9、对数与对数函数
2021年新高考数学一轮专题复习第09讲-对数与对数函数(解析版)
(2)由题意，易知 a>1.
在同一坐标系内作出 y＝(x－1)2，x∈(1，2)及 y＝logax 的图象.
若 y＝logax 过点(2，1)，得 loga2＝1，所以 a＝2. 根据题意，函数 y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在 y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高 点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用 【例 3－1】 已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
[方法技巧]
1.对数值取正、负值的规律
当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时，logab>0；
当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
1，－1
3.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a
，函数图象只在
第一、四象限.
三、 经典例题
考点一 对数的运算
【例 1-1】
(1)计算：
lg1－lg 25 4
÷100－1＝________.
对数与对数函数
o
1
3
0<a<1时，在 x=1右侧总是 底大图低.
练习3. 比较大小
12
log23 > log32 >log0.53 ___________________________. (2) log0.34 _____ <
(1) log32,log23, log0.53的大小关系为
log0.20.7
练习4.已知下列不等式，比较正数m,n的大小 （1）若log3m < log3n 则 m
log0.71.8
解：∵函数y= log0.7x 中底数 0<0.7<1 ∴ 函数y= log0.7x在(0,+)上 是减函数 ∵ 1.6 < 1.8 ∴ log0.71.6 > log0.71.8
③.
loga4
loga3.14
解 :讨论 a 的情况 I. 当 a>1 时 y=logax 是增函数 因为 所以 4 > 3.14 loga4 > loga3.14 y=logax 是减函数
所以所求函数的定义域为{x| x>
2 7
且x ≠
2 5
}.
例2、比较下列各组数中两个数的大小：
（1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5 解：∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数
4
且 3 . 4 ＜8 . 5
∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1.8
0.5 1 1.5 2
2.7
2.5 3 3.5
-0.5 -0.2
【高中数学】突破09对数与对数运算重难点题型(举一反三)(解析版)
学习资料分享[公司地址]2.2.1对数与对数运算重难点题型【举一反三系列】【知识点1对数的概念与基本性质】1.对数的概念条件)1,0(≠>=a a N a x 且结论数x 叫做以a 为底N 的对数，a 叫做对数的底数，N 叫做真数记法Nx a log =2.常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把N 10log 记为N lg .(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.71828…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把N e log 记为N ln .3.对数与指数的关系当0>a ,且1≠a 时，N x N a a x log =⇔=.4.对数的基本性质(1)负数和零没有对数，即0>N ；(2)01log =a )1,0(≠>a a 且；(3))1,0(1log ≠>=a a a a 且．【知识点2对数的运算性质】1.运算性质条件0>a ,且1≠a ，0,0>>N M 性质NM MN a a a log log )(log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =(n ∈R)2.换底公式ab bc c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．3.知识拓展(1)可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =；②1log log log =⋅⋅ac b c b a ；③b b a n a n log log =；④b n m b a m a n log log =；⑤b b a alog log 1-=.(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．【考点1对数有意义条件】【例1】（2019秋•马山县期中）对数式log （a ﹣2）（5﹣a ）中实数a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，5）B ．（2，5）C ．（2，3）∪（3，5）D ．（2，+∞）【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可．【答案】解：要使对数式b ＝log （a ﹣2）（5﹣a ）有意义，则，解得a∈（2，3）∪（3，5），故选：C．【点睛】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题．3有意义，则实数t的取值范围是（）【变式1-1】（2019秋•龙岩期末）若对数式log（t﹣2）A．[2，+∞）B．（2，3）∪（3，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）3的定义，底数大于0且不等于1，列出不等式组，求出解集即可．【分析】根据对数式log（t﹣2）3有意义，【答案】解：要使对数式log（t﹣2）须；解得t＞2且t≠3，∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．故选：B．【点睛】本题考查了对数定义的应用问题，是基础题目．