对数与对数函数专题

对数与对数函数专题1.对数的概念如果a x＝N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 .2.对数的性质、换底公式与运算性质（1）对数的性质：① a logaN＝N；②log a a b＝b（a>0，且a≠1）.（2）对数的运算法则如果a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么①log a（MN）＝ log a M＋log a N；②log a N M＝log a M－ log a N；③log a M n＝n log a M（n∈ R）；n n④ log a m M n＝m log a M（m，n∈ R，且m≠0）.log a N（3）换底公式： log b N＝log a b（a，b均大于零且不等于 1）.3.对数函数及其性质（1）概念：函数y＝log a x（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0 ，＋∞ ）.（2）对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x（a>0，且a≠1）与对数函数y＝log a x（a>0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称 .1. 换底公式的两个重要结论1nn（1）log a b ＝ ； （2）log a m b n ＝ log a b .a logb a a m a其中 a >0，且 a ≠1， b >0，且 b ≠1， m ， n ∈R.2. 在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大 .13. 对数函数 y ＝ log a x （ a >0，且 a ≠1）的图象过定点 （1 ， 0） ，且过点 （a ，1）， ，－1 ，函数图象只在第 a 、四象限 疑误辨析】1. 判断下列结论正误 （在括号内打“√”或“×”）2（1）log 2x ＝ 2log 2x .（ ）（2） 函数 y ＝log 2（ x ＋1）是对数函数 .（ ） 1＋ x（3）函数 y ＝ln 与 y ＝ ln （1 ＋x ） －ln （1 －x ）的定义域相同 .（ ） 1－ x（4） 当 x >1 时，若 log a x >log b x ，则 a <b .（ ）教材衍化】2. （ 必修 1P73T3改编）已知 a ＝ 2 3 ，b ＝log 231， 4. 计算 log 29×log 34＋ 2log 510＋ log 50.25 ＝（ ）A.0B.2C.4D.65. （2019 ·上海静安区检测 ）已知函数 y ＝log a （ x ＋ c ）（ a ，c 为常数，其中 a >0，且 a ≠1）的图象如图，则下 列结论成立的是 （ ）1 c ＝log 13，A. a >b >cB.a >c >bC.c >b >a D. c >a >b3.（ 必修 1P74A7改编 ） 函数 l og 2（2 x －1） 的定义域是21－log 63)2＋ log 62·log 618log 64【规律方法】 1. 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂 的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并 .2. 先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的 积、商、幂再运算 .3.ab ＝N?b ＝ logaN(a>0 ，且 a ≠1) 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化 . 【训练 1】 (1) 若 lg 2 ，lg(2 x ＋ 1) ，lg(2 x ＋ 5)成等差数列，则 x 的值等于 ( )11A.1B.0 或C.D.log 23885(2)(2019 ·成都七中检测 )已知 a >b >1，若 log a b ＋log b a ＝2，a ＝b ，则 a ＝ ________ ，b ＝ ____________________________________________________________________ .考点二 对数函数的图象及应用【例 2】 (1)(2019 ·潍坊一模 )若函数 f (x )＝a x －a －x (a >0 且 a ≠1)在 R 上为减函数，则函数 y＝log a (| x |A. a >1， c >1B. a >1， 0<c <1C.0< a <1， c >1D.0< a <1， 0<c <16.(2018 ·全国Ⅰ卷 2) 已知函数 f ( x ) ＝log 2( x 2＋a ). 