高三数学一轮复习课时作业 (9)对数与对数函数文新人教B版

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2023届高考数学一轮复习作业对数与对数函数新人教B版

对数与对数函数一、选择题1．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋bB [由题设，得1a ＝log 0.30.2>0，1b ＝log 0.32<0．∴0<1a ＋1b ＝log 0.30.4<1，即0<a ＋bab<1．又a >0，b <0，故ab <a ＋b <0．]2．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax 和g (x )＝log a (x ＋2)(a ＞0，且a ≠1)的图象可能为( )A BC DA [由a ＞0知，函数f (x )＝2－ax 为减函数，则排除C ．当0＜a ＜1时，函数f (x )的零点x ＝2a＞2，则排除D ．当a ＞1时，函数f (x )的零点x ＝2a ＜2，且x ＝2a＞0，则排除B ．故选A ．]3．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1 000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1 000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102 567种方法，设这个数为N ，则lg N 的整数部分为( )A ．2 566B ．2 567C ．2 568D ．2 569 B [由题可知，lg N ＝lg(4.02×102 567)＝2 567＋lg 4.02．因为1＜4.02＜10，所以0＜lg 4.02＜1，所以lg N 的整数部分为2 567．故选B ．] 4．(2021·河南郑州高三三模)已知55>3213，a ＝log 23，b ＝log 35，c ＝2135，则( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a >c >bD ．b >c >aA [由对数函数的性质，可得a ＝log 23>log 28＝32，b ＝log 35<log 327＝32，所以a >b ；又由lg 55>lg 3213，所以5lg 5>213lg 3，即lg 5lg 3＝log 35>2135，所以b >c ，所以a >b >c ．]5．已知函数f (x )＝log a (6－ax )在区间[2,3]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(1,3) D ．(1,3]A [由a ＞0知，函数y ＝6－ax 为减函数，要使f (x )＝log a (6－ax )在[2,3]上为减函数，则a ＞1，且6－ax ＞0在x ∈[2,3]上恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，6－3a ＞0，解得1＜a ＜2，故选A ．]6．已知函数f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )，则下列说法正确的是( ) ①f (x )在(2,6)上单调递增； ②f (x )在(2,6)上的最大值为2ln 2； ③f (x )在(2,6)上单调递减；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④D [f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )＝ln[(x －2)(6－x )]，定义域为(2,6)．令t ＝(x －2)(6－x )，则f (x )＝ln t ．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，又f (x )的定义域为(2,6)，所以f (x )的图象关于直线x ＝4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选D ．]二、填空题7．计算：log 510＋log 50.25－⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 32＝________．32[log 5 10＋log 50.25－⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 32＝2log 510＋log 50.25－3－log 32＝log 5100＋log 50.25－3log 312＝log 525－12＝2－12＝32．]8．若函数f (x )＝log a x (a >1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝________． 2 [∵a >1，所以函数f (x )在区间[a,2a ]上为增函数，由已知条件可得log a (2a )＝3log a a ＝log a a 3，∴a 3＝2a ，∵a >1，解得a ＝2．]9．已知函数f (x )＝|lg x |，若f (lg m )>f (2)，则实数m 的取值范围是________． (1，10)∪(100，＋∞) [如图，画出f (x )＝|lg x |的大致图象，易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (2)，所以0<lg m <12或lg m >2，解得1<m <10或m >100，即实数m 的取值范围是(1，10)∪(100，＋∞)．]三、解答题10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2． (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． [解](1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)， ∴a ＝2．由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2．11．设函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，且19≤x ≤9．(1)求f (3)的值；(2)求函数f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值． [解](1)∵函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，且19≤x ≤9，故f (3)＝log 327·log 39＝3×2＝6．(2)令t ＝log 3x ，则－2≤t ≤2，且f (x )＝(log 3x ＋2)(1＋log 3x )＝t 2＋3t ＋2，令g (t )＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14，故当t ＝－32时，函数g (t )取得最小值为－14，此时求得x ＝3－32＝39；当t ＝2时，函数g (t )取得最大值为12，此时求得x ＝9．1．已知函数f (x )＝ln(|x |＋1)＋x 2，若f (2a－5)<f (3)，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B ．(1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B [∵f (x )＝ln(|x |＋1)＋x 2，∴f (－x )＝ln(|－x |＋1)＋(－x )2＝ln(|x |＋1)＋x 2＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数，当x ∈[0，＋∞)时f (x )＝ln(x ＋1)＋x 2，由y ＝ln(x ＋1)，y ＝x 2都在[0，＋∞)上单调递增，得f (x )＝ln(x ＋1)＋x 2在[0，＋∞)上单调递增，因为f (x )为R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以由f (2a －5)<f (3)，可得－3<2a－5<3，解得1<a <3．] 2．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则( ) A ．ln(y －x ＋1)＞0 B ．ln(y －x ＋1)＜0 C ．ln|x －y |＞0D ．ln|x －y |＜0A [由2x －2y <3－x －3－y ，得2x －3－x <2y －3－y ，即2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x<2y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13y．设f (x )＝2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )<f (y )．因为函数y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上为增函数，所以f (x )＝2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上为增函数，则由f (x )<f (y )，得x <y ，所以y －x >0，所以y －x ＋1>1，所以ln(y －x ＋1)>0，故选A ．]3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0，且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围． [解](1)因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1．故所求函数的定义域为{x |－1＜x ＜1}．(2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，由f (x )＞0，得x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1．所以x 的取值范围是(0,1)．1．已知函数f (x )＝log 3ax ＋6x ＋3在区间(－3,3]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 C ．(－2,2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 C [令u ＝ax ＋6x ＋3，由题意可知，u ＝ax ＋6x ＋3>0对任意的x ∈(－3,3]恒成立，因为x ＋3>0，则ax ＋6>0对任意的x ∈(－3,3]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋6≥0，3a ＋6>0，得－2<a≤2．因为函数f (x )＝log 3ax ＋6x ＋3在区间(－3,3]上单调递减，外层函数y ＝log 3u 为增函数，故内层函数u ＝ax ＋6x ＋3＝a x ＋3＋6－3a x ＋3＝a ＋6－3ax ＋3在区间(－3,3]上为减函数，所以，6－3a >0，可得a <2．综上所述，－2<a <2．]2．若函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )＞0，求实数a 的取值范围．[解] 当0＜a ＜1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a ＞0，即0＜43－a ＜1．又2×12－a ＞0，解得13＜a ＜43，且a ＜1，故13＜a ＜1；当a ＞1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )＞0，即1－a ＞1，且2×12－a ＞0，解得a ＜0，且a ＜1，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1．。

