“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题(含答案)
我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷
我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一．在锐角ΔABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足。
O为ΔABC的外心。
求证：（1）ΔAEF～ΔABC；（2）AO⊥EF。
二．给定代数式–x3+100x2+x中的字母x只允许在正整数范围内取值。
当这个代数式的值达到最大值时，x的值等于多少？并证明你的结论。
三．（1）证明存在非零整数对（x,y）, 使代数式11x2+5xy+37y2 的值为完全平方数；(2) 证明存在六个非零整数a1,b1,c1,a2,b2,c2,其中a1:a2≠b1:b2,使得对于任意自然数n, 当x=a1n2+b1n+c1,y=a2n2+b2n+c2时，代数式11x2+5xy+37y2的值都是完全平方数。
2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）一．=。
二．在长方形ABCD中，EF⊥AB，GH⊥AD，EF与GH相交于O，HC与EF相交于I。
已知AH:HB=m:n, ⊥COI的面积为1平方厘米，那么矩形ABCD的面积等于平方厘米。
三．将三个数：用两个不等号“>”连接起来，正确的结果应该是：。
四．点D，E分别在⊥ABC的边AC和BC上，⊥C为直角，DE⊥AB，且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的长等于。
五．知：x,y,z是正整数，并且满足那么，x-y+z 的值等于。
六．已知点D，E，F分别在⊥ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于。
七．如果满足x2-6x-16-10= a的实数x 恰有6个，那么实数a的值等于。
八．已知⊥ABC为等腰直角三角形，⊥C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么的值等于。
“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题(含答案)
我爱数学初中生夏令营数学竞赛说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.第一试1、已知当x 的值分别为2、m 1、m 2时,多项式ax 2+bx+c 的值分别为0、p 1、p 2.如果a>b>c,并且p 1p 2－cp 1+ap 2－ac=0,那么,能否保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数?证明你的结论.2、在△ABC 中,∠A=75°,∠B=35°,D 是边BC 上一点,BD=2CD. 求证:AD 2=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)写出四个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数(2)写出六个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数,说明你的计算方法.第二试1、若2 008=a n (－3)n +a n －1(－3)n －1+…+a 1(－3)+a 0(a i =0,±1,±2,i=0,1,…,n),则a n +a n －1+…+a 1+a 0= .2、能使关于x 的方程x 2－6x －2n =0(n ∈N+)有整数解的n 的值的个数等于 .3、如果函数y=b 的图像与函数y=x 2－3|x －1|－4x －3的图像恰有三个交点,则b 的可能值是 .4、已知a 为整数,关于x 的方程1||41224+-+x x x x +2－a=0有实数根.则a 的可能值是 . 5、如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和,就把这个数叫做“和谐数”.那么,在1,2,…,2 008中,和谐数的个数是 .6、已知某种型号的汽车每台的售价是23万元.某工厂在一年中生产这种汽车的总成本由固定成本和生产成本两部分组成.一年的固定成本为7000万元.在这一年中生产这种汽车x 辆时,生产每一辆车的生产成本为x3x-70万元(0<x<1 000).要使该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则至少需要生产这种汽车 辆. 7、若2008个数a 1,a 2,…,a 2008满足a 1=2,20081)12008(112++---n n n n a a a a =0,其中,n=2,3,…,2 008,那么,a 2008可能达到的最大值是.8、已知⊙O 与直线l 切于点M,⊙O 外一定点A 和⊙O 都在直线l 的同一侧.点A 到直线l 的距离大于⊙O 的直径,点B 在⊙O 上.过点A 作直线l 的垂线AN,过点B 作直线l 的平行线BC,直线AN 与BC 交于点C.则当点B 的位置在 时,ACAB 2的值达到最小.9、在底角等于80°的等腰△ABC 的两腰AB 、AC 上,分别取点D 、E,使得∠BDC=50°,∠BEC=40°.