初中数学竞赛模拟题(6)
初中数学竞赛模拟试题六(含解答)
初中数学竞赛模拟试题六一、选择题1．已知a 1，a 2，…，a 1998，a 1999均为正数，又有M=（a 1+a 2+a 3+…+a 1998）（a 2+a 3+…+a 1999），N=（a 1+a 2+a 3+…+a 1999）（a 2+a 3+…+a 1998），则M 与N 的大小关系是（ ）． A ．M=N B ．M<N C ．M>N D ．关系不确定2．若a 4+3a 2=b 2-3b=1，且a 2b ≠1，则6331a b b+的值为（ ） A ．36 B ．35 C ．-36 D ．-353．为了给一本书的各页标出页码，在计算机排版录入时，•录入员需击打数字键3645次，这本书的页数是（ ）A ．1 187B ．1 188C ．1 189D ．非上述答案4．设方程x+1x =1 999的两根为a ，b ，则代数式a （311b b--）的值是（ ）A ．1 998B ．1 999C ．2 000D ．2 0015．已知函数y=ax 2+bx+c 的图像的一部分如图1的所示，则a+b+c 的取值范围是（ ）A ．-2<a+b+c<0B ．-2<a+b+c<2C ．0<a+b+c<2D ．a+b+c<2 6．已知）A ．11<A 3-B 3=12<A 3+B 3<13 B ．11<A 3-B 3<12<A 3+B 3<13C ．12<A 3-B 3=13<A 3+B 3<14D ．12<A 3-B 3<13<A 3+B 3<14 二、填空题 7．若方程3x x -+3x x -+2(3)x a x x --=0只有一个实数，则a 的值为_________．8．如图2，正三角形ABC 的边长为2a ，分别以A 、B 、C 为圆心，为半径作圆，三条圆弧相交成阴影部分，则这阴影部分的面积为_________．9．已知a 、b 、c 是三个非负实数，且满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，则S=3a+b-7c •的最大值与最小值分别是_________．10．如图3，在梯形ABCD 中，CE 是∠BCD 的平分线，且CE ⊥AD ，DE=2AE ，CE 把梯形成分面积为S 1和S 2两部分，若S 1=1，则S 2=_______． 11．函数的最大值或最小值是__________．12．有一人利用休假在四个城市a 、b 、c 、d 旅游．他今天在这个城市，•明天又到另一个城市，请问这人从a 城出发5天后又回到a 城的不同旅游路线有________条． 三、解答题13．已知ab ≠1且5a 2+787 643 150a+7=0，7b 2+787 643 150b+5=0，求a b． 14．如图4，已知A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6是半径为1的⊙O 的内接正方形，P 是与216A A A 及半径OA 2、OA 6相切的圆的圆心，⊙P 交半径OA 1于B ．在半径OA 3上取一点Q ，使OQ=PA 1，以Q •为圆心以OA 3为半径作一圆，该圆交⊙P 于C 、E 两点，其中C 与A 2在OA 1•的同一侧，•试证四边形OPCQ 是平行四边形，并求 123A A A 、 3A C 、 1CBA 所围成区域的面积．15．一艘船A停泊在距海岸2km处的海面上，沿海岸有一座B城，距离岸上离船最近的C点3km．一位船员因事要到B城去，已知他步行每小时走5km，划船每小时行3km，•问此船员最快几小时到达B城？答案: 一、1．C ． 解：设a 2+a 3+…+a 1998=x ，则M=（a 1+x ）（x+a 1999）=a 1x+x 2+a 1a 1999+xa 1999， N=（a 1+x+a 1999）x=a 1x+x 2+a 1999x ， 所以M-N=a 1a 1999>0，M>N ． 2．C ．解：因为a 4+3a 2=1，所以a 4=1-3a 2，a 6=a 2-3a 4=a 2-3（1-3a 2）=10a 2-3，a 2=32-±，又因为a 2≥0，所以取a 2=32-+． 因为b 2-3b=1，所以b 2=3b+1，b 3=3b 2+b=3（3b+1）+b=10b+3，．又因为a 2b ≠1，所以取． 则有6331a b b+=a 6+31b =10a 2-3+1103b +=-36． 3．B ．解：1～9页，共需9个数字．10～99页，共需2×90=180个数字．100～999页，共需3×900=2 700个数字．这样1～999页共需9+180+2 700=2 889个数字． 3 645-2 889=756（个）， 756÷4=189（页）． 4．C ．解：由x+1x=1 999，得x 2-1 999x+1=0， 由韦达定理得a+b=1 999，ab=1，所以 a （311b b--）=a （1+b+b 2）=a+ab+ab 2=a+1+b=2 000．5．C ．解：由所给图形知20,1,0,0,240,4a b c c a b a ac b a ⎧⎪⎪-+=⎪⎪=⎪<⎨⎪⎪->⎪⎪->⎪⎩ 即20,0,1,1,40,a b c a b ac b ⎧<⎪>⎪⎪=⎨⎪-=-⎪⎪->⎩故1,01,1,a b b c -<<⎧⎪<<⎨⎪=⎩所以0<a+b+c<2．6．B ．解：显然A>B ．因为（A-B ）2=A 2+B 2-2AB=2，（A+B ）2=A 2+B 2+2AB=10， 所以又因为A 3-B 3=（A-B ）（A 2+B 2+AB ）A 3+B 3=（A+B ）（A 2+B 2-AB ）而11<8××15=12， 12<4××3.2<13，所以11<A 3-B 3<12<A 3+B 3<13． 故选B ． 二、7．解：将方程去分母整理得 2x 2-4x+9-a=0， ①原分式方程只有一个实根的可能有： 方程①有相等的实根，但非0与3． 即△=0，得a=7， 相应方程的根为x=1．方程①有两个不等实根，其中一根为0，另一根不是3． 即应有9-a=0，a=9，另一根为x=2．方程①有两个不等实根，其中一根是3，另一根不是0． 即应有2×9-4×3+9-a=0，a=15，另一根是x=-1．综上所述，a 的值等于7、9、15．8．解：如图，连结BP 、CP ，易知△BPC 是等腰直角三角形． 设曲边三角形PQR 的面积为S ． 曲边四边形DERQ 的面积为S 1， 曲边四边形BDQF 的面积为S 2．则有S+S 1=2S 扇形BEP -S △BPC =14π）2-12）2=（2π-1）a 2， ①S+3S 1+3S 2=S △ABC =2， ②S+2S 1+S 2=S 扇形BEG =16π）2=3πa 2， ③ 解①、②、③ 得S=12（π）a 2．9．-111和-57（提示：由题意得730,7110,a c b c =-≥⎧⎨=-≥⎩所以37≤c ≤711，S=3（7c-3）+（7-11c ）-7c=3c-2，故S 的最小值为-57，最大值为-111）10．78（提示：延长CB 和DA 相交于F ）11． 12．60（提示：采用树形计数法进行分析） 三、13．解：令m=787 643 150 则有 5a 2+ma+7=0， ① 7b 2+mb+5=0， ② 因为ab ≠1，所以a ≠1b，b ≠0．由②有5（1b ）2+m （1b）+7=0， ③ 由①、③知a 、1b （a ≠1b ）是方程5x 2+mx+7=0的两个不同的根，则有a ·1b =75，即a b =75．14．解：连结PC 、CQ ．因为PA 1=PC ，PA 1=OQ ．所以PC=OQ ，又因为OP=OA 1-PA 1=OA 3-OQ=QA 3=QC ． 所以四边形OPCQ 是平行四边形．已知⊙O 的半径为1，设⊙P 的半径为r ，则OP=1-r ， 又∠POA 2=∠POA 6=60°． 设⊙P 切OA 6于D ．连结PD ，可得OP=PD/sin60°，r ，所以．从而OP=QA 3=1-（） 又因为∠A 1PC=∠A 1OA 3=120°．所以S 扇形PA1DC =23π（）2，S 扇形OA1A3=13π，S 扇形QCA3=13π（4-22，SQOPC 设所求区域面积为S ，则 S=S 扇形OA1A3-S 扇形QCA3-S+S QOPC +S扇形PA1DC=13（π -3（15．提示：设DC=xkm ，则步行的时间是35x -，划船的时间是3．总时间+35x-， ①将①化简得．②设k=15t-9，代入②得，两边平方化简得16x2-6kx+100-k2=0．因x为实数，故△=36k2-6 400+64k2≥0从而得k≥8，即15t-9≥8，t≥1715，故t的最小值是1715，所以船员最快1715h．即1小时8分钟到达B城．。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333...（循环）B. 根号2C. 1/3D. 4答案：B2. 一个等腰三角形的底边长为6，高为4，其周长是多少？A. 16B. 18C. 20D. 22答案：C3. 一个数的平方等于16，这个数是多少？A. 4B. -4C. 4或-4D. 以上都不是答案：C4. 以下哪个方程的解是x=2？A. x^2 - 4 = 0B. x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 - 5x + 6 = 0D. x^2 - x - 6 = 0答案：B5. 一个圆的直径为10，其面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，其斜边长为________。
答案：52. 如果一个数的立方等于-8，那么这个数是________。
答案：-23. 一个数的绝对值是5，这个数可能是________或________。
答案：5 或 -54. 一个圆的周长是2πr，如果周长是12π，那么半径r是________。
答案：65. 如果一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ=b^2-4ac小于0，那么这个方程的解是________。
答案：无实数解三、解答题（每题10分，共20分）1. 已知一个二次函数y=ax^2+bx+c，其中a=1，b=-3，c=2，求这个函数的顶点坐标。
答案：顶点坐标为(3/2, -1/4)。
2. 一个长方形的长是宽的两倍，如果周长是24，求长方形的长和宽。
答案：长为8，宽为4。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
答案：略2. 证明平行四边形的对角线互相平分。
答案：略。
初中数学竞赛模拟题50题含答案
初中数学竞赛模拟题50题含答案一、单选题1．下列说法正确的是（ ） A ．正有理数和负有理数统称有理数 B ．正整数和负整数统称整数 C ．整数和分数统称有理数D ．一个有理数不是正数就是负数2．在一年的某月里，周五、周六出现的天数比周日多，周一、周二、周三、周四出现的天数不超过周日，则该月份一定不是（ ） A ．三月B ．四月C ．六月D ．十一月3．当m 为自然数时，2(45)9m +-一定能被下列哪个数整除（ ） A ．5B ．6C ．7D ．84．定义运算()()()()()()12211221a a a a b a b a b b b b --⨯⋅⋅⋅⨯-+-+*=--⨯⋅⋅⋅⨯⨯，则107*=（ ）A ．720B ．120C ．240D ．805．已知()123123,,x x x x x x <<为关于x 的方程323(2)0x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．一个盒子中有红球m 个、白球10个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么,m n 的关系是（ ）． A ．10m n +=B ．5m n +=C ．10m n ==D ．2,3m n ==7．已知x ，y 为整数，且满足224411112113x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y +的可能的值有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若223894613M x xy y x y =-+-++（,x y 是实数），则M 的值一定是（ ）． A ．正数 B ．负数C ．零D ．整数9．若34567201520162017201820195N++++++++=，则N =（ ）A ．2015B ．2016C ．2017D ．201810．如图，在ABC 中，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，过点D 分别作DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ．连接EF 交线段CD 于点O ，若CO =CD =EO FO ⋅的值为（ ）．A ．B ．4C ．D ．611．锐角ABC 中，BC 边的中垂线和ABC ∠的角平分线相交于点P ．若72A ∠=︒，24ACP ，则ABP ∠=（ ）A ．24︒B ．28︒C ．30︒D ．36︒12．如果21x x --是31ax bx ++的一个因式，则b 的值是（ ）． A ．2-B ．1-C ．0D ．213．满足等式22(2)1m m m ---=的所有实数m 的和为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．614．点D 、E 、F 分别在ABC 的三边BC 、AB 、AC 上，且AD 、BF 、CE 相交于一点M ，若5AB AC BE CF+=，则AMMD =（ ） A ．72B ．3C ．52D ．215．矩形ABCD 中，5AD =，10AB =，E 、F 分别为矩形外的两点，4BE DF ==，3AF CE ==，则EF =（ ）A ．B ．15CD ．16．已知实数a ，b 满足()()330a b --≥2 ） A ．0B ．1C ．2D ．317．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成，如图为生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）．A ．120,180,60︒︒︒B ．108,144,108︒︒︒C ．90,180,90︒︒︒D ．72,216,720︒︒︒18．从正整数里取出k 个不同的数，使得这k 个数中任意两个数之差的绝对值是质数，则k 的最大值是（ ）． A ．3B ．4C ．5D ．619．若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均为整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个． A ．1B ．6C ．4D ．无数多二、填空题20．把7串葡萄放在6个盘子里，总有一个盘子里至少要放( )串葡萄． 21．如图，已知直角三角形ABC ，90A ∠=，4AB ＝cm ，5BC ＝cm ．将ABC 沿AC 方向平移1.5cm 得到A B C '''，求四边形BCC B ''的面积为________2cm ．22．若正整数n 有6个正约数（包括1和本身），称其为“好数”，则不超过50的好数有______个．23．已知ABC 的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =AM =__________．24．若a ，b ，c ，d 均为素数，且满足2a b d +=，32b c d -=，则d 的最小值是________．25．在一张冬景照片上，人们分别戴着帽子、系着围巾和戴着手套．只戴帽子的人数等于只系围巾和只戴手套的人数之和；只有4人没有戴帽子；戴着帽子和系着围巾，但没有戴手套的有5人；只戴帽子的人数两倍于只系围巾者；未戴手套有8人，未系围巾有7人；三样东西都用的人数比只戴帽子的人数多一个．那么： （1）有______人同时用上了帽子、围巾和手套； （2）有______人只戴了手套； （3）有______人只系了围巾；（4）有______人既戴了帽子，又戴了手套，但没有系围巾； （5）有______人戴着手套．26．若n n =______． 27．设x =a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则333a b ab ++=__________ ．28．军训基地购买苹果慰问学员．已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba ．那么，苹果的总数用十进位制表示为________． 29．方程1433x y+=有_________组正整数解． 30．已知函数(1)1kx k y ++=（k 为正整数）的图象与两坐标轴围成的图形面积为(1,2,,2000)k S k =⋅⋅⋅，则122000S S S ++⋅⋅⋅+=_______．31．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB ＝AC ＝5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG ＝FG 时，线段DE 长为______32．从1到2001连续的2001个自然数按某种顺序排列，然后每连续三项计算和数，得到1999个和，则这些和数中为奇数的个数最多是_________． 33．计算：239912232421002+⨯+⨯+⨯++⨯=________．（结果可用2的幂表示）34．如图所示，点A C 、都在函数0)y x =>的图象上，点B D 、都在x 轴上，且使得OAB ,BCD △都是等边三角形，则点D 的坐标是_______．35．已知正整数n 大于30，且使得41n -整除2002n ，则n 等于_______． 36．射线AB 绕点A 逆时针旋转a ︒，射线BA 绕点B 顺时针旋转b ︒，090a ︒︒＜＜，090b ︒︒＜＜，旋转后的两条射线交点为C ，如果将逆时针方向旋转记为“+”，顺时针方向旋转记为“-”，则称()a b -，为点C 关于线段AB 的“双角坐标”，如图1，已知ABC ∆，点C 关于线段AB 的“双角坐标”为(5060)-，，点C 关于线段BA 的“双角坐标”为(6050)-，．如图2，直线:AB y =x 轴、y 轴于点A 、B ，若点D 关于线段AB 的“双角坐标”为()m n -，，y 轴上一点E 关于线段AB 的“双角坐标”为()n m -，，AE 与BD 交点为F ，若ADE ∆与ADF ∆相似，则点F 在该平面直角坐标系内的坐标是________．37．如图，在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BC =，60BAC ∠=︒，若=5AB ，=2AD ，则线段AC 的长为______．38．某演艺公司将观赏厅分为上、中、下三大区位，同一区位包含若干个座位数相同的桌位（不同区位的单个桌位所含座位数不一定相同）．演艺公司对近三天的的上座情况进行统计发现，三天中每个区位坐有观众的桌位均刚好坐满．第一天上、中、下区的坐有观众的桌位数之比为3:2:1，中区的观众数占入场观众数的14，上座率为35；第二天上、中、下区的坐有观众的桌位数之比为1:1:2，上区的观众数占入场观众数的25，上座率为34；第三天上区的观众数与第二天上区的观众数相同，中区的观众数是第一天的中区的观众数的13，下区的观众数是当天上区和中区观众数的总和．则第三天的上座率为______．（上座率=入场观众数全场总座位数）三、解答题39．如图，在菱形ABCD 中，3AB =，60DBA ∠=︒，E 为线段BD 延长线的动点，连接AE 、CE ，AE 交CD 延长线于点F ．(1)求证：AE CE =； (2)若1DF =．①求点E 到CD 的距离； ①求EFED的值． 40．设,a b 是实数且422223a b a b =+，求22222010a b a b -+的值． 41．几何计算中，常利用面积法（等积法）构造方程来求线段的长，请利用这种面积法（等积法）解决下列两个问题：(1)如图①，ABC 中，13AB =，5AC =，=12BC ，求AB 边上的高；(2)在一张正方形纸张的四个角剪去四个相同的小正方形，得到如图①所示的图形，再将它分割成三块拼成如图①所示的长方形，已知m n 、满足：22818970m m n n -+-+=，求拼成新长方形的长m 、宽n 的值及被剪去的小正方形的边长．42．求证：若3|(4)x y -，则229472|()x xy y +-． 43．两位数ab 能整除十位数字为零的三位数0a b ，求ab ．