圆锥曲线数学高考二轮复习
高考数学二轮复习 专题辅导与训练 6.2 圆锥曲线的概念与性质、存在性问题与曲线中的证明教学课件
x2 y2 =1(a>b>0)相交于A,B,若M是线段AB的2中点,则椭圆C的 a2 b2
离心率为
.
即 x1
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).则
x2
a2
x1
x2
y1
y2
b2
y1
y2
0，
x12 a2
x
2 2
a2
y12 b2
y
2 2
b2
1, 1,
因为xy11
x2 y2
.
【信息联想】(1)看到过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,想 到_A__,B__坐__标__的__求__法_. (2)看到抛物线y2=2px，想到_该__抛__物__线__的__焦__点__在__x_轴__上__.
【规范解答】(1)不妨令
A(c,
b2 a
)，B(c,
b2 a
)，F1
(c,
0)，
第二讲
圆锥曲线的概念与性质、存在性问题与 曲线中的证明
【主干知识】 1.必记公式 (1)三个定义式: ①椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); ②双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|); ③抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M.
(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长:
①双曲线
x2 a2
y2 b2
=1(a>0,b>0)的渐近线方程为_y____ba__x_;焦点
坐②标双F曲1_(线_-_c_,ay_202 _)_xb,22F2=1_((_ca_,>_00_),_b.>0)的渐近线方程为_y____ab__x_,焦点
2023高考数学二轮专题复习——圆锥曲线点差法求斜率
F 1F 2PABOxy4P x 0,y 0 是椭圆E ：x 24+y 2=1上的动点，设椭圆的左右焦点分别为F 1,F 2，若直线PF 1,PF 2与椭圆E 的另一个焦点分别为A ,B ，求△PAB 面积的最大值.定比点代法设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0 ，由对称性不妨设0<y 0≤1设PA =λAF 1 ，PB =μBF 2 ，则A x 0-3λ1+λ,y 01+λ将A 代入E 整理得：λ=23x 0+4 ，同理μ=23x 0-4 S △PAB =λλ+1⋅μμ+1⋅S △PF 1F2=3y 0x 02-64x 02-4912=3y 0y 02+13y 02+148设f y 0 =3y 0y 02+13 y 02+148，y 0∈0,1 下面证明f x ≤f 1 =64349，x ∈0,1只需证：f x =3x x 2+13 x 2+148=483x 3+163x48x 2+1≤64349，即证3x 3+x 48x 2+1≤449⟺x -1 147x 2-45x +4 ≤0，x ∈0,1 ，显然成立.故f x max =f 1 =64349.故△PAB 面积的最大值为64349.5椭圆x 25+y 2=1的左右焦点分别为F 1,F 2，P x 0,y 0 x >0,y >0 为椭圆上一点，直线PF 1,PF 2分别交椭圆于M ,N 两点，则当直线MN 的斜率为-19时，x 0y 0=.不联立 对偶式求斜率设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，MN 中点Q m ,n ，由点差法k OQ ⋅k MN =n m ⋅-19 =-15，所以n m =95x 0y 1-x 1y 0=-2y 1-y 0 ①x 0y 1+x 1y 0=-52y 1+y 0 ② ，x 0y 2-x 2y 0=2y 2-y 0③x 0y 2+x 2y 0=52y 2+y 0④①+③：x 0y 1+y 2 -y 0x 1+x 2 =2y 2-y 1 ⑤②+④：x 0y 1+y 2 +y 0x 1+x 2 =52y 2-y 1 ⑥⑥+⑤得：2x 0y 1+y 2 =92y 2-y 1⑥-⑤得：2y 0x 1+x 2 =12y 2-y 1两式相除：x 0y 0⋅y 1+y 2x 1+x 2=9，即x 0y 0⋅n m =9，所以x 0y 0=5.F 1F 2PMNOxyQF 1F 2PA BO xyQP x 0,y 0 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1上一点，PF 1,PF 2交椭圆于A ,B 两点.结论1PF 1 F 1A +PF 2F 2B =2a 2+c 2 b 2=21+e 2 1-e 2.结论2k AB ⋅k OP =-1-e 221+e 2 .结论3Q 在以F 1,F 2为焦点的椭圆上，且k AB ⋅k PQ =-1-e 21+e 2 2.结论4△PAB 面积问题.证明：1y 0y 1=2cx 0+a 2+c 2-b 2，y 0y 2=-2cx 0+a 2+c 2-b 2，PF 1 F 1A +PF 2F 2B =-y 0y 1+y 0y 2=2a 2+c 2 b 2.2 设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2x 0y 1-x 1y 0=-c y 1-y 0 x 0y 1+x 1y 0=-a 2c y 1+y 0可得x 1=-2a 2c -a 2+c 2 x 02cx 0+a 2+c 2y 1=-b 2y 02cx 0+a 2+c 2 ，同理x 2=2a 2c -a 2+c 2 x 0-2cx 0+a 2+c 2y 2=-b 2y 0-2cx 0+a 2+c 2于是k AB =y 2-y 1x 2-x 1=-b 2y 0-2cx 0+a 2+c 2--b 2y 02cx 0+a 2+c 22a 2c -a 2+c 2 x 0-2cx 0+a 2+c 2--2a 2c -a 2+c 2 x 02cx 0+a 2+c 2=-b 2y 0⋅4cx 02a 2c -a 2+c 2 x 0 2cx 0+a 2+c 2 --2a 2c -a 2+c 2 x 0 -2cx 0+a 2+c 2=-4b 2cx 0y 04c a 2+c 2 a 2-x 02 =-4b 2cx 0y 04c a 2+c 2a 2-a 21-y 02b 2=-b 4x 0a 2a 2+c 2 y 0=-1-e 2 21+e 2 ⋅x 0y 0.