勾股定理难题+提高
评卷人 得分 一、选择题
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A ．4，5，6
B ．3，4，5
C ．2，3，4
D ．1，2，3
2．给出下列命题：①在直角三角形ABC 中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②
三角形的三边a 、b 、c 满足222b c a =+，则∠C=90°；③△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠
C=1：5：6，则△ABC 是直角三角形；④△ABC 中，若 a ：b ：c=1：2：3 ，则这个三角形是直角三角形．其中，假命题的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，如果把△ABC 的顶点A 先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，则线段A′B 与线段AC 的关系是（ ）
A ．垂直
B ．相等
C ．平分
D ．平分且垂直
4．下面说法正确的是个数有（ ）
①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形；
②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形； ③若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形； ④如果∠A=∠B=2
1∠C ，那么△ABC 是直角三角形； ⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；
⑥在?ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形。
A 3个
B 4个
C 5个
D 6个
5．如图，△ABC 中，AB=AC=5,BC=6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于N 点，则MN=（ ）
A ．65
B ．95
C ．125
D ．165
6．下列各组数中，是勾股数的是( )
A ．14，36，39
B ．8，24，25
C ．8，15，17
D ．10，20，26
7．（2013贵州安顺）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）
A．8米
B．10米
C．12米
D．14米
8．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD 的面积是（）
A3 B 3
．3
9
3
4
第II卷（非选择题）
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二、新添加的题型
评卷人得分
三、解答题
9．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．
（1）如图①，过点A在△ABC外作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N．①判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系，并证明；
②若AM=a，BM=b，AB=c，试利用图①验证勾股定理22
=2c；
a b
（2）如图②，过点A在△ABC内作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系？（直接写出答案）
10．（6分）小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，可求得△ACD的周长为；
（2）如果∠CAD:∠BAD=4:7，可求得∠B的度数为；
操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，
使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．
11．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝12cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
B
A
C
D
E
12．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB，BC两条路可到达公路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条路使学校到公路距离最短，请你帮助学校设计一种方案，并求出所修路的长．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，求Rt△ABC中斜边AB上的高CD．14．阅读理解题：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=
1
2
BC．
求证：∠BAC=90°．
15．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a、b，斜边长为
c)和一个正方形(边长为c)．请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图；
(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理．
16．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．
17．（10分）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10， BC边上的中线AD＝12．
（1）AD平分∠BAC吗？请说明理由．
（2）求：△ABC的面积．
评卷人得分
四、填空题
18．直角三角形两边长分别为3厘米、4厘米，则第三边的长为。
19．一个直角三角形的两边长分别为9和40，则第三边长的平方是．
20．若一个直角三角形的两边的长分别为m、n，且满足340
m n
-+-=，则第三边的长为___________．
21．已知0
)
10
(
8
62=
-
+
-
+
-z
y
x ,则由此z
y
x,
,为三边的三角形是三角形22．△ABC的三边长分别为m2－1，2m，m2＋1，则最大角为________．
23．在长方形纸片ABCD中，AD＝3cm，AB＝9cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝．
A
B D C
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是．
25．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，得
12
OP=；再过P1作P1P2⊥OP1且
P1P2＝1，得
23
OP=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2012＝________．
评卷人得分
五、计算题
参考答案
1．B．
【解析】
试题分析：A．42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B．32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
C．22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D．12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选B．
考点：勾股数．
2．B
【解析】
试题分析：命题①中若4是直角边，则第三边长为5，若4为斜边，则第三边长为7，故错误；命题②中应该是∠B=90°，故错误；命题③、④均正确；故假命题有2个；
故选B.
考点：真命题与假命题.
3．D
【解析】
试题分析：先根据题意画出图形，再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A′B与线段AC的关系：
如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，与线段AC交于点O．
∵A′O=OB=2，AO=OC=22，
∴线段A′B与线段AC互相平分，
又∵∠AOA′=45°+45°=90°，
∴A′B⊥AC，
∴线段A′B与线段AC互相垂直平分．
故选D．
考点：1.网格问题；2.平移的性质；3.勾股定理.
4．D.