（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（）【变式1-2】在M＝log（x﹣3）A．（﹣∞，3]B．（3，4）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（3，4）【分析】由对数的定义可得，由此解得x的范围．【答案】解：由函数的解析式可得，解得3＜x＜4，或x＞4．故选：B．【点睛】本题主要考查对数的定义，属于基础题．【变式1-3】若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为．【分析】由已知利用对数的概念可得x2﹣5x+6＞0，解不等式即可得解．【答案】解：∵对数ln（x2﹣5x+6）存在，∴x2﹣5x+6＞0，∴解得：3＜x或x＜2，即x的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．【考点2对数式与指数式的互化】【例2】（2019秋•巴彦淖尔校级期中）将下列指数形式化成对数形式，对数形式化成指数形式．①54＝625②（）m＝5.73③ln10＝2.303④lg0.01＝﹣2⑤log216＝4．【分析】利用对数的定义进行指对互化．【答案】解：①log5625＝4，② 5.73＝m，③e2.303＝10，④10﹣2＝0.01，⑤24＝16．【点睛】本题考查了指对互化，是基础题．【变式2-1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．【分析】根据对数的定义进行转化．【答案】解：（1）lg100＝2，（2）e b＝a，（3）log7343＝3；（4）6﹣2＝．【点睛】本题考查了对数的定义，属于基础题．【变式2-2】将下列指数式与对数式互化：（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．【分析】根据指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，可将指数式与对数式互化．【答案】解：（1）log216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；（3）43＝64可化为：log464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，是解答的关键．【变式2-3】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3﹣2＝；（2）9＝﹣2；（3）1g0.001＝﹣3．【分析】直接利用指数式与对数式的互化，写出结果即可．【答案】解：（1）3﹣2＝；可得﹣2＝1og3．（2）9＝﹣2；（）﹣2＝9．（3）1g0.001＝﹣3.0.001＝10﹣3．【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查计算能力．【考点3解对数方程】【例3】求下列各式中x的值：（1）log4x＝﹣，求x；（2）已知log2（log3x）＝1，求x．【分析】（1）根据对数和指数之间的关系即可将log232＝5化成指数式；（2）根据对数和指数之间的关系即可将3﹣3＝化成对数式；（3）根据对数的运算法则即可求x；（4）根据对数的运算法则和性质即可求x．【答案】解：（1）∵log232＝5，∴25＝32（2）∵3﹣3＝，∴log3＝﹣3；（3）∵log4x＝﹣，∴x＝＝＝2﹣3＝；（4）∵log2（log3x）＝1，∴log3x＝2，即x＝32＝9．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的化简，根据指数和对数的关系是解决本题的关键．【变式3-1】求下列各式中x的值：（1）log x27＝；（2）4x＝5×3x．【分析】（1）根据log x27＝，可得＝，进而得到x＝9，（2）根据4x＝5×3x，可得，化为对数式可得答案．【答案】解：（1）∵log x27＝，∴＝27＝33＝，故x＝9，（2）∵4x＝5×3x．∴，∴x＝【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握a x＝N⇔log a N＝x（a＞0，且a≠1，N＞0）是解答的关键．【变式3-2】先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．①log2x＝﹣②log x3＝﹣．【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值．【答案】解：①由log2x＝﹣，得＝＝；②由log x3＝﹣，得，即．【点睛】本题考查对数式化指数式，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．【变式3-3】将下列对数式化为指数式求x值：（1）log x27＝；（2）log2x＝﹣；（3）log5（log2x）＝0；（4）；（5）x＝16．【分析】利用指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质log a1＝0及log a a ＝1、指数的性质即可得出．【答案】解：（1）∵，∴，∴x＝＝32＝9；（2），∴＝＝；（3）∵log5（log2x）＝0，∴log2x＝1，∴x＝2；（4）∵，∴，化为33x＝3﹣2，∴3x＝﹣2，得到；（5）∵，∴，∴2﹣x＝24，解得x＝﹣4．【点睛】熟练掌握指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质、指数的性质是解题的关键．【考点4对数运算性质的化简求值】【例4】（2019春•东莞市期末）计算（1）2﹣（）+lg +（）lg 1（2）lg 52+lg 8+lg 5lg 20+（lg 2）2【分析】（1）进行分数指数幂和对数的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝2lg 5+2lg 2+lg 5（2lg 2+lg 5）+（lg 2）2＝2+（lg 2+lg 5）2＝3．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，完全平方公式的运用．【变式4-1】（2019•西湖区校级模拟）计算：（1）；（2）．