2022年北京市通州区高考数学一模试卷(解析版)
北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题真题卷(含答案与解析)
通州区2023年高三年级模拟考试数学试卷本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|02}A x x =<<，则UA =ð（ ）A. ()0,2B. ()()3,02,3-⋃C. ()2,0-D. (][)3,02,3-2. 已知复数1i z =+，则|2i |z -=（ ）A.B.C. 2D.3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增是（ ） A. 1y x=B. 3y x =C. e e x x y -=+D. tan y x =4. 在52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x -的系数为（ ） A. 80B. 10C. 10-D. 80-5. 已知双曲线22213x y b -=的一条渐近线方程为y =，则其焦点坐标为（ ）A. ()0,2±B. ()2,0±C. (0,D. ()6. 如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，11AA =，AP =，2AB =，则该几何体的体积为（ ）的A.73B.163C.203D.2837. 声强级()f x （单位：dB ）与声强x （单位：2W /m ）满足()1210lg 10x f x -⎛⎫=⎪⎝⎭．一般噪音的声强级约为80dB ，正常交谈的声强级约为50dB ，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（ ） A. 310倍B. 410倍C. 510倍D. 610倍8. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ C. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭9. 已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，且满足a α⊂，b β⊂，l αβ= ，a //l ，则“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 在平面直角坐标系内，点O 是坐标原点，动点B ，C满足||||OB OC ==，0OB OC ⋅=，A 为线段BC 中点，P 为圆22(3)(4)4x y -+-=任意一点，则AP的取值范围是（ ）A []28,B. []3,8C. []2,7D. []3,7第二部分（非选择题 共110分）.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量()1,2a = ，(),1b x = ，若//a b ，则x =__________．12. 已知等差数列{}n a 的公差2d =，且54a =，则{}n a 的前5项和5S =__________．13. 抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,A x y 在抛物线C 上，且点A 到直线4x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则0x =__________．14. 设函数()33,,21,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的一个取值为__________；若函数()f x 存在三个零点，则实数a 的取值范围是__________．15. 两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数()n ϕ（*n ∈N ）的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数，例如()11ϕ=，()42ϕ=． 关于欧拉函数给出下面四个结论： ①()76ϕ=；②*n ∀∈N ，恒有()()1n n ϕϕ+≥；③若m ，n （m n ≠）都是素数，则()()()mn m n ϕϕϕ=；④若k n p =（*,n k ∈N ），其中p 素数，则()()11k n p p ϕ-=-．（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．） 则所有正确结论的序号为___________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，sin cos 2sin cos sin A B A A B =-． （1）求sin sin CA的值； （2）若3b =，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．条件①：11cos 16B =；条件②：sin C =；条件③：ABC 的周长为9． 17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，1AC =，1D 为11B C 的中点，D 为棱BC 上一点，1//BD 平面1ADC ．为的（1）求证：D 为BC 中点；（2）求直线BC 与平面1ADC 所成角的正弦值．18. 某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收人及营业成本情况统计如下表：营业情况分行业营业收入单位（亿元）营业成本单位（亿元）分行业1 41 38 分行业2 12 9 分行业3 8 2 分行业4 6 5 分行业5 3 2 分行业6 2 1 分行业70.80.4（一般地，行业收益率100%-=⨯营业收入营业成本营业成本．）（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X ，求X 的分布列及期望； （3）设7个分行业营业收入的方差为21s ，营业成本的方差为22s ，写出21s 与22s 的大小关系．（结论不要求证明）19. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点()2,1A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 关于y 轴的对称点为B ，直线l 与OA 平行，且与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于P ，Q 两点．求证：四边形APBQ 为菱形．20. 已知函数()e xf x =，()()lng x x a =+（a ∈R ）．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设()()()x f x g x ϕ=，请判断()x ϕ否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （3）当0a =时，若对于任意0s t >>，不等式()()()()11g s g t k f s f t ⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭恒成立，求k 的取值范围．21. 设集合A 为含有n 个元素的有限集．若集合A 的m 个子集1A ，2A ，…，m A 满足： ①1A ，2A ，…，m A 均非空；②1A ，2A ，…，m A 中任意两个集合交集为空集； ③12m A A A A ⋃⋃⋃= ．则称1A ，2A ，…，m A 为集合A 的一个m 阶分拆．（1）若{}1,2,3A =，写出集合A 的所有2阶分拆（其中1A ，2A 与2A ，1A 为集合A 的同一个2阶分拆）；（2）若{}1,2,3,,A n =L ，1A ，2A 为A 的2阶分拆，集合1A 所有元素的平均值为P ，集合2A 所有元素的平均值为Q ，求P Q -的最大值；（3）设1A ，2A ，3A 为正整数集合{}12,,,n A a a a = （*N n ∈，3n ≥）的3阶分拆．若1A ，2A ，3A 满足任取集合A 中的一个元素i a 构成{}1i A a =，其中{}1,2,3,,i n ∈ ，且2A 与3A 中元素的和相等．求证：n 为奇数．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|02}A x x =<<，则UA =ð（ ）A. ()0,2B. ()()3,02,3-⋃C. ()2,0-D. (][)3,02,3-【答案】D 【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】全集{|33}U x x =-<<，集合{|02}A x x =<<，由补集定义可知：{|30U A x x =-<≤ð或23}x ≤<，即(][)3,02,3U A -= ð， 是故选：D ．2. 已知复数1i z =+，则|2i |z -=（ ）A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】【分析】写出共轭复数，根据复数减法计算即可.【详解】1i z =-，|2i |13i z -=-=. 故选：A3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（ ） A. 1y x=B. 3y x =C. e e x x y -=+D. tan y x =【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数、指数函数、正切函数的单调性及奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A ，函数()1y f x x==在()0,∞+上递减，故A 不符题意； 对于B ，函数()3y f x x ==的定义域为R ，关于原点对称， 因为()()3f x x f x -=-=-，所以函数为奇函数，又函数在R 单调递增，故B 符合题意； 对于C ，函数()e exxy f x -==+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()ee xx f x f x --=+=，所以函数为偶函数，故C 不符合题意；对于D ，函数()tan y f x x ==， 因为()5π0014f f ⎛⎫=≥-= ⎪⎝⎭，所以函数不是增函数，故D 不符题意. 故选：B.4. 在52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x -的系数为（ ）A. 80B. 10C. 10-D. 80-【答案】D 【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式分析运算即可.【详解】52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式()5521552C 2C ,0,1,2,3,4,5rr r r rr r T x x r x --+⎛⎫=-=-⋅⋅= ⎪⎝⎭，令521r -=-，解得3r =，可得()3311452C 80T x x --=-⨯⋅=-，即1x -的系数为80-. 故选：D.5. 已知双曲线22213x y b -=的一条渐近线方程为y =，则其焦点坐标为（ ）A. ()0,2±B. ()2,0±C. (0,D. ()【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线，得出b ，继而求出焦点坐标.【详解】令22203x y b -=，解得双曲线渐近线为y =21b =⇒=，2c ==，由此可得双曲线焦点坐标为()2,0±.故选：B6. 如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，11AA =，AP =，2AB =，则该几何体的体积为（ ）A.73B.163C.203D.283【答案】B 【解析】【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥P ABCD -的高，再根据棱柱与棱锥的体积公式即可得解. 【详解】在正四棱锥P ABCD -中，连接,AC BD 交于点O ，连接AP ， 则OP 即为正四棱锥P ABCD -的高，12OA AC ==，1OP ==，所以1422133P ABCD V -=⨯⨯⨯=，11112214ABCD A B C D V -=⨯⨯=，所以该几何体的体积为416433+=.故选：B .7. 声强级()f x （单位：dB ）与声强x （单位：2W /m ）满足()1210lg 10x f x -⎛⎫=⎪⎝⎭．一般噪音的声强级约为80dB ，正常交谈的声强级约为50dB ，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（ ） A. 310倍 B. 410倍C. 510倍D. 610倍【答案】A 【解析】【分析】根据题中公式，分别求出一般噪音的声强和正常交谈的声强，从而可得出答案. 【详解】当()80f x =时，即1210lg 8010x -⎛⎫=⎪⎝⎭，解得2010x =， 即一般噪音的声强约02210W /m ， 当()50f x =时，即1210lg 5010x -⎛⎫=⎪⎝⎭，解得1710x =， 即正常交谈的声强约72110W /m ，所以一般噪音的声强约为正常交谈的声强的20317101010=倍.故选：A .8. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的图象与性质求解即可. 【详解】由图知：πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πT =，故2ω=， 则()()2sin 2f x x ϕ=+， 由2π2sin 033f πϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2π,Z 3k k ϕπ+=∈， 所以2ππ3k ϕ=-+，Z k ∈， 又π2ϕ<，故π3ϕ=，综上，()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故选：C .9. 已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，且满足a α⊂，b β⊂，l αβ= ，a //l ，则“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.【详解】若“a 与b 异面”，反证：直线b 与l 不相交，由于,b l β⊂，则b //l ， ∵a //l ，则a //b ，这与a 与b 异面相矛盾，故直线b 与l 相交， 故“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的充分条件；若“直线b 与l 相交”，反证：若a 与b 不异面，则a 与b 平行或相交， ①若a 与b 平行，∵a //l ，则b //l ，这与直线b 与l 相交相矛盾； ②若a 与b 相交，设a b A = ，即,A a A b ∈∈， ∵a α⊂，b β⊂，则,A A αβÎÎ， 即点A 为α，β的公共点，且l αβ= ， ∴∈A l ，即A 为直线a 、l 的公共点，这与a //l 相交相矛盾；综上所述：a 与b 异面，即“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的必要条件； 所以“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”充分必要条件. 故选：C.10. 