高考数学一轮复习学案第9讲对数函数（原卷版）

第9讲对数函数（原卷版）考点内容解读要求常考题型 1．对数函数的图像和性质理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用对数函数性质的归纳与运用Ⅱ选择题，填空题1．对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，Na log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②xN N a a x =⇔=log ；③ 注意对数的书写格式．两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①Ma (log ·=)N ；②=N M alog ；③ n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）a b b a log 1log =．2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做。

2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为，值域为．（2）图象：由于对数函数是指数函数的，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。

对数与对数函数--选择题-2025届高中数学人教B版一轮复习题型滚动练(含解析)

对数与对数函数选择题 ——2025届高中数学人教B 版一轮复习题型滚动练一、选择题1．函数()2ln(23)f x x x =--+的单调递减区间为( )A.(,1)-∞-B.(1,)-+∞C.(1,1)-D.(1,)+∞2．已知2a b =，23b =，log 6b c =，则( )A.1b ac+= B.3b a c += C.2ac a b += D.b ac =3．2log 50.5=( )4．若函数()()2ln 22f x x mx m =-++的值域为R ，则m 的取值范围是( )A.()1,2-B.[]1,2-C.()(),12,-∞-+∞D.(][),12,-∞-+∞ 5．神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空,在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务,期间进行了很多空间实验,目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限,要通过回收水的方法制造可用水.回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水,循环使用.净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤的次数为( )（参考数据lg 20.3010=）A.10B.12C.14D.166．函数2lg[(2)1]y x m x =+-+的值域为R .则实数m 的取值范围是( )A.(0,4)B.[0,4)C.(,0)(4,)-∞+∞D.(,0][4,)-∞+∞ 7．牛顿曾提出：物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为1C θ ,空气温度为0C θ ,则t 分钟后物体的温度θ（单位：C ︒）满足：()010e kt θθθθ-=+-（k 为常数）.若0.02k =,空气温度为20C ,某物体的温度从80C 下降到50C 以下,至少大约需要的时间为( )（参考数据：ln20.69≈）A.25分钟B.32分钟C.35分钟D.42分钟8．已知ln a a +=b b +=A.2a b << B.2a b << C.2b a << D.2b a<<9．已知()()2lg 21f x ax ax =++的值域为R ,则实数的取值范围为( )A.()0,1 B.(]0,1 C.[)1,+∞ D.()(),01,-∞+∞ 10．已知a =5b =,58c =,则( )A.a b c << B.a c b << C.c b a << D.b c a<<11．已知函数12()log a f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.(,1]-∞ B.[0,1] C.(1,1]- D.[1,)+∞12．方程()2lg(21)lg 9x x --=-的根为( )A.2或4-B.4-C.2D.2-或413．若函数()7,42log (1),4a x x f x x x -+≤⎧=⎨+->⎩（其中0a >,且1a≠）的最小值是3,则a的取值范围是( )a <<1a ≤< C.13a << D.13a <≤14．计算的结果是( )A.1 B.2 C.lg2 D.lg515．在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字.这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d (1,2,9,d = )的概率为1lg 1d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为( )(参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈)A.2.9B.3.2C.3.8D.3.916．已知函数()()()log 4a f x x a x =--⎡⎤⎣⎦在()3,4上单调递减，则a 的取值范围是( )()2lg 2lg 20lg 5+⨯A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.(]1,2D.[)2,417．设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若，则( )A. B. C. D.1e a b +<18．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，设51049N =⨯，则N 所在的区间为( )（lg 20.3010≈，lg 30.4771≈）A.()101110,10B.()111210,10C.()121310,10D.()131410,1019．根据有关资料,围棋的状态空间复杂度的上限约为3613,记3613M =.光在真空中的速度约为8310m /s ⨯,记8310N =⨯（参考数据：lg30.48≈）A.15510B.16510C.17510D.1851020．若lg a 与lg b互为相反数,则( )A.a b +=1= C.1ab = D.以上答案均不对1e ln a a b b b ++<e ab >1e a b +>e ab <参考答案1．答案：C解析：由函数()2ln(23)f x x x =--+，令2230x x --+>，即2230x x +-<，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，令()223g x x x =--+，根据二次函数的性质，可得()g x 在(3,1)--单调递增，在(1,1)-上单调递减，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，即()f x 的递减区间为(1,1)-.故选：C.2．答案：A解析：因为2a b =，23b =，所以2log a b =，2log 3b =，，222log log 6log 6log 31b ac b =⋅==+，故1b ac +=.故选：A.3．答案：C解析：222log 5log 5log 510.522-⎛⎫=== ⎪⎝⎭21log 52=故选：C.4．答案：D解析：函数()()2ln 22f x x mx m =-++的值域为R ，则函数222y x mx m =-++的值域应包含()0,+∞，则有()()22420m m --+∆≥=，解得1m ≤-或2m ≥，所以m 的取值范围是(][),12,-∞-+∞ .故选：D.5．答案：C解析：设过滤的次数为n ,原来水中杂质为1,则()120%5%n -<,即0.8n <所以lg 0.8n <所以lg 0.8lg 20n <-,所以lg 20lg 201lg 213.4lg 0.813lg 213lg 2n -+>==≈--,因为n *∈N ,所以n 的最小值为14,则至少要过滤14次.故选:C.6．答案：D解析：由函数2lg[(2)1]y x m x =+-+的值域为R ,得2(2)1x m x +-+的值域包含正实数集,因此2(2)40m --≥,解得0m ≤或4m ≥,所以实数m 的取值范围是(,0][4,)-∞+∞ .故选：D.7．答案：C解析：由题知020θ=,180θ=,50θ=,所以()0.025*******e t -=+-,可得0.02e t -=所以10.02t ln ln22-==-,50ln 234.5t ∴=≈.即某物体的温度从80C 下降到50C 以下,至少大约需要35分钟.故选：C.8．答案：B 解析：设()ln f x x x =+,易知()f x 在(0,)+∞上单调递增.且()5ln 2f a a a =+=,()()522ln 222f f a =+>+==,所以2a <;设()lg g x x x =+,易知()g x 在(0,)+∞上单调递增.且()lg g b b b =+=()()522lg 222g g b =+<+==,所以2b <.综上：2a b <<.故选：B.9．答案：C 解析：设,又()f x 值域为R ,能取遍所有正数,2Δ4400a a a ⎧=-≥∴⎨>⎩,解得,故选：C.10．答案：C解析：3log 5b =比大小,先比较5与2与33的大小,2353<,.b a ∴<5logc =比大小,先比较8与2与35的大小,2385<,.c a ∴<5335log 5log 3125(7,8)b ==∈,5555log 8log 32768(6,7)c ==∈,55c b ∴<,即c b a <<,11．答案：C 解析：令t x =()f x 在[1,)+∞上单调递减，且1log2y t =是减函数，所以根据复合函数的单调性可得t x =上单调递增.当时，在，即，此时在上恒成立；当时，满足题意；当0a <时，a t x x =+在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，又需满足真数，所以，即，即.综上.12．答案：B解析：由已知，得2219x x --=-，即2280x x +-=，解得4x =-或2x =.经检验当2x =时，221950x x --=-=-<，舍去，所以原方程的根为4-，故选B.13．答案：D解析：由函数()7,42log (1),4a x x f x x x -+≤⎧=⎨+->⎩（其中0a >,且1a ≠）的最小值是3,221t ax ax =++t ∴1a ≥)+∞0a >a t x x=++∞1≤01a <≤0a x x +>[1,)+∞0a =t x =0a x x +>101a +>1a >-10a -<<11a -<≤当4x ≤时,函数()7f x x =-+为单调递减函数,所以()()min 43f x f ==,则当4x >时,函数()2log (1)a f x x =+-为单调递增函数,则1a >,且满足()()42log 33a f x f >=+≥,即log 31a ≥,解得13a <≤,综上可得,实数a 的取值范围为(1,3].故选：D.14．答案：A解析：由题意,()()()22lg 2lg 20lg 5lg 2lg 5lg 4lg 5+⨯=++⨯()()22lg 2lg 52lg 5lg 2=++⨯()()22lg 2lg 5lg101=+==.故选：A.15．答案：C解析：依题意一个数的首位数字是1的概率为lg 2，一个数的首位数字是5的概率为16lg 1lg 55⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()lg 2lg 2lg 6lg 5lg 2lg 3lg10lg 2==-+--lg 20.301 3.82lg 2lg 3120.3010.4771=≈≈+-⨯+-.故选：C.16．答案：C解析：因为()()()log 4a f x x a x =--⎡⎤⎣⎦在()3,4上单调递减，则()()40x a x -->对任意的()3,4x ∈恒成立，可得03a <≤且1a ≠；且()()()()2444g x x a x x ax a =--=-++-开口向下，对称轴x =当01a <<时，则对称轴452,22a x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，可知()g x 在()3,4内单调递减，且log a y x =在定义域内单调递减，所以()f x 在()3,4上单调递增，不合题意；当13a <≤时，因为log a y x =在定义域内单调递增，可知()g x 在()3,4内单调递减，3≤，解得12a <≤；综上所述：a 的取值范围是(]1,2.故选：C.17．答案：B解析：由已知，得1e (ln 1)a a b b b +<-=ln e ln e a a b <()ln f x x x =，则()e e a b f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭.因为0a >，所以e 1a >.因为1(ln 1)e 0a b b a +->>，0b >，所以ln 1b >，即b >1>.当1x >时，()ln 10f x x '=+>，则()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以e a <1e a +>.18．答案：C解析：由51049N =⨯两边取常用对数，510lg lg(49)5lg 410lg 910lg 220lg 3 3.0109.54212.552N =⨯=+=+≈+=，则12.552121310(10,10)N =∈.故选：C.19．答案：B36183310==⨯360360883lg lg3lg10360lg383600.48816510M N ==-=-≈⨯-≈,16510≈.故选：B.20．答案：C解析：因为lg a 与lg b 互为相反数,则()lg lg lg 0a b ab +==,因此,1ab =.故选：C.。