若 f (3)考点聚焦】考点一 对数的运算例 1 】 (1) 计算： lg 14－lg 25 ÷100－ 21＝(2) 计算：（2） 当 x ∈ （1 ， 2）时，不等式 （ x － 1） 2<log a x 恒成立，则 a 的取值范围是 （ ） 1A.（0 ，1）B.（1，2）C.（1 ，2]D. 0， 2规律方法】 1. 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点 点、最高点、最低点等 ) 排除不符合要求的选项2. 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解取值范围是 _____考点三 对数函数的性质及应用 多维探究 角度 1 对数函数的性质【例 3－1】 已知函数 f (x )＝ln x ＋ ln(2 －x )，则 ( ) A.f ( x )在(0 ，2)上单调递增B.f ( x )在(0 ， 2)上单调递减C.y ＝f ( x )的图象关于直线 x ＝1对称D. y ＝f ( x )的图象关于点 (1，0)对称角度 2 比较大小或解简单的不等式 1 【例 3－2】 (1)( 一题多解)(2018 ·天津卷 )已知 a ＝log 2e ， b ＝ln 2，c ＝log 1，则 a ，b ，c 的大小关系为 23 ( )A. a >b >cB.b >a >c C. c >b >a D. c >a >b2(2) 若 log a ( a 2＋ 1)<log a 2a <0，则 a 的取值范围是 ( ) IIIIA.(0 ，1)B.，2 C.2，1D.(0 ，1) ∪(1 ，＋∞)( 与坐标轴的交训练 2】 (1)(2018 ·湛江模拟 ) 已知函数 f (x )＝log a (2x＋b －1)( a >0， a ≠1)的图象如图所示，则C.0<b－1<a<1D.0< a － 1<b －1<1(2)(2019 ·日照一中调研 ) 已知函数 f(x)2x ，x<1，log2x ， x ≥ 1， 若方程 f(x) －a ＝0 恰有一个实根，则实数a 的 b<a －1<1角度 3 对数型函数性质的综合应用【例 3－3】已知函数f ( x) ＝log a(3 －ax).(1) 当x∈[0 ，2] 时，函数f ( x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2] 上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由 .【规律方法】 1. 确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行 .2. 如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误 .3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解. 在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练 3】 (1) 若a>b>0， 0<c<1，则 ( )A.log a c<log b cB.log c a<log c bC. a c<b cD. c a>c b2 3 1(2) 若函数f(x) ＝log a x2＋2x ( a>0，a≠1)在区间2，＋∞ 内恒有f ( x)>0 ，则f(x) 的单调递增区间为【反思与感悟】1.对数值取正、负值的规律当a>1 且b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时， log a b>0 ；当a>1 且0<b<1 或 0<a<1 且b>1 时， log a b<0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决 .3. 比较幂、对数大小有两种常用方法： (1) 数形结合； (2) 找中间量结合函数单调性 .4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1 交点的横坐标进行判定 .【易错防范】1.在对数式中，真数必须是大于 0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为 (0 ，＋∞ ). 对数函数的单调性取决于底数a与 1的大小关系，当底数a与 1的大小关系不确定时，要分 0<a<1与a>1两种情况讨论 .2. 在运算性质 log a M ＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M>0 的条件下应为 log a M ＝αlog a| M|( α∈ N，且 α 为偶数 ).3. 