则∠ADE=10、从1, 2,…, 2 008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1 004个数中的任意两数之和都不等于2 009.则这1 004个数的平方和等于 . 参考公式:12+22+…+n 2=61n(n+1)(2n+1).参考答案第一试1、由已知得ax 2+bx+c=a(x －2)(x －c/2a), 且 4a+2b+c=0.又由a>b>c 得a>0,c<0,c/2a<0.因此,仅当c/2a≤x≤2时,该多项式的值不是正数. 由已知得(p 1+a)(p 2－c)=0. 则p 1+a=0或p 2－c=0. 解得p 1=－a<0或p 2=c<0.因此,存在i(i=1或2)使得p i <0,m i >c/2a.由已知得c=－4a －2b>－6a,则c/a>－6,c/2a>－3,m i +5>2.当x=mi+5时,该多项式的值是正数.因此,可以保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数. 2、由已知得∠C=70°.延长BC 至E,使AC=CE.联结AE.则∠CEA=∠CAE=21∠ACB=35°=∠ABC.故△CAE ∽△AEB.从而,AE 2=AC·BE,即AB 2=AC(AC+BC).①设F 是BD 的中点,联结AF.则CD=DF=FB.在△ACF 、△ADB 中,由中线的性质分别得 AC 2+AF 2=2CD 2+2AD 2,② AD 2+AB 2=2DF 2+2AF 2.③由式②、③得2AC2+AB 2=6CD 2+3AD 2.④ 将式①代入式④得3AC 2+AC·BC=6CD 2+3AD 2. 将BC=3CD 代入上式得AC 2+AC·CD=2CD 2+AD 2.故AD 2=AC 2+AC·CD －2CD 2=(AC+2CD)(AC －CD)=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)242、243、244、245是四个连续的正整数,242是112的倍数、243是32的倍数、 244是22的倍数、245是72的倍数.(2)2 348 124、2 348 125、2 348 126、2 348 127、2 348 128、2 348 129是六个连续的正整数,其中,2 348 124是22的倍数、2 348 125是52的倍数,2 348 126是112的倍数、2 348 127是32的倍数、2 348 128是22的倍数、2 348 129是72的倍数. 计算方法如下:记A=4×9×121×49k(k ∈N+). 由(1)可知,A+240是22的倍数, A+242是112的倍数, A+243是32的倍数, A+244是22的倍数, A+245是72的倍数. 设A+241是52的倍数. 则当k=11时,上式成立. 此时,A=2 347 884.A+240=2 348 124是22的倍数, A+241=2 348 125是52的倍数, A+242=2 348 126是112的倍数, A+243=2 348 127是32的倍数, A+244=2 348 128是22的倍数, A+245=2 348 129是72的倍数.第二试1、0或±4或±8.2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=0;2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－4;2 008=－(－3)7－(－3)6－2(－3)5－2(－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－8;2 008=2(－3)6－2(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=4;2 008=(－3)8+2(－3)7+(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时,a n +a n －1+…+a 0=8. 注意到将(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－2(－3)n , 将2(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－(－3)n , 将3(－3)n 变为(－1)(－3)n+1的时候, a n +a n －1+…+a 0的值都增加或减少4,并且当n>8时, a n +a n －1+…+a 0的绝对值不大于8.因此,a n +a n －1+…+a 0=0或±4或±8. 2、1.x=3±n 223+,其中, n223+是完全平方数.显然,n≥2.当n≥2时,可设2n +32=(2k+1)2(k ∈N+,k≥2), 即 2n －2=(k+2)(k －1).显见k －1=1,k=2,n=4.能使原方程有整数解的n 的值的个数等于1. 3、－6、－25/4.令y=x 2－3|x －1|－4x －3.则y=x 2－x －6=425)21(2--x ,x≤1; y=x 2－7x=449)27(2--x ,x>1.当x=1时,y=－6; 当x=12时,y=－25/4.由图像知,所求b 的可能值是－6、－25/4.4、0、1、2. 令y=1x |x |2+.则0≤y<1.由y 2－4y+2－a=0 (y －2)2=2+a 1<2+a≤4 －1<a≤2. 因此,a 的可能值是0、1、2. 5、2 007.注意到91=7×13.