9对数与对数函数
对数与对数函数
对数与对数函数 知识梳理1、对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程xa N =（a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.为a ＞0，a ≠1时，log x N a a N x =⇔= 【扩展】两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.说明：在例1中，10log 0.010.01,log 10ln10e 应改为lg 应改为. 2、对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log aa a MM N N=- （3）log log ()n a a M n Mn R =∈3、画出函数2log xy =的图象, 再利用电脑软件画出0.5log .x y =的图象42-2-4-55探究：选取底数(a a ＞0，且a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？画出4log y x =，3log y x =，13log y x =和14log y x =提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影) 图象的特征函数的性质（1）图象都在y 轴的右边 （1）定义域是（0，+∞） （2）函数图象都经过（1，0）点 （2）1的对数是0（3）从左往右看，当a ＞1时，图象逐渐上升，当0＜a ＜1时，图象逐渐下降 .（3）当a ＞1时，log xa y =是增函数，当0＜a ＜1时，log a y x =是减函数. （4）当a ＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a ＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .（4）当a ＞1时x ＞1，则log a x ＞00＜x ＜1，log a x ＜0 当0＜a ＜1时x ＞1，则log a x ＜00＜x ＜1，log a x ＜0由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：a ＞10＜a ＜1图象性 质（1）定义域（0，+∞）； （2）值域R ； （3）过点（1，0），即当x =1，y =0； （4）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）是上减函数精讲精练（1）对数运算的例题【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=；（4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.【例2】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a MM N N-=.【例3】试推导出换底公式：log log log c a c bb a= （0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.【例4】化简与求值：（1）221(lg 2)lg2lg5(lg 2)lg212++-+ ；（2）2log (4747)++-.【例5】若2510a b ==，则11a b+= . （教材P 83 B 组2题） 【例6】 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .【例7】（1）化简：532111log 7log 7log 7++；（2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅= ，求实数m 的值.（2）对数函数图象和性质的例题【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3.【例2】求下列函数的定义域：（1）2log (35)y x =-；（2）0.5log (4)3y x =-.【例3】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围.【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.【例5】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例6】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<【例7】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？课堂作业（1）对数幂的运算1. 将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值 .（1）12155-=（2）42log x = （3）1327x =（4）1()644x= （5）lg0.0001x = （6）5ln e x =2．求log log log ,a b c b c Na⋅⋅∈+的值(a,b,c R 且不等于1，N ＞0）.3．计算331log log 5533+的值.4、判断下列式子是否正确，a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ，则有（1）log log log ()a a a x y x y ⋅=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=-（3）log log log aa a xx y y=÷ （4）log log log a a a xy x y =- （5）(log )log n a a x n x = （6）1log log a a x x=- （7）1log log n a a x x n=5. 用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.（1）log a xyz =____________; （2）23log 8a x y =______________________;（3）75log (42)z ⨯=______________; （4）5lg 100=_____________________; 6. 已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a - 7、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 8、已知221,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x+==-则等于（ ）A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n -9、如果方程2lg (lg5lg7)lg lg5lg70x x +++= 的两根是,αβ，则αβ 的值是（ ）A 、lg5lg 7B 、lg 35C 、35D 、351 10、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13 B 、123 C 、122 D 、13311. 若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。
2020版数学(理)精优大复习人教A讲义第9讲对数与对数函数
第9讲 对数与对数函数1。
对数概念 如果a x =N (a>0，且a ≠1），那么x 叫作以a 为底N的 ,记作x=log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数，log a N 叫作对数式 性质底数的限制：a 〉0，且a ≠1对数式与指数式的互化：a x=N⇔负数和零没有log a 1=log a a=1对数恒等式：a log a N= 运算法则 log a （M ·N ）=a>0，且a ≠1，M 〉0，N>0log a M N = log a M n= (n ∈R)换底公式 换底公式：log a b=log c blog ca（a 〉0,且a ≠1，c 〉0，且c ≠1,b 〉0)推论：lo g a mb n = ，log a b= 1log ba2.对数函数的概念、图像与性质概念 函数y=log a x (a 〉0，a ≠1）叫作 函数 底数a>1 0<a<1 图像定义域(续表）值域性质 过定点 ，即x=1时,y=0在区间(0,+∞)上 是 函数在区间（0,+∞)上是 函数3。
反函数 指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)与对数函数 互为反函数,它们的图像关于直线 对称。
常用结论1.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x 对称. 2。
只有在定义域上单调的函数才存在反函数.题组一 常识题1。
[教材改编］ 化简log a b log b c log c a 的结果是 . 2。
[教材改编］ 函数f （x ）=log 2(2—x )的定义域是 . 3。
［教材改编] 若函数y=f (x ）是函数y=2x 的反函数,则f (2)= .4.[教材改编] 函数y=lo g 1√2（x 2-4x+5）的单调递增区间是 。
题组二 常错题◆索引:对数的性质及其运算掌握不到位；忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质；忽略对底数的讨论致误.5.有下列结论：①lg （lg 10）=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=1,则x=10；④若log 22=x ，则x=1；⑤若log m n ·log 3m=2，则n=9.其中正确结论的序号是 .6。
2021年新高考数学一轮专题复习第09讲-对数与对数函数(解析版)
(2)由题意，易知 a>1.
在同一坐标系内作出 y＝(x－1)2，x∈(1，2)及 y＝logax 的图象.
若 y＝logax 过点(2，1)，得 loga2＝1，所以 a＝2. 根据题意，函数 y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在 y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高 点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用 【例 3－1】 已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
[方法技巧]
1.对数值取正、负值的规律
当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时，logab>0；
当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
1，－1
3.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a
，函数图象只在
第一、四象限.
三、 经典例题
考点一 对数的运算
【例 1-1】
(1)计算：
lg1－lg 25 4
÷100－1＝________.
