2019年福建省高三毕业班质量检查测试文科综合试题(图片版)
福建普通高中毕业班2019年高三4月质量检查数学(文)试题
福建普通高中毕业班2019年高三4月质量检查数学（文）试题文 科 数 学一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、1、全集U =R ，集合{}31|<≤-=x x A ，{}0,2,4,6B =，那么A B ⋂等于A 、{}0,2 B 、{}1,0,2- C 、{}|02x x ≤≤ D 、{}|12x x -≤≤2、执行如下图的程序框图，假设输入的x 的值为3，那么输出的y 的值为 A 、4 B 、5 C 、8 D 、103、某几何体的俯视图是正方形，那么该几何体不可能是 A 、圆柱 B 、圆锥 C 、三棱柱 D 、四棱柱4、函数()f x =的定义域是 A 、()0,2 B 、[]0,2 C 、()()0,11,2⋃ D 、[)(]0,11,2⋃5、“1a =”是“方程22220x y x y a +-++=表示圆”的 A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 6、向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n()3,n n N ≥∈边形内的概率为n P ，以下论断正确的选项是A 、随着n 的增大，n P 减小 B 、随着n 的增大，n P 增大C 、随着n 的增大，n P 先增大后减小D 、随着n 的增大，n P 先减小后增大7、0ω>，2π<ϕ，函数()sin()f x x =+ωϕ的部分图象如下图、为了得到函数()sin g x x =ω的图象，只要将()f x 的图象A 、向右平移4π个单位长度B 、向右平移8π个单位长度C 、向左平移4π个单位长度D 、向左平移8π个单位长度8、)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在),0[+∞单调递增，假设(lg )0f x <，那么x 的取值范围是A 、(0,1)B 、(1,10)C 、(1,)+∞D 、(10,)+∞9、假设直线ax by ab +=〔0,0a b >>〕过点()1,1，那么该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为A 、 1B 、2C 、4D 、 810、假设ABC ∆满足2A π∠=，2AB =，那么以下三个式子：①AB AC ，②BA BC ，③CA CB 中为定值的式子的个数为A 、0B 、1C 、2D 、311、双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>l ，抛物线2C ：24y x =的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线2C 异于原点的交点，那么PF =A 、2B 、 3C 、4D 、5A 、假设()f x 是奇函数，那么()g x 必是偶函数B 、假设()f x 是偶函数，那么()g x 必是奇函数C 、假设()f x 是周期函数，那么()g x 必是周期函数D 、假设()f x 是单调函数，那么()g x 必是单调函数第二卷〔非选择题 共90分〕【二】填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分、把答案填在答题卡相应位置、13、复数()1i i +=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、14、1sin 3α=，那么cos 2α=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、15、y x ,满足4000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，那么2z x y =-的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、16、在平面直角坐标系xOy 中， Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ OP a =+，那么称a 为平面点集Ω的一个向量周期、现有以下四个命题：①假设平面点集Ω存在向量周期a ，那么ka(),0k k ∈≠Z 也是Ω的向量周期；②假设平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，那么Ω不存在向量周期；③假设平面点集(){},0,0x y x y Ω=>>，那么()1,2b =为Ω的一个向量周期；④假设平面点集()[][]{},0x y y x Ω=-=〔[]m 表示不大于m 的最大整数〕，那么()1,1c =为Ω的一个向量周期、其中真命题是＿＿＿＿〔写出所有真命题的序号〕、【三】解答题：本大题共6小题，共74分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、17、（本小题总分值12分）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，432a a =，26S =。
福建省泉州市2019届普通高中毕业班第一次(2月)质量检查文科数学试题(精品解析)
福建省泉州市2019届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2n-1，n∈A}，则A∪B中元素的个数为（）A.1B.3C.4D.52.记等差数列{an}的前n项和为S n，若S4=24，a1+a3=10，则a7=（）A. B. C.15 D.183.“微信”和“QQ”是腾讯社交体系中的两款产品，小明为了解不同群体对这两款产品的首选情况，统计了周围老师和同学关于首选“微信”或“QQ”的比例，得到如图等高条形图．根据等高条形图中的信息，可判断下列说法正确的是（）A. B. C.0 D.27.执行如图所示的程序框图，若输出S=，则判断框内可以填入（）A.B.C.D.A.对老师而言，更倾向于首选“微信”B.对学生而言，更倾向于首选“QQ”C.首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多D.如果首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多，则小明统计的老师人数一定比学生多4.若向量=（，），=（-1，0），则∠BAC=（）A. B. C. D.5.已知双曲线C：-y2=1（a＞0）的渐近线方程为y=x，则C的焦距为（）A.2B.C.D.66.若x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值为（）8.已知正三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，BC=3．若球心O在三棱锥的高AQ的三等分点处，则球O的半径为（）A. B.2 C.3 D.49.若直线y=kx-1为函数f（x）=ln x-a的图象的一条切线，则k+a的最小值为（）A. B. C.1 D.210.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为S n，若a1=2，=2•-1，则S10=（）A.1022B.1024C.2046D.204811.田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜．该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三个数为a=cosθ，b=sinθ+cosθ，c=cosθ-sinθ，对方的三个数以及排序如表：第一局第二局第三局对方tanθsinθ当0＜θ＜时，则我方必胜的排序是（）ffA. a ，b ，cB. b ，c ，aC. c ，a ，bD. c ，b ，a12. 在直角坐标系 xOy 中，点 F 是抛物线 C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点，过 C 上的点 A 作准线 l 的垂线交 l 于 B ，过 A作 FB 的垂线交 FB 于 D ，若|OD |=p ，则直线 AF 的斜率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知复数 z =i 2019•（1-i ），则|z |=______．，14. 设函数 f （x ）=，则满足 f （x ）＜1 的 x 的取值范围是______．， ＜19. 在直角坐标系 xOy 中，圆 O ：x 2+y 2=4 与 y 轴正、负半轴分别交于点 A ，B ．