【解析】
试题分析：①∵三角形三个内角的比是1：2：3，
∴设三角形的三个内角分别为x，2x，3x，
∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，
∴3x=3×30°=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；
②∵三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180°，
∴若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则此三角形是直角三角形，故本小题正确； ③∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，
∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，故本小题正确；
④∵∠A=∠B=12
∠C ， ∴设∠A=∠B=x ，则∠C=2x ，
∴x+x+2x=180°，解得x=45°，
∴2x=2×45°=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；
⑤∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，三角形的一个内角等于另两个内角之差，
∴三角形一个内角也等于另外两个内角的和，
∴这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补， ∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确；
⑥∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和， 由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补， ∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确．
故选D ．
考点：1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质． 5．C ．
【解析】
试题分析：连接AM ，
∵AB=AC ，点M 为BC 中点，
∴AM ⊥CM ，BM=CM ， ∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=CM=3，
在Rt △ABM 中，AB=5，BM=3，
∴根据勾股定理得：2223534AB BM =-=-， 又S △AMC =12MN?AC=12
AM?MC， ∴MN=15
?2A A C M CM =． 故选C ．
考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质．
6．C
【解析】满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数a ，b ，c 是勾股数，因为82＋152＝289，172＝289，所以82＋152＝172，即8、15、17为勾股数．同理可判断其余三组数均不是勾股数．
7．B
【解析】如图，设大树高为AB ＝10米，小树高为CD ＝4米，过C 点作CE ⊥AB 于E ，则四边形EBDC 是矩形．连接AC ，则EB ＝CD ＝4米，EC ＝8米，AE ＝AB －EB ＝10－4＝6（米）． 在Rt △AEC 中，2210AC AE EC =+=米．
8．A ．
【解析】
试题分析：如图，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ．
设AB=AD=x ．
又∵AD ∥BC ，
∴四边形AEFD 是矩形形，
∴AD=EF=x ．
在Rt △ABE 中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°， ∴BE=12AB=12
x ， ∴22AB BE -3x ， 在Rt △CDF 中，∠FCD=30°，则CF=DF?cot30°=
32x ． 又BC=6，
∴BE+EF+CF=6，即
12x+x+32x=6， 解得 x=2
∴△ACD 的面积是：12AD?DF=12
x×32x=34×223 故选A ．
考点：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形．
9．（1）证明见解析；（2）MN=BM-CN.
【解析】
试题分析：（1）①利用已知得出∠MAB=∠ACN ，进而得出△MAB ≌△NCA ，进而得出BM=AN ，AM=CN ，即可得出线段MN 、BM 、CN 之间的数量关系；
②利用S 梯形MBCN =S △MAB +S △ABC +S △NCA =12ab+12c 2+12ab ，S 梯形MBCN =12（BM+CN ）×MN=12
（a+b ）2，进而得出答案；
（2）利用已知得出∠MAB=∠ACN ，进而得出△MAB ≌△NCA ，进而得出BM=AN ，AM=CN ，即可得出线段MN 、BM 、CN 之间的数量关系．
试题解析：（1）①MN=BM+CN ；
理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，
∴∠MAB=∠ACN ，
在△MAB 和△NCA 中
BMA ANC MAB NCA AB AC ∠=∠∠=∠=?????
，
∴△MAB ≌△NCA （AAS ），
∴BM=AN ，AM=CN ，
∴MN=AM+AN=BM+CN ；
②由①知△MAB ≌△NCA ，
∴CN=AM=a ，AN=BM=b ，AC=BC=c ，
∴MN=a+b ，
∵S 梯形MBCN =S △MAB +S △ABC +S △NCA =
12ab+12c 2+12ab ，S 梯形MBCN =12（BM+CN ）×MN=12（a+b ）2， ∴12ab+12c 2+12ab=12
（a+b ）2， ∴a 2+b2=c 2；
（2）MN=BM-CN ；
理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，
∴∠MAB=∠ACN ，
在△MAB 和△NCA 中
BMA ANC MAB NCA AB AC ∠=∠∠=∠=?????