数字和为1的数不是91的倍数. 1 001,10 101,10 011 001,101 011 001, 100 110 011 001,1 010 110 011 001,… 都是91的倍数,而它们的数字和依次是2,3,4,5,6,7,….因此,在1,2,…,2 008中,能够表示成91的某个倍数的数字和的数的个数是2 007. 6、318.若该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则 23x －[7000+x xx370-]≥0x －x －300≥0 x ≥22011 1+ x≥234.6601+ x≥318. 因此,在一年中至少需要生产这种汽车318辆.7、2008 20062 .由已知得2008a a 1-n n =①或1-n n a 1a =②,1只能经过第①类变换或第②类变换变为an(n=2,3,…,2 008),从a1开始连续经过2 007次这样的变换变为a2 008. 连续两次第②类变换相互抵消,保持原数不变.连续三次变换依次是“第①类变换、第②类变换、第①类变换”时,其中两次第①类变换相互抵消,相当于只对原数进行了一次第②类变换.因此,对2的连续2 007次变换相当于对2连续进行m 次第①类变换或第②类变换,而且只有在第一次和最后一次变换中才可能是第②类变换.而对2连续2 007次变换:“前2 006次为第①类变换、最后一次为第②类变换”时,a 2008达到最大值2008 20062 .8、线段AM 内.设直线AB 与⊙O 的另一交点为D,不妨设点B 在点A 和D 之间.过点D 作直线AC 的垂线DE,垂足为E.则AB·AD=k(k 是一个不变的常数), △ABC ∽△ADE,AB/AC=AD/AE,AB 2/AC=AB·AD/AE=k/AE.当AE 达到最大值,即点B 的位置在线段AM 内时,AB 2/AC 的值达到最小. 9、50°.由已知∠BAC=20°,∠BCD=50°,故BC=BD,① ∠CBE=60°,∠ABE=20°.在CE 上取一点F 使∠CBF=20°,则∠EBF=40°,BF=FE,② ∠DBF=60°,∠BFC=80°,BC=BF.③由式①、③得BD=BF,知△BDF 是正三角形.于是,BF=DF.④ 由式②、④得DF=FE,知△DFE 是等腰三角形.又∠BFD=60°,知∠DFE=40°.从而,∠FED=70°,∠ADE=50°. 10、1 351 373 940.将1,2,…,2 008分成1 004组: {1,2 008},{2,2 007},…,{1 004,1 005}.由题设,各组中恰取出一个数.将2,4,…,2 008中的1 004,1 006,1 008,1 010分别换成同一组的1 005,1003,1001,999,其余各数不变,就是所选出的符合题目要求的1 004个数.2+4+…+2 008－(1 004+1 006+1 008+1 010)+(1 005+1 003+1 001+999) =1 009 020－(－1+3+7+11)=1 009 000,22+42+…+2 0082－(1 0042+1 0062+1 0082+1 0102)+(1 0052+1 0032+1 0012+9992) =4(12+22+…+1 0042)－2 009(－1+3+7+11) =2/3×1 004×1 005×2 009－2 009×20 =2 008×335×2 009－40 180=1 351 373 940. 答案与选法无关.。
我爱数学少年夏令营数学竞赛试卷
我爱数学少年夏令营数学竞赛试卷1．由三个非零数字组成的三位数与这三个数字之和的商记为k，假如k为整数，那么k的最大值是____。
2．下式是通过四舍五入得到的一个等式：其中每一个△代表一个数字，那么这三个△所代表的三个数字分别是_ ___。
余下废料是总量的____。
4．如下左图中给出6×6＝36个点，请一笔画出一条折线，使得这条折线通过36个给定点中的每点至少一次，而且组成这条折线的直线段的条数最少。
那么你所画出的折线中直线段的条数是___。
5．如下右图中所有不同的三角形的个数是______。
6．甲、乙二人从周长250米的环形跑道上一点p同时、同向动身沿着次在点p相遇所用去的时刻是____分钟。
7．在下面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，每个△代表一个数字，当算式成立时，乘积是____。
8．五个连续偶数之和为完全平方数，中间三个偶数之和为完全立方数（即一个整数的三次方）。
那么如此一组数中的最大数的最小值是____。
9．一张8×8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。
能否适当涂色，使得每个3×4（不论横竖）的12个方格中都恰有4个红格和8个蓝格？假如能行，请在下面的表格中画出来？10．甲、乙、丙三堆石子共196块，先从甲堆分给另外两堆，使得后两堆石子数增加一倍；再把乙堆照样分配一次；最后把丙堆也照样分配一次。
_____。
11．在右图中，ae∶ec=1∶2，cd∶db=1∶4，bf∶fa＝1∶3，△abc的面积s＝1，那么四边形afhg的面积safhg=______。
12．兄弟二人骑自行车同时动身从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小哥哥比弟弟早到20分钟。
那么甲、乙两地的距离是____千米。
运算竞赛试题（1）202－192＋182－172＋…＋22-12=_____。