44．如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，ABC 和CDE 都是等腰直角三角形，AB AC =，DE DC =．（1）证明：//AD BC ；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果30ACE ∠=︒，求DPPE． 45．从1，2，3，…，50这50个正整数中任取n 个数，在这n 个数中总能找到3个数，它们两两互质．求n 的最小值．46．已知m ，n 都是正整数，若130m n ≤≤≤，且mn 能被21整除，求满足条件的数对(,)m n 的个数．47．证明数列49，4489，444889，4448889，…的每一项都是一个完全平方数. 48．在元旦晚会上，学校组织了一次关于语文、数学、外语、奥运及日常生活常识的知识竞赛，设定每科满分为40分，以下依次为30分、20分、10分和0分，共5个评分等级，每个小组分别回答这五个方面的问题．现将A 、B 、C 、D 、E 五个小组的部分得分列表1如下： 表1表1中，（1）每一竖行的得分均不相同（包括单科和总分）；（2）C组有4个单科得分相同．求B、C、D、E组的总分并填表进行检验．参考答案：1．C【分析】根据有理数的含义和分类方法，逐一判断即可． 【详解】解：A 、正有理数、负有理数和0统称有理数， ∴选项A 不正确，不符合题意；B 、正整数与负整数、0统称为整数， ∴选项B 不正确，不符合题意；C 、整数和分数统称有理数 ∴选项C 正确，符合题意；D 、一个有理数不是正数，可能是负数或0， ∴选项D 不正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了有理数的含义和分类方法，解题的关键是要熟练掌握有理数的分类：①有理数可以分为正有理数，0，负有理数；正有理数可以分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数；①有理数可以分为整数和分数；整数分为正整数，0负整数；分数分为正分数和负分数；按两种分类一一判断即可． 2．A【详解】每个月的后28天，周一至周日出现的天数相同，因此在这28天之外只能出现周五和周六，故这个月有30天 3．D【分析】多项式利用平方差公式分解因式，变形后即可作出判断． 【详解】解：2(45)9m +-[][](45)3(45)3m m =+-++ (42)(48)m m =++ 8(21)(2)m m =++①无论m 为任何自然数，2(45)9m +-始终能被8整除， 故选：D ．【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 4．B【解析】略 5．A【详解】方程即()2(1)20x x x a --+=，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是21x =，132x x +=，故()()222112331311441x x x x x x x x x -++=+-++()()31131241215x x x x x =-++=++=．6．A【详解】盒中共有10m n ++个球，取得的是白球的概率是10m np m n +=++，取得的不是白球的概率为10m n p m n '+=++．依题意有101010m nm n m n +=++++，所以10m n +=．故应选A ．7．C【详解】由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=-⋅，显然x ，y 均不为0，所以0x y +=或()32xy x y =-．若()32xy x y =-，则()()32324x y +-=-．又x ，y 为整数，可求得12x y =-⎧⎨=⎩或2,1x y =-⎧⎨=⎩．所以1x y +=或1x y +=- 因此，x y +的可能的值有3个．【点睛】本题考查了等式的性质，分式的化简，解决此题的关键是熟练运用x 、y 是整数这个条件． 8．A 【详解】因为22222222(44)(44)(69)2(2)(2)(3)0M x xy y x x y y x y x y =-++-++++=--++≥+，并且2,2,3x y x y --+不能同时等于零，所以0M >．故选A ．9．C 【解析】略 10．B【分析】由题意易得出90DEC DFC ∠=∠=︒，即说明点C ，E ，D ，F 四点共圆，得出DEO FCO ∠=∠，从而易证DOE FOC ∽，得出EO DOCO FO=．由题意可求出DO CD CO =-4EO FO CO DO ⋅=⋅=．【详解】解：①DE AC ⊥，DF BC ⊥， ①90DEC DFC ∠=∠=︒， ①点C ，E ，D ，F 四点共圆，①DEF FCD ∠=∠，即DEO FCO ∠=∠． 又①DOE FOC ∠=∠， ①DOE FOC ∽， ①EO DOCO FO=， ①EO FO CO DO ⋅=⋅．①CO =CD = ①DO CD CO =-=①4EO FO CO DO ⋅=⋅==． 故选B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆的知识，圆周角定理．确定点C ，E ，D ，F 四点共圆，从而可得出证明DOE FOC ∽的条件是解题关键． 11．B【详解】①直线BP 为ABC ∠的角平分线，①ABP CBP ∠=∠．①直线PM 为BC 的中垂线，①BP CP =，①CBP BCP ∠=∠，①ABP CBP BCP ∠=∠=∠． 在ABC 中，三内角之和为180︒，①3180ABP A ACP ∠+∠+∠=︒， 即37224180ABP ∠++=°°°，解得28ABP ∠=°． 12．D【详解】（解法一）依题意可设32321(1)()()()ax bx x x ax c ax c a x a c x c ++=--+=+--+-，比较系数得(),0,1,b a c c a c =-+⎧⎪-=⎨⎪-=⎩所以1,2c a b ==-=．故选D ．（解法二）依题意21x x --是3221(1)()1ax bx ax x x ax b a x ++---=+++的因式， 所以1111a b a +==--， 解得1,2a b =-=．故选D ．（解法三）用长除法可得321(1)()(2)(1)ax bx x x ax a a b x a ++=--+++++，所以20,10,a b a +=⎧⎨+=⎩得1,2a b =-=．故选D ．13．A【详解】当21m -=即1m =时，满足所给等式；当21m -=-即3m =时，224(2)(1)1m m m ---=-=，满足所给等式；当21m -≠±即1m ≠且3m ≠时，由已知等式可得：220m m --=且20m -≠，解得1m =-． 因此，满足等式22(2)1m m m ---=的所有实数m 的和为()1313++-=．14．B【详解】设AM t MD =，由题设可得AMC DMC BMC BMC S tS AE EB S S ==△△△△，AMB BMD BMC BMC S tS AF FC S S ==△△△△，所以22DMC BMD BMC BMCtS tS AB AC AE AFBE CF EB FC S S ∆∆+=++=++△△ ()222DMC BMD BMC BMC BMCt S S tSt S S +=+=+=+△△△△△，又已知5AB AC BE CF +=，所以25t +=，所以3t =，即3AM MD=． 15．C【详解】易知90AFD BEC ∠=∠=︒，BEC DFA ≅△△，①DAF BCE ∠=∠. 延长FA ，EB 交于点G .①90GAB DAF ADF ∠=︒-∠=∠，90GBA CBE BCE DAF ∠=︒-∠=∠=∠， ①BGA AFD △△，且90AGB ∠=︒，①8AG =，6BG =， ①11GF =，10GE =，①EF ==16．B【详解】因为40b -≥，30b ->，所以3a ≥1，所以令3a =，8b =，得到最小值为1． 17．B【详解】解 设分配生产甲、乙、丙3种元件的人数分别为x 人，y 人，z 人，于是每小时生产甲、乙、丙三种元件的个数分别为50,30,20x y z ．为了提高效率应使生产出来的元件全部组成成品而没有剩余．设共可组成k 件成品，则503020504020x y zk ===，即4,,3x k y k z k ===，从而4::1::13:4:33x y z ==．设在扇形图中生产甲、乙、丙三种元件的圆心角分别为,,αβγ，则3336036036010834310x x y z α=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++，4436036036014434310y x y z β=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++，3336036036010834310z x y z γ=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++．故应选B ． 18．B【详解】解法一 首先4个数1，3，6，8满足题目要求，故所求k 的最大值4≥． 若5k ≥，记第n 个数为(1,2,,)n a n k =，且12 k a a a <<<，则分下列几种情形：（1）1a 为奇，2a 为奇，于是21a a -为偶数． 又21a a -为质数，故212a a -=，即212a a =+．若3a 为奇数，又32a a ≠，故31a a -为不等于2的偶数，即31a a -为不小于4的偶数，即31a a -为合数，矛盾．故3 a 为偶数，4a 也只能为偶数．那么，若5a 为奇，则51312a a a a ->-≥为偶数，即51a a -为不小于4的偶数，从而51a a -为合数，矛盾．若5a 为偶数，则53432a a a a ->-≥为偶数，从而53a a -为合数，矛盾． （2）1a 为奇，2a 为偶，于是21a a -为奇数，即213a a -≥． 若3a 为奇数，则31213a a a a ->-≥为偶数，故31a a -为合数，矛盾． 所以3a 为偶数，且322a a -=．若4a 为奇数，则41313a a a a ->-≥为不小于4的偶数，即41a a -为合数，矛盾． 若4a 为偶数，则42322a a a a -->=为不小于4的偶数，即42a a -为合数，矛盾． （3）1a 为偶，2a 为奇或偶，都类似于（1），（2）可导致矛盾． 综上得所求k 的最大值是4，故选B ．解法二 同解法一得4k ≥．若5k ≥，则将全体正整数分为4个不相交的子集1M ，2M ，3M ，4M ，其中i M 由全体被4除余i 的正整数组成(0,1,2,3)i =于是任取5k ≥个数，其中必有2个数a ，b （a b >）属于同一个子集i M ，于是a b -被4整除，a b -不是质数，矛盾．故所求k 的最大值等于4． 19．C【详解】选C ．理由：设12a =，c 为斜边，则有222144c b a -==． 因为4214423=⨯，所以， ()()722c b c b +-=⨯； ()()364c b c b +-=⨯； ()()188c b c b +-=⨯； ()()169c b c b +-=⨯； ()()483c b c b +-=⨯； ()()246c b c b +-=⨯．又因为c b +与c b -同奇偶，故符合题意条件的直角三角形有以下四个： 12.5.13;a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩12.9.15;a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩12,16,20;a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩12.35.37.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩20．2【分析】把6个盘子看作6个抽屉，7串葡萄看作7个元素，从最不利的情况考虑，每个抽屉先放一个，共需要6个，余下这一个无论放在哪个抽屉里，总有一个至少有1+1=2（个），据此解答． 【详解】解：761÷=（串）1（串）， 1+1=2（串），①总有一个盘子里至少要放2串葡萄． 故答案为：2．【点睛】本题考查了抽屉原理，解决本题的关键是掌握抽屉原理：如果有n 个抽屉，而每一个苹果代表一个元素，假如有n +1个元素放到n 个抽屉中去，其中必定有一个抽屉里至少有两个元素． 21．6【分析】根据题意，再结合平移的性质，可得AB A B =''， 1.5AA BB CC ===′′′cm ，BB CC ∥′′，ABC A B C S S '''=△△，然后再根据等量代换，得出=AA OB OCC B S S 四边形四边形′′′，然后再根据等量代换，得出BCC B AA B B S S =四边形四边形′′′′，然后再根据长方形的特征，得出四边形AA B B ''是长方形，然后再根据长方形的面积公式，算出长方形AA B B ''的面积，即可得出四边形BCC B ''的面积．【详解】解：如图，①ABC 沿AC 方向平移1.5cm 得到A B C '''，①A 的对应点为点A '，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点C '，①由平移的性质，可得：4AB A B =''=cm ， 1.5AA BB CC ===′′′cm ，BB CC ∥′′， 又①ABC 沿AC 方向平移1.5cm 得到A B C '''， ①ABC A B C S S '''=△△，又①ABC A OC AA OB S S S =+△△四边形′′， A B C A OC OCC B S S S =+△四边形′′′′′′，①=AA OB OCC B S S 四边形四边形′′′， ①=BOB BCC B OCC B S S S +△四边形四边形′′′′′， BOB AA B B AA OB S S S =+△四边形四边形′′′′，①BCC B AA B B S S =四边形四边形′′′′，①AB A B =''，AA BB '='，90A ∠=，①根据长方形的特征，可得：四边形AA B B ''是长方形， ①4 1.56AA B B S AB AA =⋅=⨯=长方形′′′2cm ， ①6BCC B AA B B S S ==四边形四边形′′′′2cm故答案为：6【点睛】本题考查了平移的性质，等量代换，根据长方形的特征判定长方形，长方形的面积公式，解本题的关键在熟练掌握平移的性质．平移的性质：1、形状大小不变；2、对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等；3、对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等． 22．8． 【详解】n 有6个正约数故n 的标准质因数分解式为5n P =或2n pq =（p 、q 为素数，(,)1p q =） 若5n p =，由50n ≤知52 若2n p q =⋅，则223n =⋅，225⋅ 232⋅，252⋅，253⋅，272⋅，2112⋅①“好数”共有8个． 23．2【详解】依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠，90ADB ADC ∠=∠=︒，故ABC ACB ∠≠∠． （1）若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ADB ≅△△，①12BD DM CM ==，又AM 平分DAC ∠，①12AD DM AC CM ==，在Rt DAC 中，即1cos 2DAC ∠=，①60DAC ∠=︒，从而90BAC ∠=︒，30ACD ∠=︒．在Rt ADC 中，tan tan 603CD AD DAC ⋅∠︒==，1DM =．在Rt ADM △中，2AM =． （2）若ABCACB 时，如答案图2所示．同理可得2AM =．综上所述，2AM =．24．17【分析】根据题意，求得的最小值，可将等式变形得到4a b c =-，则b c -是合数，且为4的倍数，以此为突破，求得a b c d ,,, 【详解】2a b d +=①,32b c d -=①①×2-①得：40a b c -+=， 即4a b c =-，求d 的最小值，则,a b 尽量小 当2a =时，8b c -=，根据20以内的素数可知，11,3b c ==，或者13,5b c == 此时241115d a b =+=+=，此时d 为合数，故不符合题意， 当13,5b c ==时，此时241317d a b =+=+=，经检验，a b c d ,,,皆为素数，满足题意， 故答案为：17．【点睛】本题考查了素数的定义，二元一次方程组的加减消元法，掌握20以内的素数是解题的关键．25． 3 1 1 4 10【详解】如图，按题目中条件顺序依次可列方程：（1）A C F =+；（2）4C E F ++=；（3）5B =；（4）2A C =；（5）8A B C ++=；（6）7A G F ++=；（7）1D A =+．可求出2,5,1,3,2,1,4A B C D E F G =======．于是，题目中各空白区应填入的数依次是①3，①1，①1，①4，①10．26．14-或7-或2-或5p =（p 为非负整数），则2222229304361204(29)394n n p n n p n p ++=⇒++=⇒++= 39(229)(229)p n p n ⇒=++--，2291102293914p n p p n n ++==⎧⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩ 或229391022915p n p p n n ++==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩ 或22934229137p n p p n n ++==⎧⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩ 或22913422932p n p p n n ++==⎧⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩ ①14n =-或7-或2-或5 27．1【详解】解 ①1x ==，而213<<， ①21a x =-=．又①1x -=，而312-<<-，①()33223()3++=+-++a b ab a b a ab b ab2223()1a ab b ab a b =-++=+=．28．220【详解】填220.理由：因1a ≤，b ，6c ≤，288a b c ⨯+⨯+=277c b a ⨯+⨯+，即63480a b c +-=，即3(1621)b c a =-，所以，0b =，3，6.经检验，3b =符合题意．故3b =，4c =，3a =．则238384220⨯+⨯+=． 29．5【详解】理由：因为133x ≥， 所以141833333x y =-≤-=，则1432184y ⨯≥=， 即6y ≥．原方程可化为429xy y +=， 则42(9)x y =-． 所以42能被y 整除．所以y 可取6，7，14，21，42．相应地得到五组解：112,6,x y =⎧⎨=⎩223,7,x y =⎧⎨=⎩336,14,x y =⎧⎨=⎩447,21,x y =⎧⎨=⎩558,42.x y =⎧⎨=⎩ 30．10002001【详解】解原函数关系化为111k y x k k -=+++．令0x =得11y k =+，令0y =得1x k，即直线111k y x k k -=+++与y 轴、x 轴的交点分别为10,1k A k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭和1,0k B k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以 11111(1,2,,2000)22(1)21k kk OA B k k S SOA OB k k k k k ⎛⎫==⨯⨯==-= ⎪++⎝⎭，于是122000111111111212223220002001S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1110001220012001⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 故填10002001． 注：本题中用到第一章§3-3中介绍的裂项抵消求和方法． 