，
∴△MAB ≌△NCA （AAS ），
∴BM=AN ，AM=CN ，
∴MN=AN-AM=BM-CN ．
考点：全等三角形的判定与性质．
10．操作一（1） 14cm （2） 35° 操作二 CD=4．5
【解析】 试题分析：操作一利用对称找准相等的量：BD=AD ，∠BAD=∠B ，然后分别利用周长及三角形的内角和可求得答案；
操作二 利用折叠找着AC=AE ，利用勾股定理列式求出AB ，设CD=x ，表示出BD ，AE ，在Rt
△BDE 中，利用勾股定理可得答案
试题解析：操作一（1） 14cm （2） 35°
操作二 由折叠知：AE=AC=9，DE ⊥AB ，设CD=DE=X ，
则BD=12-X ，
∵222AB AC BC =+=81+144=225，
∴AB=15
∴BE=15-9=6，
又222BD DE BE =+，
∴2
(12x)-=2x +36， X=92
， 即CD=4．5cm
考点：轴对称，线段的垂直平分线
11．CD 的长为10
3cm ．
【解析】
试题分析：利用翻折变换的性质得出DE=CD ，AC=AE=5cm ，∠DEB=90°，进而利用勾股定理得出x 的值．
试题解析：∵有一块直角三角形纸片两直角边AC=5cm ，BC=12cm ，
∴AB=13cm ，
∵将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，
∴DE=CD ，AC=AE=5cm ，∠DEB=90°，
设CD=xcm ，则BD=（12﹣x ）cm ，
故DE 2+BE 2=BD 2，
即x 2+（13﹣5）2=（12﹣x ）2，
解得：x=
103
， 则CD 的长为103cm ． 考点：勾股定理
12．4.8km ．
【解析】解：过B 作AC 的垂线，垂足为D ，线段BD 就是要修的路．
在△ABC 中，∵AB 2＋BC 2＝82＋62＝100，而AC 2＝102＝100，
∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°．由1122AB BC AC BD =， 得68 4.810
AB BC BD AC ?===（km ）， 即所修路长为4.8km ．
13． 365 【解析】解：在Rt △ABC 中，222291215AB AC BC =
+=+=． 由三角形的面积公式得1122
AC BC AB CD =， ∴91236155
AC BC CD AB ?===， 即斜边AB 上的高CD 是365
． 14．（1）如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形.（2）132
。 【解析】
试题分析：根据题目的已知条件和结论写出判断方法即可．
试题解析：（1）如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（2）因为这个三角形的一条边上的中线长是这条边长的一半，所以这个三角形是直角三角形。
设这个直角三角形的两条直角边的长分别为a 、b ，则a+b=1+3
根据勾股定理，得
a 2+
b 2=22
a 2+
b 2=4
因为（a+b ）2= a 2+b 2+2ab
即（1+3）2=4+2ab
所以3ab =
11322
ab = 所以这个三角形的面积为132
考点：直角三角形斜边上的中线．
15．(1)(答案不唯一)如图．
(2)验证：∵大正方形的面积可表示为(a＋b)2，
又大正方形的面积也可表示为2
1 4
2
c ab
+?，
∴22
1
()4
2
a b c ab
+=+?，
即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab．
∴a2＋b2＝c2．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
【解析】(1)(答案不唯一)如图．
(2)验证：∵大正方形的面积可表示为(a＋b)2，
又大正方形的面积也可表示为2
1
4
2
c ab
+?，
∴22
1
()4
2
a b c ab
+=+?，
即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab．
∴a2＋b2＝c2．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
16．（1）证明见解析；
（2）砌墙砖块的厚度a为5cm．
【解析】
试题分析：（1）根据题意可知AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，从而得到结论；
（2）根据题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，由勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．
试题解析：（1）根据题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
ADC CEB
DAC BCE
AC BC
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=3a，
在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，
∴（4a）2+（3a）2=252，
∵a＞0，
解得a=5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
考点1.：全等三角形的应用2.勾股定理的应用．17．（1）平分，理由详见解析；（2）60
【解析】
试题分析：（1）AD平分∠BAC，
理由为：
∵BC边上的中线AD
∴BD=5
∵在△ABC中，AB=13，AD=12，BD=5，
∴252=242+72，即：AB2=AD2+BD2
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC
∴AB=AC
∴AD平分∠BAC
⑵由（1）得AB=AC，AD垂直平分BC
∴S△ABC=2AD
BC
=60．
考点:1.等腰三角形的性质；2.三角形面积的计算方法
18．5cm cm．
【解析】
试题分析：题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．
试题解析：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm；
（2）当4；
故直角三角形的第三边应该为5cm cm．
考点：勾股定理．
19．1681或1519．
【解析】设第三边为x
（1）若40是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：92+402=x2，所以x2=1681．（2）若40是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：92+x2=402，所以x2=1519．所以第三边的长为1681或1519．
20．5
【解析】
40n -=，∴m ﹣3=0，n ﹣4=0，∴m=3，n=4，
即这个直角三角形的两边长分别为3和4．
①当4是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x ，则由勾股定理得到：
= ②当4是此直角三角形的直角边时，设斜边为x ，则由勾股定理得到：
5=．
5．
考点：1．勾股定理；2．非负数的性质；3．分类讨论．
21． 直角
【解析】
试题分析：∵0)10(862
=-+-+-z y x ，∴60,80,100x y z -=-=-=，∴6,8,10x y z ===，又∵2226810+=，所以以z y x ,,为三边的三角形是直角三角形 考点：1.非负数的性质；2.勾股定理的逆定理.
