数学人教版九年级上册圆周角与圆心角的关系
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人教版数学九年级上册24.1.4：圆周角的概念和圆周角的定理(教案)
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
3.培养学生的数学抽象能力：让学生从具体的圆周角实例中抽象出一般性规律，理解圆周角与圆心角、弧和弦之间的关系，提升数学抽象思维。
4.培养学生的数学建模能力：通过解决与圆周角相关的问题，使学生能够建立数学模型，运用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角的概念：强调圆周角定义中“顶点在圆上，两边分别与圆相交”的特点，以及与圆心角的关系。
a.圆周角定理：圆周角等于其所对的圆心角的一半。
b.圆周角推论：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力：通过观察圆周角与圆心角的关系，使学生能够直观理解圆周角的概念及定理，提高空间想象力和几何直观感知。
2.发展学生的逻辑推理能力：在学习圆周角定理及其推论的过程中，引导学生运用严密的逻辑推理，掌握证明方法，增强解决问题的能力。
-掌握圆周角定理的证明：学生需要掌握如何运用严密的逻辑推理证明圆周角定理，并能够灵活运用。
-圆周角推论的应用：学生需学会将圆周角推论应用于解决实际问题，如求弧长、弦长等。
举例1：针对圆周角定义的难点，教师可通过以下步骤帮助学生理解：
a.展示不同类型的角，让学生辨别哪些是圆周角，哪些是圆心角。
b.通过动态演示，让学生观察圆周角与圆心角的变化关系，加深理解。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
3.培养学生的数学抽象能力：让学生从具体的圆周角实例中抽象出一般性规律，理解圆周角与圆心角、弧和弦之间的关系，提升数学抽象思维。
4.培养学生的数学建模能力：通过解决与圆周角相关的问题，使学生能够建立数学模型，运用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角的概念：强调圆周角定义中“顶点在圆上，两边分别与圆相交”的特点，以及与圆心角的关系。
a.圆周角定理：圆周角等于其所对的圆心角的一半。
b.圆周角推论：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力：通过观察圆周角与圆心角的关系，使学生能够直观理解圆周角的概念及定理，提高空间想象力和几何直观感知。
2.发展学生的逻辑推理能力：在学习圆周角定理及其推论的过程中，引导学生运用严密的逻辑推理，掌握证明方法，增强解决问题的能力。
-掌握圆周角定理的证明：学生需要掌握如何运用严密的逻辑推理证明圆周角定理，并能够灵活运用。
-圆周角推论的应用：学生需学会将圆周角推论应用于解决实际问题，如求弧长、弦长等。
举例1：针对圆周角定义的难点，教师可通过以下步骤帮助学生理解：
a.展示不同类型的角，让学生辨别哪些是圆周角，哪些是圆心角。
b.通过动态演示，让学生观察圆周角与圆心角的变化关系，加深理解。
九年级数学圆周角定理
是 225 度。
O A B
A O
3、如图，AB为⊙O的直径，BC的 度数为80°，则∠BOC= 80° ， ∠A= 40° 。
B
3
C
圆周角
• 在射门游戏中(如图),球 员射中球门的难易程度 与他所处的位置B对球门 AC的张角(∠ABC)有关.
A B
●
A
C
O
B
C
顶点在圆上，两边是弦的角
圆周角
练习： 1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
思考与巩固
⌒ ⌒ 1.如图,在⊙O中,劣弧AD的度数是50°，优弧BFC 的度数是190°，求∠BEC的度数。 A
D C E O B
F
拓展 化心动为行动
D B
●
A E
O C
C
●
O
B
A
(3) 1.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为 什么?
(2)
2.如图(3),BC是直径,你能确定∠A的度数吗?