高考数学一轮复习课时作业(九)第9讲对数与对数函数文-人教版高三全册数学试题

课时作业(九)第9讲对数与对数函数时间/30分钟分值/80分基础热身1.[2017·某某三模]已知集合M=x f(x)=,N=x>1,则集合M∩N=()A.B.(1,+∞)C.D.2.[2017·孝义模拟]函数f(x)=log2(3x+1)的值域为()A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)3.[2017·某某某某二模]已知a=log0.34,b=log43,c=0.3-2,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b4.[2017·某某如东县、某某丰县联考]计算÷10=.5.已知函数f(x)=则f[f(1)]+f的值是.能力提升6.函数y=lg|x-1|的大致图像是()A B C D图K9-17.若log a(a2+1)<log a2a<0,则a的取值X围是 ()A.(0,1)B.C.D.(0,1)∪(1,+∞)8.若函数f(x)=log a(a>0且a≠1)在区间内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(2,+∞)C.(1,+∞)D.9.已知函数f(x)=a x+log a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a2+6,则a的值为()A.3B.2C.D.10.若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则+的值为()A.36B.72C.108D.11.设直线x=m(m>1)与函数f(x)=log a x,g(x)=log b x的图像及x轴分别交于A,B,C三点,若|AB|=2|BC|,则()A.b=a2或a=b2B.a=b-1或a=b3C.a=b-1或b=a3D.a=b312.设f(x)=lg是奇函数,则使f(x)<0成立的x的取值X围是.13.设函数f(x)满足f(x)=1+f log2x,则f(2)=.14.若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值X围是. 难点突破15.(5分)若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=()A.B.3C.D.416.(5分)已知函数f(x)=lo(x2-ax+a)在区间(2,+∞)上是减函数,则实数a的取值X围是.课时作业(九)1.D[解析] 由f(x)=求得其定义域为M=,而N={x|0<x<1},所以M∩N=x<x<1.故选D.2.A[解析] 因为3x+1>1,所以f(x)=log2(3x+1)>0,所以函数f(x)的值域为(0,+∞),故选A.3.A[解析] 因为a=log0.34<log0.31=0,0<b=log43<log44=1,c=0.3-2==>1,所以a<b<c.故选A.4.-20[解析]÷10=lg÷10-1=-20.5.5[解析] 由题意可知f(1)=log21=0,所以f[f(1)]=f(0)=30+1=2,又f=+1=+1=2+1=3,所以f[f(1)]+f=5.6.A[解析] 因为y=lg|x-1|=当x=1时,函数无意义,故排除B,D.又当x=0时,y=0,所以排除C.故选A.7.C[解析] 由题意得0<a<1,故必有a2+1>2a,且2a>1,所以1>a>.故选C.8.A[解析] 令M=x2+x,当x∈时,M∈(1,+∞),f(x)>0,所以a>1,所以函数y=log a x为增函数,又M=-,所以M的单调递增区间为,又x2+x>0,所以x>0或x<-,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).故选A.9.B[解析] 函数y=a x与y=log a x在[1,2]上的单调性相同,因此函数f(x)=a x+log a x在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)+f(2)=(a+log a1)+(a2+log a2)=a+a2+log a2=log a2+6,故a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选B.10.C[解析] 设2+log2a=3+log3b=log6(a+b)=k,可得a=2k-2,b=3k-3,a+b=6k,所以+===108.所以选C.11.C[解析] 由题意可知A(m,log a m),B(m,log b m),C(m,0),因为|AB|=2|BC|,所以log a m=3log b m或log a m=-log b m,所以log m b=3log m a或log m a=-log m b,所以b=a3或a=b-1.故选C.12.(-1,0)[解析] 由f(x)是奇函数可得a=-1,所以f(x)=lg,定义域为(-1,1).由f(x)<0,可得0<<1,所以-1<x<0.13.[解析] 由已知得f=1-f·log22,则f=,则f(x)=1+·log2x,故f(2)=1+·log22=.14.(1,2][解析] 当x≤2时,f(x)≥4.又函数f(x)的值域为[4,+∞),所以解得1<a≤2,所以实数a的取值X围为(1,2].15.C[解析] 由已知得2x=5-2x,2log2(x-1)=5-2x,即2x-1=-x,log2(x-1)=-x,作出y=2x-1,y=-x,y=log2(x-1)的图像(图略),由图可知y=2x-1与y=log2(x-1)的图像关于直线y=x-1对称,它们分别与直线y=-x的交点A,B的中点就是直线y=-x与直线y=x-1的交点C,x C==,所以x1+x2=,故选C.16.(-∞,4][解析] 令t(x)=x2-ax+a,则由函数f(x)在区间(2,+∞)上是减函数,可得函数t(x)在区间(2,+∞)上是增函数,且t(2)≥0,所以解得a≤4,所以实数a的取值X围是(-∞,4].。

