高等代数 练习题
练习题一
一、单项选择题
1．设A为3阶方阵, 数λ =-2, |A| =3, 则|λA| =（）A．24; B．-24; C．6; D．-6.
2．设A为n阶方阵, n1+n2+n3=n, 且|A|≠0, 即
1
2
3
A
A A
A
??
?
= ?
?
??, 则A-1=( )
A
1
1
1
2
1
3
A
A A
A
-
-
-
??
?
= ?
?
??; B
1
1
1
2
1
3
A
A A
A
-
-
-
??
?
= ?
?
??;
C
1
3
1
2
1
1
A
A A
A
-
-
-
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?
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?
??; D
1
3
1
2
1
1
A
A A
A
-
-
-
??
?
= ?
?
??.
3．设A为n阶方阵, A的秩R(A)=r B．任意r个列向量线性无关; C．任意r个列向量都构成最大线性无关组; D．任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出. 4．若方程组AX=0有非零解, 则AX=β(≠0)（） A．必有无穷多组解; B．必有唯一解; C．必定没有解; D．A、B、C都不对. 5. 设A、B均为3阶方阵, 且A与B相似, A的特征值为1, 2, 3, 则(2B)-1 特征值为( ) A．2, 1, 3 2; B. 1 2, 1 4, 1 6; C．1, 2, 3; D．2, 1, 2 3. 6. 设A，B为n 阶矩阵，且R（A）=R（B），则（）A．AB=BA; B．存在可逆矩阵P, 使P-1AP=B; C．存在可逆矩阵C, 使CTAC=B; D．存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B. 7．实二次型 () 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 2 2 , ,x x x x x x x x f- + + = 是（） A．正定二次型; B．半正定二次型; C．半负定二次型; D ．不定二次型. 8．设A, B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有（ ） A ．A 的列向量线性相关,B 的行向量线性相关； B ．A 的列向量线性相关,B 的列向量线性相关； C ．A 的行向量线性相关,B 的行向量线性相关； D ．A 的行向量线性相关,B 的列向量线性相关. 二、填空题 ⒈若行列式的每一行（或每一列）元素之和全为零，则行列式的值等于_______________; 2.设n 阶矩阵A 满足A2-2A+3E=O ，则A-1=_______________; 3设 1230,3,1,2,1,1,2,4,3,0,7,13T T T ααα?????? ==-= ? ? ? ??????，则321,,ααα的 一个最大线性无关组为___________________________; 4. 设 0γ是非齐次方程组AX=b 的一个解向量，r n -ααα,,,21 是对应的齐次方程组AX=0 的一个基础解系，则 0γ,,1α,,2 αr n -α线性__________; 5. 设λ1 , λ2 为n 阶方阵A 的两个互不相等的特征值，与之对应的特征向量分别为X1，X2，则X1+X2_________________________矩阵A 的特征向量。 6. 设A 为n 阶方阵， 若A 有特征值λ1 , λ2 ,?, λn ，则 |A2+E|=____________________________________; 7. n 维向量空间的子空间W={(x1，,x2, ?, xn): 1220 n n x x x x x +++=?? ++=?}的维数是 __________; 8. 设 123123123123(,,), (,24,39) A B αααααααααααα==++++++ 如果|A|=1, 那么 |B| = _______. 三、解矩阵方程 B AX X +=2，其中 ????? ??--=001121011A ， ?? ??? ??--=302031B . 四、设方程组 ?????=++=++=++. ,,13 22 1 321321λλλλx x x x x x x x x 问当λ 取何值时， （1）方程组有唯一解； （2）方程组无解； （3）方程组有无穷多解，求其通解（用解向量形式表示）. 五、已知二次型, ()222 123123121323 ,,553266f x x x x x x x x x x x x =++-+-， (1) 写出此二次型对应的矩阵A; (2) 求一个正交变换x=Q y, 把二次型f(x1, x2, x3)化为标准型. 六、设)1,1,1(1=α，)2,1,0(2=α，)3,0,2(3=α是R 3中的向量组，用施密特正交化方法把它们化为标准正交组. 七、设A 为n 阶方阵, 求证: A2 = A 的充分必要条件是: R(A)+R(A-E) = n. 练习题二 一、判断题。在每小题后面的小括号内打“√”号或“×”号 1．任何实对称矩阵都可以表成一系列初等矩阵的乘积。 （ ） 2．