2002我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷第一二试及详细答案

2002我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷

（第一试）

一．已知a,b,c 是三个两两不同的奇质数，方程2()(2250b c x a ++++=有两个相等的实数根。

（1）求a 的最小值；

（2）当a 达到最小时，解这个方程。

二．设AB,CD 为圆O 的两直径，过B 作PB 垂直AB ，并与CD 延长线相交于点P ，过P 作直线PE ，与圆分别交于E,F 两点，连AE,AF 分别与CD 交于G,H 两点（如图），求证：OG=OH.

三．已知a 1,a 2,…,a 2002的值都是+1或-1，设S 是这2002个数的两两乘积之和。

（1）求S 的最大值和最小值，并指出能达到最大值，最小值的条件；

（2）求S 的最小正值，并指出能达到最小正值的条件

2002我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）

一． 计算：20033-20013-6×20032+24×1001= 。

二．在△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点D ，如果∠A=27°，那么∠BDC= 。

三．已知0≤a-b ≤1,1≤a+b ≤4，那么当a-2b 达到最大值时，8a+2002b 的值等于 。

四．如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数。所有四合数的和等于 。

五．方程x-2|x+4|-27=0的所有根的和为 。

六．如果当m 取不等于0和1的任意实数时，抛物线21

2

3

m m y x x m m m --=+-在平面直角

坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为 。

七．方程321)30x x --++=的三个根分别是 。

八．在Rt △ABC 中，∠A=30°,∠A 的平分线的长为1cm ，那么△ABC 的面积为 。

九． 已知： 100%-=⨯商品出售价商品成本价

商品利润率商品成本价

某商人经营甲乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%，那么当售出的甲，乙两种商品的件数相等时，这个商人的总利润率是 。

十．设计一把直尺ABC ，BC 在地面上，AB 与地面垂直，并且AB=10cm ，

移动一个半径不小于10cm 的圆形轮子，使轮子紧靠A 点，且与BC 相

切于D点（如图）。设计要求在D处的刻度恰好显示这个轮子的半径（以厘米为单位）。那么，当BC的长度为1M时，BC上可标出的最大刻度是