【高中数学】突破09对数与对数运算重难点题型(举一反三)(解析版)
学习资料分享[公司地址]2.2.1对数与对数运算重难点题型【举一反三系列】【知识点1对数的概念与基本性质】1.对数的概念条件)1,0(≠>=a a N a x 且结论数x 叫做以a 为底N 的对数，a 叫做对数的底数，N 叫做真数记法Nx a log =2.常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把N 10log 记为N lg .(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.71828…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把N e log 记为N ln .3.对数与指数的关系当0>a ,且1≠a 时，N x N a a x log =⇔=.4.对数的基本性质(1)负数和零没有对数，即0>N ；(2)01log =a )1,0(≠>a a 且；(3))1,0(1log ≠>=a a a a 且．【知识点2对数的运算性质】1.运算性质条件0>a ,且1≠a ，0,0>>N M 性质NM MN a a a log log )(log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =(n ∈R)2.换底公式ab bc c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．3.知识拓展(1)可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =；②1log log log =⋅⋅ac b c b a ；③b b a n a n log log =；④b n m b a m a n log log =；⑤b b a alog log 1-=.(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．【考点1对数有意义条件】【例1】（2019秋•马山县期中）对数式log （a ﹣2）（5﹣a ）中实数a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，5）B ．（2，5）C ．（2，3）∪（3，5）D ．（2，+∞）【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可．【答案】解：要使对数式b ＝log （a ﹣2）（5﹣a ）有意义，则，解得a∈（2，3）∪（3，5），故选：C．【点睛】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题．3有意义，则实数t的取值范围是（）【变式1-1】（2019秋•龙岩期末）若对数式log（t﹣2）A．[2，+∞）B．（2，3）∪（3，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）3的定义，底数大于0且不等于1，列出不等式组，求出解集即可．【分析】根据对数式log（t﹣2）3有意义，【答案】解：要使对数式log（t﹣2）须；解得t＞2且t≠3，∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．故选：B．【点睛】本题考查了对数定义的应用问题，是基础题目．（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（）【变式1-2】在M＝log（x﹣3）A．（﹣∞，3]B．（3，4）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（3，4）【分析】由对数的定义可得，由此解得x的范围．【答案】解：由函数的解析式可得，解得3＜x＜4，或x＞4．故选：B．【点睛】本题主要考查对数的定义，属于基础题．【变式1-3】若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为．【分析】由已知利用对数的概念可得x2﹣5x+6＞0，解不等式即可得解．【答案】解：∵对数ln（x2﹣5x+6）存在，∴x2﹣5x+6＞0，∴解得：3＜x或x＜2，即x的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．【考点2对数式与指数式的互化】【例2】（2019秋•巴彦淖尔校级期中）将下列指数形式化成对数形式，对数形式化成指数形式．①54＝625②（）m＝5.73③ln10＝2.303④lg0.01＝﹣2⑤log216＝4．【分析】利用对数的定义进行指对互化．【答案】解：①log5625＝4，② 5.73＝m，③e2.303＝10，④10﹣2＝0.01，⑤24＝16．【点睛】本题考查了指对互化，是基础题．【变式2-1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．【分析】根据对数的定义进行转化．【答案】解：（1）lg100＝2，（2）e b＝a，（3）log7343＝3；（4）6﹣2＝．【点睛】本题考查了对数的定义，属于基础题．【变式2-2】将下列指数式与对数式互化：（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．【分析】根据指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，可将指数式与对数式互化．【答案】解：（1）log216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；（3）43＝64可化为：log464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，是解答的关键．【变式2-3】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3﹣2＝；（2）9＝﹣2；（3）1g0.001＝﹣3．【分析】直接利用指数式与对数式的互化，写出结果即可．【答案】解：（1）3﹣2＝；可得﹣2＝1og3．（2）9＝﹣2；（）﹣2＝9．（3）1g0.001＝﹣3.0.001＝10﹣3．【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查计算能力．【考点3解对数方程】【例3】求下列各式中x的值：（1）log4x＝﹣，求x；（2）已知log2（log3x）＝1，求x．【分析】（1）根据对数和指数之间的关系即可将log232＝5化成指数式；（2）根据对数和指数之间的关系即可将3﹣3＝化成对数式；（3）根据对数的运算法则即可求x；（4）根据对数的运算法则和性质即可求x．【答案】解：（1）∵log232＝5，∴25＝32（2）∵3﹣3＝，∴log3＝﹣3；（3）∵log4x＝﹣，∴x＝＝＝2﹣3＝；（4）∵log2（log3x）＝1，∴log3x＝2，即x＝32＝9．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的化简，根据指数和对数的关系是解决本题的关键．【变式3-1】求下列各式中x的值：（1）log x27＝；（2）4x＝5×3x．【分析】（1）根据log x27＝，可得＝，进而得到x＝9，（2）根据4x＝5×3x，可得，化为对数式可得答案．【答案】解：（1）∵log x27＝，∴＝27＝33＝，故x＝9，（2）∵4x＝5×3x．∴，∴x＝【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握a x＝N⇔log a N＝x（a＞0，且a≠1，N＞0）是解答的关键．【变式3-2】先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．①log2x＝﹣②log x3＝﹣．【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值．【答案】解：①由log2x＝﹣，得＝＝；②由log x3＝﹣，得，即．【点睛】本题考查对数式化指数式，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．【变式3-3】将下列对数式化为指数式求x值：（1）log x27＝；（2）log2x＝﹣；（3）log5（log2x）＝0；（4）；（5）x＝16．【分析】利用指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质log a1＝0及log a a ＝1、指数的性质即可得出．【答案】解：（1）∵，∴，∴x＝＝32＝9；（2），∴＝＝；（3）∵log5（log2x）＝0，∴log2x＝1，∴x＝2；（4）∵，∴，化为33x＝3﹣2，∴3x＝﹣2，得到；（5）∵，∴，∴2﹣x＝24，解得x＝﹣4．【点睛】熟练掌握指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质、指数的性质是解题的关键．【考点4对数运算性质的化简求值】【例4】（2019春•东莞市期末）计算（1）2﹣（）+lg +（）lg 1（2）lg 52+lg 8+lg 5lg 20+（lg 2）2【分析】（1）进行分数指数幂和对数的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝2lg 5+2lg 2+lg 5（2lg 2+lg 5）+（lg 2）2＝2+（lg 2+lg 5）2＝3．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，完全平方公式的运用．【变式4-1】（2019•西湖区校级模拟）计算：（1）；（2）．【分析】（1）进行对数的运算即可；（2）进行指数式和根式的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查对数的运算性质，以及指数式和根式的运算．【变式4-2】（2019春•大武口区校级月考）（1）（）0+（）+（）；（2）【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的定义．【变式4-3】（2019春•禅城区期中）（1）化简：（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）；（2）求值：2（lg）2+lg2•lg5+．【分析】（1）由指数幂的运算得：原式＝4a b＝4a，（2）由对数的运算得：原式＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．得解【答案】解：（1）（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）＝4a b＝4a，（2）2（lg）2+lg2•lg5+＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，属简单题．