22．90°
【解析】（m 2－1）2＋（2m ）2＝（m 2＋1）2．由勾股定理的逆定理知，边长为m 2＋1的边所对角最大，是90°．
23．5
【解析】
试题分析：根据题意结合图形得到DE=BE ，设DE=BE=x ，∵AB=9，∴AE=9-x ；根据勾股定理：222DE AD AE =+，∴222(9)3x x =-+，解得：x=5（cm ）
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2. 勾股定理．
24．3≤x ≤4
【解析】
试题分析：过BP 的中点O ，以BP 为直径作圆，连接OQ ，当OQ ⊥AC 时，OQ 最短，即BP 最短，
∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C ，∴△ABC ∽△OQC ，∴OQ CO AB AC
∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∵BP=x ，∴OQ=12x ，CO=4－12x ，∴1142235
x x 解得：x=3，当P 与C 重合时，BP=4，即x 的取值范围为：3≤x ≤4.
考点：直线与圆的位置关系、三角形相似的判定与性质.
25【解析】首先根据勾股定理求出OP 4，再由OP 1，OP 2，OP 3，OP 4的长度找到规律，进而求出
OP 22012的长．
由勾股定理得4OP ==
∵1OP =2OP =，3OP ，4OP =，
依此类推可得n OP =
∴2012OP =
[初二数学]勾股定理综合难题。
如图：圆柱的高为10 cm，底面半径为 2 cm.在下底面的A点处有一只蚂蚁，1 它想吃到上底面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少? 如图：长方体的高为 3 cm，底面是边长为 2 cm的正方形.现有一小虫从顶点2 出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米? A 、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D点，那么它所行3 的最短路线的长是 _____________。 、如图：小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为4 长BC为10cm，当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处，折8cm， 痕为AE，想一想，此时EC有多长？
5、如图：将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使点C 与A 点重合，则EB 的长是（ ） A 。3 B 。4 C 。√5 D 。5 6、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90° ，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ，求AC 的长。 7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现将直角边 AC 沿直 线 AD 折叠，使其落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为。 8、如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，将矩形ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合， C 落在C ’处，若AE:BE=1：2，则折痕EF 的长为。 9、如图，已知，点 E 是正方形 ABCD 的 BC 边上的点，现将△ DCE 沿折痕 DE 向上翻折，使 DC 落在对角线DB 上，则 EB ：CE 是多少？
10、如图，AD 是△ ABC 的中线，角ADC=45o，把△ ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C’的位置，若 BC=2，则 BC’=_________。 ′
精品-勾股定理综合性难题及答案
勾股定理练习题 1、如图，已知：在ABC ?中，?=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等． 2、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ） （A 2d （B d （C ）2d （D ）d 3、如图所示，在Rt ABC ?中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=?=∠=?,且3BD =, 4CE =,求DE 的长. 4、如图在Rt △ABC 中,3,4,90==?=∠BC AC C ，在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示： 要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）
5．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm 6．如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上任意一点，请说明：AB 2－AP 2=PB ×PC 。 7．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另 一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米 ? 8．长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m ． 9．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥DF ．求证：AE 2＋BF 2＝EF 2． C O A B D E F 第5题图 A B C 第6题图
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学习好资料 欢迎下载 勾股定理练习题 1、如图，已知：在 ABC 中， ACB 90 ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说 明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等． 2、直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线长为 d ，则这个三角形周长为（ ） （A ） d 2 S 2d （ B ） d 2 S d （C ） 2 d 2 S 2d （ D ） 2 d 2 S d 、如图所示，在 Rt ABC 中, BAC 90 , AC AB, DAE 45 且 BD 3 , 3 , CE 4,求 DE 的长 . 4、如图在 Rt △ABC 中 , C 90 , AC 4, BC 3 ，在 Rt △ ABC 的外部拼接一个合适的直角三 角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示： 要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法， 在图中标明拼接的直角三角形 的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形） 5．已知：如图，△ ABC 中，∠ C = 90°，点 O 为△ ABC 的三条角平分线的交点， OD ⊥ BC ， OE ⊥AC ， OF ⊥AB ，点 D 、 E 、 F 分别是垂足，且 BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点 O 到三边 AB ， A
学习好资料 欢迎下载 AC 和 BC 的距离分别等于 cm C E D A O B F 第5题图 6 ．如图，在△ ABC 中， AB=AC ， P 为 BC 上任意一点，请说明： AB 2 －AP 2 × 。 =PB PC 7．在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处；另一只 爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米 ? 8．长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整为 60°角 (如图所示 )，则梯子的顶端沿墙面升高了 ______m ． 9．已知：如图，△ ABC 中，∠ C ＝ 90°， D 为 AB 的中点， E 、F 分别在 AC 、 BC 上，且 DE ⊥DF ．求证： AE 2＋ BF 2 ＝EF 2． 1 CB 10．已知：如图，在正方形 ABCD 中， F 为 DC 的中点， E 为 CB 的四等分点且 CE ＝ 4 ， 求证： AF ⊥FE ．
专题：勾股定理与面积问题 含答案