【分析】（1）进行对数的运算即可；（2）进行指数式和根式的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查对数的运算性质，以及指数式和根式的运算．【变式4-2】（2019春•大武口区校级月考）（1）（）0+（）+（）；（2）【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的定义．【变式4-3】（2019春•禅城区期中）（1）化简：（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）；（2）求值：2（lg）2+lg2•lg5+．【分析】（1）由指数幂的运算得：原式＝4a b＝4a，（2）由对数的运算得：原式＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．得解【答案】解：（1）（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）＝4a b＝4a，（2）2（lg）2+lg2•lg5+＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，属简单题．【考点5利用换底公式化简求值】【例5】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log a c•log c a；（2）log23•log34•log45•log52；（3）（log43+log83）（log32+log92）．【分析】根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可．【答案】解：（1）log a c•log c a＝•＝1；（2）log23•log34•log45•log52＝•••＝1；（3）（log43+log83）（log32+log92）＝（+）（+）＝（+）（+）＝•＝．【点睛】本题考查了对数的计算问题，也考查了换底公式的灵活应用问题，是基础题目．【变式5-1】利用对数的换底公式化简下列各式：（log43+log83）（log32+log92）【分析】利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．【答案】解：（log43+log83）（log32+log92）＝（log6427+log649）（log94+log92）＝log64243•log98＝＝＝．【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【变式5-2】利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log43+log83（2）log45+log92．【分析】（1）利用对数的换底公式展开后通分计算；（2）直接利用对数的换底公式进行化简．【答案】解：（1）log43+log83＝＝；（2）log45+log92＝＝．【点睛】本题考查对数的换底公式，是基础的会考题型．【变式5-3】（2019秋•西秀区校级期中）利用换底公式求log225•log34•log59的值．【分析】利用对数的运算法则和对数的换底公式即可得出．【答案】解：原式＝＝2log25•2log32•2log53＝8log25•log32•log53＝＝8．【点睛】本题考查了对数的运算法则和对数的换底公式，属于基础题．【考点6用已知对数表示其他对数】【例6】已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：log189＝a，18b＝5，∴b＝log185，∴log645＝＝＝＝【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题【变式6-1】（1）已知log310＝a，log625＝b，试用a，b表示log445．（2）已知log627＝a，试用a表示log1816．【分析】（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625＝b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445．（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816的式子．【答案】解：（1）∵log310＝a，∴a＝，∵log625＝b＝＝＝，∴lg2＝，∴log445＝＝＝＝＝．（2）∵log627＝a＝＝，∴lg3＝，∴log1816＝＝＝＝．【点睛】本题考查换底公式及对数运算性质，体现解方程的思想，属于基础题．【变式6-2】（1）已知log147＝a，log145＝b，用a、b表示log3528．（2）已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：（1）log147＝a，log145＝b，∴log3528＝＝＝＝，（2）∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝＝＝＝，【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题．【变式6-3】．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示下列各式的值．（1）lg12；（2）log224；（3）log34；（4）lg．【分析】利用对数的换底公式与对数的运算法则即可得出．【答案】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴（1）lg12＝2lg2+lg3＝2a+b；（2）log224＝+log23＝3+；（3）log34＝＝；（4）＝lg3﹣3lg2＝b﹣3a．【点睛】本题考查了对数的换底公式与对数的运算法则，属于基础题．【考点7与对数有关的条件求值问题】【例7】（2018秋•龙凤区校级月考）（1）已知lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），求x﹣y的值；（2）已知lg2＝a，lg3＝b，试用a，b表示log830．【分析】（1）由lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），推导出＝9，再由x﹣y＝＝，能求出结果．（2）log830＝＝，由此能求出结果．【答案】解：（1）∵lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），∴，解得＝9，∴x﹣y＝＝＝4．