工程电磁场与电磁波 丁君版 答案第四章习题答案

第四章 习题

4-1解：选柱坐标系，在所求无源区内电位函数满足：

02=∇φ

φ只和r 相关

0=∂∂ϕ

φ

0=∂∂z φ 方程化为 0)(1=∂∂∂∂r

r r r φ

21ln C r C +=φ 为常数21,C C 由 006.0==φ时r 501.0-==φ时　r

得 88.27588

.9721=-=C C

88.275ln 88.97+-=r φ

r a r

E ˆ1

88.97=-∇=φ

4—2：解：

图一

根据边界条件：⎪⎩⎪⎨

⎧====0

2

1R R R R U φ

φ

０

可得：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

--=-=０

０U

R R R B U R R R R A 1211

221 ∴()1

20112021R R U R R R R U R R ---=φ

(2) ()R R a R

R R U R R a R E ˆ1

ˆ212021⋅-=∂∂-

=-∇=φφ (1) 如图一，根据题意可知：电位函数φ满足拉普拉斯方

程。采用球坐标系：

2=∇φ0=∂∂θφ0=∂∂ϕ

φ

R 相关　只于　φ，方程化为:

0)(122=∂∂∂∂R R R R φ

φ

积分得：B R

A +⋅=1

φ

(3) ()

R R R a

R R R U R E D ˆ1210

2001

-⋅

===εε

内表 S S d D s S

ρ=⋅⎰

内表

S S D s ρ=内表 ∴)

(1210

2R R R U R D s -=

=ερ内表

4—3：解：选择直角坐标如图，由恒定电场的泊松方程可得：

x

y

设两板间距离为d,代入边界条件

⎪⎩⎪⎨⎧====000U d

z z φ

φ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+

=

=⇒ερερ220

02012d d U d d U C C ∴)

2()2(2002ε

ρερ

φε

ρερφd d U z E z

d

d U z +-=-∇=++-=

4—4：解：选择柱坐标系，根据恒定电磁场的拉普拉斯方程，

(1) 02

=∇m φ，m φ只在ϕ方向上有变化，

所以：B A r m m

+==∂∂ϕφϕφ:,012

22积分得 由 0=ϕ时：0,0==B m 得φ ∴ϕφA m =

l m m a dl

d H

φφ-=-∇=

l d H d m

⋅-=φ

⎰⎰-=⋅-=π

π

φ20

20

I l d H d m

0,0,2=∂∂=∂∂-

=∇x

y φφερφ 方程可化为：

,2

2ερφ-=∂∂z

212

2:C z C z ++-

=ε

ρφ积分得

B A I m m

+=-==ϕφφπ

ϕ代入,2

π2⋅=-A I π2I A -

= ϕπ

φ2I

m -

= (2) ϕϕπϕφφφa r

I a d d r a dl d H m l m m

21==-=-∇=

可见，利用拉普拉斯方程与安培环路定理求出来的结果一样。

4-5解：选择柱坐标系，设电流为z a

ˆ方向

C J A

02

μ-=∇

z C C a

J J ˆ

= )

(2

1220

2R R I

A z --=∇πμ 由

B A =⨯∇而B

只有ϕa

ˆ方向的分量 故z A 只和r 相关

00=∂∂=∂∂z

A A z

z

ϕ )

()(12

1220

R R I

r A r r r z --=∂∂∂∂πμ 2121

22

2

0ln )

(4C r C R R r I A z ++--=πμ

z a

C r C R R r I A ˆ)ln )

(4(2121

22

2

0++--

=πμ

由A

的连续性：

（1）a. 1R r <的无源区中 0

==A m

φ

b. 21R r R <<时，所求区域为有源区

≠C J 0 故m φ无意义

01

1

=∂∂===R r z

R r z

r

A A

1

212

22

1

0212

221

02212

22

101ln )

(2)

(4)

(2R R R IR R R IR C R R IR C --

-=

-=πμπμπμ

c.

2R r >时 02=∇m φ

由H m

=∇-φ可知m φ只与ϕ相关

012

22=∂∂ϕφm

r 21C C m +=ϕφ

0=ϕ时 0=m φ故02=C

πϕ2=时 I m -=φ π

21I C -= ϕπ

φ2I m -

= 02

=∇A

A

只有z a

ˆ方向分量，只和r 相关 0)(1=∂∂∂∂r

A r r r z '2

'1ln C r C A z += z a C r C A ˆ)ln ('

2'1+= 由A 得连续性，从21R r R <<区域A

可得

12

1222

1021222102212221021222

20ln )

(2)(4ln )(2)(42R R R IR R R IR R R R IR R R IR A R r z ---+-+--==πμπμπμπμ )ln (ln )

(2412212

22

100R R R R IR --+-=πμπμ )()(21

)(2)(222

212

1220221222102122202R R R R R I R R R IR R R IR r

A R r z

--=-+--=∂∂=πμπμπμ 所以 π

μ20'

1I

C -

= 20122

12221001

'2

ln 2)ln (ln )(24R I

R R R R IR C π

μπμπμ+--+-= 2）1R r <时00

==B H