F⊥CC1. 又∵B1C1∩CC1＝C1，B1C1，CC1?平面BCC1B1， ∴A1F⊥平面BCC1B1. 又∵AD⊥平面BCC1B1， ∴A1F∥AD. ∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE， ∴直线A1F∥平面ADE.
思维升华(1)平行问题的转化 利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用． (2)垂直问题的转化 在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题． 跟踪训练1 (2018·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面P AB⊥平面PCD； (3)求证：EF∥平面PCD. 证明(1)因为P A＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD.
专题5：平行与垂直高考真题赏析
专题5：平行与垂直高考真题赏析 1．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷） 如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=?. （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； 2．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷） 四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ,01,90.2 AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ;
3．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD； 4．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷） AD CD上， 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点,E F分别在, AE CF EF =交BD于点H，将DEF , ?沿EF折起到D EF ?'的位置. ⊥'； （Ⅰ）证明：AC HD 5．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷） 如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点． （I）证明平面；
6．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ； 72018年全国卷Ⅲ文数高考试题．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ； 8．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；
专题48 合理建系--巧证平行、垂直问题(理)-高考数学80个热点难点吃透大全
考纲要求: 1．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．2．理解直线的方向向量及平面的法向量;能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． 基础知识回顾: 一、直线的方向向量和平面的法向量 1．直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线平行或重合，则称此向量为直线的方向向量． 2．平面的法向量：直线⊥，取直线的方向向量，则向量叫作平面的法向量．二、空间位置关系的向量表示，如图1. 应用举例: 类型一、利用共顶点互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系 例1、如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
解析：(1)证明：以A 为原点，，，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)． 取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝，－a a 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥，有2a －az 0＝0， 解得z 0＝21 .又DP ?平面B 1AE ， ∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝21 . 小结：求平面的法向量时，建立的方程组有无数组解，利用赋值法，只要给x ，y ，z 中的一个变量赋一特殊值(常赋值－1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但n ＝(0,0,0)不能作为法向量． 类型二、利用正棱锥的中心与高所在的直线建立空间直角坐标系
专题训练中考数学总复习《平行线的证明》专题复习练习及答案
中考数学复习平行线的证明专题复习练习 1. 下列说法正确的是( D ) A．经验、观察或试验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系 C．对于自然数n，n2＋n＋37一定是质数 D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个2. “两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”这句话是( C ) A．定义 B．假命题 C．公理 D．定理 3. 下列语句中，是命题的是( C ) A．直线AB和CD垂直吗B．过线段AB的中点C画AB的垂线C．同旁内角不互补，两直线不平行D．连接A，B两点 4．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D＝65°，则∠ABC的大小是( A ) A．25°B．35°C．50°D．65° 5．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2等于( B ) A．90°B．100°C．130°D．180° 6．如图，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是( A )
A ．∠DCE>∠AD B B ．∠ADB>∠DBC C ．∠ADB>∠ACB D ．∠ADB>∠DEC 7．如图，AB ∥CD ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，∠1＝50°，则∠2等于( C ) A ．50° B ．60° C ．65° D ．90° 8．如图，已知直线AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，且BE 交CD 于点D ，∠CDE ＝150°，则∠C 的度数为( C ) A ．150° B ．130° C ．120° D ．100° 9．如图，直线a ∥b ，∠A ＝38°，∠1＝46°，则∠ACB 的度数是( C ) A ．84° B ．106° C ．96° D ．104° 10．适合条件∠A ＝12∠B ＝13∠C 的三角形ABC 是( B ) A ．锐角三角形 B. 直角三角形 C ．钝角三角形 D ．都有可能 11．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A ′重合．若∠A ＝75°，则∠1＋∠2等于( A )
立体几何3直线与平面的位置关系(平行、垂直、异面)-高考数学专题复习