在平面直角坐标系内，点O 是坐标原点，动点B ，C满足||||OB OC == ，0OB OC ⋅=，A 为线段BC 中点，P 为圆22(3)(4)4x y -+-=任意一点，则AP的取值范围是（ ）A. []28,B. []3,8C. []2,7D. []3,7【答案】A 【解析】【分析】根据题意得A 为圆:O 221x y +=任意一点，设圆22(3)(4)4x y -+-=的圆心为M ，从而得到AP为圆O 与圆M 这两圆上的点之间的距离，进而即可求解．【详解】由0OB OC ⋅= ，则OB OC ⊥u u u r u u u r，又||||OB OC == A 为线段BC 中点，则||1OA =，所以A 为圆:O 221x y +=任意一点，设圆22(3)(4)4x y -+-=的圆心为M ，则5OM =， 又|512OM =+，所以圆O 与圆M 相离，所以AP的几何意义为圆O 与圆M 这两圆上的点之间的距离，所以max 5128AP OM AO MP =++=++=， min5122APOM AO MP =--=--=，所以AP的取值范围为[]28,．的故选：A ．【点睛】关键点点睛：依题意得AP的几何意义为圆221x y +=与圆22(3)(4)4x y -+-=这两圆上的点之间的距离是解答此题的关键．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量()1,2a = ，(),1b x = ，若//a b ，则x =__________．【答案】12##0.5 【解析】【分析】直接根据平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】因为向量()1,2a = ，(),1b x = ，//a b ，所以120x -=，解得12x = 故答案为：12.12. 已知等差数列{}n a 的公差2d =，且54a =，则{}n a 的前5项和5S =__________． 【答案】0 【解析】【分析】根据等差数列的定义结合下标和性质分析运算. 【详解】由题意可得：3520a a d =-=， 所以5350S a ==. 故答案为：0.13. 抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,A x y 在抛物线C 上，且点A 到直线4x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则0x =__________．【答案】2 【解析】.【分析】根据题意结合抛物线的定义分析运算.【详解】由题意可得：抛物线C ：24y x =的焦点为()1,0F ，准线为=1x -， 注意到00x ≥，可得01AF x =+，点A 到直线4x =-的距离为04x +， 则()00421x x +=+，解得02x =. 故答案为：2.14. 设函数()33,,21,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的一个取值为__________；若函数()f x 存在三个零点，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】 ①. (1,,02a ⎡⎫∈-∞-⎪⎢⎣⎭②. )a ∈+∞【解析】【分析】第一空，直接解方程，结合图象分类讨论即可；第二空，由图象分析即可.【详解】[]3233301,1y x x y x x '=-⇒=-≥⇒∈-，解得33y x x =-[]1,1-上单调递增，在(),1-∞-和()1,+∞上单调递减，解方程330x x -=可得：其根依次记为1340x x x ===、210x +=的根记为212x =-，可得其草图如下：第一空：若函数()f x有且只有一个零点，由函数解析式可知该零点只能为1x =或212x =-. （i ）若零点为212x =-只需a <示；在（ii ）若函数零点为1x =由函数解析式及图象可知，只需1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，如图所示，第二空：若函数()f x 存在三个零点，则零点为1340x x x ===、，只需a ≥故答案为：(1,,02a ⎡⎫∈-∞-⎪⎢⎣⎭；)a ∈+∞ 15. 两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数()n ϕ（*n ∈N ）的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数，例如()11ϕ=，()42ϕ=． 关于欧拉函数给出下面四个结论： ①()76ϕ=；②*n ∀∈N ，恒有()()1n n ϕϕ+≥；③若m ，n （m n ≠）都是素数，则()()()mn m n ϕϕϕ=；④若k n p =（*,n k ∈N ），其中p 为素数，则()()11k n p p ϕ-=-．（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．） 则所有正确结论的序号为___________． 【答案】①③④ 【解析】【分析】根据欧拉函数()n ϕ的函数值的定义，求出()7ϕ，()8ϕ，即可判断①②；若m 是素数，m 与前m －1个正整数均互素，可得()m ϕ，同理得()n ϕ，又不超过正整数mn 且与mn 互素的正整数共有1mn m n --+个，可得()mn ϕ，即可判断③；若k n p =，其中p 为素数，不超过k p 的正整数共有k p ，其中p 的倍数有1k p -个，则不超过k p 且与p 互素的正整数有()111k k k p p p p ----=个，可得()n ϕ，即可判断④．【详解】不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，共6个，则()76ϕ=，故①正确； 不超过8且与8互素的正整数有1，3，5，7，共4个，则()84ϕ=，则()()87ϕϕ<，故②错误； 若m 是素数，m 与前m －1个正整数均互素，则()1m m ϕ=-； 同理，若n 是素数，则()1n n ϕ=-，故()()()()111n n m n m n m m ϕϕ----=+=；若m ，n （m n ≠）都是素数，则不超过mn 的正整数中，除去,2,,(1)m m n m ⋯-与,2,,(1)n n m n ⋯-及mn 外，其他的正整数均与mn 互素，共有(1)(1)11mn n m mn m n -----=--+个，则()1mn mn m n ϕ-=-+，所以()()()mn m n ϕϕϕ=，故③正确；若k n p =（*,n k ∈N ），其中p 为素数，不超过k p 的正整数共有k p ，其中p 的倍数有1k p -个，则不超过k p 且与p 互素的正整数有()111k k k p p p p ----=个，则()()11k n p p ϕ-=-，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos 2sin cos sin A B A A B =-． （1）求sin sin CA的值； （2）若3b =，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．条件①：11cos 16B =；条件②：sin C =；条件③：ABC 的周长为9．【答案】（1）2 （2 【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换分析运算即可；（2）由（1）可得2c a =，若选条件①：利用余弦定理可求得,a c ，进而面积公式分析运算；若选条件②：分C 为锐角和C 为钝角两种情况讨论，利用余弦定理可求,a c ，结合题意分析判断；若选条件③：根据题意可求得,a c ，利用余弦定理结合面积公式运算求解. 【小问1详解】∵sin cos 2sin cos sin A B A A B =-，则()2sin sin cos cos sin sin sin A A B A B A B C =+=+=， ∴sin 2sin CA=. 【小问2详解】由（1）可得sin 2sin C A =，由正弦定理可得2c a =，若选条件①：由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，即2224911416a a a +-=，注意到0a >，解得2a =，则4c =，由三角形的性质可知此时ABC 存在且唯一确定， ∵11cos 016B =>，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin B ==∴ABC 的面积11sin 2422ABC S ac B ==⨯⨯=△. 若选条件②：∵c a >，可得C A >，则有：若C 为锐角，则1cos 4C ==， 由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=，即2219446a a a+-=，整理得：2260a a +-=，且0a >，解得32a =，则3c =；若C 为钝角，则1cos 4C ==-， 由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=，即2219446a a a+--=，整理得：2260a a --=，且0a >，解得2a =，则4c =； 综上所述：此时ABC 存在但不唯一确定，不合题意. 若条件③：由题意可得：9a b c ++=，即329a a ++=， 解得2a =，则4c =，由三角形的性质可知此时ABC 存在且唯一确定，由余弦定理可得222416911cos 0222416a cb B ac +-+-===>⨯⨯，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin B ==∴ABC 的面积11sin 2422ABC S ac B ==⨯⨯=△. 17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，1AC =，1D 为11B C 的中点，D 为棱BC 上一点，1//BD 平面1ADC ．（1）求证：D 为BC 中点；（2）求直线BC 与平面1ADC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）根据线面平行推出线线平行，由此证明四边形11BD C D 为平行四边形，根据边长关系即可求证；（2）根据勾股定理得到1AD DC ⊥，再根据线线垂直证明出线面垂直，再以D 为坐标原点，AD 为z 轴，DB 为x 轴，1DD 为y 轴的空间直角坐标系，利用直线方向向量和平面法向量求出正弦值.【小问1详解】⸪1//BD 平面1ADC ，1BD ⊂平面11BB C C ，平面1ADC ⋂平面111C BB C DC =， ⸫11//BD DC ，又因为11//BD D C ，⸫四边形11BD C D 为平行四边形，且因为1D 为11B C 的中点，⸫111=2BD C C D B =， ⸫ D 为BC 中点. 【小问2详解】，1DC =1AC =， 再根据勾股定理可得22211D C A D AC +=，故1AD DC ⊥， 又因为AD BC ⊥，1BC DC D = ，1,BC DC ⊂平面11BB C C ， 所以AD ⊥平面11BB C C ，如图建立以D 为坐标原点，AD 为z 轴，DB 为x 轴，1DD 为y 轴的空间直角坐标系，()1,0,0B ，()1,0,0C -，()2,0,0CB =，()0,0,0D，(00A ,，()11,2,0C -，(DA = ，()11,2,0DC =-，设平面1ADC 的法向量为(),,n x y z =，则1020n DA n DC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1y =，解得()2,1,0n = ，·sin cos ,n CB n CB n CB α====，故直线BC 与平面1ADC. 18. 某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收人及营业成本情况统计如下表：营业情况分行业营业收入单位（亿元）营业成本单位（亿元）分行业1 41 38 分行业2129分行业3 8 2 分行业4 6 5 分行业5 3 2 分行业6 2 1 分行业70.80.4（一般地，行业收益率100%-=⨯营业收入营业成本营业成本．）（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X ，求X 的分布列及期望； （3）设7个分行业营业收入的方差为21s ，营业成本的方差为22s ，写出21s 与22s 的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1）47； （2）分布列见解析；()97E X =； （3）21s >22s . 【解析】【分析】（1）求出7个分行业的行业收益率即可求出所需概率； （2）根据X 的取值，利用超几何分布即可计算求出分布列和数学期望； （3）根据方程公式计算即可求出方差比较大小. 【小问1详解】 分行业1行业收益率：4138100%7.9%38-⨯≈， 分行业2行业收益率：129100%33.3%9-⨯≈， 分行业3行业收益率：82100%=300%2-⨯， 分行业4行业收益率：65100%20%5-⨯=， 分行业5行业收益率：32100%50%2-⨯=， 分行业6行业收益率：21100%100%1-⨯=，分行业7行业收益率：0.80.4100%100%0.4-⨯=， 行业收益率不低于50%的有4个行业，故任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率为47. 【小问2详解】有（1）可知X 的取值有0、1、2、3，()3437C 40C 35P X ===，()123437C C 181C 35P X ===，()213437C C 122C 35P X ===，()3337C 13C 35P X ===，分布列如下：X 0123P435 1835 1235 135()1812191233535357E X =⨯+⨯+⨯= 【小问3详解】7个分行业营业收入的平均值为：411286320.810.47++++++=，()()()()()()()2222222214110.41210.4810.4610.4310.4210.40.810.41176.65s =-+-+-+-+-+-+-= 7个分行业营业成本的平均值为：38925210.48.27++++++=，()()()()()()()222222221388.298.228.258.228.218.20.48.21088.48s =-+-+-+-+-+-+-=故21s >22s .19. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点()2,1A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 关于y 轴的对称点为B ，直线l 与OA 平行，且与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于P ，Q 两点．求证：四边形APBQ 为菱形．【答案】（1）22182x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意列出关于,,a b c 的方程组求解即可； （2）求出直线OA 的斜率为12OA k =，设直线l 的方程为1(0)2y x t t =+≠，代入椭圆方程，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122,24x x t x x t +=-=-．由直线AM 的方程1111(2)2y y x x --=--得P 点的纵坐标为P y ，Q 点的纵坐标为Q y ，结合韦达定理求得2P Q y y +=，进而可得线段AB ，PQ 垂直且平分，从而得证. 【小问1详解】由题意可知22222411a b c caa b⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得a b ==．