（2）∵lg2＝a，lg3＝b，∴log830＝＝＝．【点睛】本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式7-1】（2019秋•江阴市期中）已知lgx+lgy＝2lg（x﹣y），求．【分析】由题意可得x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，从而解得＝，从而解得．【答案】解：∵lgx+lgy＝2lg（x﹣y），∴x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，∴x2﹣3xy+y2＝0，即（）2﹣3+1＝0，故＝，故＝（）＝（3+）﹣2．【点睛】本题考查了对数的化简与运算，同时考查了整体思想的应用，属于基础题．【变式7-2】已知lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，求log8的值．【分析】由已知条件推导出，由此能求出log8的值．【答案】解：∵lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，∴，整理，得，解得或＝﹣1（舍），∴log8＝log82＝＝．∴log8的值为．【点睛】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的合理运用．【变式7-3】已知2lg＝lgx+lgy，求．【分析】根据对数的运算法则进行化简即可．【答案】解：由得x＞y＞0，即＞1，则由2lg＝lgx+lgy，得lg（）2＝lgxy，即（）2＝xy，即（x﹣y）2＝4xy，即x2﹣2xy+y2＝4xy，即x2﹣6xy+y2＝0，即（）2﹣6（）+1＝0，则＝＝3+2或＝3﹣2（舍），则＝（3+2）＝（3﹣2）﹣1＝﹣1【点睛】本题主要考查对数的基本运算，根据对数的运算法则是解决本题的关键．【考点8对数的综合应用】【例8】设x、y、z均为正数，且3x＝4y＝6z（1）试求x，y，z之间的关系；（2）求使2x＝py成立，且与p最近的正整数（即求与P的差的绝对值最小的正整数）；（3）试比较3x、4y、6z的大小．【分析】（1）令3x＝4y＝6z＝k，利用指对数互化求出x、y、z，由对数的运算性质求出、、，由对数的运算性质化简与，即可得到关系值；（2）由换底公式求出P，由对数函数的性质判断P的取值范围，找出与它最接近的2个整数，利用对数的运算性质化简P与这2个整数的差，即可得到答案；（3）由（1）得3x、4y、6z，由于3个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这3个数大小关系．【答案】解：（1）令3x＝4y＝6z＝k，由x、y、z均为正数得k＞1，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，∴，，，∵＝，且，∴；（2）∵2x＝py，∴p＝＝＝＝＝2＝log316，∴2＜log316＜3，即2＜p＜3，∵p﹣2＝log316﹣2＝，3﹣p＝3﹣log316＝，∵﹣＝0，∴，即＞，∴与p的差最小的整数是3；（3）由（1）得，3x＝3log3k，4y＝4log4k、6z＝6log6k，又x、y、z∈R+，∴k＞1，＝﹣＝＝＞0，∴，则3x＜4y，同理可求＝＞0，则4y＜6z，综上可知，3x＜4y＜6z．【点睛】本题考查了对数的运算法则、换底公式、指数式与对数式的互化，考查了推理能力，化简、计算能力，属于中档题．a+log（c﹣b）a＝2log 【变式8-1】设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log（c+b）a•log（c﹣b）a．（c+b）a＝，log（c﹣b）a＝证明左端＝右【分析】依题意，利用对数换底公式log（c+b）端即可．【答案】证明：由勾股定理得a2+b2＝c2．log（c+b）a+log（c﹣b）a＝+＝＝＝a•log（c﹣b）a．＝2log（c+b）∴原等式成立．【点睛】本题考查对数换底公与对数运算性质的应用，考查正向思维与逆向思维的综合应用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．【变式8-2】（2018秋•渝中区校级期中）令P＝80.25×+（）﹣（﹣2018）0，Q＝2log32﹣log3+log38．（1）分别求P和Q．（2）若2a＝5b＝m，且，求m．【分析】（1）利用指数与对数运算性质可得P，Q．（2）2a＝5b＝m，且＝2，利用对数换底公式可得a＝，b＝，代入解出即可得出．【答案】解：（1）P＝×+﹣1＝2+﹣1＝．Q＝＝log39＝2．（2）2a＝5b＝m，且＝2，∴a＝，b＝，∴＝2，可得lgm＝，∴m＝．【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、非常的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式8-3】已知2y•log y4﹣2y﹣1＝0，•log5x＝﹣1，问是否存在一个正整数P，使P＝．【分析】由2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0可求y，再由•log5x＝﹣1求出x即可．【答案】解：∵2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0，∴y＝16；∵•log5x＝﹣1，∴，解得，x＝；故P＝＝＝3．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的应用及方程的解法，属于基础题．。
对数的运算与对数函数
1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。
⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。
特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。
（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606【例3】 计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】 （1）（2 。
对数公式及对数函数的总结
对数公式及对数函数的总结对数是数学中的一个重要概念。