2025年高考数学一轮复习课时作业-对数与对数函数【含解析】

2025年高考数学一轮复习课时作业-对数与对数函数【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)计算:lg4+2lg5+log28+823=()A.8B.9C.10D.12.(5分)函数f(x)=log0.5(2 -1)的定义域为()A.(12,1]B.[12,1)C.(-∞,12]D.[1,+∞)3.(5分)若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数且f(2)=1,则f(x)等于()A.log2xB.12C.lo g12x D.2x-24.(5分)设a=14log213,b=(12)0.3,则有()A.a+b>abB.a+b<abC.a+b=abD.a-b=ab5.(5分)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1,函数y=a x的图象如图所示,则函数f(x)=log a(-x+1)的部分图象大致为()6.(5分)(多选题)已知函数f(x)=|log a(x+1)|(a>1),下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0)B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减C.函数f(x)在区间[-12,1]上的最小值为0D.若对任意x∈[1,2],f(x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是(1,2]7.(5分)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log1815=.8.(5分)(2023·泸州模拟)若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是.9.(5分)已知f(x)=ln(x2+2x+m).若f(x)的值域为R,则实数m的取值范围是.10.(10分)已知f(x)=log a x+log a(4-x)(a>0,且a≠1),且f(2)=2.(1)求a的值及f(x)的定义域;(2)求f(x)在[1,72]上的值域.11.(10分)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x-2.(1)若f(x)≤0,求x的取值范围;(2)当14≤x≤8时,求函数f(x)的值域.【能力提升练】12.(5分)(多选题)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则()A.f(ln2)=ln52B.f(x)是奇函数C.f(x)在(0,+∞)上单调递增D.f(x)的最小值为ln213.(5分)设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a<b<10,则abc 的取值范围是.14.(10分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)若-1<f(1)<1,求实数a的取值范围.2025年高考数学一轮复习课时作业-对数与对数函数【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)计算:lg4+2lg5+log28+823=()A.8B.9C.10D.1【解析】选B.因为lg4+2lg5=lg4+lg52=lg4+lg25=lg100=2,log28=log223=3, 823=(23)23=22=4,所以lg4+2lg5+log28+823=2+3+4=9.2.(5分)函数f(x)=log0.5(2 -1)的定义域为()A.(12,1]B.[12,1)C.(-∞,12]D.[1,+∞)【解析】选A.由题意,要使函数f(x)=log0.5(2 -1)有意义,则满足log0.5(2x-1)≥0,所以0<2x-1≤1,解得12<x≤1,即函数f(x)的定义域为(12,1].3.(5分)若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数且f(2)=1,则f(x)等于()A.log2xB.12C.lo g12x D.2x-2【解析】选A.函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=log a x,又f(2)=1,即log a2=1,所以a=2.故f(x)=log2x.4.(5分)设a=14log213,b=(12)0.3,则有()A.a+b>abB.a+b<abC.a+b=abD.a-b=ab【解析】选A.因为a=14log213=-14log23,32<log23<2,所以-12<-14log23<-38,即-12<a<-38,b=(12)0.3>(12)1=12,所以a+b>0,ab<0,所以a+b>ab.5.(5分)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1,函数y=a x的图象如图所示,则函数f(x)=log a(-x+1)的部分图象大致为()【解析】选D.由函数y=a x的图象可判断出a>1.当a>1时,y=log a x的图象经过定点(1,0),且为增函数.因为y=log a x与y=log a(-x)的图象关于y轴对称,所以y=log a(-x)的图象经过定点(-1,0),为减函数.而f(x)=log a(-x+1)可以看作y=log a(-x)的图象向右平移1个单位长度得到的.所以f(x)=log a(-x+1)的图象经过定点(0,0),为减函数.6.(5分)(多选题)已知函数f(x)=|log a(x+1)|(a>1),下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0)B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减C.函数f(x)在区间[-12,1]上的最小值为0D.若对任意x∈[1,2],f(x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是(1,2]【解析】选ACD.将(0,0)代入函数f(x)=|log a(x+1)|(a>1),成立,故A正确;当x∈(0,+∞)时,x+1∈(1,+∞),又a>1,所以f(x)=|log a(x+1)|=log a(x+1),由复合函数单调性可知,当x∈(0,+∞)时,f(x)=|log a(x+1)|=log a(x+1)单调递增,故B错误;当x∈[-12,1]时,x+1∈[12,2],所以f(x)=|log a(x+1)|≥log a1=0,故C正确;当x∈[1,2]时,f(x)=|log a(x+1)|=log a(x+1)≥1恒成立,所以由函数为增函数知log a2≥1,解得1<a≤2,故D正确.7.(5分)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log1815=.【解析】log1815=lg15lg18=lg3+lg5lg2+2lg3= - +12 + .lg2+2lg3=lg3+1-lg2答案: - +12 +8.(5分)(2023·泸州模拟)若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是.【解析】因为y=f(x)与y=5x互为反函数,所以f(x)=log5x,则f(x2-2x)=log5(x2-2x).设μ=x2-2x,则f(μ)=log5μ,由x2-2x>0,解得x<0或x>2,因为f(μ)=log5μ在其定义域上单调递增,又μ=x2-2x在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以y=f(x2-2x)的单调递减区间是(-∞,0).答案:(-∞,0)9.(5分)已知f(x)=ln(x2+2x+m).若f(x)的值域为R,则实数m的取值范围是.【解析】因为f(x)的值域为R,所以x2+2x+m取遍大于0的所有实数,则4-4m≥0,解得m≤1,所以实数m的取值范围是(-∞,1].答案:(-∞,1]10.(10分)已知f(x)=log a x+log a(4-x)(a>0,且a≠1),且f(2)=2.(1)求a的值及f(x)的定义域;【解析】(1)由f(2)=2得,log a2+log a(4-2)=2,解得a=2,所以f(x)=log2x+log2(4-x).由 >0,4- >0,解得0<x<4,故f(x)的定义域为(0,4).(2)求f(x)在[1,72]上的值域.【解析】(2)由(1)及条件知f(x)=log2x+log2(4-x)=log2[x(4-x)]=log2[-(x-2)2+4],设t(x)=-(x-2)2+4,x∈[1,72],则当x=2时,t(x)max=4;当x=1时,t(x)=3;当x=72时,t(x)=74,所以当x∈[1,72]时,t(x)∈[74,4],所以f(x)max=log24=2,f(x)min=log274=log27-2,所以f(x)在[1,72]上的值域为[log27-2,2].11.(10分)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x-2.(1)若f(x)≤0,求x的取值范围;【解析】(1)令log2x=t,则y=t2-t-2,t∈R,由f(x)≤0得t2-t-2≤0,解得-1≤t≤2,所以-1≤log2x≤2,解得12≤x≤4,即x的取值范围为[12,4].(2)当14≤x≤8时,求函数f(x)的值域.【解析】(2)当14≤x≤8时,-2≤t≤3,因为y=t2-t-2,则当t=12时,有最小值-94;当t=-2或3时,有最大值4.所以函数f(x)的值域为[-94,4].【能力提升练】12.(5分)(多选题)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则()A.f(ln2)=ln52B.f(x)是奇函数C.f(x)在(0,+∞)上单调递增D.f(x)的最小值为ln2【解析】选ACD.f(ln2)=ln(e2ln2+1)-ln2=ln52,A正确;f(x)=ln(e2x+1)-x=ln(e2x+1)-ln e x=ln e2 +1e =ln(e x+e-x),所以f(-x)=ln(e x+e-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,B错误;当x>0时,y=e x+e-x在(0,+∞)上单调递增,因此y=ln(e x+e-x)在(0,+∞)上单调递增,C正确;由于f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(0)=ln2,D正确.13.(5分)设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a<b<10,则abc 的取值范围是.【解析】由题意知,在(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个不同交点(如图),所以ab=1,0<c<lg10=1,所以abc的取值范围是(0,1).答案:(0,1)14.(10分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式;【解析】(1)当x<0时,-x>0,由题意知f(-x)=log a(-x+1),又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x).所以当x<0时,f(x)=log a(-x+1),所以函数f(x)的解析式为f(x)=log ( +1), ≥0,log (- +1), <0.(2)若-1<f(1)<1,求实数a的取值范围.【解析】(2)因为-1<f(1)<1,所以-1<log a2<1,所以log a1 <log a2<log a a.①当a>1时,<2,>2,解得a>2;②当0<a<1时,>2,<2,解得0<a<12.综上,实数a的取值范围为(0,12)∪(2,+∞).。