解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1) 务必先研究函数的定义域； (2) 注意对数底数的取值范 围. 【分层训练】【基础巩固题组】 (建议用时： 40 分钟) 一、选择题2x ，x ≥4，1. 已知函数 f (x )＝ 则 f (2 ＋log 23)的值为( )f ( x ＋1) ，x <4， A.24B.16C.12D.82.(2018 · 天津卷 ) 已知 a ＝ log 3 17 1 12，b ＝ 43， c ＝log 15，则 a ， b ，c 的大小关系为 ( ) A. a >b >cB. b >a >cC. c >b >aD. c >a >bg (x )＝log a (x ＋2)( a >0，且 a ≠1)的图象大致为( )4. (2019 ·宁波二模 ) 已知 f (x ) ＝lg(10 ＋x ) ＋lg(10 －x )，则 ( ) A.f ( x )是奇函数，且在 (0 ，10) 上是增函数 B. f ( x )是偶函数，且在 (0 ， 10)上是增函数C.f ( x )是奇函数，且在 (0 ，10) 上是减函数D. f ( x )是偶函数，且在 (0 ， 10)上是减函数22x | ，若 f (m )＝f ( n )( m >n >0)，则m ＋1＋n ＋1＝(、填空题5.(2019 ·临汾三模 ) 已知函数 f ( x ) ＝|ln1A.12B.1C.2D.43. 在同一直角坐标系中，函数f ( x ) ＝2－ax6.lg 52＋2lg 2－1 1212. 设 x ，y ，z 为正数，且 2x ＝3y ＝5z ，则 ( )7.(2019 ·昆明诊断 )设 f (x )＝lg ＋a 是奇函数，则使f (x )<0 的 x 的取值范围是 _8.(2019 ·潍坊调研 ) 已知函数 f ( x ) ＝ －log 2(3－x )， x －22－ － 1， 若 f (2 －a )＝1，则 f ( a ) ＝三、解答题9.设 f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3 － x )( a >0，a ≠1) ，且 f (1) (1) 求 a 的值及 f ( x )的定义域；3(2) 求 f ( x ) 在区间 0，2 上的最大值 .＝2.10. 已知函数 f (x )是定义在 R 上的偶函数，且 f (0) ＝0，当 x >0 时， f (x ) ＝log 1x .(1) 求函数 f ( x )的解析式；(2) 解不等式 f ( x 2－能力提升题组】 (建议用时： 20 分钟)11.(2019 ·天津和平区二模 ) 已知 a >0且 a ≠1，函数 f ( x ) ( －∞，＋∞ ) 上既是奇函数又是增函数，则函数g (x ) ＝log log a (x ＋ x 2＋ b ) 在区间|| x | － b | 的图象是A.2x <3y <5z C.3y <5z <2x13. (2019 ·衡水中学检测 )已知函数 f (x )＝lg( mx 2＋2mx ＋1)，若 f (x )的值域为 R ，则实数 m 的取值范围是x ＋ 114. 已知函数 f (x ) ＝ln .x －1(1) 求函数 f ( x )的定义域，并判断函数 f ( x )的奇偶性；(2) 对于 x ∈[2，6]，f (x )＝ln x＋1>ln m恒成立，求实数 m 的取值范围x － 1 ( x － 1)( 7－ x )答案1. 判断下列结论正误 (在括号内打“√”或“×”)2(1)log 2x ＝ 2log 2x .( )B.5z <2x <3y y x(2) 函数y＝log 2( x＋1)是对数函数 .( )1＋x(3)函数y＝ln 与y＝ ln(1 ＋x) －ln(1 －x)的定义域相同 .( )1－x(4)当x>1 时，若 log a x>log b x，则a<b.( )【答案】 (1) × (2) × (3) √ (4) ×【解析】 (1)log 2x2＝2log 2|x|，故(1) 错.(2) 形如y＝log a x( a>0，且a≠1)为对数函数，故 (2) 错.(4) 当x>1时， log a x > log b x，但a与b的大小不确定，故 (4) 错.【教材衍化】1 1 112.（必修 1P73T3改编）已知a＝ 2 3，b＝log 23，c＝log 13，则（）A. a>b>cB. a>c>bC.c>b>aD.c>a>b【答案】 D【解析】11 ∵0<a<1，b<0，c＝ log 13＝ log 23>1.23∴c>a>b.3._______________________________________________ （必修 1P74A7改编）函数y＝log 2（2 x－1）的定义域是____________________________1【答案】2， 1【解析】由 log 2（2x－1）≥0，得 0<2x－1≤1.