方阵A 与其转置阵 T A 有相同的特征值，因此有相同的特征向量。（ ） 3.设ij A 为n 阶行列式||ij a D =中元素ij a 的代数余子式，若 ij ij A a -=),,2,1,(n j i =，则0≠D 。 （ ） 4．若r ηηη,,,21 为线性方程组0=AX 的基础解系，则与r ηηη,,,21 等价的 向量组也为此方程组的基础解系。 （ ） 5． 设c b a ,,是互不相等的数，则向量组 ),,,1(32a a a ，),,,1(32b b b ，),,,1(32c c c 是线性无关的。 （ ） 二、单项选择题 1. 设n 阶方阵C B A ,, 满足关系式E ABC =，则 成立。 A. E ACB =； B. E CBA =； C. E BAC =； D. E BCA =. 2. 设n 维向量)(,,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维向量m βββ,,,21 线性 无关的充要条件为 。 A. 向量组m ααα,,,21 可由向量组m βββ,,,21 线性表示； B. 向量组m βββ,,,21 可由向量组m ααα,,,21 线性表示； C. 向量组m ααα,,,21 与向量组m βββ,,,21 等价； D. 矩阵=A （m ααα,,,21 ）与矩阵=B （m βββ,,,21 ）等价。 3．设非齐次线性方程组b AX =的两个不同解为21,ββ，它的导出组的一个 基础解系为21,αα，则线性方程组b AX =的通解X = (其中 21,k k 为任意常数)。 A. )(21 )(2121211ββααα-+++k k ； B. )(21 )(2121211ββααα++-+k k ； C. )(21 )(2121211ββββα-+++k k ； D. )(2 1 )(2121211ββββα++-+k k . 4. 设B A ,均为)2(≥n n 阶方阵，则必有 。 A. ||||||B A B A +=+； B. BA AB =； C. ||||BA AB =； D. 111)(---+=+A B B A 5. n 阶实对称矩阵A 与B 合同的充分必要条件是 。 A. )()(B R A R =； B. A 与B 的正惯性指数相等； C. A ，B 为正定矩阵； D. A,B 同时成立。 三、填空题 1．γβα,,为三维列向量，已知三阶行列式40|2,2,4|=--αγβαγ，则行列式=|,,|γβα 。 2．五阶方阵A 的特征值为1，1，2，2，3，E 为五阶单位阵，则 =-|4|E A 。 3．设B A ,为同阶可逆矩阵，则1 2-??? ? ??O B A O = 。 4．设向量组T )4,3,2,1(1=α， T )5,4,3,2(2=α，T )6,5,4,3(3=α，T )7,6,5,4(4=α，则),,,(4321ααααR = 。 5．若方阵A 相似于???? ? ??-221，则3 1||-A = 。 6．已知B A ,均为)2(≥n n 阶矩阵，**,B A 分别为它们的伴随矩阵，如果 n B R n A R =-=)(,1)(，则*)*(B A R = 。 7．若齐次线性方程组 ?? ? ??=+-=-=++.03,0, 02z x z ax z y x 存在非零解，则系数a = 。 8． 设A 为三阶实对称矩阵，其特征值分别为1，0，-3。已知与特征值 1，-3对应的特征向量分别为T )1,0,1(和T )1,1,1(-，则与特征 值0对应的一个特征向量为 。 9．已知二次型2 3322 221213219622),,(x x x x x x x x x x f ++++=，它的标准形 为 。 10．设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1，2，3，n , 。 则当t 时，矩阵A tE -为正定矩阵。 四、计算题 1. 试讨论b a ,为何值时 （1）β不能用321,,ααα线性表示； （2）β可由321,,ααα唯一地表示，并求出表示式； （3）β可由321,,ααα表示，但表示式不惟一，并求出表示式. T T T T b a b a a )2,2,1(,)3,2,1(,)0,2,1(,)3,3,1(321+---=-+==-=αααβ 2． 设)1,1,2(-=α，求 （1）ααT 的特征值与特征向量； （2）一正交阵Q ，使得Q Q T T αα为对角阵。 3. 已知3R 中的二组基 T )1,2,1(1=α，T )3,3,2(2=α，T )1,7,3(3=α； T )4,1,3(1=β，T )1,2,5(2=β，T )6,1,1(3-=β. (1) 求由基321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵及坐标变换公式； (2) 求向量3212ββββ--=在基321,,ααα下的坐标。 (3) 求向量32142αααα+-=在基321,,βββ下的坐标. 五、 证明题 已知平面上三条不同直线的方程分别为 . 032 :,032 :,032 :321=++=++=++b ay cx l a cy bx l c by ax l 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为c b a ++=0.