如果一个数N可以表示为a的x次方（a>0且a≠1），那么x就是以a为底N的对数，记作x=logaN。
其中a称为底数，N称为真数。
负数和零没有对数。
对数式与指数式可以互相转化：x=logaN等价于ax=N （a>0，a≠1，N>0）。
常用的对数有lgN（即以10为底N的对数）和lnN（即以自然常数e为底N的对数）。
自然常数e≈2..对数函数是指函数y=logax（a>1或0<a<1）的图像。
它的定义域为正实数集，值域为实数集。
对数函数的图像经过点（1,0），在（0，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数。
当x=1时，y=0.对数函数既非奇函数也非偶函数。
对数公式在数学中有广泛的应用。
例如，可以用对数公式计算各种对数值，如log26-log23=2，log212+log25=log=3，等等。
还可以用对数公式来解对数的值，如lg14-2lg7+lg7/lg18-2lg2-(-1)=log0.5，以及2(lg2+lg5)+log3(4/27)的值等。
在第一象限内，a越大图像越靠下，在第四象限内，a越大图像越靠上。
总之，对数及其函数在数学中有着广泛的应用，是不可或缺的数学工具。
4、已知a>b>c，那么a>b>c。
3、设a=log3π，b=log23，c=log32，则a>b>c。
2、如果a>b>logc1，那么B选项___c。
5、如果a>1，且a-x-logaxy。
1、已知函数f(x)=logx，如果f(ab)=1，则f(a)+f(b)=2.6、设函数f(x)={x-1，x<2；2logx-1，x≥2}，那么f(f(2))=2log2-1.7、设函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=1/x；当x<4时，f(x)=f(x+1)，那么f(2+log23)=1/7.参数问题部分无需改写。
对数与对数函数
对数与对数函数1.对数的概念(1).对数的定义:如果 那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba a Nb N =⇔= 如22=4 ==> lg 24=2 注意：负数与0没有对数(2).常用对数： 10log N 叫做常用对数，记作lg N 如lg2 ，自然对数：无理数 2.71828e=⋅⋅⋅为底记作ln N 。
(3).注意：①log a 1=0 ②log a a=1 ③lg10=1 ④1ne=1 如log a （x-1）=1 则x-1=a 若log a （x-1）=0 则x-1=1 2.对数恒等式、换底公式 (1)对数恒等式：①log Na a = (01,0)a a N>≠>且②log Na a = (01,0)a a N >≠>且(2)换底：log aN =log log b b Na(a ，b>0且a ，b ≠1,N>0) log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d (a ，b,c>0且a ，b,c ≠1)3.对数的运算性质:如果01,0,0aa M N >≠>>且，那么（1）log ()a MN = . （2）log a MN= （3）log n a M = （4）log n amM = （5）log log a b b a ⋅= （6）log a b =1log b a例1．指数式34 =81的对数式是 ，对数式41log 2=－2的指数式是 。
log 55= log 39= , (3)49log 77 = , (4) log 575－log 53 = ，(5) lg10 = , (6)log 21 = lne=_________例2.计算 （1）()()222lg 2lg 2lg 5lg 2lg 21+⋅+-+ （2）()()231lg 5lg8lg1000lg 2lg lg 0.066++++(3)22271log log 12log 421482+--(4)()2lg 2lg 2lg 50lg 25+⋅+(5)()()3948log 2log 2log 3log 3+⋅+ 例3．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于( )A ．b a b a +++12B ．b a b a +++12C ．b a b a +-+12D ．b a ba +-+12例4．已知2 lg(x －2y)=lgx ＋lgy ，则yx 的值为 A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或2课堂练习：1、已知log 5X=3，则X =（ ）A 100 B 1000 C 25 D 1252、在对数式N alog =b 中，真数N 的取值范围是（ ）A N ＞0 B N>0且N ≠1 C N ≠1 D N 取任何实数3、式子lg5+lg800－2lg2 =（ ） A 1000 B 100 C 3 D 24、如果a>0且a ≠1，则正确的是（ ）A 5log 3log 2log a a a=+ B 6log 3log 2log a a a =+C 3log 2log 3log 2log a a a a∙=+ D 6log 3log 2log a a a =∙5、ln 3e+lne 3=( ) A 2 B 3 C 4 D 66、如果a>0且a ≠1，则下列式子错误的是（ ） A log a 1= 0 B log a a =1 C log a M n= n DN a N a =log7、式子=3log 9log 28（ ） A.32B.1C.23D. 2 8、式子16log 8=（ ）A43 B4 C34 D 39、下列等式不成立的有（ ） A lne=1 B ln1=0 C ln 2e=2 D e ln2=2 10.计算(1)25log 41log 49log 752∙∙(2)2)18(lg - －125(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2(4)()643log [log log 81](5)23lg 3lg 9lg 27lg 355lg81lg 27++-- (6)()502log 33335322log 2log log 85log 89-+-+11.若234342423log log log log log log log log log 0xy z ===，求x y z ++=的值。
对数与对数函数-高考数学复习课件
故有ቊ
解得1＜ a ≤3.
