频率特性理解

频率特性的基本概念

大中小在稳定的线性系统（或线性环节）的输入端作用一个正弦信号，当系统相对稳定后，系统的稳态输出也必定是一个同频率的正弦信号。稳态输出与输入的振幅比值以及它们之间的相位差取决于系统本身的结构和输入信号的频率。这种现象在如图5-1所示的强迫振动实验中可以观察得到。

(图5-1)

图中的系统为稳定的线性定常系统。当输入信号R为

时，输出C在稳态时也为正弦信号

两者的频率相同，但振幅和相位角不同。当输入信号的频率改变时，输出信号的振幅和相位角会发生变化。

一、频率特性的数学本质

以上介绍的是频率响应特性（简称频率特性）的实验现象，下面我们将证明频率特性和传递函数之间的数学关系，以便可以很方便地由系统传递函数得到频率特性，反之也能够由频率特性得到传递函数。输出的拉普拉斯变换式为

设输入R(t)为正弦函数，表示为

由拉普拉斯变换表查得

故

部分分式中及B、D均为待定系数。

对于一个稳定的系统，由于特征方程的所有特征根均具有负实数部分，的第一个分量总是随着t的增长逐渐消失，系统最终将以

作稳态运动。上式恰恰是我们需要求解的，其中系数由上式得到

同理

将系数B、D代入，则

式中

Im为G(jω)的虚部，Re为G(jω)的实部。

而输出端响应的振幅和输入端的振荡之比为

输出端响应和输入端的相位差为

由此可见，作用有正弦输入时的稳定线性定常系统，输出响应具有与输入同一频率的正弦稳定信号。但是输出的振幅和相位角通常不等于输入量的振幅和相角，输出响应的振幅是输入量的倍，输

出响应和输入量相位差为。因此，系统的频率特性可以直接由G(jω)表示，系统的频率特性为

式中是ω的函数，称为幅频特性，也是频率特性的模；

是ω的函数，称为相频特性。

在上述数学推导中，我们可以清楚地看到

所以，在已知系统或环节的传递函数时，只要令，就可以很方便地得到系统或环节的频率特性。

为了进一步说明频率特性的意义，现以图5-2所示的R-C电路为例。

图5-2

频率特性可通过传递函数来求取，当电容两端电压uc为输出量，输入电压ui为输入量时，传递函数可用复阻抗串联的知识求取

式中 T=RC

频率特性只要将S以jω代替，频率特性为

幅频特性（模）为

相频特性（幅角）为

当ui以低频信号输入时（）

；

这表明，当输入正弦电压ui的频率很低，则输出电压uc的振幅与的振幅几乎相等，相位近似同相。

从电路上分析，由于T=RC，所以即等于，这说明此时电路中的容抗远大于阻抗，电流上电阻上的压降极小，信号uI几乎无衰减地全部输出，振幅、相位无明显变化。

当uI以高频信号输入时（）

；

这表明，当输入正弦电压ui的频率很高，则输出电压的振幅只有输入电压振幅的倍，相位几乎滞后

900。从电路上分析，由于，电阻几乎等于电路的全部阻抗，因此在电容两端压降很小，输出电压的振幅自然很小，输出电压的相位也比输入电压滞后900。

根据这种R-C电路对高、低频率不同输入信号的特性，我们也称图5-2的电路为“低通滤波器”。

二、频率特性的表示方法

频率特性有多种表示方法，每一种方法各有其用途，我们将介绍常见的几种。

1、幅频特性和相频特性

由于频率特性，是频率特性的幅值，它表示输出量与输入量的振幅比。如果把这个函数关系用频率为横坐标，以为纵坐标的平面表示，所得的图形称为幅频特性曲线。同样，是频率特性的相角，它表示输出量与输入量的相位差。如果把这个函数关系用频率

ω为横坐标，以θ（ω）为纵坐标的平面表示，所得的图形称为相频特性曲线。通过这些曲线可查得不同频率ω下的幅值M（ω）和相对应的相角θ（ω）的数值。具体的特性曲线在下一节给出。

2、幅相频率特性

若以极坐标形式把幅频特性和相频特性结合画在同一平面坐标内，以频率ω为参变量，就得到幅相频率特性曲线。如图5-3所示。实际上频率特性G(jω)本身就是一个复数，可以在复平面上用向量表示出来。当ω从零增加到无穷大时，向量G(jω)的端点随着移动，G(jω)的端点轨迹就称之为幅相频率

特性曲线。幅相频率特性应用的非常广泛，在采用频率特性理论判别系统稳定性时会使用它。

图5-3

3、实频特性和虚频特性

实频特性Re(ω)是幅相频率特性G(jω)的实部，对于确定的频率ω，它的值是向量G(jω)在复平面实轴上的投影。虚频特性Im(ω)是幅相频率特性G(jω)的虚部，对于确定的频率ω，它的值是向量G(jω)在复平面虚轴上的投影。

由此可见，实频特性是频率ω的偶函数，虚频特性是频率ω的奇函数。