31【分析】连接DF ，EF ，过点F 作FN AC ⊥，FM AB ⊥，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A 、D 、F 、E 四点共圆，=90DFE ∠︒，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．【详解】解：如图，连接DF ，EF ，过点F 作FN AC ⊥，FM AB ⊥． ①在ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 中点， ①AG DG EG ==． ①AG =FG ，①A 、D 、F 、E 四点共圆，G 点为圆心，DE 为直径， ①90DFE ∠=︒．①在Rt ABC 中，5AB AC ==，①BC == 又①点F 是BC 中点，①12CF BF BC ===1522FN FM AB ===． ①四边形AMFN 是正方形， ①52AN AM FN FM =====． ①90NFD DFM ∠+∠=︒，90MFE DFM ∠+∠=︒， ①NFD MFE ∠=∠．①在NFD △和MFE 中90DNF EMF NF MF NFD MFE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①()NFD MFE ASA ≅， ①51222ME DN AN AD ==-=-=， ①51322AE AM MD =+=+=， ①在Rt DAE中，DE【点睛】本题考查直角三角形的性质，圆周角定理，四点共圆，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键． 32．1998【详解】用0表示偶数，1表示奇数，则按如下方法排列时：5011500100100100100111A B C个个，仅有一个数为偶数：A B C ++，故所求和数个数的最大值不小于199911998-=．其次，我们证明对任意排列，都至少有一个和为偶数，分4种情形．情形①：第一项为奇数，第二项为偶数．为了使和不出现偶数，第3项只能是奇数，接下去只能是1001000…这样出现了500个100后，所有1000个偶数全都排出，余下只有501个奇数，这时只能是上述排列，其中有一个和：A B C ++为偶数．情形①：第一项是奇数，第2项也是奇数．为了使和不出现偶数，以后各项只能都是奇数，排完1001个奇数后，剩下1000个偶数，再排下去必出现偶数：奇+奇+偶=偶． 情形①和①：第一项是偶数，第二项是奇数或偶数，同样必会出现和为偶数的情形． 综上可知，所求和数个数的最大值是1998． 33．1009921⨯+【详解】解：设239912232421002S =+⨯+⨯+⨯++⨯，则23991002222329921002S =+⨯+⨯++⨯+⨯，于是，由公式①得 ()299100212221002S S S =-=-+++++⨯10010021100221-=-+⨯+1009921=⨯+．故答案为：1009921=⨯+．34．【详解】解 如图所示，分别过A C 、作x 轴垂线，垂足分别为E F 、．设,OE a BF b ==，则,AE CF ==，所以A C 、的坐标分别是(),(2)A a C a b +，代入xy =得2)a b b =+=解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，(22,0)D a b +的坐标为．35．36【详解】解 因为对正整数n ，41n -整除2002n ， 所以200241nn -是整数． 而20022(250)5004141n n n n +=+--， 又因为41n -是奇数，所以25041n n +-是整数． 则4(250)100114141n n n +=+--，可知1001能被41n -整除．因为30n >，100171113=⨯⨯，所以可得41n -只能是143．所以36n =． 故应填36．36．，-1）##（11）【分析】由y =x 轴、y 轴于点A 、B ，得到点B 的坐标是（0，OB ＝A 的坐标是（﹣1，0），OA ＝1，①ABO ＝30°，①OAB ＝60°，分别求得直线BF 的解析式为=-+y x AF 的解析式为2)2y x =，联立解方程组即可得到点F 在该平面直角坐标系内的坐标．【详解】解：①直线AB ：y =x 轴、y 轴于点A 、B 当x ＝0时，y①点B 的坐标是（0，OB当y ＝0时，0x ＝﹣1， ①点A 的坐标是（﹣1，0），OA ＝1①tan ①ABO ＝AO BO =①①ABO ＝30°，①OAB ＝90°－①ABO ＝60°如图所示，由题意得①EAB ＝①ABD ，①ABE ＝①BAD ， ①①ABE ①①BAD ①①AEB ＝①ADB①A 、E 、D 、B 四点共圆，如图所示， ①①ADE ＝①ABE ＝30°，①EAD ＝①EBD ①①F AB ＝①FBA ①①ADE ①①AFD①①F ＝①ADE ＝30°，①F AB ＝①FBA ＝75°①①F AO ＝①F AB －①BA 0＝15°，①FBE ＝①F AB －①ABO ＝45°， ①①OGB ＝90°－①FBE ＝45° ①①OGB ＝①OBG ①OG ＝OB①点G0），设直线BF 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入G 0），B （0b b +==⎪⎩ 解得1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩①直线BF 的解析式为=-+y x在线段AO 上取点H ，使得AH ＝EH ，则①HAE ＝①HEA ＝15°， ① ①OHE ＝①HAE ＋①HEA ＝30° 设OE ＝t ， 则OH＝tan 30OE=︒，22HE OE t AH ===①21OA AH OH t =+==①2t ==①点E 的坐标为（02）设直线AF 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，代入A （﹣1，0），E （02）得11102k b b -+=⎧⎪⎨⎪⎩解得1122k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ①直线AF的解析式为2)2y x =， 联立直线BF 和AF 的解析式得2)2y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩①点F，-1） 故答案为：，-1）【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、 解二元一次方程组、四点共圆等知识，综合性非常强，难度较大，利用待定系数法求解析式是关键． 37．2.5+【分析】连接BD ，过B 作BH ①AC 于H 点，根据①BCD 是直角三角形，可证明①BAC =①BDC ，则有A 、B 、C 、D 四点共圆，进而有BD 是该圆的直径，可得①BAD =90°，利用勾股定理可得BD =12CD BD ==BC ==，根据BH ①AC ，可得①ABH 、①BCH 是直角三角形，则有①ABH =30°，即1522AH AB ==，利用勾股定理可得BH =，再在①BCH 是直角三角形，可得CH 可得解．【详解】连接BD ，过B 作BH ①AC 于H 点，如图，①①BCD =90°，①①BCD 是直角三角形， ①222BD CD BC =+，①BC =，①2BD CD =， ①在Rt ①BCD 中，①DBC =30°， 即①BDC =60°， ①①BAC =60°， ①①BAC =①BDC ， ①A 、B 、C 、D 四点共圆， ①①BCD =90°， ①BD 是该圆的直径， ①①BAD =90°， ①AB =5，AD =2，①BD①12CD BD =BC ==， ①BH ①AC ，①①ABH 、①BCH 是直角三角形，①①BAC =60°， ①①ABH =30°， ①1522AH AB ==，即BH ===， ①①BCH 是直角三角形，①CH ==①52AC AH CH =+=故答案为：52+【点睛】本题考查了勾股定理、四点共圆、圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识，利用四点共圆是解答本题的关键． 38．710【分析】设上区的桌位数为x ，单个桌位座位数为a ，中区的桌位数为y ，单个桌位座位数为b ，下区的桌位数为z ，单个桌位座位数为c ，第一天下区的坐有观众的桌位数为m ，根据中区的观众数占入场观众数的14，上座率为35，可得3ma +2mb +mc ＝35（xa +yb +zc ），6b＝3a +c ①，设第二天上区的坐有观众的桌位数为n ，根据上区的观众数占入场观众数的25，上座率为34，可得na +nb +2nc ＝34（xa +yb +zc ），3a ＝2b +4c ①，联立①①可得b ＝54c ，a ＝136c ，进一步得到mc ＝350（xa +yb +zc ），nc ＝965（xa +yb +zc ），根据第三天上区的观众数与第二天上区的观众数相同，中区的观众数是第一天的中区的观众数的13，下区的观众数是当天上区和中区观众数的总和，可得第三天上区的观众数为na ＝136nc ，中区的观众数为13×2mb ＝23 mb ＝56mc ，下区的观众数为136nc +56mc ，依此可求第三天的上座率．【详解】解：设上区的桌位数为x ，单个桌位座位数为a ，中区的桌位数为y ，单个桌位座位数为b ，下区的桌位数为z ，单个桌位座位数为c ，第一天下区的坐有观众的桌位数为m ，∵中区的观众数占入场观众数的14，上座率为35，∴3ma+2mb+mc＝35（xa+yb+zc），2mb＝14（3ma+2mb+mc），∴6b＝3a+c①，设第二天上区的坐有观众的桌位数为n，∵上区的观众数占入场观众数的25，上座率为34，∴na+nb+2nc＝34（xa+yb+zc），na＝25（na+nb+2nc），∴3a＝2b+4c①，把①代入①得6b＝2b+4c+c，即b＝54 c，把b＝54c代入①得3a＝52c+4c，即a＝136c，∴3m×136c+2m×54c+mc＝35（xa+yb+zc），整理得mc＝350（xa+yb+zc），∴n×136c+n×54c+2nc＝34（xa+yb+zc），整理得nc＝965（xa+yb+zc），∵第三天上区的观众数与第二天上区的观众数相同，中区的观众数是第一天的中区的众数的13，下区的观众数是当天上区和中区观众数的总和，∴第三天上区的观众数为na＝136nc，中区的观众数为13×2mb＝23mb＝56mc，下区观众数为136nc+56mc，∴第三天的上座率为135266nc mcxa yb zc⎛⎫+⎪⎝⎭++()()135276610xa yb zc xa yb zcxa yb zc⎡⎤+++++⎢⎥⎣⎦==++．故答案为：710．【点睛】本题考查了应用类问题，不定方程的应用，解题的关键是正确读懂题意列出方程和代数式．39．(1)证明见解析【分析】（1）根据题意和菱形的性质，利用SAS 证明ADE CDE ≌△△，即可得出结论． （2）①首先根据题意，得到ABD △为等边三角形，然后过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ADH 中，依据30ADH ∠=︒，得到32AH =，然后利用勾股定理，得到DH 的长，然后再过点E 作EG DF ⊥于G ，依据1DF =，3CD =，得到3CDE FDE S S =△△，再由（1）得ADE CDE ≌△△，得到3ADE FDE S S =△△，进而得到2ADF FDE S S =△△，然后利用三角形的面积，算出EG 的长．即得到点E 到CD 的距离；①在Rt EDG 中，依据60EDG ∠=︒，得到30DEG ∠=︒，EG =DG x =，利用30︒所对的直角边等于斜边的一半，得到2DE x =，再利用勾股定理，解出x 的值，即可得到DE 的长，然后在Rt EFG 中，31144EF =-=，EG =EF 的长，即可得出EF ED 的值． （1）证明：①在菱形ABCD 中，60DBA ∠=︒， ①AD DC =，120ADE CDE ∠=∠=︒， 在ADE 和CDE 中， AD DCADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①ADE CDE ≌△△（SAS ）， ①AE CE =． （2）解：①依题意ABD △为等边三角形，过点D 作DH AB ⊥于H ， 在Rt ADH 中，60DAH ∠=︒，30ADH ∠=︒，3AD =，则32AH =，①DH ==过点E 作EG DF ⊥于G ， ①1DF =，3CD =，①3CDE FDE S S =△△，由（1）得，ADE CDE ≌△△， ①3ADE FDE S S =△△， ①2ADF FDE S S =△△， 由12ADF S DF DH =⋅△，12FDE S DF EG =⋅△，①12EG DH ==；①在Rt EDG 中，60EDG ∠=︒，则30DEG ∠=︒，EG = 设DG x =，则2DE x =，222(2)x x +=⎝⎭， 解得：34x =±（负值舍去）①34x =， ①32=DE ， 在Rt EFG 中，31144EF =-=，EG =①EF =①232EF ED == 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理、面积与等量代换、30︒所对的直角边等于斜边的一半等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关性质与定理． 40．135【详解】由422223a b a b =+得4224230a ab b --=，即2222(3)()0a b a b -+=． 但220a b +≠（否则22230a b +=，与已知条件矛盾）， 所以2230a b -=，即223a b ，22222222312010601035a b b b a b b b --==++． 41．(1)AB 边上的高为6013(2)4m =，9n =，被剪去的小正方形的边长为54【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形，然后再利用等面积法进行计算即可解答；（2）利用拆项配成两个完全平方式，然后求出m ，n 的值，再利用等面积法进行计算即可解答．【详解】（1）解：①2222512169AC BC +=+=，2213169AB ==， ①222AC BC AB +=， ①ABC 是直角三角形，过点C 作CD AB ⊥于点D ，如图①，①1122ABC S BC AC AB CD =⋅=⋅△， ①560121313AC CD BC AB =⋅=⨯=； （2）解：①22818970m m n n -+-+=， ①2281618810m m n n -++-+=， ①()()22490m n +-=-，①()240m -≥，()290n -≥，①40m -=，90n -=， ①4m =，9n =，设剪去的小正方形的边长x ， ①()2224m x x mn +-=， ①()2242449x x +-=⨯， 解得：54x =， 答：剪去的小正方形的边长为54．【点睛】本题考查了配方法的应用，勾股定理的逆定理，偶次方的非负性，剪纸问题，熟练掌握等面积法是解题的关键． 42．见解析【详解】因2(4)3()x y x y x y +=---，而3|(4)x y -，3|3()x y -，则3|(2)x y +． 又22472x xy y +-(2)(4)x y x y =+-，则()229|472x xy y +-．43．符合条件的两位数一共有12个：10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，90 【详解】设0a b n ab =⨯（n 为自然数），则 10010a b na nb +=+，所以10(10)(1)n a n b -=-．由于19,09a b ≤≤≤≤，因此可得110n ≤≤．分析n 取值从1到10，符合条件的两位数一共有12个：10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，90．44．（1）见解析；（2【详解】解 （1）由题意知45ACB DCE ∠=∠=︒，BC ，EC =， 所以DCA ECB ∠=∠，AC DCBC EC=，所以ADC BEC △△，故45DAC EBC ∠=∠=︒， 所以DAC ACB ∠=∠，所以//AD BC ．（2）设AE x =，因为30ACE ∠=︒，可得AC =，2CE x =，DE DC =．因为90EAP CDP ∠=∠=︒，EPA CPD ∠=∠，所以APE DPC △△， 故可得12APE DPC S S =△△．又2EPC APE ACE S S S +=△△△，2EPC DPC CDE S S S x +==△△△，于是可得2(2DPC S x =△，21)EPC S x =△．所以DPC EPC S DP PE S ==△△ 45．n 的最小值等于34． 【详解】记{1,2,3,,50}S =，i A 是S 中能被i 整除的正整数组成的集合(1,2, 3)i =，2A ，3A 分别2A ，3A 中数的个数，由容斥原理有23A A ⋃=2323A A A A +-⋂5050502323⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦2516833=+-=． 从23A A ⋃中任取3个数，其中至少有2个数属于2A 或3A 中同一个集合，它们不互质． 故所求n 的最小值34≥．其次，设1{1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47}B =，22222{2,3,5,7}B =，3{223,317,59}B =⨯⨯⨯，则1B ，2B ，3B 中共有164323++=个数，于是从S 内任取34个数，其中至少有34(5023)7--=个数属于123B B B ⋃⋃．由抽屉原理知，这7个数中至少有71133-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦个数属于1B ，2B ，3B 中同一个子集，它们两两互质． 综上所述，所求n 的最小值等于34． 46．57个【详解】因为正整数m ，n 满足mn 能被21整除，且130m n ≤≤≤，所以， （1）若21m =，则21n =，22，…，30．故满足条件的数对(,)m n 有10个． （2）若21m ≠，（①）当21n =时，1m =，2，…，20．满足条件的数对(,)m n 有20个． （①）当21n ≠时，因为2137=⨯，所以，1）如果3m a =,7n b =（a ，b +∈N ，且7≠a ，3b ≠），得13730a b ≤≤≤．1b =时，1a =，2； 2b =时，1a =，2，3，4；4b =时，1a =，2，3，4，5，6，8，9．故满足条件的数对(,)m n 有24814++=（个）．2）如果7m a =，3n b =（a ，b +∈N ，且3a ≠，7b ≠），得17330a b ≤≤≤． 3b =，4时，a 的值均为1；5b =，6，8，9时，a 的值均为1，2；10b =时，a 的值为1，2，4．故满足条件的数对(,)m n 有2142313⨯+⨯+=（个）． 综上，满足条件的数对(,)m n 共有1020141357+++=（个）． 47．见解析．【详解】利用开平方运算检验前几项均符合（必要时可多算几项）． 2222497,448967,444889667,444488896667====．由此我们猜想2144448889(66661)n nn+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+．事实上，可设2144448889(1){1,2,,},9n nnxx xx x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+∈⋅⋅⋅， 即24111110811111(1111)n nnnx ⨯⋅⋅⋅⨯+⨯⋅⋅⋅+=⨯⋅⋅⋅+．令1111nm⋅⋅⋅=，则1091111191n nm =⨯⋅⋅⋅+=+， 代入上式，得()()2491811m m m mx +++=+， 整理成关于x 的方程，得22(3612)0mx x m +-+=， 解此方程，得6x =（负根舍去了）．所以，2144448889(66661)n nn +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+．另证1 21111444488894108109n nkkk n k n n+=+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++∑∑()()221141101010411010n n +=+++++++++()()1221114101410199n n ++=+⋅-+⋅- ()221141041019n n ++=⋅+⋅+221121012110333n n ++⎛⎫⋅+⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21621101010933n +⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦()221610101076667n nn+⎡⎤=++++=⋅⋅⋅⎣⎦． 另证2144448889444488881n nnn+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1144400088881n n n++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+1141111081111n n n ++=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+1114111(91111)81111n n n +++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+21136(111)121111n n ++=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+21(61111)n +=⋅⋅⋅⋅+．48．本题有两种可能答案：情形1：B 组110分，C 组80分，D 组70分，E 组60分；情形2：B 组100分，C 组90分，D 组70分，E 组60分．填表进行检验见解析． 【详解】根据条件（1），每一竖行中，五组得分各不相同．对于一门单科，全部可能的不同得分是0，10，20，30和40，只有5种． 五门单科各组的分数总和是()5010203040500⨯++++=． 从500分中减去第1名A 组180分，其余四组总分之和是320分． 为了叙述简洁，约定B 组总分记为B ，C 组总分记为C ，其余类推． 那么，402060,E B C D E ≥+=>>>． 由此得60708090300E D C B +++≥+++=．这四组实际总分之和是320，只比最低可能限度多出20分．多出的20分，只有两种可能分配方案：或者都加给第2名B ，或者B 与第3名C 各加10分．因而，本题有两种可能答案：情形1：B 组110分，C 组80分，D 组70分，E 组60分； 情形2：B 组100分，C 组90分，D 组70分，E 组60分．为了满足条件（2），在情形1中，C 组应该有四门20分，一门0分；在情形2中，C 组有。