∴ 21<x≤1.32∴函数y ＝ log 2(2x－ 1) 的定义域是【真题体验】1， 1 . 2， 1 .4.(2019 ·杭州检测）计算 log 29×log 34＋ 2log 510 ＋log 50.25 ＝（）A.0B.2C.4D.6【答案】 D2解析】原式＝ 2log 23×（2log 32）＋ log 5（10 2×0.25）＝ 4 ＋ log 525＝ 4＋ 2 ＝ 6.5.(2019 ·上海静安区检测 )已知函数y＝log a( x＋c)( a，c 为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是 ( )B. a >1， 0<c <1C.0< a <1， c >1 D.0< a <1， 0<c <1【答案】 D【解析】 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以 0<a <1. 又当 x ＝ 0 时， y >0，即 log a c >0，所以 0<c <1.6. _______________________________________________________ (2018 ·全国Ⅰ卷 )已知函数 f (x )＝log 2( x 2＋a ). 若 f (3) ＝1，则 a ＝ __________________ . 【答案】 －7【解析】 由 f (3) ＝1得log 2(32＋a )＝1，所以 9＋a ＝2，解得 a ＝－7. 【考点聚焦】 考点一 对数的运算11 【例 1】 (1) 计算： lg 4－lg 25 ÷100－ 2＝ .2 (1－ log 63)2＋ log 62·log 618log 64(1) － 20 (2)1－ 2 2 1 1－2(1) 原式＝ (lg 2 －2－lg 5 2)×100 ＝lg 2 2 ×10＝ lg 10 －2×10＝－2×10＝－ 20.2 2 ×526 1－2log 63＋ (log 63) ＋log 6 3·log 6( 6×3)log 6422规律方法】 1. 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂 的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并 . 2. 先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的 积、商、幂再运算3. ab ＝N? b ＝ logaN(a>0 ，且 a ≠1) 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化 . 【训练 1】 (1) 若 lg 2 ，lg(2 x ＋ 1) ，lg(2 x ＋ 5)成等差数列，则 x 的值等于 ( )11A. 1B.0 或C.D.log 23 885b a(2)(2019 ·成都七中检测 )已知 a >b >1，若 log a b ＋log b a ＝2，a b ＝b a ，则 a ＝ __________ ，b ＝ ____________________________________________________________________ 答案】 (1)D (2)4 2A. a >1， c >1 (2) 计算：【答案】【解析】 1－2log 63＋ (log 63) 2 ＋1－ (log 63) 2log 642(1 － log63) ＝ log 66－ log 63 log 62log 62【解析】 （1） 由题意知 lg 2 ＋lg （2 x ＋ 5） ＝ 2lg （2 x ＋1） ，x x 2 x 2 x∴2（2 ＋5）＝（2 ＋1）2，（2 ）2－9＝0，2＝3，x ＝log 23.15 （2） 设 log ba ＝t ，则 t >1，因为 t ＋t ＝2，2 所以 t ＝2，则 a ＝b .又 a b ＝ b a ，所以 b 2b ＝ bb 2，即 2b ＝ b 2，又 a >b >1，解得 b ＝2， a ＝4. 考点二 对数函数的图象及应用例 2】 （1）（2019 ·潍坊一模 ）若函数 f （x ）＝a x －a －x （a >0 且 a ≠1）在 R 上为减函数，则函数若 y ＝ log a x 过点 （2 ， 1） ，得 log a 2＝ 1，所以 a ＝ 2. 2根据题意，函数 y ＝log a x ，x ∈ （1 ， 2）的图象恒在 y ＝（x －1） 2， x ∈ （1 ，2）的上方 . 结合图象， a 的取值范围是 （1 ，2].【规律方法】 1. 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点 点、最高点、最低点等 ) 排除不符合要求的选项 .y ＝ log a (| x |a 的取值范围是 （A.