专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一三角形中利用面积法求高 1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为() A. 80 13cm B．13cm C. 13 2cm D. 60 13 cm 2．(2017·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________． ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是() A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2 4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm C．(5＋37)cm D．12cm 5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 ◆类型三巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠ A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】 ◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方 形的边长为9cm，则正方形A ，B，C，D的面积之和为________cm2. 9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________．
八年级上册勾股定理难题
八年级上册勾股定理难题Prepared on 21 November 2021
勾股定理专题 1、已知直角三角形的两分别为4和5,则第三条边是____________. 2.若等腰三角形的两边长为4和6,则底边上的高等于__________________. 3.△ABC 中,AB=13,AC=15,高AD=12,则△ABC 的周长为________________. 4．已知△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2 ＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由． 5.已知a 、b 、c 为?ABC 的三边，且满足a c b c a b 222244-=-，试判断?ABC 的形状． 6.在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________。 7.长方体的长为15,宽10,高20,点B 与点C 的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B,那么它需要爬行的最短距离是___________. 8.高分别是5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为 9.图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3．在Rt△ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长． 10.△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，若∠C=90°，如图9（1），根据勾股定理，则a b c 222+=。若△ABC 不是直角三角形，如图9（2）和9（3），请你类比勾股定理，试猜想a b 22+与c 2的关系，并证明你的结论。 11．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥DF ．求证：AE 2＋ BF 2＝EF 2．
勾股定理综合难题附答案超好打印版
C B A D E F C D 练习题 1 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为 2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少? 2 如图，长方体的高为 3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方 体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5 A C B 3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。 4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC?为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？? 5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠， 使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 6．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的 垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，D=4cm ． 求AC 的长． 7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8， 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且 与AE 重合，则CD 的长为 8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使 点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折 痕EF 的长为 。 B C A F E D C B A B ’ C ’ B ′ A ′ C ′ D
9、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________． 10、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C′的位置，若BC ＝2，则BC′＝_________． 11．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？ 13、如图，在△ABC 中，∠B= 90，AB=BC=6，把 △ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ， 点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。 14．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点 B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 2 15．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长． E 题5图 F B C ′ B A C D A C A C B E 图1 D A E C D A D B C E F A B E F D C 第11题图
勾股定理大题难题(超好 打印版)
精心整理 A D 1、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时， 点P 的坐标为____________． 2.宽AB 3 顶点 A 4A 、25.在△． 6.为5和 7.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任 意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于多少？ 8.如图Rt △ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ， 连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为多少？ 9、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发
，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏 西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 10.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门 11. 13、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 14.直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 15.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 16、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN ＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机