椭圆 Γ 以 AB 为短轴，且离心率为 ．（1）求 Γ 的方程；（2）过点 A 的直线 l 分别与圆 O ，曲线 Γ 交于点 M ，N （异于点 A ）．直线 BM ，BN 分别与 x 轴交于点 C ，D ．若15. 在长方体 ABCD -AB 1C 1D 1 中，AB =2BC =2，直线 DC 1 与平面 ABCD 所成的角为 45°，则异面直线 AD 1 与 DC 1|NC |=|ND |，求 l 的方程．所成角的余弦值为______．， ＜16. 已知函数 （x ）=，＜ ，若函数 g （x ）= （x ）-2 的所有零点之和为 3，则 a 的取值范围为______．，三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 b =5，（a +b ）sin A =2b sin （A +C ）．（1）证明：△ABC 为等腰三角形； （2）点 D 在边 AB 上，AD =2BD ，CD =，求 AB ．20. 鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户．当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．小张把去年年底采购鱼卷的数量 x （单位：箱）在[100，200）的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成如表：采购数 x （单位：[100，120）箱）客户数10[120，140） [140，160） [160，180） [180，200）10 5 20 518. 如图，在四棱锥 P -ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，P A =PD =，PB =PC =．（1）证明：平面 P AD ⊥平面 ABCD ；（2）若点 E 为线段 P A 的中点，求 E 到平面 PBC 的距离．（1）根据表中的数据，在答题卡上补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在168 箱以上（含 168箱）的“熟客”人数；（2）若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的 ，估算小张去年年底总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元（2≤m≤5）销售量可增加100m箱，求小张在今年年底收入Y（单位：元）的最大值．第2页，共9页23.已知函数f（x）=|x-1|+|x-3|．（1）求f（x）＞3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）的解集非空，求m的取值范围．21.已知函数f（x）=a2x2-ax-ln x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个大于1的零点，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l：y=kx的倾斜角为α，曲线C：（x-1）2+（y-1）2=8．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l和C的极坐标方程；（2）若l与C交于A，B两点，求||AO|-|BO||的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={0，1，2}，B={-1，1，3}；∴A∪B={-1，0，1，2，3}；∴A∪B中元素的个数为5．故选：D．可求出集合B，然后进行并集的运算可求出A∪B，从而得出A∪B中元素的个数．考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，以及并集的运算．2.【答案】C【解析】解：由S=24，a+a=10可得，解得d=2，a=3，4131∴a=a+6d=3+12=15，71故选：C．由题意可得可得，解得d=2，a=3，再根据通项公式即可求出．1本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：①对老师群体而言，首选“微信”与首选“QQ”的比例为：9：1，故对老师而言，更倾向于首选“微信”，即A正确，②对学生群体而言，首选“微信”与首选“QQ”的比例为：3：2，故对学生而言，更倾向于首选“微信”，即B错误，③由于老师群体与学生群体人数不定，即首选“微信”的老师比首选“微信”的同学无法比较，即C 错误，④设老师群体x人，学生群体y人，则有0.9x＞0.6y，即3x＞2y，则小明统计的老师人数不一定比学生多，即D错误，解：由z=x-2y得y=x-，作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图（阴影部综合①②③④得：A正确，故选：A．先识图再结合图象进行简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了识图能力及结合图象进行简单的合情推理，属简单题．4.【答案】B【解析】分ABC）：平移直线y=x-，由图象可知当直线y=x-，过点A时，直线y=x-的截距最大，此时z最小，解：；，解得A（1，2）代入目标函数z=x-2y，∴，且；得z=1-2×2=-3，∴目标函数z=x-2y的最小值是-3．∴=；故选：A．又0°≤∠BAC≤180°；∴∠BAC=60°．故选：B．根据条件可求出，从而可求出，并且可求出，从而可求出作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．7.【答案】A【解析】，从而可得出∠BAC=60°．考查向量坐标的加法和数量积运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式．解：模拟程序的运行，可得S=2，i=1此时，由题意应该满足判断框内的条件，执行循环体，S=-3，i=25.【答案】C【解析】解：双曲线C：-y2=1（a＞0）的渐近线方程为y=满足判断框内的条件，执行循环体，S=-，i=3 x，满足判断框内的条件，执行循环体，S=，i=4可得a=2，b=1，则c=．此时，由题意，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为．所以C的焦距为：2．故选：C．利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的焦距．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.【答案】A【解析】可得判断框内的条件为：i＜4？故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．第4页，共9页8.【答案】B【解析】解：如图，设OQ=x，x＞0，则OA=OB=2x，在底面正三角形BCD中，求得BQ=，在直角三角形BQO中，4x2-x2=3，得x=1，∴球O的半径为2，故选：B．利用球心O为三等分点设未知数，在直角三角形BQO中列方程求解，可得半径．此题考查了三棱锥外接球，难度较小．9.【答案】C【解析】解：设切点为（m，n），函数f（x）=lnx-a的导数为f′（x）=，则切线的斜率为k=（m＞0），lnm-a=km-1，解得a=lnm，则k+a=lnm+，设g（m）=lnm+，g′（m）=-=，当m＞1时，g（m）递增；当0＜m＜1时，g（m）递减．则g（1）取得极小值，且为最小值0+1=1．故选：C．设切点为（m，n），求出f（x）的导数，可得切线的斜率，求得k+b=lnm+，设g（m）=lnm+，求得导数，以及单调区间，可得极值和最值．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：各项均为正数的数列{a}的前n项和为S，n n由于a=2，=2•-1，1则：，整理得：（S-a）（S+2a）=0．n n+1n n+1数列{a}的各项均为正数，n故：S+2a＞0，n n+1所以：S=a，n n+1整理得：，所以：，则：数列{S}是以S=a=2为首项，2为公比的等比数列．n11所以：，所以：．故选：B．首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．11.【答案】D【解析】解：因为当0＜θ＜时，cosθ-sinθ＜cosθ＜sinθ＜θ+cosθ，sinθ，由“田忌赛马”事例可得：我方必胜的排序是c，b，a，故选：D．由三角函数值得大小的比较得：当0＜θ＜时，cosθ-sinθ＜cosθ＜sinθ＜θ+cosθ，sinθ，结合“田忌赛马”事例进行简单的合情推理得：我方必胜的排序是c，b，a，得解．