可解群与p_幂零群的若干充分条件
超可解群的一些新判别准则
上述 表 明 ， 对Ｉ ｎ ｔ （ Ｇ ） 的研究是 很 有 意义 的． 事
实上 ， 已经有很多相关研究 ， 如文献［ １ ， ４ ， ７ ， ８ ］ ． 文
＊
Ｐ， 可 知 Ｈ 是 ＊ － 拟 正 规 的． 然 而 Ｈ 既不 是 一 嵌
收稿 Ｅ ｔ 期： ２ ０ １ ６ — ０ ６ — ２ ０
（ １ ）Ｘ ∈ ，
定义 １ 令 Ｈ 是 群 Ｇ 的一 个 子 群 ， 称 Ｈ在 Ｇ 中是 ＊ 一 拟正 规 的 ， 如果存 在 Ｇ 的一 且
（ Ｈｎ Ｔ ） ＨＧ ／ ＨＧ ≤ （ Ｈ／ Ｈｏ ） Ｉ ｎ ｔ （ Ｇ／ ＨＧ ） ．
但是［ ８ ，Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｃ ］ 指 出， 上述性 质 当 』 Ｖ ≤ Ｉ ｎ ｔ （ Ｇ） 时仍成立 ， 这里 Ｉ ｎ ｔ （ Ｇ ） 表示 Ｇ 的所有
个被 Ａ 忠实作用 的单 Ｆ 一 模．由Ｅ ｓ ， Ｃ ｈ ａ ｐ ｔ ｅ ｒ １ ， Ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ６ ． ２ ］ 知， Ｉ ｎ ｔ ｕ（ Ｇ ） 一Ｐ， 且Ｉ ｎ ｔ ｕ （ Ｇ ） 一１ ． 注
第３ ８卷 第 ５期
Ｖｏ １ ． ３ ８ Ｎｏ ． ５
文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ２ １ ０ ３ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ５ — ０ ０ ０ ６ — ０ ５
菏 泽
学
院
学 报
２ ０ １ ６年 １ ０月
Ｏｃ ｔ ． ２ ０ １ ６
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈｅ ｚ ｅ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
意到 （ Ｇ） ≤ （ Ｇ） ≤Ｉ ｎ ｔ ｕ Ｐ （ Ｇ） ．则 （ Ｇ） 一１ ，
且ｌ ＰＩ ＞ ． 设 Ｈ 是 Ｐ 的一个 极大 子群 ， 取 Ｇ的 子群
极大子群指数为素数幂有限群
Ｖ０ Ｉ Ｏ Ｎｏ ５ ｌ２ ．
四川文 理学 院学 报
Ｓ ｃ ｕ ｎ Ｕｎｖ ｒｉｙ ｏ ｔ ｎ ｃｅ ｃ ｏ ｒ ａ ｉｈ ａ ｉｅ ｓｔ ｆＡｒｓａ ｄ Ｓ ｉｎ ｅＪ ｕ ｎ ｌ
２１ ０ ０年 Ｏ ９月
Ｓ ｐ． ０１ ｅ ２ ０
极 大子 群指数为素数幂 有限群
＆ 因 幂零 ， 以 所 ＜Ｍ， 而 ≤Ｎ （ ） ３ 从 ｃ ＜Ｇ 由 』 的 Ｉ ｆ
群； （ ） Ｇ群的 Ｆａ ｉ 子群 ； （ ） ＦＧ表 ｒｔｉ ｔｎ ７ Ｇ 表示整除 Ｉ 的所 ｒ ＧＩ 有索因子的集合． 未说明的符号见文献 ． ｊ
若不然 ， 则存在 Ｇ ∈ （ ） ｑ Ｇ 使得 Ｍ ＜ ． 故
苏跃 斌 张伦 军２ 叶 ， ，
（． １ 四川理工学院 理学院， 四川 自贡 ６３０ ；． ４００ ２ 罗江潺亭实验 中学， 四川 德阳 ６ ８０ ） １００
摘
要： 讨论 了含指数 为素数幂 的可解、 超可解或者幂零 的极 大子群 的有 限群 的结构． 到 了这类 群为 可 得
解群或超 可解群 的一些充分条件 ； Ｍ 是 Ｇ的一个幂零极 大子群 ， 设 如果 Ｉ ： ｌ ｐ （ Ｇ ＿ ｄＰ素数 ） 那么 Ｇ为可解群． ， 关键词 ： 可解群 ； 可解群 ； 超 指数 ； 大子群 极 中 图分类号 ： １２ １ Ｏ ５ ． 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ：６ ４— ２ ８ ２ １ ）５— ０ ９— ２ １７ ５４ （０ ０ ０ ０ １ ０
Ｍ ＜Ｇ ｒＮ （ １：Ｇ ｆＭ ＝Ｍｌ ｑ ｑ Ｇ Ｍｑ ｉ ｌ３ 矛 盾． 而 是 Ｇ的 Ｓ ｌｗ一９子 群 ， 而 肘 是 Ｇ的幂 零 从 ｙ ｏ 进
１ 相 关 引理
引理 １ 若 Ｇ的 ｓ ｏ ２子 群循 环 ， Ｇ为 ２ ｙ ｗ一 ｌ 则 一幂
仅有两个非平凡正规子群的可解群
２ ０ １ ５ 年 ｌ Ｏ 月
山西大同大学学报旧 然科学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｄ ａ ｔ ｏ ｎ ｇ ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ １ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
证 明 必 要性 ： 由引理 ２ 及 群 Ｇ仅 有 两个 非 平 凡 正规 子群 得 Ｇ的极小 正 规子 群唯 一， 又 由于 （ Ｇ ） ＝ １ 所 以 Ｇ ） 为群 Ｇ 唯 一 的极小 正规 子群 。 由引理 ３ 得
群， Ｊ Ｊ ＿ Ｆ （ Ｇ ） 为Ｇ 的唯一极小正规子群， Ｑ 为初等交换
必要性： 因为 Ｇ仅 有 两 个 非 平 凡 正 规 子 群 日和
Ｋ且 圩ｎ Ｋ ＝ Ｉ ， 所以Ｇ ＝ Ｈ Ｋ即 Ｇ ＝ Ｈ ×Ｋ 又 由 Ｇ ＞ Ｈ ＞ Ｉ ，
Ｇ ＞ Ｋ ＞ １ 为 群 Ｇ的 主群 列， 由 Ｇ可 解 得 日和 均 为 初 等 交换 ｐ 一 群， 故Ｇ 交 换， 而 由 Ｇ仅 有两 个非 平 凡正 规 子 群得 Ｇ兰Ｃ ×Ｃ 其 中Ｐ ，ｑ 为 不 同素数 。
超特 殊Ｐ 一 群， 除非 Ｇ － Ａ 。
（ １ １ Ｇ 幂零 当且仅 当Ｇ 为Ｐ 阶循环群； （ ２ ） Ｇ可 解 但 非 幂 零 当且 仅 当 Ｇ ＝Ｐ Ｑ ， 其 中Ｐ
为初 等交 换Ｐ 一 群， Ｑ为 ｑ 阶循环 群且 Ｑ在 Ｐ上 作 用不
可约 。
２ 主要 结 果
定理 １ 设Ｇ 为有 限可解群 。如果 Ｇ 仅有两个非 平凡 正规 子 群，那 么 （ １ ） Ｇ 幂零当且仅当 Ｇ 为Ｐ 阶循环群或 Ｇ ＝ Ｃ ×
一
引理 ７ 设 ７ ｒ 一 群 Ⅳ作用在交换 ７ ｒ 一 群Ｇ 上， Ａ 是 日的不变子群， 且为Ｇ 的直 积因子， 即存在 Ｂ≤Ｇ
条件c-正规子群对有限群结构的影响
定 义 １ 设 Ｈ 是有 限群 Ｇ 的一个 子群 ， 果 Ｇ有 正规 子群 Ｎ 使 得 ＨＮ ， Ｈ 如 ｑＧ 且 ｎ Ｎ Ｈ ， 则称 Ｈ 为 Ｇ 的条 件 ｃ正规 子群 或者说 Ｈ 在 Ｇ 中是 条件 ｃ正 规 的． 为 Ｈ 一 一 记 ｔ Ｇ． ｃ 显然 ，一 ｃ正规 子群 是条 件 ｃ正 规子 群 ， 之 不然 ． 一 反 事实 上 ， 对于 对称 群 Ｓ 它含 有一 个正 规 子群 Ｋ ， Ｈ ， 设 是 Ｓ 的 Ｓ ｌｗ ３子群 ， ｙｏ － 则可 知 Ｋ Ｈ ＝ Ａ Ｓ ， ｎ Ｋ Ｈ 一 １， 以 Ｈ ， Ｈ 不 为 Ｇ 的 ｃ正 规子 群． 所 ｔＧ 但 ｃ ～