初中二年级数学竞赛试题(六)
初中二年级数学竞赛试题（六）一、精心选一选，相信你选得准！（每小题5分，共30分）1．三角形的三边长分别为6，1－3a ，10，则a 的取值范围是（ ）A ．－6＜a ＜－3B ．5＜a ＜1C ．－5＜a ＜－1D ．a ＞－1或a ＜－52．使分式x x y z x 5201020092010201020092008--+有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≠0B ．x ≠0且x ≠±402C ．x ≠0且x ≠402D ．x ≠0且x ≠－402 3．如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，且∠1＋∠2＝72°，则∠A ＝（ ） A ．72° B ．24° C ．36°D4．已知一个梯形的四条边长分别为2、3、4、5，则此梯形的面积为（ ） A ．5B ．8C ．3310 D ．3514 5．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连CE 、AF ，设CE 、AF 相交于G ，则S BEGF 四边形∶S ABCD 四边形等于（ ）A ．41B ．92C ．61 D ．103值是一个确定6．已知x 为实数，且13-x ＋14-x ＋15-x ＋…＋117-x 的的常数，则这个常数是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．75二、细心填一填，相信你填得对！（每小题5分，共30分）7．已知实数x 、y 满足x 2—3x ＋4y ＝7，则3x ＋4y 的最大值为__________．8．如果a 、b 是整数，且x 2＋x —1是a x 3＋b x ＋1的因式，则b 的值为__________． 9．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的BC 边和CD 边上的点，且S △ABE ＝3，S △ECF ＝8，S △ADF ＝5，则矩形ABCD 的面积为__________． 10．如图△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AB ＋BD ＝AC ，若∠B ＝62°，则∠C ＝__________．11．已知k ＝acb a bc b a c c b a ++-=+-=-+，且n 2＋16＋6+m ＝8n ，则关于x 的一次函数y ＝－kx ＋n －m 的图象一定经过第__________象限．则bc a ＋acb 12．若a ＋x 2＝2008，b ＋x 2＝2009，c ＋x 2＝2010，且abc ＝24，＋ab c －a 1－b 1－c 1的值为__________．三、用心做一做，试试你能行！（共40分）14．（8分）如图，已知 ：正△OAB 的面积为34，双曲线y ＝xk经过点B ，点P (m ，n )(m ＞0)在双曲线y ＝x k上，PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ，设矩形OCPD 与正△OAB 不重叠部分的面积为S ．⑴求点B 的坐标及k 的值；BD ECA 1 2（第3题图） C（第9题图） （第10题图）A C F B（第5题图）⑵求m ＝1和m ＝3时，S 的值．15．（8分）已知a 、b 、c 均为正数，且满足如下两个条件：⎪⎩⎪⎨⎧=-++-++-+=++4132ab c b a ac b a c bca cbc b a证明：以a 、b 、c 为三边长可构成一个直角三角形．16．（8分）2010年4月14日青海省玉树发生了7.1级大地震，驻军某部（位于距玉树县城结古镇91公里处的上拉秀镇）接到上级命令，须火速前往结古镇救援．已知该部有120名官兵，且步行的速度为每小时10公里，现仅有一辆时速为80公里的卡车，可乘坐40人，请你设计一个乘车兼步行方案，使该部120人能在最短时间内赶往重灾区结古镇救援．其中中途换车（上、下车）的时间均忽略不计，最快多少时间可以赶到？（可用分数表示）18．（8分）如图，△ABC的边AB＝3，AC＝2，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、AC、BC为边的正方形，求图中三个阴影部分的面积之和的最大值是多少？H（第18题图）初中二年级数学竞赛（六）参考答案一、选择题1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 5．利用重心定理CG ＝3GE （G 为△ABC 的重心） 6．由于原式的值是一个确定的常数，则把绝对值符号去掉后应消去x ，而3＋4＋…＋12＝13＋(14＋…＋1)，因此12x －1≤0且13x －1≥0，∴121131≤≤x ，故原式＝(1－3x)＋(1－4x)＋…＋(1－12x)＋(13－x －1)＋…＋(17x －1)＝5 二、填空题7．16 8．－2 9．30 10．31° 11．一、二 12．81三、解答题 14．（8分）①B(2，32)，k ＝34 ............................................................................. 4分②当m ＝1时，S ＝327.........................................................................................6分 当m ＝3时，S ＝31817........................................................................................8分 15．（8分）证法一：结合①式，由②式可得：41232232232=-+-+-ab c ca b bc a变形，得1024－2(a 2＋b 2＋c 2)＝abc 41③又由①式得(a ＋b ＋c)2＝1024 ................................................................................. 3分即a 2＋b 2＋c 2＝1024－2(ab ＋bc ＋ac)代入③式，得1024－2[1024－2(ab ＋bc ＋ca)]＝abc 41即abc ＝16(ab ＋bc ＋ac)－4096 (a －16)(b －16)(c －16)＝abc －16(ab ＋bc ＋ac)＋256(a ＋b ＋c)－163 ＝－4096＋256×32－163＝0所以a ＝16或b ＝16或c ＝16 .................................................................................. 6分 结合①式可得b ＋a ＝c 或c ＋a ＝b 或c ＋b ＝a ..................................................... 7分 因此，以c 、b 、a 为三边长可构成一个直角三角形 ....................................... 8分16．（8分）要使所用时间最短，卡车只能一直不停地往返载人行进，设有乘车的人也一直不停地向目的地行进，最后使120人同时到达结古镇，由于每车只能乘坐40人，因此将120人分成三组，安排乘车和步行如图所示： ...................................................................................................... 1分 其中图中箭头路线是汽车往返路线易知AE ＝CF ＝DB ，AC ＝CD ＝EF ＝FB 设AE ＝CF ＝DB ＝x(公里)，AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y(由题意知：第一组乘车AE ＋步行EB ＝全程AB 汽车AE ＋EC 所用时间与步行AC 所用时间相等 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1080)(912y y x x y x ................................................. 6分解得：⎩⎨⎧==1463y x ...................................................... 7分 故全部由上接秀镇赶到玉树县城所用最短时间为：80473101428063=⨯+(小时) ..... 8分 18．（8分）把△CFH 绕点C 顺时针旋转90°，使CF 与BC 重合，H 旋转到H'的位置，可知A 、C 、H'在一直线上 ......................................... 2分 且BC 为△ABH'的中线（结古（上拉秀第第第∴S △CHF ＝S △BCH'＝S △ABC ..................................... 4分 同理：S △BDG ＝S △AEM ＝S'△ABC ............................ 5分 所以阴影部分面积之和为S △ABC 的3倍 ............. 6分 又AB ＝3，AC ＝2当AB ⊥AC 时，S △ABC 最大值为：33221=⨯⨯ ∴阴影部分面积的最大值为3×3＝9(平方单位)8分。
初中数学竞赛模拟试卷(含答案和解析)
初中数学竞赛模拟试题011.已知等比数列2341,2,2,2,2,…和等差数列2，7，12，17，22，…，将同时出现这两个数列中的数按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n x ，记1002k x =，则_________k =. 解:由2，7，12，17，22，…，知，等差数列第k 个数表示为()251k +-，所以模5余2的数，等比数列第m 个数为12m -，两个数列同时出现在{}n x 中，所以()12512m k -+-=，那么12k -也是模5余2的数，那么{}n x 为()411592,2,2,,2a -+ ，()410011397k =⨯-+=.2.设锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，BC 的中点为M ，若cot A x =，cot B y =，则 cot _________BAM ∠=（用关于x ，y 的代数式表示结果）解：cot 2APA h =，cot BQ B h =，cot AQ BAM h∠=， ∵AQ AP PQ AP BQ =+=+ ∴cot 222AQ AP BQ BQ BQAP AP BAM x y h h h h hh +∠===+=⨯+=+.3.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则不等式[][]352018x x +=的解集是________. 解：∵[]3133x x x -<≤，[]5155x x x -<≤，∴[][]31513535x x x x x x -+-<+≤+， 即8220188x x -<≤，252.25252.5x ≤<，令()2520.250.5x a a =+≤<代入[][]352018x x +=得：[][]2016352018a a ++=，即[][]352a a +=，∴1235a ≤<，∴1225225235x ≤<4.将12个不同的物体分成3堆（不分顺序），每堆4个，则不同的分法总类为_____.解：4441284445775C C C A⨯⨯=.BC5.圆的内接四边形ABCD 中，12BD =，30ABD CBD ︒∠=∠=，则ABCD 的面积等于_______.解：∵ABD CBD ∠=∠，∴AD CD =，∴AD CD =， 又∵QD CD =，∴△AQD ≌△CPD ，∴AQD CPD S S ∆∆=， ∴11262DP =⨯=，BP ==∴1=22ABCD S ⨯⨯四边形6.如果m ，n 为正实数，分成220x mx n ++=和方程220x nx m ++=都有实数根，那么m n +的最小值是________.解：21420m n ∆=-⨯≥，∴28m n ≥；()22240n m ∆=-≥，∴2n m ≥，2m n ≤≤(),0m n >，∴2n ≥，∴48n n ≥，2n ≥，∴28m n ≥，216m ≥，∴4m ≥，∴426m n +≥+=，∴m n +的最小值为6.7.方程2237x y x xy y +=-+的所有正整数解为________.解：由2237x y x xy y+=-+得2237x y ax xy y a +=⎧⎨-+=⎩，2973a a xy -=，∴3|a ， ∵()24x y xy +≥∴2297943a a a -≥⨯，即97943a a -≥⨯，289a ≤，∴3a =∴920x y xy +=⎧⎨=⎩，∴45x y =⎧⎨=⎩或54x y =⎧⎨=⎩，即()(),4,5x y =，()5,4.6P A C。
历年初中数学竞赛试题精选(含解答)
初中数学竞赛专项训练(1)1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。
A. 111B. 1000C. 1001D. 1111 解：依题意设六位数为abcabc ，则abcabc ＝a ×105＋b ×104＋c ×103＋a ×102＋b ×10＋c ＝a ×102（103＋1）＋b ×10（103＋1）＋c （103＋1）＝（a ×103＋b ×10＋c ）（103＋1）＝1001（a ×103＋b ×10＋c ），而a ×103＋b ×10＋c 是整数，所以能被1001整除。
故选C方法二：代入法2、若2001119811198011⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________解：因1981、1982……2001均大于1980，所以9022198019801221==⨯>S ，又1980、1981……2000均小于2001，所以22219022*********221==⨯<S ，从而知S 的整数部分为90。
3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100）学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。
解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。
初中数学竞赛专题6：因式分解