（0 ， 1） B.（1 ， 2） 1C.（1 ，2]D. 0， 2【答案】 （1）D （2）C【解析】 （1） 由 f （x ）在 R 上是减函数，知 0<a <1.又 y ＝log a （| x | － 1）是偶函数，定义域是 （－∞，－ 1） ∪ （1 ，＋∞ ）. ∴当 x >1时，y ＝log a （ x －1）的图象由 y ＝log a x 向右平移一个单位得到 .因此选项 D 正确. （2） 由题意，易知 a >1.在同一坐标系内作出 y ＝（x －1）2，x ∈（1，2）及 y ＝log a x 的图象.（ 与坐标轴的交－ 1） 的图象可以是 （则2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 .【训练 2】 (1)(2018 ·湛江模拟 )已知函数f ( x) ＝ log a(2 x＋b－1)( a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满B.0< b<a－1<1－1C.0<b <a<1D.0< a－1<b－ 1<12x ，x<1，(2)(2019 ·日照一中调研 )已知函数 f(x) ＝若方程 f(x) －a＝0 恰有一个实根，则实数 a的log2x ， x≥ 1，取值范围是 _____ .【答案】 (1)A (2){0} ∪[2 ，＋∞)【解析】 (1) 由函数图象可知，f(x)在 R上单调递增，又y＝2x＋b－1在R上单调递增，故a>1.函数图象与y 轴的交点坐标为 (0 ， log a b) ，由函数图象可知－ 1<log a b<0，－ 1 － 1即 log a a <log a b<log a1 ，所以，a <b<1.综上有 0<a－1<b<1.(2) 作出函数y＝f(x)的图象 (如图所示 ).方程f(x)－a＝0 恰有一个实根，等价于函数y＝f ( x)的图象与直线y＝a恰有一个公共点，故a＝0 或a≥2，即a 的取值范围是 {0} ∪[2 ，＋∞ ).考点三对数函数的性质及应用多维探究角度 1 对数函数的性质例 3－1】已知函数f(x)＝ln x＋ ln(2 －x)，则 ( )A. f （ x ）在（0 ，2）上单调递增B. f （ x ）在（0 ，2）上单调递减C. y ＝f （x ） 的图象关于直线 x ＝1对称D. y ＝f （ x ）的图象关于点 （1 ，0）对称 【答案】 C2【解析】 由题意知， f （x ）＝ln x ＋ln （2 － x ）的定义域为 （0 ， 2） ， f （ x ） ＝ ln[ x （2 －x ）] ＝ln[ －（x －1）II ＋1] ，由复合函数的单调性知，函数 f （ x ）在（0 ，1）上单调递增，在 （1 ， 2）上单调递减，所以排除 A ，B ；又f （2－x ）＝ln （2 －x ）＋ln x ＝f （ x ） ，所以 f （ x ）的图象关于直线 x ＝1对称， C 正确， D 错误.角度 2 比较大小或解简单的不等式1 例 3－2】 （1）（ 一题多解）（2018 ·天津卷 ）已知 a ＝log 2e ， b ＝ln 2，c ＝log III IV3，则 a ，b ，c 的大小关系为23 ( ) A. a >b >c C.c >b >a2(2) 若 log a ( a 2＋ 1)<log a 2a <0，则 a 的取值范围是 ( )1A.(0 ，1)B. 0， 2y ＝log 2x ， y ＝ ln x 的图象，由图知c >a >b .II 由题意得 a >0 且 a ≠1，故必有 a 2＋ 1>2a ， 又 log a （a 2＋ 1）<log a 2a <0，所以 0<a <1， 11 同时 2a >1，∴ a >2. 综上， a ∈ 2， 1 . 角度 3 对数型函数性质的综合应用例 3－3】 已知函数 f （ x ） ＝log a （3 －ax ）. III C. 2，1D.(0 ，1) ∪ (1 ，＋∞)答案】 (1)D (2)C1解析】 (1) 法一 因为 a ＝ log 2e>1， b ＝ln 2 ∈(0，1)，c ＝log 1＝log 23>log 2e ＝a >1，所以 c >a >b .IVlog 13＝ log 23，如图，在同一坐标系中作出函数23B. b >a >c D.c >a >b(1) 当x∈[0 ，2] 时，函数f ( x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2] 上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由 .【答案】见解析【解析】 (1) ∵a>0 且a≠1，设t (x) ＝3－ax，则t( x)＝3－ax 为减函数，x∈[0，2] 时，t ( x)的最小值为 3－2a，当x∈[0 ，2]时，f ( x)恒有意义，即x∈ [0 ，2]时， 3－ax>0 恒成立 .3∴ 3－ 2a>0. ∴ a<2.3又a>0 且a≠1，∴ a 的取值范围是 (0 ，1)∪ 1，2 .