幂零群的若干充分条件_赵莹

（3）若 p 2 ，那么 exp P 4. 由（2）的证明知 exp P 4 ，故 P 有 4 阶生成元 c ， c 为 4 阶循 环群. 由定理条件知： x G ，有 c c 小阶子群不存在，定理成立. 定理 4 设 N G, G N 幂零， 2 G ，若 N 的素数阶循环子群均在 Z G 里，且 N 的每个 4 阶循
x
c c ， 取x a，
x
那么 c a c a 1ca c c a 1 c a ，即 a, c 1 ，这与 G 内幂零相矛盾，故极小阶反例不存在，从而定理成 立. 定理 3 设 N G, G N 幂零， 2 G ，若 N 的素数阶子群均为 G 的弱左 Engel 元，且 N 的每个 4 阶循环子群均在 G 中共轭置换，则 G 幂零. 证明：假设定理不成立. 由 文 献 [1] 知 ， 此 定 理 条 件 是 子 群 遗 传 的 ， 所 以 G 内 幂 零 . 由 引 理 2 知 ：
G p q ，p q，G PQ, P Syl p G ，Q Sylq G ，其中 Q a 不正规于 G .
（1） 若 P N, 则 P 从而 P N Q G ， 于是 PQ 为幂零群， 所以 P 1 P N P, 而 P 1 G ， 1 1 Q P 1 Q, 又G P 1 (P P 1 ) (QP 1 P 1 ) ，其中， QP 1 P 1 Syl p G P1 为幂零，由 G P 及 G N 是幂零的可知， G P 1 幂零. 所以 (QP 1 P 1 ) (G P 1 ) ，故 QcharQP 1 G ，这与 G 为内幂零相矛盾，故 P N .
Several Nilpotent Groups’ Sufficient Conditions
ZHAO Ying, GUAN Zhi-an, GUO Ji-dong
(College of Mathematics and Statistics, Yili Normal University, Yining, Xinjiang 835000, China)
（1）若 P 2 ，那么 exp P p ，从而 P 为初等交换群， P Z G . G PQ Z G Q ，此时 G 幂 零，矛盾. （2）若 p 2 ，由引理 2 知， exp P 4. 由上面的证明知 exp P 4 ，故 P 有 4 阶生成元 c ， c 为
p 2 时， exp P p; 当 p 2 时， exp P 4 .（4）若 P 为 Abel 群，则 P 为初等 Abel 群.（5） c 为 P 的生成
元的充要条件是 c 与 a 不可换. 引理 3[4] 设群 A 是群 G 的一个幂零子群，则 Z G A 也是幂零的.
G P Q , p q, G PQ, P Syl p G , Q Sylq G ，Q a 不正规于 G . 若 p 2 ， 由引理 2，exp P p ，
此时 P 为初等 Abel 群且 P Z G ，由引理 3， G Z G Q 为幂零群，这与 G 内幂零相矛盾. 若 p 2 ， 则由引理 2， exp P 4. 若 exp P 2 ，由以上讨论可知， G 幂零，故 exp P 4 . 此时，由内幂零群的 显然 c 为 4 阶循环子群. 由定理条件 x G 有 c c 性质可知， G 有 4 阶生成元 c ，
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伊犁师范学院学报（自然科学版）
2012 年
（2）若 P 2 ，那么 exp P p ，由定理条件可知， P P N ，从而 P 的生成元 c 为弱左 Engel 元，
那么 c 为 Q 的生成元，故有 c, a , a , , a = 1 为 G 的生成元，这与内幂零性质（5）相矛盾. n个
引理 1[1] 设 G 为有限群， H 为 G 的共轭置换子群，且 H K G ，那么 H 为 K 的共轭置换子群. 引理 2[3] 设 G 为内幂零群，于是： （1） G 的阶为 p q , p q. （2） G PQ, P Syl p G , Q Sylq G , P G, Q a 不正规于 G .（3）当
2012 年 3 月 4 第1期
伊犁师范学院学报（自然科学版） 伊犁师范学院学报（自然科学版） Journal of Yili Normal University（Natural Science Edition）
Mar.2012 2012 年 No.1
幂零群的若干充分条件
赵 莹，管治安，郭继东
（伊犁师范学院 数学与统计学院，新疆 伊宁 835000）
摘 要：通过对内幂零群结构的分析，利用极小子群具有的某些特殊性质给出了幂零群的若 干充分条件，并深化了部分现有的结果. 关键词：幂零群；共轭置换子群；弱左 Engle 元 中图分类号：O152.1 文献标识码：A 文章编号：1673—999X（2012）01—0010—03
自 Ito 定理（如果奇阶群 G 的每个极小子群都在 Z G 中，则 G 是幂零群）发表以来，已有大量用极 小子群的特殊性质来讨论有限群结构的成果出现[1,2]. 本文在此基础上通过分析内幂零群的结构，得出了若 干幂零群的充分条件.