． ６ Ｎｏ ５ ３ ．
Ｓ ｐ． ０ ８ ｅ ｔ２ ０
文章 编 号 ： ０ Ｏ ２ ６ （ ０ ８ ０ —０ ２ 一 Ｏ １０一 ３７２０）５ ０４ ３
条 件 ｃ正 规 子 群对 有 限群结 构 的影 响 一
郭静 安 ， 祥 贵 钟
（ 西 师 范 大 学 数 学 科 学 学 院 ， 西 桂 林 ５ １０ ） 广 广 ４ ０ ４
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第３ ６卷 第 ５期 ２０ ０ ８年 ９月
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ 河 南 师Ｎｏ ｍａ学 报ｉｅｓｔ （ 版 ） ａ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ Ｈｅ ａ 范 大 学ｌＵｎ（ ｒｉ科 学 ｔ ｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｎｎ ｒ ｖ自然ｙ Ｎａ ｕ ｒ
结果．
关键 词 ： 条件 ｃ 一 正规子群 ； 超可解群 ； 可解群
中图分类 号 ： １ 文考虑 的群 均为 有限 ， 用符 号和 术语 均是标 准 的． 所
１９ ９ ６年 ，王燕 鸣在 文献 ［ ］ 引入 ｃ正 规子 群 的概 念． １中 一 此后 ， 德 玉 、 秀 云＿ ］ 群 的某 些 子群 的 ｃ正 李 郭 ２就 。 一 规性 对有 限群 结构 的影 响进行 了研 究． 韦华 全＿ 利 用 Ｓ ｌｗ子 群 的极 大 和 极小 子 群 的 ｃ正规 性 对 包 含超 可 ４ ｙｏ 一
有限群的WSC-子群与p-幂零性
第39卷第2期西南师范大学学报(自然科学版)2014年2月V o l.39N o.2 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)F e b.2014文章编号:10005471(2014)2000103有限群的W S C-子群与p幂零性①韩章家,陈晨,张志让成都信息工程学院应用数学学院,成都610225摘要:设H是群G的子群,如果H是G的弱s置换子群,或者是G的半覆盖远离子群,则H是G的W S C-子群.利用W S C-子群的性质给出了几个G是p幂零群的充分条件.关键词:有限群;弱s置换子群;半覆盖远离子群;p幂零群中图分类号:O152.1文献标志码:A研究有限群的具有某些特性的子群与有限群的结构之间的关系一直是有限群论的重要课题之一.文献[1]引入了弱s置换子群的概念,并利用一些特殊子群的弱s置换性得到了有限群超可解的一些充分条件.2006年,文献[2]引入了半覆盖远离子群的概念.设H为G的一个子群,M,N正规于G,且N<M,如果H N=HM,则称H覆盖M/N,而当HɘN=HɘM时,则称H远离M/N.我们可以看到,子群的弱s置换性和半覆盖远离性在刻画群结构方面有类似的结果,那么我们能否将这两种形式的结果结合起来呢?本文试图就这一问题作一些探讨.定义1如果G的子群H要么是G的弱s置换子群,要么是G的半覆盖远离子群,则称H是G的W S C-子群.下面的关于W S C-子群的性质在本文中是必要的:引理1[2-3]设G为群,K◁_G,HɤG,那么1)如果HɤMɤG,且H是G的W S C-子群,那么H是M的W S C-子群;2)设H是G的W S C-子群,如果g c d(|K|,|H|)=1,那么H K/K是G/K的W S C-子群.定理1设G是群.令p是能整除G的阶的奇阶素数,P是G的S y l o w p子群.如果N G(P)是p幂零的,并且P的每个极大子群是G的W S C-子群,那么G是p幂零的.证1)O pᶄ(G)=1.假设O pᶄ(G)ʂ1,设P O pᶄ(G)/O pᶄ(G)是G/O pᶄ(G)的S y l o w p子群.记췍G=G/O pᶄ(G),췍P= P O pᶄ(G)/O pᶄ(G),则N췍G(췍P)=N G(P)/O pᶄ(G)是幂零群.又记P1O pᶄ(G)/O pᶄ(G)是P O pᶄ(G)/O pᶄ(G)的极大子群.因为g c d(|P1|,|O pᶄ(G)|)=1,由引理1,P1O pᶄ(G)/O pᶄ(G)是P O pᶄ(G)/O pᶄ(G)的W S C-子群,那么G/O pᶄ(G)满足定理条件,即对于G/O pᶄ(G),N췍G(췍P)是p幂零的,且G/O pᶄ(G)的每个极大子群都是它的W S C-子群.所以G/O pᶄ(G)是p幂零的,那么G是p幂零群,矛盾.所以O pᶄ(G)=1.2)假设M是G的某一真子群,使得PɤM<G,那么M是p幂零群.显然N M(P)ɤN G(P),因此N M(P)是p幂零的.由引理1,M满足定理的条件,由G的极小性,M①收稿日期:20121022基金项目:国家自然科学基金(11301426),四川省教育厅面上项目(14Z A0314).作者简介:韩章家(1972),男,湖北红安人,副教授,主要从事群论的研究.Copyright©博看网. All Rights Reserved.2西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第39卷是p幂零的.3)G=P Q,其中Q是G的S y l o w q子群,pʂq,G是超可解群.如果G不是p幂零的,由文献[4],存在P的一个特征子群H(ʂ1),使得N G(P)为p幂零群,且N G(H)不是p幂零群.但是对于P的每个包含H的特征子群K,N G(K)为p幂零群,这里H<KɤP.因为H在P中特征,并且P◁_N G(P),则H◁_N G(P)并且N G(P)ɤN G(H).又因为N G(H)不是p 幂零的,故N G(P)<N G(H),由2)可得到N G(H)=G,从而O p(G)=H.由H的选择我们知道,对于P 的每个包含O p(G)的特征子群K,N G(K)是p幂零的.再由文献[4],我们有G/O p(G)是p幂零的,此时G是p可解的.对于任意qɪπ(G)且pʂq,存在G的S y l o w q子群Q,使得G1=P Q是G的一个子群.如果G1<G,由2)我们知道G1是p幂零的.由O pᶄ(G)=1,我们得到,QɤC G(O p(G))ɤO p(G),矛盾.