(2) t (x) ＝ 3－ax，∵ a>0，∴函数t (x) 为减函数 .∵f(x)在区间 [1 ， 2]上为减函数，∴ y＝ log a t 为增函数，∴a>1，x∈[1，2] 时，t(x)最小值为 3－ 2a，f ( x)最大值为f(1) ＝log a(3－a)，3a< ，3－ 2a>0，5∴即log a( 3－a)＝ 1， 3a ＝2.故不存在这样的实数a，使得函数f ( x)在区间 [1 ， 2]上为减函数，并且最大值为 1.【规律方法】 1. 确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行 .2. 如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误 .3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解 . 在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件 .5 3 1(2) 若函数f(x) ＝log a x2＋2x ( a>0，a≠1)在区间2，＋∞ 内恒有f ( x)>0 ，则f(x) 的单调递增区间为【训练 3】 (1) 若a>b>0， 0<c<1，则 ( )A.log a c<log b cB.log c a<log c bc c a bC.a <bD.c >c【答案】 (1)B (2)(0 ，＋∞)【解析】 (1) 由 y ＝x c 与 y ＝c x的单调性知， C ， D 不正确；∵y ＝log c x 是减函数，得 log c a <log c b ，B 正确；又 a > b > 0 ，∴ lg a > lg b ，但不能确定 lg a ， lg b 的正负， ∴log a c 与 log b c 的大小不能确定 .23 1(2) 令 M ＝ x 2＋ 2x ，当 x ∈ 2，＋∞ 时， M ∈(1 ，＋∞ ) ， f (x )>0 ，所以 a >1，所以函数 y ＝log a M 为增函数，3 29 3又 M ＝ x ＋ － ，因此 M 的单调递增区间为 － ，＋∞ .4 16 423 3 又 x 2＋ 2x >0，所以 x >0 或 x <－2，所以函数 f (x ) 的单调递增区间为 (0 ，＋∞ ). 【反思与感悟】1. 对数值取正、负值的规律当 a >1 且 b >1 或 0<a <1 且 0<b <1 时， log a b >0 ； 当 a >1 且 0<b <1 或 0<a <1 且 b >1 时， log ab <0.2. 利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数 式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决 .3. 比较幂、对数大小有两种常用方法： (1) 数形结合； (2) 找中间量结合函数单调性 .4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线 y ＝1 交点的横坐标进行判定 .【易错防范】1.在对数式中，真数必须是大于 0的，所以对数函数 y ＝log a x 的定义域应为 (0 ，＋∞ ). 对数函数的单调性 取决于底数 a 与 1的大小关系，当底数 a 与 1的大小关系不确定时，要分 0<a <1与a >1两种情况讨论 .2. 在运算性质 log a M α＝ αlog a M 中，要特别注意条件，在无 M >0 的条件下应为 log a M α＝αlog a | M |( α∈ N *， 且 α 为偶数 ).3. 解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1) 务必先研究函数的定义域； (2) 注意对数底数的取值范 围.log a c ＝ l g l c a ， lg clog b c ＝l l gg b ，∵ 0<c <1，c < 0.分层训练】基础巩固题组】 (建议用时： 40 分钟)、选择题2x ，x ≥4，1.已知函数 f (x )＝ 则 f (2 ＋log 23)的值为( )f ( x ＋1) ，x <4， A.24 B.16 C.12 D.8 答案】 A解析】 因为 3<2＋ log 23<4，所以 f (2 ＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.A. a >b >c C.c >b >a D.c >a >b【答案】 D11 － 1【解析】 log 1 ＝ log 3－ 15－ 1＝ log 35，因为函数 y ＝log 3x 在（0 ，＋∞ ）上为增函数，所以 log 35>log335x 1 07 1 1 12>log 33＝ 1，因为函数 y ＝ 4 在（ －∞，＋∞ ）上为减函数，所以 4 3< 4 ＝1，故 c >a >b . 