离散数学例题整理
第一章
定律证明:
(1) AèB=BèA (交换律)
证"x x?AèB
T x?A 或x?B, 自然有x?B 或x?A T x?BèA
得证AèBíBèA.
同理可证BèAíAèB.
(2) Aè(B?C)=(AèB)?(AèC) (分配律) 证"x x?Aè(B?C)
T x?A或(x?B且x?C )
T(x?A或x?B)且(x?A或x?C)
Tx?(AèB)?(AèC)
得证Aè(B?C)í(AèB)?(AèC).
类似可证(AèB)?(AèC)íAè(B?C).
(3) AèE=E (零律)
证根据并的定义, 有EíAèE.
根据全集的定义, 又有Aè EíE. (4) A?E=A (同一律)
证根据交的定义, 有A?EíA.
又, "x x?A,
根据全集E的定义,
x?E, 从而x?A且x?E,
Tx?A?E
得证AíA?E.
例4 证明Aè(A?B)=A（吸收律）
证利用例3证明的4条等式证明
Aè(A?B)
= (A?E)è(A?B) (同一律)
= A?(EèB) (分配律)
= A?(BèE) (交换律)
= A?E (零律)
= A (同一律)
例5 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
证(A-C)-(B-C)
= (A ?~C) ? ~(B ? ~C) (补交转换律)
= (A ?~C) ? (~B è ~~C) (德摩根律)
= (A ?~C) ? (~B è C) (双重否定律)
= (A ?~C? ~B)è(A ?~C? C) (分配律)
= (A ?~C? ~B)è(A ??) (矛盾律)
= A ?~C? ~B (零律,同一律)
= (A ?~B) ? ~C (交换律,结合律)
= (A –B) –C (补交转换律)
例6 证明(AèB)?(AèC)= (B?C) - A
证(AèB)?(AèC)
=((AèB) - (AèC))è((AèC) - (AèB))
=((AèB)?~A?~C)è((AèC)?~A?~B)
= (B?~A?~C)è(C?~A?~B)
=((B?~C)è(C?~B))?~A
=((B-C)è(C-B))?~A
= (B?C) - A
例7 设A,B为任意集合, 证明:
若AíB, 则P(A)íP(B)
证"x x?P(A) ?xíA
TxíB (已知AíB)
?x?P(B)
例8 证明A?B=AèB-A?B.
A?B=(A?~B)è(~A?B)
=(Aè~A)?(AèB)?(~Bè~A)?(~BèB)
=(AèB)?(~Bè~A)
=(AèB)?~(A?B)
=AèB-A?B
直接法若n是奇数, 则n2也是奇数.
假设n是奇数, 则存在k?N, n=2k+1.
于是n2 = (2k+1)2 = 2(2k2+2k)+1
得证n2是奇数.
间接法若n2是奇数, 则n也是奇数.
只证:若n是偶数, 则n2也是偶数.
假设n是偶数, 则存在k?N, n=2k.
于是n2 = (2k)2= 2(2k2)
得证n2是偶数.
归谬法若A-B=A, 则A?B=?
证用归谬法, 假设A?B1?, 则存在x,使得x?A?B ?x?A且x?B
Tx?A-B且x?B(A-B=A)
? (x?A且x?B)且x?B
Tx?B且x?B, 矛盾
构造性对每正整数n, 存n个连的正合数. 证令x=(n+1)! +1
考虑如下n个连续正整数：x+1, x+2,…, x+n，
对于i（i=1,2,3,…,n），x+i=(n+1)! +(1+i),
此式含有因子1+i，而1+i不等于1也不等于x+i，因此x+i是合数。所以x+1, x+2,…,
x+n是n个连续的正合数。
非构造性对每个正整数n, 存在大于n的素数.
令x等于所有小于等于n的素数的乘积加1,
则x不能被所有小于等于n的素数整除.
于是, x或者是素数, 或者能被大于n的素数整除.
因此,存在大于n的素数.
数学归：对所有n31, 1+3+5+ …+(2n-1)=n2
归纳基础. 当n=1时, 1=12, 结论成立.
归纳步骤. 假设对n(n31)结论成立,
则考虑n+1的情况有
1+3+5+ …+(2n-1)+(2n+1)=n2 +(2n+1) = (n+1)2得证当n+1时结论也成立.
第二数学归任>=2的整数均可表成素数的乘积
证归纳基础. 对于2, 结论显然成立.