如图，D是弧BC的中点， （1）找出与∠DBE相等的角； （2）找出与△DBE相似的三角形
B E D C A
象郁金香这样的鲜花两天左右就会凋谢。怎样能使鲜花保持的时间长一些呢？ 首先鲜花的根部要斜着剪口，这样吸水的部位大，能够更多地吸收水分； 其次，要每天剪去一些，保证能够更好的吸收水分； 还有，花的叶子不要泡在水里，这样叶子会烂掉，所以一定要把浸在水里的叶子摘掉； ； / 北京鲜花 jah42kbf 每天要换水。如果是夏天，为了保持水温不升高，还可以往花瓶里放几块冰；同时，花瓶里的水最好放满，这样不仅能使水的温度保持得长久些， 还可以增加花瓶底部的重量，保证花瓶的稳定性。 为了使鲜花开的时间长一些，还可以往花瓶里放少许啤酒，或者将两片阿司匹林研成末放进去。可延长鲜花的寿命。 在一般家庭常买的几种鲜花中，郁金香的寿命最短，康乃馨的寿命最长。如果你的主人是又想漂亮又比较节约的人，你就要少买郁金香，多买康 乃馨。尤其是夏天，郁金香很快就会枯萎。 还要注意一点，家庭中一般不要买菊花。因为菊花一般是用来上供的。 买几支绢花，与鲜花混合插入花瓶中，会使鲜花显得多而豪华。不同的绢花可与不同的鲜花相配反复使用。 娘？”“这还只是个姑娘哪！若是个小子，得喝龙奶了？”——就算今儿明着不说，回头，披着笑、搡了刀，还是要说出来的。她战战兢兢这么 多年，太过了解。这无非是一屋子鬼怪罢了。鬼怪还要维持颜面上的和蔼！格外累。二老爷也来了，作主给娃娃取个名字，不知为何觉得小人儿 像一条红通通的小鱼，便说先叫小鱼儿罢，是小名，等百日后再取个大名，好入宗谱。他给闺女也带了份礼物来，是黑珊瑚珠子镶的小金手钏， 贵重也算贵重，没什么特别的心思在里头，不过是下人替他准备的。尤五姨娘想想他追求她的那几个月，送的东西也不少了，金珠宝玉，也是下 人准备的吧？贵重、妥当，没有一丝真心。她当时年纪小，不懂事，看着那些东西，做得精致总是精致的，便把匠人的心当成了他的心。她娘， 懂事是懂事，太过世故了，把肯花钱就当作肯用心，说这男人可嫁。再给她一次选择机会的话，她是不会依他的。当时想要她的，又不止他一个 人！家里稍穷些也不妨，只要够吃够穿，肯亲手给她做个小礼物，哪怕柳条编的个小筐子、木头削的小狗呢？也是个心意。过一辈子，对方肯用 多少心意，真的是顶顶重要的。诸人或者还会越相处、越滋生出温情来，男人的温情，却只有越相处越往下磨灭的份儿。若连一开始都不为诸人 花力气，到后来，就更别提了。第九十一章 那夜笙蝶初相见（2）现在尤五姨娘算明白挑男人的道理了，可是晚了。她一生也就这样了。旁边好 心的婆子又捅捅尤五姨娘，看她没悟过来，在她耳边提醒道：“到饭点儿了！”是，是。尤五姨娘真不巧，把女儿生在饭点儿的时候。诸亲戚听 闻新生儿喜讯，是在开饭前，总不好意思先去饭厅吃饱喝足了、昏沉沉带着午后的困意过来，只好先着着事先准备了的礼盒，前来贺喜，可要耽 搁太久呢，饭点儿误得也太厉害了，人家心里要不痛快的！婆子因此提醒尤五姨娘。尤五姨娘醒悟过来了，连忙道了惶恐，请诸位爱惜身体，快 用饭去，反正十 生也生出来了，以后有的是时间疼爱。其实，尤五姨娘让不让，这些人都会走。说出来呢，对她自己有好处，大家觉得她懂事儿， 她活得会舒服一点点。——可已经活得这样了，舒服一点点，有什么用呢？尤五姨娘注意到明蕙和刘四姨娘没来，试着婉转的问人，人都劝她， 别管了。表 韩玉笙比从前和善得多，眼睛里有很多同情，也只是劝她：先别想这些了。——想都不能想。这样活着有什么意思！人都走了，乳娘 要把小鱼儿放下来，尤五姨娘斗胆提了个意见：“吃饱了吗？”“睡着啦！”乳娘回答，要把十 放进摇篮里。“放我身边吧。”尤五姨娘恳求， “行吗？”老太太、太太们并不太高兴姨娘生的小少爷、小 跟亲娘一块儿睡：小少爷、小 都是主子，得管
O A B
A O
3、如图，AB为⊙O的直径，BC的 度数为80°，则∠BOC= 80° ， ∠A= 40° 。
B
3
C
圆周角
• 在射门游戏中(如图),球 员射中球门的难易程度 与他所处的位置B对球门 AC的张角(∠ABC)有关.