所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=．【小问2详解】点(2,1)A 关于y 轴的对称点为点B 的坐标为(2,1)-． 直线OA 的斜率为0102A OA A y k x -==-．因为直线l 与OA 平行，设直线l 的方程为1(0)2y x t t =+≠． 由221,248y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得222240x tx t ++-=, 由()22244241640t t t ∆=--=->，得22t -<<，且0t ≠, 设()()1122,,,M x y N x y ，则212122,24x x t x x t +=-=-,直线AM 的方程为1111(2)2y y x x --=--， 令0x =，得P 点的纵坐标为11122P x y y x -=-． 同理可得Q 点的纵坐标为22222Q x y y x -=-． ()()()()()()112221112212122222222222P Q x y x x y x x y x y y y x x x x --+----+=+=---- ()()21221212244822424t x x t t x x x x t t-+-+===-+++， 所以线段PQ 中点坐标为(0,1)．又线段AB 中点坐标也为(0,1)，所以线段AB ，PQ 垂直且平分．所以四边形APBQ 菱形．20. 已知函数()e x f x =，()()ln g x x a =+（a ∈R ）． （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设()()()x f x g x ϕ=，请判断()x ϕ是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （3）当0a =时，若对于任意0s t >>，不等式()()()()11g s g t k f s f t ⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）e 0y x -=（2）不存在，理由见详解（3）[),e -+∞【解析】【分析】（1）先求得()f x '，从而得到()1f ，()1f '，再根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求出切线方程；（2）先求()x ϕ'，要判断()x ϕ是否存在极值，即判断()x ϕ在(),a -+∞上单调情况，即判断()x ϕ'在(),a -+∞上的符号情况；（3）将原恒成立条件转化为对于任意0x >，不等式e xk x≥-恒成立，从而构造函数，再根据函数在定义域上的最值即可求得k 的取值范围．为【小问1详解】由()e x f x =，则()e xf x '=，所以()1e f =，()1e f '=， 故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()e e 1y x -=-，即e 0y x -=．【小问2详解】由()()()()e ln x x f x g x x a ϕ==⋅+，x a >-， 则()()()11e ln e e ln x x x x x a x a x a x a ϕ⎡⎤=⋅++⋅=⋅++⎢⎥++⎣⎦'，x a >-， 令()()1ln m x x a x a =+++，x a >-， 则()()()22111x a m x x a x a x a +--'==+++，x a >-， 当01x a <+<，即1a x a -<<-时，()0m x '<，此时()m x 单调递减；当1x a +>，即1x a >-时，()0m x '>，此时()m x 单调递增， 所以()()min 110m x m a =-=>，所以对任意x a >-，都有()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(),a -+∞上单调递增，即()x ϕ不存在极值．【小问3详解】当0a =时，()ln g x x =，对于任意0s t >>，不等式()()()()11g s g t k f s f t ⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，等价于对于任意0s t >>，不等式()()()()k k g s g t f s f t ->-恒成立， 等价于函数()()()ln e x k k h x g x x f x =-=-在()0,∞+上单调递增， 等价于导函数()10ex k h x x =+≥'在()0,∞+上恒成立， 等价于对于任意0x >，不等式e xk x≥-恒成立， 令()e x n x x =-，则()()22e 1e e x x x x x n x x x-⋅-=-='，0x >， 当01x <<时，()0n x '>，此时()n x 单调递增；当1x >时，()0n x '<，此时()n x 单调递减，所以()()max 1e n x n ==-，即e k ≥-，故k 的取值范围为[),e -+∞．【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定的不等式等价转化，构造函数，进而通过导函数使问题得到解决是解答此类问题的关键．21. 设集合A 为含有n 个元素的有限集．若集合A 的m 个子集1A ，2A ，…，m A 满足：①1A ，2A ，…，m A 均非空；②1A ，2A ，…，m A 中任意两个集合交集为空集；③12m A A A A ⋃⋃⋃= ．则称1A ，2A ，…，m A 为集合A 的一个m 阶分拆．（1）若{}1,2,3A =，写出集合A 的所有2阶分拆（其中1A ，2A 与2A ，1A 为集合A 的同一个2阶分拆）；（2）若{}1,2,3,,A n =L ，1A ，2A 为A 的2阶分拆，集合1A 所有元素的平均值为P ，集合2A 所有元素的平均值为Q ，求P Q -的最大值；（3）设1A ，2A ，3A 为正整数集合{}12,,,n A a a a = （*N n ∈，3n ≥）的3阶分拆．若1A ，2A ，3A 满足任取集合A 中的一个元素i a 构成{}1i A a =，其中{}1,2,3,,i n ∈ ，且2A 与3A 中元素的和相等．求证：n 为奇数．【答案】（1）{1,2},{3}；{1,3},{2}；{2,3},{1}；（2）2n ； （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据给定的定义直接写出所有2阶分拆作答.（2）令P Q >，设出集合1A 及所其元素和，根据定义求出2A 的元素和，求出P Q -结合不等式性质求解作答.（3）设2A 、3A 及A 中元素的和，按i a 为奇数、偶数推理判断作答.【小问1详解】{}1,2,3A =，集合A 的所有2阶分拆是：{1,2},{3}；{1,3},{2}；{2,3},{1}.【小问2详解】.依题意，不妨设P Q >，11212{,,,},p p A a a a T a a a ==+++ ， 则(1)1()(1)12||[](22n n T T n p T n n n T n P Q P Q T p n p n p p n p p +--++-=-=-=-+=----， 而(21)(1)(2)2p n p T n p n p n -+≤-++-+++=， 所以1211||()(2222n T n n n p n n P Q n p p n p +-++-=-≤-=--，当且仅当(21)2p n p T -+=时取等号， 所以P Q -的最大值是2n . 【小问3详解】 依题意，23A A =∅ ，231211{,},,,,,i i n A A a a a a a -+= ，2A 与3A 中元素的和相等，设2A 与3A 中元素的和为i m ，集合A 中所有元素之和为S ，于是2(1,2,,)i i S m a i n =+= ，①当集合A 中存在元素(1)j a j n ≤≤为奇数时，因为2,2j j j S m a m =+是偶数，于是S 是奇数，对于任意(1,2,,)i a i n =L ，均有2i i a S m =-， 因此此时集合A 中的元素均为奇数，因为S 为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数，所以n 为奇数；②当集合A 中存在元素(1)j a j n ≤≤为偶数时，因为2,2j j j S m a m =+是偶数，于是S 是偶数，对于任意(1,2,,)i a i n =L ，均有2i i a S m =-， 因此此时集合A 中的元素均为偶数，对于一个偶数(1,2,,)i a i n =L ，均存在正整数i p 和奇数i k ，使得2i p i i a k =，显然集合A 中的元素除以2，仍然满足条件，将集合A 中的元素不断除以2，直至有一个奇数， 此时，由①可得n 为奇数，综上得：n 为奇数.【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质，分类讨论，进行推理判断解决.。
2022北京高三一模数学汇编：立体几何
2022北京高三一模数学汇编立体几何一、单选题1．（2022·北京东城·一模）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为BC 上一点，则三棱锥11B AC E -的体积为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．162．（2022·北京朝阳·一模）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA ，VB ，VC 两两垂直，1VA VB VC ===（单位：dm ），小明同学计划通过侧面VAC 内任意一点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC ，则该截面面积（单位：2dm ）的最大值是（ ）A ．14B C D ．34二、双空题3．（2022·北京通州·一模）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱BC ，1CC ，11C D 的中点，点P 为底面1111D C B A 上任意一点．若P 与1D 重合，则三棱锥E -PFG 的体积是____；若直线BP与平面EFG 无公共点，则BP 的最小值是__________．三、填空题4．（2022·北京房山·一模）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面BB 1C 1C 的边界及其内部运动.给出下列四个结论：①D 1O ⊥AC ；②存在一点P ，D 1O ∥B 1P ；③若D 1O ⊥OP ，则△D 1C 1P④若P 到直线D 1C 1的距离与到点B 的距离相等，则P 的轨迹为抛物线的一部分. 其中所有正确结论的序号是_________________.5．（2022·北京西城·一模）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱CD 的中点，点F 为底面ABCD 内一点，给出下列三个论断：①1A F BE ⊥； ②13=A F ； ③2ADF ABF S S =△△.以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________. 6．（2022·北京门头沟·一模）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，且π3DAB ∠=，PD AD =，PD ABCD ⊥平面，F ，O 分别是PA ，BD 的中点，E 是线段PB 上的动点，给出下列四个结论：①AC OE ⊥； ②FC PO =；③直线PO 与底面ABCD④AEC △面积的取值范围是⎣. 其中所有正确结论的序号是_________．7．（2022·北京丰台·一模）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别是棱1111A B A D ，的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形；②直线11B D 到平面CMN ③存在点P ，使得11=90B PD ∠︒；④△1PDD ． 其中所有正确结论的序号是______．四、解答题8．（2022·北京通州·一模）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，3AB =，2BC =．PAD △为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点．(1)求证：PE AB ⊥；(2)求平面PAC 与平面ABCD 夹角的余弦值．9．（2022·北京房山·一模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，11AB BC BB ===(1)求证：AC ∥平面11BA C ； (2)若AB BC ⊥，求①1AA 与平面11BA C 所成角的正弦值； ②直线AC 与平面11BA C 的距离.10．（2022·北京海淀·一模）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，平面11A ADD ⊥平面ABCD ，2AD =，11AA A D =.(1)求证：1A D AB ⊥；(2)若直线AB 与平面11A DC ，求1AA 的长度. 11．（2022·北京西城·一模）如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，1AB DE ==，2AD PA ==，点F 在棱PA 上.(1)求证：//BF 平面CDE ； (2)求二面角C PE A --的余弦值；(3)若点F 到平面PCE 的距离为13，求线段AF 的长.12．（2022·北京东城·一模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，11AB AC AA ===，M 为线段11A C 上一点.(1)求证：1BM AB ⊥；(2)若直线1AB 与平面BCM 所成角为4π，求点1A 到平面BCM 的距离. 13．（2022·北京门头沟·一模）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D ，P 分别是BC ，1CC 的中点．(1)在侧棱1BB 上作出点F ，满足//DF 平面1AB P ，并给出证明； (2)求二面角11B AP C --的余弦值及点B 到平面1AB P 的距离．14．（2022·北京朝阳·一模）如图1，在四边形ABCD 中，AC BD ⊥，AC BD O =，1OD OB ==，2OC =，E ，F 分别是AB ，AD 上的点，//EF BD ，AC EF H ⋂=，2AH =，1HO =.将AEF 沿EF 折起到1A EF 的位置，得到五棱锥1A BCDFE -，如图2.(1)求证：EF ⊥平面1A HC ； (2)若平面1A EF ⊥平面BCDFE ，（i ）求二面角1D AC H --的余弦值； （ii ）对线段1A F 上任意一点N ，求证：直线BN 与平面1A DC 相交.15．（2022·北京石景山·一模）如图1，在平面四边形PDCB 中，//PD BC ，BA PD ⊥，1PA AB BC ===，12AD =．将PAB ∆沿BA 翻折到SAB ∆的位置，使得平面SAB ⊥平面ABCD ，如图2所示．(1)设平面SDC 与平面SAB 的交线为l ，求证：BC l ⊥；(2)在线段SC 上是否存在一点Q （点Q 不与端点重合），使得二面角Q BD C --16．（2022·北京丰台·一模）如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ，90DAB ∠=︒，12AD DC AB ==．以直线AB 为轴，将直角梯形ABCD 旋转得到直角梯形ABEF ，且AF AD ⊥．