所以G=G1=P Q.4)G是p幂零群.令N是G的极小正规子群,因为O pᶄ(G)=1,则N是p群且NɤO p(P).由引理1知,G/N满足定理条件,再由G的极小性,G/N是p幂零群.因为p幂零群系是饱和群系,故N是G的唯一极小正规子群,且N⊈Φ(G).因此存在G的极大子群M,使得G=MN,且MɘN=1,N=C G(N)=O p(G)=F(G).设M p是M的极大子群,则G p=N M p是G的S y l o w p子群.如果M p=1,则G p=N,因此N G(P)=N G(N) =G,则G是p幂零群,矛盾.因此M pʂ1,M p包含在G p的某个极大子群P1中.令N1=P1ɘN,那么|NʒN1|=|NʒP1ɘN|=p,故N1是N的极大子群.假设P1是G的弱s置换子群,即存在xɪG,使得P1Q x=Q x P1,这里取Q是G的任一S y l o w q子群.因为N1=NɘP1⊆NɘP1Q xɤN,所以N=N ɘP1Q x,或者N1=NɘP1Q x.如果N=NɘP1Q x,那么NɤP1Q x.因为M pɤP1,则G pɤP1Q x,矛盾.所以N1=NɘP1Q x.因为N1=NɘP1Q x◁_P1Q x,那么N1◁_<P1Q x,N>=G.由N的极小性,我们得到N1=1,因此|N|=p.设p>q,则N Q是p幂零群,因此Q⊆C G(N)=C G(O p(G))ɤO p(G),矛盾.如果p<q,因为M≅G/N=N G(N)/C G(N)≅UɤA u t(N),我们可以得到M是交换群,从而M=QˑM p.现在设G=(Q M p)N,我们得到M p N=G pɤG,因此G=N G(P)是p幂零群,矛盾.如果P1是G的半覆盖远离子群,由N的极小性知P1覆盖N/1,所以N是阶为p的循环群,即NɤZ(P)并且PɤC G(N).由于C G(N)ɤN,故N=P是G的S y l o w p子群,从而由假设就可得G=N G(P)是p幂零群,矛盾.我们假设P的每个极小正规子群覆盖N/1,因此NɤΦ(P),从而NɤΦ(G),矛盾.定理2设G是群.令p是能整除G的阶的最小素数,且P是G的S y l o w p子群,并且使得P的每个4阶循环子群是G的W S C-子群,而P的每个p阶元素群包含在Z F(G)中,这里F是p幂零群类,P与四元素群无关,那么G是p幂零的.证设结论不真,群G为极小反例.由引理1,G的任意一个子群H满足定理2的条件,故G是内p 幂零群.由文献[5]的定理9.1.9,存在G的S y l o w p子群P和S y l o w q子群Q,使得G=P Q,其中P◁_G 且Q是循环的,而且P=Gᶄ.如果p为奇数,则e x p(P)=p;如果p=2,则e x p(P)|4.进一步有P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群.设xɪG且x∉Φ(P),则x的阶为p或者4.接下来我们分3种情况讨论.1)设P是交换群.此时P是初等交换群,由假设,P的每个p阶子群包含在Z F(G)中.再由文献[6-7]知,G是p幂零群,矛盾.2)设P不是交换群,且p>2.此时P的幂指数是p,P的每个p阶子群包含在Z F(G)中,PɤZ F(G).由文献[6]可得,G是p幂零群,矛盾.3)设P不是交换群,且p=2.令L=<x>是P的循环子群,如果L是弱s置换子群,设Q是G的循环S y l o w q-子群,则存在gɪG使得L Q g=Q g L.由模律,有PɘL Q g=L(PɘQ g)=L◁_L Q g,所以L Q g ɤN G(L).我们考虑P/Φ(P)的子群LΦ(P)/Φ(P),因为P/Φ(P)是初等交换群,则LΦ(P)/Φ(P)◁_PΦ(P)/Φ(P).由Q gɤN G(L),且LΦ(P)/Φ(P)◁_G/Φ(P),因此LΦ(P)◁_G,所以L=LΦ(P)=P,矛盾.这个矛盾显示<x>不是G的弱s置换子群,而是半覆盖远离子群,即<x>在G中具有半覆盖远离性质.于是存在G的一个主列1=G0ɤG1ɤ ɤG l=G,使得<x>覆盖或者远离所有的G i+1/G i.因为xɪG,Copyright©博看网. All Rights Reserved.所以存在某个k ,使得x ∉G k 但x ɪG k +1.由G k ɘ<x >ʂG k +1ɘ<x >可得G k <x >=G k +1<x >=G k +1.故G k +1/G k 是一个阶为p 或4的循环群.由于G k ɘP ◁_G ,且P /Φ(P )是G /Φ(P )的极小正规子群,因此(G k ɘP )Φ(P )=Φ(P ),P .如果(G k ɘP )Φ(P )=P ,则G k ɘP =P ,这与x ∉G k ɘP 矛盾,故G k ɘP ɤΦ(P ).另一方面,(G k +1ɘP )Φ(P )=P ,故P /Φ(P )是一个阶为p 的循环群.利用引理1得G /Φ(P )满足定理2的假设,从而G /Φ(P )是p 幂零的,当然G 就是p 幂零的,矛盾.若p =2,并且P 与四元素群无关,在这种情况下,如果x 的阶为2,那么L =<x >是阶为2的子群,因此我们可以用1)的讨论得到矛盾.故我们假设P 的每个2阶子群包含在Φ(G )中,因此Φ(G )ʂ1,Z (P )ɘ(Ω1(Φ(P )))ɤZ (G ).得到Z (G )ɘP ɘG N =Z (G )ɘP ɘG =Z (G )ɘP ʂ1,由文献[8]的定理6.2.8,我们有Z (G )ɘP ɘG N=1(其中G N 是G 的幂零剩余).因此G 就是p 幂零的,矛盾.定理2得证.参考文献:[1]S K I B A A N.O n W e a k l y s P e r m u t a b l eS u b g r o u p s o fF i n i t eG r o u p s [J ].JA l g e b r a ,2007,315(1):192-209.[2] 樊 恽,郭秀云,岑嘉评.关于子群的两种广义正规性的注记[J ].数学年刊,2006,27A (2):169-176.[3] 陈云坤,游太杰.S yl o w 子群的弱正规化和子群的弱s 置换性[J ].扬州大学学报:自然科学版,2011,14(3):1-5.[4] T HOM P S O NJG.N o r m a l p C o m p l e m e n t s f o rF i n i t eG r o u p s [J ].JA l g e b r a ,1964,1(1):43-46.