【考点5利用换底公式化简求值】【例5】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log a c•log c a；（2）log23•log34•log45•log52；（3）（log43+log83）（log32+log92）．【分析】根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可．【答案】解：（1）log a c•log c a＝•＝1；（2）log23•log34•log45•log52＝•••＝1；（3）（log43+log83）（log32+log92）＝（+）（+）＝（+）（+）＝•＝．【点睛】本题考查了对数的计算问题，也考查了换底公式的灵活应用问题，是基础题目．【变式5-1】利用对数的换底公式化简下列各式：（log43+log83）（log32+log92）【分析】利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．【答案】解：（log43+log83）（log32+log92）＝（log6427+log649）（log94+log92）＝log64243•log98＝＝＝．【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【变式5-2】利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log43+log83（2）log45+log92．【分析】（1）利用对数的换底公式展开后通分计算；（2）直接利用对数的换底公式进行化简．【答案】解：（1）log43+log83＝＝；（2）log45+log92＝＝．【点睛】本题考查对数的换底公式，是基础的会考题型．【变式5-3】（2019秋•西秀区校级期中）利用换底公式求log225•log34•log59的值．【分析】利用对数的运算法则和对数的换底公式即可得出．【答案】解：原式＝＝2log25•2log32•2log53＝8log25•log32•log53＝＝8．【点睛】本题考查了对数的运算法则和对数的换底公式，属于基础题．【考点6用已知对数表示其他对数】【例6】已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：log189＝a，18b＝5，∴b＝log185，∴log645＝＝＝＝【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题【变式6-1】（1）已知log310＝a，log625＝b，试用a，b表示log445．（2）已知log627＝a，试用a表示log1816．【分析】（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625＝b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445．（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816的式子．【答案】解：（1）∵log310＝a，∴a＝，∵log625＝b＝＝＝，∴lg2＝，∴log445＝＝＝＝＝．（2）∵log627＝a＝＝，∴lg3＝，∴log1816＝＝＝＝．【点睛】本题考查换底公式及对数运算性质，体现解方程的思想，属于基础题．【变式6-2】（1）已知log147＝a，log145＝b，用a、b表示log3528．（2）已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：（1）log147＝a，log145＝b，∴log3528＝＝＝＝，（2）∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝＝＝＝，【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题．【变式6-3】．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示下列各式的值．（1）lg12；（2）log224；（3）log34；（4）lg．【分析】利用对数的换底公式与对数的运算法则即可得出．【答案】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴（1）lg12＝2lg2+lg3＝2a+b；（2）log224＝+log23＝3+；（3）log34＝＝；（4）＝lg3﹣3lg2＝b﹣3a．【点睛】本题考查了对数的换底公式与对数的运算法则，属于基础题．【考点7与对数有关的条件求值问题】【例7】（2018秋•龙凤区校级月考）（1）已知lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），求x﹣y的值；（2）已知lg2＝a，lg3＝b，试用a，b表示log830．【分析】（1）由lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），推导出＝9，再由x﹣y＝＝，能求出结果．（2）log830＝＝，由此能求出结果．【答案】解：（1）∵lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），∴，解得＝9，∴x﹣y＝＝＝4．（2）∵lg2＝a，lg3＝b，∴log830＝＝＝．【点睛】本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式7-1】（2019秋•江阴市期中）已知lgx+lgy＝2lg（x﹣y），求．【分析】由题意可得x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，从而解得＝，从而解得．【答案】解：∵lgx+lgy＝2lg（x﹣y），∴x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，∴x2﹣3xy+y2＝0，即（）2﹣3+1＝0，故＝，故＝（）＝（3+）﹣2．【点睛】本题考查了对数的化简与运算，同时考查了整体思想的应用，属于基础题．【变式7-2】已知lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，求log8的值．【分析】由已知条件推导出，由此能求出log8的值．【答案】解：∵lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，∴，整理，得，解得或＝﹣1（舍），∴log8＝log82＝＝．∴log8的值为．【点睛】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的合理运用．【变式7-3】已知2lg＝lgx+lgy，求．【分析】根据对数的运算法则进行化简即可．【答案】解：由得x＞y＞0，即＞1，则由2lg＝lgx+lgy，得lg（）2＝lgxy，即（）2＝xy，即（x﹣y）2＝4xy，即x2﹣2xy+y2＝4xy，即x2﹣6xy+y2＝0，即（）2﹣6（）+1＝0，则＝＝3+2或＝3﹣2（舍），则＝（3+2）＝（3﹣2）﹣1＝﹣1【点睛】本题主要考查对数的基本运算，根据对数的运算法则是解决本题的关键．【考点8对数的综合应用】【例8】设x、y、z均为正数，且3x＝4y＝6z（1）试求x，y，z之间的关系；（2）求使2x＝py成立，且与p最近的正整数（即求与P的差的绝对值最小的正整数）；（3）试比较3x、4y、6z的大小．【分析】（1）令3x＝4y＝6z＝k，利用指对数互化求出x、y、z，由对数的运算性质求出、、，由对数的运算性质化简与，即可得到关系值；（2）由换底公式求出P，由对数函数的性质判断P的取值范围，找出与它最接近的2个整数，利用对数的运算性质化简P与这2个整数的差，即可得到答案；（3）由（1）得3x、4y、6z，由于3个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这3个数大小关系．【答案】解：（1）令3x＝4y＝6z＝k，由x、y、z均为正数得k＞1，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，∴，，，∵＝，且，∴；（2）∵2x＝py，∴p＝＝＝＝＝2＝log316，∴2＜log316＜3，即2＜p＜3，∵p﹣2＝log316﹣2＝，3﹣p＝3﹣log316＝，∵﹣＝0，∴，即＞，∴与p的差最小的整数是3；（3）由（1）得，3x＝3log3k，4y＝4log4k、6z＝6log6k，又x、y、z∈R+，∴k＞1，＝﹣＝＝＞0，∴，则3x＜4y，同理可求＝＞0，则4y＜6z，综上可知，3x＜4y＜6z．【点睛】本题考查了对数的运算法则、换底公式、指数式与对数式的互化，考查了推理能力，化简、计算能力，属于中档题．a+log（c﹣b）a＝2log 【变式8-1】设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log（c+b）a•log（c﹣b）a．（c+b）a＝，log（c﹣b）a＝证明左端＝右【分析】依题意，利用对数换底公式log（c+b）端即可．【答案】证明：由勾股定理得a2+b2＝c2．log（c+b）a+log（c﹣b）a＝+＝＝＝a•log（c﹣b）a．＝2log（c+b）∴原等式成立．【点睛】本题考查对数换底公与对数运算性质的应用，考查正向思维与逆向思维的综合应用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．【变式8-2】（2018秋•渝中区校级期中）令P＝80.25×+（）﹣（﹣2018）0，Q＝2log32﹣log3+log38．（1）分别求P和Q．（2）若2a＝5b＝m，且，求m．【分析】（1）利用指数与对数运算性质可得P，Q．（2）2a＝5b＝m，且＝2，利用对数换底公式可得a＝，b＝，代入解出即可得出．【答案】解：（1）P＝×+﹣1＝2+﹣1＝．Q＝＝log39＝2．（2）2a＝5b＝m，且＝2，∴a＝，b＝，∴＝2，可得lgm＝，∴m＝．【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、非常的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式8-3】已知2y•log y4﹣2y﹣1＝0，•log5x＝﹣1，问是否存在一个正整数P，使P＝．【分析】由2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0可求y，再由•log5x＝﹣1求出x即可．【答案】解：∵2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0，∴y＝16；∵•log5x＝﹣1，∴，解得，x＝；故P＝＝＝3．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的应用及方程的解法，属于基础题．。
高考数学高中数学知识点第9讲对数与对数函数
