圆锥曲线的经典结论

有关解析几何的经典结论

22 2 2 2 2

a c -a

b k +_ 2a c

2*」2] 2 ，X P $ —, 2 2

1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角. （椭圆的光学性质）

2. PT平分.PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的

圆，除去长轴的两个端点.（中位线）

以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.（第二定义）

以焦点半径PF i为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）

2 2

若P o（X o, V o）在椭圆务?爲=1上，则过F0的椭圆的切线方程是暂?与二1.（求导或用联立

a b a b

方程组法）

2 2

若P°（X0，V0）在椭圆务+告=1外，则过P。作椭圆的两条切线切点为P,P2，则切点弦RP2的a b 直线方程是弩?辔=1

a2 b2

2 2

X V

椭圆r 2=1 （a b 0）的左右焦点分别为F1,F2，点P为椭圆上任意一点? F1PF2V',则

a b

椭圆的焦点角形的面积为S F PF=b2tan?.（余弦定理+面积公式+半角公式）

2 2 椭圆X2=1（a b 0）的焦半径公式：

a b

|MF1〔 = a ex , | MF21二a -ex g（F/-c,0）, F2（c,0），M（X o,y。））.（第二

定义）

设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P,Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别

交相应于焦点F的椭圆准线于M,N两点，则MF _ NF .

证明：x 二ky ? c，

2 2

务占二仁a2 b2k2 y2 2b2cky b2c2 a2b2 a b

,2 2 2, 2

b c -a b

V P V O =a2 b2k ,V P - 2b2cky a2 b2k2

X p X o

a b k a b k

再根据上一条性质可得结论。

—+a

N _

C y

Y P a

X /

Y Q

2 a

———，MF _ NF 二

a X Q

=0二 X M -c X N - c y M y N = 0,

易得：X M - C X N

10.过椭圆一个焦点

F 的直线与椭圆交于两点 P,Q ,且A,A 2为椭圆长轴上的顶点，AP 和A 2Q

交于点M , A 2P 和AQ 交于点N ，则MF _ NF .( MN 其实就在准线上，下面证明他在准线

上)

证明：首先证明准线，AP 和PA 2公共点，设 P X p ,y p ，Q X Q ,y Q ，不妨设 X P X Q ，

kr 乂，

X p — a Y Q

Q _ a

由 r

ki (x -a

) y * x a

得交点 x = a k 1 k 2 二 a L X P y Q XQ y P a y p —y Q ，

& _k2

_X P Y Q gyp +a(yp *Q )'

得 b 2 a 2k 2 x 2 2a 2k 2cx a 2c 2k 2 -a 2b 2 = 0 ,令 M = b 2 a 2k 2， N = \ b 2 a 2k 2

2k 2

，

a 2c 2k 2 _a 2

b 2

X P X Q 二

-2a 2k 2c ，X P “ - M

2b 2ck 2abkN

，Y P YQ k ，Y P "丁

X P Y Q X Q y p

2 2

-2 a b k ，—X p Y Q X Q Y P

-2abckN M

-2a 2b 2k 2a 2bkN

，则 x M —La =

-2abckN * 2ab 2ck M M

2 2

x y 若 P 0

(x 0, y 0)在双曲线 ~2 - ~2 -1 a b

弩-殍=1.(同上)

a b

2 2

x y 若 P 0

(x 0, y 0)在双曲线 ~2 - ~2 -1 a b

（a 0,b 0）上，则过P 。的双曲线的切线方程是

（a 0,b 0）外，则过P °作双曲线的两条切线切点为

R’E ，则切点弦RP 2的直线方程是

訐常「（同上）

、双曲线

1. 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角.（同上）

PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去

长轴的两个端点.（同上）

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.（同上）

以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆

相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）

（同上）

2 2

11. AB 是椭圆冷■ a b

b 2

-~，

b 2x o ~2 。

a y o

OM k

12.若F 0(x o ,y 0)在椭圆（点差法）

13.若在椭圆 2

x —

—+ 2 a

（点差法）

=1的不平行于对称轴的弦，M （x 0,y 0）为AB 的中点，则

（点差法）

x ~~2 a

?爲=1内，则被F0所平分的中点弦的方程是暂?辔

a b

計1内，则过P0的弦中点的轨迹方程是 2 2

X y _ X °x y °y 2 , 2 _

_ a b a 2 b 2

2 2 x o

y o ~2 .2

2 2

双曲线笃-爲=1 （ a 0,b ■ 0 ）的左右焦点分别为 F,F 2，点P 为双曲线上任意一点：

a b

2 y

.FfF 2二,则双曲线的焦点角形的面积为

5科2二b cot 〒（同上）

2 2

双曲线笃—爲=1（ a>0,b>0）的焦半径公式：

Fd —c,0）, F 2（C ,0）

a b

当 M （x °, y °）在右支上时，| MF i | = ex ）a , | MF 2 H ex^ - a . 当 M （X 0,y °）在左支上时，I MF 11=-ex 0 ? a ,|MF 2 |=-ex （3-a （同上） 9.