[5] R O B I N S O N DJS .AC u o r s e i n t h eT h e o r y o fG r o u p s [M ].N e w Y o r k :S p r i n g e r -V e r l a g ,1980.[6] L A U ER.D u a l i z a t i o no f S a t u r a t i o n f o rL o c a l l y D e f i n e dF o r m a t i o n [J ].JA l ge b r a ,1978,52(2):347-353.[7] D O E R KJ ,D E S K I N SB W E ,MU K H E R J E E NP .T h e I nf l u e n c eo fM i n i m a l p S u bg r o u p so n th eS t r u c t u r eo fFi n i t e G r o u ps [J ].A r c h M a t c h ,1985,45:1-4.[8] D O R N HO F FL .M -G r o u p s a n d2-G r o u ps [J ].M a t hZ ,1967,100(3):226-256.[9] 韩章家.p 幂零群的几个充要条件[J ].西南师范大学学报:自然科学版,2009,34(5):7-13.O n W S C -S u b g r o u p s o f F i n i t eG r o u p s a n d p -N i l p o t e n c yHA NZ h a n g -j i a , C H E N C h e n , Z HA N GZ h i -r a n g S c h o o l o f A p p l i e dM a t h e m a t i c s ,C h e n g d uU n i v e r s i t y o f I n f o r m a t i o nT e c h n o l o g y ,C h e n gd u 610225,C h i n a A b s t r a c t :As u b g r o u p H o f G i s c a l le d aW S C -s u b g r o u p of G i f i t i s e i t h e r aw e a k l y s -p e r m u t a b l e s u bg r o u p o r a s e m i -c o v e r -a v o i d i n g s ub g r o u p o f G .I n t h i s p a p e r ,w i t h t h ec o n c e p t o fW S C -g r o u p s ,s o m e s u f f i c i e n t c o nd i t i o n s o f p -n i l p o te n t g r o u p s h a v eb e e n g i v e n .K e y w o r d s :f i n i t eg r o u p ;s -p e r m u t a b l e s u b g r o u p ;s e m i c o v e r -a v o i d i n g s u b g r o u p ;p -n i l p o t e n t g r o u p 责任编辑 廖 坤3第2期 韩章家,等:有限群的W S C -子群与p 幂零性Copyright ©博看网. 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次正规子群对有限群可解性的影响
２０ ０ ７年 ５月 第３ Ｏ卷 第 ３期
四川师范大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｉ ｕｎＮ ｒ ａ Ｕ ｉｅ ｉ （ ａ ｒ ｃｅｃ ） ｏｒａ ｏ Ｓｃ ａ ｏｍ ｌ ｎｖｒｔ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｅ ｈ ｓｙ ｕｌ ｎ
（ ） Ⅳ≤ 日≤ Ｇ 且 Ｎ＜ Ｇ 则 Ｎ 日； １若 ， ３ ， ＜ ３ （ ） Ｎ＜Ｇ 且 Ⅳ ２ 若 ３， 】 Ｇ 则 Ｎ Ｎ Ｎ ＜Ｇ Ｎ ， １／ ＜ ３ ／ ； ３
（ ）若 Ｈ ＧＰ ∈ ７ Ｇ ， ３ ３ ＜ ， ｒ ） 则对 任意 Ｇ （ ∈ Ｓｌ Ｇ ．有 日 ｎ Ｇ ∈ Ｓｌ 日 ． 特 别 地 ，若 ｙ （） ｐ ｙ（） ｐ
证 明
Ｈ＜Ｈ ３ １
必要性 假设 Ｇ 不是幂零群 ， 下面分 ３ 步证明
结论 ．
因 Ｈ＜ Ｇ， 故 有 次 正 规 群 列 ： ３
・ ・ ＝Ｇ 设 ＰＭ＿． Ｈ＜ Ｈ ， 以 ． Ｇ 因 ３ １所
（ ） 是 幂 零群．由引理 １１知 的每个 １ ．
Ｓｌｗ 子 群 均在 中次正 规 ， 由引理 １１知 的 ｙｏ 一 再 ． 每个 Ｓ ｌ 一 群均 在 中正规 ， 以 是幂 零群． ｙｏ 子 ｗ 所 （ ）Ｇ是 可解群 ． ＩＧＩ用 归 纳法． Ｍ ∈ ２ 对 设
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日在 Ｇ的某个次正规列 中出现． ＜ Ｇ表示 是 Ｇ的 Ｍ ・
一
极小单群． 引理 １５ 设 Ｉ ＝ｐ ； ． Ｖ （ ） ．¨ Ｉ ｔ Ｇ １ … ｚ ｐ 若 Ｇ
＝
｛ ｝则 ： １，
（ ）ｎ≤ ３时 ， １ １ ∑ｉ ‘＝ｎ ＝ ；
个极大子群． 称群的子群 日为 Ｇ的ｎ 极大子群 ， ． 如
Ｆ ｌＴ ｏ ｓｎ 阶定理知 Ｇ 可解 ， 以 Ｇ可解． ｅｔ ｈ ｍｐ ｏ 奇 — ／ 所
有限p—幂零群的一个新刻划
有限p—幂零群的一个新刻划
李建华
【期刊名称】《西南师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1992(017)004
【摘要】推广了Itδ的结果,得到下述主要定理.定理1 设G是有限群,N（?）G,G/N p-幂零.那么（i）p为奇素数时,G p-幂零当且仅当N的p阶元均含于Zp∞（G）;（ii）p=2时,G 2-幂零当且仅当N的2.22阶元均含于Z2∞（G）.定理2 设G是有限群,N（?）G且G/N是幂零群.那么G是幂零群当且仅当N的素数阶元与22阶元均.含于Z∞（G）.此外,还证明了定理3 设G是有限群.则Zp∞（G）=NIG=∩{M|M为G的极大p-幂零子群}.