A B
●
A
C
O
B
C
顶点在圆上，两边是弦的角
圆周角
练习： 1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
思考与巩固
⌒ ⌒ 1.如图,在⊙O中,劣弧AD的度数是50°，优弧BFC 的度数是190°，求∠BEC的度数。 A
D C E O B
F
拓展 化心动为行动
D B
●
A E
O C
C
●
O
B
A
(3) 1.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为 什么?
(2)
2.如图(3),BC是直径,你能确定∠A的度数吗?
如图，D是弧BC的中点， （1）找出与∠DBE相等的角； （2）找出与△DBE相似的三角形
B E D C A
象郁金香这样的鲜花两天左右就会凋谢。怎样能使鲜花保持的时间长一些呢？ 首先鲜花的根部要斜着剪口，这样吸水的部位大，能够更多地吸收水分； 其次，要每天剪去一些，保证能够更好的吸收水分； 还有，花的叶子不要泡在水里，这样叶子会烂掉，所以一定要把浸在水里的叶子摘掉； ； / 北京鲜花 jah42kbf 每天要换水。如果是夏天，为了保持水温不升高，还可以往花瓶里放几块冰；同时，花瓶里的水最好放满，这样不仅能使水的温度保持得长久些， 还可以增加花瓶底部的重量，保证花瓶的稳定性。 为了使鲜花开的时间长一些，还可以往花瓶里放少许啤酒，或者将两片阿司匹林研成末放进去。可延长鲜花的寿命。 在一般家庭常买的几种鲜花中，郁金香的寿命最短，康乃馨的寿命最长。如果你的主人是又想漂亮又比较节约的人，你就要少买郁金香，多买康 乃馨。尤其是夏天，郁金香很快就会枯萎。 还要注意一点，家庭中一般不要买菊花。因为菊花一般是用来上供的。 买几支绢花，与鲜花混合插入花瓶中，会使鲜花显得多而豪华。不同的绢花可与不同的鲜花相配反复使用。 娘？”“这还只是个姑娘哪！若是个小子，得喝龙奶了？”——就算今儿明着不说，回头，披着笑、搡了刀，还是要说出来的。她战战兢兢这么 多年，太过了解。这无非是一屋子鬼怪罢了。鬼怪还要维持颜面上的和蔼！格外累。二老爷也来了，作主给娃娃取个名字，不知为何觉得小人儿 像一条红通通的小鱼，便说先叫小鱼儿罢，是小名，等百日后再取个大名，好入宗谱。他给闺女也带了份礼物来，是黑珊瑚珠子镶的小金手钏， 贵重也算贵重，没什么特别的心思在里头，不过是下人替他准备的。尤五姨娘想想他追求她的那几个月，送的东西也不少了，金珠宝玉，也是下 人准备的吧？贵重、妥当，没有一丝真心。她当时年纪小，不懂事，看着那些东西，做得精致总是精致的，便把匠人的心当成了他的心。她娘， 懂事是懂事，太过世故了，把肯花钱就当作肯用心，说这男人可嫁。再给她一次选择机会的话，她是不会依他的。当时想要她的，又不止他一个 人！家里稍穷些也不妨，只要够吃够穿，肯亲手给她做个小礼物，哪怕柳条编的个小筐子、木头削的小狗呢？也是个心意。过一辈子，对方肯用 多少心意，真的是顶顶重要的。诸人或者还会越相处、越滋生出温情来，男人的温情，却只有越相处越往下磨灭的份儿。若连一开始都不为诸人 花力气，到后来，就更别提了。第九十一章 那夜笙蝶初相见（2）现在尤五姨娘算明白挑男人的道理了，可是晚了。她一生也就这样了。旁边好 心的婆子又捅捅尤五姨娘，看她没悟过来，在她耳边提醒道：“到饭点儿了！”是，是。尤五姨娘真不巧，把女儿生在饭点儿的时候。诸亲戚听 闻新生儿喜讯，是在开饭前，总不好意思先去饭厅吃饱喝足了、昏沉沉带着午后的困意过来，只好先着着事先准备了的礼盒，前来贺喜，可要耽 搁太久呢，饭点儿误得也太厉害了，人家心里要不痛快的！婆子因此提醒尤五姨娘。尤五姨娘醒悟过来了，连忙道了惶恐，请诸位爱惜身体，快 用饭去，反正十 生也生出来了，以后有的是时间疼爱。其实，尤五姨娘让不让，这些人都会走。说出来呢，对她自己有好处，大家觉得她懂事儿， 她活得会舒服一点点。——可已经活得这样了，舒服一点点，有什么用呢？尤五姨娘注意到明蕙和刘四姨娘没来，试着婉转的问人，人都劝她， 别管了。表 韩玉笙比从前和善得多，眼睛里有很多同情，也只是劝她：先别想这些了。——想都不能想。这样活着有什么意思！人都走了，乳娘 要把小鱼儿放下来，尤五姨娘斗胆提了个意见：“吃饱了吗？”“睡着啦！”乳娘回答，要把十 放进摇篮里。“放我身边吧。”尤五姨娘恳求， “行吗？”老太太、太太们并不太高兴姨娘生的小少爷、小 跟亲娘一块儿睡：小少爷、小 都是主子，得管