本题考查了三角函数值得大小的比较及进行简单的合情推理，属中档题．12.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点坐标为F（0，），准线方程为y=-，设A（a，），则B（a，-），解：当x≥1时，不等式f（x）＜1化为log x＜1，解得1≤x＜2；2当x＜1时，不等式f（x）＜1化为＜1，此时不等式恒成立，即x＜1；则BF的斜率k==，综上所述，满足f（x）＜1的x的取值范围是x＜2．故答案为：x＜2．∵AD⊥BF，∴AD的斜率k=，讨论x≥1和x＜1时，不等式f（x）＜1的解集是什么，从而求出f（x）＜1的x的取值范围．本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．则BF的方程为y-=x，即y=-x+，①AD的方程为：y-即y=x-，②=（x-a），15.【答案】【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立空1由①②得，即D（，0），间直角坐标系，∵|OD|=p，∴||=p，即a=±2p，则y=即A（±2p，2p），则直线AF的斜率为=2p，==±，∵在长方体ABCD-A B C D中，AB=2BC=2，111直线DC与平面ABCD所成的角为45°，1故选：B．求出抛物线的焦点坐标，准线方程，设A的坐标，求出直线BF，AD的方程，联立方程组求出D的坐标即可得到结论．本题主要考查直线斜率的计算，结合抛物线的定义，设出点到坐标和直线方程，根据直线垂直以及斜率公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．∴∠C DC=45°，∴DC=CC=2，11∴A（1，0，0），D（0，0，2），D（0，0，0），1C（0，2，2），1=（-1，0，2），=（0，2，2），13.【答案】【解析】设异面直线AD与DC所成角为θ，11解：z=i2019•（1-i）=i504×3+3•（1-i）=i3•（1-i）=-i•（1-i）=-i-1，则cosθ=|cos＜＞|==则|z|==，故答案为：．=．根据复数的运算法则以及复数的模长公式进行计算即可．本题主要考查复数的模长计算，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．14.【答案】x＜2【解析】∴异面直线AD与DC所成角的余弦值为．11以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AD与DC所成角的余弦值．11本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．第6页，共9页1又△S APC，∴16.【答案】（，）【解析】解：原问题等价于函数f（x）与函数y=2交点的横坐标之和为3，绘制函数在区间（-∞，1）上的图象如图所示，则当1≤x＜2时，函数与y=2存在两个交点，当x≥2时，函数图象与y=2不存在交点，由于函数关系式f（x）=af（x-1）的效果为将函数图象伸缩变换之后再进行平移，结合函数在区间[0，）上的函数图象可知：，求解不等式组可得实数a的取值范围为：．故答案为：．∴=-，解得：x=2，∴AB=6．…12分【解析】（1）由正弦定理化简已知整理可得（a+2b）（a-b）=0，由a+2b＞0，可求a=b，即可得证．（2）设BD=x，则AD=2x，由余弦定理可得：=-，解得x的值，即可解得AB的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（1）取AD中点F，连结PF，CF，∵底面ABCD是边长为2的正方形，∴DF=1，CF=，∵PC=，∴PF2+CF2=PC2，∴PF⊥CF，∵PA=PD=，∴PF⊥AD，∵AD∩CF=F，∴PF⊥平面ABCD，∵PF⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．解：（2）∵底面ABCD是边长为2的正方形，∴AB⊥AD，AB=2，∵PA=，PB=，∴PA2+AB2=PB2，∴AB⊥PA，=2△=，在△PBC中，BC=2，PB=PC=，∴△，记点A到平面PBC的距离为d，∴△d=，解得d=，由题意结合函数的解析式和函数图象确定实数a的取值范围即可．本题主要考查分段函数的性质，函数图象的伸缩变换，函数图象的平移变换等知识，属于中等题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵（a+b）sin A=2b sin（A+C）=2b sin B，…1分∵点E为线段PA的中点，∴点E到平面PBC的距离为．【解析】（1）取AD中点F，连结PF，CF，推导出PF⊥CF，PF⊥AD，从而PF⊥平面ABCD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．∴由正弦定理∵a+2b＞0，，可得：a（a+b）=2b2，整理可得（a+2b）（a-b）=0，（2）推导出AB⊥AD，AB=2，AB⊥PA，从而=，再求出，记∴a=△b，ABC为等腰三角形，得证…6分（2）设BD=x，则AD=2x，由余弦定理可得：cos∠CDA=，cos∠CDB=，…10分∵∠CDA=π-∠CDB，点A到平面PBC的距离为d，由d=，得d=，由此能求出点E到平面PBC的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）设椭圆方程为 + =1（a ＞b ＞0），圆 O ：x 2+y 2=4 与 y 轴正、负半轴分别交于点 A （0，2），B （0，-2），由题意可得 b =2，e = = ，a 2-b 2=c 2，解得 a =4，则椭圆方程为 + =1；（2）A （0，2），B （0，-2），设直线 l ：y =kx +2（k ≠0），联立椭圆 x 2+4y 2=16，可得（1+4k 2）x 2+16kx =0， 若网上出售鱼卷，则今年的年底的销售量为 12000+1000m （箱），每箱的利润为 20-m （元），则今年的年底小张的收入为 Y =（20-m ）（12000+1000m ） =1000（-m 2+8m +240）=1000[-（m -4）2+256]=256000（元）， ∵256000＞240000，∴小张在今年年底收入 Y （单位：元）的最大值为 256000（元）【解析】设 N （x 1，y 1），可得 x 1=- ，y 1=， （1）根据统计表和直方图即可求出，（2）根据统计表和直方图即可求出，由题意可得 AM ⊥BM ，k BM =- ，则直线 BM 的方程为 y =- x -2，可得 C （-2k ，0），若|NC |=|ND |，可得 k ND =-k NB ， （3）没有在网上出售鱼卷，则今年的年底小张的收入为 12000×20=240000（元），若网上出售鱼卷，则今年的年底的销售量为 12000+1000m ，即可求出 Y 的最大值，比较即可本题考查了频率分布直方图的计算问题，是基础题．21.【答案】解：（1）f （x ）的定义域是（0，+∞），即为=- ，解得 k =± ，f ′（x ）=2a 2x -a - =，存在直线 l ：y =±x +2，使得|NC |=|ND |．【解析】（1）设椭圆方程为+ =1（a ＞b ＞0），求得 A ，B 的坐标，结合离心率公式和 a ，b ，c 的关系，可得 a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）设直线 l ：y=kx+2（k≠0），联立椭圆方程求得 N 的坐标，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得直线 MB 的方程，求得 C 的坐标，再由|NC|=|ND|，可得 k =-k ，运用两点的斜率公式，解方程NDNB可得 k ，进而得到所求直线 l 的方程．本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和 a ，b ，c 的关系，考查直线和椭圆方程联立，求交 点，考查直线的斜率公式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）由表一数据，补出值如图如右：根据上图，可知采购量在 168 以上的客户端数量为：20×20×（0.005+0.020×）=17 人，（2）由图一可知，去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为： 110×10+120×10+150×5+17-×20+190×5=7500（箱），∴小张去年年底总的销售量为 7500÷ =12000（箱）．