2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业9对数与对数函数+Word版含解析.docx

解析： G = 10g29 —10g2 羽= 10g23 羽， b= 1 + log2*\/7 = \ogj2\l7, c=^+ Iog2*\/13 = log2*\/26,
因为函数 ,y=log2x 是增函数，且 2yli>3y[3>\[26 , 所以 b>a>c. 答案： B
[l+lg （2—x）, x<l, 8. （2018-河北正定质检）设函数伦） = 】
J10<x<100,
U>o
10<x<100,故函数的定义域为 {x|10<x<100} ? 答案 : {x|10<r<100}
Q
12. ______________________________________ 已知 2' = 3, log43=y,则
x+2y 的值为 _____________________________
答案 : A 3. (2018-河南新乡二模 , 4)设 a=604, Z?=log0.40.5, c=log80.4,则 a, b, c 的大小关
系是 ()
A. a<b<c B. c<h<a
C. c<a 1, b=logo.40.5W(0,l), c=log8( ).4v0, /.a>b>c. 故选 B. 答案：
值范围是 [-4,4）,选 D.
答案： D
10. 若实数 a, h, c 满足 log6/2<log/,2<logr2,则下列关系中不可能成立的是（） A. a<b<c B. b<a<c C. c<b<a D. a<c<h 解析：由 log?2<log/?2<logr2 的大小关系，可知 a, b, c有如下四种可能 : ① 1<c<b<a ；② 0Sv1<c<b ；③ 0<b<a< 1<c ；④ 0<c<b<a< I.