证法二：不联立设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，MN 中点Q m ,n ，由点差法k OQ ⋅k MN =n m ⋅-19 =-15，所以n m =95x 0y 1-x 1y 0=-c y 1-y 0 ①x 0y 1+x 1y 0=-a 2c y 1+y 0②，x 0y 2-x 2y 0=c y 2-y 0③x 0y 2+x 2y 0=a 2c y 2+y 0④①+③：x 0y 1+y 2 -y 0x 1+x 2 =c y 2-y 1 ⑤②+④：x 0y 1+y 2 +y 0x 1+x 2 =a 2cy 2-y 1 ⑥⑥+⑤得：2x 0y 1+y 2 =a 2c +c y 2-y 1 ，⑥-⑤得：2y 0x 1+x 2 =a 2c-cy 2-y 1两式相除：y 0x 0⋅x 1+x 2y 1+y 2=b 2a 2+c 2，又y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=-b 2a2，所以y 0x 0⋅y 1-y 2x 1-x 2=-b 4a 2a 2+c 2 ，即k AB ⋅k OP =-1-e 2 21+e 2.3AF 2：x =x 1-cy 1y +c BF 1：x =x 2+c y 2y -c，可得y Q =2c x 2+c y 2-x 1-c y 1=2c x 2+c y 2-x 1-c y 1=-b 23a 2+c 2y 0x Q =12x 1-c y 1+x 2+c y 2y Q =-a 2+3c 23a 2+c2x 0于是点Q 在椭圆x 2a 3+3ac 23a 2+c 2 2+y 2b 33a 2+c 22=1上.k PQ =y Q -y 0x Q -x 0=-b 23a 2+c 2y 0-y0-a 2+3c 23a 2+c2x 0-x 0=a 2a 2+c 2⋅y 0x 0=11+e 2⋅y 0x 0k AB ⋅k PQ =11+e 2⋅y 0x 0⋅-1-e 2 21+e 2 ⋅x 0y 0=-1-e 21+e 22.4 记S 1=S △PAB ，S 2=S △PF 1F 2S 1S 2=12PA ⋅PB ⋅∠Psin 12PF 1⋅PF 2⋅∠P sin =y 0-y 1y 0⋅y 0-y 2y 0=1-y 1y 0 1-y 2y 0，由S 2=12⋅2c ⋅y 0=cy 0从而S 1=1-y 1y 0 1-y 2y 0cy 0，把y 0y 1=2cx 0+a 2+c 2-b 2，y 0y 2=-2cx 0+a 2+c 2-b 2代入,即可求函数S 1=f y 0 的最值，经验证在y 0=±b 时取得面积最大值4a 4bca 2+c 22.。
【高考数学二轮复习压轴题微专题】第14讲 巧用圆锥曲线系方程解题-解析版
第14讲 巧用圆锥曲线系方程解题应用曲线系方程解题,即引入适当的参数先设出符合部分条件的曲线系方程,,然后根据题中的其他条件,通过推理,运算求出曲线系方程中的参数值,从而实现问题的解决.运用曲线系方程往往可以回避联立解方程组、求交点坐标等带来的麻烦,既减少了计算量,又体现了参数变化、整体处理、待定系数法等重要的数学思想方法.当然,由于曲线系方程的多样化、所给问题条件的隐蔽性,应用曲线系方程解题虽然减少了运算量,但对技巧的要求颇高,在高中数学竞赛中运用较为广泛,本讲对各类圆雉曲线系方程进行归纳总结. 圆锥曲线系方程:(1)共顶点圆锥曲线系方程222:1(x y a λλ+=为参数). (2)共渐近线双曲线系方程2222:(x y a b λλ-=为参数,0)λ≠.(3)共焦点圆锥曲线系方程:2221(x y c c λλ+=+为焦半径,λ为参数). 当0λ>时,表示共焦点椭圆系;当一20c λ<<时,表示共焦点双曲线系;当2c λ<-时,无轨迹.(4)共离心率圆锥曲线系方程222:(x y a bλλ±=为参数,0λ>). (5)过两圆锥曲线4个交点的圆锥曲线系:若2211111122222222:0,:0c A x C y D x E y F c A x C y D x E y F ⎧++++=⎨++++=⎩是有4个交点的二次曲线,则2211:c A x C y + ()22111222220D x E y F A x C y D x E y F λ++++++++=是过12,c c 的交点的圆雉曲线系,其中不包括2(c λ为参数).(6)过两条直线与圆锥曲线4个交点的圆锥曲线系: 若11112222:0,:0l a x b y c l a x b y c ++=⎛++=⎝与圆锥曲线22:0c Ax Cy Dx Ey F ++++=有4个交点,则方程()()221112220Ax Cy Dx Ey F a x b y c a x b y c λ+++++++++=为过4个交点的圆锥曲线系方程.典型例题【例1】(1)求渐近线方程为340x y ±=,焦点为椭圆221105x y +=的一对顶点的双曲线的方程；(2)求与双曲线221164x y -=有共同的渐近线,且与直线5680x y --=相切的标准双曲线方程.【分析】当已知双曲线的渐近线方程为1(x ya b±=或y mx =±)时,可设双曲线的方程为2222x y a bλ-=或)222m x y λ-=(其中λ为不等于零的待定常数),以简化运算过程,这里方程(2222x y a b λλ-=∈R 且0λ≠)称之为与双曲线22221x y a b-=共渐近线的双曲线系,为解题带来方便.【解析】(1)依题意,可设双曲线的方程为22(169x y λλ-=±是正实数),当双曲线的焦点为椭圆的长轴的顶点,即)与()时,由222c a b =+,可得210169,5λλλ=+=,∴双曲线的方程为225513218x y -=;当双曲线的焦点为椭圆的短轴的顶点,即(与(0,时,双曲线的方程为(22169x y λλ-=-是正实数),即2211,5916,9165y x λλλλλ-=∴=+=. ∴双曲线的方程为2255 1.916y x -= (2)【解法1】(利用共渐近线双曲线系方程结合判别式法)设所求双曲线的方程为()220164x y λλ-=≠, 此双曲线与直线5680x y --=相切,且显然其渐近线都不平行于直线5680.x y --=∴由方程组221645680x y x y λ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩消去x ,得2462540y y λ-+-=,其判别式Δ=()2(6)442540λ--⨯⨯-=,解得14λ=. 故所求双曲线的标准方程为2211644x y -=,即2214x y -=. 