第9讲 对数与对数函数1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N的对数，记作__x ＝log aN__，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数．(2)几种常见对数 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0，且a ≠1)． (2)对数的重要公式 ①换底公式：！！！ log b N ＝log a Nlog a b###(a ，b 均大于零，且不等于1)； ②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝__log a d __.(3)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__log a M ＋log a N __； ②log a MN ＝__log a M －log a N __；③log a M n ＝__n log a M __(n ∈R )； ④log am M n ＝！！！nm log aM ###. 3．对数函数的图象与性质定义域：__(0，＋∞)__ a 指数函数y ＝a x 与对数函数__y ＝log a x __互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 5．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)log a x 2＝2log a x .( × )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( × )(3)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(4)若log a m <log a n ，则m <n .( × ) 解析 (1)错误．log a x 2＝2log a |x |. (2)错误．不符合对数函数的定义． (3)正确．函数y ＝ln 1＋x1－x的定义域为(－1,1)，而函数y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域也为(－1,1)．(4)错误．当a ＞1时成立，而0＜a ＜1时不成立． 2．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( C ) A ．a c <b c B ．ab c <ba c C ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c解析 对于选项A ，考虑幂函数y ＝x c ，因为c >0，所以y ＝x c 为增函数，又a >b >1，所以a c >b c ，A 项错．对于选项B ，ab c <ba c ⇔⎝⎛⎭⎫b a c <b a ，又y ＝⎝⎛⎭⎫b a x 是减函数，所以B 项错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 项错，故选C ．3．如果log 12x <log 12y <0，那么( D )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析 由log 12x <log 12y <0，得log 12x <log 12y <log 121． 所以x >y >1，故选D ．4．函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为( C )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >34B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34<x <1C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34<x ≤1 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x ≤1 解析 要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义，则需log 0.5(4x －3)≥0，即0<4x －3≤1，解得34<x ≤1，故选C ． 5．计算：log 23·log 34＋(3)log 34＝__4__. 解析 log 23·log 34＋(3)log 34＝lg 3lg 2·2lg 2lg 3＋312 log 34＝2＋3log 32＝2＋2＝4.一 对数的运算对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后顺用对数的运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【例1】 (1)(log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝( B )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2(2)(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( D ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z(3)12lg 25＋lg 2－lg 0.1－log 29×log 32的值是！！！ －12 ###. (4)已知2x ＝12，log 213＝y ，则x ＋y 的值为__2__.解析 (1)(log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝2－log 23，又log 213＝－log 23，两者相加即为选项B ．(2)设2x ＝3y ＝5z ＝k >1，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ， ∵2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝⎝⎛⎭⎫2lg 2－3lg 3lg k ＝lg 9－lg 8lg 2·lg 3·lg k >0， ∴2x >3y ；同理，5z －2x ＝⎝⎛⎭⎫5lg 5－2lg 2lg k ＝lg 32－lg 25lg 5·lg 2·lg k >0， ∴5z >2x ，∴5z >2x >3y ，故选D ．(3)原式＝lg 5＋lg 2＋12－2＝1＋12－2＝－12.(4)∵2x ＝12，∴x ＝log 212，∴x ＋y ＝log 212＋log 213＝log 24＝2.二 对数函数的图象及应用在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系．【例2】 (1)函数f (x )＝lg 1|x ＋1|的大致图象是( D )(2)若不等式4x 2－log a x <0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，14恒成立，则实数a 的取值范围为( A ) A ．⎣⎡⎭⎫1256，1 B ．⎝⎛⎭⎫1256，1 C ．⎝⎛⎭⎫0，1256 D ．⎝⎛⎦⎤0，1256 解析 (1)f (x )＝lg1|x ＋1|＝－lg|x ＋1|的图象可由偶函数y ＝－lg|x |的图象左移1个单位得到．由y ＝－lg|x |的图象可知选D ．(2)∵不等式4x 2－log a x <0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，14恒成立， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，函数y ＝4x 2的图象在函数y ＝log a x 的图象的下方， ∴0<a <1．再根据它们的单调性可得4×⎝⎛⎭⎫142≤log a 14， 即log a a 14≤log a 14，∴a 14≥14，∴a ≥1256.综上可得1256≤a <1．三 对数函数的性质及应用 `(1)对数值大小比较的主要方法： ①化同底数后利用函数的单调性； ②化同真数后利用图象比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较． (2)解决不等式有解或恒成立问题的方法：对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为： ①对不等式变形，使不等号两边对应两函数f (x )，g (x )； ②在同一坐标系下作出两函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象；③比较当x 在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况．【例3】 (1)函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( D ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．⎝⎛⎭⎫0，13 D ．(3，＋∞)(2)设点P 在曲线y ＝12e x 上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，求|PQ |的最小值．解析 (1)∵a >0，a ≠1，∴u ＝ax －3是增函数，∴依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ×1－3>0，即a >3.(2)函数y ＝12e x 与函数y ＝ln (2x )互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称，如图所示．函数y ＝12e x 图象上的点P ⎝⎛⎭⎫x ，12e x 到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪12e x －x 2.设函数g (x )＝12e x －x ，g ′(x )＝12e x －1，由g ′(x )＝0得x ＝ln 2，则g (x )在(－∞，ln 2)上递减，在(ln 2，＋∞)上递增．∴g (x )min ＝1－ln 2，d min ＝1－ln 22.由图象关于直线y ＝x 对称得|PQ |的最小值为2d min ＝2(1－ln 2)．1．下列四个命题：①∃x 0∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x 0<⎝⎛⎭⎫13x 0； ②∃x 0∈(0,1)，log 12x 0>log 13x 0；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x>log 12x ；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <llog 13x . 其中真命题是( C )A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④解析 根据指数函数的图象和性质，可知①③是错误的，②④是正确的，故选C ． 2．