【总页数】4页(P430-433)
【作者】李建华
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O152
【相关文献】
1.有限p-幂零群一个新的判别准则 [J], 刘娟;郝成功
2.关于非幂零极大子群皆正规的有限群的一个注记 [J], 史江涛
3.有限幂零群的若干刻划 [J], 王坤仁
4.有限群为p—幂零群的一个充分条件 [J], 杨高才
5.有限特殊射影酉群U3（q）的一个新刻划 [J], 毕建行
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p-幕零群的一个等价条件
≥ ０（ Ｇ）。
的 ，若 Ｇ有一 个次 正规子 群 使得 Ｇ ＝
Ｔ ≤ Ｈｓ 。 Ｇ
且 ｎ
仿照文 ［ ５，Ｌ ｍ ａ１４ 的证 明可得 ｅ ｍ ． ］ 引理 ２ 设 Ｐ为 Ｇ的 一个 Ｓｌｗｐ 子 群 ，若 Ｐ ｙｏ －
第４ ７卷 第 ５期 ２０ ０ ８年 ９月
中山大学学报 （ 自然科学版 ） Ａ Ｔ Ｓ ＩＮ Ｉ Ｒ Ｍ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＵ Ｃ Ａ ＣＥ ＴＡ Ｕ Ａ Ｕ Ａ ＩＭ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ ＴＳ Ｓ Ｎ Ａ Ｓ Ｎ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＡ Ｉ Ｕ Ｙ Ｔ Ｅ Ｉ
Ｖｏ． ７ Ｎｏ ５ １４ ． Ｓｅ ． ２ ８ ｐ ００
Ｓ ｌ ． 群 的全 体 。其 余 符 号及 术 语 是标 准 的 ， ｙｏ Ｐ 子 ｗ 见 文 ［ ］ １。
群 Ｇ的子 群 日与 Ｋ称 为是 置换 的 ，如 果 Ｈ ＝ Ｋ Ｋ Ｈ。显 然群 Ｇ的两个 子群 日 与 Ｋ是 置换 的当且 仅 当Ｈ Ｋ是 Ｇ的子群 。设 ≤ Ｇ，称 在 Ｇ中是拟 正 规 的 ，如 果 日 与 Ｇ的每 一 个 子群 置 换 ；称 在 Ｇ 中是 ｓ置 换 的 （ －ｅｍｕａｌ ） ・ ｓ ｒ ｔ ｅ ，或 ｓ拟 正 规 的 ｐ ｂ 一
（—ｕ ｓ ｏ ａ） ｓ ａｉ ｒ １ ，或 ７ 拟 正 规 的 （ｒ ｕ ｓ ｏ ａ） ｑ ｎｍ ｒ ． ７ ｑ ａｉ ｒ １ ， — ｎｍ
换子 群 或 ｃ正 规 子 群 等 ） 而 得 到 群 Ｇ 的 细 致 结 一 构 １ 。Ｓ ｉａ ２ ｋｂ ［ 过 假 设 Ｇ的 所 有 Ｓｌｗ 子 群 的 ］ 通 ｙ 一 ｏ 某 一类 子群 为 Ｇ的弱 ｓ置换 子群 而得 到 了 Ｇ为超可 一 解群 的等 价条 件 ， 而 统一 了近 年来 人们 在 有 限超 从 可解 群 方 面 的研 究 工作 。在 本 文 中 ，通 过 假 设 Ｇ 的一 个 Ｓｌ － ｙ ｗ ｐ子群 的某 一类 子 群 为 Ｇ的弱 ｓ置换 ｏ 一
超可解群的几个充分条件
超可解群的几个充分条件在数学中，超可解群（超解群）是一个重要的概念，它表明群或代数结构可以被分解为可解群或更小维度的可解群的组合。
它有一组充分条件，使它可以成立。
本文将着重介绍满足这些充分条件的超可解群的一些特征和特点，并详细介绍相关的条件。
超可解群的第一个充分条件是结构稳定性。
也就是说，超可解群要能够拥有脆性机构，能够抵抗外界环境的变化。
这个条件可以分解到内部连接和外部连接两个方面，也称为稳定性理论，基于对群结构的解释和对可解群结构的特征。
内部稳定性意味着超可解群的每一个部分都应该能够被另一个部分承受，从而产生能够被控制的相互作用效应。
外部稳定性则指群应该能够维持内部的结构，在外界环境变化或干扰的情况下保持可解群结构的完整性。
超可解群的第二个充分条件是可解群结构的关系。
也就是说，要使超可解群成立，则它的组成元素之间必须有严格的关系，这样才能反映出元素之间的相互作用。
这个关系可以表示为群的因果关系，其中一个元素的状态可能会影响其他元素的状态，从而引起不同的变化。
在这种情况下，所有的元素的状态都可以通过因果关系来分解，使其可解性得以保持。
最后一个充分条件是可解群的性质。
也就是说，超可解群最终会得到一系列可解群，而可解群在概念上具有一定的特征，如可计算性、逆性和解析性。
逆性指的是可解群的结构可以从另一个可解群中获得，而解析性则指一个可解群是另一个可解群的有限子集。
这样，超可解群最终可以包含若干个不同的可解群，这些可解群之间具有一定的关系，能够形成一个稳定的系统结构。
综上所述，超可解群的存在有着多个充分条件，在这里介绍了三个充分条件，结构稳定性、可解群结构的关系以及可解群的性质。
虽然这些条件只是决定超可解群是否存在的一部分，但它们能够构建一个独立的超可解群结构，这个结构可以支持复杂的现实场景，并保持某种相对稳定的状态。
通过这些条件，超可解群可以灵活地运行，并具备高度可解性，使它能够应对复杂环境的变化，从而达到更好的应用效果。
有限群的半覆盖-远离及X-半置换子群
有限群的半覆盖-远离及X-半置换子群石向东;韦华全;黄杰山【摘要】研究某些Sylow子群的极大子群或二次极大子群的半覆盖-远离性或x-半置换性对有限群的P-幂零性的影响，得到有限群成为P-幂零群的几个充分和必要条件．%The influence of semi-cover-avoiding and X - semipermutable properties of maximal and 2-maximal subgroups of some Sylow subgroups on the p - nilpotency of finite groups are investigated. Some sufficient and necessary conditions for a finite group to be p- nilpotent are obtained.