3.3.1几何概型
3.3.1几何概型
题型二 与面积有关的几何概型
例2、取一个边长为2a的正方形及其内切圆， 如图，随机地向正方形丢一粒豆子，求豆子落 入圆内的概率。 解：记“豆子落入园内” 为事件A. 则事件A 圆的面积 发生的可能性等于
正方形的面积
所以，豆子落入园内的概率为
a
4a
2 2
4
题型三
与体积有关的几何概型
例3、已知棱长为2的正方体，内切球O，若 在正方体内任取一点，则这一点不在球内的 概率为_______.
解析 3 由几何概型知，P＝ . 1 000
解析答案
课堂小结
几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度(面积或体积) P ( A) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
古典概型
几何概型
基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的无限性
相同 区别 求解方法
基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的有限性
S S 1 4 则有 P(A)＝ 2＝ ＝ ，解得 S＝ . 2 4 3 3
解析答案
1
2
3
4
5
4.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，
绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( C )
1 A. 12 3 B. 8 1 C. 16 5 D. 6
解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的， 可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件.
1 事件A发生的概率P(A) 3
课堂练习
2.（1）在区间[0，10]上任意取一个整数x， 4 则x不大于3的概率为： 11 . （2）在区间[0，10]上任意取一个实数x， 3 则x不大于3的概率为： 10 .
人教版高中数学必修三第三章第3节 3.3.1 几何概型
射中黄心的概率等于黄心 的面积与箭靶的面积的比，即 两者直径之比的平方。
图3.3-2
例3 有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一 个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有 这个细菌的概率.
分析：细菌在这升水中的分布 可以看作是随机的，取得0.1 升水可作为事件的区域。
“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
考：还有其它方法吗？
探究规律：
几何概型公式（1）：
公式（1）： P(A)=
构成事件 A 的区域长度 全结果所构成的区域长度
练习1（口答）
一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒， 黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。 当你到达路口时，看见下列三种情况的 概率各是多少？
例2:如图，在边长为2的正方形中随机撒一粒 豆子，则豆子落在圆内的概率是________。
分析：随机撒一粒豆子，豆子落在 正方形内任何一点是等可能的，且 豆子所在的位置有无限多个，符合 几何概型。 求解：利用几何概型求出豆子撒在 圆内的概率为：
圆的面积 ＝ 正方形的面积 4
探究规律：
几何概型公式（2）：
公式（2）： P(A)=
构成事件 A 的区域面积 全结果所构成的区域面积
练习3
• 射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为 白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫 “黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直 径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶, 那么射中黄心的概率是多少?
• 几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
3.3.1几何概型
4.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上7：00～8：00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______．
5.如图， ， ， ，在线段 上任取一点 ，
试求：(1) 为钝角三角形的概率；(2) 为锐角三角形的概率．
（四）达标检测
1.在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于5/6的概率是_____________.
2.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min．则乘客到达站台立即乘上车的概率为_________________．
3.两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则求两人会面的概率为（）
3.在区间 中任意取一个数，则它与 之和大于 的概率是（）
A． B． C． D．
4.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy＝4的概率为（）
A． B． C． D．
5．在长为10的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25与49之间的概率为（）
A． B． C． D．
3.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g）范围内的概率是（）A．0.62 B．0.38 C．0.02 D．0.68
4．一艘轮船只有在涨潮的Байду номын сангаас候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨 至 和下午 至 ，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（）
A． B． C． D．
5.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率（ ）
3.3.1几何概型(用)
B
D
3m
E
C
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不 如上图， 小于1m”为事件 ，把绳子三等分，于 为事件A，把绳子三等分， 小于 为事件 是当剪断位置处在中间一段上时， 是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A发生。由于中间一段的长度等于绳子 发生。 发生 长的三分之一，所以事件A发生的概率 长的三分之一，所以事件 发生的概率 P（A）=1/3。 （ ） 。
(3)
⑴甲获胜的概率与所在扇形区域的圆弧的长度有 而与区域的位置无关。在转转盘时， 关，而与区域的位置无关。在转转盘时，指针指 向圆弧上哪一点都是等可能的。 向圆弧上哪一点都是等可能的。不管这些区域是 相邻，还是不相邻，甲获胜的概率是不变的。 相邻，还是不相邻，甲获胜的概率是不变的。 ⑵甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关， 甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关， 与图形的大小无关。 与图形的大小无关。
某人午觉醒来，发现表停了， 例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收 音机，想听电台报时， 音机，想听电台报时，求他等待的时间不多 10分钟的概率 分钟的概率. 于10分钟的概率.