(1)求证：DF 平面BCE ；(2)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56？若存在，求出DPDF的值；若不存在，说明理由．参考答案1．D 【解析】 【分析】由AB 为A 到平面11EB C 的距离， 所以根据体积法可得1111B AC E A EB C V V --=，代入数值即可得解.【详解】由1111ABCD A B C D -为正方体， 显然AB 为A 到平面11EB C 的距离， 所以11111111111113326B AC E A EB C EB C V V SAB --==⋅=⨯⨯⨯⨯=， 故选：D 2．B 【解析】 【分析】根据题意，在平面VAC 内，过点P 作//EF AC 分别交,VA VC 于,F E ，在平面VBC 内，过E 作//EQ VB 交BC 于Q ，在平面VAB 内，过F 作//FD VB 交BC 于D ，连接DQ ，进而根据题意，VEF △∽VCA ，设其相似比为k ，则VF VE EFk VA VC AC===，再证明四边形FEQD 是矩形，再结合相似比和二次函数性质求解即可. 【详解】解：根据题意，在平面VAC 内，过点P 作//EF AC 分别交,VA VC 于,F E ， 在平面VBC 内，过E 作//EQ VB 交BC 于Q ，在平面VAB 内，过F 作//FD VB 交BC 于D ，连接DQ ，作图如下，因为//EF AC ，则,VCA VFE VAC VEF =∠∠=∠∠， 所以VEF △∽VCA ，设其相似比为k ， 则VF VE EFk VA VC AC===， 因为VA VC ⊥，所以在Rt VAC △中，222AC VA VC =+，因为1VA VB VC ===，所以AC =EF =， 因为//FD VB ，则,AVB ADF ABV AFD =∠∠=∠∠， 所以，AFD ∽AVB △，即AF AD FDVA BA VB==， 因为1AF VA VFk VA VA-==-， 所以1FD AFk VB VA==-，即1FD k =-， 同理CEQ ∽CVB ，即1CE CQ EQk VC BC VB===-， 因为,,VB VC VB VA VA VC V ⊥⊥⋂=，VA ⊂平面VAC ，VC ⊂平面VAC ， 所以VB ⊥平面VAC ， 因为//,//FD VB EQ VB ，所以FD ⊥平面VAC ，EQ ⊥平面VAC ，因为EF ⊂平面VAC ， 所以,FD EF EQ FE ⊥⊥， 因为,,BD AB AD BQ CB CQk k BA AB CB CB --==== 所以BQ BDBC BA= 因为B B ∠=∠，所以BDQ △∽BAC ， 所以//DQ AC ，因为//EF AC ，所以//EF DQ ，因为,FD EF EQ FE ⊥⊥，所以,FD DQ EQ DQ ⊥⊥，所以四边形FEQD 是矩形，即21(1))2FEQD S EF FD k k =⋅=-=-矩形所以，由二次函数的性质知，当12k =时，FEQD S 矩形. 故选：B3． 16【解析】 【分析】由体积公式可得三棱锥E -PFG 的体积，分别取111,,A D A A AB 的中点,,H I J ，可得截面EFG 即为截面EFGHIJ ，线段11A C 即为P 点轨迹，11A BC 的高即为BP 的最小值． 【详解】若P 与1D 重合，则111122PGFS=⨯⨯=，1111326E PFG V -=⨯⨯=； 若直线BP 与平面EFG 无公共点，则//BP 平面EFG ， 分别取111,,A D A A AB 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，则11//GH AC ，//EJ AC ，//IF AC ，而11//AC A C ，所以//GH EJ ，同理//GF IJ ，//EF HI ，因此可得证,,,,,E F G H I J 共面，即截面EFG 即为截面EFGHIJ ，11A C ⊄平面EFG ，HG ⊂平面EFG ，则11//A C 平面EFG ，同理1//A B 平面EFG ，而1111A C A B A =，111,A C A B ⊂平面11A BC ，所以平面11//A BC 平面EFG ，只要11P A C ∈，则有//BP 平面EFG ，线段11A C 即为P 点轨迹，1A B =BP =故答案为：16．4．①③【解析】【分析】对于①，连接11,AD CD ，由三角形1ACD 为等边三角形判读；对于②，将D 1O 进行平移到过1B 点，使之具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足D 1O ∥B 1P ；对于③，连 接1,,,OE EC BD D E ，证明1D O ⊥平面OEC ，所以P 在线段EC 上运动，当点P 到点E 位置时，1C P 最大，此时11D C P △面积最大为：max 12552S .对于④，P 到直线D 1C 1的距离为线段1PC 的长度，所以1=PC PB ，判定出P 点位置即可.【详解】对于①，连接11,AD CD ，由正方体的性质知三角形1ACD 为等边三角形，由于O 为底面ABCD 的中心，故为AC 中点，故1AC D O ⊥，①正确；对于②，将D 1O 进行平移到过B 1点，使之与B 1P 具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足1B H 平行或重合于B 1P ，所以D 1O 不可能平行于1B H ，②错误；对于③，取B 1B 的中点E ，连 接1,,,OE EC BD D E ，证明1D O ⊥平面OEC ，所以P 在线段EC 上运动，当点P 到点E 位置时，1C P 最大，此时11D C P △面积最大为：max 12552S .所以③正确.对于④，P 到直线D 1C 1的距离为线段1PC 的长度，所以1=PC PB ，判定出P 点位置为直线1BC 的垂直平分线，故④错误.故正确的序号是: ①③.故答案为: ①③.5．若1A F BE ⊥，则2ADF ABF S S =△△；若2ADF ABF S S =△△，则1A F BE ⊥.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量工具即可解决.【详解】如图,建立空间直角坐标系D xyz -则1(2,0,2),(2,2,0),(0,1,0)A B E(2,1,0)BE =--设(,,0),[0,2],[0,2]F x y x y ∈∈,则1(2,,2)A F x y =--122ADF S y y =⨯⨯= 12(2)22ABFS x x =⨯⨯-=- 112(2)0A F BE A F BE x y ⊥⇔⋅=---=422ADF ABF y x S S ⇔=-⇔=而1A F =所以以其中的一个论断作为条件,另一个论断作为结论,可以写出两个正确的命题:若1A F BE ⊥,则2ADF ABF SS = 若2ADF ABF S S =,则1A F BE ⊥答案任填其中一个即可故答案为:若1A F BE ⊥,则2ADF ABF SS =(若2ADF ABF S S =,则1A F BE ⊥)6．①④【解析】【分析】①通过线面垂直证明线线垂直②通过计算可得到结果③通过线面角的定义与计算可得到结果④通过求OE 的取值范围计算三角形面积的取值范围【详解】由AC BD ⊥，AC PD ⊥ 得AC ⊥平面PBD ，因为OE ⊂平面PBD ，所以AC OE ⊥，①正确计算可得AC =PC PA ==AF =，AO =PO ===222cos 2AC PA PC PAC AC PC +-∠===22222cos 28CF AF AC AC AF PAC =+-∠=+-⨯=所以CF =②不正确；由线面角定义知，POD ∠就是直线PO 与底面ABCD 所成的角，sin POD ∠③不正确；由AC PBD ⊥平面得，AC OE ⊥，12ACE S AC OE OE =⋅=max OE PB OE ⊥时OE 最小，min OE 正确． 故答案为：①④7．①③【解析】【分析】作出截面图形判断①，利用等积法可判断②，利用坐标法可判断③④.【详解】对于①，如图直线MN 与11C B 、11C D 的延长线分别交于11,M N ，连接11,CM CN 分别交11,BB DD 于22,M N ，连接22,MM NN ，则五边形22MM CN N 即为所得的截面图形，故①正确；对于②，由题可知11//MN B D ，MN ⊂平面CMN ，11B D ⊄平面CMN ，∴11//B D 平面CMN ，故点1B 到平面CMN 的距离即为直线11B D 到平面CMN 的距离，设点1B 到平面CMN 的距离为h ，由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2可得，3,CM CN MN ===12CMNS =∴11133B CMN CMN V S h h -=⋅==， 111111123323C B MN B MN V S CC -=⋅=⨯⨯=，∴由1B CMN V -=1C B MN V -，可得h =所以直线11B D 到平面CMN ②错误； 对于③，如图建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,2,0,2,2,2,2,0,1,0,2B D C M ，设,01PC MC λλ=≤≤，∴()1,2,2PC MC λλ==-，又()2,2,0C ，()()112,0,2,0,2,2,B D∴()2,22,2P λλλ--，()()11,22,22,2,2,22PB PD λλλλλλ=--=--，假设存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，∴()()()2112222220PB PD λλλλλ⋅=-+-+-=，整理得291440λλ-+=，∴1λ=>（舍去）或λ= 故存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，故③正确；对于④，由上知()2,22,2P λλλ--，所以点()2,22,2P λλλ--在1DD 的射影为()0,2,2λ，∴点()2,22,2P λλλ--到1DD 的距离为：d =∴当25λ=时，min d =，∴故△1PDD 面积的最小值是122⨯=④错误. 故答案为：①③.8．(1)证明见解析【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证明PE⊥平面ABCD，结合线面垂直的性质定理，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，可求得相关向量的坐标，从而求得平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得答案.(1)证明：因为△PAD为正三角形，E为AD中点，所以PE AD⊥，因为平面PAD⊥平面ABCD，=，平面PAD平面ABCD ADPE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD．因为AB平面ABCD，所以PE AB⊥．(2)由（1）知，PE⊥平面ABCD．取BC中点F，连结EF,因为底面ABCD为矩形，E为AD中点，所以EF AD⊥,所以EA，EF，EP两两垂直．分别以E为坐标原点，EA，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，则()0,0,0E ，()1,0,0A ，(P ，()1,3,0C -，所以(1,0,PA =，()2,3,0AC =-．设平面PAC 的法向量(),,n x y z =，由00n PA n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得0230x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令z =3x =，2y =， 所以(3,2,3n =，平面ABCD 的法向量可取(EP =．设平面PAC 与平面ABCD 夹角大小为θ，可知θ为锐角，则(3,cos cos ,n EPn EP n EP θ⋅====⋅，所以平面PAC 与平面ABCD 9．(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理，主要证明11AC AC ∥即可；（2）建立坐标系，先求出平面11BA C 的法向量，利用空间向量解决.(1)在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA CC 为平行四边形. 所以11AC AC ∥，因为AC ⊄平面11BA C ，11A C ⊂平面11BAC ，所以AC ∥平面11BA C . (2)因为1BB ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1BB ⊥AB ，1BB ⊥BC ，又AB ⊥BC ，所以1,,AB BC BB 两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则111(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,0)A B C A B ，所以1(1,1,0)BA =，1(0,1,1)BC =，1(0,1,0)AA =，设平面11BA C 的法向量为(),,n x y z =，则 1100n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y y z +=⎧⎨+=⎩ 令1x =，则1y =-，1z =，于是(1,1,1)n =-.①设直线1AA 与平面11BA C 所成的角为θ，则1121|0,1,0)1,1,1|sin cos ,11AA nAA n AAn θ⋅-⋅====⋅. 所以1AA 与平面11BA C ②因为AC ∥面11BA C ，所以直线AC 与平面11BA C 的距离就是点A 到平面11BA C 的距离设A 到面11BA C 的距离为h ，则1|0,1,0)1,1,1|AA nh n ⋅⋅-==10．(1)证明见解析(2)12AA =【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得AB ⊥平面11AA D D ，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）取AD 的中点O ，连接1A O ，证明出1A O ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，AB 、AD 、1OA 的方向分别为x 、y 、z 的正方向建立空间直角坐标系，设1AO a =，其中0a >，利用空间向量法可得出关于a 的方程，求出a 的值，即可求得棱1AA 的长.(1)证明：因为四边形ABCD 为正方形，则AB AD ⊥， 因为平面11A ADD ⊥平面ABCD ，平面11A ADD 平面ABCD AD =，AB 平面ABCD ， AB ∴⊥平面11AA D D ，1A D ⊂平面11AA D D ，所以，1AB A D ⊥.(2)解：取AD 的中点O ，连接1A O ， 11AA A D =，O 为AD 的中点，则1A O AD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面ABCD AD =，1AO ⊂平面11AA D D ， 所以，1A O ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，AB 、AD 、1OA 的方向分别为x 、y 、z 的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设1AO a =，其中0a >，则()0,1,0A -、()2,1,0B -、()10,0,A a 、()12,2,C a 、()0,1,0D ， ()2,0,0AB =，()112,2,0AC =，()10,1,A D a =-， 设平面11AC D 的法向量为(),,m x y z =，则111220m AC x y m A D y az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取x a =，则(),,1m a a =--，由题意可得cos ,22AB mAB m AB m⋅<>====⋅ 0a >，解得a =112AA =+.11．