圆周角(课件)九年级数学上册(人教版)
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱCB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠BCD+∠B＝90°，
（2）解：∵AB⊥CD，
∴∠A＝∠BCD，
1
∵OA＝OC，
∴CE = 2 CD = 4，
∴∠A＝∠ACO
∴BC = BE 2 + CE 2 = 5．
∴∠ACO＝∠BCD；
例3.如图，已知AB为⊙ O的直径，C，D为⊙ O上两点，AD CD ，连接AC，
在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上，
并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上，
并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
1.理解圆周角的概念,会叙述并证明圆周角定理;
2.掌握圆内接四边形的性质;
3.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.(重
点)
4.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.(难点)
1.什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角, ∠AOD和∠BOD.
BC
BD
2.如图，在☉O中，若 AD = BD，则AD=_____,AC=_____,
A.14°
B.28°
C.42°
D.56°
5.如图，∠AOB=100°，若点C在☉O上，且点C不与A、B
重合，则∠ACB的度数为( B )
A.50°
B.50°或130°
C.130°
∴∠ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱCB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠BCD+∠B＝90°，
（2）解：∵AB⊥CD，
∴∠A＝∠BCD，
1
∵OA＝OC，
∴CE = 2 CD = 4，
∴∠A＝∠ACO
∴BC = BE 2 + CE 2 = 5．
∴∠ACO＝∠BCD；
例3.如图，已知AB为⊙ O的直径，C，D为⊙ O上两点，AD CD ，连接AC，
在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上，
并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上，
并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
1.理解圆周角的概念,会叙述并证明圆周角定理;
2.掌握圆内接四边形的性质;
3.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.(重
点)
4.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.(难点)
1.什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角, ∠AOD和∠BOD.