（i ）当 a =0 时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，+∞）递减，（ii ）当 a ＞0 时，令 f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜ ，令 f ′（x ）＞0，解得：x ＞ ，故 f （x ）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增；（iii ）当 a ＜0 时，令 f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜- ，令 f ′（x ）＞0，解得：x ＞- ，故 f （x ）在（0，- ）递减，在（- ，+∞）递增；（2）由（1）可得若函数 f （x ）有 2 个大于 1 的零点，则 a ≠0，＞（i ）当 a ＞0 时，需 ＜ ，无解，＞＞（ii ）当 a ＜0 时，需 ＜ ，解得：- ＜a ＜0，＞（3）若没有在网上出售鱼卷，则今年的年底小张的收入为 12000×20=240000（元），且当-第 8 页，共 9 页＜a＜0时，f（x）在（1，-）递减，f（1）f（-）＜0，转换为极坐标方程为：ρ-2ρcosθ-2ρsinθ-6=0．故f（x）在（1，-）有1个零点，∵f（）=--ln＞-ln，下面证明x-ln x＞0，令g（x）=x-ln x，g′（x）=1-=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数递减，当x＞1时，g′（x）＞0，函数递增，故g（x）≥g（1）=1-ln1＞0，即x-ln x＞0，故f（）＞-ln＞0，f（-）f（）＜0，又f（x）在（-，+∞）递增，故f（x）在（-，+∞）有1个零点，综上，a的范围是（-，0）．【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，结合函数的零点的个数及其范围得到关于a的不等式组，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）直线l：y=kx的倾斜角为α，转换为极坐标方程为：θ=α．曲线C：（x-1）2+（y-1）2=8．2（2）若l与C交于A（ρ1，α），B（ρ2，α）两点，所以：ρ1+ρ2=2cosα+2sinα，ρ1•ρ2=-6，则：||AO|-|BO||=．【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系的应用和三角函数关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程组的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．，23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x-1|+|x-3|=，＜＜，，画出函数f（x）的图象如图所示；．当x≤1时，由4-2x＞3，解得x＜；当x≥3时，由2x-4＞3，解得x＞，所以不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜或x＞}；（2）若关于x的不等式f（x）的解集非空，等价于f（x）min≤，由（1）知，f（x）min=2，（或由|x-1|+|x-3|≥|（x-1）-（x-3）|=2当1≤x≤3时取“=”），所以原命题等价于≥2，当m＞0时，m2-3m-6≥2m，解得m≤-1或m≥6，即m≥6；当m＜0时，m2-3m-6≤2m，解得-1≤m≤6，-1≤m＜0；综上所述，m的取值范围是[-1，0）∪[6，+∞）．【解析】（1）去掉绝对值，利用分段函数画出f（x）的图象，利用分类讨论法求不等式f（x）＞3的解集；（2）关于x的不等式f（x）的解集非空，等价于f（x）≤，求出f（x），min min再分类讨论解不等式，即可求出m的取值范围．本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，是中档题．。
2019届福建省莆田市高中毕业班第二次质量检测(A卷)文科数学(附带详细解析)
……………………绝密★启用前2019届福建省莆田市高中毕业班第二次质量检测（A 卷)文科数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{|07}U x N x =∈<<，{2,5}A =，{}1,3,5B =，则()U A B =I ð（ ） A ．{5}B ．{}1,5C ．{2,5}D ．{}1,32．已知复数z 满足()11z i +=-，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -3．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合．若点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，则tan()4πα-=（ ）A ．-2B ．12-C ．12D ．24．如图是计算()11111223341n n ++++⨯⨯⨯+L 的程序框图，若输出的S 的值为99100，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．98?n >B ．99?n >C ．100?n >D ．101?n >5．已知两条平行直线1l 、2l 之间的距离为1，1l 与圆22:4C x y +=相切，2l 与C 相交于A 、B 两点，则AB =（ ）AB C ．D ．○…………○…………订……○…………线…………○※※请※※不※※※订※※线※※内※※答※※○…………○…………订……○…………线…………○6．函数()·ln xf x e x=的大致图象为（）A．B．C．D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．233π-B．133π-C．81633π-D．8833π-8．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．2π-B．4π-C．πD．π9．已知0a>且1a≠，函数32232,0()1,0xx x xf xa x⎧++≤=⎨+>⎩在[2,2]-上的最大值为3，则实数a的取值范围是（）A．(0,1)U B．C．(0,1))+∞U D．(0,1)U10．函数()cos(2)||f x xπϕϕ⎛⎫=+<⎪图象向右平移π个单位长度，所得图象关于原………○…………___________班级：__________………○…………点对称，则()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为( ) A ．,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有共同的焦点1F ，2F ，且在第一象限内相交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ．若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值是（ ）A ．12B ．2C D ．3212．如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，AB =2AD =，120ASB ∠=︒，SA AD ⊥，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．20πC ．80πD ．100π第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知向量()()()12113a b x c ===r r，，，，，，若()a b c +⊥r r r ，则x =______．14．若实数x ，y 满足约束条件02100y x y x y m ≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩且目标函数z x y =-的最大值为2，则…装…………○不※※要※※在※※装※※…装…………○15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c S 为ABC ∆的面积，()sin A C +=222Sb c-，且,,A B C 成等差数列，则C 的大小为______． 16．已知函数()(1)(0)xf x x a e x =-+>．若()0f x a +>，则a 的最大整数值为______．