归纳步骤. 假设对所有的k(2￡k￡n)结论成立, 要证结论
对n+1也成立. 若n+1是素数, 则结论成立; 否则n+1=ab, 2￡a,b 命题为假的证明——举反例 例11 证明下述命题不成立: 若A?B=A?C, 则B=C. 证明反例: 取A={a,b}, B={a,b,c}, C={a,b,d}, 有A?B=A?C = {a,b} 但B1C, 故命题不成立. 第二章 例3 证明p?(q?r) ? (pùq)?r 证p?(q?r) ??pú(?qúr) （蕴涵等值式） ? (?pú?q)úr（结合律） ??(pùq)úr（德摩根律） ? (pùq) ?r（蕴涵等值式） (1) qù?(p?q) 解qù?(p?q) ?qù?(?púq) （蕴涵等值式） ?qù(pù?q) （德摩根律） ?pù(qù?q) （交换律，结合律） ?pù0 （矛盾律） ? 0 （零律） 该式为矛盾式. (2) (p?q)?(?q??p) 解(p?q)?(?q??p) ? (?púq)?(qú?p) （蕴涵等值式） ? (?púq)?(?púq) （交换律） ? 1 该式为重言式. ?(p?q)ú?r 的析取式与合取式 解?(p?q)ú?r ??(?púq)ú?r ? (pù?q)ú?r析取式 ? (pú?r)ù(?qú?r) 合取式 ?(p?q)ú?r 的主析取式主合取式 解(1) ?(p?q)ú?r? (pù?q)ú?r pù?q? (pù?q)ù1 同一律 ? (pù?q)ù(?rúr) 排中律 ? (pù?qù?r)ú(pù?qùr) 分配律 ?m4úm5 ?r ? (?púp)ù(?qúq)ù?r 同一律, 排中律 ? (?pù?qù?r)ú(?pùqù?r)ú(pù?qù?r)ú(pùqù?r) ?m0úm2úm4úm6 分配律 得?(p?q)ú?r?m0úm2úm4 úm5 úm6 可记作? S(0,2,4,5,6) (2) ?(p?q)ú?r? (pú?r)ù(?qú?r) pú?r?pú0ú?r 同一律 ?pú(qù?q)ú?r 矛盾律 ? (púqú?r)ù(pú?qú?r)分配律 ?M1ùM3 ?qú?r? (pù?p)ú?qú?r 同一律, 矛盾律 ? (pú?qú?r)ù(?pú?qú?r) 分配律 ?M3ùM7 得?(p?q)ú?r?M1ùM3ùM7 可记作? P(1,3,7) 快速求A ? (?pùq)ú(?pù?qùr)úr的主析取式(1) ?pùq? (?pùqù?r)ú(?pùqùr) ?m2úm3 ?pù?qùr?m1 r?(?pù?qùr)ú(?pùqùr)ú(pù?qùr)ú(pùqùr) ?m1úm3úm5úm7 得A?m1úm2úm3úm5úm7 ? S(1,2,3,5,7) (2) 求B??pù(púqú?r)的主合取式 解?p? (?púqúr)ù(?púqú?r)ù (?pú?qúr)ù(?pú?qú?r) ?M4ùM5ùM6ùM7 púqú?r?M1 得B?M1ùM4ùM5ùM6ùM7 ? P(1,4,5,6,7) 例3 用主析取式判断公式的类型: (1) A??(p?q)ùq (3) C? (púq)?r A??(?púq)ùq ? ( pù?q)ùq ? 0 矛盾式(2) B?p?(púq) B??pú(púq) ? 1 ?m0úm1úm2úm3重言式 (3) C? (púq)?r C ??(púq)úr ? (?pù?q)úr ? (?pù?qùr)ú(?pù?qù?r)ú(?pù?qùr) ú(?pùqùr)ú(pù?qùr)ú(pùqùr) ? m0úm1úm3úm5úm7非重言式的可满足式 用主析取式判断下面2组公式是否等值: (1) p与(?púq)?(pùq) 解p ?pù(?qúq) ? (pù?q)ú(pùq) ?m2úm3 (?púq)?(pùq) ??(?púq)ú(pùq) ? (pù?q)ú(pùq) ?m2úm3 故p ? (?púq)?(pùq) (2) (pùq)úr 与pù(qúr) 解(pùq)úr? (pùqù?r)ú(pùqùr) ú(?pù?qùr)ú (?pùqùr)ú(pù?qùr)ú(pùqùr) ? m1úm3úm5úm6úm7 pù(qúr) ? (pùq)ú(pùr) ?(pùqù?r)ú(pùqùr)ú(pù?qùr)ú(pùqùr) ? m5úm6úm7 故(pùq)úr 不等于pù(qúr) 例5 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下述条件: (1) 若A去, 则C必须去; (2) 若B去, 则C不能去; (3) A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种可能的选派方案? 