“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题(含答案)

我爱数学初中生夏令营数学竞赛

说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.

第一试

1、已知当x 的值分别为

2、m 1、m 2时,多项式ax 2+bx+c 的值分别为0、p 1、p 2.如果a>b>c,并且p 1p 2

－cp 1+ap 2－ac=0,那么,能否保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数?证明你的结论.

2、在△ABC 中,∠A=75°,∠B=35°,D 是边BC 上一点,BD=2CD. 求证:AD 2

=(AC+BD)(AC －CD).

3、(1)写出四个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数

(2)写出六个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数,说明你的计算方法.

第二试

1、若2 008=a n (－3)n +a n －1(－3)n －

1+…+a 1(－3)+a 0(a i =0,±1,±2,i=0,1,…,n),

则a n +a n －1+…+a 1+a 0= .

2、能使关于x 的方程x 2－6x －2n =0(n ∈N+)有整数解的n 的值的个数等于 .

3、如果函数y=b 的图像与函数y=x 2－3|x －1|－4x －3的图像恰有三个交点,则b 的可能值是 .

4、已知a 为整数,关于x 的方程1

||41224+-

+x x x x +2－a=0有实数根.则a 的可能值是 . 5、如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和,就把这个数叫做“和谐数”.那么,在1,2,…,2 008中,

和谐数的个数是 .

6、已知某种型号的汽车每台的售价是23万元.某工厂在一年中生产这种汽车的总成本由固定成本和生产成本两部分组成.一年的固定成本为7000万元.在这一年中生产这种汽车x 辆时,生产每一辆车的生产成本为

x

3x

-70万元(0

本,则至少需要生产这种汽车 辆. 7、若2008个数a 1,a 2,…,a 2008满足a 1=2,2008

1

)12008(

112

++---n n n n a a a a =0,其中,n=2,3,…,2 008,那么,a 2

008可能达到的最大值是

.

8、已知⊙O 与直线l 切于点M,⊙O 外一定点A 和⊙O 都在直线l 的同一侧.点A 到直线l 的距离大于⊙O 的直径,点B 在⊙O 上.过点A 作直线l 的垂线AN,过点B 作直线l 的平行线BC,直线AN 与

BC 交于点C.则当点B 的位置在 时,AC

AB 2

的值达到最小.

9、在底角等于80°的等腰△ABC 的两腰AB 、AC 上,分别取点D 、E,使得∠BDC=50°,∠BEC=40°.则∠ADE=

10、从1, 2,…, 2 008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1 004个数中的任意两数之和都不等于2 009.则这1 004个数的平方和等于 . 参考公式:12+22+…+n 2=

6

1

n(n+1)(2n+1).

参考答案

第一试

1、由已知得ax 2

+bx+c=a(x －2)(x －c/2a), 且 4a+2b+c=0.

又由a>b>c 得a>0,c<0,c/2a<0.

因此,仅当c/2a≤x≤2时,该多项式的值不是正数. 由已知得(p 1+a)(p 2－c)=0. 则p 1+a=0或p 2－c=0. 解得p 1=－a<0或p 2=c<0.

因此,存在i(i=1或2)使得p i <0,m i >c/2a.

由已知得c=－4a －2b>－6a,则c/a>－6,c/2a>－3,m i +5>2.

当x=mi+5时,该多项式的值是正数.因此,可以保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数. 2、由已知得∠C=70°.

延长BC 至E,使AC=CE.联结AE.则∠CEA=∠CAE=2

1

∠ACB=35°=∠ABC.

故△CAE ∽△AEB.

从而,AE 2=AC·BE,即AB 2=AC(AC+BC).①

设F 是BD 的中点,联结AF.则CD=DF=FB.在△ACF 、△ADB 中,由中线的性质分别得 AC 2+AF 2=2CD 2+2AD 2,② AD 2+AB 2=2DF 2+2AF 2.③

由式②、③得2AC2+AB 2=6CD 2+3AD 2.④ 将式①代入式④得3AC 2+AC·BC=6CD 2+3AD 2. 将BC=3CD 代入上式得AC 2+AC·CD=2CD 2+AD 2.

故AD 2=AC 2+AC·CD －2CD 2=(AC+2CD)(AC －CD)=(AC+BD)(AC －CD).

3、(1)242、243、24

4、245是四个连续的正整数,242是112的倍数、243是32的倍数、 244是22的倍数、245是72的倍数.

(2)2 348 124、2 348 125、2 348 126、2 348 127、2 348 128、2 348 129是六个连续的正整数,其中,2 348 124是22的倍数、2 348 125是52的倍数,2 348 126是112的倍数、2 348 127是32的倍数、2 348 128是22的倍数、2 348 129是72的倍数. 计算方法如下:

记A=4×9×121×49k(k ∈N+). 由(1)可知,

A+240是22的倍数, A+242是112的倍数, A+243是32的倍数, A+244是22的倍数, A+245是72的倍数. 设A+241是52的倍数. 则当k=11时,上式成立. 此时,A=2 347 884.

A+240=2 348 124是22的倍数, A+241=2 348 125是52的倍数, A+242=2 348 126是112的倍数, A+243=2 348 127是32的倍数, A+244=2 348 128是22的倍数, A+245=2 348 129是72的倍数.

第二试

1、0或±4或±8.

2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=0;

2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－4;

2 008=－(－3)7－(－3)6－2(－3)5－2(－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－8;

2 008=2(－3)6－2(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2

+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=4;

2 008=(－3)8+2(－3)7+(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时,a n +a n －1+…+a 0=8. 注意到

将(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－2(－3)n , 将2(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－(－3)n , 将3(－3)n 变为(－1)(－3)n+1

的时候, a n +a n －1+…+a 0的值都增加或减少4,并且当n>8时, a n +a n －1+…+a 0的绝对值不大于8.因此,a n +a n －1+…+a 0=0或±4或±8. 2、1.

x=3±n 223+,其中, n

2

23+是完全平方数.显然,n≥2.

当n≥2时,可设2n +32=(2k+1)2(k ∈N+,k≥2), 即 2n －

2=(k+2)(k －1).

显见k －1=1,k=2,n=4.

能使原方程有整数解的n 的值的个数等于1. 3、－6、－25/4.

令y=x 2

－3|x －1|－4x －3.则

y=x 2－x －6=4

25

)2

1(2

-

-x ,x≤1; y=x 2－7x=4

49

)27(2--x ,x>1.

当x=1时,y=－6; 当x=12时,y=－25/4.

由图像知,所求b 的可能值是－6、－25/4.

4、0、1、2. 令y=

1

x |x |2

+.则0≤y<1.由

y 2－4y+2－a=0 (y －2)2=2+a 1<2+a≤4 －1

注意到91=7×13.

数字和为1的数不是91的倍数. 1 001,10 101,10 011 001,101 011 001, 100 110 011 001,1 010 110 011 001,… 都是91的倍数,而它们的数字和依次是2,3,

4,5,6,7,….因此,在1,2,…,2 008中,能够表示成91的某个倍数的数字和的数的个数是2 007. 6、318.

若该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则 23x －[7000+

x x

x

370-]≥0

x －x －300≥0 x ≥

2

201

1 1+ x≥

2

34.6

601+ x≥318. 因此,在一年中至少需要生产这种汽车318辆.

7、2

008 20062 .

由已知得2008a a 1

-n n =

①或1

-n n a 1a =②,

1只能经过第①类变换或第②类变换变为an(n=2,3,…,2 008),从a1开