6 − 2≥0，
(2)(2024·河南郑州模拟)设函数 f ( x )＝ln｜ x ＋3｜＋ln｜ x －3｜，则
f ( x )( A
)
A. 是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B. 是奇函数，且在(－3，3)上单调递减
C. 是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
因为0＜ a ＜ b ，所以ln a ＜0，ln b ＞0，
所以0＜ a ＜1， b ＞1，
所以－ln a ＝ln b ， 所以ln a ＋ln b ＝ln( ab )＝0，
1
所以 ab ＝1，则 b ＝ ，
2
所以 a ＋2 b ＝ a ＋ .
2
令 g ( x )＝ x ＋ (0＜ x ＜1)，
a ＞1
0＜ a ＜1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
性质
R
过定点 (1，0)
，即 x ＝ 1
时， y ＝ 0
a ＞1
0＜ a ＜1
当 x ＞1时， y ＞0 ；
当0＜ x ＜1时， y ＜0
性质
在(0，＋∞)上是 增
数
函
当 x ＞1时， y ＜0 ；
当0＜ x ＜1时， y ＞0
在(0，＋∞)上是 减
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 对数与对数运算
1. 对数的概念
如果 ax ＝ N ( a ＞0，且 a ≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
课时作业(九) 对数与对数函数 (3)
课时作业(九) 对数与对数函数 基础过关组 一、单项选择题1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2)C ．[23，＋∞)D ．(23，＋∞)解析 由Error!即Error!解得x ≥23。
答案 C2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．12xC ．log 12x D ．2x －2解析 由题意知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，因为f (2)＝1，所以log a 2＝1，所以a ＝2。
所以f (x )＝log 2x 。
故选A 。
答案 A3．(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A ．116B ．19C ．18D ．16解析 解法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则有4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19。
故选B 。
解法二：因为a log 34＝2，所以－a log 34＝－2，所以log 34－a ＝－2，所以4－a ＝3－2＝132＝19。
故选B 。
解法三：因为a log 34＝2，所以a 2＝1log 34＝log 43，所以4a2 ＝3，两边同时平方得4a ＝9，所以4－a ＝14a ＝19。
故选B 。
解法四：因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝log 39log 34＝log 49,4a ＝9，所以4－a ＝14a ＝19。
故选B 。
答案 B4．如果log12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析 因为log 12x <log 12y <log 121，所以x >y >1。
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第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
(1)计算：2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋ lg 22－lg 2＋1；
(2)已知 loga2＝m，loga3＝n，求 a2m＋n 的值．
解析： (1)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋ lg 22－2lg 2＋1
＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1| ＝lg 2＋(1－lg 2)＝1.
【变式训练】 1.求值：
(1)log2 478＋log212－12log242－1；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
解析： (1)原式＝log2 478＋log212－log2 42－
log22＝log2 48×7×4122×2＝log2212＝－32.
(2)原式＝llgg 23＋2llgg23·2llgg32＋3llgg32
3ABCD24∴ba、 ． 、．． ． ．－ ＝23解 解 ＜函是是 是 是1b＝析 析x数偶偶 奇 奇≤1：：函函 函 函y1＝.数数 数 数l∴g由因，， ， ，|xa条在 |在 在 在 l＝(o件g区区 区 区b12＝可(答间间 间 间3)2x知(案(((.－－－ 00， ，：2ll∞∞oo)＋ ＋gg≥，，aab∞ ∞0b23＝00，－，))))上上 上 上1∴11，单单 单 单 ＝0＜调调 调 调0，3递递 递 递x－减增 减 增∴2≤1，
＝32llgg
2 5lg 3·6lg
32＝54.