（2）（112233-112.233）÷（224466-224.466）=_____。
2004我爱数学初中生夏令营数学竞赛(第二试)
2004我爱数学初中生夏令营数学竞赛（第二试）1、若⎩⎨⎧=--=+-0340337c b a c b a 则ab c b a 222-+=____________。
2、能使关于x 的方程012211112＝-++++-+-+x a x x x x x 只有一个实数根的所有a 的值的总和等于______________。
3、要使方程0)1(2)4(24＝m x m x -+-+恰有一个不小于2的实根，那么，m 的取值范围是_______。
4、在平面直角坐标系中，所有满足方程||||||2004||||y x y x --=+的点(x ，y)所围成的图形的面积为___________。
5、已知y x y y x 523-＝。
那么，当81242-+-y x 达到最大值时，=-y x 3322___________。
6、已知x x nx y 1001010100--+=其中n 为正整数。
要使0＜y≤300对于满足0＜x≤l6的所有x 都成立，那么，n=___________。
7、设PQ 是边长为1的正△ABC 的外接圆内的一条弦。
已知AB 和AC 的中点都在PQ 上。
那么，PQ 的长等于___________。
8、在Rt△ABC 中，AB=3，BC=4，∠B=90°，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条内角平分线。
那么，△DEF 的面积等于___________。
9．在△ABC 中，AB=6，BC=5，AC=4，AD 是它一条内角平分线，AD 的垂直平分线EF 与AD 相交于E ，与BC 的延长线相交于F 。
那么，AF=___________。
10、如图，A 、B 两地相距600km ，过A 地的一条铁路AD 笔直地沿东西方向向两边延伸，B 到AD 的最短距离为360km 。
今计划在铁路线AD 上修一个中转站C ，再在BC 间修一条笔直的公路。
如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么，为使通过铁路由A 到C 再通过公路由C 到B 的总运费达到最小值，中转站C 的位置应使AC=___________km 。
2004年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题(含答案)
2004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题第一试1．求所有能使9992002n n 为正整数的正整数n ．2．已知BE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，求证∠ABE 的平分线、∠ACF 的平分线与线段 EF 的垂直平分线相交于一点．3．在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标；(1)直线y=－2x+3通过这样的点；(2)不论m 取何值，抛物线y=mx 2+(m －32)－(2m －83)都不通过这样的点．第二试1.若⎩⎨⎧=--=+-0340337c b a c b a ，则ab c b a 222-+= ． 2．能使关于x 的方程012211112=-++++-+-+x a x x x x x 只有一个实数根的所有a 的值的总和等于 ．3．要使方程x 4+(m －4)x 2+2(1－m)=O 恰有一个不小于2的实根，那么m 的取值范围是 ．4．在平面直角坐标系中，所有满足方程|x|+|y|=2004一||x|－|y||的点(x,y)所围成的图形的面积为 ．5．已知yx y y x 523-=，那么当－4x 2+12y －8达到最大值时，22x －33y= ． 6．已知y=100+10nx －10x －100x ，其中n 为正整数．要使0<y≤300对于满足0<x≤16的所有x都成立，那么n= ．7．设PO是边长为1的正△ABC的外接圆内的一条弦。
已知AB和AC的中点都在PQ上．那么，PQ 的长等于．8．在Rt△A BC中，AB=3，BC=4，∠B=9 O°，A D、BE、CF是△ABC的三条内角平分线．那么,△DEF 的面积等于．9．在△ABC中，AB=6，BC=5，AC=4，AP是它一条内角平分线，AP的垂直平分线EF与A P相交于点E，与BC的延长线相交于点F．那么AF= ．10．如图，A、B两地相距600km,过A地的一条铁路AD笔直地沿东西方向向两边延伸．点B到A D 的最短距离为3 6 0km．今计划在铁路线AD上修一个中转站C，再在BC间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么，为使通过铁路由A到C再通过公路由C到B的总运费达到最小值，中转站C的位置应使AC= km.参考答案第一试1．设9992002n n =k ，k 为正整数．则n 2－200kn+999k=0．①设方程①有正整数根n1，且另一根为n2 由韦达定理有n1+n2=200k 。
数学竞赛试卷(初赛、决赛及答案)
2．下面五个图形中，有一个不是正方体的展开图：那么“不是的”图形的编号是 。
3．将60分成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是 。
4．34减去一个分数，513一个分数，两次计算结果相等，那么这个相等的结果是 。
5．右面残缺算式中已知三个“4”，那么补全后它的乘积是 。