【解法2】(利用共渐近线双曲线系方程结合待定系数法)设所有双曲线的方程为()220164x y λλ-=≠,即()224160x y λλ-=≠, 设其与直线5680x y --=相切的切点为()00,x y , 则切线方程为004160,x x y y λ--=∴有0000568.10,3416x y x y λλλ==∴==.代人双曲线方程中并化简得214,0,4λλλλ=≠∴=又,故所求双曲线的标准方程 为2214x y -=. 【解法3】(利用共渐近线双曲线系方程结合双曲线参数方程解)设所求双曲线方程为()2210164x y λλλ-=≠,双曲线上一点M的坐标为θ,)θ,以此点为切点的双曲线的切线方程为1164x yθθλλ⋅⋅-=,化简得sec 2tan x y θθ⋅-⋅=它和直线568x y -=重合,sec 2tan 56θθ∴==即22sec tan 2594θθλ-==-,由等 比定理得22sec tan 2594θθλ-=-,即11,1644λλ==,代人原双曲线方程得2214x y -=,此 即为所求.【例2】讨论方程221259x y k k+=--所表示的曲线. 【分析】观察方程可以发现其中心在原点,是有心曲线,对称轴为坐标轴,若2590k k ->->,则方程表示椭圆系,()()225916,4;c k k c =---==若250,90,k k ->⎧⎨-<⎩方程表示则曲线系,()()225916,4c k k c =-+-==.所有的曲线焦点相同,因此,原方程表示中心在原点,对称轴为坐标轴,有相同焦点的圆锥曲线系.【解析】由所给方程知25k ≠且9k ≠,原方程可化为()()()()22925259k x k y k k -+-=--它表示中心在原点,对称轴为两坐标轴的有心圆锥曲线系. (1)当9k <时,它的曲线是椭圆.()()22225916,c a b k k =-=---=∴焦点为()4,0-和()4,0.(2)当925k <<时,它的曲线是双曲线.()()22225916,c a b k k =+=-+-=∴焦点为()4,0-和()4,0.(3)当25k >时,250,90k k <-<一,方程无实数解,故方程无轨迹.因此,原方程表示的是具有同一中心,相同对称轴、相同焦点的有心圆锥曲线系.【例3】已知圆22(1)9x y -+=和双曲线221x y -=,求通过它们的4个交点和点()0,2M 的二次曲线方程.【分析】构造过圆与双曲线4个交点的圆锥曲线系,而圆锥曲线系过点(0M ,2),可待定参数的值,从而大大减少运算量.【解析】圆方程和双曲线方程可分别写成2222280,10x y x x y +--=--=,将其中第二个方 程乘以任意实数λ,然后与第一个方程相加,得()()22222810x y x x y λ+--+--= 圆和双曲线的任一交点的坐标同时满足圆方程和双曲线的方程,因而使式左边两个括号里面代数式的值同时为0,所以这些交点都在①式表示的二次曲线上.将点M 的坐标()0,2代入(1)式,得4450,.5λλ--=∴=-将所得λ值代入(1)式,得()()2222428105xy x x y +-----= 化简得22910360x y x +--=,即22(5) 1.61619x y -+=所得的曲线是一个椭圆,它的中心是点()5,0,焦点在x 轴上,3(如图23-所示)．【例4】一条圆锥曲线过点17,22⎛⎫-⎪⎝⎭,切直线250x y -+=于点()1,3,切直线52200x y +-=于点()4,0,求它的方程.【分析】由于圆锥曲线的形态不清楚,无法直接求解,只能通过圆锥曲线系来解,如何列出符合条件的圆锥曲线系是关键.【解析】过点()()1,3,4,0的直线方甶为40x y +-=,①由于()()1,3,4,0都是切点,直线(1)可以看作是两条重合的直线(退化了的曲线),于是所求方程可写成()()2255220(4)0x y x y x y λ-++-++-=.②再由曲线过点17,22⎛⎫-⎪⎝⎭,代人(2)式,解得254λ=.故所求方程为22451891800x xy y x ++-=.【例5】(1)(蝴蝶定理)过圆AB 弦的中点M ,任意作两弦CD 和,EF CF 和ED 交弦AB 于,P Q ,求证:PM QM =;(2)AB 是圆Γ的一条定弦,O 为AB 上的定点,过点O 作圆Γ的两条弦CD 和EF ,弦CF 和OA 交于点I ,弦DE 与OB 交于点.J求证:11OA OB-=∣∣ 11OI OJ - 【分析】运用曲线系方程证明蝴蝶定理及其推广比用平面几何知识证明要简便许多. 【证明】(1)如图24-所示,以M 为原点,AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设圆方程为222()()x y b r b r +-=<设直线,CD EF 的方程分别为12,y k x y k x ==.将它们合并为()()120y k x y k x --=,于是过点,,C D E F 、的曲线系方程为()()22212()0x y b r y k x y k x λ+--+--=令0y =,得()2221210k k x b λγ++-=,即过点,,,C D E F 的曲线系与AB 交于点,P Q 的横坐标是方程()2221210k k x b λγ++-=的两个根.由韦达定理得0P Q x x +=,即M 是PQ 的中点,故PM QM =(2)如图25-所示,以O 为原点,直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系,设圆Γ的方程为220x y dx ey f ++++=:120,:0.CD EF l x t y l x t y -=-=则直线,CD EF 合成的二次曲线方程为)()12(0x t y x t y --= 从而,经过,,,C D E F 这4点的曲线系方程为()()2212x y dx ey f x t y x t y λ+++++--=0∴存在λ,使得(1)为直线CF DE 、合成的二次曲线.在①中,令0y =,则1,J x x 是方程()210x dx f λ+++=的两个根.由韦达定理得11,11s J d fx x x x λλ+=-⋅=++. 1111110,0,0,.I J I J J J x x d x x f OI OJ x x x x f+≠∴-=-=-=- 在(1)中,令0,0y λ==,则,A B x x 是方侱20x dx f ++=的两个根. 