(1)证明见解析 (2)23(3)32【解析】 【分析】（1）证明平面//PAB 平面CDE ，利用面面平行的性质可证得//BF 平面CDE ；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可求得二面角C PE A --的余弦值；（3）设AF t =，则()0,0,F t ，[]0,2t ∈，利用空间向量法可得出关于t 的方程，结合t 的范围可求得t 的值. (1)证明：在矩形ABCD 中，//AB CD .因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE . 因为PA ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，所以//PA DE ， 因为PA ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以//PA 平面CDE .又因为PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，PA AB A =，所以平面//PAB 平面CDE . 因为BF ⊂平面PAB ，所以//BF 平面CDE . (2)解：因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB 平面ABCD ， 所以PA AD ⊥，PA AB ⊥，又因为ABCD 是矩形，AD AB ⊥，所以AD 、AB 、AP 两两垂直，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，则()1,2,0C 、()002P ,,、()0,2,1E ，所以()1,0,1CE =-，()0,2,1PE =-. 设平面PEC 的一个法向量为(),,n x y z =，则020n CE x z n PE y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩，取2x =，可得()2,1,2n =，取平面PEA 的一个法向量为()1,0,0m =，则2cos ,3m n m n m n⋅<>==⋅，由图可知二面角C PE A --为锐角，所以二面角C PE A --的余弦值是23. (3)解：设AF t =，则()0,0,F t ，[]0,2t ∈，所以()1,2,CF t =--，因为点F 到平面PCE 的距离222241333CF n tt d n⋅--+-====. 因为[]0,2t ∈，解得32t =，故32AF =.12．(1)证明过程见解析； (2)13.【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可； （2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可. (1)因为1AA ⊥平面ABC ，,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，而AB AC ⊥，因此建立如图所示的空间直角坐标系：11(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1),(0,,1)([0,1])A A B C B M a a ∈，1(1,,1),(1,0,1)BM a AB =-=，因为1110110BM AB a ⋅=-⨯+⨯+⨯=，所以1BM AB ⊥，即1BM AB ⊥， (2)设平面BCM 的法向量为(,,)n x y z =，(1,,1),(1,1,0)BM a BC =-=-，所以有00(1,1,1)00x ay z n BM n a x y n BC ⎧-++=⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨-+=⋅=⎩⎩， 因为直线1AB 与平面BCM 所成角为4π，所以1112cos ,sin422AB n AB n AB nπ⋅〈〉=⇒=⇒=⋅， 解得12a=，即1(1,1,)2n =，因为1(1,0,1)A B =-， 所以点1A 到平面BCM 的距离为：111111cos ,3A B n A B n A B A B A B n⋅⋅=⋅==⋅.13．(1)作图见解析，证明见解析【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解 (1)设1BB 的中点为E ，BE 的中点为F ， 则1//EC B P ，//DF EC ，则1//DF B P ，DF ⊄平面1AB P ，1B P ⊂平面1AB P ，//DF 平面1AB P ．(2)设O 是边AC 的中点，Z 是11A C 的中点， 则OZ ⊥平面ABC ，ABC 为正三角形， 所以，OB AC ⊥，OB ，OC ，OZ 两两垂直， 建立如图所示坐标系O XYZ -．则(0,1,0)A -，1B ，(0,1,1)P ，(0,2,1)AP =， 1(3,1,2)AB =，设平面1AB P 的法向量为1(,,)n x y z =，所以11100n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则120(3,1,2)20y z n y z +=⎧⎪⇒=-++=， 平面1C AP 的法向量为2(1,0,0)n =，1212126cos ,4||||n n n n nn ⋅<>==所以二面角11B AP C --1(0,0,2)BB =，设点B 到平面1AB P 的距离为d，则111||||BB n d n ⋅==14．(1)证明见解析；(2)（i ，（ii ）详见解析. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即得； （2）（i ）利用坐标法即求；（ii ）可设1,01FN FA λλ=≤≤，进而可得25,1,233BN λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用向量数量积可得λ∈∅，即得.(1)∵AC BD ⊥，//EF BD ， ∴AC EF ⊥，∴1,EF A H EF HC ⊥⊥，又1A H HC H ⋂=， ∴EF ⊥平面1A HC ； (2)（i ）由1,EF A H EF HC ⊥⊥，可知1A HC ∠为1A EF C --的平面角， 又平面1A EF ⊥平面BCDFE ，∴190A HC ∠=，即1A H HC ⊥，又1,EF A H EF HC H ⊥⋂=， ∴1A H ⊥平面BCDFE ，如图建立空间直角坐标系，则()()()11,1,0,0,0,2,0,3,0D A C -，∴()()11,2,0,0,3,2DC AC ==-， 设平面1DA C 的法向量为(),,m x y z =，则100m DC m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20320x y y z +=⎧⎨-=⎩， 令2y =，则()4,2,3m =-，又平面1A CH 的一个法向量可取()1,0,0n =，∴cos ,16m n m n m n ⋅-===+∴二面角1D AC H --； （ii ）由题设1,01FN FA λλ=≤≤，又()11220,0,2,,0,0,,0,233A F FA ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22,0,2,0,233FN λλλ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，∴22,0,233N λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()1,1,0B ，∴25,1,233BN λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又平面1DA C 的一个法向量为()4,2,3m =-，由()254,2,3,1,2033BN m λλ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭，可得75λ=-，又01λ≤≤，∴λ∈∅，∴直线BN 与平面1A DC 相交. 15．(1)证明见解析；(2)存在点Q 为SC 的中点时，使得二面角Q BD C --. 【解析】 【分析】（1）延长,BA CD 相交于点E ，连接SE ，得到SE 为平面SCD 与平面SBA 的交线l ，结合线面垂直的判定定理，证得AD ⊥平面SAB ，得到BC ⊥平面SAB ，进而证得BC l ⊥.（2）以A 为坐标原点，以,,AD AB AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，求得平面QBD 和平面BDC 的法向量，利用向量的夹角公式列出方程，即可求解. (1)证明：延长,BA CD 相交于点E ，连接SE ，则SE 为平面SCD 与平面SBA 的交线l . 证明如下：由平面SAB ⊥平面ABCD ，BA AD ⊥，AD ⊂平面ABCD ， 且平面SAB 平面ABCD AB =，所以AD ⊥平面SAB ， 又由//AD BC ，所以BC ⊥平面SAB ，因为SE ⊂平面SAB ，所以BC SE ⊥，所以BC l ⊥. (2)解：由（1）知：,,SA AB AD AB SA AD ⊥⊥⊥，以A 为坐标原点，以,,AD AB AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得1(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(,0,0),(0,0,1)2A B C D S ，则1(,1,0)2BD =-，设SQ SC λ=(其中01)λ<<，则(,,1)Q λλλ-，所以(,1,1)BQ λλλ=--，设平面QBD 的法向量为(,,)n x y z =，则()()102110n BD x y n BQ x y z λλλ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=+-+-=⎩，令2x =，可得131,1y z λλ-==-，所以13(2,1,)1n λλ-=-， 又由SA ⊥平面BDC ，所以平面BDC 的一个法向量为(0,0,1)m =，则cos ,5m n m n m n⋅==⋅+1=2λ，所以存在点Q 为SC 的中点时，使得二面角Q BD C --16．(1)证明见解析 (2)存在；13DP DF = 【解析】 【分析】（1）证明出四边形DCEF 为平行四边形，进而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. (1)证明：由题意得EF CD ‖，EF CD=， 所以四边形DCEF 为平行四边形． 所以DF CE ‖．因为DF ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ， 所以DF ‖平面BCE ．(2)线段DF 上存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56，理由如下： 由题意得AD ，AB ，AF 两两垂直． 如图，建立空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,1,1)E ，(0,0,1)F ．所以()0,1,1AE =，()1,1,0BC =-，()1,2,0BD =-，()1,0,1DF =-． 设()01DP DF λλ=≤≤，则()1,2,BP BD DP BD DF λλλ=+=+=-- 设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z =，所以00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0,120.x y x y z λλ-=⎧⎨--+=⎩ 令x λ=，则y λ=，1z λ=+． 于是(),,1n λλλ=+设直线AE 和平面BCP 所成角为θ，由题意得：sin cos ,n AE n AE n AEθ⋅==⋅56==，整理得：232270λλ-+=， 解得13λ=或7λ=．因为01λ≤≤，所以13λ=，即13DPDF=．所以线段DF上存在点P，当13DPDF=时，直线AE和平面BCP所成角的正弦值为56．31 / 31。
真题解析：2022年北京市通州区中考数学模拟真题练习 卷(Ⅱ)(含详解)
2022年北京市通州区中考数学模拟真题练习 卷（Ⅱ） 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、深圳湾“春笋”大楼的顶部如图所示，则该几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 2、下列说法正确的是（ ）A ．不相交的两条直线叫做平行线B ．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直C ．平角是一条直线D ．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线·线○封○密○外3、若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）A ．5或6B ．6或7C ．5或6或7D ．6或7或84、神舟号载人飞船于2021年10月16日凌晨成功对接中国空间站，自升空以来神舟十三号飞船每天绕地球16圈，按地球赤道周长计算神舟十三号飞船每天飞行约641200千米，641200用科学记数法表示为（ ）A ．60.641210⨯B ．56.41210⨯C ．66.41210⨯D ．564.1210⨯5、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的解为（ ）A ．x 1＝﹣4，x 2＝2B ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣1C ．x 1＝﹣4，x 2＝﹣2D ．x 1＝﹣2，x 2＝2 6、要使式子2x x -有意义，则（ ） A ．0x ≠ B ．2x ≠ C ．2x > D ．0x >7 ）AB C D 8、为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x 则可列出方程（ ）A ．200（+x )=288B ．200（1+2x )=288C ．200（1+x )²＝288D ．200（1+x ²)=288 9、已知关于x ，y 的方程组3424x y ax by -=⎧⎨-=-⎩和2593x y bx ay +=⎧⎨+=⎩的解相同，则()20213a b +的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．0 D ．2021 10、抛物线()21232y x =--的顶点坐标是（ ） A ．()2,3- B ．()2,3 C ．()2,3- D ．()2,3-- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且6cm BD =，120BOC ∠=︒，则矩形ABCD 的面积为_____________2cm ．2______． 3、已知线段6AB =，延长AB 至点C ，使13BC AB =，反向延长AC 至点D ，使12AD AC =，则CD 的长为__________． 4、 “x 与2的差不大于3”用不等式表示为___． 