第三章分子对称性和点群

,....,
Cnn
?
I
2. Sn 点群 (n为偶数)
S
n
,
S2n
,
S3n
,....,
S
n n
?
I
S2 ? i
3. Cnv 点群 有一个 Cn 轴和 n 个包含该轴的对称面 ? v
C?
v
4. Dn点群 有一个 C n 轴和n 个垂直于该轴的 C2轴. (暂没有实例）
5. Cnh 点群 有一个Cn轴和一个垂直于该轴的对称? h.
? 定义: 群 G 是一个不同元素的集合{A,B,…,R,…}, 对于一定的乘法 规则, 满足以下四个条件:
? 1) 封闭性 群中任意两个元素 R和 S的乘积等于集合中另一个元素, T=RS
? 2) 结合律 A(BC)=(AB)C ? 3) 有唯一的恒等元素 E, 使得对任意群元素 R, 有 RE=ER=R ? 4) 每个元素 R 必有逆元素 R-1, 使得 RR -1 =R-1 R=E
所以 D3 的共轭类为: {e}, {d,f}, {a,b,c}
3.3 点群
? 分子的所有对称元素构成分子的点群 . 这些对称元素至少保持空间中的一点 (分子质心)不变, 从而成为点群.
? 如H2O的所有对称元素为: I, C2 ,? v (xz),? v (yz)
1. Cn点群
C
n
,
C
2 n
,
C3n
个C2轴的对称面
3.1.3. 对称中心, i (反演)
i2 = I
3.1.4 n 重旋转反映轴, Sn
Sn = ? h? Cn
Sn = ? h? Cn 由于S1 = ? h? C1 = ? , S2 = ? h? C2 = i 所以S1 和S2无意义.
3.1.5 恒等元素, E 或 I
?所有分子都具有恒等元素 E (有时也写为 I ). ?是保持群论规则必需的元素 .
6. Dnd 点群
有一个Cn轴,一个S2n轴, n个垂直于该轴 的C2轴, n个平分C2轴的对称面? d.
7. Dnh 群
有一个Cn轴, n个垂直于该轴的C2轴, 1
3.1.1 n重对称轴, C n (转动)
转角 2? / n
Cn ,Cn2 ,Cn3,...., Cnn ? I
I 为恒等操作
主轴: n 最大的轴。 产生 n-1 个转动。
3.1.2 对称面, ? (反映)
?2= I ? h : 垂直于主轴的对称面 ? v :包含主轴的对称面 ? d :包含主轴且平分两
3.1.6 元素的生成
（注意顺序）
? ?v = ? v? C2 , ? v 包含CH 2面, 而??v 包含CF 2面. 类似地, ? v = ??v ? C2 , C2 = ??v ? ? v 对Cn , 会产生(n-1)个对称操作. 如: C23 ? C3 ? C3
C6,C26 (? C3), C36(? C2 ), C64(? C32), C56 ? C-61
?性质: 1) 若 AB=AC 则 B=C
?
2) (AB) –1 =B –1 A –1
? 因为 (AB)(AB) –1 =ABB –1 A –1 =AA –1 =E
例1. 全部整数的集合, 乘法规则为代数加法 , 则构成 一个群.
恒等元素为 0. 数 n 的逆元素为 (-n). 封闭性和结合律是显然的 .
第三章 分子对称性和点群
分子具有某种对称性. 它对于理解和应用分子量 子态及相关光谱有极大帮助 .
确定光谱的选择定则需要用到对称性 . 标记分子的量子态需要用到对称性 .
3.1 对称元素
对称性是指分子具有两个或更多的在空间不可区分的图象 . 把等价原子进行交换的操作叫做 对称操作. 对称操作依赖的几何集合(点,线,面)叫做对称元素.
例2. 数的集合 {1, -1, i, -i},乘法规则为代数乘法, 则构成一个群.
恒等元素为1. 数 (-1) 的逆元素为(-1).数 (i) 的逆 元素为 (-i).
例3. 空间反演群 {E,i}, i为空间反演操作.
i2 = E
? 例4. D3={e,d,f,a,b,c}
e: 恒等操作 d: 绕z轴顺时针转动 120o f: 绕z轴顺时针转动 240o a: 绕a轴顺时针转动 180o b: 绕b轴顺时针转动 180o c: 绕c轴顺时针转动 180o
,
S
3 3
?
?
C 3 3
h3
?
?
hI
??h
S34
?
? h 4 C43
?
C43
?
C3
,S
5 3
?
?
5 h
C53
??
h C32 ,
S36
?
?
C 6 6
h3
?
I
当n为偶数时, 当n为奇数时,
Snn
?
?
h
nC
n n
?
I
S
n n
?
?
h
nC
n n
?
?
h,
S2nn
?
?
h 2nC2nn
?
I
3.2 群的定义和基本性质
元素的共轭类: 一组彼此共轭的所有元素集合称为群的 一个类.
f 类 = { x-1fx, x 取遍所有的群元素}
例. 求 D3 的所有共轭类 D3={e,d,f,a,b,c}
e 类: x-1ex =e
d 类: a -1da=ac=f
a 类: b -1ab=bd=c d -1 ad=fb=c c-1ac=cf=b
故 ad = b
D3群的乘法表
每一行和每一列都是所有群元素的重排 ad = b , da = c
例5. 求3阶群的乘法表. (错)
(?)
G={E,A,A2} (循环群)
? 群的阶: 有限群中群元素的个数 . 如 D3 群的阶为 6.
? 循环群: 整个群是由一个元素及其所有的幂产生 . ? 如: Cn , C2n , C3n ,...., Cnn ? E
?子群: 设 H 是群 G 的非空子集, 若对于群 G 的乘法规则,集 合 H 也满足群的四个条件,则称 H 是 G 的子群.
显然, 恒等元素 E 和群 G 自身是固有子群.
例. 在 D3={e,d,f,a,b,c} 中, 子集 {e,d,f}, {e,a}, {e,b}, {e,c都} 是子群.
共轭元素: B=X-1AX ( X,A,B都是群G的元素)
C
n-1 n
?
C
-1 n
Sn ? ? hCn , S2n ? ? hCn? hCn ? ? h 2C2n ? C2n
例: S4 ? ? h C4
S24
?
?
C 2 2
h4
?
C2
,
S34
?
?
C 3 3
h4
?
?
h C34
? S-41
来自百度文库
S44 ? ? h 4 C44 ? I
S3 ? ? h C3
S32 ? ? h 2 C23 ? C23