设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、N 两点，则MF _ NF .（同上）

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P 、Q ，且A 1,A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P

和A 2Q 交于点M , A 2P 和AQ 交于点N ,则MF _ NF .（同上）

2 2

AB 是双曲线笃-每=1 （a > 0,b > 0）的不平行于对称轴的弦，M （X 0,y °）为AB 的中点，则

a b

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭圆

2 2

1.椭圆=1 a b 0的两个顶点为 A （-a,0） , A （a,0）,与y 轴平行的直线交椭圆于

a b

2 2

x y

P |,F 2时，AR 与A 2F 2交点的轨迹方程是—2 -1.

a b

11.

12.

K OM

K -叙

，

a y 。

即K AB 毕

a y °

（同上）

2 x 若P 0 (x 0, y 0)在双曲线

(a 0,b 0) 内，则被P 0所平分的中点弦的方程是

2 2 x °x y °y X

y °

.(同上)

a b a b

x y

13.若 P 0(x 0, y 0)在双曲线—2 =1

a b

（a 0,b 0）内，则过P 0的弦中点的轨迹方程是

2 2

x y

x 0x

----- — -------- = ----------- 2 , 2 2

aba

辔.（同上）

b 2

证明：

设B( x Jt C(x 2t y 2)

y-y^s = k{x-x Q )& 二r+台=1 =>

cr b

(b 2 ^a 2k 2)x 2 +N 心仇一g)x +(兀-纨尸一/F =0 v v _加咲(加口一兀) _ 入I 十X ()— Ti I, 7 曲一1 7^ 771

b~ +a~k~ b~ ^crk- 儿*rz

丿儿瑁化；炖

-￥crk^

同理艾=心乂-加映-"y =贸儿一/，几

2 2

3.若P 为椭圆X y

1 a b 0上异于长轴端点的任一点，F i 、F ?是焦点，? PF”

a b

丿

R a —C a p -PF 2F 1

，贝U tan cot

a+c 2

证法1 (代数)

y i

证明：R(x ,,yi ),

P （N ，y ）,交点 P （x o ，y 。）,

X | a

，得

2 y

一 y i 2

~ 2

X 0

_ a

，

X i - - a

2 y

b 2

=1 72

X 2 a

2 2

X y

2.过椭圆—

2 =1 a b 0上任一点A （x °

,y °）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 a b

b 2x 0

0 （常数）.

点，则直线BC 有定向且

k BC 2

a y o

B, C 两

bFF “

h 2^crk 2

A 4亍尹点 A 4b 2x a k . Sy A 2x 0

b 2^(rk 2 z b 2+a 2k 2

用 Ar 須%

=ct

PF t PF、2c sin^ sin of

sin{

亠人，/

丿冉丿v

sin° c 在厶PF1F2 中，记? F1PF2 =、，- PF1F2 二-，? F1F2P = “，则有e.

sin P +sin「a

（上条已证）

2 2 _

5. 若椭圆务匕=1 a b 0的左、右焦点分别为F i、F2，左准线为I ,则当0：：：e —2-1

a b

时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

2 2

6. P为椭圆务?每=1 a b 0上任一点，F1、F2是焦点，A为椭圆内一定点，贝U

a b

2a-| AF2卜I PA| ? I PR p2a ? I AR |,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

sin a +sin fl+sin(a + /?)

a-e _sin a + sin /? - sin(ar + /?)

a +v sin a + sin/7 于对仃(疣卡

/?]

a B

2沁畔)冋旦)_ 2站(￥)ss(呼)

r . f a^0. t a-p. r ■卫》卩、.Of + Z?.

2 sin(- —)cos(- —) + 2sm( ---------- )cos( )

证法二（几何）

『为内切闘丫??他"为丫：周匕叫伪保点上角形的〕I：余两条边

/(戸_川)("-幷)(“_2“

V p

设椭圆

7i^1a b 0的两个焦点为F

i、F2, P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点

sin? + sin/? sin a + sin /? - sin( a + /0