已知函数y ＝lg[(a 2－1)x 2－2(a －1)x ＋3]的值域为R ，则实数a 的取值范围是( B ) A ．[－2,1] B ．[－2，－1]C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪[1，＋∞)解析 函数的值域为R ，只需满足u ＝(a 2－1)x 2－2(a －1)x ＋3能取得(0，＋∞)的所有实数，所以当a ＝1时，不合题意，当a ＝－1时，u ＝4x ＋3成立，当a 2－1>0时，Δ＝4(a －1)2－12(a 2－1)≥0，解得－2≤a <－1．综上，－2≤a ≤－1．3．f (x )＝log 3x ·log 3(3x )的值域为！！！ ⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ ###. 解析 f (x )＝log 3x ·log 3(3x )＝log 3x (1＋log 3x )＝(log 3x )2＋log 3x ，令log 3x ＝t ，则y ＝t 2＋t ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14≥－14.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是__[－2,0]__.解析 ∵|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，∴由|f (x )|≥ax ，以下两种情况均成立：①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ≥ax 恒成立，可得a ≥x －2恒成立，则a ≥(x －2)max ， 即a ≥－2；②由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，ln (x ＋1)≥ax 恒成立，根据函数图象可知a ≤0.综合①②得－2≤a ≤0.易错点 忽视对数的真数大于零错因分析：解决对数问题，时刻要注意真数大于零． 【例1】 函数y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的递减区间为( )A ．(1，＋∞)B ．⎝⎛⎦⎤－∞，34 C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 解析 由2x 2－3x ＋1>0，得x >1或x <12，易知u ＝2x 2－3x ＋1⎝⎛⎭⎫x >1或x <12在(1，＋∞)上是增函数，而y ＝log 12 (2x 2－3x ＋1)的底数0<12<1，所以该函数的递减区间为(1，＋∞)，故选A ．【跟踪训练1】 已知函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)，是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围？若不存在，说明理由．解析 令g (x )＝x 2－2ax ＋3，∵0<12<1，∴要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上为减函数，且恒大于0，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，7－4a ≥0，a 无解．所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数．课时达标 第9讲[解密考纲]本考点主要考查对数的运算、对数函数的图象与性质、简单复合函数的单调性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，题目难度中等或中等偏上．一、选择题1．函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( C )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)解析 要使lg (x ＋1)x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x >－1且x ≠1．2．若0<x <1，则下列结论正确的是( C ) A ．x >2x >lg x B ．2x >lg x >x C ．2x >x >lg xD ．lg x >x >2x解析 ∵0<x <1，∴2x >1,0<x <1，lg x <0， ∴2x >x >lg x ，故选C ．3．(2018·天津模拟)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( D )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析 函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增，故选D ．4．(2018·福建福州模拟)函数y ＝lg|x －1|的图象是( A )解析 因为当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．5．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与MN 最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)( D )A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析 因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48＝173， 所以M ≈10173，则M N ＝101731080＝1093，故选D ．6．(2018·四川成都一诊)设a ＝⎝⎛⎭⎫79－14 ，b ＝⎝⎛⎭⎫9715 ，c ＝log 279，则a ，b ，c 的大小顺序是( C ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <aD ．b <c <a解析 ∵a ＝⎝⎛⎭⎫79－14 ＝⎝⎛⎭⎫9714 ，b ＝⎝⎛⎭⎫9715 ，且函数y ＝⎝⎛⎭⎫97x 为R 上的增函数，14>15，∴a >b >0，又∵c ＝log 279<0，∴c <b <a ，故选C ． 二、填空题7．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是__(－∞，－3]__.解析 令u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，又y ＝log 12u 在[8，＋∞)上为减函数，所以y ≤log 128＝－3.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >0，2－x ，x ≤0，则f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎫log 216＝__8__. 解析 f (f (－4))＝f (24)＝log 416＝2，∵log 216<0，∴f ⎝⎛⎭⎫log 216＝2－log216＝2log 26＝6， 即f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎫log 216＝2＋6＝8. 9．已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值为__7__. 解析 由已知得f (m )＋f (2n )＝log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝log 22(m －2)(n －1)，又f (m )＋f (2n )＝3，所以log 22(m －2)(n －1)＝3，即2(m －2)(n －1)＝23＝8，因此(m －2)(n －1)＝4，所以m ＋n ＝(m －2)＋(n －1)＋3≥2(m －2)(n －1)＋3＝2×2＋3＝7，当且仅当m －2＝n －1＝2，即m ＝4，n ＝3时取等号． 三、解答题10．(1)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06；(2)(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64.解析 (1)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2 ＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1．(2)原式＝(log 62)2＋log 62·log 6182log 62＝log 62(log 62＋log 618)2log 62＝log 62·log 6362log 62＝2log 622log 62＝1．11．若g (x )＝log a (x 2－ax )(a >0且a ≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围． 解析 ①若0<a <1，则y ＝log a x 为减函数， ∴y ＝x 2－ax 在[2,3]上应为减函数． ∵对称轴为x ＝a 2，∴a2≥3，a ≥6，不成立．②若a >1，则y ＝log a x 为增函数，∴y ＝x 2－ax 在[2,3]上为增函数，∴a2≤2，a ≤4；又∵x 2－ax >0，∴当x ＝2时，y ＝x 2－ax 的最小值也要大于0， ∴4－2a >0，a <2，∴1<a <2. 综上知，实数a 的取值范围为(1,2)．12．(2018·安徽合肥八中二模)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )的图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时，总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解析 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为点Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝－log a (1－x )(x <1)．所以g (x )＝－log a (1－x )(x <1)． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a 1＋x 1－x ≥m .设F (x )＝log a 1＋x1－x ，x ∈[0,1)．由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．因为a＞1，故F(x)在[0,1)上是增函数，所以F(x)min＝F(0)＝0.故m的取值范围是(－∞，0]．1、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。
高考数学对数与对数函数复习课件
(3)log3×log49+lg +2lg 2= .