高考数学一轮复习专题09 对数与对数函数教学案文-人教版高三全册数学教学案

专题09 对数与对数函数1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质(1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0(5)当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．高频考点一对数式的运算例1、(1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________．【答案】 (1)A (2)－20【方法规律】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．(3)a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．【变式探究】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2) lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________．【解析】 (1)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.(2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1. 【答案】 (1)A (2)－1高频考点二对数函数的图象及应用例2、(1)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是________．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．【答案】 (1)B (2)a >1【方法规律】(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【变式探究】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 【答案】 (1)C (2)B高频考点三对数函数的性质及应用例3、(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c<bcD ．c a >c b【解析】由y ＝x c与y ＝c x的单调性知，C 、D 不正确． ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确．log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．【答案】 B【方法规律】(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行． (2)如果需将函数【解析】式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，某某数a 的取值X 围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数．∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 高频考点四和对数函数有关的复合函数例4、已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，某某数a 的取值X 围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．(2)t(x)＝3－ax ，∵a>0，∴函数t(x)为减函数． ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat 为增函数，∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a ，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a>0，loga 3－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a<32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 【感悟提升】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】(1)设a ＝log32，b ＝log52，c ＝log23，则( ) A ．a>c>b B ．b>c>a C ．c>b>aD ．c>a>b(2)若f(x)＝lg(x2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值X 围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) (3)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，log 12－x ，x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 【答案】 (1)D (2)A (3)C⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，a≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a≥1，解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A. (3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12－a >log2－a ，解得a>1或－1<a<0.高频考点五、比较指数式、对数式的大小例5、(1)设a ＝，b ＝0.30.5，c ＝log0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c<b<a B ．a<b<c C ．b<a<cD ．a<c<b(2)设a ＝log2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( ) A ．a>b>c B ．b>a>c C ．a>c>bD ．c>b>a(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c ＝，＝，＝，则( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b由图象知：log23.4>log3103>log43.6.方法二 ∵log3103>log33＝1，且103<3.4，∴log3103<log33.4<log23.4.∵log43.6<log44＝1，log3103>1，∴log43.6<log3103.∴log23.4>log3103>log43.6.由于y ＝5x 为增函数，∴52log 3.4>310log 35>54log 3.6.即52log 3.4>3log 0.31()5>54log 3.6，故a>c>b.【答案】 (1)C (2)C (3)C【感悟提升】(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.【2016·某某卷】已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．【答案】 4 2【2015高考某某，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【2015高考某某，理12】若4log 3a =，则22aa-+=．【答案】334. 【解析】∵3log 4=a ，∴3234=⇒=aa，∴33431322=+=+-aa . （2014·某某卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3【答案】D（2014·某某卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. （2014·某某卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是( )图11A BC D 【答案】B【解析】由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确．（2014·某某卷）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．【答案】50（2014·某某卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 【答案】C【解析】因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .（2014·某某卷）函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 【答案】D【解析】要使f (x )单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x <0，解得x <－2.（2014·某某卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D（2014·某某卷）函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．【答案】－14【解析】f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x ·(1＋log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，所以当x ＝22时，函数f (x )取得最小值－14. （2013·某某卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x⎪⎪⎪ )x<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<12，故－1<10x <12，解得x<－lg 2.（2013·某某卷）定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ； ②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln ＋()a ＋b ＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b≥1，ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝lna ＋b2，又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b，a ，b 至少有1个大于1，∴ln a ＋b 2≤ln a 或ln a ＋b 2≤ln b，即有ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝lna ＋b 2≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 【答案】D【解析】a －b ＝log 36－log 510＝(1＋log 32)－(1＋log 52)＝log 32－log 52>0， b －c ＝log 510－log 714＝(1＋log 52)－(1＋log 72)＝log 52－log 72>0，所以a>b>c ，选D.（2013·某某卷）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y)＝2lg x·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy)＝2lg x·2lg y【答案】D【解析】∵lg(xy)＝lg x ＋lg y ，∴2lg(xy)＝2lg x ＋lg y＝2lgx 2lgy，故选择D.1．设a ，b 为正实数，则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( ) A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A2．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >cC ．a b >c【解析】因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c＝log 32<log 33＝1. 【答案】 B3．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )【解析】由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符．故选B. 【答案】 B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72【解析】由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5. 【答案】 A5．知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0【答案】 D7．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b【解析】函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数， ∴f (x )在[0，＋∞)为增函数，∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，1<20.3<2<log 25，∴c >b >a . 【答案】 B8．已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值X 围是________．【解析】由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，149．设f (x )＝log ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值X 围是________．【答案】 (－1，0)10．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________．【解析】由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )＝1＋12·l og 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 【答案】 3211．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．13．设x ∈[2，8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2，8]，∴a ∈(0，1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]，符合题意，∴a ＝12.。

《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版课时作业9 Word版含解析

课时作业9 对数与对数函数一、选择题(每小题5分，共40分)1．若f (x )＝1log 122x ＋1，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，log 122x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，2x ＋1≠1，即x >－12且x ≠0，∴选C.答案：C2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 答案：A3．(2022·宝鸡模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1B ．0<a <2，a ≠1C ．1<a <2D ．a ≥2解析：由于y ＝x 2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a 24，故要使函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a >1，且4－a 24>0，得1<a <2，故选C.答案：C4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图像如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图像是( )解析：由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图像可得0<a <1，00)的反函数f －1(x )＝( ) A.12x －1(x >0) B.12x －1(x ≠0) C ．2x －1(x ∈R )D ．2x －1(x >0)解析：y ＝log 2(1＋1x )，∴x >0，∴1x >0，。