专题6：因式分解第1讲 因式分解赛题练习一、选择题1．（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ） A ．是完全平方数，还是奇数 B ．是完全平方数，还是偶数 C ．不是完全平方数，但是奇数D ．不是完全平方数，但是偶数2．（第17届希望杯竞赛题）There is a two-placed number 10ab a b =+satisfying that ab ba + is a complete square number ，then total number of those like ab is （ ） A ．4B ．6C ．8D ．10（英汉词典：two-placed number 两位数；number 数；to satisfy 满足；complete square 完全平方（数）；total 总的，总数）3．（2005年全国初中数学竞赛题）若223894613M x xy y x y =-+-++（x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ） A ．正数B ．负数C ．零D ．整数4.（北京市竞赛题）44a +分解因式的结果是（ ） A.()()222222a a a a +--+ B.()()222222a a a a +--- C.()()222222a a a a ++--D.()()222222a a a a ++-+5.（2006年希望杯竞赛题）实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（ ） A.2006B.2005C.2004D.20036.（2005年武汉市竞赛题）若3234x kx -+被31x -除后余3，则k 的值为（ ） A.2B.4C.9D.107.（第13届希望杯竞赛题）已知a b c >>，222M a b b c c a =++，222N ab bc ca =++，则M 与N 的大小关系是（ ） A.M N <B.M N >C.M N =D.不能确定8.（美国犹他州竞赛题）322136x x x +-+的因式是（ ） A.21x - B.2x + C.3x -D.21x +E.21x +9.（2005年全国初中数学竞赛题）若22389M x xy y =-+-4613x y ++（x 、y 是实数），则M 的值一定是（ ） A.正数B.负数C.零D.整数10.（武汉市竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ） A.7 B.8C.15D.21二、填空题11．（第7届五羊杯竞赛题）把()()()()16a b c d b c a d c a b d a b c d abcd ++++--+--+--+因式分解为________．12．（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=________． 13．（第18届五羊杯竞赛题）分解因式：2226773x xy y x y --+++=________．14．（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=________．15．（2007年全国初中数学联赛题）若10064a +和20164a +均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是________．16.（北京市竞赛题）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，则2002()x y z --=__________. 17.（2004年广西竞赛题）已知()22210x y x y +--+=，则()999x y +=__________.18.（北京市竞赛题）1~100若存在整数n ，使2x x n +-能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有____________个.19.（郑州市竞赛题）分解因式：22423a b a b -+++=_______________________________________. 20.（2004年河南省竞赛题）分解因式：229643x x y y --+-=_______________________________. 21.（第16届希望杯竞赛题）分解因式：()()221ab a b a b +-++=_____________________________. 22.（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=___________________.23.（第15届江苏省竞赛题）已知26x x +-是多项式43221x x ax bx a b +-+++-的因式，则a =___________，b =___________.24.（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=___________. 25.（大连市第8届育英杯竞赛题）分解因式：()()112x x y y xy -++-=____________. 三、解答题26．（1991年黄冈初中数学竞赛题）已知a 是自然数，且3221215a a a +-+表示质数，求这个质数．27．（1999年天津市数学竞赛题）当k 为何值时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解成两个一次因式的积？28．（第9届华杯赛总决赛题）计算；()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++．29．（第10届希望杯竞赛题）272-1能被500与600之间的若干整数整除，请找出三个这样的整数，它们是________．30．（第10届希望杯竞赛题）若233x x x k +-+有一个因式是x +1，求k 的值．31．（第6届希望杯竞赛题）计算：2211100.010.01101001000⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．32．（第9届五羊杯竞赛题）当n =1，x =2时，求多项式51n n x x ++的两个因式的和．33．（2000年美国犹他州中学数学竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式x +1和x +2，求a +b 的值．34．（第5届美国数学邀请赛试题）计算：()()()()()()()()()()44444444441032422324343244632458324432416324283244032452324++++++++++．35．（第37届美国中学生数学竞赛题）设543269569106910695691N =+⨯+⨯+⨯+⨯+．问：有多少个正整数是N 的因数？36．（第9届莫斯科奥林匹克试题）证明：对任何整数x 和y ，343223453515412x x y x y x y xy y +--++的值都不会等于33．37．（第37届美国中学生数学竞赛题）已知b ，c 是整数，二次三项式2x bx c ++既是42625x x ++的一个因式，也是4234285x x x +++的一个因式，求当x =1时，2x bx c ++的值．38.（祖冲之杯竞赛题）分解因式：32539x x x ++-.39.（北京市竞赛题）证明恒等式：()244422()2a b a b a ab b +++=++.40.（江苏省竞赛题）已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，求22x y +的值.41.（希望杯竞赛题）分解因式：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-.42.（第12届五羊杯竞赛题）分解因式：()()42424310x x x x +-+++.43（2006年希望杯培训题）计算：32322007220072005200720072008-⨯-+-.44.（太原市竞赛题）已知关于x 、y 的二次式22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式的乘积，求a 的值.45.（2005年莫斯科市竞赛题）对方程22222004a b a b ++=，求出至少一组整数解.46.（2006年创新杯培训题）已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n .47.（2006年全国初中数学竞赛题）计算 (252)(472)(692)(8112)(200420072)(142)(362)(582)(7102)(200320062)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+48.计算：（1）（第15届希望杯竞赛题）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯；（2）（第九届华杯赛竞赛题）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++49.分解因式： （1）4464a b +； （2）4224x x y y ++； （3）()2222(1)x x x x ++++；（4）（昆明市竞赛题）()()()24c a b c a b ----；（5）（第15届希望杯竞赛题）432234232a a b a b ab b ++++； （6）（重庆市竞赛题）32256x x x +--.50.（重庆市竞赛题）分解因式： （1）224443x x y y --+-； （2）343115x x -+.问题解决例1.分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---=______. 例2.把下列各式分解因式： （1）()()22525312x x x x ++++-； （2）()()()()21236x x x x x +++++； （3）()()()()211x y x y xy xy xy +++++-.例3.阅读理解：观察下列因式分解的过程： （1）244x xy x y -+-原式()()()()()()24444x xy x y x x y x y x y x =-+-=-+-=-+. （2）2222a b c bc --+原式()()()()222222a b c bc a b c a b c a b c =-+-=--=+--+.第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式.仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）2a ab ac bc -+-； （2）22244x y z yz --+.例4.分解因式：326116x x x +++.例5.把下列各式分解因式： （1）261110y y --； （2）22823x xy y --.数学冲浪 知识技能广场1.分解因式：（1）()()22162x x x ---=______； （2）()()4a b a b ab --+=______； （3）276ax ax a -+=______. 2.分解因式：（1）3222a ab a b +-=______；（2）()()21211x x ---+=______； （3）2221a ab b -+-=______； （4）2244x y x --+=______. 3.分解因式：（1）323412x x x +--=______； （2）()()2223238x xx x +-+-=______.4.若()()23x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n =______.5.把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ）. A.()34xy x y x --B.()22x x y --C.()2244x xy y x --D.()2244x xy y x --++6．()()()()()()656565323322134x x x x x x x xx +-+++-+++-与下列哪一个式子相同（ ）.A.()()653421x x x -+ B.()()653423x x x -+ C.()()653421x x x --+D.()()653423x x x --+7．把多项式22243x y x y ----因式分解之后，正确的结果是（ ） A.()()31x y x y ++-- B.()()13x y x y +--+ C.()()31x y x y +--+D.()()13x y x y ++--8．已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ） A.3个B.4个C.6个D.8个9．先阅读以下材料，然后解答问题.分解因式：()()()()mx nx my ny mx nx my ny x m n y m n +++=+++=+++=()()m n x y ++；也可以()()()()()()mx nx my ny mx my nx ny m x y n x y m n x y +++=+++=+++=++. 以上分解因式的方法称为分组分解法. 请用分组分解法分解因式：3322a b a b ab -+-.10.分解因式：（1）22463a b a b -+-；（2）222944a b bc c -+-； （3）()()()2a c a c b b a +-+-； （4）()()221212x x x x ++++-； （5）()22223122331x x x x -+-+-； （6）()()()213512x x x -+++.思维方法天地11.分解因式：()()()()()12345x x x x x x ++++++=______. 12.分解因式：()()()33322x y x y -----=______.13.已知()()()()1931131713171123x x x x -----可因式分解为()()8ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a b c ++=______.14.已知1x -得多项式33x x k -+的一个因式，那么k =______；将这个多项式分解因式，得______. 15.44a +分解因式的结果是（ ）.A.()()222222a a a a +--+B.()()222222a a a a +---C.()()222222aa a a ++-- D.()()222222aa a a ++-+16．实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（ ） A.2006B.2005C.2004D.200317．已知3a b -=，5b c +=-，则代数式2ac bc a ab -+-的值为（ ） A.15-B.2-C.6-D.618．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，且满足()222220a b c b a c ++-+=，则此三角形是（ ）. A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定19．分解因式：（1）224443x x y y --+-；（2）()()()2221x y xy x y xy +-+-+-； （3）343115x x -+； （4）32539x x x ++-.应用探究乐园20.已知在ABC ∆中，三边长a ，b ，c 满足等式222166100a b c ab bc --++=.求证：2a c b +=.21.下金蛋的鸡法国数学家费马（1601-1665）一生中提出了不少猜想，最著名的是“费马大定理”：关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=（n 为大于2的整数）没有正整数解.直到350年之后，这个猜想才由英国数学家怀尔斯（1953— ）于1994年证明.德国数学家希尔伯特（1862-1943）将费马大定理称为“一只会下金蛋的鸡”，因为在攻克它的漫漫征程中，不但引出了许多数学概念和方法，而且促进了一些新的分支的创立和发展.这些远比证明定理本身更重要！不过费马的猜想并不总是正确的.他考察了12215+=，222117+=，3221257+=，422165537+=，发现结果都是素数（也称质数），于是猜想：对任意正整数n ，221n+（即()221n+）都是素数.瑞士数学家欧拉（1707-1783）指出，5221+并不是素数.我国数学家华罗庚（1910—1985）在他的著作《数论导引》中给出一种简明的证法：设72a =，5b =，可算得()524442111ab a a b +=++-，可见5221+必有除1和本身以外的约数______（填较简单的一个，用含a ，b 的式子表示），即5221+能被______整除（填入具体数值），所以不是素数.第2讲 因式分解的应用赛题练习1.（2004年重庆市竞赛题）已知2310x x x +++=，则220041x x x ++++的值为（ ）A.0B.1C.1-D.20042.（第19届江苏省竞赛题）若432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则:a b 的值是 （ ） A.2-B.12-C.6D.43.（第14届希望杯竞赛题）若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值为（ ） A.0B.1-C.1D.34.（第17届江苏省竞赛题）a 、b 、c 是正整数，a b >，且27a ab ac bc --+=，则a c -的值为（ ） A.1-B.1-或7-C.1D.1或75.（中学生智能通讯赛试题）设()()322320042003200420052003200220012002a -⨯+=⨯--，()()322320052004200520062004200320022003b -⨯+=⨯--，则a 、b 的大小关系是（ ） A.a b >B.a b =C.a b <D.不能确定6.（湖北省竞赛题）设a 是正数，且21a a -=，那么224a a-的值为（ ） A.3-B.1C.3D.57.（2005年全国初中数学竞赛题）已知2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，则与A 最接近的正整数是（ ） A.18B.20C.24D.258.（2007年全国初中数学竞赛题）方程323652x x x y y ++=-+的整数解(),x y 的个数是（ ） A.0B.1C.3D.无穷多9.（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ） A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数10.（2002年全国初中数学联赛题）若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为（ ） A.1B.0C.1-D.2-11.（2003年全国初中数学联赛题）满足等式2003=的正整数对(),x y 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412.（第14届希望杯竞赛题）已知54410a a b a a b --+--=，且231a b -=，则33a b +的值为___________.13.（全国初中数学竞赛题）已知a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=___________.14.（第17届希望杯竞赛题）A 、n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =_____________.15.（四川省竞赛题）对一切大于2的正整数n ，数5354n n n -+的最大公约数是____________. 16.（2001年全国初中数学联赛题）一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为___________.17.（第9届华杯赛试题）a 、b 、c 是正整数，并且满足等式12004abc ab ac bc a b c +++++++=，那么a b c ++的最小值是__________.18.（祖冲之杯竞赛题）整数a 、b 满足6910303ab a b =-+，则a b +=___________.19.（第18届五羊杯竞赛题）若P 是两位的正整数，则以下等式中有可能成立的式子的个数是______________.①22006(34)(59)x Px x x ++=--； ②22006(17)(118)x Px x x ++=--； ③22006(34)(59)x Px x x --=+-； ④22006(17)(118)x Px x x --=+-； ⑤22006(1)(2006)x Px x x +-=-+.20.（2001年全国初中数学联赛题）若214x xy y ++=，228y xy x ++=，则x y +的值为___________. 21.（2005年四川省竞赛题）对于一个正整数n ，如果能找到正整数a 、b ，使得n a b ab =++，则称n 为一个“好数”，例如31111=++⨯，3就是一个“好数”，那么，在1~20这20个正整数中，好数有___________个.22.（2004年北京市竞赛题）已知x 、y 为正整数，且满足22222341x y x y +=+，则22x y +__________. 23.（第10届希望杯竞赛题）7221-能被500与600之间的若干整数整除，请找出3个这样的整数，它们是__________.24.（2008年天津市竞赛题）已知4个实数a 、b 、c 、d ，且a b ≠，c d ≠.若4个关系式：22a ac +=，22b bc +=，24c ac +=，24d ad +=同时成立，则6232a b c d +++的值为___________. 25.（五城市联赛题）若a 是自然数，则4239a a -+是质数还是合数？给出你的证明.26.（全国初中数学联赛题）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是()911145mn m n +++元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.27.（2006年俄罗斯萨温市竞赛题）（1）证明：19992000200120032004200536⨯⨯⨯⨯⨯+是一个完全平方数.（2）证明：数848497n n ++-对于任何自然数n 都能被20整除.28.（江苏省竞赛题）（1）证明：791381279--能被45整除；（2）证明：当n 为自然数时，()221n +形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭29.（2005年太原市竞赛题）二次三项式22x x n --能分解为两个整系数一次因式的乘积. （1）若130n ≤≤，且n 是整数，则这样的n 有多少个？ （2）当2005n ≤时，求最大的整数n .30.