课堂考点探究
[解析] log3×log49+lg +2lg 2=-×+lg +lg 4=-1+lg=-1+1=0.
0
例2 (1)若0<a<1,则函数g(x)=loga(|x|-1)的图像可能是( )
课堂考点探究
探究点二 对数函数的图像及应用
1
3. [教材改编] 设a=,b=log9,c=log8,则a,b,c的大小关系是 .
[解析] a==log9=log9<log8=c,a=log9>log9=b,所以c>a>b.
题组二 常错题
索引:忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质致错;忽略对底数的讨论致错.4.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则= .
课堂考点探究
[思路点拨]先求函数的定义域,利用奇偶性的定义确定奇偶性,再分析某一区间上函数的单调性,从而对选项进行判断;
A B C D
图2-11-1
[思路点拨] 根据函数的定义域和函数的奇偶性,结合图像变换和对数函数的单调性,即可求解;
D
课堂考点探究
[解析] 函数g(x)=loga(|x|-1)满足|x|-1>0,解得x<-1或x>1,即函数g(x)=loga(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),排除A,B;因为g(-x)=loga(|-x|-1)=loga(|x|-1)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图像关于y轴对称,当x>1时,函数g(x)= loga(|x|-1)的图像是由函数y=logax的图像向右平移一个单位长度得到的,又0<a<1,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.故选D.
高考数学一轮复习考点知识专题讲解9---对数与对数函数
高考数学一轮复习考点知识专题讲解对数与对数函数考点要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)． (2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 3．对数函数的图象与性质y ＝log a x a >1 0<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝nmlog a b . 2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．(×)(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．(√) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点． 答案(3,2) 解析∵log a 1＝0， 令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝. 答案4解析(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4. 3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝. 答案12或2解析当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一 对数式的运算例1(1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于()A.10B ．10C ．20D ．100 答案A解析2a ＝5b ＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋212log 2－log 5150－log 514＝. 答案2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋12log (2)2＝log 535150×14＋12log 2＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 教师备选计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＋b ＝.答案6解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ， 所以b 2b＝2b b ，即2b ＝b 2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.所以a＋b＝6.(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝.答案4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1答案A解析由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，解得1a<b<1.综上有0<1a<b<1.(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x ＋ln x 2的值为() A ．e 2＋ln2B ．e ＋ln2 C ．2D ．4 答案C解析根据题意，已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为函数y ＝e x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标， 则两个函数图象的交点为(x 1，1e x )，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为函数y ＝ln x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，又由函数y＝e x与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，1e x)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有1e x＋ln x2＝1e x＋x1＝2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝log a x＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝a x＋b的图象可能为()答案D解析结合已知函数的图象可知，f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意．(2)(2022·西安调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2e x -＝ln(x 2＋1)，3e x -＝lg x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3 答案D解析画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3.题型三 对数函数的性质及应用 命题点1比较指数式、对数式大小 例3(1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则() A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b 答案D 解析c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2，∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则() A ．b <c <a B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <b <a 答案C解析因为a ，b ，c 都是正数， 所以1a＝log 36＝1＋log 32，1b ＝log 612＝1＋log 62，1c＝log 1224＝1＋log 122，因为log 32＝lg2lg3， log 62＝lg2lg6，log 122＝lg2lg12，且lg3<lg6<lg12，所以log 32>log 62>log 122， 即1a >1b >1c，所以a <b <c .命题点2解对数方程不等式例4若log a (a ＋1)<log a (2a )<0(a >0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1， ∴⎩⎨⎧a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎨⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3对数性质的应用 例5已知函数f (x )＝ln 2x ＋12x －1，下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )为奇函数； ②f (x )为偶函数；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增．答案①③解析f (x )＝ln 2x ＋12x －1，令2x ＋12x －1>0，解得x >12或x <－12，∴f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞， 又f (－x )＝ln－2x ＋1－2x －1＝ln2x －12x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x －1－1＝－ln2x ＋12x －1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故①正确，②错误； 又f (x )＝ln2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x －1， 令t ＝1＋22x －1，t >0且t ≠1，∴y ＝ln t ， 又t ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减， 且y ＝ln t 为增函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故③正确；又f (x )为奇函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，故④不正确．教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a 答案B解析∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1，c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg3lg2×lg5lg9＝lg3lg2×lg52lg3＝lg52lg2＝lg5lg4＝log 45>1，∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为() A ．[1,2) B ．[1,2]C ．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减， 则有⎩⎨⎧g (1)>0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是() A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．a <c <b 答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0， 可得c <b <a <1.(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ≥2，－log a x －4，0<x <2存在最大值，则实数a 的取值范围是．