行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？ 18、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、 F 20沿折痕21.点C 22.顶点23.且BD 24. 25.如图，E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，延长AB 到F ， 使BF=41 AB ，那么FE 与FA 相等吗？为什么？ E C
勾股定理应用难题
勾股定理的应用 常见题型：求值（求边长或面积、线段间的平方关系、折叠后求值）；判断垂直；几何体表面上两点间距离。 一、求值问题 ●例题： 1.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11，则b的面积为（） A.4 B.6 C.16 D.55 2.如图，直角三角形ABC,∠ACB=90°,AC=BC=6，DE⊥AB，DE:DB=1:5，则AE=_______。 图1 图2 图3 3.如图，如图，直角三角形ABC, ∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB与P，求证：BP2=AP2+BC2。 4.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1=25/8π，S2=2π，则S3=_______。 图4 图5 图6 图7 5.如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2，求四边形ABCD的面积。 6.如图，△BDE是将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后得到的，若AB＝4，BC＝8，则重叠部分的面积为_______。 7.如图，正方形ABCD中，AB边上一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP最短，则EP+BP的最短长度为_______。 8. 一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米。 （1）此辆卡车能否通过此桥洞？说明你的理由。 （2）为了适应车流量增加的需要，想把桥洞改为双行道， 并要使宽1.2米，高2.8米的卡车能安全通过，那 P M B C A A C B E D
么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ ● 知识总结与拓展： 题目1题型总结： 三直角模型，全等必出现 题目2拓展知识： 等腰直角三角形三边比，直角边：直角边：斜边= 1:1：√2（根号） 题目3题型总结： 该类题型是在合适的直角三角形中用勾股定理，进行边的等量关系代换，导出题目所要结果。 加强练习： 如图，在△ABC中，AB=AC=6，P为BC上任意一点，（1）求PC?PB+PA2的值；（2）求证AB2－AP2=PB×PC. 题目4题型总结： 以直角三角形的三边1）为直径向外作半圆；2）为斜边向外作等腰直角三角形；3）为边作等边三角形； 4）向外作正方形，则有以两直角边所做图形面积的和等于以斜边所做图形的面积。 题目5拓展知识： 有一个角是30°的直角三角形三边比，30°所对直角边：斜边：另一边直角边= 1:2：√3（根号） 题目6题型总结： 常见的折叠图形有以下四种，折叠后求边长的问题，关键在于找到折叠后的相等条件（边和角）。 然后在合适的直角三角形中，利用勾股定理求值。 总结：1）折叠后对应点连线所得线段被对称轴垂直平分； 2）折叠后与折叠前对应的两个三角形全等。 A B P C
勾股定理练习题整理及答案解析
勾股定理 一、勾股定理及证明 1. 勾股定理基础 2. 简单的计算 3. 几何图形中的计算 4. 勾股定理的几何证明 二、勾股定理的逆定理 三、勾股定理的应用 勾股定理及证明 1. 勾股定理基础 1. 【易】（初二数学下期末复习）在Rt△ ABC 中， C 90 ，a 、b 、c 分别表示A、 B、C 的对边，则下列各式中，不正确的是（ A．b2c2B．c2 a2 b2C．a c2b2D．a2 b2 答案】D 2. 【易】（2010 实验初二上期中）下列说法正确的是（） A．若a、b、c是△ABC 的三边，则a2 b2 c2 B．若a、b、c是Rt△ABC 的三边，则a2b2c2 C．若 a 、b 、c是Rt△ ABC的三边，C 90 ，则a2 b2 c2 D．若 a 、b 、c是Rt△ ABC的三边，A 90 ，则a2b2c2 【答案】C 3. 【易】（沈阳）在下列说法中正确的是（） A．在Rt△ ABC中，AB2 BC 2 AC2 B．在Rt△ ABC中，若a 3，b 4，则c 5 C．在Rt△ABC 中，两直角边长都为15，则斜边长为15 2 D．在直角三角形中，若斜边长为10 ，则可求出两直角边的长【答案】C 4. 【易】（2010 年北京西城外期中）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角 形是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形 【答案】B 5. 【易】（深圳中学初二上期中）把直角三角形的两直角边同时扩大到原来4 倍，则其斜边扩大到 原来的（）倍，所得的三角形仍为直角三角形
A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 6. 【易】直角三角形的两直角边同时扩大为原来的2 倍，其斜边扩大到原来的（）A．2倍 B．3倍C．4倍D．5倍【答案】A 7. 【易】（人大附中2013 年第二学期期中初二年级数学练习）某校办工厂要制作一些等腰三角形 的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照底长、腰长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（） A．10，26，24 B．16，10，6 C．30，17，8 D．24，13，5 【答案】A 8. 【易】（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习）在Rt△ABC中，C 90 ，周长 为60，斜边与一条直角边之比为13:5 ，则这个三角形三边长分别是（）A．5、4、3 B．13、12、5 C．10、8、6 D．26、24、10 【答案】D 9. 【易】（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上 的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（） A．8m B．10m C．12m D．14m 【答案】C 【解析】解：由题意得，AB为旗杆的高，AC AB 1，BC 5米． 已知AB BC ，根据勾股定理得AB AC2BC2AB 1 225 解得AB 12 米 10. 【易】美丽的人造平面珊瑚礁图案．图中的三角形都是直角三角形，图中的四边形都是正方 形．如果图中所有的正方形的面积之和是980cm2．问：最大的正方形的边长是 【答案】14cm 图中 所有正方形的面积之和 等于 5 倍的最大的正 方形的面积， 980÷5=196cm2 11. 【易】（2013 年第二学期五十七中初二年级数学学科期中试卷） 已知x 2 y 3 0，如果以x ，y的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为（） A．5 B．5 C．7 D．15
勾股定理历年中考难题
勾股定理历年中考难题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
勾股定理 1.直角三角形的三边为a-b ，a ，a+b 且a 、b 都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ） A 、61 B 、71 C 、81 D 、91 2.在平面直角坐标系中，已知点A （-4，0），B （2，0），若点C 在一次函数y=-2 1x+2的图象上，且△ABC 为直角三角形，则满足条件的点C 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3.如图，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2是等腰直角三角形，点P 1，P 2在函数x y 4 （x ＞0）的图象上，斜边OA 1，A 1A 2都在x 轴上，则点A 2的坐标是（） 4、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为____________． 5、如图，EF 为正方形ABCD 的对角线，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点，则∠DKG=_______． 6、以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（ ） A 、2×（2 2）10厘米B 、2×（21）9厘米C 、2×（23）10厘米D 、2×（23）9厘米 7、在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为_____________． 8、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm ，正方形B 的边长为5cm ，正方形C 的边长为5cm ，则正方形D 的面积是_______cm 2.