5、如图，AO BO ⊥，若10BOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，则BOD ∠的度数是_____︒．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、如图，已知点A 、C 分别是∠B 两边上的定点． ·线○封○密·○外（1）求作：线段CD ，使得DC ∥AB ，且CD AB =，点D 在点C 的右侧；（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）（2）M 是BC 的中点，求证:点A 、M 、D 三点在同一直线上．2、先化简，再求值：()22111a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+÷++；其中23a =-． 3、如图，抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于4B 两点，且点B 的坐标为（2，0），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，点D 为抛物线的顶点，连接AD ，AC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上第三象限内的一个动点，过点P 作PM ∥x 轴交AC 于点M ，求PM 的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，将原抛物线向右平移，使得点A 刚好落在原点O ，M 是平移后的抛物线上一动点，Q 是直线AC 上一动点，直接写出使得由点C ，B ，M ，Q 组成的四边形是平行四边形的点Q 的坐标；并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．4、先化简，再求值：2214411a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中1a =．5、计算：（2．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据简单几何体的三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可．【详解】解：从正面看深圳湾“春笋”大楼所得到的图形如下：故选：A ．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键．2、B【分析】根据平行线的定义，垂直的性质，平角的定义，两点确定一条直线的性质依次判断．【详解】解：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故选项A 错误；过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故选项B 正确；平角是角的两边在同一直线上的角，故选项C 错误；过同一平面内三点中任意两点，能画出1条或3条直线故选项D 错误；故选：B ． ·线○封○密·○外【点睛】此题考查语句的正确性，正确掌握平行线的定义，垂直的性质，平角的定义，两点确定一条直线的性质是解题的关键．3、C【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选C【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．4、B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：641200用科学记数法表示为：641200=56.41210⨯，故选择B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 5、A 【分析】 关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根即为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴的交点的横坐标．【详解】解：根据图象知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴的一个交点是（2，0），对称轴是直线x ＝−1． 设该抛物线与x 轴的另一个交点是（x ，0）． 则212x +=-， 解得，x ＝－4 ， 即该抛物线与x 轴的另一个交点是（－4，0）． 所以关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根为x 1＝−4，x 2＝2． 故选：A ． 【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点．解题时，注意抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）间的转换． 6、B ·线○封○密·○外【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，即可求得答案．【详解】 解：要使式子2x x -有意义， 则20x -≠2x ∴≠ 故选B【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是“分母不为0”是解题的关键．7、A【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再看看被开方数是否相同即可．【详解】解：A =，即化成最简二次根式后被开方数相同（都是5），所以是同类二次根式，故本选项符合题意；BC =题意；D 意；故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键．8、C【分析】设月增长率为x，根据等量关系用增长率表示7月份的销售量与销售288相等，可列出方程200（1+x)²＝288即可．【详解】解：设月增长率为x，则可列出方程200（1+x)²＝288．故选C．【点睛】本题考查列一元二次方程解增长率问题应用题，掌握列一元二次方程解增长率问题应用题方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键．9、B【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出所求．【详解】解：联立得：342 259x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得：21xy=⎧⎨=⎩，则有24 23a bb a-=-⎧⎨+=⎩，·线○封○密○外解得：12a b =-⎧⎨=⎩， ∴()()2021202113312a b +⨯-+=⎡⎤⎣=-⎦，故选：B ．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．10、A【分析】根据二次函数y =a (x -h )2+k 的性质解答即可．【详解】 解：抛物线()21232y x =--的顶点坐标是()2,3-， 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数y =a (x -h )2+k (a ，h ，k 为常数，a ≠0)的性质，熟练掌握二次函数y =a (x -h )2+k 的性质是解答本题的关键． y =a (x -h )2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h ，k )，对称轴是x =h ．二、填空题1、【分析】如图，过点O 作OE BC ⊥，根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB OC =，2AB OE =，2BC BE =，由120BOC ∠=︒得30OBE OCE ∠=∠=︒，利用勾股定理求出BE ，由矩形面积得解． 【详解】如图，过点O 作OE BC ⊥， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴13cm 2OB OC OD BD ====，2AB OE =，2BC BE =， ∵120BOC ∠=︒，∴30OBE OCE ∠=∠=︒， ∴13cm 22OE OB ==，∴BE ===，∴3cm AB =，BC =，∴23)ABCD S =⨯=矩形．故答案为：【点睛】 本题考查矩形的性质与勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 2、【分析】 根据二次根式乘除法运算法则进行计算即可得到答案． ·线○封○密○外【详解】=故答案为： 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，掌握运算法则是解答此题的关键． 3、12 【分析】先求出BC =2，得到AC=AB+BC =8，根据12AD AC =，求出AD =4，再利用CD=AD+AC 求出答案． 【详解】解：∵6AB =，13BC AB =， ∴BC =2， ∴AC=AB+BC =8， ∵12AD AC =， ∴AD =4，∴CD=AD+AC =4+8=12， 故答案为：12．【点睛】此题考查了几何图形中线段的和差计算，正确根据题意画出图形辅助解决问题是解题的关键． 4、x -2≤3【分析】首先表示出x 与2的差为（x -2），再小于等于3，列出不等式即可． 【详解】解：由题意可得：x -2≤3． 故答案为：x -2≤3． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词，选准不等号． 5、40 【分析】先求解100,AOC 利用角平分线再求解50,COD 由BOD COD BOC ∠=∠-∠可得答案.【详解】 解： AO BO ⊥，10BOC ∠=︒， 100,AOC AOB BOCOD 平分AOC ∠,150,2AODCODAOC40.BOD COD BOC故答案为：40 【点睛】本题考查的是垂直的定义，角平分线的定义，角的和差运算， 熟练的运用“角的和差关系与角平分线的定义”是解本题的关键. 三、解答题 1、 ·线○封○密○外（1）见解析 （2）见解析 【分析】（1）根据题意作DCB ACB ∠=∠，则AB CD ∥，在射线CH 上截取CD AB =，则点D 即为所求； （2）连接AD ，设AD 与BC 交于点N ，证明CDN BAN ≌，可得CN BN =，则,M N 重合，即AD 过点M ，即可证明点A 、M 、D 三点在同一直线上 （1）如图所示，点D 即为所求（2）如图，连接AD ，设AD 与BC 交于点N ，AB CD ∥，,NAB NDC NCD NBA ∴∠=∠∠=∠又AB CD =∴CDN BAN ≌CN BN ∴=又M 是BC 的中点∴,M N 重合 ∴AD 过点M ，即点A 、M 、D 三点在同一直线上 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，作线段等于已知线段，三角形全等的性质与判定，平行线的判定，掌握基本作图是解题的关键． 2、11a +，3【分析】先算括号里面的，然后把除号化为乘号进行约分，最后代入求值即可得出答案．【详解】原式22121()11a a a -+=⋅++221111a a a +=⋅++ 11a =+当23a =-时，原式13213==-+． 【点睛】 本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 3、 （1）2128333y x x =+-·线○封○密○外（2）PM 最大值为2，8(2,)3P --（3）Q或(Q -【分析】（1）用待定系数法即可得抛物线的解析式为2128333y x x =+-；（2）由(4,0)A -，8(0,)3C -得直线AC 解析式为2833y x =--，设2128(,)333P t t t +-，(40)t -<<，可得2221()2(2)2222t t PM t t t t =---=--=-++，即得2t =-时，PM 的值最大，最大值为2，8(2,)3P --；（3）由已知得平移后的抛物线解析式为221281(4)(4)23333y x x x x =-+--=-，设21(,2)3M m m m -，28(,)33Q n n --，而(2,0)B ，8(0,)3C -，①以BC 、MQ 为对角线，则BC 的中点即是MQ 的中点，即2208128023333m n m m n +=+⎧⎪⎨-=---⎪⎩，解得Q或(Q -；②以BM 、CQ 为对角线，得220128823333m n m m m +=+⎧⎪⎨-=---⎪⎩，方程组无解；③以BQ 、CM 为对角线，2022818023333m n n m m +=+⎧⎪⎨--+=--⎪⎩，解得Q或(Q -8)3． （1）解：点B 的坐标为(2,0)在抛物线213y x bx c =++，抛物线的对称轴为直线1x =-，∴40231123b c b⎧=++⎪⎪⎨-=-⎪⨯⎪⎩，解得2383b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为2128333y x x =+-； （2）在2128333y x x =+-中，令0y =得2x =或4-， (4,0)A ∴-， 在2128333y x x =+-中，令0x =得83y =-， 8(0,)3C ∴-，设直线AC 解析式为83y kx =-，则8043k =--，解得23k =-， ∴直线AC 解析式为2833y x =--， 设2128(,)333P t t t +-，(40)t -<<，由21282833333t t x +-=--得22t x t =--，2(2t M t ∴--，2128)333t t +-，2221()2(2)2222t t PM t t t t ∴=---=--=-++， 102-<， 2t ∴=-时，PM 的值最大，最大值为2； 此时8(2,)3P --；（3） 将原抛物线向右平移，使得点(4,0)A -刚好落在原点(0,0)O ，∴平移后的抛物线解析式为221281(4)(4)23333y x x x x =-+--=-，·线○封○密○外设21(,2)3M m m m -，28(,)33Q n n --，而(2,0)B ，8(0,)3C -，①以BC 、MQ 为对角线，则BC 的中点即是MQ 的中点，∴2208128023333m n m m n +=+⎧⎪⎨-=---⎪⎩，解得n =±Q ∴或(Q -； ②以BM 、CQ 为对角线，∴220128823333m n m m m +=+⎧⎪⎨-=---⎪⎩，方程组无解；③以BQ 、CM 为对角线，∴2022818023333m n n m m +=+⎧⎪⎨--+=--⎪⎩，解得n =±Q ∴或(Q -；综上所述，Q或(Q -． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度4、2aa -，-1． 【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算即可． 【详解】解：原式=22(1)12(2)a a a aa a a --⋅=---，当1a =时，原式=1112=--． 【点睛】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 5﹣1【分析】 首先计算二次根式的乘法，利用完全平方公式计算，最后合并同类二次根式． 【详解】 解：原式＝﹣6+（2+3﹣），＝﹣6+5﹣，﹣1． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的乘法，完全平方公式，合并同类项，熟练运算法则和完全平方公式是解决本题的关键．·线○封○密○外。
2021届北京市通州区高三一模数学试卷解析
（1）先求出学生的测试评分不低于 分的频率，再求出此次抽取的学生人数；
（2）先求出学生的测试评分不低于 分的 名学生中，评分在 的有 人，在 的有 人，所以 的可能取值为0，1，2，3．再求出对应的概率，即得X的分布列和数学期望；
（3）观察频率分布直方图，直接写出结论.
