对数函数及其性质,对数的定律互化,详尽的讲解

§2.2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算

1．对数的概念

一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．

说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log 381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x ＝N ?x ＝log a N ，从而得对数恒等式：a log a N ＝N .

(2)“log ”同“＋”“×”“

”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂

求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．

(3)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则

利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．

(1)基本公式

①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．

②log a M N

＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于

被除数的对数减去除数的对数．

③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．

(2)对数的运算性质注意点

①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)．

②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a M N

＝log a M log a N

，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式

在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c N

log c b

(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．

证明设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数，得x log c b ＝log c N .所以x ＝log c N log c b ，即log b N ＝log c N

log c b

换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．

由换底公式可推出下面两个常用公式：

(1)log b N ＝1

log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；

(2)log bn

N m ＝

m n

log b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R )

题型一正确理解对数运算性质

对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( )

①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.

A ．①与③

B ．②与④

C ．②

D ．①、②、③、④

解析在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立．

在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立．在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .

在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立．所以，只有②成立．答案 C

点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．

题型二对数运算性质的应用

求下列各式的值：

(1)2log 32－log 332

9＋log 38－5log 53；

(2)lg25＋2

3lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；

(3)log 5

2·log 79

log 513

·log 734

分析利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．

解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1. (2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 10

2·lg(2×10)＋(lg2)2

＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.

(3)∵

log 5

2·log 79

log 513·log 734

＝

log 52·2log 73－log 53·1

log 74

＝－lg2lg5·lg3lg7

lg3lg5·13·lg4lg7

＝－3

点评对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．

题型三对数换底公式的应用

计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．

分析由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的

底数都各不相同．

解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．解方法一原式＝

? ????log 253＋log

225log 24＋log 25log 28? ??

log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125

＝? ????3log 2

5＋2log 252log 22＋log 253log 22? ??

??log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝

????

3＋1＋13log 25·(3log 52)

＝13log 25·log 22

log 25

＝13.

方法二原式＝? ????lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8? ??

lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝? ????3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2? ????

lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝?

????13lg53lg2? ??

3lg2lg5＝13. 点评方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．