向量的内积及其运算

考点解析及例题讲解

已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，你能推导出a·b的坐标公式吗？

探究过程

a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)

＝a1b1e1·e1＋a1b2e1·e2

＋a2b1e1·e2＋a2b2e2·e2，

又因为

e1·e1＝1，e2·e2＝1，e1·e2＝0，

所以

a·b＝a1b1＋a2b2．

定理在平面直角坐标系中，已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则

a·b＝a1b1＋a2b2．

这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和．

我们还可以得到以下结论：

(1)向量垂直的充要条件为

a⊥b a1 b1＋a2 b2＝0；

(2)两向量夹角余弦的计算公式为

cos?a，b?＝

a1b1＋a2b2

a12＋a22b12＋b22

．

问题：

(1)若已知a＝(a1，a2)，你能用上面的定理求出|a|吗？

解因为

|a|2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2)

＝a12＋a22，

所以|a|＝a12＋a22．

这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．

AB|吗？

(2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出|→

解因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以

→

AB＝(x2－x1，y2－y1)．

因为|a|＝a12＋a22，所以

AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，

|→

这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．

例1 设a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：

(1) a·b；(2) |a|；

(3) |b |；(4)?a，b?．

解(1)a·b＝3×1＋(－1)×(－2)

＝3＋2

＝5；

(2) |a|＝32＋(－1)2＝10；

(3) |b |＝12＋(—2)2＝5；

(4) 因为

cos?a ，b ?＝|

|||b a b a ＝510×5＝22，所以?a ，b ?＝π

4．

例2已知A (2，－4)，B (－2，3)，求|→AB |．

解因为A (2，－4)，B (－2，3)，所以

→AB ＝(－2，3) －(2，－4)

＝(－4，7)，

所以|→ AB |＝72＋(－4)2＝65．

例3已知A (1，2)，B (3，4)，C (5，0)，求证：△ABC 是等腰三角

形．

证明因为

→AB ＝(3－1，4－2)＝(2，2)，

→AC ＝(5－1，0－2)＝(4，－2)，

→BC ＝(5－3，0－4)＝(2，－4)，

|→AC |＝42＋(－2)2＝20，

|→BC |＝22＋(－4)2＝20，

所以|→AC |＝|→BC |．

因此△ABC 是等腰三角形．

例4已知A (1，2)，B (2，3)，C (－2，5)，求证：→AB ⊥→AC ．证明因为

→AB ＝(2－1，3－2)＝(1，1)，

→AC ＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)，

可得

→AB ·→AC ＝(1，1)·(－3，3)＝0．

所以→AB ⊥→AC ．

综合训练

1.a 与b 的夹角为30。，4,3,?a b a b ===（）

B.-

C.6

D.-6

2.向量a 与b 满足(a-b)·(2a+b)=-4，且a 2,4b ==，则a 与b 夹角的余弦值等于（） A.1

2 B.1

2- C.1 D.-1

3.已知a=(-2.1),b=(11,-22),则2a ·b=（）

A.0

B.-44

C.22

D.-88

4.已知()11,,2,332a b ??

== ???，则（）

A.a b ⊥

B.a 与b 共线

C.2

b 3a = D.(,)3

a b =π

5.在△ABC 中，若·0AB AC < ，则△ABC 为三角形

6.若4,7,

,3a b a b ===π，则(a+2b)·(3a-b)=

7. 已知(,),,n a b n m m

n =⊥=且，则m 的坐标为

8. 已知点(cos ,sin ),(cos ,sin ),P a a Q PQ ββ 则的最大值为

9.已知(1,2),(2)(2),a b a b a b =+⊥-且求a,b

10.已知两个非零向量a 与b 若()3(75),(4)(72),,a b a b a b a b a b +⊥--⊥-求