由韦达定理得,,0,0,0A B A B A B x x d x x f x x f +=-⋅=≠又,1111.1111.A B A B A B x x dOA OB x x x x fOA OB OI OJ+∴-=-=-=--=-故【例6】已知任意二次曲线,S AB 是曲线S 的弦,O 是AB 的中点,过点O 任意作弦CD 、EF ,过点,,,C D E F 另作一条任意二次曲线t ,如果曲线t 与直线AB 交于点P 、Q ,求证:.OP OQ =【分析】上例介绍了平面几何蝴蝶定理的证明和应用,本例是平面几何蝴蝶定理的推广,从圆一步飞跃到任意的二次曲线,联结圆上4点的两直线CF 和DE 也直接换成一般的二次曲线,从蝴蝶定理的特殊图形里看到一般的二次曲线系,升级换代、一次到位,不是拾级而上,而是直上高楼,美景无限.观察如图26-所示图形,里面是否隐藏着一只飞舞的蝴蝶?【证明】如图()26a -所示,取直线AB 为y 轴,O 为原点,AB 方向为y 轴的正方向建立直角坐标系.设OA OB a ==,则点A 的坐标为()0,a -,点B 的坐标为()0,a . 二次曲线S 通过点()()0,,0,A a B a -,∴在曲线S 的方程中,当0x =时,应有22y a =.因而二次曲线S 的方程形如：2220Ax Bxy y Dx a +++-=又：弦,CD EF 者通过原点O ,且与直线AB 相交(因而都不是y 轴).∴可设它们的方程分别为12,.y k x y k x ==这一对直线CD 和FE 合在一起,可以看成一条退化二次曲线u . 其方程为()()120y k x y k x --=.(2)曲线(1)和(2)相交于点,,C D E F 、,利用曲线系知识,通过,,,C D E F 的二次曲线 系的方程为()()()222120Ax Bxy y Dx a y k x y k x λ+++-+--=,(3) 若曲线(3)中的一条二次曲线t 交y 轴于点()10,P y 和点()20,Q y , 则在(3)式中以0x =代人,得()2210y a λ+-=,(4)1y 和2y 应该是所得二次方程(4)的两个实数根,由二次方程根与系数的关系,得12120,y y y y +=∴=-,即OP OQ =.【例7】(1)4条直线1234:3150,:60,:50,:0l x y l kx y l x y l y +-=--=+==围成一个四边形,问k 取何值时,该四边形有一个外接圆,并求出外接圆的方程;（2)已知椭圆221:9236270C x y x y +--+=与双曲线222:4250C x y y -+-=有4个交点,求证:此4个交点共圆,并求出此圆的中心坐标.【分析】第(1)问,用直线方程交,点构成的二次其线系方程求解;第(2)问,用过两圆锥曲线交点的二次曲线系方程求解或证明.【解析】（1）设过该四边形4个顶点的二次曲线系方程为()()()315560x y x y kx y y λ+-++--⋅=()()()22815157560x k xy y x y λλλ+++--+--=即22151,4151590.780k x y x y k λλ-=⎧=-⋅∴+--=⎨+=⎩解得由∣所求圆的方程为(2)【证明】设过1C 和2C 交点的曲线系方程为()22229236274250x y x y x y y λ+--++-+-=(不包括)2C ,即()()()2214923622750.x y x y λλλλ++----+-=显然,当149λλ+=-,即85λ=时,曲线系方程表示一个过1C 和2C 交点的圆. 将85λ=代人曲线系方程化简得:22373710164950x y x y +--+=, 即椭圆与双曲线的4个交点共圆。
2023届高考二轮总复习试题适用于老高考旧教材 数学(理) 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题含解析
考点突破练15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题1.(2022·湖南岳阳质检二)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0),F 为上焦点,左顶点P 到F 的距离为√2,且离心率为√22,设O 为坐标原点,点M 的坐标为(0,2). (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,证明:∠OMA=∠OMB.2.(2022·陕西西安四区县联考一)已知抛物线x 2=ay (a>0),过点M 0,a2作两条互相垂直的直线l 1,l 2,设l 1,l 2分别与抛物线相交于A ,B 及C ,D 两点,当A 点的横坐标为2时,抛物线在点A 处的切线斜率为1. (1)求抛物线的方程;(2)设线段AB ,CD 的中点分别为E ,F ,O 为坐标原点,求证:直线EF 过定点.3.(2022·北京石景山一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的短轴长等于2√3,离心率e=12. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过右焦点F 作斜率为k 的直线l ,与椭圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ,判断|PF ||AB |是否为定值,请说明理由.4.(2022·全国乙·理20)已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过A (0,-2),B (32,-1)两点. (1)求E 的方程;(2)设过点P (1,-2)的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明:直线HN 过定点.5.(2022·河南濮阳一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率e=√32,且圆x 2+y 2=2过椭圆C 的上、下顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 的斜率为12,且直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,点P 关于原点的对称点为E ,点A (-2,1)是椭圆C 上一点,若直线AE 与AQ 的斜率分别为k AE ,k AQ ,证明:k AE ·k AQ ≤0.6.