BC
BD
2.如图，在☉O中，若 AD = BD，则AD=_____,AC=_____,
A.14°
B.28°
C.42°
D.56°
5.如图，∠AOB=100°，若点C在☉O上，且点C不与A、B
重合，则∠ACB的度数为( B )
A.50°
B.50°或130°
C.130°
人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角》说课稿
这些互动方式能够促进学生的参与和合作，通过讨论和交流，学生能够更好地理解圆周角定理，同时也能够培养他们的团队合作能力和沟通能力。
四、教学过程设计
（一）导入新课
新课导入是激发学生兴趣和注意力的关键环节。我将采用以下方式导入新课：
1.利用故事导入：讲述一个与圆周角相关的趣味故事，如古代天文学家如何利用圆周角测量星体位置的故事，以此吸引学生的注意力。
2.过程与方法：
（1）通过观察、实践、讨论等方式，引导学生发现圆周角定理及其推论。
（2）运用几何画板等工具，直观展示圆周角定理及其推论的应用。
（3）引导学生运用类比、归纳等方法，探索圆周角定理及其推论与其他几何知识的关系。
3.情感态度与价值观：
（1）培养学生对圆周角定理及其推论的兴趣，激发学生探究几何知识的热情。
2.利用问题导入：提出一个与圆周角相关的问题，如“你们知道钟表的时针和分针在某个时刻形成的角度是多少吗？”让学生思考并尝试回答，激发他们的好奇心。
3.利用实物导入：展示一个圆形物体，如圆盘或自行车轮，让学生观察并讨论圆周角的形成，引导学生从生活实例中感知圆周角的概念。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将按照以下步骤逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
2.探索发现法：引导学生通过观察、猜想、验证的过程，自主发现圆周角定理，培养学生的探究能力和思维能力。
3.互动式教学：通过提问、讨论、小组合作等方式，激发学生的参与热情，促进学生对知识的理解和应用。
选择这些方法的理论依据是，情境教学能够将抽象的数学知识具体化，帮助学生建立起数学与实际生活的联系；探索发现法能够激发学生的内在动机，促进学生的主动学习；互动式教学能够增强学生的合作意识，提高学生的参与度和学习效果。
3.小组讨论：将学生分组，让他们合作解决一些较复杂的几何问题，通过讨论和交流，加深对圆周角定理的理解。
四、教学过程设计
（一）导入新课
新课导入是激发学生兴趣和注意力的关键环节。我将采用以下方式导入新课：
1.利用故事导入：讲述一个与圆周角相关的趣味故事，如古代天文学家如何利用圆周角测量星体位置的故事，以此吸引学生的注意力。
2.过程与方法：
（1）通过观察、实践、讨论等方式，引导学生发现圆周角定理及其推论。
（2）运用几何画板等工具，直观展示圆周角定理及其推论的应用。
（3）引导学生运用类比、归纳等方法，探索圆周角定理及其推论与其他几何知识的关系。
3.情感态度与价值观：
（1）培养学生对圆周角定理及其推论的兴趣，激发学生探究几何知识的热情。
2.利用问题导入：提出一个与圆周角相关的问题，如“你们知道钟表的时针和分针在某个时刻形成的角度是多少吗？”让学生思考并尝试回答，激发他们的好奇心。
3.利用实物导入：展示一个圆形物体，如圆盘或自行车轮，让学生观察并讨论圆周角的形成，引导学生从生活实例中感知圆周角的概念。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将按照以下步骤逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
2.探索发现法：引导学生通过观察、猜想、验证的过程，自主发现圆周角定理，培养学生的探究能力和思维能力。
3.互动式教学：通过提问、讨论、小组合作等方式，激发学生的参与热情，促进学生对知识的理解和应用。
选择这些方法的理论依据是，情境教学能够将抽象的数学知识具体化，帮助学生建立起数学与实际生活的联系；探索发现法能够激发学生的内在动机，促进学生的主动学习；互动式教学能够增强学生的合作意识，提高学生的参与度和学习效果。
3.小组讨论：将学生分组，让他们合作解决一些较复杂的几何问题，通过讨论和交流，加深对圆周角定理的理解。
人教版九年级上册数学圆周角定理及其推论课件
(6)如图③，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角 ∠BAC是锐角、直角还是钝角？ (7)如图④，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦 BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？
图③
图④
活动3 知识归纳
1．顶点在_圆__上_， 并且两边都与圆_相__交_的角叫做圆周 角． 2．在同圆或等圆中，_等__弧_或_等__弦_所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的_圆__心__角_的一半． 3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也_相__等_． 4．半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角_，90°的圆周角 所对的弦是_直__径_．
图②
(
2、探究
分别测量图11中AB所对的圆周角∠ACB和圆心角 ∠AOB的度数，它们之间有什么关系？
在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角 和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗 ？由此你能发现什么规律？
可以发现，同弧所对的圆周 角的度数等于这个这条弧所对的 圆心角的度数的一半。
提出问题： (1)经过测量，图24.1－11中的圆周角∠ACB和圆心角 ∠AOB之间有什么关系？ (2)任意作一个圆，任取一条弧，作出它所对的圆周角 与圆心角，测量它们的度数，你发现什么规律？ (3)一条弧所对的圆心角有几个？所对的圆周角有几个 ？ (4)改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有 没有变化？你发现了什么？ (5)如果把上述发现的结论中的“同弧”改为“等弧”，结 论还正确吗？
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝
1 2
AB＝5
cm.