6．有A 、B 两个整数，A 的各位数字之和为35，B 的各位数字之和为26，两数相加时进位三次，那么A+B 的各位数字之和是 。
7．苹果和梨各有若干只，如果5只苹果和3只梨装一袋，还多4只苹果，梨恰好装完；如果7只苹果和3只梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12只，那么苹果和梨共有______只。
8．甲班51人，乙班49人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分，乙班的平均成绩要比甲班平均成绩高7分，那么乙班的平均成绩是______分。
9．在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是 。
10．高中学生的人数是初中学生的56，高中毕业生的人数是初中毕业生的1217，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人，那么高、初中毕业生共有 人。
11．如图，一个长方形的纸盒内，放着九个正方形的纸片，其中正方形A 和B 的边长分别为4和7，那么长方形(纸盒)的面积是 。
12．甲、乙两地相距100千米，张先骑摩托车从甲出发，1小时后李驾驶汽车从甲出发，两人同时到达乙地。
摩托车开始速度是50千米／d,时，中途减速为40千米／小时。
汽车速度是80千米／小时。
汽车曾在途中停驶10分钟，那么张驾驶的摩托车减速时在他出发后的_________小时。
。
3．下面五个图形中，有一个不是正方体的展开图：那么“不是的”图形的编号是_________。
4．34减去一个分数，513一个分数，两次计算结果相等，那么这个相等的结果是 。
5．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，…，⑩＝9×10×11，…如果，那么方框代表的数是________。
2005我爱数学初中生夏令营数学竞赛
故p=-2k,q=1.由命题中(3)Ζ(1)得a n+2-2ka n+1+a n=0.①结合a0=0,a1=1,并应用数学归纳法知,数列{a n}的每一项都是整数.由式①得2k|a n+2Ζ2k|a n.而2k|a0,应用数学归纳法可得2k|a2n,n=0,1,….顺便指出,在解题时,可不直接应用命题中结论,而只要按命题的证明步骤进行推导即可.竞赛之窗2005我爱数学初中生夏令营数学竞赛第一试1.已知(1)a>0;(2)当-1≤x≤1时,满足|ax2+bx+c|≤1;(3)当-1≤x≤1时,ax+b有最大值2.求常数a、b、c.2.在△ABC中,已知I为内心,O为外心,AB=5,BC=6,C A=4.求证:OI⊥CI.3.在9×9的方格表中,共有81个小方格.在每一个小方格中,写上一个数.如果只要每行、每列至多有三个不同的数,就能保证在方格表中存在一个数,这个数在某一行中至少出现n次,n次,那么,n的最大值是多少?并证明你的结论.第二试1.已知(2x+z)2(x+y)(-2y+z)=8.则2x+4y-z+6=.2.若2x2+7xy-15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积,其中a、b 为实数,那么,a+b的最小值是.3.已知n是正整数,1+1n2+1(n+1)2是一个有理式A的平方.那么,A=.4.某计算机用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要软件至少买3片,磁盘至少买2盒.则不同的选购方式共有种.5.已知方程6x2+2(m-13)x+12-m=0恰有一个正整数解.则整数m的值为.6.在边长为1的正方形ABCD中,点M、N、O、P分别在边AB、BC、CD、DA上.如果AM=BM,DP=3A P,则MN+NO+OP的最小值是.7.已知O为△ABC的外心,AD为BC上的高,∠C AB=66°,∠ABC=44°.那么,∠OAD=.8.代数式9x2+4+9x2-12xy+4y2+1+4y2-16y+20达到最小值时,x、y的值分别为.9.如果2006个整数a1,a2,…,a2006满足下列条件:a1=0,|a2|=|a1+2|,|a3|=|a2+2|,……,|a2006|=|a2005+2|,52 2006年第4期那么,a 1+a 2+…+a 2005的最小值是.10.一栋房子的造价由地上部分费用与基础部分费用组成.一栋面积为N m 2的房子的地上部分费用与N N 成正比,基础部分费用与N 成正比.已知一栋3600m 2的房子的造价中的地上部分费用是基础部分费用的72%.那么,要建造若干栋相同的住房,使总面积为80000m 2的总造价最小,则每栋住房的面积的平方米数应是.参考答案第一试 1.由(1)知y =ax 2+bx +c 为开口向上的抛物线,由(1)、(3)知a +b =2.①由(2)知|a +b +c |≤1,②|c |≤1.③由①、②知|2+c |≤1.④由③、④得c =-1.故x =0时,y =ax 2+bx +c 达到最小值.因此,-b2a=0,b =0.由①得a =2.故f (x )=2x 2-1.图12.如图1,延长CI交AB 于F ,联结AI ,有B F AF =64=32,①B F +AF =5.②由式①、②知AF =2.设M 为边AC 的中点,则AM =2.所以,AM =AF.故∠AFM =∠AMF =90°-12∠BAC ,∠MFC =∠AFC -∠AFM=180°-∠BAC -12∠ACB-90°-12∠BAC =12∠ABC.