数字黑洞

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1.数字黑洞6174

任意选一个四位数(数字不能全相同),把所有数字从大到小排列,再把所有数字从小到大排列,用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作,7 步以内必然会得到6174。

例如,选择四位数6767:

7766 - 6677 = 1089

9810 - 0189 = 9621

9621 - 1269 = 8352

8532 - 2358 = 6174

7641 - 1467 = 6174

……

6174 这个“黑洞”就叫做Kaprekar 常数。对于三位数,也有一个数字黑洞——495。

2.3x + 1 问题

从任意一个正整数开始,重复对其进行下面的操作:如果这个数是偶数,把它除以2 ;如果这个数是奇数,则把它扩大到原来的 3 倍后再加1 。你会发现,序列最终总会变成4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的循环。

例如,所选的数是67,根据上面的规则可以依次得到:

67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17,

52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

数学家们试了很多数,没有一个能逃脱“421 陷阱”。但是,是否对于所有的数,序列最终总会变成4, 2, 1 循环呢?

这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下,问题非常简单,突破口很多,于是数学家们纷纷往里面跳;殊不知进去容易出去难,不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数,这可以从3x + 1 问题的各种别名看出来:3x + 1 问题又叫Collatz 猜想、Syracuse 问题、Kakutani 问题、Hasse 算法、Ulam 问题等等。后来,由于命名争议太大,干脆让谁都不沾光,直接叫做3x + 1 问题算了。

直到现在,数学家们仍然没有证明,这个规律对于所有的数都成立。

3.特殊两位数乘法的速算

如果两个两位数的十位相同,个位数相加为10,那么你可以立即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作AB 和AC,那么它们的乘积的前两位就是A 和 A + 1 的乘积,后两位就是B 和 C 的乘积。

比如,47 和43 的十位数相同,个位数之和为10,因而它们乘积的前两位就是4×(4 + 1)=20,后两位就是7×3=21。也就是说,47×43=2021。

类似地,61×69=4209,86×84=7224,35×35=1225,等等。

这个速算方法背后的原因是,(10 x + y) (10 x + (10 - y)) = 100 x (x + 1) + y (10 - y) 对任意x 和y 都成立

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