∴BC＝ AB2－AC2＝ 102－52＝5 3(cm)．
练习
1．教材P88 练习第1，3，4题． 2．如图，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧上一 点，则圆周角∠BAC的度数为__5_0_°_．
圆心角与圆周角的关系证明
圆心角与圆周角的关系证明圆心角与圆周角的奇妙关系嘿，朋友们！你们知道吗？在我们的日常生活中，有这么一个有趣的数学问题一直困扰着我们——那就是“圆心角和圆周角的关系”。
今天，我就来给你们好好掰扯掰扯这个让人头疼的“小秘密”，保证让你豁然开朗，不再被这些几何术语绕晕。
咱们得明白什么是圆心角和圆周角。
简单来说，圆心角就是从一个点出发，经过圆的边缘，然后回到这个点的那条线段所夹的角。
而圆周角呢，则是从一个点出发，经过圆的边缘，然后再回到这个点的那条弧所对应的角度。
这两个概念听起来好像很绕，但其实它们之间的关系就像是一对“双胞胎”一样，总是相互缠绕、难以分离。
那么，圆心角和圆周角之间到底有什么关系呢？这个问题就像是在问：“我是谁？”或者“你从哪儿来？”一样，让人摸不着头脑。
不过别急，让我来给你画个图解。
想象一下，你站在一个圆的边缘上，眼睛盯着一个点，然后用手指轻轻划过圆的边缘。
你会发现，当你划过的这条线段越来越短的时候，它所夹的角就越来越大；而当这条线段越拉越长的时候，它所夹的角就越小。
这就是圆心角和圆周角之间的神奇联系。
现在，我们来做个小游戏吧！想象一下，你有一张圆形的纸片，然后在纸上剪下一个圆心角。
接着，你再在这个圆心角上剪下一个圆周角。
你会发现，这两个角是连在一起的，就像是一对难舍难分的好兄弟。
而且，无论你怎么调整这两个角的位置，它们总是保持着一种特殊的平衡关系。
这就像是我们的友情一样，虽然有时候会有争吵和矛盾，但最终还是会和好如初，继续携手前行。
说到这里，你是不是已经对圆心角和圆周角之间的关系有了更深的理解了呢？没错，它们就像是一对调皮捣蛋的小精灵，总喜欢捉迷藏、打转转。
但是只要我们用心去观察、去思考，就能发现它们之间隐藏的秘密。
好了，今天的分享就到这里啦！希望我的讲解能让你对圆心角和圆周角之间的关系有了更清晰的认识。
如果还有什么不明白的地方，欢迎随时来找我探讨哦！记得保持好奇心，一起探索这个世界的奥秘吧！。
部编人教版九年级数学上册 圆外角和圆内角精品优课ppt课件
面积？最大面积是多少？ （2）当∠PAC等于多少度时四边形PACB是梯
形？
P
O
A
B
C
D
圆内角与圆外角
A
P
P AD
0 B
B0
C
BPC BAC ACP m 1 (BC AD)
C
2
圆内角的度数等于它所夹的两条弧的度数的和
BPC BAC ACP m 1 (BC AD) 2
3, AC,BD相交于⊙O内一点，且 AB=760, DC=560 , ∠APB=_______
B
E
D A
O
P
C
D
A
C
B
3,（14山东泰安）如图，在⊙O中，∠AOB
的度数为m,C是∠ACB上一点，D,E是AB
弧上不同的两点（不与A,BБайду номын сангаас点重合），则
∠D+∠E的度数为（ ）
• A．m B．180 m
2
C．90 m D． m
2
2
C
A D
O B
E
4,（14青海西宁）10．如图， ⊙O中，弦DC,AB
的 延长线相交于点P，如果∠AOD=1200，
∠BDC=250，那么∠P=
．
P
C
D
B
O
A
5.如图AB是⊙O的直径，M是劣弧AC的中点，弦 AC与BM相交于点D，∠ABC=2∠A，
求证：AD=2DC。 M
圆内角和圆外角
（一）圆周角定理
①一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 一半.