立体几何—直线与平面的位置关系（平行、垂直、异面） 知识精要 1、证明直线与平面的平行的思考途径: （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2、证明直线与平面垂直的思考途径: （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 3、证明平面与平面的垂直的思考途径： （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直； (3) 转化为两平面的法向量平行。 4、 空间向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则： (1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； 5、 夹角公式： 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则2cos ,a b a <>=. 6、 异面直线间的距离 ： || || CD n d n ⋅= (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、是12,l l 上任一点，d 为12 ,l l 间的距离). 7、点B 到平面α的距离：
|| || AB n d n ⋅= （n 为平面α的法向量，A α∈，AB 是α的一条斜线段）. 热身练习： 1、A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ C ） ()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,, ()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈A l A l ,内不在 ()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合 2、对于空间三条直线，有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行； ③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有 （ B ）（1和4） ()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个 3、在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点H G F E ,,,，如果EF 与 HG 相交于一点M ，那么 （ A ） ()A M 一定在直线AC 上 ()B M 一定在直线BD 上 ()C M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 ()D M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上 4、设ABCD 是空间四边形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则,,满足（ B ） （A ） 共线 （B ） 共面 （C ） 不共面 （D ） 可作为空间基向量 正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。 5、下列四个命题： （1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线 （2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 （3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面
高考数学复习—立体几何：(二)空间直线平面关系判断与证明—平行与垂直关系证明(试题版)
【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质 【典型例题】 [例1]►(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP . ►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF . [例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证： ①B,C,H,G四点共面； ②平面EF A1∥平面BCHG . ►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证： ①EG∥平面BB1D1D； ②平面BDF∥平面B1D1H . 【变式训练】1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______. 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH . 3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1. 4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点. (1)求证：E,B,F,D1四点共面； (2)求证：平面A1GH∥平面BED1F . 题型2：直线、平面垂直的判断及性质 【典型例题】 [例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE . ►(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面P AD,AB∥CD,PD＝AD,E是PB的中点,F是DC上的点且
平行线的证明试题(卷)总集含答案解析
《平行线的证明》单元测试题 一、填空题 1．在△ABC 中，∠C =2（∠A +∠B ），则∠C =________. 2．如图，AB ∥CD ,直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=72º， 则∠2=； 3．在△ABC 中，∠BAC ＝90º，AD ⊥BC 于D ，则∠B 与∠DAC 的大小关系是________ 4．写出“同位角相等，两直线平行”的题设为_______，结论为_______． 5．如图，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，那么∠B +∠D =__________. 6．如图，∠1＝27º，∠2＝95º，∠3＝38º，则∠4＝_______ 7．如图，写出两个能推出直线AB ∥CD 的条件________________________. 8．满足一个外角等于和它相邻的一个内角的△ABC 是_____________ 二、选择题 9．下列语句是命题的是 【 】 (A)延长线段AB (B)你吃过午饭了吗？ (C)直角都相等 (D)连接A ，B 两点 10．如图，已知∠1＋∠2＝180º，∠3＝75º， 那么∠4的度数是 【 】 (A)75º (B)45º (C)105º (D)135º 11．以下四个例子中,不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角” 是假命题是 【 】 (A)设这个角是30º，它的余角是60°，但30°<60° (B)设这个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45° (C)设这个角是60°，它的余角是30°，但30°<60° (D)设这个角是50°，它的余角是40°，但40°<50° 12．若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是 【 】 (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定 13．如图，△ABC 中，∠B =55°,∠C =63°,DE ∥AB , 则∠DEC 等于【 】 （A ）63° (B) 118° (C) 55° （D ）62° 14．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是 【 】 （A ）锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形（D ）无法确定 C A B D E E C D B A 1 3 2 4 第5题 第6题 第7题 A B C D E F G 12 A B C E 第10题
高考理科数学专题：立体几何中的向量方法：证明平行与垂直(含答案和解析)