解记p:派A去, q:派B去, r:派C去 (1) p?r, (2) q??r, (3) (pù?q)ú(?pùq) 求下式的成真赋值 A=(p?r)ù(q??r)ù((pù?q)ú(?pùq)) 求A的主析取式 A=(p?r)ù(q??r)ù((pù?q)ú(?pùq)) ? (?púr)ù(?qú?r)ù((pù?q)ú(?pùq)) ? ((?pù?q)ú(?pù?r)ú(rù?q)ú(rù?r)) ù((pù?q)ú(?pùq)) ? ((?pù?q)ù(pù?q))ú((?pù?r)ù(pù?q)) ú((rù?q)ù(pù?q))ú((?pù?q)ù(?pùq)) ú((?pù?r)ù(?pùq))ú((rù?q)ù(?pùq)) ? (pù?qùr)ú(?pùqù?r) 成真赋值:101, 结论: 方案1 派A与C去方案2派B去 A=(?pù?qùr)ú(?pùqùr)ú(pùqùr)的主合取式解 A ?m1úm3úm7 ?M0ùM2ùM4ùM5ùM6 第二章 判断若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. 解设p: 今天是1号, q: 明天是5号 推理的形式结构为(p q)p q 证明用等值演算法 (p q)p q((p q)p)q ((p q)p)q p q q 1 得证推理正确 判断若下午气温超过30度, 则小燕必去游泳，若她去游泳她就不去看电影了. 所以若小燕没去看电影, 下午气温必定超过了30度. m1 解设p: 下午气温超过30度, q: 小燕去游泳，r: 小燕去看电影. 推理的形式结构为((p q)q r)r p) 证明主析取式法 ((p q)q r)r p) p r m1úm3úm4úm5úm6 úm7 主析取式中缺少m0，m2，不是重言式，不正确。 前提:p q, q r, p s, s结论: r p q 直接证明法 证明①p s 前提引入 ②s 前提引入 ③p ①②拒取式 ④p q 前提引入 ⑤q③④析取三段论 ⑥q r 前提引入 ⑦r⑤⑥假言推理 ⑧r p q⑦④合取推理正确r p q是有效结论 构造推理的证明: 若明天是星期一或星期三, 我就有 课. 若有课, 今天必需备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天 不是星期一和星期三. 解设p:明天是星期一, q:明天是星期三， r:我有课，s:我备课 前提: (p q)r, r s, s 结论: p q 前提: (p q)r, r s, s 结论: p q 证明 ②s前提引入 ③r①②拒取式 ④(p q)r前提引入 ⑤(p q) ③④拒取式 ⑥p q⑤置换 结论有效, 即明天不是星期一和星期三 例4前提: p q, q r, r s结论: p s 证明①p 附加前提引入 ②p q 前提引入 ③q①②析取三段论 ④q r 前提引入 ⑤r③④析取三段论 ⑥r s 前提引入 ⑦s⑤⑥假言推理 推理正确p s是有效结论 例5前提: (p q)r, r s, s, p结论: q 证明用归缪法 ①q结论否定引入 ②r s前提引入 ④r②③拒取式 ⑤(p q)r前提引入 ⑥(p q) ④⑤析取三段论 ⑦p q⑥置换 ⑧p①⑦析取三段论 ⑨p前提引入 ⑩p p⑧⑨合取 推理正确q是有效结论 例6前提: p q r, r s, s结论: pù?q 归结证明法 解p q r p q r p q r p r)q r r s r s ?pù?q p q 把推理的前提改写成 前提p r q r r s s,p q (结论均为0, 不必写出) 前提p r q r r s s ,p q 证明①p r 前提引入 ②p q 前提引入 ③q r ①②归结 ④q r 前提引入 ⑤r③④归结 ⑥r s前提引入 ⑦s⑤⑥归结 ⑧?s前提引入 ⑨0 ⑦⑧合取 第三章 将下述命题用0元谓词符号化, 并讨论它们的真值: (1) 根2是无理数, 而根3是有理数 (2) 如果2>3，则3<4 解(1) 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 真值为0 (2) 设F(x,y): x>y, G(x,y): x 符号化为F(2,3)?G(3,4) 真值为1 例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化: (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 个体域分别取(a) 人类集合, (b) 全总个体域 . 