八年级数学勾股定理综合难题
精心整理 精心整理 1如图：圆柱的高为10cm ，底面半径为2cm.在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少? 2如图：长方体的高为3cm ，底面是边长为2cm 的正方形.现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是 _____________。 4、如图：小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ，当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处，折痕为AE ，想一想，此时EC 有多长？ 5、如图：将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使点C 与A 点重合，则EB 的长是（） A 。3 B 。4 C 。√5 D 。5 6、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ，求AC 的长。 7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为。 8、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C ’处，若AE:BE=1：2，则折痕EF 的长为。 9、如图，已知，点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ：CE 是多少？ 10、如图，AD 是△ABC 的中线，角ADC=45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ’的位置，若BC=2，则BC ’=_________。 ′
《勾股定理》历年中考难题
勾股定理 1. 直角三角形的三边为a-b ，a ，a+b 且a 、b 都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ） A 、61 B 、71 C 、81 D 、91 2.在平面直角坐标系中，已知点A （-4，0），B （2，0），若点C 在一次函数y=-2 1x+2的图象上，且△ABC 为直角三角形，则满足条件的点C 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3.如图，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2是等腰直角三角形，点P 1，P 2在函数x y 4 （x ＞0）的图象上，斜边OA 1，A 1A 2都在x 轴上，则点A 2的坐标是 （ ） 4、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ____________． 5、如图，EF 为正方形ABCD 的对角线，将∠ A 沿DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点，则∠DKG=_______． 6、以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（ ） A 、2×（22）10厘米 B 、2×（21）9厘米 C 、2×（23）10厘米 D 、2×（2 3）9厘米 7、在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为_____________． 8、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm ，正方形B 的边长为5cm ，正方形C 的边长为5cm ，则正方形D 的面积是_______cm 2. 9、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为___________. 10、如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于（ ） A 、3 B 、23 C 、43 D 、无法确定 11、如图Rt △ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为（ ） A 、25 B 、23 C 、25+2 D 、23+2
八年级上册勾股定理难题
八年级上册勾股定理难 题 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
勾股定理专题 1、已知直角三角形的两分别为4和5,则第三条边是____________. 2.若等腰三角形的两边长为4和6,则底边上的高等于__________________. 3.△ABC 中,AB=13,AC=15,高AD=12,则△ABC 的周长为________________. 4．已知△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2 ＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由． 5. 已知a 、b 、c 为?ABC 的三边，且满足a c b c a b 222244-=-，试判断?ABC 的形状． 6.在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________。 7.长方体的长为15,宽10,高20,点B 与点C 的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B,那么它需要爬行的最短距离是___________. 8.高分别是5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为 9.图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3．在Rt△ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长． 10.△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，若∠C=90°，如图9（1），根据勾股定理，则a b c 222+=。若△ABC 不是直角三角形，如图9（2）和9（3），请你类比勾股定理，试猜想a b 22+与c 2的关系，并证明你的结论。 11．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥DF ．求证：AE 2 ＋ BF 2＝EF 2．
勾股定理综合性难题习题
勾股定理复习 1、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ） （A ）22d S d ++ （B ）2d S d -- （C ）222d S d ++ （D ）2 2d S d ++ 2．如图，A 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km ，BD=3km ，CD=3km ，现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD 选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F 。 3.△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则2 22c b a =+，若△ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想22b a +与2c 的关系，并证 明你的结论. 4．如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107 千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域． （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 课堂练习： 1、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm 2 如图，已知： ， ， 于P. 求证： .
3 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 4．一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H． 解：OC＝1米(大门宽度一半)， OD＝0.8米（卡车宽度一半） 在Rt△OCD中，由勾股定理得： CD＝＝＝０.６米， CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）． 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门． 5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是