D．曲线 关于直线 对称
答案：C
根据函数图象求出函数解析式，再结合选项一一判断即可；
解：解：由函数图象可知 ，所以 ，因为 ，所以最小正周期为 ，所以 ，故A错误；
又函数过点 ，所以 ，所以 ，解得 ，因为 ，所以 ，所以 ，当 ，所以 ，因为 在 上不单调，故B错误；
当 ，所以 ，所以 ，故C正确；
（当点 在线段 与抛物线的交点时取等）
，
所以 ，
解之得 .
故选：D
方法点评：圆锥曲线的最值问题常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
10．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 ，空气温度为 ，则 后物体的温度 （单位：℃）满足： （其中k为常数， …）．现有某物体放在20℃的空气中冷却， 后测得物体的温度为52℃，再经过 后物体的温度冷却到24℃，则该物体初始温度是（）
解：解：（1）选条件①： ．
因为 ，由正弦定理，得 ．
因为 ，解方程组，得 ， ．
由余弦定理，得 ，
所以 ．
选条件②： 的面积为 ．
因为 ，所以 ．
因为 的面积为 ，所以 ．
所以 ．
因为 ，解方程组，得 ， ．
由余弦定理，得 ，
所以 ．
北京市通州区2022初三一模数学解析
北京市通州区2022初三一模数学解析2020．5一、选择题：（每题4分，共32分）1. B2. B3. C4. C.5. C6. B.7. A.8. A 二、填空题：（每题4分，共16分）9.)12)(12(+-x x a ；10. 2.； 11.π4；12.43，8，n a ︒360sin22或（nn n n a )2(90cos)2(90sin 42-︒⨯-︒⋅）三、解答题：（每题5分，4道小题，共20分） 13.解：()82114.345sin 23102+-+︒-⎪⎭⎫ ⎝⎛--π原式= 2129++- ..... ............................................................(4分)= 10 .................................................................(5分)14. 解：解不等式152>+x得：2->x ；…………………………………………………..(2分) 解不等式543≤-x得：3≤x ……………………………………………………….(4分) ∴32≤<-x ，∴满足不等式组的整数解为1-，0，1，2，3.................................................................(5分)15. 解：DAE BAC ∠=∠..........................................................................(3分)∴DAB EAC ∠=∠ .....................................................................(4分) 在AEC ∆和ADB ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AC AB EAC DAB AE AD∴AEC ∆≌ADB ∆(SAS ) .............................................................(5分)16．解：4)(2)12(22+--+a a a42214422++-++=a a a a ................................................(1分)5622++=a a .....................................................(2分)()5322++=a a .....................................................(3分)0132=++a a∴132-=+a a.....................................................(4分)∴原式=3 .....................................................(5分)四、解答题：（每题5分，5道小题，共25分）17．解：设现场观看篮球竞赛的观众大约有x 人，现场观看足球竞赛的观众大约有y人， ........... (1分)依照题意得：⎩⎨⎧=-=+6000260000x y y x ....................................................(3分)解得：⎩⎨⎧==4200018000y x ..........................................(4分)答：现场观看篮球竞赛的观众大约有18000人，现场观看足球竞赛的观众大约有42000人......................(5分)18. (1)是 梯 形..............................................(1分)B(2)过点A 做BC AF ⊥于点F ，过点D 做BC DH ⊥于点H ..............................................(2分) AC AB = =123==∴FC BF∴23cos =α︒=∠30ABC ,︒=∠∴60DBC ..............................................(3分)将ABC ∆以点B 为旋转中心逆时针旋转α度角（︒<<︒900α），得到BDE ∆ ABC ∆∴≌DBE ∆ 1==∴DE BD23sin =⋅∠=∴BD DBH DH ..............................................(4分) DBCE梯形S ∴43323)3(121+=+=..............................................(5分)19. 解: （1） 反比例函数2k y x=(0)x >的图象过()3,1A ),3(a B 两点．3312=⨯=∴k ,133==a ..............................................(1分) ∴)1,3(B ......................... ..................(2分)一次函数b x k y +=1的图象过()3,1A ，)1,3(B 两点梯形S ∴⎩⎨⎧=+=+13311b k b k解得:4,11=-=b k ..............................................(3分)C（2）设一次函数4+-=x y 与y 轴交于C 点则C 点坐标为)4,0( ..............................................(4分)63421=⨯⨯=∴∆BOCS ， 21421=⨯⨯=∴∆AOCS 426=-=-=∴∆∆∆AOC BOC ABO S S S ..............................................(5分)20．证明：（1）连接OD ..............................................(1分)AC AB =ABC C ∠=∠∴ OD OB = ABC ODB ∠=∠∴ODB C ∠=∠∴ ..............................................(2分) AC OD //∴ AC DF ⊥ OD DF ⊥∴于点D∴FD 是O ⊙的切线. ..............................................(3分) （2）AB 为⊙O 的直径 BC AD ⊥∴AC AB =，4==AD BC2==∴BD CD21tan =∠∴CAD ..............................................(4分)OD DF ⊥ ，BC AD ⊥︒=∠+∠=∠+∠∴90C CDF C CAD CAD CDF ∠=∠∴CAD CDF GDB ∠=∠=∠21tan =∠∴GDB ..............................................(5分)21.解： (1)全区参加随机抽取问卷调查的学生有_500__名；.........(1分) (2)补全条形统计图；分)(3)我区有近5000名初三学生，那么有2000名学生对中考复习电视讲座达到差不多了解以上（含差不多了解）程度. ..................................(4分)(4)通过两期专栏宣传后，全区初三学生对中考复习电视讲座达到差不多了解以上（含差不多了解）程度有：4500%)501(20002=+人 ...........................(5分)22. 解：(1) 8=∆PDE C .............................................(1分).............................................(2分)（2）如图，作G 关于AB 的对称点M ， 在CD 上截取CH =1，然后连接HM 交AB 于E ， 接着在EB 上截取EF =1，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小． ∴GEFC四边形C=GE +EF +FC +CG =6+310.............................................(3分).............................................(5分)图223. 解：（1）16)2(43216422+-=+-=∆a a a不管a 为何实数16)2(42+-=∆a 0> …………………………(1分) ∴抛物线与x 轴总有两个交点……………………………………(2分) （2）8422+-+-=a ax x y84)(22+-+--=a a a x y ……………………………………(3分) ∴由题意得，2≤a （只写<或=其一，不给分） ……………(4分)（3）解法一：以二次函数8422+-+-=a ax x y 图象的顶点A 为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形AMN （M ，N 两点在二次函数的图象上）， 那个正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关。
2022年新高考北京数学高考真题文档版(答案)
2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学参考答案第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. D2. B3. A4. C5. C6. C7. D8. B9. B 10. D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. ()(],00,1-∞⋃12. 3-13. ①. 1 ②.14. ①. 0（答案不唯一） ①. 115.①③④三、解答题共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（1）6π （2）66317.（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11CBB C ，1BB ⊂平面11CBB C ，故//MK 平面11CBB C ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11CBB C ，而,,NK MK K NK MK =⊂平面MKN ，故平面//MKN 平面11CBB C ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11CBB C ， （2）因为侧面11CBB C 为正方形，故1CB BB ⊥，而CB ⊂平面11CBB C ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ，平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ， 因为AB 平面11ABB A ，故NK AB ⊥，若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NK MN N =，故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥，所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ， 故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =--， 设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯. 若选②，因//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，而KM ⊂平面MKN ，故NK KM ⊥，而11,1B M BK NK ===，故1B M NK =，而12B B MK ==，MB MN =，故1BB M MKN ≅，所以190BB M MKN ∠=∠=︒，故111A B BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ， 故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =--， 设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯.18.（1）0.4 （2）75（3）丙 19.（1）2214x y += （2）4k =-20.（1）y x =（2）()g x 在[0,)+∞上单调递增.（3）解：原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()e ln(1)e ln(1)()()11x t xx t x m x x t x g x t g x x t x++=+++-+-=+-++'+， 由（2）知1()()e (ln(1))1x g x f x x x=++'=+在[)0,+∞上单调递增， ∴()()g x t g x +>，∴()0m x '> ∴()m x 在()0,+∞上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.21.（1）是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列．（2）若3k ≤,设为:Q ,,a b c ,则至多,,,,,a b b c a b c a b c ++++，6个数字，没有8个，矛盾；当4k =时,数列:1,4,1,2Q ，满足11a =，42a =，343a a +=，24a =，125a a +=，1236a a a ++=，2347a a a ++=，12348a a a a +++=， min 4k ∴=．（3）12:,,,k Q a a a ，若i j =最多有k 种，若i j ≠，最多有2C k 种，所以最多有()21C 2k k k k ++=种， 若5k ≤，则12,,,k a a a …至多可表()551152+=个数，矛盾, 从而若7k <,则6k =，,,,,,a b c d e f 至多可表6(61)212+=个数， 而20a b c d e f +++++<，所以其中有负的，从而,,,,,a b c d e f 可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明~a f 中仅一个负的，没有0，且这个负的在~a f 中绝对值最小，同时~a f 中没有两数相同,设那个负数为(1)m m -≥ ，则所有数之和125415m m m m m ≥++++++-=+，415191m m +≤⇒=， {,,,,,}{1,2,3,4,5,6}a b c d e f ∴=-，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，112=-+ （仅一种方式）， 1∴-与2相邻，若1-不在两端,则",1,2,__,__,__"x -形式，若6x =，则56(1)=+-（有2种结果相同，方式矛盾），6x ∴≠， 同理5,4,3x ≠ ，故1-在一端，不妨为"1,2,,,,"A B C D -形式，若3A =,则523=+ （有2种结果相同，矛盾），4A =同理不行，5A =，则6125=-++ （有2种结果相同，矛盾），从而6A =，由于7126=-++,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能1,2,6,3,5,4-，①或1,2,6,4,5,3-，②这2种情形，对①：96354=+=+，矛盾，对②：82653=+=+，也矛盾，综上6k ≠7k ∴≥．。
2022年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷+北京卷(含解析)(参考版)
2022年普通高等学校招生全国统一考试 北京卷数学试卷本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|21}A x x =-<≤，则U A =( ) A.(2,1]-B.(3,2)[1,3)--C.[2,1)-D.(3,2](1,3)--2.若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则||z =( ) A.1B.5C.7D.253.若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则a =( ) A.12B.12-C.1D.-14.已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有( ) A.()()0f x f x -+= B.()()0f x f x --= C.()()1f x f x -+= D.1()()3f x f x --=5.已知函数22()cos sin f x x x =-，则( ) A.()f x 在ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 在ππ,412⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C.()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在π7π,412⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增6.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是( )A.当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B.当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C.当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D.当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态 8.若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=( ) A.40B.41C.-40D.-419.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC △及其内部的点构成的集合，设集合{|5}T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为( )A.3π4B.πC.2πD.3π10.在ABC △中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒.P 为ABC △所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是( )A.[5,3]-B.[3,5]-C.[6,4]-D.[4,6]-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