分析：假设他在 分析：假设他在0~60分钟之间任何一个时刻打开 分钟之间任何一个时刻打开 收音机是等可能 等可能的 0~60之间有无穷个时刻， 之间有无穷个时刻 收音机是等可能的，但0~60之间有无穷个时刻， 不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。 不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。 因为电台每隔1小时报时一次，他在 因为电台每隔 小时报时一次，他在0~60之间任何 小时报时一次 之间任何 一个时刻打开收音机是等可能 等可能的 一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个 时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有 时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有 而与该时间段的位置无关， 关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型 的条件。 的条件。
3.3.1 几何概型公开课教学课件共20张PPT (共20张PPT)1
4 .解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形.
七、 作业
1.课本142 A组1、2、3题. 2.预习教材137-140页.
概率. 2.在区间[1，4]随机取出1个数，求这个数大于2的概率. 3.在区间[1，4]随机取出2个数，求这两个数的和小于3的概率. 4.在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL水样放到
显微镜下观察，发现草履虫的概率.
解决疑问：某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现， 红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至 多需要等待15秒才出现绿灯的概率为多少？
3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
学习目标
1.理解几何概型的定义及特点(重点）． 2.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率（重点、难点）． 3.了解几何概型与古典概型的区别．
一、复习回顾:
1.古典概型的特征
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件为有限个. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.
A事件的区域长度15
总长度40
【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至多需要等待15秒才 出现绿灯的概率为15 /40=3/8.
问：若至少需要等待15秒呢？
四、学以致用
（一）.与长度有关的几何概型
例1、某人午觉醒来，发现表停了，他打开收 音机，想听电台报时，求他等待的时间不多 于10分钟的概率。
极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心
对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ).
A1
Bπ
C1
Dπ
4
8
2
4
3.有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆
3.3.1几何概型优秀教案
3.3.1几何概型教学目标：1. 知识与能力（1）正确理解几何概型的概念，会判别某种概型是古典概型还是几何概型；（2）理解、掌握几何概型的概率公式．2. 过程与方法（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．3. 情感、态度、价值观本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯． 教学重点：几何概型的概念、公式及应用．教学难点：（1）几何概型的概念、公式及应用；（2）利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．教学过程：一、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。
例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点上……这些试验可能出现的结果都是无限多个．二、新课：（一）基本概念：阅读136第一到第六行：思考：1、什么是几何概率模型？2、几何概型的特点是什么？3、几何概型的概率如何计算？小结：公式：P （A ）= A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）． （二）例题分析：例1：判断下列试验中事件A 发生的概率是古典概型，还是几何概型．（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如课本P135图3.3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性．而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关． 例2：某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率. 可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件.小结：在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从[0，60]上的均匀分布，X 为[0，60]上的均匀随机数．（三）巩固练习：1．下列关于几何概型的说法错误的是（ ）A ．几何概型也是古典概型中的一种B ．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C ．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D ．几何概型中在一次试验中出现的结果有无限个2．在区间[0，3]内任取一点，则此点所对应的实数大于1的概率为（ ）A ．34B ．23C ．12D ．133．面积为S 的ABC ∆，D 是BC 的中点，向ABC ∆内部投一点，那么点落在ABD ∆内的概率是（ ）A ．13B ．12C ．14D ．164．某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．（四）课堂小结：几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例．（五）课后习题：P142 习题3.3 A 组1，2，3 B 组1，2（六）教学反思：几何概型的教学可采取对比教学，让学生弄清它与古典概型的区别与联系．。
3.3.1几何概型(两课时)(经典分类例题)
•
为什么要学习几何概型?
