六年级下册奥数试题容斥原理(一)全国通用(含答案)

第9讲容斥原理（一）

森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有80种鸟类。狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有60种兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。”这个统计正确吗？

同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。例如：请看下图，在长为30厘米，宽为20厘米的长方形铁板上钻了一个半径为5厘米的圆孔，请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？

这个图形是一个不规则图形，如果我们直接计算很难，由上图容易看出阴影面积加圆面积恰好等于长方形面积，而长方形面积与圆的面积都很好计算，因而有：阴影面积=20×30-5×5×π=600-25π（平方厘米）。

由此我们得到排除法：两个分量之和等于总量，当计算一个分量时，可用总量减去另一个分量。即若A＋B=C，则A=C-B。请看下面的例题。

例1 一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？

分析：两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数。

解答：设两项比赛都参加的有X人，那么

（37+40）-X=48

X=29

说明：通过上题我们发现，解答这类问题最好先画图，它可以帮助我们分析数量关系。另外我们还发现在解答问题时可以分两步进行：第一步先把两类数量加在一起，即都“包含”进来。37+40=77，第二步再减掉一个班有学生48人，这个数量，即“排除”，就可以求出正确答案了。77-48=29。还可以这样计算：40-（48－37）=29人。你能讲出道理来吗？请你想一想，你还能再列出一种算式来吗？

想一想：如果全班有3人哪一个比赛项目都不参加，将会得出什么结果？

说明：一般地，假设具有性质A的事物（人）有X A个，具有性质B的事物（人）有X B个，既具有性质A，又具有性质B的事物（人）有X AB个，至少具有A、B中一种性质的事物（人）有X个，那么：X=（X A＋X B）-X AB。这个关系式可用下图来表示：

这个示意图直观形象地揭示了包含排除原理，同时也为计算一些组合图形的面积提供了另一种思路。

例2 在1至1000这1000个自然数中，能被5或11整除的自然数一共有多少个？

分析：如下图，小圆表示能被11整除的自然数，大圆表示能被5整除的自然数。如果把大圆内的200个自然数和小圆内90个自然数相加，阴影部分的自然数事实上被加了两次。因此要想求出：能被5或11整除的自然数的个数就应该：

能被5整除的自然数的个数+能被11整除的自然数的个数－既能被5整除又能被11整除的自然数的个数=能被5或11整除的自然数的个数。

解答：能被5整除的自然数有多少个？

1000÷5=200 有200个。

能被11整除的自然数有多少个？

1000÷11=90……10 有90个。

既能被5整除又能被11整除的自然数有多少个？

1000÷55=18……10 有18个。

所以能被5或11整除的自然数的个数是：200+90－18=272个。

例3有128位旅客，其中25人既不懂英语、又不懂法语，有98人懂英语，75人懂法语，请问：既懂英语、又懂法语的有多少人？

分析：从128位旅客中减去既不懂英语、又不懂法语的25人，剩下的128－25=103人中至少懂一门外语（懂英语或懂法语），懂英语的98人中包含了同时懂法语的人数；懂法语的75人中也包含了同时懂英语的人数；（98+75）人恰好比103人多出了既懂英语、又懂法语的人，所以既懂英语、又懂法语的人数=懂英语的人数+懂法语的人数－至少懂一门外语的人数。

解答：至少懂一门外语的人数：128－25=103（人）

既懂英语、又懂法语的人数：98+75－103=70（人）

例4 60名同学面向老师站成一横排。老师先让同学们从左到右按照1、2、3、4、 (59)

60的顺序依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。请问：现在面向老师的学生还有多少名？

分析：由于两次向后转的学生最后还是面向老师，要想转两次必需既是4的倍数，又是6的倍数的数，也就是转两次的学生和一次都不转的学生是最后面向老师的。

解答：从1到60中，4的倍数一共有：60÷4=15个，6的倍数一共有：60÷6=10个，既是4的倍数又是6的倍数有：60÷12=5个。一次都不转的学生是：60－（15+10－5）=40个，转两次的学生有5个，所以面向老师的学生还有40+5=45个。

说明：也可以这样想：最开始向后转的学生（也就是背对老师的学生）有15人，然后共有10名报数是6的倍数的同学向后转，其中：报12、24、36、48、60这5个人已经向后转了，又第二次向后转，结果就又面对老师了，可是报6、18、30、42、54这5个人第一次向后转，他们背对老师。因此仍然是有有15人背对老师，所以有：60－15=45人面向老师。

例5有一根长是240厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米作一个记号，同时每隔6厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断，请问：绳子一共被剪成了多少段？

分析：绳子每隔4厘米作一个记号以及每隔6厘米作一个记号时，这样的记号一定有重复的。因此关键是求出所有的记号数，然后根据“间隔问题”就可以求出绳子一共被剪成了多少段。

解答：240厘米长的绳子每隔4厘米作一个记号，这样一共有：240÷4－1=59个记号；每隔6厘米作一个记号，这样一共有：240÷6－1=39个记号。而两者每隔12厘米重复一个记号，这样一共重复了：240÷12－1=19个记号。因此绳子上共有记号数是：59+39－19=79，所以绳子一共被剪成了79+1=80段。

例6 李老师出了两道题，全班40人中，第一道题有30人对，第2题有12人未做对，两题都做对的有20人。请问：