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析当a >1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意， 故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2； 当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4， 则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2， 即1a 2≥2,0<a ≤22， 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，22.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b 答案D解析a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ， 所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于() A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案A解析函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，又f(2)＝1，即log a2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.3.函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()①a>1；②0<c<1；③0<a<1；④c>1.A．①②B．①④C．②③D．③④答案C解析由图象可知函数为减函数，∴0<a<1，令y＝0得log a(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0<1－c<1，∴0<c<1.4．(2022·银川模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1＝10lg II0 (单位：分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是()A ．(－∞，10－7)B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5) 答案C解析由题意可得，0≤10·lg II 0<50， 即0≤lg I －lg(1×10－12)<5， 所以－12≤lg I <－7， 解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)． 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log (－x )，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a >12log a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log (－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.6．(2022·汉中模拟)已知log 23＝a ,3b ＝7，则log 2156等于()A.ab＋3a＋abB.3a＋ba＋abC.ab＋3a＋bD.b＋3a＋ab答案A解析由3b＝7，可得log37＝b，所以log2156＝log3(7×23)log3(3×7)＝log37＋log323log33＋log37＝b＋3×1a1＋b＝ab＋3a＋ab.7．(2022·海口模拟)log327＋lg25＋lg4＋7log27＋13(8)-的值等于．答案7 2解析原式＝log3323＋lg52＋lg22＋2＋133(2)⨯-＝32＋2lg5＋2lg2＋2＋(－2)＝32＋2(lg5＋lg2)＋2＋(－2)＝32＋2＋2＋(－2)＝7 2 .8．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．答案(4，－1)解析令x －3＝1，则x ＝4， ∴y ＝log a 1－1＝－1， 故点P 的坐标为(4，－1)．9．设f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212. (1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值． 解(1)因为f (x )＝log 2(a x－b x)， 且f (1)＝1，f (2)＝log 212， 所以⎩⎨⎧log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎨⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )， 令t ＝4x －2x ，则t ＝4x －2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4， 所以94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增， 所以y max ＝log 212＝2＋log 23， 即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解(1)f (x )是奇函数，证明如下： 因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 所以⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )， 故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0， log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x >0，2x (1－x )>0，解得0<x <1， 故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则() A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x ＝3y ＝log 4z ，则() A ．z >x >y B ．z >y >x C ．x >y ，x >z D ．z >x ，z >y 答案D解析设2x ＝3y ＝log 4z ＝k >0， 则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k ， 根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ， 4k >log 3k ，即z >x ，z >y .13．函数f (x )＝log 2x ·2x )的最小值为． 答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.14．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0<a<b，∴0<a<1，b>1且ab＝1，∴a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b时取等号．又0<a<b，故a＋b>2.15．(2022·贵阳模拟)若3a＋log3a＝9b＋2log9b，则()A．a>2b B．a<2bC．a>b2D．a<b2答案B解析f(x)＝3x＋log3x，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵3a＋log3a＝32b＋log3b，∴f(2b)＝32b＋log3(2b)>32b＋log3ba＝f(a)，＝3a＋log3∴2b>a.16．已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．解(1)当k＝－4时，f(x)＝log2(2x－4)．由f(x)>2，(2x－4)>2，得log2得2x－4>4，得2x>8，解得x>3.故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，所以f(0)＝1，即log(1＋k)＝1，2解得k＝1.所以f(x)＝log2(2x＋1)．因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，(2x＋1)＝x－2m有实根．即log2所以方程－2m＝log2(2x＋1)－x有实根．令g(x)＝log2(2x＋1)－x，则g (x )＝log 2(2x＋1)－x＝log 2(2x ＋1)－log 22x＝log 22x＋12x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x .因为1＋12x >1，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x >0，所以g (x )的值域为(0，＋∞)． 所以－2m >0，解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。
对数与对数函数
对数与对数函数1.对数的概念(1).对数的定义:如果 那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba a Nb N =⇔= 如22=4 ==> lg 24=2 注意：负数与0没有对数(2).常用对数： 10log N 叫做常用对数，记作lg N 如lg2 ，自然对数：无理数 2.71828e=⋅⋅⋅为底记作ln N 。
(3).注意：①log a 1=0 ②log a a=1 ③lg10=1 ④1ne=1 如log a （x-1）=1 则x-1=a 若log a （x-1）=0 则x-1=1 2.对数恒等式、换底公式 (1)对数恒等式：①log Na a = (01,0)a a N>≠>且②log Na a = (01,0)a a N >≠>且(2)换底：log aN =log log b b Na(a ，b>0且a ，b ≠1,N>0) log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d (a ，b,c>0且a ，b,c ≠1)3.对数的运算性质:如果01,0,0aa M N >≠>>且，那么（1）log ()a MN = . （2）log a MN= （3）log n a M = （4）log n amM = （5）log log a b b a ⋅= （6）log a b =1log b a例1．指数式34 =81的对数式是 ，对数式41log 2=－2的指数式是 。
log 55= log 39= , (3)49log 77 = , (4) log 575－log 53 = ，(5) lg10 = , (6)log 21 = lne=_________例2.计算 （1）()()222lg 2lg 2lg 5lg 2lg 21+⋅+-+ （2）()()231lg 5lg8lg1000lg 2lg lg 0.066++++(3)22271log log 12log 421482+--(4)()2lg 2lg 2lg 50lg 25+⋅+(5)()()3948log 2log 2log 3log 3+⋅+ 例3．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于( )A ．b a b a +++12B ．b a b a +++12C ．b a b a +-+12D ．b a ba +-+12例4．已知2 lg(x －2y)=lgx ＋lgy ，则yx 的值为 A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或2课堂练习：1、已知log 5X=3，则X =（ ）A 100 B 1000 C 25 D 1252、在对数式N alog =b 中，真数N 的取值范围是（ ）A N ＞0 B N>0且N ≠1 C N ≠1 D N 取任何实数3、式子lg5+lg800－2lg2 =（ ） A 1000 B 100 C 3 D 24、如果a>0且a ≠1，则正确的是（ ）A 5log 3log 2log a a a=+ B 6log 3log 2log a a a =+C 3log 2log 3log 2log a a a a∙=+ D 6log 3log 2log a a a =∙5、ln 3e+lne 3=( ) A 2 B 3 C 4 D 66、如果a>0且a ≠1，则下列式子错误的是（ ） A log a 1= 0 B log a a =1 C log a M n= n DN a N a =log7、式子=3log 9log 28（ ） A.32B.1C.23D. 2 8、式子16log 8=（ ）A43 B4 C34 D 39、下列等式不成立的有（ ） A lne=1 B ln1=0 C ln 2e=2 D e ln2=2 10.计算(1)25log 41log 49log 752∙∙(2)2)18(lg - －125(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2(4)()643log [log log 81](5)23lg 3lg 9lg 27lg 355lg81lg 27++-- (6)()502log 33335322log 2log log 85log 89-+-+11.若234342423log log log log log log log log log 0xy z ===，求x y z ++=的值。