（重庆市竞赛题）按下面规则扩充新数：已有两数a 、b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.问题解决例1.方程2270xy x y --+=的整数解（x y ≤）为______. 例2.1621-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是（ ）. A.6 B.5 C.4 D.3例3.计算：（1）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯；（2）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++. 例4.设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数.例5.已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n 的值.例6.（1）实数x ，y 满足221252810x xy y y ++-+=，则22x y -=______.（2）在平面直角坐标系中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标(),x y 的个数为（ ）. A.10B.9C.7D.5数学冲浪 知识技能广场1.设y ax =，若代数式()()()23x y x y y x y +-++化简的结果为2x ，则a =______.2.如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为______. 3.如果实数x ，y 满足方程组1,2225,x y x y ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩那么22x y -的值为______.4.已知2m ≥，2n ≥，且m ，n 均为正整数，如果将n m 进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述：（1）在52的“分解”中最大的数是11； （2）在34的“分解”中最小的数是13；（3）若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5. 其中正确的是______.5.若实数x ，y ，z 满足()()()240x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是（ ） A.0x y z ++= B.20x y z +-= C.20y z x +-=D.20z x y +-=6．边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ） A.140B.70C.55D.247．设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是（ ）. A.5814B.5841C.8415D.84518．a ，b ，c 是正整数，a b >，27a ab ac bc --+=，则a c -等于（ ） A.1- B.1-或7- C.1 D.1或79．计算：（1）32322004220042002200420042005-⨯-+-； （2）44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.10.选取二次三项式()20ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫配方. ①选取二次项和一次项配方：()224222x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：(()22424x x x x -+=+，或((32424x x x x -+=-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-.根据上述材料，解决下面的问题.（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方；（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值.思维方法天地11.若两个不等实数m ，n 满足22m m a -=，22n n a -=，225m n +=，则实数a 的值为______. 12.已知a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222a b xy ab x y +++=______. 13.整数x ，y 满足方程283xy x y ++=，则x y +=______.14.A ，n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =______. 15.若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ）. A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数16．设n 为某一正整数，代入代数式2n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（ ） A.7770B.7775C.7776D.777917．方程222334x xy y ++=的整数解(),x y 的组数为（ ）. A.3B.4C.5D.618．黑板上写有1，12，…，1100共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后黑板上剩下的数是（ ）. A.2012B.101C.100D.9919．已知()()222012a b c b a c +=+=，且a b ≠，求()2c a b +的值.20.计算：()()()()()()()()()()424242424242424242422214416618881010133155177199111111++++++++++++++++++++.应用探究乐园21.当我们看到下面这个数学算式333337133713503724613724++==++时，大概会觉得算题的人错用了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++，但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种等式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，…，你能发现以上等式的规律吗？22.按下面规则扩充新数：已有两数a ，b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数……每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.。
初中数学竞赛模拟题50题-含答案
初中数学竞赛模拟题50题含答案一、单选题10,0)a b>>，分别作了如下变形：甲：()a b-====（ ）A ．甲、乙都正确B ．甲、乙都不正确C ．只有甲正确D ．只有乙正确2．若实数a ，b ，c 满足等式36b =，96b c =，则c 可能取的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．设a ，b ，c 的平均数是M ，a ，b 的平均数是N ，N 与c 的平均数是P ．若a b c >>，则M 与P 的大小关系是（ ）． A ．M P =B ．M P >C ．M P <D ．不能确定4．1234x x x x -+-+-+-的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．105．A ，B ，C ，D ，E 五人参加“五羊杯”初中数学竞赛得分都超过91分，其中E 排第三，得96分．又已知A ，B ，C 平均95分，B ，C ，D 平均94分，若A 排第一，则D 得（ ）分． A ．98B ．97C ．93D ．926．如果21x x --是31ax bx ++的一个因式，则b 的值是（ ）． A ．2-B ．1-C ．0D ．27．如图，在ABC 中，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，过点D 分别作DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ．连接EF 交线段CD 于点O ，若CO =CD =EO FO ⋅的值为（ ）．A ．B ．4C ．D ．68．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）． A ．3B ．9C ．27D ．819．把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入20x x ++=□□□的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．使所得方程至少有一个整数根的a ，b ，c （ ）． A ．不存在B ．有一组C ．有两组D ．多于两组10．已知a ，b 长，则这个三角形的面积是（ ） A ．32abB ．abC ．12abD ．2ab11．定义：平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为||x ，纵坐标y 的绝对值表示为||y ，我们把点(),P x y 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(),P x y 的折线距离，记为||||||M x y =+（其中的“＋”是四则运算中的加法），若抛物线21y ax bx =++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且2||4M ≤≤，令2242022t b a =-+，则t 的取值范围为（ ） A ．20182019t ≤≤ B ．20192020t ≤≤ C ．20202021t ≤≤D ．20212022t ≤≤12．1991331991+的值用十进制表示时，末位数字是（ ）． A ．8B ．4C ．2D ．013．从正整数里取出k 个不同的数，使得这k 个数中任意两个数之差的绝对值是质数，则k 的最大值是（ ）． A ．3B ．4C ．5D ．614．满足等式2003的正整数对(),x y 的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．415．1898年6月9日英国强迫清政府签约，将香港975.1平方公里土地租借给英国99年．1997年7月1日香港回归祖国，中国人民终于洗刷了百年耻辱，已知1997年7月1日是星期二，那么，1898年6月9日是星期（ ）．（注：公历纪年，凡年份为4的倍数但不是100的倍数的那年为闰年，年份为400的倍数的那年也为年，年的2月有29天，平年的2月有28天．） A ．二B ．三C ．四D ．五16．在实数范围内，设198851111a x a a ⎤⎥+=⎥-⎢⎥+-⎣⎦，则x 的个位数字是（ ）． A ．1B ．2C ．4D ．617．已知a b c d ,,,都是实数，则下列命题中，错误的是（ ）． A ．若222a b c ab bc ca ++=++，则a b c == B ．若3333a b c abc ++=，则a b c ==C ．若442242242()a b c d a b c d +++=+，则a b c d ===D ．若44444a b c d abcd +++=，则a b c d ===18．从1分、2分、5分3种硬币中取出100枚，总计3元，其中2分硬币枚数的可能情况有（ ）种． A ．13B ．16C ．17D ．1919．使424m m -+为完全平方数的自然数m 有（ ）个． A ．2B ．3C ．4D ．无数20．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数､一个偶数，n 是整数，如果()()()12233S a n b n c n =++++++，那么（ ）．A ．S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．S 的奇偶性不能确定二、填空题21．若243k x -<是关于x 的一元一次不等式，则 k 的值为______． 22．已知（x -3）2＋1m +=0，则mx =_______．23．已知：122334!99100a =⨯+⨯+⨯++⨯，243546!100102b =⨯+⨯+⨯++⨯，则a b -=______．24．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为__________. 25．设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是______．26．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，分别以AB 、BC 、AC 为边向上作正方形，已知Rt ABC 的面积为5，则图中阴影部分面积之和为______．27．今天是星期日，从今天算起，200011111个天是星期________．28．一本书共有61页，顺次编号为1，2，…，61，某人将这些数相加时，有两个两位数的页码都错把个位数和十位数弄反了（形如ab 的两位数被当成了两位数ba ），结果得到总和是2008，那么书上这两个两位数页码之和的最大值是_________． 29．若实数,x y 满足333333331,134365456x y x y+=+=++++，则x y +=_____．30．若化简2x -25x -，则满足条件是x 的取值围是_________．31．使得521m ⨯+是完全平方数的整数m 的个数为__________．32．如图，以△ABC 的边AC 、BC 为边向外作正方形ACDE 和正方形BCGF ，连接AG 、BD 相交于点O ，连接CO 、DG ，取AB 中点M ，连接MC 并延长交DG 于点N ．下列结论：①AG ＝BD ；①MN ①DG ；①CO 平分①DCG ；①S △ABC ＝S △CDG ；①①AOC ＝45°．其中正确的结论有______________（填写编号）．33．从1，2，…，2008中，至少取________个偶数才能保证其中必定存在两个偶数之和为201234．某个两位自然数，它能被其各位数字之和整除，且除得的商恰好是7的倍数，写出符合条件的所有两位数是_________．35．关于,x y 的方程332232x y x y xy -+-=的正整数解的个数_____个． 36．方程13217219211211215217292x x x xx x x x----+=+----的解是______．37．方程22320060x xy x y --++=的正整数解(,)x y 共有__________对． 38．已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________．39．已知在正方形ABCD 中，5AB =，点N 在DC 的延长线上，过D 作BN 的垂线分别交BC 、BN 于点P 和点M ，点Q 在CD 边上且满足1010DQ BP BQBN --=，连接AE 、CE ，则)1CE AE +的最小值等于 __．40．如图所示，已知边长为2的正三角形ABC 中，P 0是BC 边的中点，一束光线自P 0发出射到AC 上的P 1后，依次反射到AB 、BC 上的点P 2和P 3，且1＜BP 3＜32（反射角等于入射角），则P 1C 的取值范围是_____．三、解答题41．戴高乐是二战期间领导法国人民赶走德国法西斯的英雄，也是法兰西第五共和国的总统．他去世后，根据他生前的意愿，他的墓前只立有一块小小的碑牌，一面刻着“查尔斯·戴高乐1890—1970”，另一面则刻着一个洛林十字架．洛林十字架由13块相同的小正方形组成，如图1所示．(1)你能否只用一把无刻度直尺画一条直线，使其等分洛林十字架．（面积等分，在图1中画出1种情形即可）(2)戴高乐还是第一个提出并且解决了下面一个非常有趣的有关洛林十字架的数学问题的人．问题如下：如图2，在洛林十字架的A 点处作一条直线，把洛林十字架严格地划分成面积相等的两部分．戴高乐利用圆规，直尺和铅笔解决了该问题，他的作法如下：如图3所示，①标记点D ，B ，M ，连接BM ，与AD 交于点F ；①以点F 为圆心，FD 长为半径作弧，与BF 交于点G ；①以点B 为圆心，BG 长为半径作弧，与BD 交于点C ；①连接CA 并延长，与洛林十字架边界交于点N ，则直线CN 即为所求．请根据戴高乐的作图步骤，证明直线CN 等分洛林十字架．小林同学的部分证明过程如下：标记点H ，P ，Q ，如图3所示．设洛林十字架中每个小正方形的边长为1． 易证BDF MAF ≌， ①FD FA =．由作图，可知1122FG FD FA AD ====．①BF ．①12BG BC BF FG ==-=．①1CD BD BC =-==请补全小林同学的证明过程．42．如图1，ABC 中，AC ＝BC ＝4，①ACB ＝90°，过点C 任作一条直线CD ，将线段BC 沿直线CD 翻折得线段CE ，直线AE 交直线CD 于点F ．直线BE 交直线CD 于G 点．(1)小智同学通过思考推得当点E 在AB 上方时，①AEB 的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ①AC ＝BC ＝EC ，①A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上， ①①AEB ＝ ①ACB ，（填写数量关系） ①①AEB ＝ °．(2)如图2，连接BF ，求证A 、B 、F 、C 四点共圆；(3)线段AE 最大值为 ，若取BC 的中点M ，则线段MF 的最小值为 ．43．岳池县体育馆今夏外围绿化施工，有一块三角形空地，要在上面栽种四种不同的花草，需将该空地分成面积相等的四块，请你设计出三种不同的划分方案．44．将平面直角坐标系中点集{}(,)1,2,3,4,5,1,2,3,4M x y x y ===内的11个点染成红色，其余点不染色．证明：存在一个矩形，它的边与坐标轴平行，顶点都在M 中，并且都是红色．45．求证：若()8216157|78+，则()8316357|78+．46．10个学生参加n 个课外活动小组，每一小组至多5个人；每两个学生至少参加一个小组；任意两个课外小组至少可找到两个学生，他们都不在这两个课外活动小组中．试求n 的最小值．47．在元旦晚会上，学校组织了一次关于语文、数学、外语、奥运及日常生活常识的知识竞赛，设定每科满分为40分，以下依次为30分、20分、10分和0分，共5个评分等级，每个小组分别回答这五个方面的问题．现将A 、B 、C 、D 、E 五个小组的部分得分列表1如下： 表1表1中，（1）每一竖行的得分均不相同（包括单科和总分）；（2）C 组有4个单科得分相同．求B 、C 、D 、E 组的总分并填表进行检验． 48．a ，b 和c 都是两位数的自然数，a ，b 的个位分别是7与5，c 的十位是1．如果它们满足等式2005ab c +=，求a b c ++的值． 49．在正2004边形122004A A A 的各个顶点上随意填上1,2,3,,501中一个数，证明：一定存在四个顶点满足如下条件： （1）这四个顶点构成的四边形是矩形； （2）此四边形相对两顶点所填数之和相等．50．对非负整数n ，满足方程2x y z n ++=的非负整数(),,x y z 的组数记为n a ． （1）求3a 的值； （2）求2001a 的值．参考答案：1．D【分析】甲利用分母有理化的知识，可求得；乙先将分子因式分解，然后约分，即可求得．【详解】解：甲：当a b 时，()a b-==当a =b 时，无意义，==①甲错误，乙正确，选项说法错误，不符合题意； 选项说法错误，不符合题意； 选项说法错误，不符合题意； 选项说法正确，符合题意; 故选D ．【点睛】本题考查了分母有理化，因式分解，解题的关键是要全面考虑a 与b 之间的数量关系． 2．C【详解】解：由已知，()69315121512c b b b b ==-=-≤，①2≤c ． 3．B【详解】解 依题意2,,3224a b c a b N c a b cM N P ++++++====，2()()1212a b c a c b c M P +--+--==． 