2019届高三数学一轮复习教案+课时作业第9节对数与对数函数

第9节对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数.知识梳理1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [常用结论与微点提醒] 1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log ba ；(2)log a mb n ＝nm log a b .其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错.(4)当x ＞1时，log a x ＞log b x ，但a 与b 的大小不确定，故(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(必修1P73T3改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D3.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D4.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C5.计算：log 222＝________；2log 23＋log 43＝________.解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12； 2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.答案－12 3 3考点一对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.(2)(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2xD.3y <2x <5z解析 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5. ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z . 答案 (1)－20 (2)D规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 (1)(2016·浙江卷)已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.(2)(2018·日照调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.8解析 (1)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2. 又a b＝b a，所以b 2b＝b b2，即2b ＝b 2，解得b ＝2，a ＝4.(2)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. 答案 (1)4 2 (2)A考点二对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2018·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)(2018·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点.答案 (1)B (2)(1，＋∞)规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( ) A.0<a －11.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，即log a a－1<log a b<log a1，所以，a－1<b<1.综上有0<a－1<b<1.(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示.∵f(2)＝2ln 2>g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.答案(1)A(2)B考点三对数函数的性质及应用(多维探究)命题角度1比较对数值的大小【例3－1】(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0，0<c<1，则()A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a cc b解析由y＝x c与y＝c x的单调性知，C，D不正确；∵y＝log c x是减函数，得log c a<log c b，B正确；log a c＝lg clg a，log b c＝lg clg b，∵0＜c＜1，∴lg c＜0.又a＞b＞0，∴lg a＞lg b，但不能确定lg a，lg b的正负，∴log a c与log b c的大小不能确定.答案 B命题角度2 解对数不等式【例3－2】若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)解析由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 C命题角度3 对数型函数性质的综合应用【例3－3】已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >aD.c >a >b(2)(2018·长春模拟)若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )有最小值12，则实数a 的值等于________.解析 (1)a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1，又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大.由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)令g (x )＝x 2－26x ＋a ，则f (x )＝log a [g (x )]. ①若a >1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最小值a ，而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6，当x ＝6时，取最小值a －6，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ＝a －6，解得a ＝9.②若0<a <1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最大值a ，而g (x )不存在最大值，不符合题意，综上，实数a ＝9. 答案 (1)D (2)9基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·濮阳检测)“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 log 2(2x －3)<1⇔32<x <52.又4x >8⇔x >32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，故“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件. 答案 A2.设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10B.10C.20D.100解析由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.答案 A3.(2018·成都诊断)函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析由f (2)＝2a ＝4，得a ＝2.所以g (x )＝|log 2(x ＋1)|，则g (x )的图象由y ＝|log 2x |的图象向左平移一个单位得到，C 满足.答案 C4.(2018·广东省际名校联考)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1e x ＋k (k 为常数)，则f (ln 5)的值为( )A.4B.－4C.6D.－6解析易知函数f (x )是奇函数，故f (0)＝e 0＋k ＝1＋k ＝0，即k ＝－1，所以f (ln 5)＝－f (－ln 5)＝－(e ln 5－1)＝－4.答案 B5.已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A.(a －1)(b －1)<0B.(a －1)(a －b )>0C.(b －1)(b －a )<0D.(b －1)(b －a )>0解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1.由log a b >1得log a b a >0.∴a >1，且b a >1或0<a <1且0a >1或00.答案 D二、填空题6.lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 答案－17.(2018·山西康杰中学联考)设函数f (x )＝lg(x 2－x )－lg(x －1)，且f (x 0)＝2，则x 0＝________.解析易知x >1，且f (x )＝lg(x 2－x )－lg(x －1)＝lg x ，∴f (x 0)＝lg x 0＝2，则x 0＝100. 答案 1008.若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.解析令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).答案 (0，＋∞)三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1，3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ). 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4).又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝ln(a x ＋b )(a >0且a ≠1)是R 上的奇函数，则不等式f (x )>a ln a 的解集是( )A.(a ，＋∞)B.(－∞，a )C.当a >1时，解集是(a ，＋∞)，当0<a <1时，解集是(－∞，a )D.当a >1时，解集是(－∞，a )，当0<a <1时，解集是(a ，＋∞)解析依题意，f (0)＝ln(1＋b )＝0，解得b ＝0，于是f (x )＝ln a x ＝x ln a .∴f (x )>a ln a ⇔x ln a >a ln a .当a >1时，x >a ；当0<a <1时，x <a .答案 C12.(2018·九江七校联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________.解析由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a 2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4，4).答案 [－4，4)13.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ). ∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数. (2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立， ∴x ＋1x －1>m （x －1）（7－x ）>0， ∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立.令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0，7).。

2021高考数学一轮复习专练9对数与对数函数含解析理新人教版

2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：专练9 对数与对数函数命题范围：对数的意义与运算；对数函数的定义、图象与性质．[基础强化]一、选择题1．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－32．函数y ＝log 123x －2的定义域是( )A ．[1，＋∞] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1 3．函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调递增区间是( )A ．(－∞，0)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞) D．(－∞，1)4．若函数f (x )＝(m －2)x a是幂函数，则函数g (x )＝log a (x ＋m )(a >0且a ≠1)的图象过点( )A ．(－2,0)B ．(2,0)C ．(－3,0)D ．(3,0)5．[2020·全国卷Ⅲ]已知55<84,134<85，设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a b ，则( )A ．ln(a －b )>0B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b |7．已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称8．[2020·益阳一中测试]若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >3，－2x ＋8，x ≤3存在最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞) B．[3，＋∞)C ．(1，3] D.⎝⎛⎦⎥⎤0，33二、填空题10．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________.11．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋4)在区间[－2,2]上的最大值为________．12．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．[能力提升]13．[2020·全国卷Ⅰ]若2a ＋log 2a ＝4b＋2log 4b 则( ) A ．a >2b B ．a <2bC ．a >b 2D ．a 0且m ≠1)在[2,3]上单调递增，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,36] B ．[36，＋∞)C ．(1,16]∪[36，＋∞) D．(1,16]15．[2020·荆州一中测试]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，a >0且a ≠1，x >2，－x 2＋2x －2，x ≤2的值域为(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________．16．已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1,0]，若函数g (x )＝a x ＋m－3的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________．专练9 对数与对数函数1．B 原式＝lg 52＋lg 4－2＝lg 52×4－2＝1－2＝－1.2．D 由题意得log 12(3x －2)≥0，即0<3x －2≤1.∴23<x ≤1. 3．A 函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数f (x )＝log 12 (x 2－2x )的单调增区间为(－∞，0)．4．A ∵f (x )＝(m －2)x a为幂函数，∴m －2＝1，m ＝3， ∴g (x )＝log a (x ＋3)，又g (－2)＝0， ∴g (x )的图象过(－2,0)．5．A a ＝log 53∈(0,1)，b ＝log 85∈(0,1)，则a b ＝log 53log 85＝log 53·log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52422<1，∴a 45，∴c >45.又∵55<84，∴8×55<85，两边同取以8为底的对数得log 8(8×55)<log 885，即log 85<45，∴b <45.综上所述，c >b >a ，故选A.6．C 本题主要考查函数的性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．通解：由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0<a －b <1时，ln(a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确．故选C.优解：当a ＝0.3，b ＝－0.4时，ln(a －b )<0,3a ＞3b，|a |<|b |，故排除A ，B ，D.故选C.7．C f (x )的定义域为(0,2)，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． ∴选项A 、B 错误；∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴选项C 正确；∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0，∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称， ∴选项D 错误．8．B 由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为减函数，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.9．C 当x ≤3时，f (x )＝－2x ＋8单调递减，则f (x )≥f (3)＝2；当x >3时，f (x )＝log a x ，必须满足a >1，且log a 3≥2，得1<a ≤ 3.故选C.10．－7解析：∵f (3)＝log 2(9＋a )＝1，∴9＋a ＝2，a ＝－7. 11．8解析：因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，y ＝－log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2(x ＋4)在区间[－2,2]上单调递减，所以函数f (x )的最大值为f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2－log 2(－2＋4)＝9－1＝8.12.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 解析：∵0<－x 2＋22≤22，∴log 2(－x 2＋22)≤log 222＝32.13．B 2a ＋log 2a ＝22b ＋log 2b <22b＋log 2(2b )，令f (x )＝2x＋log 2x ，则f (a )<f (2b )，又易知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以a <2b ，故选B.14．D 由题意，知f (x )的定义域为{x |x >0}．不妨设g (x )＝4x 2＋m x ＝4x ＋mx，x >0，则g ′(x )＝4－m x 2＝4x 2－mx2，当g ′(x )≤0时，g (x )为减函数，此时m ≥4x 2，又y ＝4x 2在[2,3]上单调递增，所以y max ＝4×32＝36，所以m ≥36，而此时函数y ＝log m x 为增函数，由复合函数的单调性可知f (x )在[2,3]上单调递减，故不符合题意；当g ′(x )≥0时，g (x )为增函数，此时m ≤4x 2，又y ＝4x 2在[2,3]上单调递增，所以y min ＝4×22＝16，所以m ≤16，而当m >1时，函数y ＝log m x 为增函数，因此当1<m ≤16时，满足题意．故选D.15.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析：x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1， f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1，又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x >2时，log a x ≤－1，故0<a <1，且log a 2≤－1，∴12≤a <1，故答案为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.16．[－1，＋∞) 解析：∵函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，而f (0)＝0，∴f (－2)＝log a 3＝－1，∴a ＝13，∴g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋m－3，令g (x )＝0，得x ＝－m －1，则－m －1≤0，求得m ≥－1，故m 的取值范围为[－1，＋∞)．结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。