exp P 2 ，那么 P 为初等 Abel 群且 P 的每个生成元 c 为 G 的弱左 Engel 元， a 为 Q 的生成元，故有
c , a , a, , a = 1 为 G 的生成元，这与内幂零性质（5）相矛盾. 若 p 2 ，则由引理 2 知： exp P 4. 若 n个 exp P 2 ，那么 P 为初等 Abel 群. 由以上讨论知， G 幂零，故 exp P 4 ，此时， G 有 4 阶生成元 c ，
第1期
赵莹，管治安，郭继证明：假设定理不成立， G 是极小阶反例. 由文献[1]知，此定理条件是子群遗传的，所以 G 内幂零. 由引理 2 知：
G P Q , p q, G PQ, P Syl p G , Q Sylq G ，其中 Q a 不正规于 G . 若 p 2 ，由引理 2 知：
x
c c ，由前面的讨论知 a, c 1 ，这与引理 2 矛盾. 故极
x
环子群均在 G 中共轭置换，则 G 幂零. 证明：由文献[1]知，此定理条件是子群遗传的，所以 G 内幂零. 由引理 2 知： G p q ，p q，
G PQ, P Syl p G ，Q Sylq G ，其中 Q a 不正规于 G ，仿照前一定理证明可知 P N .
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预备知识
定义 1[1] 设 G 为有限群， H 为 G 的子群，称 H 为 G 的共轭置换子群. 若 x G ，有 H x H HH x . 定义 2[2] 称群 G 的元素 x 为 G 的一个弱左 Engle 元，如果 y 是 G 的任一阶与 x 互素的素数幂阶元，
则总有自然数 n 使 x，， y y， ，y 1 . n
Abstract: By analyzing the structure of individual nilpotent groups and using some special charicteristics of minimal subgroups, several Nilpotent groups’ sufficient conditions is promoted and some existing results are deepened as well. Key words: nilpotent group; conjugate permutable subgroup; weak-left Engle element
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主要结果
定理 1 若 G 的素数阶子群均为 G 的弱左 Engel 元，2 G ，且 G 的每个 4 阶循环子群均在 G 中共
轭置换，则 G 幂零.
收稿日期：2011—07—16 基金项目：新疆维吾尔自治区自然科学基金项目（2010211A38） ；伊犁师范学院研究生课题（2011YNYJS008）. 作者简介：赵莹（1986—） ，女，山东德州人，伊犁师范学院 2009 级在读硕士研究生. 研究方向：代数学.
4 阶循环群，且 c N ，故 c 共轭置换，于是 x G ，有 c c
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c c ，令 x a ，那么 a, c 1 ，这
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与引理 2 矛盾. 故极小阶反例不存在，定理成立. 参考文献： ，2005，30（1） ： [1]张勤海，赵俊英. 幂零群的若干等价条件[J]. 西南师范大学学报（自然科学版） 26-30. [2]王坤仁. 极小子群与幂零性[J]. 四川师范大学学报，1995，18（2） ：16-19. [3]张远达. 幂零与可解之间[M]. 武汉：武汉大学出版社，1988. [4]陈重穆. 内外∑群与极小非∑群[M]. 重庆：西南师范大学出版社，1988. [5]徐明曜. 有限群导引（上）[M]. 北京：科学出版社，1987. [责任编辑：胡杨]
显 然 c 为 4 阶 循 环 子 群 . 由 定 理 条 件 x G 有 c c
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c c ， 取 xa ， 那 么
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c a c a 1ca c c a 1 c a ，即 a, c 1 ，这与 G 内幂零相矛盾，故极小阶反例不存在，从而 G 幂零. 定理 2 若 G 的素数阶子群均在 Z G 里， 2 G ，且 G 的每个 4 阶循环子群均在 G 中共轭置换， 则 G 幂零. 证明：假设定理不成立， G 为极小阶反例. 由 文 献 知 此 定 理 条 件 是 子 群 遗 传 的 ， 所 以 G 内 幂 零 ， 由 引 理 2 知 ：