因a b c >>，故0M P ->，即M P >．故应选B 4．A【详解】()()14143x x x x -+-≥---=，当14x ≤≤时取得等号；()()21233x x x x +-≥---=-，当23x ≤≤时取得等号；因此，1234314x x x x -+-+-+-≥+=，当23x ≤≤时取得等号．所以，1234x x x x -+-+-+-的最小值为4． 5．B【详解】设A ，B ，C ，D ，E 分别得a ，b ，c ，d ，e 分，则a ，b ，c ，d ，e 都是在92与100之间的正整数，其中a 最大，96e =排第三，且395285,394282a b c b c d ++=⨯=++=⨯=．两式相减得3a d -=．若b 排在第二，则197,97,2859192b e a b c a b ≥+=≥≥=--=<，矛盾． 若c 排第二，则97,97,2859192c a b a c ≥≥=--≤<，矛盾．若d 排第二，则97,3973100d a d ≥=+≥+=，故只可能100,97a d ==．所以选B ． 6．D【详解】（解法一）依题意可设32321(1)()()()ax bx x x ax c ax c a x a c x c ++=--+=+--+-，比较系数得(),0,1,b a c c a c =-+⎧⎪-=⎨⎪-=⎩所以1,2c a b ==-=．故选D ．（解法二）依题意21x x --是3221(1)()1ax bx ax x x ax b a x ++---=+++的因式， 所以1111a b a +==--， 解得1,2a b =-=．故选D ．（解法三）用长除法可得321(1)()(2)(1)ax bx x x ax a a b x a ++=--+++++，所以20,10,a b a +=⎧⎨+=⎩得1,2a b =-=．故选D ．7．B【分析】由题意易得出90DEC DFC ∠=∠=︒，即说明点C ，E ，D ，F 四点共圆，得出DEO FCO ∠=∠，从而易证DOE FOC ∽，得出EO DOCO FO=．由题意可求出DO CD CO =-4EO FO CO DO ⋅=⋅=．【详解】解：①DE AC ⊥，DF BC ⊥， ①90DEC DFC ∠=∠=︒， ①点C ，E ，D ，F 四点共圆，①DEF FCD ∠=∠，即DEO FCO ∠=∠．又①DOE FOC ∠=∠， ①DOE FOC ∽， ①EO DOCO FO=， ①EO FO CO DO ⋅=⋅． ①CO =CD = ①DO CD CO =-=①4EO FO CO DO ⋅=⋅==． 故选B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆的知识，圆周角定理．确定点C ，E ，D ，F 四点共圆，从而可得出证明DOE FOC ∽的条件是解题关键． 8．C【详解】3322229()()93()9a b ab a b a ab b ab a ab b ab --=-++-=++-22223(2)3()3327a ab b a b =-⨯+=-==．故选C ．9．C【详解】设三个连续的正整数分别为n 1-，n ，1n +（n 为大于1的整数）．当一次项系数是n 1-或n 时，∆均小于零，方程无实数根；当一次项系数是1n +1时，22(1)4(1)3(1)4n n n n ∆=+--=--+．因为n 为大于1的整数，所以，要使0∆≥，n 只能取2．当2n =时，方程22320,2310x x x x ++=++=均有整数根，故满足要求的（a ，b ，c ）只有两组：(1,3,2)、(2,3,1)． 10．A【分析】构造矩形ABCD ， E 、F 分别为AD 、AB 的中点，设2AD b =， 2AB a =，将所求三角形面积转化为△△△△矩形=---CEF AEF BCF CDE ABCD S S S S S 即可求解． 【详解】解：如图，在矩形ABCD 中， E 、F 分别为AD 、AB 的中点， 设2AD b =， 2AB a =， ①AF BF a ==，==AE DE b ，①在Rt AEF △、Rt BCF 、Rt CDE △中，依次可得到：EFCF==CE①△△△△矩形=---CEF AEF BCF CDE ABCD S S S S S 1112222222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯a b a b a b a b142=---ab ab ab ab32ab =． 故选：A【点睛】本题考查二次根式的应用．能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形的面积转化为矩形和几个直角三角形的面积之差．利用数形结合是解答本题的关键． 11．C【分析】联立方程组求得M 点坐标，并由只有一个交点条件求得a 、b 的关系式， 再由新定义和2||4M ≤≤列出b 的不等式，，求得b 的取值范围，由2242022t b a =-+，得出t 关于b 的二次函数解析式，再根据函数的性质求得t 的取值范围．【详解】解：①抛物线21y ax bx =++与直线y x =只有一个交点M ，①方程组21y x y ax bx =⎧⎨=++⎩只有一组实数解， ①()2110ax b x +-+=，①()2140b a =--=△， ①()21b =-4a ，即()2114b =-a ， ①方程()2110ax b x +-+=可以化为()()22111104b x b x -+-+=， 即()()2214140b x b x -+-+=， ①1221x x b ==-， ①1221y y b==- ①22,11M b b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， ①点M 在第一象限， ①10b ->， ①2||4M ≤≤， ①222||||411b b≤+≤--， ①2121b≤≤-， 解得：10b -≤≤， ①2242022t b a =-+，①()()22221202212020t b b b =--+=++， ①10b -≤≤，①t 随b 的增大而增大， ①1b时，2020t =，0b =时，2021t =，①t 的取值范围为20202021t ≤≤． 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二元二次方程组、一元二次方程及其判别式、一元一次不等式组等知识．把问题转化为方程或方程组，构建二次函数并且利用二次函数的性质解决问题是解题的关键． 12．A【详解】123453,3,3,3,3，……的末位数字分别为3，9，7，1，3，……，它们是以3，9，7，1四个数为一个周期循环出现的．而199144973=⨯+，所以19913的末位数字与33的末位数字相同，都为7．因此，1991331991+的末位数字与71+的末位数字相同，都为8． 13．B【详解】解法一 首先4个数1，3，6，8满足题目要求，故所求k 的最大值4≥． 若5k ≥，记第n 个数为(1,2,,)n a n k =，且12 k a a a <<<，则分下列几种情形：（1）1a 为奇，2a 为奇，于是21a a -为偶数． 又21a a -为质数，故212a a -=，即212a a =+．若3a 为奇数，又32a a ≠，故31a a -为不等于2的偶数，即31a a -为不小于4的偶数，即31a a -为合数，矛盾．故3 a 为偶数，4a 也只能为偶数．那么，若5a 为奇，则51312a a a a ->-≥为偶数，即51a a -为不小于4的偶数，从而51a a -为合数，矛盾．若5a 为偶数，则53432a a a a ->-≥为偶数，从而53a a -为合数，矛盾． （2）1a 为奇，2a 为偶，于是21a a -为奇数，即213a a -≥． 若3a 为奇数，则31213a a a a ->-≥为偶数，故31a a -为合数，矛盾． 所以3a 为偶数，且322a a -=．若4a 为奇数，则41313a a a a ->-≥为不小于4的偶数，即41a a -为合数，矛盾． 若4a 为偶数，则42322a a a a -->=为不小于4的偶数，即42a a -为合数，矛盾． （3）1a 为偶，2a 为奇或偶，都类似于（1），（2）可导致矛盾． 综上得所求k 的最大值是4，故选B ．解法二 同解法一得4k ≥．若5k ≥，则将全体正整数分为4个不相交的子集1M ，2M ，3M ，4M ，其中i M 由全体被4除余i 的正整数组成(0,1,2,3)i =于是任取5k ≥个数，其中必有2个数a ，b （a b >）属于同一个子集i M ，于是a b -被4整除，a b -不是质数，矛盾．故所求k 的最大值等于4． 14．B 【详解】原式0⇔==，0>0=，即2003 xy =．又2003是质数，所以1,2003x y =⎧⎨=⎩或2003,1.x y =⎧⎨=⎩故选B15．C【详解】选C ．理由：已知1997年7月1日是星期二，则易推知1997年6月9日是星期一．而1898年6月9日至1997年6月9日共99年，其中闰年24次，所以 993652499244(mod7)⨯+≡+≡， 1434(mod7)-≡-≡．16．D【详解】解：要使x 有意义，必须且只需(2)(1)0,(2)(1)0,(2)(1)0,1,110,21101a a a a a a a a a a a ⎧--≥⎪⎧--=--≥⎪⎪⎪⇒≠⇒=-⎨⎨-≠⎪⎪≠⎩⎪+≠⎪-⎩． 所以1988198********05(1)1()(2)(2)1611(1)12x ⨯⨯-+=+=-=-=--+， 故x 的个位数字为6， 故选：D ． 17．C【详解】对A ，因2222()2()0a b c ab bc ca +-++=+，即222()()()0a b b c c a -+-+-=，所以0a b b c c a -=-=-=，即a b c ==，故A 成立． 对B ，因3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=+++++++ 2221()[]()()()02a b c a b b c c a =++-+-+-=， 所以0a b c ++=，或a b c ==，不一定有a b c ==，故B 不成立． 对C ，因44442222220a b c d a b c d +++--=，即222222()()0a b c d -+-=，所以2222,a b c d ==，即,a b c d =±=±，不一定有a b c d ===，故C 不成立． 对D ，因422442242222(2)(2)2240a a b b c c d d a b c d abcd -++-+++-=， 即2222222()()2()0a b c d ab cd -+-+-=，故2222,,a b c d ab cd ===，由此可推出a b c d ===或a b c d =-==-，不一定有a b c d ===成立，故D 不成立，所以本题应选B 、C 、D ．（注：若限定a b c d ,,,都为正数，则B 和D 成立，答案应选C ．） 18．C【详解】设1分、2分和5分的硬币分别取了x 枚、y 枚和z 枚，依题意得10025300x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②，②-①得4200y z +=，可见y 是4的倍数，设4y k =，则100453008x z k x z k +=-⎧⎨+=-⎩，解得503450x k y k z k=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩． 因为x 为非负整数，故5030k -≥，即016,k k ≤≤可取0,1,2,,16中任何一个，有17种取法，从而y 可取0,4,8,,64中任何一个，也有17种取法，故选C ．19．B【详解】理由：当0,1,2m =时，424m m -+都是完全平方数．当3m ≥时，()()22242214m m m m -<-+<，故424m m -+都不是完全平方数．所以，符合条件的自然数m 只有3个． 故选：B 20．A【详解】选A ．理由：考察S 的三个因数和的奇偶性． 21．1或3##3或1【分析】一元一次不等式即为含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，据此即可确定k 的值．【详解】①|2| 43k x -<是关于x 的一元一次方程， ①21k -=，即21k -=±， 解得：k ＝1或3，故答案为：1或3．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，准确理解定义中“一元”与“一次”的含义是解题的关键． 22．-1【分析】根据偶数次幂和绝对值的非负性，求出x ，m 的值，进而即可求解． 【详解】解：①（x ﹣3）2＋|m ＋1|＝0，且（x ﹣3）2≥0，|m ＋1|≥0， ①（x ﹣3）2=0，|m ＋1|＝0， ①x =3，m =-1， ①()311x m =-=-． 故答案是：-1．【点睛】本题主要考查非负数和的性质，代数式求值，掌握偶数次幂和绝对值的非负性，是解题的关键． 23．-15147【详解】323334!3100a b -=-⨯-⨯-⨯--⨯ 3(23!100)3995115147=-⨯+++-⨯⨯=-24．11【详解】①a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，①1ab =-，1a b +=，21a a =+，21bb =+.①332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.25．1634【详解】①2232n n --是6的倍数，①()22232n n --，①23n ，①2n ，设2n m =（m 是正整数），则()22228626612232m m m m m n n =--=-+---．①2232n n --是6的倍数，①21m -是3的倍数，①31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数．①()23162n k k =+=+或()23264n k k =+=+，其中k 是非负整数． ①符合条件的所有正整数n 的和是()()2814869298410168288941634+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+++=．26．10【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式可得+=四边形四边形四边形ABHL ACMN BCEG S S S ，利用正方形的性质证明()Rt ABC Rt HBG HL ≌和()DBC FCE ASA ≌，根据全等三角形的面积相等，从而得出5=△HBG S ，5=四边形ADEF S ，再根据三个正方形面积的关系可得出5+=△四边形FGL DCMN S S ，从而可得阴影面积之和．【详解】解：如图，设AC a =，AB b =，BC c =， ①在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，5ABCS =①222+=a b c ，①四边形BCEG ，四边形ABHL 和四边形ACMN 都是正方形，①2=四边形BCEG S c ，2=四边形ABHL S b ，2=四边形ACMN S a ，①+=四边形四边形四边形ABHL ACMN BCEG S S S ， ①四边形BCEG 和四边形ABHL 是正方形， ①BC BG =，BA BH =，90H ∠=︒， ①HBG 是直角三角形， 在Rt ABC 和Rt HBG △中，BC BGBA BH=⎧⎨=⎩， ①()Rt ABC Rt HBG HL ≌ ①5==△△HBG ABC S S ，①四边形BCEG 和四边形ABHL 是正方形， ①BC CE =，90∠=∠=︒BCD CEF ，①90∠+∠=︒DBC BCA ，90∠+∠=︒FCE BCA ， ①∠=∠DBC FCE ， 在在DBC △和FCE △中，DBC FCE BC CEBCD CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①()DBC FCE ASA ≌， ①=△△DBC FCE S S ，①+=+△△△四边形ABC ACD ACD ADEF S S S S ， ①5==△四边形ABC ADEF S S ，①+=四边形四边形四边形ABHL ACMN BCEG S S S ，又①5=++=++△△△四边形四边形四边形HBG FGL FGL ABHL ABGF ABGF S S S S S S ， =+△四边形四边形ACD ACMN DCMN S S S ，=+++△△四边形四边形四边形ABC ACD BCEG ADEF ABGF S S S S S 55=+++△四边形ACD ABGF S S10=++△四边形ACD ABGF S S ，①5+=△四边形FGL DCMN S S ，①5510++=+=△△四边形HBG FGL DCMN S S S ， ①图中阴影部分面积之和为10． 故答案为：10．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等角的余角相等等知识，运用了等积变换的思想方法．运用等积变换是解题的关键． 27．三【详解】111111158737,200033362=⨯=⨯+，所以200011111个被7除的余数与11被7除的余数相同．因为11714=⨯+，所以从今天算起的第200011111个天是星期三．28．68【详解】解：注意到12361++++616218912⨯==，20081891117-=．因为形如ab 的页码被当成ba 后，加得的和将相差|(10)(10)|9||b a a b b a +-+=-，并且a ，b 只能在1，2，…，9中取值，||8b a -≤，9||72b a -≤．设弄错的两数是ab 和cd ，则9||9||117b a d c -+-=，而将117写成两个正整数之和，其中每个数既要不大于72，又要是9的倍数，只有下列两种可能：11772456354=+=+．当9||72b a -=，9||45d c -=时，||8b a -=，||5d c -=，则只有19ab =，而cd 可取16，27，38，49，此时ab cd +的最大值是194968+=．当9||63b a -=，9||54d c -=，即||7b a -=，||6d c -=，此时ab 可取18，29，cd 可取17，28，39，则ab cd +的最大值是293968+=． 综上所述，ab cd +的最大值是68，故应填68． 29．432【详解】解 因题目中条件去分母整理后可写为：()()()223323333346364460x y x y -+--⋅-+-⋅=，（()()()223323333546564460x y x y -+--⋅-+-⋅=，故依题目条件知33t =或35t =是关于t 的方程()()23333334664460t x y t x y -+---+-⋅=的两根．由韦达定理，得33333546x y +=+--， 所以33333456432x y +=+++=． 30．23x ≤≤【详解】由22232(3)25x x x x x x x -=----=---=-，得2030x x -≥⎧⎨-≤⎩即23x ≤≤．故填23x ≤≤．31．1【详解】解：设2521m n ⨯+=（其中n 为正整数）， 则2521(1)(1)m n n n ⨯=-=+-，①52m ⨯是偶数，①n 为奇数，设21n k =-（其中k 是正整数），则524(1)m k k ⨯=-，即()2521m k k -⨯=-，显然1k >，①k 和1k -互质，①25211m k k -⎧=⨯⎨-=⎩或2512m k k -=⎧⎨-=⎩或2215m k k -⎧=⎨-=⎩， 解得：5k =，4m =．因此，满足要求的整数m 只有1个．故答案为：1．32．①①①①【分析】利用正方形的性质，通过证明三角形全等以及利用四点共圆的判定和圆周角定理逐一判断即可得出正确答案．