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向 量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( × ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( × ) 1．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( )
《平行与垂直》专题练习(含答案)
《平行与垂直》专题练习 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．仔细观察下列图形，其中线段长度能表示点P到直线AB的距离的是 ( ) A．PD B．PC C．PO D．PE 2．仔细观察下列方格中的线段AB，CD，其中不平行的是 ( ) 3．下列说法中正确的个数是 ( ) ①两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；②过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间直线最短；⑤火车从南京到上海所行驶的路程就是南京到上海的距离． A．1 B．2 C．3 D．4 4．在同一平面内，如果直线AB与直线CD平行，直线CD与直线EF相交，那么直线AB与EF的位置关系是 ( ) A．平行B．相交C．相交或平行D．不能确定 5．下列说法：①在同一平面内，不相交的线段；②在同一平面内，不相交的射线；③不相交的直线；④在同一平面内，不相交的直线，其中可判定为平行线的有 ( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 6．如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点D的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( ) A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角 7．在同一平面内有三条互不重合的直线，如果要使其中有两条且只有两条直线平行，那么它们之间的交点只能有 ( ) A．0个B．1个C．2个D．3个 8．如图，P为直线a外一点，点A，B，C为直线a上的三点，已知PA＝2 cm，PB＝3 cm，PC＝5 cm．则点P到直线a的距离 ( ) A．2 cm B．3 cm C．5 cm D．不大于2 cm
9．在如图所示的长方体中，和棱AB平行的棱共有 ( ) A．1条B．2条C．3条D．4条 10．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中各线段所在的直线互相平行的有 ( ) A．1对B．2对C．3对D．4对 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．在同一平面内，两条相交直线公共点的个数是_______；两条平行直线的公共点的个数是______；两条直线重合，公共点有______个． 12．如图，根据图上的标注可以知道，直线EF的垂线有_______条，分别是_______． 13．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，图中线段______的长度表示点C到AB的距离，线段_______的长度表示点A到BC的距离，线段BC的长度表示______的距离． 14．如图，直线AB与CD平行，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H请你用量角器量一量，然后判断∠1与∠2的关系是______，∠2与∠3的关系是_______． 15．如图，BA⊥AC，AD⊥BC，其长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有___条． 16．某人画AB⊥l，CB⊥l，B为垂足如图情况，判断A，B，C三点 不在同一条直线上，你认为有道理吗？答：_______；请将你的理由 写出：_______． 17．已知直线a与b都经过P点，且直线a∥c，b∥c，那么a与b 必______，这是因为______________． 18．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点
高一必修2立体几何--平行与垂直关系强化练习(含答案)
高一数学 必修二 空间中平行与垂直关系 强化练习 1.空间中,垂直于同一直线的两条直线< > A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．以上均有可能 2.已知互不相同的直线,,l m n 与平面,αβ,则下列叙述错误的是〔 〕 A ．若//,//m l n l ,则//m n B ．若//,//m n αα,则//m n C ．若βα⊂⊥m m ,,则αβ⊥ D ．若,m βαβ⊥⊥,则//m α或m α⊂ 3.下列说法正确的是< > A.如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行,则这条直线与这个平面平行 B.两个平面相交于唯一的公共点 C.如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点,则它们必有无数个公共点 D.平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行 4.如图,ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体, 下面结论错误的是〔〕 A ． BD∥平面C B 1D 1 B ． A C 1⊥B 1C C ． AC 1⊥平面CB 1 D 1 D ． 直线CC 1与平面CB 1D 1所成的角为45° 5. 如图,四棱锥ABCD V -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形,则二面角C AB V --的大小〔 〕 A ．︒30 B ．︒45 C ．︒60 D ．︒120 6．下列四个结论： ⑴两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行. ⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行. ⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行. ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行. 其中正确的个数为〔 〕 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7.在四面体ABCD 中,已知棱AC 的长为2,其余各棱长都为1,则二面角A CD B --的余弦值为〔 〕 A ．12 B ．13 C ．33 D ．23 8.在三棱柱111ABC A B C -中,各棱都相等,侧棱垂直底面,点D 是侧面11BB C C 的中心,则
安徽省宿州市砀山县梨都中学2021届高三上学期第八次质检数学(文)试卷 Word版含解析