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9对数与对数函数- 2 -2004－2005学年度上学期高中学生学科素质训练高一数学同步测试（9）—对数与对数函数一、选择题：1．3log 9log 28的值是（ ）A ．32 B ．1C ．23 D ．22．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（ ）A.23B.45C.0D.214．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于- 3 -（ ）A ．b a b a +++12B ．b a b a +++12C ．b a b a +-+12D ．ba ba +-+12 5．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y x 的值为 （ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或6.函数y =)12(log 21-x 的定义域为（ ）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞)C ．( 21，1] D ．(－∞，1)7．已知函数y =log 21(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．a ＞ 1B ．0≤a ＜ 1C ．0＜a ＜1D ．0≤a ≤1 8.已知f (e x)=x ，则f (5)等于（ ）- 4 -A ．e5B ．5eC ．ln5D ．log 5e 9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（ ）A BC D 10．若22log ()y xax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[23,2]-B ．)223,2⎡-⎣ C ．(223,2⎤-⎦D ．()223,2-11．设集合BA x xB x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（ ） A ．}1|{>x x B ．}0|{>x x C ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或12．函数),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ）Ox y Ox y Oxy Ox y- 5 -A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y x x B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y x x C ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x xD ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y x x二、填空题：13．计算：log 2.56.25＋lg1001＋lne＋3log 122+= ．14．函数y =log 4(x －1)2(x ＜1＝的反函数为___ _______．15．已知m ＞1，试比较(lg m )0.9与(lg m )0.8的大小 ．16．函数y =(log 41x )2－log 41x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为_____ _ ． 三、解答题：17．已知y =log a (2－ax )在区间{0，1}上是x 的减函数，求a 的取值范围．18．已知函数f(x)=lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．19．已知f(x)=x2＋(lg a＋2)x＋lg b，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？- 6 -20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小．- 7 -21．已知函数f(x)=log a(a－a x)且a＞1，（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；（3）证明函数图象关于y=x对称．22．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．- 8 -- 9 -- 10 -参考答案一、选择题： ADBCB CDCBA AB二、填空题：13.213，14.y =1－2x(x ∈R)， 15. (lg m )0.9≤(lg m )0.8，16.8425≤≤y 三、解答题：17.解析：先求函数定义域：由2－ax ＞0，得ax ＜2又a 是对数的底数，∴a ＞0且a ≠1，∴x ＜a 2由递减区间[0，1]应在定义域内可得a 2＞1，∴a ＜2又2－ax 在x ∈[0，1]是减函数∴y =log a (2－ax )在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a ＞1∴1＜a ＜218、解：依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立．当a 2－1≠0时，其充要条件是：⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-0)1(4)1(01222a a a 解得a ＜－1或a ＞35 又a =－1，f (x )=0满足题意，a =1，不合题意． 所以a 的取值范围是：(－∞，－1]∪(35，＋∞)19、解析：由f (－1)=－2 ，得：f (－1)=1－(lg a＋2)＋lg b =－2，解之lg a －lg b =1，∴b a =10，a =10b ．又由x ∈R ，f (x )≥2x 恒成立．知：x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ≥2x ，即x 2＋x lg a ＋lg b ≥0，对x ∈R 恒成立，由Δ=lg 2a －4lg b ≤0，整理得(1＋lg b )2－4lg b ≤0即(lg b －1)2≤0，只有lg b =1，不等式成立． 即b =10，∴a =100． ∴f (x )=x 2＋4x ＋1=(2＋x )2－3 当x =－2时，f (x ) min =－3．20.解法一：作差法|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=|ax lg )1lg(- |－|a x lg )1lg(+|=|lg |1a (|lg(1－x )|－|lg(1＋x )|) ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＜1＋x∴上式=－|lg |1a [(lg(1－x )＋lg(1＋x )]=－|lg |1a ·lg(1－x 2)由0＜x ＜1，得，lg(1－x 2)＜0，∴－|lg |1a ·lg(1－x 2)＞0，∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法二：作商法|)1(log ||)1(log |x x a a -+=|log (1－x )(1＋x )|∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＋x ，∴|log (1－x )(1＋x )|=－log (1－x )(1＋x )=log (1－x )x+11由0＜x ＜1，∴1＋x ＞1，0＜1－x 2＜1∴0＜(1－x )(1＋x )＜1，∴x+11＞1－x ＞0∴0＜log (1－x )x+11＜log (1－x )(1－x )=1∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法三：平方后比较大小∵log a 2(1－x )－log a 2(1＋x )=[log a (1－x )＋log a (1＋x )][log a (1－x )－log a (1＋x )]=log a (1－x 2)·log a xx +-11=|lg |12a ·lg(1－x 2)·lg xx+-11 ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x 2＜1，0＜x x +-11＜1 ∴lg(1－x 2)＜0，lg xx +-11＜0 ∴log a 2(1－x )＞log a 2(1＋x )，即|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|解法四：分类讨论去掉绝对值当a ＞1时，|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=－log a (1－x )－log a (1＋x )=－log a (1－x 2)∵0＜1－x ＜1＜1＋x ，∴0＜1－x 2＜1 ∴log a (1－x 2)＜0，∴－log a (1－x 2)＞0 当0＜a ＜1时，由0＜x ＜1，则有log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=|log a (1－x )＋log a (1＋x )|=log a (1－x 2)＞0∴当a ＞0且a ≠1时，总有|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)(2)设1＞x 2＞x 1 ∵a ＞1，∴12x x a a，于是a －2x a ＜a －1x a则log a (a －a 2x a )＜log a (a －1x a )即f (x 2)＜f (x 1)∴f (x )在定义域(－∞，1)上是减函数(3)证明：令y =log a (a －a x )(x ＜1)，则a －a x =a y ，x =log a (a －a y )∴f －1(x )=log a (a －a x )(x ＜1)故f (x )的反函数是其自身，得函数f (x )=log a (a －a x )(x ＜1＝图象关于y =x 对称． 22.解析：根据已知条件，A 、B 、C 三点坐标分别为(a ，log 2a )，(a ＋1，log 2(a ＋1))，(a ＋2，log 2(a＋2))，则△ABC 的面积S=)]2(log [log2)]2(log )1([log 2)]1(log [log 222222++-++++++a a a a a a222)]2([)1)(2(log 21+++=a a a a a )2()1(log 2122++=a a aa a a a 212log 21222+++=)211(log 2122aa ++=因为1≥a ,所以34log 21)311(log 2122max =+=S。