【详解】解:①正方形ACDE 和正方形BCGF ，①CB CG =，AC CD =，ACD BCG ∠=∠；①ACD DCG BCG DCG +=+∠∠∠∠，即ACG BCD =∠∠，①()ACG DCB SAS △≌△，①AG BD =，CAG CDB =∠∠①①正确；①CAG CDB =∠∠，①点A 、D 、O 、C 四点共圆，如图，连接AD ，①°=45AOC ADC =∠∠，故①正确；同理可证°=45BOC ∠，①°=45AGC OCG BDC OCD +=+∠∠∠∠，由()ACG DCB SAS △≌△知=AGC DBC ∠∠，而DBC ∠与BDC ∠不一定相等，①OCG ∠与OCD ∠不一定相等，因此①不一定成立；如图，延长CM 至H ，使MH =CM ，连接AH ，①M 点是AB 的中点，①AM =BM ，又①=AMH BMC ∠∠，①()AMH BMC SAS △≌△，①AMH BMC S S =△△，①AHC ABC S S =△△①AH =BC ，=MAH MBC ∠∠①AH =CG ，=CAH CAM MAH CAM MBC +=+∠∠∠∠∠，①°=180CAM MBC ACB ++∠∠∠，°°°°=3609090=180DCG ACB +--∠∠，①=CAM MBC DCG +∠∠∠，即CAH DCG =∠∠，①()AHC CGD SAS △≌△，①AHC CGD S S =△△，①ABC CGD S S =△△，故①正确；由()AHC CGD SAS △≌△，①ACH CDN =∠∠，①°°==180=90CDN DCN ACM DCN ACD ++-∠∠∠∠∠，①°=90CND ∠，故①正确；因此①①①正确；故答案为：①①①①．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆的判定、圆周角定理、倍长中线法构造全等三角形等内容，本题综合性较强、需要学生熟练掌握相关知识并进行灵活运用，本题蕴含了数形结合的思想方法等．33．504【详解】解 填504，理由：从1，2，…，2008中选出两个偶数，和为2012的共有501组，即42008+，62006+，…，10041008+．由于2或1006与其中的任意一个偶数之和均不等于2012，因此，至少取出50121504++=个偶数，才能保证其中一定有两个偶数之和为2012.34．21，42，63，84 【详解】设所有两位数是xy ，则10()x y k x y +=+．其中k 是正整数，且为7的倍数．当7k =时，107()x y x y +=+，即2x y =．当1y =时，2x =；2y =时，4x =；3y =时，6x =；4y =时，8x =．当14k =时，1014()x y x y +=+，即4130x y +=．此方程无正整数解．当21,28,k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，方程均无正整数解．所以满足条件的两位数是：21，42，63，84．35．1【分析】先将原方程等号左边部分因式分解，可得2()()32x y x y +-=，根据题意列举出两个正整数乘积为32的情况，考虑到因式分解后含有2()x y +，在保证正整数集的条件下，可列出三个二元一次方程组，分别解方程组即可获得答案．【详解】解：3322x y x y xy -+-22()()x x y y x y =+-+22()()x y x y =+-()()()x y x y x y =++-2()()x y x y =+-，由题意可知2()()32x y x y +-=，列举出两个正整数乘积为32的情况，可以有以下三种（只是因数位置不同的算一种）， 13232⨯=，21632⨯=，4832⨯=，①因式分解后含有2()x y +，在保证正整数集的条件下，则有0x y +>，又①211=，224=，2416=，①根据题意可列出方程组为132x y x y +=⎧⎨-=⎩或28x y x y +=⎧⎨-=⎩或42x y x y +=⎧⎨-=⎩， 解第一个方程组，可得16.515.5x y =⎧⎨=-⎩， 解第二个方程组，可得53x y =⎧⎨=-⎩， 解第三个方程组，可得31x y =⎧⎨=⎩， 只有第三个方程组的解均为正整数，因此原方程的正整数解得个数为1个．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用以及解二元一次方程组，灵活运用相关知识，正确进行因式分解是解题关键．36．132x = 【详解】解 原方程化为2222111111215217292x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即111111215217292x x x x+=+----， 即111111292172152x x x x-=-----， 通分得22(112)(92)(172)(152)x x x x --=----， 去分母(172)(152)(112)(92)x x x x --=--，即2225564499404x x x x -+=-+． 解之得132x =．经检验132x =是原方程的根． 故填132x =． 37．4【详解】理由：22(1)320060x x y x ---+=，即2(1)232006x y x x -=-+．显然1x =不满足方程，故1x ≠． 因此22320061x x y x -+=- (1)(21)20051x x x --+=- 2005211x x =-+-． 从而12005x -．由于20054015=⨯，故取2,6,402,2006x =，分别可得相应的正整数y ，故共有4对正整数解．38． 329 335或334【详解】要使10a 最大，必须1a ，2a ，3a ，4a 及6a ，7a ，8a ，9a ，10a 尽量小．又因为1210a a a <<<，且1a ，2a ，3a ，4a 的最小可能值依次为1，2，3，4，于是有2000123≥+++56104a a a ++++，即56101990a a a +++≤．又651a a ≥+，752a a ≥+，853a a ≥+，954a a ≥+，1055a a ≥+，故51990615a ≥+，51975132966a ≤=．又5a 为正整数，所以5329a ≤，于是6710a a a +++=199********-=．又761a a ≥+，862a a ≥+，963a a ≥+，1064a a ≥+，故65101661a +≤，616515a ≤=13305，且6a 为正整数，所以6330a ≤，而651330a a ≥+=，所以6330a =，要7a ，8a ，9a 最小得7331a =，8332a =，9333a =，这时101661a =-()6789335a a a a +++=．但如果取1a ，2a ，3a ，4a 依次为1，2，3，5，那么同样可得569,,,a a a 取上述值，这时10334a =．故应填5a 的最大值是329，这时10a 的值应是335或334．39 【分析】先根据条件证明()ASA BCN DCP ≌△△，再由1010DQ BP BQ BN --=得出120BED ∠=︒，进而有E 在以O 为圆心，BO 为半径的圆上，再延长CA 至F 使得，)1OF OE =，构造AOE EOF ∽△△，从而有)1CE AE CE EF CF +=+≥，再由勾股定理求出CF 即可．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，BCN DCP ∠=∠，DM BN ⊥，NBC PDC ∴∠=∠，(ASA)BCN DCP ∴△≌△，CP CN ∴=，5AB =， ∴1010DQ BP BQ BN --=可以变形为552DQ BP BQ BN AB -+-=， ∴2CQ CP BQ BN AB +=， ∴2CQ CN BQ BN AB +=， ∴2QN BQ BN AB=， 在BQN △中，由正弦定理得到sin sin QN BN QBN BQN=∠∠，∴sin 1sin 22QBN QN BQ BQ BQN BN AB BC∠===⋅∠， 在Rt BQC △中，sin BC BQC BQ ∠=， ∴sin 111sin 22sin QBN BQ BQN BC BQC∠=⋅=⋅∠∠， BQC BQN ∠=∠，1sin 2QBN ∴∠=， 30QBN ∴∠=︒，120QBC BCD PCQ BED ∴∠+∠+∠=∠=︒，连接BD ，AC 交于G 点，在BD 上取一点O ，连接BO 、CO ，使得120BQD ∠=︒，则在以O 为圆心，BO 为半径的圆上，延长CA 至F 使得，)1OF OE =，如图所示：5AB =，BD AC ∴==BO OE ∴==，12AG GC AC ===， 30OBG ∠=︒，12OG OB ∴==，OA ∴=∴1OEOA=，∴OE OFOA OE=，AOE EOF∠=∠，AOE EOF∴△∽△，)1EF AE∴=，)1CE AE CE EF CF∴+=+≥，CF OF OC=+，)1CF OE OC∴=+=)1CE AE∴+，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正弦定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决此题的关键是根据正弦定理将1010DQ BP BQBN--=转化为120BED∠=︒，判断出E在以O为圆心，BO为半径的圆上，构造AOE EOF△∽△将)1CE AE+最小值转化为CF．40．1716PC<<【分析】首先利用光的反射定律及等边三角形的性质证明①P0P1C①①P2P1A①①P2P3B，再根据相似三角形对应边成比例得到用含P3B的代数式表示P1C的式子，然后由1＜BP3＜32，即可求出P1C长的取值范围．【详解】解：①反射角等于入射角，①①P0P1C＝①P2P1A＝①P2P3B，又①①C＝①A＝①B＝60°，①①P0P1C①①P2P1A①①P2P3B，①01P CPC＝21P AP A＝23P BP B，设P1C＝x，P2A＝y，则P1A＝2﹣x，P2B＝2﹣y．①1x ＝2y x-＝32y P B -， ①322xy x x xy P B =-⎧⎨-=⎩， ①x ＝13（2+P 3B ）． 又①1＜BP 3＜32， ①1＜x ＜76， 即P 1C 长的取值范围是：1＜P 1C ＜76． 故答案为：1＜P 1C 76<． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质找出对应点是解此题的关键，难度较大．41．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）应用作矩形的对角线的方法；（2）因为ACD APH ≅，求出PH 的值，然后求出PQ 的值，根据相似三角形的性质2NPQ APH SPQ S PH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求出NPQ ∆的面积，计算右部分面积之和． (1)解：答案不唯一，合理即可，以下画法仅供参考．(2),,CDA PHA AD AH CAD PAH ∠=∠=∠=∠，∴ACD APH ≅，ACD APH S S ∴=，PH CD ==，1PQ HQ PH ∴=-==， ,APH NPQ AHP NQP ∠=∠∠=∠，∴APH NPQ ~，2NPQ APH SPQ S PH ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 221•••12NPQ APH PQ PQ S S CD PH CD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22PQ CD=， 22⎛=÷ ⎝⎭⎝⎭，12=， ①在直线CN 右侧部分的面积=6个小正方形的面积+NPQ △的面积113622=+=， ①直线CN 等分洛林十字架． 【点睛】本题考查图形面积的等积变化，涉及知识点：全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质（相似三角形面积的比等于相似比的平方），解题关键应用相似三角形面积的比等于相似比的平方．42．(1)12，45；(2)见解析；(3)8，2【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答；（2）由题意知，CD 垂直平分BE ，连接BF ，则BF=EF ，求得①EBF =①AEB ＝45°，利用外角的性质得到①AFB =①EBF +①AEB ＝90°，即可得到结论；（3）当点A 、C 、E 在一条直线上时，线段AE 最大，最大值为4+4=8，当MF ①BC 时线段MF 最小，根据BC 的中点M ，得到CF=BF ，设BG=FG=x ，则x ，CG+1)x ，由勾股定理得222CG BG BC +=，求出28x =-222BM MF BF +=，即可求出2MF =．【详解】（1）解：①AC ＝BC ＝EC ，①A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上， ①①AEB ＝12①ACB ， ①①AEB ＝45°． 故答案为：12，45；（2）解：由题意知，CD 垂直平分BE ， 连接BF ，则BF=EF ， ①①EBF =①AEB ＝45°． ①①AFB =①EBF +①AEB ＝90°． ①①ACB ＝90°，①A 、B 、F 、C 在以AB 为直径的圆上，即A 、B 、F 、C 四点共圆；（3）解：当点A 、C 、E 在一条直线上时，线段AE 最大，最大值为4+4=8， 当MF ①BC 时线段MF 最小， ①BC 的中点M ， ①CF=BF ，设BG=FG=x ，则，CG x ， ①222CG BG BC +=，①2221)4x x ⎡⎤+=⎣⎦，得28x =- ①222BM MF BF +=，①2222)MF +=，得2MF =，故答案为：8，2 ．．【点睛】此题考查了圆周角定理，四点共圆的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键． 43．见解析【分析】利用三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形，将三角形空地分成面积相等的四块．【详解】解：划分方案如图所示【点睛】本题考查了与三角形中线有关的等面积问题，解决本题的关键是构造三角形的中线． 44．见解析【详解】证明 将M 分为下列4个点集： {}(,)1,2,3,4,5,(1,2,3,4)i M x y x y i i ====．则由第二抽屉原理知1234,,,M M M M 必有一个集合内至多有1124⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个红色点，不妨设4M ，内至多有2个红色点，从而123M M M 内至少有1129-=个红色点．再将123M M M 分成下列5个点集：{}(,),1,2,3(1,2,3,4,5)i N x y x i y i ====．由第二抽屉原理，12345,,,,N N N N N 必有一个集合内至多有915⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个红色点，不妨设5N 内至多有1个红色点，从而1234N N N N 内至少有918-=个红色点，又将1234N N N N 分成下列3个点集：{}(,)1,2,3,4,(1,2,3)j M x y x y j j '====．由第二抽屉原理知123,,M M M '''中必有一个集合内至多有823⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个红点，不妨设3M '内至多有2个红色点，从而{}12(,)1,2,3,4,1,2M M x y x y ''⋃===内至少有826-=个红色点，又将12M M ''，分为4个集合：{}(,),1,2(1,2,3,4)i N x y x i y i '====．因为这4个集合内一共至少有6个红色点，且每个集合内只有2点，故必有2个集合内有2个红色点（否则这4个集合内一共至多只有11125+++=个红色点，矛盾）．不妨设13,N N ''内4个点都为红色点，这4点即为一个矩形的4个顶点，且矩形的边与坐标轴平行，从而完成了题目的证明． 45．见解析【详解】由8316378+=()82161161778578++⨯及()8216157|78+，得()8316357|78+．46．6【详解】设10个学生为1210,,,a a a ，n 个课外活动小组为12,,,n B B B ．首先，每个学生至少参加了两个课外活动小组，否则，若有某个学生只参加一个课外活动小组，不妨设这个学生为1a ，他参加的小组为1B ，则由于每两个学生都至少参加一个小组，所以1B 内就有10个人了，于是对1B ，2B 不存在两人，他们都不在1B 、2B 内．矛盾． 若有一个学生恰参加两个课外活动小组，不妨设1a 恰参加1B 和2B ，由题设，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是，他们与1a 没有参加同一个小组，矛盾． 所以，每个学生至少参加三个课外活动小组． 于是参加n 个课外活动小组1120,,,B B B 的人数之和不小于31030⨯=．另一方面，每个课外活动小组至多有5人参加，所以n 个小组12,,,n B B B 至多有5n 人参加，故530n ≥，6n ≥． 下面例子说明6n =可以达到．。
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初中数学竞赛模拟题（6）
姓名 成绩
一：选择题（每小题3分，共12分）
1、a 、b 、c 都是实数，且a ≠0，a +b +2c =0，则方程ax 2+bx +c =0（ ）。
（A ）有两个正根 （B ）至少有一个正根 （C ）有且只有一个正根 （D ）无正根
2、DE 为∆ABC 中平行于AC 的中位线，F 为DE 中点，延长AF 交BC 于G ，则∆ABG 与∆ACG 的面积比为（ ）
（A ）1：2 （B ）2：3 （C ）3：5 （D ）4：7
3、三角形三条高线的长为3，4，5，则这三角形是（ ）
（A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）形状不能确定
4、将函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象绕y 轴翻转1800，再绕x 轴翻转1800，所得的函数图象对应的解析式为（ ）
（A ）y =-ax 2+bx -c （B ）y =-ax 2-bx -c （C ）y =ax 2-bx -c （D ）y =-ax 2+bx +c
二：填空题（每小题3分，共18分）
1、已知a 是1997的算术平方根的整数部分，b 是1991的算术平方根的小数部分，则化简a
(181+411)b 的结果为 。
2、已知α是方程4x 2+4x -1=0
的根，则a 3-1
a 5+a 4-a 3-a
2 的值等于 。
3、一次函数y =
1-kx
k +1
（k 是正整数的常数）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为S k ，则100321S S S S +++的值是 。
4、一条直线过∆ABC 的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为 。
5、以线段AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆周上的点， 且OC 2=AC ·BC ，则∠CAB = 。
6、如图，在扇形MON 中，∠MON =900，过线段MN 中点A 作AB ∥ON 交M 弧MN 于点B ，则∠BON = 。
A
B
O
M
N
三：解答题（每小题15分，共90分）
1、如图，一次函数的图象过点P （2，3），交x 轴的正半轴与A ，交y 轴的正半轴与B ， 求△AOB 面积的最小值．
2、如图，在任意△ABC 的外部作△BPC 、△CQA 和△ARB ，使∠PBC =∠CAQ =45°， ∠BCP =∠QCA =30°，∠ABR =∠BAR =15°求证：（1）RP =RQ （2）∠PRQ =90°
3、已知如图，圆内接四边形ABCD ，AB =AD ，PB =BO ，CE ⊥PE ，CD =18，求DE 。
A
B
C
E
D
P
O
R
Q
P
C
B
A
4、某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？
5、已知n 是正整数，且2n +1与3n +1都是完全平方数．是否存在n ，使得5n +3是质数？如果存在，请求出所有n 的值；如果不存在，请说明理由．
6、对a>b>c>0，作二次方程：()02=+++++-ca bc ab x c b a x .
（1）若方程有实根，求证：a 、b 、c 不能成为一个三角形的三条边长。
（2）若方程有实根x 0，求证：c b x a +>>0. （3）当方程有实根6、9，求正整数a 、b 、c 。