假设你家订了一份报纸,送报人可能在早 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父 亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00
之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为
事件A)的概率是多少?
能否用古典概型的公式来求解?
事件A包含的基本事件有多少?
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 借助于古典概率的定义，设想仍用 “事件的概率”等于“部分”比“全体” 的方法，来规定事件的概率. 不过现在的 “部分”和“全体”所包含的样本点是无 限的. 用什么数学方法才能构造出这样的 数学模型？ 显然用几何的方法是容易达到的.
练习
练习：课本：P140 1, 2
1.如右下图,假设你在每个图形上随机撒 一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概 率.
练习
练习：课本：P142 A组 1, 2，3
1.一张方桌的图案如图所示.将一颗豆子 随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上， 求下列事件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域.
（六）几何概型的应用
•
对于复杂的实际问题,解题的关键是要 建立模型,找出随机事件与所有基本事件相 对应的几何区域,把问题转化为几何概率问 题,利用几何概率公式求解.
思考
《练习册》P84例3
•
甲乙两人约定在6时到7时
之间在某处会面,并约定先到者 应等候另一个人一刻钟,到时即
可离去,求两人能会面的概率.
举例
（一）与长度有关的几何概型
例1: 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等待 的时间不多于10分钟的概率.
必修三3.3.1 几何概型
N B
2．在几何概型中，如果A为随机事件，若 P(A)＝0，则A一定是不可能事件；若P(A)＝1， 则A一定是必然事件，这种说法正确吗？ 这种说法是不正确的．如果随机事件所在 的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和 体积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是 不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是 从全部区域中扣除一个单点， N 则它出现的概率是1， 但它不是必然事件．
（a）一张大馅饼， （b）一张中馅饼， （c）一张小馅饼， （d）没得到馅饼的概率
某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机 ,想听电台报时,求他等待的时间不多于10 分钟的概率.
山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板．边长 为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可 投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画 有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的 最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘 米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米 到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的 其他部分，则得不到馅饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶 ，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上 ，试求一顾客将嬴得：
图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针 指黄色区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下 分别求甲获胜(记作事件A)的概率是多少?
N B N B N B N
B
N B B
(1)
(2)
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度 (
面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型， 简称几何概型 ．
B
B
N
【高中数学必修三】3.3.1几何概型
1 事件A发生的概率P( A) 3
问题2奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为 12.2cm，运动员在70m外射．假设射箭都能中靶，且 射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中 靶心的概率有多大？
基本事件:射中靶面上的任意一点 记“射中靶心”为事件A.
靶心直径12.2cm,于是射中靶心所在圆
答:海豚嘴尖离岸小于2m的概率约为0.31.
例3：取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随 机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.
解:记“豆子落入圆内”为事件A,则
圆面积 a 2 P(A)= 2 正方形面积 4a 4
答:豆子落入圆内的概率为
4
练一练
练习1. 在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出 现，记a∈(-1,2]为事件A，则P（A）=（ C ） A、1 B、0 C、1/2 D、1/3 -3 -1 0 2 3
数学运用：
例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打 开收音机,想听电台报时,求他等待的时 间不多于10分钟的概率. 解：设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心 的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间 段内,因此由几何概型的求概率的公式得
1 答：“等待的时间不超过10分钟”的概率为 ． 6
60 50 1 P( A) , 60 6
例2：一海豚在水池中自由游弋，水池长30m，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率．
30m
20m
2m
解：设事件A为“海豚嘴尖离岸边小于2m”（见阴影部 分）
阴影面积 30 20 - 2616 184 P A 0.31 水池面积 30 20 600
如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度（面积或体积）成比例，则称这 样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称为几何概型.