3. （2019 ·张家界三模 ）在同一直角坐标系中，函数f （ x ） ＝2－ ax ，g （ x ） ＝ log a （x ＋2）（ a >0，且 a ≠1）的图象【解析】 由题意，知函数 f （ x ） ＝2－ ax （ a >0，且 a ≠1）为单调递减函数，当 0<a <1时，函数 f （x ）＝2－ax2的零点 x ＝ >2，且函数 g （ x ） ＝ log a （ x ＋2） 在（ － 2，＋∞ ）上为单调递减函数， C ，D 均不满足；当 a >1时， a22函数 f （x ）＝2－ax 的零点 x ＝ <2，且 x ＝ >0，又 g （ x ） ＝ log a （ x ＋ 2）在（ －2，＋∞ ）上是增函数，排除 B ， aa综上只有 A 满足. 4. （2019 ·宁波二模 ） 已知 f （x ） ＝lg （10 ＋x ） ＋lg （10 －x ），则 （ ） A.f （ x ）是奇函数，且在 （0 ，10） 上是增函数 B. f （ x ）是偶函数，且在 （0 ，10） 上是增函数 C. f （ x ）是奇函数，且在 （0 ，10） 上是减函数2.(2018 ·天津卷 )已知 a ＝log 3 72，1c ＝log 1 ，则 a ， b ，c 的大小关系为 （ B. b >a > cD.f （x）是偶函数，且在（0 ，10）上是减函数【答案】 D【解析】10＋x>0，由得x∈(－10，10) ，10－x>0，2且f( x) ＝ lg(100 －x2).∴f ( x) 是偶函数，又t ＝ 100－x2在(0 ， 10)上单调递减，y＝lg t 在(0 ，＋∞ )上单调递增，故函数f ( x)在(0 ， 10)上单调递减.225.(2019 ·临汾三模 )已知函数f(x)＝|ln x| ，若f(m)＝f(n)( m>n>0) ，则m＋n＝( )m＋ 1 n＋ 1A.12 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】由f(m)＝f ( n) ，m>n>0，可知m>1>n>0，∴ ln m＝－ ln n，则mn＝ 1.所以 2 ＋ 2 ＝2(m＋n)＋ 4＝2(m＋n＋2)＝2.m＋1 n＋1 mn＋m＋n＋ 1 m＋n＋ 2二、填空题－16.lg 52＋2lg 2 －12＝【答案】－1【解析】－15 1 5 2 lg 2＋2lg 2 －2＝lg 2＋lg 2 2－25＝ lg 2×4－2＝ 1－ 2＝－ 1.7.(2019 ·昆明诊断 )设f(x)＝lg 1－2x＋a 是奇函数，则使f(x)<0 的x的取值范围是1 －x【答案】(－1，0)【解析】由f( x) 是奇函数可得a＝－1，1＋x ∴f(x)＝lg 1－x，定义域为 ( － 1，1).1 ＋x 由f ( x)<0 ，可得 0< <1，∴－ 1<x<0.1－x－ log 2( 3－x)，x<2，8.(2019 ·潍坊调研 )已知函数f(x)＝x－2若f(2 －a)＝1，则f(a)＝2x－2－ 1，x≥2，答案】－2【解析】当 2－a<2，即a>0 时，f (2 －a) ＝－ log 2(1 ＋a) ＝1.1 解得a＝－2，不合题意 .当 2－a≥2，即a≤0时，f(2－a)＝2－a－1＝1，即 2－a＝2，解得a＝－ 1，所以1) ＝－ log 24＝f(a)＝f (－－2.三、解答题9.设f(x)＝log a(1＋x)＋log a(3 －x)( a>0，a≠1) ，且f(1) ＝2.(1) 求a 的值及f (x) 的定义域；3(2) 求f( x) 在区间0，2上的最大值 .【答案】见解析【解析】 (1) ∵f(1) ＝ 2，∴ log a4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.1＋x>0，由得－ 1< x< 3，3－x>0，∴函数f (x)的定义域为 ( －1， 3).(2) f(x)＝log2(1＋x)＋log 2(3 －x)2 ＝log 2[(1 ＋x)(3 －x)] ＝log 2[－(x－1)2＋4] ，∴当x∈[0 ，1]时，f ( x)是增函数；3 当x∈ 1，2时，f (x)是减函数，3 故函数f(x)在0，2上的最大值是f(1) ＝ log 24＝2.10.已知函数f(x)是定义在 R上的偶函数，且f(0) ＝0，当x>0时，f(x)＝log 1x.2(1) 求函数f(x) 的解析式；2(2) 解不等式f ( x2－ 1)> －2.