三、解答题17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21517a a +=，1055S =．数列{}n b 满足2log n n a b =.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +的前n 项和n T 满足3218n T S =+，求n 的值． 18．如图，在多面体111ABCC B A 中，四边形11BB C C 为矩形，AB BC ==1CC ⊥面ABC ，11//AA CC ，1122AA CC AC ===，E ，F 分别是11A C ，AC 的中点，G 是线段1BB 上的任一点．（1）求证：AC EG ⊥； （2）求三棱锥1F EAG -的体积． 19．随着新课程改革和高考综合改革的实施，高中教学以发展学生学科核心素养为导向，学习评价更关注学科核心素养的形成和发展．为此，我市于2018年举行第一届高中文科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估我市高中学生的文科素养，从所有参赛学生中随机抽取1000名学生的成绩（单位：分）作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．…线…………○………线…………○……（1）请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）采用分层抽样的方法从这1000名学生的成绩中抽取容量为40的样本，再从该样本成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有一名学生成绩不低于90分的概率；（3）我市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰，授予“文科素养优秀标兵”称号．一名学生本次竞赛成绩为79分，请你判断该学生能否被授予“文科素养优秀标兵”称号．20．已知(0,1)A -，B 是曲线2118y x =+上任意一点，动点P 满足0AP BP +=u u u v u u u v v . （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）过点(0,1)D 的直线交E 于M ，N 两点，过原点O 与点M 的直线交直线1y =-于点H ，求证：DN HN =. 21．已知函数1()ln a f x x x+=+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当01a ≤≤时，证明：()(sin 1)xf x a x >+．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ-=(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标. 23．已知函数f (x )=|2x −a |+a .(2)设函数g(x)=|2x−1|.若f(x)−g(x)≤3，求a的取值范围.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据集合补集交集的定义进行求解即可． 【详解】解：{|07}{1,2,3,4,5,6}U x N x =∈<<=， 则{1,3,4,6}U C A =， 则(){1,3}U C A B =I ， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键．比较基础． 2．C 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式先求出模长，再利用复数的除法可得. 【详解】由(1)|1|2z i +=-==，得z=2(1)1(1)(1)21i i i i i ==+-+--，∴1z i =+． 故选C ． 【点睛】本题主要考查复数的相关概念，模长求解，共轭复数以及复数运算等，题目虽小，知识点很是丰富. 3．B 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan α的值，再利用两角差的正切公式，求得tan()4πα-的值．【详解】解：∵点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，∴3tan 3aaα==， 则1tan 1tan()41tan 2πααα--==-+，故选B ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，属于基础题． 4．B 【解析】由于()1111111nk n k k n n ==-=+++∑，故99n =时要判断否，再循环一次，100n =时判断是，退出循环结构，故选B . 5．D 【解析】 【分析】根据题意，由直线与圆相切的性质可得圆心C 到直线1l 的距离为2，进而可得圆心C 到直线2l 的距离211d =-=，再利用勾股定理可求得AB ．【详解】根据题意，1l 与圆22:4C x y +=相切，则圆心C 到直线1l 的距离为2，又由两条平行直线1l 、2l 之间的距离为1，则圆心C 到直线2l 的距离211d =-=，因此，AB ===故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，考查计算能力，属于基础题． 6．A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln xf x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键 7．D 【解析】 【分析】根据三视图可知该几何体是14球挖去一个三棱锥，利用三视图中数据，分别求出14球与三棱锥的体积，从而可得结果． 【详解】根据三视图可知，该几何体是半径为2的14球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示： 则该几何体的体积为31411882422433233V ππ=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-,故选D ． 【点睛】本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，根据三视图的特征找出几何体结构特征是关键．解三视图相关问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体. 8．B【解析】 【分析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率. 【详解】设圆的半径为r ，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB 的面积为2222111sin 6236S r r r π=π-⋅⋅=π-弓形． ∴所求的概率为P=24S S 弓形圆222124644r r r πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭==- ． 故选B ． 【点睛】本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养. 9．A 【解析】 【分析】根据分段函数的表达式，分别求出函数递增[2,0]-和(0,2]上的最大值，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】解：当0x ≤时，32()232f x x x =++，2'()666(1)f x x x x x =+=+，由'()0f x >得0x >（舍）或21x -≤<-，此时()f x 为增函数， 由'()0f x <得10x -<≤，此时()f x 为减函数，则当1x =-时，()f x 取得极大值，极大值为(1)3f -=， 当2x =-时，()f x 取得最小值，最小值为(2)2f -=-， ∵()f x 在[2,2]-上的最大值为3，∴当02x <≤时，函数()1xf x a =+的最大值不能超过3即可，当1a >时，()f x 为增函数，则当02x <≤时，函数()1xf x a =+的最大值为2(2)13f a =+≤，即22a ≤，得1a <≤当01a <<时，()f x 为减函数，则0()1112f x a <+=+=，此时满足条件．综上实数a 的取值范围是01a <<或1a <≤故选A ． 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，结合分段函数的表达式，利用函数的导数，以及指数函数的单调性分别求出对应函数的最值是解决本题的关键． 10．