【期刊名称】《广西科学院学报》【年(卷),期】2012(028)002【总页数】5页(P93-97)【关键词】有限群Sylow子群;P-幂零群;半覆盖-远离子群;x-半置换【作者】石向东;韦华全;黄杰山【作者单位】梧州学院数理系,广西梧州543002;广西师范学院数学科学学院,广西南宁530001;南宁职业技术学院,广西南宁530022【正文语种】中文【中图分类】O152近年来，利用子群的各种特性研究群的结构是群论工作者感兴趣的课题.半覆盖－远离性及X-半置换性是子群的两种重要的特性，已成为了群论研究的热点之一.2006年文献［1］引入子群的半覆盖-远离性，并利用该性质给出群为p-可解、可解和超可解的若干判别条件.此后，一些作者也利用子群的半覆盖-远离性得到有限群结构的若干刻画［2～4］.子群的X-半置换性是由郭文彬等［5］于2007年引入的.他们利用子群的X-半置换性得到了有限群成为幂零群和超可解群等的若干充分和必要条件.子群的X-半置换性是子群置换性（拟正规性）、弱拟正规性和半正规性的统一推广.本文继续研究子群的半覆盖-远离性和X-半置换性对有限群结构的影响.首先，给出两个例子，说明半覆盖-远离性与X-半置换是两个独立的概念.其次，探讨某些Sylow子群的极大子群或二次极大子群的半覆盖-远离性或X-半置换性对有限群的p-幂零性的影响，得到有限群成为p-幂零群的几个充分和必要条件，推广了若干已知的结果.文中之群皆指有限群，Fp（G）表示群G的p-Fitting子群，其他所用术语和符号都是标准的.称群G为与A4无关，如果G的任一子群的商群都不与A4同构.设H是群G的一个子群，M／N为G的一个正规因子.若MH＝NH，则称H覆盖M／N；若H∩M＝H∩N，则称H远离M／N；若H或覆盖或远离G的每个主因子，则称H具有覆盖-远离性质，也称H 为G 的CAP-子群［1］.定义1.1［1］设H是群G的一个子群.如果存在G的一个主群列1＝G0＜G1＜…＜Gl＝G，使得对每个i＝1，…，l，H 或者覆盖Gi／Gi－1 或者远离Gi／Gi－1，则称H 具有半覆盖-远离性.定义1.2［5］设X是群G的一个非空子集.G的一个子群A叫做在G中X-半置换，如果存在G的子群T使得G＝AT且对于T的任意子群T1，存在x∈X使得ATx1＝Tx1A.注1.1 半覆盖-远离性与X-半置换是两个独立的概念.例如：（1）设G＝A4，A∈Syl3（G）.则A覆盖或者远离G的主群列1＜G1＜G，其中G1∈Syl2（G），故A在G中半覆盖-远离.但对于G的任意非空子集X，A不在G中X-半置换，否则G中有6阶子群，矛盾.（2）设G＝A5，T∈Syl5（G）.则G有一个子群A≅A4且G＝AT满足对于T的任意子群T1有AT1＝T1A（事实上，T1＝1或T），所以A在G中X-半置换（X ＝1），但是显然A不在G中半覆盖-远离.引理1.1［1］设H是群G的一个子群，1＜…＜N＜…＜M＜…＜G是G的一个正规群列.如果H 覆盖（或者远离）M／N，则H覆盖（或者远离）这个正规群列的任何加细的介于M 和N之间的正规因子.引理1.2［2］设N是群G的正规子群，H是G的半覆盖-远离子群.如果下列条件之一成立，则HN／N是G／N的半覆盖-远离子群：（a）N ≤ H；（b）（｜H｜，｜N｜）＝1.引理1.3［2］设H是群G的半覆盖-远离子群.如果H≤K≤G，那么H是K的半覆盖-远离子群.由文献［5］，我们以X（A）表示A在G中的补T的集合，使得对于任意T1≤T，存在x∈X使得＝.这样A在G中X-半置换当且仅当X（A）≠Ø.引理1.4［5］设A，X 都是群G 的子群.则（1）若N ＜G，A 在G 中X-半置换且T ∈X（A），则AN／N 在G／N 中 XN／N-半置换且TN／N ∈ （XN／N）（AN／N）；（2）若A在G中X-半置换，A≤D≤G且X≤D，则A在D中X-半置换；（3）若A在G中X-半置换，X≤D，则A在G中D-半置换.引理1.5［6］设G是π-可分群，¯G＝G／O′π（G）.则C¯G（Oπ（¯G））≤Oπ（¯G）；特别地，若Oπ′（G）＝1，则CG（Oπ（G））≤Oπ（G）.引理1.6［7］若N ＜G，U ≤G 且N ≤Φ（U），则N ≤Φ（G）.引理1.7［8］设G是群，p是｜G｜的一个素因子且（｜G｜，p－1）＝1.则（1）若N 是G的p阶正规子群，则N ≤Z（G）；（2）若G有循环的Sylow p-子群，则G为p-幂零；（3）若M是G的指数为p的子群，则M在G中正规.引理1.8［7］设A，B 均为群G的子群，其中G≠AB且ABg＝BgA对一切g∈G 成立.则A或B包含在一个异于G的正规子群之中.引理1.9［8］设H是群G的正规子群并使得G／H为p-幂零，P是H的Sylowp-子群.若｜P｜≤p2且下述条件之一满足，则G是p-幂零群：（a）p是｜G｜的最小素因子且G与A4无关；（b）（｜G｜，p2－1）＝1.定理2.1 设P是群G的Sylowp-子群，其中p是｜G｜的一个素因子且（｜G｜，p－1）＝1.则G是p-幂零群当且仅当P的极大子群在G中半覆盖-远离或Fp（G）-半置换.证明必要性.设G是p-幂零群，K为G的正规p-补，P1是P的极大子群.显然，P1覆盖P1K／K但远离G／P1K及K1／1，所以P1覆盖或远离G的正规列1≤K≤P1K≤G的每个正规因子.由引理1.1知，P1覆盖或远离由这个正规列加细而得到的G的主群列的每个主因子，即P1在G中半覆盖-远离.必要性得证.充分性.设G是极小阶反例并记X＝Fp（G）.则（1）Op′（G）＝ 1.设 N ＝Op′（G）≠ 1. 显然，PN／N ∈Sylp（G／N）.设P1N／N 是PN／N 的一个极大子群，其中P1是P的某个极大子群.由题设，P1在G中半覆盖-远离或X-半置换，再由引理1.2及引理1.4知，P1N／N在G／N中半覆盖-远离或XN／N-半置换.这样，G／N满足定理的条件.由G为极小阶反例得到G／N为p-幂零，从而G为p-幂零，矛盾.（2）若P≤H ＜G，则H 为p-幂零群.由（1）知，X＝Fp（G）＝Op（G）≤Fp（H）.