易知,∠IMF =∠MFC.因此,∠MIC =∠ABC.再设N 为BC 的中点,则∠MNC =∠ABC =∠MIC.故点M 、I 、N 、C 在同一个圆上.又因为点M 、O 、N 、C 在同一个圆上,所以,点M 、I 、O 、C 在同一个圆上.因为OM ⊥MC ,所以,OI ⊥CI.3.如果将9×9的方格表分成9个3×3的方格表,在同一个3×3的方格表的每一个小方格中都写上相同的数,任意两个不同的3×3的方格表上的数都不同,那么,每行、每列恰有三个不同的数.因此,所求的n 的最大值不大于3.下面证明:只要每行、每列至多有三个不同的数,就能保证在方格表中存在一个数,这个数在某一行中至少出现3次,在某一列中也至少出现3次.当某一行中某个数出现的次数不小于3时,就在这一行中这个数所在的小方格打上符号①.由于每行至多有三个不同的数,则在同一行中至多有四个小方格没有打上符号①,至少有五个小方格打上了符号①.因此,整个表中至少有5×9个小方格打上了符号①.同样地,当某一列中某个数出现的次数不小于3时,就在这一列中这个数所在的小方格打上符号②.同理,整个表中至少有5×9个小方格打上了符号②.由于5×9+5×9>9×9,因此,至少有一个小方格既被打上了符号①,又被打上了符号②.显然,在这一小方格中写的数,在这一小方格所在的行中至少出现3次,在这一小方格所在的列中也至少出现3次.综上所述,所求的n 的最大值为3.第二试1.提示:(2x +4y -z )2=0,2x +4y -z +6=6.2.提示:若原式=(x +5y )(2x -3y )+ax +by +3,则(a ,b )=(-5,-12),(5,12),(-7,4),(7,-4).故(a +b )min =-17.62中等数学3.提示:原式=1+1n -1n +12.则A =±n 2+n +1n 2+n.4.先买3片软件和2盒磁盘,余下的180元若不买软件,则可再买磁盘0盒、1盒或2盒;若再买1片软件,则可再买磁盘0盒或1盒;若再买2片软件,则不可能再买磁盘;若再买3片软件,也不可能再买磁盘.共有7种选购方式.5.由于Δ=4(m -13)2-24(12-m )是一个完全平方数,因此,存在非负整数y ,使得(m -13)2-6(12-m )=y 2,即 (m -10-y )(m -10+y )=3.又因为m -10-y ≤m -10+y ,所以,m -10-y =1,m -10+y =3或m -10-y =-3,m -10+y =-1.解得m =12或m =8.若m =12,则原方程无正整数解,矛盾.若m =8,则由原方程解得x =1或x =23.符合题意.故所求的m =8.图26.如图2,有MN +NO +OP=MN +NO 1+O 1P 2≥MP 2,且当点N 、O 1都在线段MP 2上时,上式等号成立.则MP 2=M A 21+A 1P 22=322+742=854.7.如图3,有∠OAD =90°-∠AEF=90°-(∠ABC +∠CB F )=90°-∠C AD -∠ABC =∠ACB -∠ABC =180°-2∠ABC -∠C AB =26°.图3图48.如图4,有原式=[0-(-2)]2+(3x -0)2+(1-0)2+(2y -3x )2+(3-1)2+(4-2y )2=AB +BC +CD ≥AD ,其中A (-2,0)、B (0,3x )、C (1,2y )、D (3,4),并且当点B 、C 在线段AD 上时,原式达到最小值.当原式达到最小值时,有3x 2=45,解得x =815;2y 3=45,解得y =65.9.a 21=0,a 22=a 21+4a 1+4,……,a 22006=a 22005+4a 2005+4.以上各式相加得4(a 1+a 2+…+a 2005)+4×2005=a 22006≥0,a 1+a 2+…+a 2005≥-2005.由已知a 1,a 2,…,a 2005都是偶数,因此,a 1+a 2+…+a 2005≥-2004.另一方面,当a 1=a 3=…=a 2005=0,a 2=a 4=…=a 2004=-2时,符合已知条件,并且使上式等号成立.故所求的最小值是-2004.10.设每栋住房的面积的平方米数应是y ,共建造了x 栋相同的住房,总造价为S.则xy =80000,S =(αy y +βy )・x ,α・36003600β3600=72100,其中α、β为比例常数.于是,有S =α・8000080000x+5000α80000x・x=500080000α16x +x≥106×2α×216x・x=106×82α.由于上式等号成立,因此,16x=x.故x =16,y =5000.(夏兴国 提供)722006年第4期。
2002我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷及答案
2002我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一．已知a,b,c是三个两两不同的奇质数，方程2++++=有两个相等的实数b c x a()(2250根。
（1）求a的最小值；（2）当a达到最小时，解这个方程。
二．设AB,CD为圆O的两直径，过B作PB垂直AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线PE，与圆分别交于E,F两点，连AE,AF分别与CD交于G,H两点（如图），求证：OG=OH.三．已知a1,a2,…,a2002的值都是+1或-1，设S是这2002个数的两两乘积之和。