勾股定理综合难题 附答案(超好 打印版)
C B A D E F C D 练习题 1 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为 2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少 2 如图，长方体的高为 3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方 体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米 答案AB=5 A C B 3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。 4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC?为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长? 5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠， 使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 6．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的 垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，D=4cm ． 求AC 的长． 7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8， 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且 与AE 重合，则CD 的长为 8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使 点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折 痕EF 的长为 。 9、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________． B C A F E D C B A B ’ C ’ B ′ A ′ C ′ D ′
勾股定理练习题及答案
一、 选择题 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2ab
初二数学勾股定理综合难题
1 如图：圆柱的高为 10 cm ，底面半径为 2 cm.在下底面的 A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处，需要爬行的最短路程是多少? 2 如图：长方体的高为 3 cm ，底面是边长为 2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点 A 出发，沿长方体侧面到达顶点 C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 3 、一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 B’点沿纸箱爬到 D 点，那么它所行的最短路线的长是 _____________。 4 、如图：小红用一张长方形纸片 ABCD 进行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm ，长 BC 为 10cm ，当小红折叠时，顶点 D 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 AE ，想一想，此时 EC 有多长？ 5、如图：将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使点C 与A 点重合，则EB 的长是（ ） A 。3 B 。4 C 。√5 D 。5
6、 已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ，求AC 的长。 7 、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使其落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为。 8 、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，将矩形ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合， C 落在C ’处，若AE:BE=1：2，则折痕EF 的长为。 9 、如图，已知，点 E 是正方形 ABCD 的 BC 边上的点，现将△ DCE 沿折痕 DE 向上翻折，使 DC 落在对角线DB 上，则 EB ：CE 是多少？ 10、如图，AD 是△ ABC 的中线，角ADC=45o ，把△ ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C ’的位置，若 BC=2，则 BC ’=_________。 ′
(完整版)勾股定理大题难题
C B A D E F C B A D E F 1、已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ____________． 2.如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，?长BC?为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？? 3、如图，EF为正方形ABCD的对角线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G 点，则∠DKG=_______．
4、以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的高是（ ）厘米 A 、2×（22）10 B 、2×（21 ）9 C 、2×（23）10 D 、2×（23）9 5.在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为_____________． 6.如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为___________. 7.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于多少？
8.如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为多少？ 9、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发 ，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏 西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。
勾股定理难题训练
勾股定理难题训练 1、如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE． （1）①依题意补全图2； ②求证：AD=BE，且AD⊥BE； ③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系； （2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A 到BP的距离．
2、（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则 ①∠BEC＝＿＿＿＿＿＿°；②线段AD、BE之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿． （2）拓展研究： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度． （3）探究发现： 如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．
3、如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4， （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）已知S△ABC=10cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）， ①若△DMN的边与BC平行，求t的值； ②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．