再由引理1.3及引理1.4知，P的极大子群在H中半覆盖-远离或X-半置换.故H满足定理的条件，由G的选择知H为p-幂零群.（3）Op（G）＝1.若否，设N是G的含于Op（G）的极小正规子群.则N是初等交换p-群.由引理1.2及引理1.4易知G／N满足定理的条件，故由G的选择得G／N为p-幂零群.由于p-幂零群类是饱和群系［7］，可设N为G的含于Op（G）的唯一极小正规子群且N⊄Φ（G）.于是存在G的极大子群M使得G＝NM且N∩M＝1.易知Op （G）∩M ＜G，故Op（G）∩M＝1.由此得到N＝Op（G）.因G／N为p-幂零群，故G为p-可解群，从而由引理1.5得CG（N）＝N.此外，存在G的Sylowq-子群Q使得PQ≤G，其中q≠p.若PQ＜G，则由（2）知PQ为p-幂零群，从而Q≤CG（N）＝N，矛盾.故G＝PQ.由引理1.6知，存在P的极大子群P1使得N⊄P1.下面分两种情形讨论：情形1.P1在G中半覆盖-远离.此时，存在G的主群列1＝G0＜G1＜…＜Gl＝G，使得对每个i，P1 覆盖或远离Gi／Gi－1.于是G1P1＝P1 或者G1 ∩P1＝1.若前者成立，则G1≤P1，当然G1≤N，此时由N的唯一性知N＝G1≤P1，这与N的取法矛盾.故G1∩P1＝1.进一步，由（1）得｜G1∩P｜＝p.由引理1.7知，G1为p-幂零群.设T1是G1的正规p-补，则由T1charG1＜G得T1＜G，这样T1＝1，即G1＝P∩G1＝ N 为p阶群.再由引理1.7知，N ≤Z（G），由G／N为p-幂零得G为p-幂零，矛盾.情形2.P1在G中X-半置换.此时，存在G的子群T使得G＝P1T且对于T的任意子群T1，存在x∈X使得.特别地，对于Tq∈Sylq（T）有y∈X使得因P1＜P且y∈X＝Op（G），故，即P1Tq成群.这样P1∩N＝P1Tq∩N＜P1Tq.但是P1∩N＜P，因而P1∩N＜〈P1Tq，P〉＝G.由N的极小正规性得P1∩N＝1.因P＝P1N，故｜N｜＝p.类似上面的证明即导致矛盾.（4）反例不存在.设P1为P的极大子群.首先，由引理1.7知，P1≠1.若P1在G中半覆盖-远离，则存在G的一个主群列1＝G0＜G1＜…＜Gl＝G，使得对每个i，或者P1 覆盖Gi ／Gi－1 或者P1 远离Gi／Gi－1.因此，G1P1＝P1或者G1∩P1＝1.若前者成立，则1＜G1≤P1，这与（3）矛盾.故G1∩P1＝1，进而｜G1∩P｜＝p.由引理1.7知G1为p-幂零，再由（1）得G1＝P∩G1，这与（3）矛盾.故P1在G中X-半置换. 现设N是G的极小正规子群.若NP＜G，则由（2）知，NP为p-幂零群；特别地，N为p-幂零，这与（1）或（3）矛盾.故NP＝G.由（1）及（3）知，G 不可解，故N 为非交换同构单群的直积.另外，X＝Op（G）＝1.现由题设知，存在G的子群T使得G＝P1T且对于T的任意子群T1，P1T1＝T1P1.于是对于任意g＝ba∈G，其中a∈P1，b∈T以及T的Sylowq-子群Tq（q ≠p）是群，即是群.显然，TqP1≠G，故由引理1.8知，G中有包含Tq或P1的真正规子群.于是，G非单从而P∩N＜P.因而可取P1为P的包含P∩N的极大子群.则P1∩N＝P∩N.利用上面的结果，对于任意n∈N，是群.显然，Tq≤N，所以.然而，Tq（P ∩ N）≠N，再由引理1.8知，N中有包含Tq或P∩N（N的Sylowp-子群）的真正规子群N1.但N为非交换同构单群的直积，故N1也是N的若干直积因子的直积，这与Tq≤N1或P∩N ≤N1，矛盾.定理证明完毕.推论2.1 设H是群G的正规子群并使得G／H为p-幂零，P是H的Sylowp-子群，其中p是｜G｜的一个素因子且（｜G｜，p－1）＝1.若P的极大子群在G中半覆盖-远离或Fp（H）-半置换，则G是p-幂零群.证明由引理1.3，引理1.4及定理1.1知，H 为p-幂零群.设K为H的正规p-补.则K＜G.显然，（G／K）／（H／K）≅G／H 为p-幂零.由引理1.2及引理1.4知，H／K的极大子群在G／K中半覆盖-远离或Fp（H）N／N-半置换.所以，G／K满足推论2.1的条件.若K≠1，则由归纳法知G／K为p-幂零，从而G为p-幂零.若K＝1，则H＝P.现设T／H为G／H的正规p-补.则T＜G且P是T的Sylowp-子群.由引理1.3及引理1.4知，P的极大子群在T中半覆盖-远离或p-半置换.由定理1.1知T为p-幂零群.当然，T的正规p-补也是G的正规p-补，即G是p-幂零群.证明完毕.推论2.2［2］设P是群G的Sylowp-子群，其中p是｜G｜的最小素因子.若P 循环或P的极大子群在G中半覆盖-远离，则G是p-幂零群.推论2.3［2］设H 是群G的正规子群并使得G／H 为p-幂零，P是H的Sylowp-子群，其中p是｜G｜的最小素因子.若P循环或P的极大子群在G中半覆盖-远离，则G是p-幂零群.定理2.2 设P是群G的Sylowp-子群，其中p是｜G｜的一个素因子.如果P的二次极大子群在G中半覆盖-远离或Fp（G）-半置换且下述条件之一成立，那么G 是p-幂零群：（a）p是｜G｜的最小素因子且G 与A4 无关；（b）（｜G｜，p2－1）＝1.证明设定理不真，G是极小阶反例并记X＝Fp（G）.则（1）Op′（G）＝ 1.设Op′（G）≠1.由引理1.2及引理1.4易知G／Op′（G）满足定理2.2的条件.由G 为极小阶反例推出G／Op′（G）为p-幂零，从而G为p-幂零，矛盾.（2）若P≤H ＜G，则H 为p-幂零群.由（1）知，X＝Fp（G）＝Op（G）≤Fp（H）.利用引理1.3及引理1.4结果，H 满足定理2.2的条件，再由G为极小阶反例，得H为p-幂零群.（3）Op（G）＝1.若否，设N是G的含于Op（G）的极小正规子群.则N是初等交换p-群.由引理1.2及引理1.4易知G／N满足定理2.2的条件，故由G的选择得G／N为p-幂零.于是可设N是G的含于Op（G）的唯一极小正规子群且N⊄Φ（G）.易知N＝Op（G）.