2022-2021学年安徽省宿州市砀山县梨都中学高三（上）第八次质检数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（） A． {﹣1，0} B． {0，1} C． {﹣2，﹣1，0，1} D． {﹣1，0，1，2} 2．设i是虚数单位，复数i3+=（） A． 1 B．﹣1 C． i D．﹣i 3．设3，，c=lnπ，则（） A． c＜a＜b B． a＜c＜b C． a＜b＜c D． b＜a＜c 4．设S n是等差数列{a n}的前n 项和，若=（） A． 1 B．﹣1 C． 2 D． 5．将函数y=cos（x ﹣）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得图象的一条对称轴方程为（） A． x= B． x= C． x= D． x=π 6．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（） A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ 7．在△ABC中，若c2=a2+b2+ab，则△ABC是（） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 8．已知变量x，y 满足约束条件，则的取值范围是（） A． B． C．（﹣∞，3]∪[6，+∞） D． [3，6] 9．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为（） A． B． C． D． 10．若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和微小值，则实数a的取值范围是（） A．（﹣1，2） B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞） C．（﹣3，6） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） 二、填空题（共5小题，每题5分） 11．若两直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a﹣1）y﹣a+7=0平行，则a= ． 12．若存在实数x∈[1，2]满足2x＞a﹣x2，则实数a的取值范围是． 13．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是． 14．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是． 15．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0．给出下列命题 （1）f（1）=0 （2）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点 （3）点（2022，0）是函数y=f（x）的一个对称中心 （4）直线x=2022是函数y=f（x）图象的一条对称轴． 则正确的是．
高考数学试题含答案解析——空间向量的应用
第6课时空间向量的应用——证明平行与垂直,求空间角 考纲索引1.用向量表示空间中的点、直线和平面的位置. 2.用向量证明空间中的平行或垂直关系. 3.空间向量求空间角的关系. 课标要求1.理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 3.能用向量的方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 4.了解空间向量方法在研究立体几何问题中的应用. 5.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题. 知识梳理 1.用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)给定一个定点A和一个向量a,再任给一个实数t,以A为起点作向量=ta,则此向量方程叫做直线l的参数方程.向量a称为该直线的方向向量. 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔. (2)设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或l⊂α⇔. (3)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l⊂α⇔. (4)设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β⇔. 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔⇔. (2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔⇔. 4.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2所成的角θ满足cosθ=. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则直线l与平面α所成的角θ满足sinθ=.
2019-2020年高考数学二轮复习第二篇熟练规范中档大题保高分第25练空间中的平行与垂直练习文
2019-2020年高考数学二轮复习第二篇熟练规范中档大题保高分第25练空 间中的平行与垂直练习文 [明考情] 高考中对直线和平面的平行、垂直关系交汇综合命题，多以棱柱、棱锥、棱台或简单组合体为载体进行考查，难度中档偏下. [知考向] 1.空间中的平行关系. 2.空间中的垂直关系. 3.平行和垂直的综合应用. 考点一空间中的平行关系 方法技巧(1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系. (2)证明过程中要严格遵循定理中的条件，注意推证的严谨性. 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B. 证明如图所示，作ME∥BC交BB1于点E，作NF∥AD交AB于点F，连接EF，则EF⊂平面AA1B1B. ∵ME∥BC，NF∥AD， ∴ME BC ＝ B1M B1C ， NF AD ＝ BN BD . 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵CM＝DN，
∴B 1M ＝NB . 又B 1C ＝BD ， ∴ME BC ＝BN BD ＝ NF AD ，又BC ＝AD ，∴ME ＝NF . 又ME ∥BC ∥AD ∥NF ， ∴四边形MEFN 为平行四边形， ∴MN ∥EF . 又EF ⊂平面AA 1B 1B ，MN ⊄平面AA 1B 1B ， ∴MN ∥平面AA 1B 1B . 2.(xx·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. (1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为8 3，求该四棱锥的侧面积. (1)证明 由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥PA ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)解 如图，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E . 由(1)知，AB ⊥平面PAD ， 故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ， 所以PE ⊥平面ABCD . 设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝ 22 x ， 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝8 3，故x ＝2. 从而结合已知可得PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2， AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22，
2021届高考数学专题15平行垂直关系的证明