【解析】北京市通州区2020届高三高考数学一模试卷
1 2020年高考数学一模试卷
一、选择题（共10小题） 1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1＜x≤2} 2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（ ）
A．1 B．2 C．√
𝟓
D．3
3．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（ ） A．𝜋2 B．π C．2π D．4π
4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点
是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（2，1）
5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（ ）
A．﹣1 B．−12 C．12 D．1 6．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线𝑥23−𝒚𝟐=1的右焦点重合，则p＝（ ）
A．√𝟐 B．2 C．2√
𝟐
D．4
7．在（2x−1𝑥）6的展开式中，常数项是（ ） A．﹣l60 B．﹣20 C．20 D．160 8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），
𝑩(𝒄𝒐𝒔(𝜶+
𝜋
3)，𝒔𝒊𝒏(𝜶+
𝜋3))．则
|𝑶𝑨→+𝑶𝑩→|=（ ）
A．1 B．
√
𝟑
C．2 D．与α有关 2
9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“an（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）
为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：
N＝2n（n＞0） lgN N的位数 21 lg2 一位数 22 lg4 一位数 23 lg8 一位数 24 1+lg1.6 两位数 25 1+lg3.2 两位数 26 1+lg6.4 两位数 27 2+lg1.28 三位数 28 2+lg2.56 三位数 29 2+lg5.12 三位数 210 3+lg1.024 四位数 …… …… …… 试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（ ） A．101 B．50 C．31 D．30 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 3
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2022年北京市通州区高考数学一模试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|1≤x＜3}，则A∩B＝（）A．[﹣2，2）B．[﹣2，3）C．[1，2）D．[1，2]2．复数的虚部是（）A．B．i C．1D．i3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a5＝20，则S7＝（）A．60B．70C．120D．1404．在△ABC中，已知，，b＝3，则c＝（）A．1B．C．2D．35．已知实数a，b，则“a2+b2≤4”是“ab≤2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，分别得到频率分布直方图如下：估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是x1和x2，方差分别是和，则（）A．x1＞x2，B．x1＞x2，C．x1＜x2，D．x1＜x2，7．设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|＝（）A．3B．4C．D．8．太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，φ为当地纬度值，那么这三个量满足θ＝90°﹣|φ﹣δ|．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（φ取正值），选择春分当日（δ＝0°）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：组别甲组乙组丙组丁组木杆影长度（米）0.820.800.830.85则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（）A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组9．已知直线l：x+y+m＝0和圆C：（x﹣1）2+y2＝1，若存在三点A，B，D，其中点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，则实数m的取值范围是（）A．B．C．[﹣3，1]D．[﹣1，3]10．已知函数f（x）＝，其中a＞0，且a≠1．给出下列三个结论：①函数f（x）是单调函数；②当0＜a＜1时，函数f（x）的图象关于直线y＝x对称；③当a＞1时，方程f（x）＝x根的个数可能是1或2．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．在（1﹣x）5的展开式中，x3的系数是．12．已知双曲线的一条渐近线方程是5x﹣2y＝0，则m＝．13．幂函数f（x）＝x m在（0，+∞）上单调递增，g（x）＝x n在（0，+∞）上单调递减，能够使y＝f（x）﹣g（x）是奇函数的一组整数m，n的值依次是．14．在矩形ABCD中，AB＝2，，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是，的最大值是．15．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱BC，CC1，DD1的中点，点P为底面A1B1C1D1上任意一点．若P与D1重合，则三棱锥E﹣PFG的体积是；若直线BP与平面EFG无公共点，则BP的最小值是．三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝2．△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥AB；（Ⅱ）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值．17．已知函数的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）从下面四个条件中选择两个作为已知，求f（x）的解析式，并求其在区间上的最大值和最小值．条件①：f（x）的值域是[﹣2，2]；条件②：f（x）在区间上单调递增；条件③：f（x）的图象经过点（0，1）；条件④：f（x）的图象关于直线对称．18．某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如表：选择餐厅情况（午餐，晚餐）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）甲员工30天20天40天10天乙员工20天25天15天40天假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（Ⅰ）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．19．已知函数，a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值是2，求a的值；（Ⅲ）设t为常数，求函数的单调区间．20．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，|AB|＝4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点D为线段AB上的动点，过D作线段AB的垂线交椭圆C于不同的两点E和F，N为线段AE上一点，|AN|＝λ|AE|．是否存在实数λ，使得∠NDE＝∠DBF？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．从一个无穷数列{a n}中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为{a n}的一个无穷递增子列．已知数列{b n}是正实数组成的无穷数列，且满足b n＝|b n+1﹣b n+2|．（Ⅰ）若b1＝1，b2＝2，写出数列{b n}前4项的所有可能情况；（Ⅱ）求证：数列{b n}存在无穷递增子列；（Ⅲ）求证：对于任意实数M，都存在k∈N*，使得b k＞M．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|1≤x＜3}，则A∩B＝（）A．[﹣2，2）B．[﹣2，3）C．[1，2）D．[1，2]【分析】利用交集的定义求解即可．解：∵A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|1≤x＜3}，∴A∩B＝[1，2），故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．2．复数的虚部是（）A．B．i C．1D．i【分析】化简复数可得1+i，可得其虚部为1解：化简可得＝＝＝1+i∴复数的虚部为：1故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，涉及复数的实虚部的求解，属基础题．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a5＝20，则S7＝（）A．60B．70C．120D．140【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式直接求解．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a5＝20，∴S7＝（a1+a7）＝＝＝70．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．在△ABC中，已知，，b＝3，则c＝（）A．1B．C．2D．3【分析】由已知利用余弦定理可得c2﹣2c﹣3＝0，解方程即可求解c的值．解：因为在△ABC中，已知，，b＝3，所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得12＝9+c2﹣2×，整理可得c2﹣2c ﹣3＝0，则解得c＝3或﹣1（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．5．已知实数a，b，则“a2+b2≤4”是“ab≤2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：∵a2+b2≥2ab，∴2ab≤a2+b2≤4，即ab≤2成立，即充分性成立，当a＝﹣3，b＝1，满足ab≤2，但a2+b2≤4不成立，即必要性不成立，故“a2+b2≤4”是“ab≤2”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．6．2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，分别得到频率分布直方图如下：估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是x1和x2，方差分别是和，则（）A．x1＞x2，B．x1＞x2，C．x1＜x2，D．x1＜x2，【分析】分别计算出x1和x2，进行比较；由方差的意义比较和，即可得到答案．解：由题意进行数据分析，可得：0.020×（10﹣0）+0.010×（20﹣10）+0.030×（30﹣20）+0.015×（x1﹣30）＝0.75，解得：x1＝40；0.010×（10﹣0）+0.020×（20﹣10）+0.030×（30﹣20）+0.025×（x2﹣30）＝0.75，解得：x2＝36；所以x1＞x2．比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的数据更集中，由方差的意义可以得到：＞，故选：A【点评】本题考查了平均数、方差的求法和意义，是基础题．7．设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|＝（）A．3B．4C．D．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设|MF|＝a，求得M的纵坐标和横坐标，利用抛物线的定义即可得到所求值．解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设|MF|＝a，不妨M在第一象限，可得M的纵坐标为a sin60°＝a，横坐标为1+a，即1++1＝a，解得a＝4，故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查任意角的三角函数的定义，考查化简运算能力，属于中档题．8．太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，φ为当地纬度值，那么这三个量满足θ＝90°﹣|φ﹣δ|．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（φ取正值），选择春分当日（δ＝0°）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：组别甲组乙组丙组丁组木杆影长度（米）0.820.800.830.85则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（）A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组【分析】根据题意得到φ＝90°﹣θ，设木杆的影长为m，得到tanθ＝，根据表格中的数据得到当m＝0.85时，θ取得最小值，此时φ取得最大值，即可求解．解：如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，φ为当地纬度值，那么这三个量满足θ＝90°﹣|φ﹣δ|．当δ＝0°且φ为正值，可得θ＝90°﹣φ，即φ＝90°﹣θ，设木杆的影长为m，得到tanθ＝，因为为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为0.82，0.80，0.83，0.85，所以当m＝0.85时，θ取得最小值，此时φ取得最大值，所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组．故选：D．【点评】本题考查解三角形在生活中的应用，属中档题．9．已知直线l：x+y+m＝0和圆C：（x﹣1）2+y2＝1，若存在三点A，B，D，其中点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，则实数m的取值范围是（）A．B．C．[﹣3，1]D．[﹣1，3]【分析】先判断出正方形的边长为1，对角线为．把题意转化为存在点A使．利用点到直线的距离公式即可求解．解：圆C的半径为1，所以|BC|＝1，即正方形的边长为1，对角线为，即．设点C到直线l的距离为d．存在点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，相当于存在点A使．所以．即，解得：﹣3≤m≤1．故选：C．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式及其应用等知识，属于基础题．10．已知函数f（x）＝，其中a＞0，且a≠1．给出下列三个结论：①函数f（x）是单调函数；②当0＜a＜1时，函数f（x）的图象关于直线y＝x对称；③当a＞1时，方程f（x）＝x根的个数可能是1或2．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】讨论0＜a＜1与1＜a时，函数f（x）是否单调可判断①；把函数图象的对称问题转化为点的对称问题即可证明②；直线y＝x+1与y＝a x的位置关系即可判断③．解：当0＜a＜1时，f（x）＝a x﹣1在（﹣∞，0]单调递减，且f（x）＝a x﹣1≥f（0）＝0，f（x）＝log a（x+1）在（0，+∞）单调递减，且f（x）＝log a（x+1）＜log a1＝0，∴f（x）在R上单调递减；当a＞1时，f（x）＝a x﹣1在（﹣∞，0]单调递增，且f（x）＝a x﹣1≤f（0）＝0，f（x）＝log a（x+1）在（0，+∞）单调递增，且f（x）＝log a（x+1）＞log a1＝0，∴f（x）在R上单调递增，故①正确；设P（x1，y1）为f（x）图象上的点，不妨设x1＞0，∵0＜a＜1，∴y1＝log a（x1+1）＜0，∴点P（x1，y1）关于直线y＝x对称的对称点为P′（y1，x1），由y1＝log a（x1+1）得﹣1，∴点P′（y1，x1）符合f（x）＝a x﹣1，∴当0＜a＜1时，函数f（x）的图象关于直线y＝x对称，故②正确；当a＞1时，令f（x）＝x，若x≤0，则a x＝x+1，若x＞0，则log a（x+1）＝x化为a x＝x+1，设y＝a x，则y′＝a x lna，∴在点（0，1）处的切线的斜率为k＝lna，当a＝e时，直线y＝x+1与y＝a x相切，方程f（x）＝x根的个数为1，当a＞1，且a≠e时，直线y＝x+1与y＝a x相切，方程f（x）＝x根的个数是1，当a＞1，且a≠e时，直线y＝x+1与y＝a x相交，方程f（x）＝x根的个数为2，故③正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查分段函数的应用、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。