因G／N为p-幂零群，故G为p-可解群，由引理1.5得CG（N）＝N.此外，存在Q∈Sylq（G），其中q≠p，使得PQ≤G.若PQ＜G，则由（2）知PQ为p-幂零群，从而Q≤CG（N）＝N，矛盾.故G＝PQ.由引理1.6知，N⊄Φ（P）.这样就存在P的极大子群P1使得N⊄P1.进一步，P1N＝P.下面分两种情形讨论：情形1.P1∩N＜P1.取P1的极大子群P2使得P1∩N≤P2.则P1∩N＝P2∩N.因P2是P的二次极大子群，故P2在G中半覆盖-远离或X-半置换.若P2在G中半覆盖-远离，则P2覆盖或远离G的一个主群列1＝G0＜G1＜…＜Gl＝G的每个主因子.所以，G1P2＝P2或者G1∩P2＝1.若前者成立，则G1≤P2，当然，G1≤N，此时由N的唯一性知N＝G1≤P2，从而P1∩N＝P2∩N＝N，这样又得N≤P1，与N⊄P1矛盾.故G1∩P2＝1，我们有｜P∩G1｜≤p2.由于P∩G1是G1的Sylowp-子群，故由引理1.9知，G1为p-幂零群.进而，由（1）知G1＝P∩G1＝N.再次应用引理1.9得G为p-幂零群，矛盾.故P2在G中X-半置换，即存在G的子群T使得G＝P2T，且对于T的任意子群T1，存在x∈X使得.特别地，对于Tq∈Sylq （T）有y∈X使得.这样.但是P2∩N＝P1∩N＜P，所以P2.由N的极小正规性得P2∩N＝1.由于P＝P1N，故｜N｜＝p.由推论2.1即知G为p-幂零群，矛盾.情形2.P1∩N＝P1.此时P1≤N，P＝P1N＝N.设P2是P的任意二次极大子群.若P2在G中半覆盖-远离，则P2覆盖或者远离G的一个主群列1＝G0＜G1＜…＜Gl＝G的每个主因子.于是P2G1＝P2或P2∩G1＝1.若P2G1＝P2，则G1≤P2.由N的唯一性得N＝G1≤P2，这就产生矛盾.所以P2∩G1＝1.即有｜P∩G1｜≤p2.由引理1.9知，G1为p-幂零群.再由（1）知G1＝P∩G1.这样N＝P∩G1.再次由引理1.9得G为p-幂零，矛盾.故P2在G中X-半置换.由题设，存在G的子群T使得G＝P2T且对于T的任意子群T1，存在x∈X使得.特别地，对于Tq∈Sylq（T）有y∈X使得由于P交换，故P2＜P，从而由N的极小正规性得P2＝1.故｜P｜＝｜N｜＝p2.由引理1.9知G为p-幂零群，矛盾.（4）反例不存在.设P2是P的任意二次极大子群.由引理1.9知P2≠1.若P2在G中半覆盖-远离，则P2覆盖或远离G的某个主群列1＝G0＜G1＜…＜Gl＝G的每个主因子.所以，P2G1＝P2或者P2∩G1＝1.若P2G1＝P2，则G1 ≤P2，从而G1 ≤Op（G），这与（3）矛盾.故P2∩G1＝1，而｜P∩G1｜≤p2.引理1.9蕴含G1为p-幂零群，从而由（1）知G1为p-群，这仍与（3）矛盾.故P2在G中X-半置换.由（1）及（3）知，X＝1.设N是G的任意极小正规子群.若NP＜G，则由（2）知，NP为p-幂零群；特别地，N为p-幂零，这与（1）或（3）矛盾.故NP＝G.由（1）及（3）知G不可解，故N为非交换同构单群的直积.由题设，存在G的子群T使得G＝P2T且对于T的任意子群T1，有P2T1＝T1P2.于是，对于任意g＝b a∈G，其中a∈P2，b∈T以及T的任意Sylowq-子群Tq（q≠p），是群，即是群.显然，TqP2≠G，故由引理1.8知，G中有包含Tq或P2的真正规子群.于是，G非单，从而P∩N＜P.若P∩N不是P的极大子群，则可取P2为P的包含P∩N的二次极大子群.利用上面的结果，对于任意是群.显然，Tq≤N，故N）.然而，Tq（P ∩N）≠N，再由引理1.8知，N 中有包含Tq或P∩N的真正规子群N1.但N为非交换同构单群的直积，N1也是N的若干直积因子的直积，这与Tq≤N1或P∩N≤N1矛盾.故P∩N是P的极大子群.由题设及引理1.3知，P∩N的极大子群在G中，从而在N中X-半置换（这里X＝1）.由定理1.1知N 为p-幂零群，这与（1）或（3）矛盾.证明完毕.利用定理2.2，类似推论2.1的证明，可得下述推论.推论2.4 设H 是群G的正规子群使得G／H为p-幂零，其中p是｜G｜的一个素因子.若H的Sylow p-子群P的二次极大子群在G中半覆盖-远离或Fp（H）-半置换且下述条件之一成立，则G是p-幂零群：（a）p是｜G｜的最小素因子且G与A4无关；（b）（｜G｜，p2－1）＝1.【相关文献】［1］樊恽，郭秀云，岑嘉评.关于子群的两种广义正规性的注记［J］.数学年刊，2006，27A：169－176.［2］ GUO Xiuyun，GUO Pengfei，SHUM K P.On semi cover－avoiding subgroups of finite groups［J］.J Pure Applied Algebra，2007，209：151－158.［3］ LI Yangming，MIAO Long，WANG Yanming.On semi cover－avoiding maximal subgroups of Sylow subgroups of finite groups［J］.Comm Algebra，2009，37：1160－1169.［4］ LI Shiheng，LIANG Dengfeng.Finite groups with some subgroups semi cover－avoiding［J］.J Suzhou University，2006，22（1）：1－4.［5］ GUO Wenbin，SHUM K P，SKIBA A N.X-semipermutable subgroups of finite groups［J］.J Algebra，2007，315：31－41.［6］ GORENSTEIN D.Finite Groups［M］.New York：Chhelsea，1980.［7］胡佩特 B.有限群论：第1卷［M］.姜豪，俞曙霞，译.福州：福建人民出版社，1992. ［8］韦华全.子群特性与有限群结构［D］.广州：中山大学博士学位论文，2006.。