（1）求S的最大值和最小值，并指出能达到最大值，最小值的条件；（2）求S的最小正值，并指出能达到最小正值的条件（第二试）一． 计算：20033-20013-6×20032+24×1001= 。
二．在△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点D ，如果∠A=27°，那么∠BDC= 。
三．已知0≤a-b ≤1,1≤a+b ≤4，那么当a-2b 达到最大值时，8a+2002b 的值等于 。
四．如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数。
所有四合数的和等于 。
五．方程x-2|x+4|-27=0的所有根的和为 。
六．如果当m 取不等于0和1的任意实数时，抛物线2123m m y x x mmm--=+-在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为 。
七．方程321)30x x --++=的三个根分别是 。
八．在Rt △ABC 中，∠A=30°,∠A 的平分线的长为1cm ，那么△ABC 的面积为 。
九． 已知： 100%-=⨯商品出售价商品成本价商品利润率商品成本价某商人经营甲乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%，那么当售出的甲，乙两种商品的件数相等时，这个商人的总利润率是 。
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我爱数学初中生夏令营数学竞赛说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.第一试1、已知当x 的值分别为2、m 1、m 2时,多项式ax 2+bx+c 的值分别为0、p 1、p 2.如果a>b>c,并且p 1p 2－cp 1+ap 2－ac=0,那么,能否保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数?证明你的结论.2、在△ABC 中,∠A=75°,∠B=35°,D 是边BC 上一点,BD=2CD. 求证:AD 2=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)写出四个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数(2)写出六个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数,说明你的计算方法.第二试1、若2 008=a n (－3)n +a n －1(－3)n －1+…+a 1(－3)+a 0(a i =0,±1,±2,i=0,1,…,n),则a n +a n －1+…+a 1+a 0= .2、能使关于x 的方程x 2－6x －2n =0(n ∈N+)有整数解的n 的值的个数等于 .3、如果函数y=b 的图像与函数y=x 2－3|x －1|－4x －3的图像恰有三个交点,则b 的可能值是 .4、已知a 为整数,关于x 的方程1||41224+-+x x x x +2－a=0有实数根.则a 的可能值是 . 5、如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和,就把这个数叫做“和谐数”.那么,在1,2,…,2 008中,和谐数的个数是 .6、已知某种型号的汽车每台的售价是23万元.某工厂在一年中生产这种汽车的总成本由固定成本和生产成本两部分组成.一年的固定成本为7000万元.在这一年中生产这种汽车x 辆时,生产每一辆车的生产成本为x3x-70万元(0<x<1 000).要使该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则至少需要生产这种汽车 辆. 7、若2008个数a 1,a 2,…,a 2008满足a 1=2,20081)12008(112++---n n n n a a a a =0,其中,n=2,3,…,2 008,那么,a 2008可能达到的最大值是.8、已知⊙O 与直线l 切于点M,⊙O 外一定点A 和⊙O 都在直线l 的同一侧.点A 到直线l 的距离大于⊙O 的直径,点B 在⊙O 上.过点A 作直线l 的垂线AN,过点B 作直线l 的平行线BC,直线AN 与BC 交于点C.则当点B 的位置在 时,ACAB 2的值达到最小.9、在底角等于80°的等腰△ABC 的两腰AB 、AC 上,分别取点D 、E,使得∠BDC=50°,∠BEC=40°.则∠ADE=10、从1, 2,…, 2 008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1 004个数中的任意两数之和都不等于2 009.则这1 004个数的平方和等于 . 参考公式:12+22+…+n 2=61n(n+1)(2n+1).参考答案第一试1、由已知得ax 2+bx+c=a(x －2)(x －c/2a), 且 4a+2b+c=0.又由a>b>c 得a>0,c<0,c/2a<0.因此,仅当c/2a≤x≤2时,该多项式的值不是正数. 由已知得(p 1+a)(p 2－c)=0. 则p 1+a=0或p 2－c=0. 解得p 1=－a<0或p 2=c<0.因此,存在i(i=1或2)使得p i <0,m i >c/2a.由已知得c=－4a －2b>－6a,则c/a>－6,c/2a>－3,m i +5>2.当x=mi+5时,该多项式的值是正数.