培长处十五 平行垂直关系的证明 1．平行关系的证明 例1：如图，E ，F ，G ，H 别离是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点． 求证： （1）EG ∥平面11BB D D ； （2）平面BDF ∥平面11B D H ． 【答案】（1）观点析；（2）见解析． 【解析】证明（1）如图，取11B D 的中点O ，连接GO ，OB ， 因为1112 OG B C BE ∥∥，所以BE OG ∥，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB EG ∥， 因为OB ⊂平面11BB D D ，EG ⊄平面11BB D D ，所以EG ∥平面11BB D D ． （2）由题意可知11BD B D ∥．连接HB ，1D F ， 因为1BH D F ∥ ，所以四边形1HBFD 是平行四边形，故1HD BF ∥ 又1111=B D HD D ，=BD BF B ，所以平面BDF ∥平面11B D H ． 2．垂直关系的证明 例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．=AB BC ，=2AC ，1AA （1）求证：1B C ∥平面1A BM ； （2）求证：1AC ⊥平面1A BM ； （3）在棱1BB 上是不是存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？若是存在，求此时1BN BB 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）观点析；（2）见解析；（3）存在，12 ． 【解析】（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ． 在1B AC △中，∵M ，O 别离为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥， 又∵OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，∴1B C ∥平面1A BM ． （2）证明：∵侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1AA BM ⊥，
相交线与平行线计算与证明(基础+提升)专题复习(含答案)
3 2 1O F E D C B A E O D C B A E D O C B A 相交线与平行线计算与证明专题复习（共55道题） 1、如图直线a 、b 相交，∠1=1300 ，求∠2，∠3，∠4的度数 2、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，且∠AOC=∠AOD-80度，求∠AOE 的度数。 3、已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1，∠2=20度，求∠DOE 的度数。 4、如图，∠1＝30°，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O.求∠2、∠3的度数. 5、如图，直线AD 和BE 相交于O 点，OC ⊥AD ，∠COE=70度，求∠AOB 的度数。 13a b 4 2 A B C D O 123 E F
F E D C B A d e c b a 34 12 6、如图，EO ⊥AB 于O ，直线CD 过O 点，∠EOD ∶∠EOB=1∶3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 7、如图，直线EF 、BC 相交于点O ，∠AOC 是直角，∠AOE=1 15°，求∠COF 的度数。 8、已知：如图，AB ，CD ，EF 三直线相交于一点O ，OE ⊥AB ，∠COE=20°，OG 平分∠BOD ，求∠BOG 9、如图,AB ∥EF,∠ECD=∠E,求证：CD ∥AB. 10、如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a 与c 平行吗?•为什么? O B C F E A
G H K F E D C B A 11、如图：已知直线EF 与AB 、C D 分别相交于点G 、H ，∠1=∠3，那么AB ，CD 平行吗?为什么? 12、如图,已知BD 平分∠ABC,∠1=∠2.求证:AB ∥CD. 13、如图所示,已知直线EF 和AB,CD 分别相交于K,H,且EG ⊥AB,∠CHF=600 ,∠E=•30°,试说明AB ∥CD. 14、如图,已知∠4=∠B,∠1=∠3.求证:AC 平分∠BAD. A B C D E F G H 1 3
2021届高考数学专题突破直线、平面垂直的判定和性质(解析版)
2021届高考数学立体几何突破性讲练 05直线、平面垂直的判定和性质 一、考点传真： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理； 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 二、知识点梳理： 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义： 直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都，则该直线与 垂直于同一个平面的 ⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ ❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 一个平面过另一个平 ，则这两 两个平面垂直，则一 个平面内垂直于交线的直线与另一个平面
[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．] 二、常用结论汇总 直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 三、例题： 例1. （2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1. （1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1； （2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1， 故11B C BE ⊥. 又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C . （2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=， 故AE =AB =3，126AA AE ==. 作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==. 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1 363183 V = ⨯⨯⨯=.
高考数学一轮复习专题训练—直线、平面垂直的判定与性质
直线、平面垂直的判定与性质 考纲要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理； 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． 知识梳理 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相 交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b a ∩b ＝O a ⊂α b ⊂α ⇒l ⊥α 性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么 这两条直线平行 ⎭ ⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角． (2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π 2. 3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范围：[0，π]． 4．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂 线，则这两个平面互相垂直 ⎭ ⎬⎫ l ⊥αl ⊂β⇒α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个 平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⎭ ⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝a l ⊥a l ⊂β ⇒l ⊥α 1．三个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． 2．使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”． 3．三种垂直关系的转化 线线垂直判定定理性质线面垂直判定定理 性质定理面面垂直 诊断自测 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( )