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[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．[2011·辽宁五校二联] 若函数y ＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则( )A ．a ＝2，b ＝2B ．a ＝2，b ＝2C ．a ＝2，b ＝1D ．a ＝2，b ＝ 22．[2012·淄博模拟] 函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞)3．[2011·莆田质检] 已知函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数，则函数g (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是( )4．log 225·log 322·log 59＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 能力提升5．设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2011)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22011)＝( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 86．[2012·淄博模拟] 设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c 0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14 C ．2 D ．49．[2011·锦州一模] 设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x－2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)10．设点P (x 0，y 0)是函数y ＝ln x －1与y ＝－x (x >0)的图象的一个交点，则ln x 20＋2x 0＝________.11．化简(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________.12．已知log a (3a －1)恒为正数，那么实数a 的取值范围是________．13．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)、f (1)、f (3)的大小关系为________．14．(10分)若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)．求f (log 2x )的最小值及对应的x值．15．(13分)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)若已知函数的值域为R，求a的取值范围；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．难点突破16．(12分)已知f(x)＝log a x，g(x)＝2log a(2x＋t－2)(a>0，a≠1，t∈R)．(1)当t＝4，x∈[1,2]，且F(x)＝g(x)－f(x)有最小值2时，求a的值；(2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．课时作业(九)【基础热身】1．A [解析] 由题意列方程可得⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a－1＋b ，1＝log a 0＋b ，解得a ＝2，b ＝2，故选择A.2．A [解析] 因为3x＋1>1，所以log 2(3x＋1)>0，故选A.3．D [解析] 由题可知0<a <1，函数g (x )的图象由y ＝log a x 的图象向左平移一个单位得到，故选D.4．D [解析] 原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6.【能力提升】5．C [解析] 依题意有log a (x 1x 2…x 2011)＝8，而f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22011)＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22011＝log a (x 1x 2…x 2011)2＝2log a (x 1x 2…x 2011)＝2×8＝16.6．D [解析] 由对数函数的性质知，log 45>1,0<log 54<1,0<(log 53)2<1，即c 最大，排除A 、B ；又b ＝(log 53)2<(log 54)2<log 54＝a ，所以b <a <c ，选D.7．D [解析] f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg 1＋x 1－x ，易得其定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＋f (x )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1＋x1－x＝0，所以f (x )是定义域上的奇函数，所以图象关于原点对称．故选D.8．C [解析] 无论a >1还是0<a <1总有a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.9．C [解析] f (x )<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<0⇔log a (a 2x －2a x－2)<log a 1，因为0<a <1，所以a 2x －2a x －2>1，即(a x )2－2a x ＋1>4⇔(a x －1)2>4⇔a x －1>2或a x －1<－2，所以a x >3或a x<－1(舍去)，因此x <log a 3，故选C.10．2 [解析] 由已知得ln x 0－1＝－x 0，即ln x 0＋x 0＝1，所以ln x 20＋2x 0＝2(ln x 0＋x 0)＝2.11.54 [解析] 原式＝12log 23＋13log 23log 32＋12log 32＝56log 23·32log 32＝54. 12.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23∪(1，＋∞) [解析] 当a >1时，由log a (3a －1)>0＝log a 1，得3a －1>1，解得a >23，故a >1；当0<a <1时，由log a (3a －1)>0＝log a 1，得0<3a －1<1，解得13<a <23.13．f (1)＜f (－2)＜f (3) [解析] 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)．14．[解答] 因为f (x )＝x 2－x ＋b ，所以f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ，由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. 因为a ≠1，所以log 2a ＝1，所以a ＝2. 又log 2f (a )＝2，所以f (a )＝4.所以a 2－a ＋b ＝4，所以b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74.所以当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.15．[解答] (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，所以函数定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－∞，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是[1,3)．(2)由图象可知需满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≥0，解得0<a ≤13.(3)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －44a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.【难点突破】16．[解答] (1)当t ＝4时，F (x )＝g (x )－f (x )＝log a 2x ＋22x，x ∈[1,2]．令h (x )＝2x ＋22x＝4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋2，∵x ∈[1,2]，∴h (x )∈[16,18]．当0<a <1时，有F (x )min ＝log a 18，令log a 18＝2，解得a ＝32>1，舍去；当a >1时，F (x )min ＝log a 16，令log a 16＝2，解得a ＝4>1，∴a ＝4.(2)当0<a <1，x ∈[1,2]时，f (x )≥g (x )恒成立 ⇔log a x ≥log a (2x ＋t －2)对x ∈[1,2]恒成立 ⇔t ≥－2x ＋x ＋2对x ∈[1,2]恒成立⇔t ≥1.。

高三数学一轮复习课时作业 (9)对数与对数函数 文 新人教B版

2023届高考数学一轮复习作业对数与对数函数新人教B版

高考数学一轮复习学案 第9讲 对数函数（原卷版）