因此,可以保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数. 2、由已知得∠C=70°.延长BC 至E,使AC=CE.联结AE.则∠CEA=∠CAE=21∠ACB=35°=∠ABC.故△CAE ∽△AEB.从而,AE 2=AC·BE,即AB 2=AC(AC+BC).①设F 是BD 的中点,联结AF.则CD=DF=FB.在△ACF 、△ADB 中,由中线的性质分别得 AC 2+AF 2=2CD 2+2AD 2,② AD 2+AB 2=2DF 2+2AF 2.③由式②、③得2AC2+AB 2=6CD 2+3AD 2.④ 将式①代入式④得3AC 2+AC·BC=6CD 2+3AD 2. 将BC=3CD 代入上式得AC 2+AC·CD=2CD 2+AD 2.故AD 2=AC 2+AC·CD －2CD 2=(AC+2CD)(AC －CD)=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)242、243、244、245是四个连续的正整数,242是112的倍数、243是32的倍数、 244是22的倍数、245是72的倍数.(2)2 348 124、2 348 125、2 348 126、2 348 127、2 348 128、2 348 129是六个连续的正整数,其中,2 348 124是22的倍数、2 348 125是52的倍数,2 348 126是112的倍数、2 348 127是32的倍数、2 348 128是22的倍数、2 348 129是72的倍数. 计算方法如下:记A=4×9×121×49k(k ∈N+). 由(1)可知,A+240是22的倍数, A+242是112的倍数, A+243是32的倍数, A+244是22的倍数, A+245是72的倍数. 设A+241是52的倍数. 则当k=11时,上式成立. 此时,A=2 347 884.A+240=2 348 124是22的倍数, A+241=2 348 125是52的倍数, A+242=2 348 126是112的倍数, A+243=2 348 127是32的倍数, A+244=2 348 128是22的倍数, A+245=2 348 129是72的倍数.第二试1、0或±4或±8.2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=0;2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－4;2 008=－(－3)7－(－3)6－2(－3)5－2(－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－8;2 008=2(－3)6－2(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=4;2 008=(－3)8+2(－3)7+(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时,a n +a n －1+…+a 0=8. 注意到将(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－2(－3)n , 将2(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－(－3)n , 将3(－3)n 变为(－1)(－3)n+1的时候, a n +a n －1+…+a 0的值都增加或减少4,并且当n>8时, a n +a n －1+…+a 0的绝对值不大于8.因此,a n +a n －1+…+a 0=0或±4或±8. 2、1.x=3±n 223+,其中, n223+是完全平方数.显然,n≥2.当n≥2时,可设2n +32=(2k+1)2(k ∈N+,k≥2), 即 2n －2=(k+2)(k －1).显见k －1=1,k=2,n=4.能使原方程有整数解的n 的值的个数等于1. 3、－6、－25/4.令y=x 2－3|x －1|－4x －3.则y=x 2－x －6=425)21(2--x ,x≤1; y=x 2－7x=449)27(2--x ,x>1.当x=1时,y=－6; 当x=12时,y=－25/4.由图像知,所求b 的可能值是－6、－25/4.4、0、1、2. 令y=1x |x |2+.则0≤y<1.由y 2－4y+2－a=0 (y －2)2=2+a 1<2+a≤4 －1<a≤2. 因此,a 的可能值是0、1、2. 5、2 007.注意到91=7×13.数字和为1的数不是91的倍数. 1 001,10 101,10 011 001,101 011 001, 100 110 011 001,1 010 110 011 001,… 都是91的倍数,而它们的数字和依次是2,3,4,5,6,7,….因此,在1,2,…,2 008中,能够表示成91的某个倍数的数字和的数的个数是2 007. 6、318.若该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则 23x －[7000+x xx370-]≥0x －x －300≥0 x ≥22011 1+ x≥234.6601+ x≥318. 因此,在一年中至少需要生产这种汽车318辆.7、2008 20062 .由已知得2008a a 1-n n =①或1-n n a 1a =②,1只能经过第①类变换或第②类变换变为an(n=2,3,…,2 008),从a1开。