解: (a) (1) 设F(x): x爱美, 符号化为"x F(x) (2) 设G(x): x用左手写字, 符号化为$x G(x) (b) 设M(x): x为人，F(x), G(x)同(a)中 (1) "x (M(x)?F(x)) (2) $ x (M(x)ùG(x)) 例4 将下列命题符号化, 并讨论其真值: (1) 对任意的x, 均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) (2) 存在x, 使得x+5=3 分别取(a) 个体域D1=N, (b) 个体域D2=R 解记F(x): x2-3x+2=(x-1)(x-2), G(x): x+5=3 (a) (1) "x F(x) 真值为1 (2) $x G(x) 真值为0 (b) (1) "x F(x) 真值为1 (2) $x G(x) 真值为1 例5 将下面命题符号化: (1) 兔子比乌龟跑得快 (2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快 (3) 并不是所有的兔子都比乌龟跑得快 (4) 不存在跑得一样快的兔子和乌龟 解用全总个体域，令F(x): x是兔子, G(y): y是乌龟, H(x,y): x比y跑得快, L(x,y): x和y跑得一样快 (1) "x"y(F(x)ùG(y)?H(x,y)) (2) $x(F(x)ù("y (G(y)?H(x,y))) (3) ? "x"y(F(x)ùG(y)?H(x,y)) (4) ? $x$y(F(x)ùG(y)ùL(x,y)) 例6 公式"x(F(x,y)?$yG(x,y,z)) "x的辖域:(F(x,y)?$yG(x,y,z))，指导变元为x $y的辖域:G(x,y,z)，指导变元为y x的两次出现均为约束出现 y的第一次出现为自由出现, 第二次出现为约束出现 z为自由出现. 例7 公式"x(F(x)?$xG(x)) "x的辖域:(F(x)?$xG(x))，指导变元为x $x的辖域:G(x)，指导变元为x x的两次出现均为约束出现. 但是, 第一次出现的x是"x中的x,第二次出现的x是$x中的x. 例1 消去公式中既约束出现、又自由出现的个体变项 (1) "xF(x,y,z) ? $yG(x,y,z) ? "uF(u,y,z) ? $yG(x,y,z) 换名规则 ? "uF(u,y,z) ? $vG(x,v,z) 换名规则 (2) "x(F(x,y) ? $yG(x,y,z)) ? "x(F(x,y) ? $tG(x,t,z)) 换名规则 例2 设个体域D={a,b,c}, 消去下面公式中的量词: (1) "x(F(x)?G(x)) ? (F(a)?G(a))ù(F(b)?G(b))ù(F(c)?G(c)) (2) "x(F(x)ú$yG(y)) ? "xF(x)ú$yG(y) 量词辖域收缩?(F(a)ùF(b)ùF(c))ú(G(a)úG(b)úG(c)) (3) $x"yF(x,y) ? $x(F(x,a)ùF(x,b)ùF(x,c)) ? (F(a,a)ùF(a,b)ùF(a,c))ú(F(b,a)ùF(b,b)ùF(b,c)) ú(F(c,a)ùF(c,b)ùF(c,c)) 例4 证明下列等值式: ? $x(M(x)ùF(x)) ? "x(M(x)??F(x)) 证左边? "x ?(M(x)ùF(x)) 量词否定等值式 ? "x(?M(x)ú?F(x)) ? "x(M(x)??F(x)) 例5 求公式的前束式 (1) "xF(x)ù?$xG(x) 解1 ? "xF(x)ù"x?G(x) 量词否定等值式 ? "x(F(x)ù?G(x)) 量词分配等值式 解2 ? "xF(x)ù?$yG(y) 换名规则 ? "xF(x)ù"y?G(y) 量词否定等值式 ? "x(F(x)ù"y?G(y)) 量词辖域扩 ? "x"y(F(x)ù?G(y)) 量词辖域扩 第四章 笛卡儿积 A={0, 1}, B={a, b, c} A′B={<0,a>,<0,b>,<0,c>,<1,a>,<1,b>,<1,c>} B′A ={ (1) R={ ={<0,0>, <0,1>, <0,2>, <1,0>, <1,1>, <2,0>} (2) C={