(2022·广西柳州三模)已知点A (2,√3),B (-2,-√3),点M 与y 轴的距离记为d ,且点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d24-1,记点M 的轨迹为曲线W. (1)求曲线W 的方程;(2)设点P 为x 轴上除原点O 外的一点,过点P 作直线l 1,l 2,l 1交曲线W 于C ,D 两点,l 2交曲线W 于E ,F 两点,G ,H 分别为CD ,EF 的中点,过点P 作x 轴的垂线交GH 于点N ,设CD ,EF ,ON 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,求证:k 3(k 1+k 2)为定值.考点突破练15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题1.(1)解 左顶点P 到F 的距离为√2,可得a=√2,又e=ca=√22,故c=1,从而b=1.∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)证明 当l 与y 轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l 与y 轴不重合时,设l 的方程为y=kx+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线MA ,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1-2x 1+y 2-2x 2=kx 1-1x 1+kx 2-1x 2=2k-(1x 1+1x 2)=2k-x 1+x 2x 1x 2,联立方程{y =kx +1,y 22+x 2=1,可得(2+k 2)x 2+2kx-1=0,x 1+x 2=-2k 2+k2,x 1x 2=-12+k2,∴2k-x 1+x 2x 1x 2=2k-2k=0,从而k MA +k MB =0,故直线MA ,MB 的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB. 综上,∠OMA=∠OMB. 2.(1)解 ∵y'=2xa ,由题意得2×2a=1,∴a=4,∴抛物线的方程为x 2=4y. (2)证明 由题意得直线l 1,l 2的斜率都存在且都不为0,由M (0,2),可设直线AB 的方程为y=kx+2(k ≠0), 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =kx +2,x 2=4y ,得x 2-4kx-8=0,则x 1+x 2=4k ,∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+4=4k 2+4,∴AB 的中点E (2k ,2k 2+2).∵l 1⊥l 2,∴直线CD 的斜率为-1k,同理可得CD 的中点F -2k ,2k2+2,∴EF 的方程为y-(2k 2+2)=2k 2+2-2k 2-22k+2k(x-2k ),化简整理得y=k-1k x+4, ∴直线EF 恒过定点(0,4).3.解 (1)由题意得b=√3,e=√1-b 2a 2=√1-3a 2=12,解得a=2,所以椭圆的方程为x 24+y23=1.(2)是定值.理由如下:由椭圆的方程x 24+y 23=1,得右焦点F (1,0),设直线l 的方程为y=k (x-1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k (x -1),x 24+y23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0,则x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2, |AB|=√1+k 2|x1-x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=12(1+k 2)3+4k 2,设线段AB 的中点为D (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k2,则y 0=k (x 0-1)=-3k3+4k2,即D (4k 23+4k2,-3k 3+4k 2),所以直线l 的中垂线的方程为y--3k3+4k2=-1k x-4k 23+4k 2.令y=0,得x P =k 23+4k 2,所以|PF|=|x P -1|=|k 23+4k 2-1|=3(k 2+1)3+4k 2,所以|PF ||AB |=3(k 2+1)3+4k 212(1+k 2)3+4k2=14. 4.(1)解 设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0), 则{4n =1,94m +n =1,解得{m =13,n =14. 故椭圆E 的方程为x 23+y 24=1. (2)证明 由点A (0,-2),B (32,-1),可知直线AB 的方程为y=23x-2.当过点P 的直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为x=1.由{x =1,x 23+y 24=1,解得{x =1,y =2√63或{x =1,y =-2√63,则点M (1,-2√63),N (1,2√63). 将y=-2√63代入y=23x-2,得x=3-√6,则点T (3-√6,-2√63). 又MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点H (5-2√6,-2√63),所以直线HN 的方程为y-2√63=-2√63-2√635-2√6-1x-1),即y=(2√63+2)x-2, 所以直线HN 过点(0,-2).当过点P 的直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y+2=k (x-1),点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由{y +2=k (x -1),x 23+y 24=1,消去y ,得(4+3k 2)x 2-6k (k+2)x+3k (k+4)=0,则Δ>0,x 1+x 2=6k (k+2)4+3k 2,x 1x 2=3k (k+4)4+3k 2. 将y=y 1代入y=23x-2,得x=32(y 1+2),则点T (32(y 1+2),y 1).又MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点H (3y 1+6-x 1,y 1).