【答案】见解析【解析】 (1) 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log 1(－x).2因为函数f ( x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log 1(－x)，2所以函数f (x) 的解析式为log 1x ， x >0，2f (x ) ＝ 0，x ＝ 0，1log 1(－ x )， x <0.2(2) 因为 f (4) ＝log 14＝－ 2，f ( x )是偶函数，2所以不等式 f (x 2－1)>－2 转化为 f (| x 2－ 1|)> f (4).又因为函数 f ( x ) 在(0 ，＋∞ )上是减函数， 所以| x 2－1|<4 ，解得－ 5<x < 5， 即不等式的解集为 ( － 5， 5).【能力提升题组】 (建议用时： 20 分钟)11. (2019 ·天津和平区二模 )已知 a >0且 a ≠1，函数 f (x )＝log a (x ＋ x 2＋ b )在区间 ( －∞，＋∞ )上既是奇函数又是增函数，则函数 g ( x ) ＝ log a || x |－b |的图象是 ()【答案】 A【解析】 ∵函数 f (x )＝log a (x ＋ x 2＋ b )在区间 ( －∞，＋∞ ) 上是奇函数，∴ f (0) ＝ 0，∴ b ＝ 1，又函数 f (x )＝log a (x ＋ x 2＋ b )在区间 ( －∞，＋∞ )上是增函数，所以 a >1. 所以 g ( x ) ＝log a || x |－1|，当 x >1时， g ( x ) ＝log a ( x －1)为增函数，排除 B ，D ；当 0<x <1时， g ( x ) ＝log a (1 －x ) 为减函数，排除 C ；故选 A. 12. 设 x ，y ，z 为正数，且 2x＝3y＝5z ，则 ( ) A.2x <3y <5z C.3y <5z <2x 【答案】 D【解析】 令 t ＝ 2 ＝ 3 ＝ 5 ， ∵x ，y ，z 为正数，∴ t >1.B.5z <2x <3yD.3y <2x <5则 x ＝ log 2t ＝l lgg 2t，同理， y ＝VI l gg 3t，z ＝l lgg 5t2x －3y ＝2lgt －3lgt ＝lgt(2lg 3 －3lg 2 )2x－3y＝lg 2 － lg 3 ＝ lg 2 ×lg 3lg t (lg 9－lg 8 )>0，lg 2 ×lg 3>0，∴ 2x >3y .又∵ 2x－5z ＝2lg t－5lg t＝lg t (2lg 5－5lg 2 )又∵ 2x －5z ＝lg 2 － lg 5 ＝ lg 2 ×lg 5 lg t (lg 25 －lg 32 )＝<0，lg 2 ×lg 5∴ 2x <5z ，∴ 3y <2x <5z .213. (2019 ·衡水中学检测 )已知函数 f (x )＝lg( mx 2＋2mx ＋1)，若 f (x )的值域为 R ，则实数 m 的取值范围是答案】 [1 ，＋∞）解析】 令 g （x ）＝mx 2＋2mx ＋1 值域为 A ，∵函数 f （x ）＝lg （ mx 2＋ 2mx ＋ 1）的值域为 R ，∴（0 ，＋∞）? A ，当 m ＝0时， g （ x ） ＝1，f （ x ）的值域不是 R ，不满足条件；当 m ≠0时，m>02，解得 m ≥1.4m － 4m ≥0，答案】见解析x ＋ 1 【解析】 （1） 由x － 1>0，解得 x <－1 或 x >1，x － 1∴函数 f （x ）的定义域为 （－∞，－ 1） ∪（1，＋∞）， 当 x ∈ （ －∞，－ 1） ∪ （1 ，＋∞ ） 时，－x ＋1 x － 1 x ＋1f （－ x ）＝ln－x －1＝lnx ＋ 1＝lnx －1x ＋1＝－ ln ＝－ f （ x ）.x －1 x＋ 1∴f （x ）＝ln ＋1是奇函数VI 求函数 f （x ） 的定义域，并判断函数 f （x ） 的奇偶性；x ＋1(2) 对于 x ∈[2，6]，f (x )＝ln x －1>ln x － 1mx －1）（ 7－x ） 恒成立， 求实数m 的取值范围14. 已知函数 f (x ) ＝ lnx ＋1x －1x －1x ＋ 1(2) 由于 x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x － 1>lnx ＋ 1 mx －1>（x －1）（ 7－x ）>0，∵ x ∈ [2 ， 6] ，∴ 0<m <（ x ＋ 1）（7 －x ）在 x ∈[2 ，6]上恒成立 .2令 g （ x ） ＝（ x ＋1）（7 －x ）＝－（x －3）2＋16，x ∈[2 ，6]，由二次函数的性质可知， x ∈[2 ，3] 时函数 g （ x ）单调递增， x ∈[3，6] 时函数 g （ x ）单调递减， 即 x ∈[2 ，6]时， g （ x ） min ＝ g （6） ＝7， ∴ 0<m <7.故实数 m 的取值范围为 （0 ，7）.m x －1）（ 7－恒成立，。