A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出ϕ的值，结合函数的单调性进行求解即可． 【详解】函数()cos(2)||2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭图象向右平移6π个单位长度， 得到cos 2cos 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所得图象关于原点对称， 则32k ππϕπ-=+，得56k πϕπ=+，k Z ∈， ∵||2πφ<，∴当1k =-时，6πϕ=-，则()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由2226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 即函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， ∵,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当0k =时，51212x ππ-≤≤， 即312x ππ-≤≤，即()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合三角函数的单调性是解决本题的关键． 11．C 【解析】 【分析】设共同的焦点为(,0)c -，(,0)c ，设1PF s =，2PF t =，运用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的余弦定理和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】解：设共同的焦点为(,0)c -，(,0)c ， 设1PF s =，2PF t =，由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=， 解得s a m =+，t a m =-，在12PF F ∆中，123F PF π∠=，可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即为222224()()()()3c a m a m a m a m a m =++--+-=+，即有222234a m c c+=，即为2212134e e +=，由221213e e +≥，可得12e e ⋅≥，当且仅当21e =故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 12．B 【解析】 【分析】由已知证明平面SAB ⊥平面ABCD ，由正弦定理求出三角形SAB 外接球的半径，设出四棱锥外接球的球心，由勾股定理求得四棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】解：由四边形ABCD 为矩形，得AB AD ⊥，又SA AD ⊥，且SA AB A ⋂=，∴AD ⊥平面SAB ， 则平面SAB ⊥平面ABCD ，设三角形SAB 的外心为G，则22sin AB GA ASB ====∠. 过G 作GO ⊥底面SAB ，且1GO =，则OS =∴四棱锥外接球的表面积为2420S ππ=⨯=. 故选B ．【点睛】本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 13．-10 【解析】 【分析】先求出(1,3)a b x +=+rr ，然后利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】因为()()()12113a b x c ===r r r ，，，，，所以(1,3)a b x +=+rr ； 又()a b c +⊥r r r Q ；()190a b c x ∴+⋅=++=r r r；10x ∴=-，故答案为10-．【点睛】本题主要考查向量的运算以及向量垂直的性质，属于基础题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答. 14．2 【解析】 【分析】作出可行域，寻求目标函数取到最大值的点，求出m. 【详解】先作出实数x ，y 满足约束条件02100y x y x y m ≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩的可行域如图，∵目标函数z=x-y 的最大值为2，由图象知z=2x-y 经过平面区域的A 时目标函数取得最大值2． 由20x y y -=⎧⎨=⎩，解得A （2，0），同时A （2，0）也在直线x+y-m=0上，∴2-m=0，则m=2， 故答案为2．【点睛】本题主要考查线性规划，利用最值求解参数，作出可行域是求解的关键. 15．6π 【解析】 【分析】由等差中项的性质和三角形的内角和定理可求得B，由余弦定理和三角形面积公式，可得2,a c b ==，再由余弦定理求得cos C ，可求得角C 的大小．【详解】在ABC ∆中， ,,A B C 成等差数列，可得2B A C B π=+=-，即3B π=，222sin(A C)S b c +=-，即为22sin sin ac BB b c =-，即有22b c ac =+，由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，即有2,ac b ==，222222cos22a b c C ab +-===， 由C 为三角形的内角，可得6C π=，故答案为6π． 【点睛】本题主要考查等差中项的性质和三角形的内角和定理、余弦定理和三角形面积公式，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 16．3 【解析】 【分析】令()(1)xg x x a e a =-++，0x >．'()(2)xg x x a e =-+，0x >．利用导数研究函数的单调性极值即可得出． 【详解】解：令()(1)xg x x a e a =-++，0x >．'()(2)x g x x a e =-+，0x >.令'()(2)0xg x x a e =-+=，2=-x a .当20a -≤ ，即2a ≤ 时，()g x 在()0,∞+ 单调递增，()0110g a a =-+=> 恒成立； 当20a ->，即2a > 时，可得函数()g x 在(0,2)a -单调递减，在(2,)a -+∞单调递增．∴2=-x a 时，函数()g x 取得极小值即最小值． ∴2(2)0a g a ea --=-+>.令2()a h a e a -=-+，2'()1a h a e -=-+，2a =时，'(2)0h =.可得(2,)a ∈+∞时，函数()h a 单调递减．∴2a =时，(0)120g =-+>．3a =时，(1)30g e =-+>，4a =时，2(2)40g e =-+<. ∴满足2(2)0a g a ea --=-+>的a 的最大整数值为3；综上，a 的最大整数值为3， 故答案为3． 【点睛】本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（1）2nn b =；（2）8n =. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式以及对数运算性质转化求解求数列{}n b 的通项公式；（2）求解数列的和，通过数列{}n n a b +的前n 项和n T 满足3218n T S =+，即可求n 的值． 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有1121517104555a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，则n a n =.又2log n n a b =，即2n an b =，所以2nn b =.（2）依题意得：1212(...)(...)n n n T a a a b b b =+++++++23(123...)(222...2)n n =+++++++++()212(1)212nn n -+=+- 1(1)222n n n ++=+-. 又3232(132)18185462S ++=+=，则1(1)25482n n n +++=， 因为1(1)()22n n n f n ++=+在*n N ∈上为单调递增函数， 所以8n =． 【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列及前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养． 18．