②同弧所对的圆周角相等
（二）推论： ① 半圆或直径所对的圆周角是直角。 ②90°的圆周角所对的弦是圆的直径
形？
P
O
A
B
C
D
圆内角与圆外角
A
P
P AD
0 B
B0
C
BPC BAC ACP m 1 (BC AD)
C
2
圆内角的度数等于它所夹的两条弧的度数的和
BPC BAC ACP m 1 (BC AD) 2
3, AC,BD相交于⊙O内一点，且 AB=760, DC=560 , ∠APB=_______
B
E
D A
O
P
C
D
A
C
B
3,（14山东泰安）如图，在⊙O中，∠AOB
的度数为m,C是∠ACB上一点，D,E是AB
弧上不同的两点（不与A,BБайду номын сангаас点重合），则
∠D+∠E的度数为（ ）
• A．m B．180 m
2
C．90 m D． m
2
2
C
A D
O B
E
4,（14青海西宁）10．如图， ⊙O中，弦DC,AB
的 延长线相交于点P，如果∠AOD=1200，
∠BDC=250，那么∠P=
．
P
C
D
B
O
A
5.如图AB是⊙O的直径，M是劣弧AC的中点，弦 AC与BM相交于点D，∠ABC=2∠A，
求证：AD=2DC。 M
圆内角和圆外角
（一）圆周角定理
①一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 一半.
②同弧所对的圆周角相等
（二）推论： ① 半圆或直径所对的圆周角是直角。 ②90°的圆周角所对的弦是圆的直径
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT
(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
28
知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。
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探究圆周角与圆心角的关系
学生分组讨论: 在⊙O 内画同弧所对的圆周角和圆心角。
分别量一下一条弧所对的两个圆周角和圆心角的度数，比较一下，你能发现什么规律吗？
(各小组派小代表回答问题，教师归纳总结命题)
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。
教师根据学生的作图归纳圆心与圆周角的三种位置关系：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部．
根据这三种情况，我们分别探究圆周角与圆心角的关系？ （在教师引导下完成）
（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：
（演示图形）观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半。
（提出必须用严格的数学方法去证明）
已知如图所示，求证： 证明：∵OA=OC ∴∠A=∠C 又∠BOC=∠A ＋∠C ∴∠BOC=2∠A 即： （2）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系： 已知如图所示，求证：
BOC
A ∠=∠21BOC A ∠=∠2112BAC BOC ∴∠=∠
证明：作直径AD ，利用（1）的结果，有 （3）圆心在圆周角的外部时，圆周角与相应的圆心角的关系：（证明过程略，留给学生当做课后作业自己完成）
归纳总结：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
12BAD BOD
∠=∠12DAC DOC ∠=∠1()2BAD DAC BOD DOC ∴∠+∠=∠+∠12
BAC BOC ∴∠=∠。