所以直线HN 的方程为(3y 1+6-x 1-x 2)(y-y 2)=(y 1-y 2)(x-x 2),即(3y 1+6-x 1-x 2)(y-y 2)-(y 1-y 2)(x-x 2)=0.将x=0,y=-2代入上式,整理得12-2(x 1+x 2)+3y 1y 2+6(y 1+y 2)-x 1y 2-x 2y 1=0.(*) 因为x 1+x 2=6k (k+2)4+3k2,x 1x 2=3k (k+4)4+3k2,所以y 1+y 2=k (x 1-1)-2+k (x 2-1)-2=-8k -164+3k 2,x 1y 2+x 2y 1=x 1[k (x 2-1)-2]+x 2[k (x 1-1)-2]=-24k4+3k 2,y 1y 2=[k (x 1-1)-2][k (x 2-1)-2]=-8k 2+16k+164+3k 2,所以(*)式左边=12-12k (k+2)4+3k2+-24k 2+48k+484+3k2+-48k -964+3k2−-24k 4+3k 2=0=右边,即(*)式成立.所以直线HN 过点(0,-2).综上所述,直线HN 恒过定点(0,-2).5.(1)解 由题可知{b =√2,c a =√32,a 2=b 2+c 2,解得a=2√2,b=√2,∴椭圆C 的方程为x 28+y 22=1. (2)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则E (-x 1,-y 1).设直线l 为y=12x+t ,代入椭圆方程得x 2+2tx+2t 2-4=0,则Δ=4t 2-4(2t 2-4)>0,解得-2<t<2,x 1+x 2=-2t ,x 1x 2=2t 2-4,则k AE +k AQ =y 2-1x 2+2+-y 1-1-x 1+2=(2-x 1)(y 2-1)-(2+x 2)(y 1+1)(2+x 2)(2-x 1),又y 1=12x 1+t ,y 2=12x 2+t ,∴(2-x 1)(y 2-1)-(2+x 2)(y 1+1)=2(y 2-y 1)-(x 1y 2+x 2y 1)+x 1-x 2-4=x 2-x 1-(x 1x 2+tx 1+tx 2)+x 1-x 2-4=-x 1x 2-t (x 1+x 2)-4=-(2t 2-4)-t (-2t )-4=0,即k AE +k AQ =0,∴k AE =-k AQ .于是k AE ·k AQ =-k AQ 2≤0.6.(1)解 设M (x ,y ),由题意得d=|x|,MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,√3-y ),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2-x ,-√3-y ), ∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d 24-1,∴(2-x ,√3-y )·(-2-x ,-√3-y )=d 24-1,∴x 2-4+y 2-3=x 24-1.∴3x24+y 2=6,M 的轨迹方程为x 28+y 26=1. (2)证法一 显然GH 斜率存在,设P (x 0,0),设GH 的方程为y=k 4x+m ,由题意知CD 的方程为y=k 1(x-x 0),联立方程{y =k 1(x -x 0),y =k 4x +m ,解得{x =k 1x 0+mk 1-k 4,y =k 1(k 4x 0+m )k 1-k 4,可得G k 1x 0+m k 1-k 4,k 1(k 4x 0+m )k 1-k4,设C (x C ,y C ),D (x D ,y D ),则有x C28+y C26=1,x D28+y D26=1,两式相减得:x C 2-x D28+y C 2-y D26=0,则有k 1=y C -y D x C-x D=-34·x C +xD y C+y D,又G 为CD 中点,则有k 1=-34·k 1x 0+mk1(k 4x 0+m ),将G 坐标代入CD 的方程可得4(k 4x 0+m )k 12+3x 0k 1+3m=0,同理可得4(k 4x 0+m )k 22+3x 0k 2+3m=0,故k 1,k 2为关于k 的方程4(k 4x 0+m )k 2+3x 0k+3m=0的两实根. 由韦达定理得k 1+k 2=-3x 04(k4x 0+m ).将x=x 0代入直线GH :y=k 4x+m ,可得N (x 0,k 4x 0+m ),故有k 3=k 4x 0+m x 0,则k 3(k 1+k 2)=k 4x 0+m x 0[-3x 04(k 4x 0+m )]=-34, 故k 3(k 1+k 2)为定值-34.证法二 由题意知直线CD ,EF ,ON 的斜率都存在,分别为k 1,k 2,k 3,设P (t ,0),N (t ,k 3t )(t ≠0),则直线CD ,EF 的方程分别为y=k 1(x-t ),y=k 2(x-t ),两直线分别与曲线W 相交,联立方程{y =k 1(x -t ),x 28+y 26=1,得(6+8k 12)x 2-16k 12tx+8k 12t 2-48=0,解得{x G =x 1+x 22=4k 12t3+4k 12,y G =-3k 1t3+4k 12,可得G (4k 12t3+4k 12,-3k 1t3+4k 12),同理可得H (4k 22t3+4k 22,-3k 2t3+4k 22),。
备战2025年高考二轮复习数学课件专题：解析几何-定值、定点与定直线问题
设直线
2
的斜率存在且斜率不是±2 ,
2
l:y=kx+m(k≠± ),M(x1,y1),N(x2,y2),
2
= + ,
联立 2 2
可得(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0,
一般法 变量无关
对于满足一定条件的两点连接所得直线过定点或满足一定条件的曲线过
关系法
定点问题,可设直线(或曲线)上两点的坐标,利用坐标在直线(或曲线)上,建
立点的坐标所满足的方程(组),求出相应的直线(或曲线),然后再利用直线
(或曲线)过定点的知识求解
角度三
定直线问题
2
例 3(2024·浙江温州二模)已知椭圆 L: 2
2
直线
2
2 -
EB:y-t= - (x-x1),令
2 1
13
8
x1+x2=− 2 -3,x1x2= 2 -3.
x=0,得点 P 的纵坐标
- 1 2 -4 1 + 1
-( 2 +4) 1 + 1
-2 1 + 1
+t.
+t=
+t=
yP=
2 - 1
2 - 1
解决相关问题;其次是要善于运用特殊化方法,即先从问题的特殊情况入手,
发现和推导问题结论,然后再证明一般情形成立,从而解决定值、定点、定
直线问题.