（1）详见解析；（2）12. 【解析】 【分析】（1）连接BF ．证明EF AC ⊥．AC BF ⊥．推出AC ⊥平面1BB EF ．即可证明AC EG ⊥．（2）利用三棱锥1F EAG -的体积为111113F EAG G A EF B A EF A EF V V S BF V ---∆===⨯⨯求解即可．【详解】（1）证明：连接BF ．因为E ，F 分别是11A C ，AC 的中点，且11//AA CC ， 所以1//EF CC ，又11//CC BB ，所以1//EF BB ， 所以E ，F ，B ，1B 四点共面． 因为1CC ⊥平面ABC ，所以EF ⊥平面ABC ，所以EF AC ⊥. 因为AB BC =，F 是AC 的中点， 所以AC BF ⊥. 又EF BF F =I ，所以AC ⊥平面1BB EF .又因为1G BB ∈，所以EG ⊂面1EFBB ， 所以AC EG ⊥．（2）解：在Rt BCF ∆中，由BC =，1CF =，得2BF =．因为1CC ⊥平面ABC ，所以1CC BF ⊥. 又AC BF ⊥，1CC AC C =I ， 所以BF ⊥平面11ACC A ，因为11//AA CC ，1122AA CC ==，E ，F 分别是11A C ，AC 的中点， 所以32EF =. 又1AF =，所以1A EF ∆的面积1113312224A EF S EF AF ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 因为1//BB EF ，1BB ⊄面1A EF ，EF ⊂面1A EF ，所以1//BB 面1A EF ． 三棱锥1F EAG -的体积为111113F EA G G A EF B A EF A EF V V S BF V ---∆===⨯⨯1312342=⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面平行及垂直的判定和性质，空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养． 19．（1）67；（2）35；（3）能. 【解析】 【分析】（1）根据各小长方形的面积和为1，可以得到(60,70)的频率，除以组距10，即可得到小长方形的高度，画到图中即可；（2）计算出再(80,90)的人数，及再(90,100]的人数，列举出所有可能，根据古典概型的计算方法，即可得到至少有一名学生成绩不低于90分的概率；（3）根据本次考试的总人数，以及表扬学生的比例，借助频率分布直方图估算出获得“文科素养优秀标兵”称号的分数，判断即可． 【详解】解：（1）成绩落在[60,70)的频率为1(0.300.150.100.05)0.40-+++=， 补全的频率分布直方图如图：样本的平均数550.30650.40750.15x =⨯+⨯+⨯850.10950.0567+⨯+⨯=. （2）由分层抽样知，成绩在[80,90)内的学生中抽取4人，记为1a ，2a ，3a ，4a ， 成绩在[90,100]内的学生中抽取2人，记为1b ，2b ，则满足条件的所有基本事件为：12()a a ,，13()a a ,，14()a a ,，11()a b ,，12()a b ,，23()a a ,，24()a a ,，21()a b ,，22()a b ,，34()a a ,，31()a b ,，32()a b ,，41()a b ,，42()a b ,，12()b b ,共15个，记“至少有一名学生成绩不低于9”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有：11()a b ,，12()a b ,，21()a b ,，22()a b ,，31()a b ,，32()a b ,，41()a b ,，42()a b ,，12()b b ,共9个．故所求概率为93()155P A ==. （3）因为1800.181000=，所以由频率分布直方图可以估计获得“文科素养优秀标兵”称号学生的成绩为(0.180.050.10)80780.015---=. 因为7978>，所以该同学能被授予“文科素养优秀标兵”称号． 【点睛】本题考查了频率分布直方图、古典概型的概率求法、利用频率分布直方图估计某个频率段的下限，属于中档题．20．（1）24x y =；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）设(,)P x y ，00(,)B x y ，由0AP BP +=u u u r u u u r r 推出00221x x y y =⎧⎨=+⎩代入方程即可求解点P 的轨迹E 的方程；（2）直线MN 的斜率存在，其方程可设为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩，利用韦达定理，转化求解斜率，推出结果即可． 【详解】解：（1）设(,)P x y ，00(,)B x y ，由0AP BP +=u u u r u u u r r得：00(,1)(,)(0,0)x y x x y y ++--=， 则0020210x x y y -=⎧⎨-+=⎩， 即00221x x y y =⎧⎨=+⎩， 因为点B B 为曲线2118y x =+上任意一点，故200118y x =+，代入得24x y =. 所以点P 的轨迹E 的方程是24x y =．（2）依题意得，直线MN 的斜率存在，其方程可设为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=， 所以216160k ∆=+>，124x x =-.因为直线OM 的方程为11y y x x =，且H 是直线OM 与直线1y =-的交点，所以M 的坐标为11(,1)x y --. 根据抛物线的定义DN 等于点N 到准线1y =-的距离，由于H 在准线1y =-上， 所以要证明DN HN =，只需证明HN 垂直准线1y =-，即证//HN y 轴．因为H 的纵坐标111222111144x x x x x x y x x --=-===. 所以//HN y 轴成立，所以DN HN =成立．【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的求解等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养． 21．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，通过当1a ≤-时，1a >-时，判断导函数的符号，图象函数的单调性；（2）要证()(sin 1)xf x a x >+．只需证明ln sin 1x x a x >-，证明ln 1x x ax ≥-．设()ln 1g x x x ax =-+．利用导函数转化证明，再证：1sin 1ax a x -≥-，设()sin h x x x =-，则'()1cos 0h x x =-≥．利用函数的单调性转化证明即可．【详解】解：（1）由1()ln a f x x x +=+得2211(1)'()(0)a x a f x x x x x+-+=-=>. 当10a +≤即1a ≤-时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．当10a +>即1a >-时，由'()0f x >得1x a >+；由'()0f x <得1x a <+，所以()f x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增．（2）要证()(sin 1)xf x a x >+成立，只需证ln 1sin x x a a x a ++>+成立，即证ln sin 1x x a x >-.现证：ln 1x x ax ≥-.设()ln 1g x x x ax =-+．则'()1ln ln 1g x x a x a =+-=+-，所以()f x 在1(0,e )a -上单调递减，在1(e ,)a -+∞上单调递增．所以1111()()(1)11a a a a g x g e a e ae e ----≥=--+=-.因为01a ≤≤，所以110a e --≥，则()0g x ≥，即ln 1x x ax ≥-，当且仅当1x =，1a =时取等号．再证：1sin 1ax a x -≥-.设()sin h x x x =-，则'()1cos 0h x x =-≥.所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，则()(0)0h x h >=，即sin x x >.因为01a ≤≤，所以1sin 1ax a x -≥-．当且仅当0a =时取等号，又ln 1x x ax ≥-与1sin 1ax a x -≥-两个不等式的等号不能同时取到，即ln sin 1x x a x >-，所以()(sin 1)xf x a x >+．【点睛】本题主要考查函数的单调性与最值、导数的应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想．考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．22．（1）1C 的普通方程为：2213y x +=；2C 的直角坐标方程为直线40x y -+=；（2）PQ13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）消参数α可得1C 的普通方程；将2C 的极坐标方程展开，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求得2C 的直角坐标方程。