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
2．对数函数的图象与性质
y＝logax
a＞1
图象
0＜a＜1
性质
(1)定义域：_(_0_，__＋__∞__)_(2)值域：R
(3)过点__(1_,_0_)_，即x＝_1_时，y＝_0_
(4)当x＞1时， __y_＞__0__
第9课时 对数与对数函数
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
1．对数的概念
(1)对数的定义 如果_a_x_＝__N_(_a_＞__0_且__a_≠_1_)，那么数x叫做以a为 底N的对数，记作__lo_g_a_N__(a_＞__0_且__a_≠_1_)_，其中 _a_叫做对数的底数，__N_叫做真数．
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
(2)对数的运算法则
如果 a＞0，且 a≠1，M＞0，N＞0，那么
①loga(M·N)＝_l_o_g_aM__＋__lo_g_a_N_；
②logaMN ＝__l_o_ga_M__－__lo_g_a_N_；
③logaMn＝_n_·_lo_g_a_M___(n∈R)；
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
对数函数的综合问题
已知函数 f (x) 2x 1 (1)若 f(x)＝2，求 x 的值； 2 x
(2)若 2t f (2t) mf (t) 0对于t [1, 2] 恒成立， 求实数 m 的取值范围。
当0＜x＜1时， ___y_＜__0__
(4)当x＞1时， __y_＜__0__ 当0＜x＜1时， __y_＞__0__
(5)是(0，＋∞)上的 (5)是(0，＋∞)上的
__增__函__数__
_减__函__数___
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
3.反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数 __y_＝__lo_g_a_x_(a_＞__0_且__a_≠__1) 互为反函数，它们 的图象关于直线___y_＝__x_对称．
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
已知
f(x)
=
Hale Waihona Puke log a1 - mx 1- x
(a
>
0,
且a
≠1)
是奇函数.
(1) 求 m 的值;
(2) 判断函数 f(x)在（0，1）上的单调区间；
（3）求使 f(x)>0 的 x 的取值范围。
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
【变式训练】2.函数 f (x) log2 (x2 ax a) 在 (,1 3) 上是增函数，求实数 a 的取值范围
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
1．(2010·四川卷)2log510＋log50.25＝( )
A3.．解析0 ： By＝．l1g|x|是C偶．函2数，由D图．象4知在(－∞，0)
12上．解若单析函调数：递y2减＝lo，lgo5g在1a(0(x＋0＋，blo＋)(ga5∞＞0.)02上5且＝单a≠l调og1递)5的1增0图0．＋象过log两50点.2(－5 1,0) 和(0,1)，答＝则案lo：ag=5_2_5B_＝___2,.b=__答__案__：. C
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
(2)方法一：∵loga2＝m，∴am＝2. ∵loga3＝n，∴an＝3. 故 a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12.
方法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝a2loga2＋loga3＝aloga12＝12.
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
④
log
an
M
1
＝___n_l_og_a_M_.
乘加除减 乘方提前
(3)对数的常用关系式
①恒等式： logaa b ＝__b_； loga1 = __0__; alogaN = __N___
换底公式__l_o_g_aM__＝__llo_og_gb_bMa__(b_＞__0__且__b_≠__1_)， ②logab＝log1ba，推广 logab·logbc·logcd＝_l_o_g_ad_.
4．函数 y＝ log1 (3x 2) 的定义域是________． 2
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
对数式的化简与求值
对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对 数的运算可根据对数的定义、对数的运算性 质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在 解决对数的运算和与对数的相关问题时要注 意化简过程中的等价性和对数式与指数式的 互化．
例：若函数 y f (x) 是 y ax 的反函数，
且其图像过点 ( a , a) ,则 f (x) _lo_g_1_2_x___
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
对数函数的性质
利用对数函数的性质，讨论与对数函数有关 的复合函数的奇偶性和单调性问题，必须弄 清三方面的问题，一是定义域，所有问题都 必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小 关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些 基本初等函数复合而成的．