角度一
定值问题
例 1(2024·山东临沂模拟)已知椭圆
2
C: 2
+
2
1
=1(a>b>0)的离心率为2,且点
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高考数学二轮复习(高考22题)12+4分项练10 圆锥曲线 文
12＋4分项练10 圆锥曲线1．(2017·全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B.12 C.23 D.32 答案 D解析 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.2．(2017届福建省宁德市质检)已知直线l ：4x ＋3y －20＝0经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，且与其一条渐近线平行，则双曲线C 的实轴长为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 答案 C解析 由题意得b a ＝43，c ＝5，又a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝3,2a ＝6，故选C.3．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析 双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，分别为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，r 2＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为m ＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5. 同理可得求得n ＝－1. 则|m －n |＝6. 故选C.4．(2017届江西省赣州市二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的离心率为5，则抛物线x2＝4y 的焦点到双曲线的渐近线的距离是( ) A.510 B.55 C.255 D.455答案 B解析 抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ，b >0)的离心率为5，所以b a＝c 2－a 2a2＝e 2－1＝2， 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ， 则抛物线x 2＝4y 的焦点到双曲线的渐近线的距离是11＋4＝55，故选B. 5．(2017·日照二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，虚轴的上、下端点分别为C ，D ，若线段BC 与双曲线的渐近线的交点为E ，且∠BF 1E ＝∠CF 1E ，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 6 B ．1＋ 5 C ．1＋ 3 D ．1＋ 2 答案 C解析 根据双曲线C 的性质可以得到，C (0，b )，B (a,0)，F 1(－c,0)，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，直线BC 方程为y ＝－ba x ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ba x ＋b ，y ＝ba x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2，y ＝b2，即点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，所以E 是线段BC 的中点，又因为∠BF 1E ＝∠CF 1E ，所以F 1C ＝F 1B ，而F 1C ＝c 2＋b 2，F 1B ＝a ＋c ，故c 2＋b 2＝(a ＋c )2，因为a 2＋b 2＝c 2，所以2a 2＋2ac －c 2＝0，因为e ＝ca，即e 2－2e －2＝0，所以e ＝1＋3，故选C.6．(2017届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，若∠PF 1F 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．[2，3＋1] B ．[2,23＋1] C ．[2，2] D ．[2，3＋1]答案 D解析 由题设可知∠F 1PF 2＝90°，所以设∠PF 1F 2＝θ， 则|PF 1|＝2c cos θ，|PF 2|＝2c sin θ， 由双曲线的定义可得2c cos θ－2c sin θ＝2a ， 即a c＝1－sin 2θ，因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，sin 2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，此时a c＝1－sin 2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，12， 所以离心率的取值范围是e ∈[ 2，3＋1]，故选D.7．(2017届山西省太原市三模)已知点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －4)2＝1上，则|PQ |的最小值为( ) A.352－1 B.332－1 C ．23－1 D.10－1 答案 A解析 设抛物线上点的坐标为P (m 2，m ) (m >0)．圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4与抛物线上的点的距离的平方 d 2＝⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋122＋(m －4)2＝m 4＋2m 2－8m ＋654.令f (m )＝m 4＋2m 2－8m ＋654 (m >0)，则f ′(m )＝4(m －1)(m 2＋m ＋2)，由导函数与原函数的关系可得函数在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，函数的最小值为f (1)＝454，由几何关系可得|PQ |的最小值为454－1＝352－1.故选A. 8．(2017届重庆市巴蜀中学三模)已知双曲线x 24－y 22＝1上有不共线三点A ，B ，C ，且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，若满足OD ，OE ，OF 的斜率之和为－1，则1k AB ＋1k BC ＋1k AC等于( )A ．2B ．－ 3C ．－2D ．3答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，将A ，B 两点坐标代入双曲线方程，作差并化简得y 1＋y 2x 1＋x 2＝12·x 1－x 2y 1－y 2，即k OD ＝12k AB ，同理可得k OE ＝12k BC ，k OF ＝12k AC ，依题意有k OD ＋k OE ＋k OF ＝12k AB＋12k BC ＋12k AC ＝－1，即1k AB ＋1k BC ＋1k AC ＝－2.9．(2017·四川省成都市九校联考)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，若直线AF 的斜率为－3，则|PF |等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．8 3 答案 C解析 ∵抛物线方程为y 2＝8x ，∴焦点F (2,0)，准线l 的方程为x ＝－2，∵直线AF 的斜率为－3，∴直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－3(x －2)，可得A 点坐标为(－2,43)，∵PA ⊥l ，A 为垂足， ∴P 点纵坐标为43，代入抛物线方程， 得P 点坐标为(6,43)，∴|PF |＝|PA |＝6－(－2)＝8，故选C.10．(2017届江西省南昌市三模)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12B.22 C ．1 D. 2 答案 B解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2， 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2⇒|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2⇒4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4⇒4c 2＝(2－2)a 21＋(2＋2)a 22⇒4＝2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21×2＋2e 22＝22e 1e 2⇒e 1e 2≥22，故选B. 11．(2017·全国Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞) 答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在x 轴上，则0<m <3，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)． 故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x|y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m)y2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m.又0＜|y |≤m ，即0＜2m3－m ≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.方法二 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.12．(2017届吉林省实验中学模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右顶点为A ，抛物线C ：y 2＝8ax 的焦点为F ，若在E 的渐近线上存在点P 使得PA ⊥FP ，则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎦⎥⎤1，324C ．(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫324，＋∞ 答案 B解析 双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右顶点为A (a ，0)，抛物线：y 2＝8ax 的焦点F (2a,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，可设P ⎝⎛⎭⎪⎫m ，b a m ，即有AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －a ，b a m ，FP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2a ，b a m ，由PA ⊥FP ，即AP →·FP →＝0，即(m －a )(m －2a )＋b 2a2m 2＝0，化为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2a 2m 2－3ma ＋2a 2＝0，由题意可得Δ＝9a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2a 2·2a 2≥0，即有a 2≥8b 2＝8(c 2－a 2)，即8c 2≤9a 2，则e ＝c a ≤324.由e >1，可得1<e ≤324.故选B.13．已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3解析 由PF 1→⊥PF 2→知，∠F 1PF 2＝90°， 则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，12|PF 1|·|PF 2|＝9，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，所以b ＝3.14．(2017·河北省衡水中学二模)已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b2＝1 (b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，tan∠PF 2F 1≥4，则双曲线C 的半焦距的取值范围为____________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，173解析 由|F 1F 2|＝2|OP |可得△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°，tan∠PF 2F 1≥4，即|PF 1|≥4|PF 2|，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|≤23a ，即(|PF 2|＋2a )2＋|PF 2|2＝4c 2化为(|PF 2|＋a )2＝2c 2－a 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋a 2，可得c ≤173，又双曲线中c >a ＝1，所以双曲线C 的半焦距的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，173. 15．(2017届北京市丰台区二模)在平面直角坐标系xOy 中，点M 不与点O 重合，称射线OM 与圆x 2＋y 2＝1的交点N 为点M 的“中心投影点”． (1)点M (1，3)的“中心投影点”为________；(2)曲线x 2－y 23＝1上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 (2)4π3解析 (1)|OM |＝12＋(3)2＝2，|ON |＝1， 所以ON →＝12OM →，则N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(2)双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为y ＝±3x ，由“中心投影点”的定义知，中心投影点是单位圆上夹在两渐近线之间的两段圆弧，一条渐近线的倾斜角为π3，因此弧长为2×23π×1＝4π3.16．(2017·河南省豫北重点中学联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于Q 点，P 是l 上一点(不与Q 重合)，若以线段PQ 为直径的圆恰好经过F ，则|PF |的最小值是________． 答案 2解析 根据抛物线的对称性设Q (m,2m )， 则k QF ＝2m m －1，所以直线PF 的方程为y ＝1－m2m(x －1)，当直线l 与抛物线相切于原点O 时，不满足题意，由y 2＝4x (x ≠0)，取y ＝2x ，y ′＝1x(x ≠0)，所以直线l 的方程是y －2m ＝1m(x －m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－m 2m (x －1)，y －2m ＝1m(x －m )，解得点P 的横坐标x ＝－1，所以点P 在抛物线的准线上运动，当点P 的坐标是(－1,0)时，|PF |最小，最小值是2.。
高考数学二轮复习考点十六《直线与圆锥曲线综合问题》课件
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，右焦点到一条渐近 线的距离为 2，则此双曲线的焦距等于( ) A． 3 B．2 3 C．3 D．6
答案 B
|bc＋0| 解析 由题意，得焦点 F(c，0)到渐近线 bx＋ay＝0 的距离为 d＝ a2＋b2 ＝bcc＝b＝ 2，又ac＝ 3，c2＝a2＋b2，解得 c＝ 3，所以该双曲线的焦距为 2c＝2 3，故选 B.