2019年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学(B)
M 文科数学试题 第1页（共5页）学校： 准考证号： 姓名：（在此卷上答题无效）2019年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学(B)本试卷共5页。
满分150分。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){}ln 1A y y x ==-，{}=0,1,2,3B ，则A B =A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}0,12．复数z 满足i 2i z ⋅=+，则z = A ．12i -B ．12i -+C ．12i +D ．12i --3．已知向量()1,2=a ，()2,m =b ，若()222+=+a b a b ，则m = A ．4-B ．1-C ．1D ．44．某商场一年中各月的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法正确的是 ①利润最高的月份是2月份； ②收入最高值与收入最低值的比是2:1； ③1至2月份的收入增长最快； ④第二季度月平均收入为50万元． A ．①②③④ B ．①②C ．②④D ．②③④注：收入 支出 利润=收入-支出M 文科数学试题 第2页（共5页）5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为(2,0)F -，经过点F 且与圆223x y +=相切的直线与C 的一条渐近线平行，则C 的离心率为AB ．2CD6．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于y 轴对称的函数为 A ．πcos(2)2y x =+ B ．πsin(2)2y x =+ C ．cos 2sin 2y x x=+D ．cos sin y x x =+7．若,x y 满足约束条件2+40,10,10,x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≤则2z x y =+的最小值为A ．2B ．83C ．8D ．18．执行右图所示的程序框图，则输出的S =A ．4B ．9C ．16D ．259．已知正方体1111ABCD -A B C D 的边长为2，边AB 的中点为M ，过M 且垂直1BD 的平面被正方体所截的截面面积为 ABC．D．10．已知函数()2cos sin f x x x =-分别在x α=，x β=处取到最大值与最小值，则cos sin αβ+=A．BC．5D．511．设椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的上顶点为M ，左焦点为F .动直线l 与Γ交于A ，B 两点，当ABF △的周长的最大值为20时，原点O 到直线MF 距离的最大值为M 文科数学试题 第3页（共5页）A ．54B ．52C ．3D ．512．已知函数()e xf x x =，存在三个不同实数123,,x x x 满足()()()123123f x f x f x a x x x ===，则实数a 的取值范围是A ．2e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．2e ,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2e ,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试文科数学试题
福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试文科数学试题一、单选题(★) 1 . 已知是虚数单位，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 3 . 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．(★) 4 . 在中，点在边上，且，设，，则（）A．B．C．D．(★) 5 . 箱子里有大小相同且编号为1，2，3，4，5的五个球，现随机取出两个球，则这两个球编号之差的绝对值为3的概率是（）A．B．C．D．(★) 6 . 已知实数满足约束条件，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．9(★) 7 . 函数的图像大致是（）A．B．C．D．(★) 8 . 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点.若角满足，则（）A．-2B．C．D．(★) 9 . 设斜率为的直线过抛物线的焦点，与交于两点，且，则（）A．B．1C．2D．4(★) 10 . 已知正项数列的前项和为，且，，设数列的前项和为，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★) 11 . 我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值可表示成（）A．B．C．D．(★★) 12 . 已知是双曲线上的三个动点，且（为坐标原点）.设，，且，则的值为（）A．-4B．C．D．4二、填空题(★) 13 . 已知函数，则________．(★) 14 . 在等比数列中，，，则__________．(★) 15 . 曲线在处的切线与直线平行，则实数_______．(★★) 16 . 已知三棱锥的外接球半径为2，平面，，，则该三棱锥体积的最大值为_______．三、解答题(★) 17 . 的内角所对的边分别是，且，. （1）求；（2）若边上的中线，求的面积.(★★)18 . 已知四棱锥，，，平面，，，直线与平面所成角的大小为，是线段的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.(★) 19 . 某市一农产品近六年的产量统计如下表：年份201320142015201620172018年份代码123456年产量（千吨）5.1 5.3 5.6 5.5 6.0 6.1观察表中数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系. （1）根据表中数据，将以下表格空白部分的数据填写完整，并建立关于的线性回归方程；总和 均值1 2 3 4 565.1 5.3 5.6 5.56.06.11 4 9 16 25365.1 10.6 16.8 22 30 36.6121.1（2）若在2025年之前该农产品每千克的价格 （单位：元）与年产量 满足的关系式为，且每年该农产品都能全部销售.预测在2013～2025年之间，某市该农产品的销售额在哪一年达到最大.附：对于一组数据 ， ，…，，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， . (★★) 20 . 已知动点 是的顶点，，，直线，的斜率之积为.（1）求点 的轨迹 的方程； （2）设四边形的顶点都在曲线 上，且，直线，分别过点，，求四边形 的面积为 时，直线 的方程.(★★★★) 21 . 已知函数有两个极值点 ， .（1）求 的取值范围； （2）求证：.(★★) 22 . 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为. （1）求的极坐标方程；（2）设与，异于原点的交点分别是，求的面积.(★★) 23 . 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求的最小值及取得最小值时的取值范围；（2）若集合，求实数的取值范围.。