A．若 x1＋x2＝6，则|PQ|＝8 B．以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C．设 M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥ 2 D．过点 M(0，1)与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 答案 ABC
解析 对于 A，因为 p＝2，所以 x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故 A 正 确；对于 B，设 N 为 PQ 的中点，点 N 在 l 上的射影为 N1，点 Q 在 l 上的射 影为 Q1，则由梯形性质可得|NN1|＝|PP1|＋2 |QQ1|＝|PF|＋2 |QF|＝|P2Q|，故 B 正 确；对于 C，因为 F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝ 2，故 C 正确；对于 D，显然直线 x＝0，y＝1 与抛物线只有一个公共点，设过 M 斜 率存在的直线的方程为 y＝kx＋1，联立yy＝ 2＝k4xx＋，1，可得 k2x2＋(2k－4)x＋1 ＝0，令 Δ＝0，则 k＝1，所以直线 y＝x＋1 与抛物线也只有一个公共点，此 时有三条直线符合题意，故 D 错误．故选 ABC.
三、填空题 9．若直线 2x＋4y＋m＝0 经过抛物线 y＝2x2 的焦点，则 m＝________.
高考数学二轮复习：第十六讲 向量与圆锥曲线
第十六讲 向量与圆锥曲线★★★高考在考什么 【考题回放】1．（重庆）已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线340x y ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （ ） （A ）23（B ）62（C ）72（D ）242.（全国）设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且12PF PF ∙=，则12PF PF += （ ）A ．10B ．210C ．5D ．253．设过点P(x,y)的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = 且1OQ AB ∙=，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．22331(0,0)2x y x y +=>> B ．22331(0,0)2x y x y -=>>C ．22331(0,0)2x y x y -=>>D ．22331(0,0)2x y x y +=>>4．已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足=⋅+⋅NP MN MP MN ，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（ ）（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 5．若曲线y2＝|x|＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是★★★高考要考什么 【热点透析】 知识要点：1．直线与圆锥曲线的公共点的情况00),(02=++⇒⎩⎨⎧==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 （1）没有公共点 → 方程组无解（2）一个公共点 → 0,0)0)=∆≠→=→A ii A i 相切相交（3）两个公共点 → 0,0>∆≠A2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：212122111AB k x x y y k =+-=+-3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 主要题型：1．三点共线问题； 2．公共点个数问题； 3．弦长问题； 4．中点问题； 5．定比分点问题； 6．对称问题； 7．平行与垂直问题； 8．角的问题。
高考数学二轮复习 专题五 第3讲 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题课件 文
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3.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立 目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况： (1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和 平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线 的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆 锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点 就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的 坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.
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从而直线 AP，AQ 的斜率之和 kAP＋kAQ＝y1x＋1 1＋y2x＋2 1＝kx1＋x12－k＋kx2＋x22－k ＝2k＋(2－k)x11＋x12＝2k＋(2－k)x1x＋1x2x2 ＝2k＋(2－k)42kk（（kk－－12））＝2k－2(k－1)＝2.
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(1)解 由题意得 a2a－b2＝ 22，a42＋b22＝1， 解得 a2＝8，b2＝4.所以 C 的方程为x82＋y42＝1. (2)证明 设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， M(xM，yM).将 y＝kx＋b 代入x82＋y42＝1 得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 故 xM＝x1＋2 x2＝2－k22＋kb1，yM＝k·xM＋b＝2k2b＋1.
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(2)双曲线中的最值 F1、F2 分别为双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P 为双 曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有 ①|OP|≥a；②|PF1|≥c－a. (3)抛物线中的最值 点 P 为抛物线 y2＝2px(p＞0)上的任一点，F 为焦点，则有 ①|PF|≥p2； ②A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值.
备战高考数学二轮复习常用的圆锥曲线公式总结
备战2019年高考数学二轮复习常用的圆锥曲线
公式总结
圆锥曲线包括圆, 椭圆, 双曲线, 抛物线。
以下是常用的圆锥曲线公式总结, 请考生及时学习。
抛物线: y = ax *+ bx + c
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
a 0时开口向上
a 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a(x+h)* + k
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
圆: 体积=4/3(pi)(r^3)
面积=(pi)(r^2)
周长=2(pi)r
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注: (a,b)是圆心坐标
备战2019年高考数学二轮复习常用的圆锥曲线公式总结的全部内容就是这些, 查字典数学网预祝考生取得优异的成绩。